2º POTENCIAS Y RADICALES Propiedades de las potencias

Matemáticas

4º E.S.O.

Nombre:………

………..

1º NÚMEROS REALES. NOTACIÓN CIENTÍFICA

1.- Escribir :

1º) 23 decenas y 47 milésimas 2º) 13 decenas y 52 milésimas 3º) 2 centenas y 25 centésimas 4º) 3 décimas y 25 milésimas 5º) 20 décimas y 40 centésimas 6º) 47 décimas y 200 milésimas

7º)2 decenas y 400 milésimas 8º) 40 centenas y 25 décimas 9º) 25decenas y 38 centésimas 10º) 25 unidades y 300 milésimas 11º) 31 decenas y 400 milésimas 12º) 2 décimas y 300 centésimas

2.- Expresar en notación científica los siguientes números 1. 2000000

2. 0,0000002 3. 9850000000 4. 124,4444 5. 23994,099 6. 123400000000 7. 34900000000000 8. 0,000000000123 9. 23456,1100

10.1987000000000

11.0,000000000000000011 12.298000000000000000 13.2,1222

14.123000000 15.432,123 16.12345,02 17.123,45687

18.2330000000000000

3.- Realizar las siguientes operaciones en notación científicas, expresando el resultado con una cifra entera y el resto decimales

1º) 20, 3483 103_{. 0,002 10}-4

2º) 213,25 10-4 _{/ 3,13 10}-6

3º) 0,0123 10-5 _{. 3,33 10}-1

4º) 15000 10 6 _{. 31,15 10}6

5º) 0,0001 10 8_{/ 31,23 10}3

6º) –2.3244 10 –7 _{. 23,22 10}4

7º) 31,21 104 _{/ 2,22 10}12

8º) 21.12 10-3 _{/ 0.0000002}

9º) 10000000000. 2, 22 10-7

10º) 2,3333 10-5 _{. 3,25 10}8

11º) 0,3333 10-3 _{. 1,15 10}8

12º) 2,3333 10-5 _{. 3,25 10}8

13º) 0,00000003 .1,2 10-8

14º ) 10000000 , 5 ,33 10 5

ERRORES

1º Se aproxima el número 0,8888888... mediante a) 0,88 b) 0,89

Calcular el error absoluto , el relativo, el orden del error y si es una aproximación por defecto o exceso

2º Se aproxima el número 10/3 mediante a) 3,333 b) 3,34

Calcular el error absoluto , el relativo, el orden del error y si es una aproximación por defecto o exceso

3º Redondear el número 0, 44444…. , con tres cifras. Calcular el error absoluto y relativo y decir si es por defecto o exceso

4º Redondear el siguiente número 10,515151… con tres cifras decimales. Calcular su error absoluto y relativo ¿ Es por exceso o defecto?. .Hacer lo mismo con 4 cifras.

5 Se redondea el número 0,383838…….mediante a) 2cifras b) 3 cifras

Calcular el error absoluto , el relativo, el orden del error y si es una aproximación por defecto o exceso

6 º Se aproxima el número 1,88888888 mediante a) 1,888 b) 1,89

2º POTENCIAS Y RADICALES

Propiedades de las potencias

1º) an _{. a}m _{= a}n+m _{2º) a}n _{: a}m _{= a}n-m _{3º) (a}n₎m _{= a}n..m

4º) n

m n m

a

a =

1. Operar y simplificar:

1) a .a

a : a a . a a . a a . a 3 5 3 2 4 5 3 2 2) a . a a . a a . a . a . a a . a a . a a . a 3 3 5 3 2 2 7 5 3)

(

)( )

2 2 0 2 2 3 x . x . x x : x . x : x − 4) 2 2 2 4 2 1 . 2 2 3 . 3 2                               6) 3 6 3 4 3 3 2 4 1 16 2 2 1 1024 −             ) ( ) ( . 7) 6 4 2 3 2 3 4 3 3 2 b a b a b a b a ) ) (( ) ( − 8) 5 3 2 3 4 2 1 4 2 3 4 2 − − − − y y x y x y x y x ) ( ) ( ) ( 9) 3 4 4 4 3 3 1 2 64 2       a a a

a ( )

10) 3 2 4 3 2 2 3 4 2 3 1 2 3             − b a b a b a ab b

a ( ) (( ) )

11) 5 3 2 3 4 2 3 1 3 27 3 3 1 81 − −             ) ) (( ) ( 23) 2 2 2 3 4 2 1 4 2 3 4 2 1     − − − xy y x y x y x y x ) ( ) ( ) ( 13) 3 4 2 3 2 3 4 3 2 3 2 1       − ab a b a b a b a ) ) (( ) ( ) ( 14) 3 5 2 4 4 3 4 1 2 64 32 − −       a a a a ) ( ) ( 15) 5 2 2 2 4 2 2 1 2 1 2 1

64 _

                                        _. − _. . 16) 2 3 4 2 3 3 2 3 2 ) ) b a (( ab ) b a ( a −

17) a .a

26)

2

3 4

2 2 3

2 2 1 2 2 4 4

y x

) y x (

) y x ( ) y x ( y x

  



− −

− − −

27)

5 4 2 3 2 3

2 2 3 2 3 2

b a ) ) b a ((

) b a ( ) b a

( − −

5 2 2 2 2

3 2 3 3 2

) b a ) b a (

) b a ( b a

( −

28)

2

4 -2

--4 3

z) y (5x

z) y x 10

( − −

   

Propiedades de los radicales

1º)

n n

a _{a b a.b}

.

= _2º) a _a n _b n _a.b

:

= _3º)

( )

n _a m =n _am

4º)

m . n n m_a = _a

5º) El producto (división) de dos radicales de distinto índice es otro radical de índice el m.c.m de los índices y en su interior los la multiplicación (división) de los radicandos elevados al resultado de dividir el m.c.m entre su índice

Ejemplos :

6 2 3 3 _{a b a b}

.

= 4 4 3 2 3 2 =

6º) Para extraer de un radical se divide el exponente del radicando entre el índice de la raíz , el cociente son los que salen y el resto los que se quedan:

Ejemplo: 3 x11 =x33 x2

7º) Para introducir un factor en un radical multiplicamos el exponente por el índice del radical Ejemplo: 3 6 3 2 y x y x =

1.- Escribe como potencias de exponente fraccionario y simplifica:

5 2 3 2 2

3 2 3 2 5 3

6 5 3 3 2 3 2 3 4 2 3 2 3 2 3 2 5 3 x x -12. x y xy -11. 3 3 3 1 3 . 10 x x x . 9 x a x xa ax . 8 3 3 1 7 3 2 . 6 y x 5 5 b a b . b b a 4 x x x . 3 xy . 2 xy . 1 − − − − − − − − − −

2.-Simplifica y reduce las siguientes expresiones a potencias:

( )

3 2 3 4 4 3 2 4 3 2 5 2 2 3 1 2 1 6 3 1 1 3

4 3 3 2

8 8 6 3 4 8 7 5 4 6 5 4 3 3 2 3 1 10 2 1 3 2 2 3 3 y x y x -10. x x x -9. yx x x x . 8 c x b a c b a x . 7 y x x . 6 x x x -5. a a a a a a -4. . a a . a a a a . 3 3 2 3 2 . 2 x 1 x . 1 − − − − − − − − ÷ ÷ ÷ −     −         −

3.- Extrae todos los factores posibles:

3 13 4 9 7 4 3 6 7 3 4 5 8 5 6 10 3 4 2 625 y x º. 5 . z y x 1024 º. 4 n m z y x 8 º. 3 t z y x 5 º. 2 y x y x 2 º

1− − − − −

4 5 6 4

3 3 4 12 3 3 4 16 23 18 6 5 4 4 7 6 7 10 13 43

7 5 a x 625 . º 14 1000 . º 13 x h t 125 . º 12 y x 200 . º 11 z y x º. 10 . y x 128 º. 9 z b a º. 8 z y x º. 7 y x 50 º. 6 − − − − − − − − − − − 15º 15 12 7 3 t z y x 32 16º

3 5 10 12

c b a 125

18º 4

12 23 9 z y x 1024 19º.-

4 4 8

b a 81

4.- Introduce dentro del radical y simplifica:

3 3 4 3 2 3 2 4 4 3 2 3 3 x y x y x -5 a 27 a x 125 5xz a 3 -4 y z x 2 xy 2 3 . 3 xy y x . 2 x 1 x .

1 − − − ₋

5.- Realizar las siguientes operaciones: y x xy y x h) y x xy y x g) x x f e d h a h a c z z b a 3 6 4 3

4 2 3 2 2 5 2

4 3

3 3 3 4

3 2 2 4 4 3 3 : 3 ) 3 4 . 4 3 ) 2 : 16 ) : ) 3 . 27 ) 8 2 1 . 2 4 3 ) − −

6.- Efectúa las siguientes operaciones con radicales:

a)

6 4 5 4 2 y x y x i) 3 3 4 3 3 3 2 ) b (a b a a b a b a 3 -3 3 3 p) 2 3 2 -3 2 4

4 2 2 3 ) (a a b b b a a b a b)

4 3 2

x x x

j)

4 3 2 3 2 3 2 b a b a b a

q) 6

4 3 3 2 4 3 x y xy y x xy c) 3 2 4 3 y x xy

k) 26 2 2

4 2 3 3 4 y x xy y x xy

r) b 3 a b a

d) ab

b a

ab 3

l)

6 3 5 3 2 3 4 y x y x y x

s) a2 _b-3

3 3

b a

a4 _b3

3 4

b a

e)

6 2 2

y x y x

m) 31024x y 8xy

3 2

. 4 _2x2_y3

t) x y x y

3 3 4 2

128 .

32 4 _2x2_y−2

f) 6 2 a b b b a b a a

3 2 4 3

n)

4 3 2 2

3

3 2 3 4 y a y a y a ay − u) zt t

z . 125

625

3 2 3 6 2 3

5z t

g) 15

2 5 3 2 3 3 2 4

y x xy y x y x ñ) 3 3 2 3 2 ) ( y x y x xy

v) x

x x x

h) 3 2 2

4 2 3 3 4 b a b a b a ab o) 3 2

4 _xy3 _{x y} 31024x2y3. 8xy

w) b a

b b a

7. Sumar los siguientes radicales 1. _{18 + 2 50 - 2 2 -} 8 2. _{50 -}a _{18 +2}a 2a

3. _{75 +2 27 +4 12 -3 3}

4. 28− 3 7−5 28+3 63−2 175 5. 8 +5 18 − 200+3 98

6. 3· 8 −2· 18+ 32 −5· 50 7. 108+2· 48− 27 −3 147

8. _{3 48 -4 27 +5 75 +6 3}

9. _{32 +4 50 -3 98 -7 128}

10. 108+2· 48− 27−3 147 11. 3 _{2 -3}3_{16 +5}3 250

12. 3 5+43 5 −33 625 13. 3 ₇ −₂3 ₅₆+₄3 ₂₄₀₁

14. 3 ₄₃₂−3 ₁₆+3 ₂₅₀−3 ₅₄

Racionalizar

Consiste en eliminar raíces del denominador. Existen varios procedimientos 1er _{Tipo: Denominador con raíz}

cuadrada

b a

Se multiplica numerador y denominador por la raíz :

( )

b

b a b b a b a 2 = =

2º Tipo : Denominador con raíz

de índice superiorn bm

a

Se multiplica y divide por una raíz con el mismo índice y el radicando elevado a la diferencia entre el índice y el exponte del radicando b b a b b a b b a b b b a b

a n n m

n n n n m

n m n m n n m

n n m n m

n n m

n m − − − + − − − = = = =

3er _{Tipo: Denominador con} raíces sumadas o restadas

c b

a

+

Se multiplica y divide por las raíces conjugadas y se aplica la identidad notable (a+b)(a-b) =a2_-b2

( ) ( )

b c

) c b ( a c b ) c b ( a ) c b )( c b ( ) c b ( a c b a 2 2 − − = − − = − + − = +

1.- Racionalizar las siguientes expresiones: 1) 3 3 2) 3 2 3) 5 2 4) 7 3 2 5) 3 3 6 2 6) 11 3 2 7) 6 3 5 2 8) 13 7 9) a b b a 10) a 2 a 2

11) 5₈

4 12) 5 27 2 13) ₄ 125 5 14) ₃ 3 5 15) ₃ 2 4 16) ₃ 6 3 17) ₃ 49 7 18) ₃ 2 5 19) ₄ 125 3 20) ₃ 8 4 21) ₄ 25 5

22) _{3 2} a a

23) _{4 3}

42)

3 5

3

−

43)

7 5 2

2

−

44)

b a

b a

− −

45)

b a

b

a2 2

− −

46)

b a

b ab 2

a2 2

− + −

47)

b a

b a

3º POLINOMIOS. FRACCIONES ALGEBRAICAS

OPERACIONES CON POLINOMIOS

Definiciones: Ejemplos

Valor numérico de una expresión algebraica: Es el número que se obtiene al sustituir las letras por los números dados.

Ejemplo: x3 _{– 6x + 5 en x=1} (1)3_{-6(1)+5 =0}

Suma y diferencia de polinomios. Es el polinomio que se obtiene al reducir ( sumar o restar ) los términos semejantes ( de igual grado)

Ejemplo:

(4x3 _{– 12x + 10) – (3x}4 _{+ 6x}3 _{– 12x}2 _{– 14) =} -3x4 _{– 2x}3 _{+ 12x}2 _{– 12x + 24}

Multiplicación de un polinomio por un número: Se multiplican todos los términos del polinomio por dicho número

Ejemplo:

2(2x3 _{– 6x + 5)= 4x}3 _{– 12x + 10}

Producto de un polinomio por un monomio: Es igual a otro polinomio cuyos términos se obtienen multiplicando el monomio por cada término del polinomio:

Ejemplo:

2x2_(2x3 _{– 6x + 5)= 4x}3 _{– 12x}3 _{+ 10x}2

Producto de polinomios: Es otro polinomios cuyos términos se obtienen multiplicando cada término del primer polinomio por cada término del segundo polinomio y sumando luego los términos semejantes. Si tienen muchos términos se colocan los monomios del mismo grado uno debajo de otro luego se multiplican y se suman

Ejemplos

(2x2 _{– 6x)(3x – 5) =} =6x3 _{– 10x}2 _{– 18x}2 _{+ 30x =} = 6x3 _{– 28x}2 _{+ 30x}

(-7x3_+3x2_{+2) ( 2x}2_+3x-1) -7x3_+3x2 _{+ 2}

2x2 _{+3x -1} -7x3 _-3x2 _{- 2} -21x4 _+9x3 _+6x -14x5 _+6x4 _+4x2

-14x5 _-15x4 _+2x3 _+x2 _{+6x -2}

La división de polinomios es similar a la división de números. El dividendo y el divisor deben de estar ordenados en orden decreciente. Vamos dividiendo los monomios de mayor grado del dividendo y los dividendos parciales entre el divisor. Multiplicamos el monomio resultado de esta división por el divisor y el resultado se lo restamos al dividendo parcial La división acaba cuando el grado del dividendo parcial es menor que el grado del divisor.

Ejemplo : Calcular Q(x) : P(x), siendo: Q(x) = x4 _{+ 2x}3 _{– 6x}2 _{– 7 y P(x) = x}2 _{– 5x} x4 _{+ 2x}3 _{– 6x}2 _{– 7 x}2 _{– 5x}

-x4 _{+ 5x}3 _x2 _{+ 7x + 29}

7x3 _{– 6x}2 _{Dividendo = Q(x) = x}4 _{+ 2x}3 _{– 6x}2 _{– 7} -7x3 _{+ 35x}2 _{Divisor = P(x) = x}2 _{– 5x}

29x2 _{Cociente = x}2 _{+ 7x + 29} - 29x2 _{+ 145x Resto = 145x - 7} 145x - 7

1.- Dados los polinomios A(x)= x5 _{– 25 x}3 _{+ 2x-3 ; B(x)= x}2 _{– 3x – 1 ;C(x)= x}3 _{+ 3x}2 _{– 3x – 1}

D(x)= 3 x4 _{–2 x}3 _{+ x}2 _{+ 2 .Calcula:}

a) A(x)+B(x)+C(x)+D(x)

b) A(x) - B(x) -C(x)+D(x) c) A(x)+B(x) - C(x) - D(x)

d) -A(x)+B(x)+C(x) - D(x) e) A(x) - 2B(x) -C(x)

+3D(x)

f) 3A(x) - B(x) +2C(x)-D(x)

2.- Realiza las siguientes operaciones con los siguientes polinomios: P(x) = 2x3 _{– 6x + 5; Q(x) = x}4 _{+ 2x}3 _{– 6x}2 _{– 7; R(x) = x}2 _{– 3x-2}

a) P(x) + Q(x) + R(x) b) P(x)+Q(x) –R(x)

c) 2Q(x) – 5R(x) + 3P(x) d) Q(x) . R(x)

e) 3R(x)[Q(x) – 3R(x)] f) P(x)[5R(x) – 2Q(x)]

3.- Realizar las siguientes divisiones de polinomios y hacer la prueba.

1. (x3 _{+ 3x}2_{- 4x – 5 ) : (x}2 _{– 2x-2)}

2. (x4 _{+ 2x}3 _{– 5x}2 _{– 3) : (x}2 _{+4x-2 )}

3. (x4 _-4x3 _{– 3x}2 _{+ x-2) : (x}2 _{-3x-2 )}

4. (x4 _+3x3 _{– 3x}2 _{+ x-3) : (x}2 _{+3x-2 )}

5. (x5 _-5x4 _+x3 _{– 2x}2 _{+ x-1) : (x}2_{+3x-5 )}

6. (x5 _+6x4 _+2x3 _–x2 _{+ x-2) : (x}2_{+2x-2 )}

7. (x5 _-5x4 _+x3 _–2x2 _{+ x+1) : (x}2_+2x-1)

8. (x5 _-4x4 _+x3 _-2x2 _{+ x-1) : (x}3_-2x2_+2x-5)

9. (x4 _-3x3 _{– 3x}2 _{+ 3x-2) : (x}3_-x2 _{-2x-2 )}

10. (x4 _{- 3x}2 _{+ 5x-2) : (x}2 _{-4x-2 )}

IDENTIDADES NOTABLES

Fórmula Ejemplo

(a + b)(a – b) = a2 _{– b}2 _(3x3 _{– 5xy) (3x}3 _{+ 5xy) = (9x}6 _{– 25x}2_y2₎

(a + b)2 _{= a}2 _{+ 2ab + b}2 _(5y2 _{+ 3x)}2 _{= 25y}4 _{+ 30y}2_{x + 9x}2

(a – b)2 _{= a}2 _{– 2ab + b}2 _(6y2 _{– 2y)}2 _{= 36y}4 _{– 24y}3 _{+ 4y}2

(a + b)3 _{= a}3 _{+ 3a}2_{b + 3ab}2 _{+ b}3 _{(2x + 3y)}3 _{= 8x}3 _{+ 36x}2_{y + 54xy}2 _{+ 27y}3

(a - b)3 _{= a}3 _{– 3a}2_{b + 3ab}2 _{- b}3 _(x2 _{– 2x)}3 _{= x}6 _{– 6x}5 _{+ 12x}4 _{– 8x}3

1.- Utilizar las fórmulas de las identidades notables para realizar.

1. (3y2 _{+ 2x)(3y}2 _{– 2x)}

2. (3y2 _{+ 2x)(3y}2 _{– 2x)}

3.(2x2 _{– 3)(2x}2 _{+ 3)}

4.(3y2 _{+ x}3_)(3y2 _{– x}3₎

5._{( 2 x – y}2_{)( 2 x + y}2₎

6. (z2 _{+ 2yx}2_)(z2 _{– 2yx}2₎

7. (

y x ₋

2 ₎₍2 y

x ₊ ) 8.

(

y 2 3 x2

−

)(

y 2 3 x2

+

) 9._{( 5 a}2_b-c3₎2

10. (3x+2)2

11. (3y2_-2x2₎2

12. (

y x

3 3− ₎2

13.

(4x+ y

5

)2

14.

(2x - 3 y

)2

15. (

2

3 y x + ₎2

16. (3y +2x)2

17. (3xy-2x2₎2

18. (2xy2_-3y)2

19. (ab-2 a2₎2

20.

(

3−y

)

2

21.

(2x + 2 y

)2

22. _{( 2 x – y}2₎2

23. (

2

) y 4

x 2

( −

24. (z2_+2y)3

25. (x+2y)3

26. ( (2y – 3)3

27. (x+2y)3

28. (2x-y)3

29. (x2_-3y)3

30. (3x+y)3

2º Escribir las siguientes sumas como una identidad notable:

1. x2_-y2

2. x4_-4y2

3. 5x6_-4y4

4. 4x2_y2_-4z2

5. 16x8_-25y4

6. 25x4_-9y2

7. 2

2

9

4 y

x −

8. 16x4_-25

9. 25x2_y2_-16

10.

16x4_{- 4}

1

11. 4

2

y 25 16

x ₋

12. 2 9y2

y x

−

13. 4x4_+4x2₊₁

14. 9x4_+6x2₊₁

15. x2 _{+ 4x + 4}

16. 25x2 _{-30x + 9}

17. x2 _{-12x +4}

18. 4x2_-40x+25

19. 5x6_-9y2_z2

20. x2_+2xy+y2

21. x2_+4xy+4y2

22. x4_-6x2_y+9y2

23. 4x2_+12xy2_+9y4

24. 25x2_+20xy3_+4y6

25. 16x8_-8x4_y3_+y6

26. x6_-6x3_y2_+9y4

27. x3_+3x2_y+3xy2_+y3

28. x3_-3x2_y+3xy2_-y3

29. 8x3_+12x2_y+6xy2_+y3

30.

31.x3_-15x2_y+75xy2

-125y3

32.27x3_+27x2_y+9xy2_+y3

33.x3 _{+ 6x}2 _{+ 12x + 8}

BIOMIO DE NEWTON

Se puede generalizar el binomio utilizando los llamados coeficientes combinatorios, representados habitualmente como

Y que se pueden recordar a partir de la siguiente pirámide visual, llamada triángulo de Tartaglia o Pascal

Se puede ver que cada número es la suma de los dos que están inmediatamente por encima de él.

Estos números son precisamente los que actúan como coeficientes en el desarrollo del binomio En general, el binomio de grado n-ésimo tendrá el siguiente desarrollo

Por ejemplo y utilizando la pirámide anterior podemos deducir que el desarrollo del binomio de sexto

grado será:

Realizar los siguientes binomios de Newton:

1. (x+2y)4

2. (2x-y)5

3. (x2_-3y)4

4. (3x+y)5

5. (x+y)7

6. (2x-y)8

7. (x2_-y)6

8. (2x+2y)5

9. (2x-2y)6

10.(5x-y)5

11.(x2_-5y)4

12.(x+3y4₎3

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS - MCM

Definiciones:

Factorizar un polinomio: Descomponer un polinomio como producto de factores primos.

Factor primo: En el caso de los polinomios, son polinomios que no tienen más raíces reales, por lo tanto aquellos que no se pueden descomponer en factores más simples.

Mínimo común múltiplo: Una vez descompuestos en factores primos los polinomios, se eligen los factores que sean comunes a todos los polinomios elevados al mayor exponente y se multiplican por todos los factores que no sean comunes.

Ejemplos

1) Factorizar un polinomio

a) Si no tiene término independiente se saca x o xn _{factor común Ejemplo: 2x}5 _{– 6x}3 _{+ 4x}2 _; Sacamos 2x2 _{factor común a los tres sumandos} ⇒ _2x2_(x3 _{– 3x + 2)}

El polinomio (x3 _{– 3x + 2) se factoriza como se explica a continuación} b) Si tiene término independiente se buscan sus raíces utilizando el método de Ruffini

Se factoriza del siguiente modo P(x) = (x – raíz1)(x – raíz2)....

Ejemplo: x3 _{– 3x + 2} ⇒ _{1 0 -3 2 Debemos buscar un número, divisor} Raíz = 1 1 1 -2 del término independiente, tal que el

1 1 -2 0 resto de la división sea 0.

1 1 2

1 2 0

-2 -2

1 0

Por lo tanto el polinomio se factoriza del siguiente modo (x –1)2_{(x + 2)}

La factorización final de 2x5 _{– 6x}3 _{+ 4x}2 _{será: 2x}5 _{– 6x}3 _{+ 4x}2 _{= 2x}2_(x3 _{– 3x + 2) = 2x}2_{(x – 1)}2_{(x + 2)}

2) Calcular el MCM

a) Se factorizan todos los polinomios siguiendo el procedimiento anterior.

Ejemplo: Halla el MCM de los siguientes polinomios: x5 _{– 4x}3_{; 2x}5 _{– 6x}3 _{+ 4x}2_{; x}2 _{+ 4x +4.} x5 _{– 4x}3 _{= x}3_{(x – 2)(x + 2)}

2x5 _{– 6x}3 _{+ 4x}2 _{= 2x}2_{(x – 1)}2_{(x + 2)} x2 _{+ 4x +4 = (x + 2)}2

b) Se toman todos los factores que sean comunes a todos los polinomios elevados a la mayor potencia y los factores que no sean comunes y se multiplican

MCM = 2x3_{(x + 2)}2_{(x – 1)}2_{(x + 1)(x – 2)}

REGLA DE RUFFINI

Definición:Es un método para dividir un polinomio entre x ±a

Ejemplo : Dividir 4x3_-7x2_{+5x-6 por x -2}

4 -7 5 -6 En diagonal se multiplican en vertical se suman

2 8 2 14

4 1 7 8 = Resto Cociente : 4x2_+x+7 Cociente

Teorema del resto: El valor numérico de un polinomio para x=a es igual al resto de la división

Ejemplo : Calcular el valor numérico de P(x)= x3_-3x2_{+5x-8 para x=2}

1 -3 5 -8 En diagonal se multiplican en vertical se suman

2 2 -2 6

1 -1 3 -2 = Resto P(2)= -2

Ejemplo : Calcular el valor de k P(x)= x3_-3x2_{+kx-2 para que P(x) tenga el valor 8 en x=2} 1 -3 k -2 En diagonal se multiplican en vertical se suman

2 2 -2 2k-4 Despejamos K en la ecuación 1 -1 k-2 2k-6 = 8 2k=14 ; k=7

1º Factorizar los siguientes polinomios:

1. x3_-5x2_+8x-4

2. x3_+4x2_+x-6

3. x3_-2x2_-7x-4

4. x4_-5x3_-13x2_-7x

5. x3_-x2_-4x+4

6. 4x3_+8x2_-4x-8

7. x3_-3x2_-6x+8

8. x3_+5x2_+2x-8

9. 5x3_-5x2 _-25x–15

10.2x3_+16x2_+26x+12

11.x3_+5x2_+7x+3

12.3x3_+12x2_+15x+6

13.x3_+6x2_+9x+4

15.3x3_+6x2_-3x-6

16.x3_+x2_-9x-9

17.x3_+7x2_+12x+6

18.x3_-3x2_-9x-5

19.x3_+3x2_-4x+12

20.x3_+5x2_-x-5

21.x3_+2x2_-4x-8

22.x3_+8x2_+5x-14

23.x3_-8x2 _+19x–12

24.x3 _{+ 4x}2 _{-11x +6}

25.2x3_+3x2_-3x-2

26.2x3_-18x2_+52x-48

27.x3 _{+ 3x}2_{–4x –12}

29.x3_-2x2_-9x+18

30.x3_-9x2_+26x-24

31.x4_-3x3_-6x2_+8x

32.x3_-x2_-14x+24

33.x5_-x4_-8x3_+12x2

34.x3_+x2_-16x+20

35.x3_-11x2_+32x-28

36.x6_-5x5_-17x4_+21x3

37.x4 _{– 10x}3 _{+ 25x}2 _– 36

38.x4 _{– 5x}3 _-5x2 _{+45x –} 36

39.x4 _{– 5x}3 _{+ 5x}2 _{+5x -} 6

40.x4 _{– 5x}3 _{+ 2x}2 +20x-24

41.x4 _+3x3 _-7x2 _27x -18

42.x4 _{– 8x}3 _+23x2 -28x +12

43.x4 _{– 8x}3 _+23x2 -28x +12

2º Hallar el m.c.d. y el m.c.m. de los siguientes polinomios.

1. x2_{-2x+1 ; x}3_-3x2_{+3x-1 ;4x}2_-8x+4

2. x2_{-4x+4 ; x}3_-5x2_{+8x-4 ; 3x}2_-12x+12

3. x2_{-5x+6 ; x}2_{-9 ; x}4_-5x3_-5x2_+45x-36

4. x2_{-1 ; x}4_-5x2_{+4; x}4_-10x2₊₉

5. 2x2_{-16x-14; 2x}3_{-2x; 4x}2_-4x+4

6. x2_{-5x+4 ; x}3_-3x2_{-6x+8 ; 2x}3_{-8x ;}

7. x3_{-3x+2 ; x}3_+2x2_{-x-2 ; 2x}3 _–4x2 _–2x

8. x3_-3x2_{+3x-1 ; 2x}2_{-4x+2 ; x}4_-3x2_+2x

9. x3_-6x2_{+12x-8 ; 2x}2_{-8x+8 ; x}4_-5x3_+8x2_-4

10.x3_-3x2_{+3x-1 ; 3x}2_{-6x+3 ; x}4_-4x3_+5x2_-2x

11.2x3_+4x2_{-2x-4 ; x}3_+6x2_{+12x+8 ; x}3_+4x2_+2x

12.x3_+2x2_{-x-2 ; x}3_-3x2_{-3x-1 ; x}4_+x3_-2x2 _{; x}2 -2x+1

13.2x2_{-x-3 ; 6x}3_+7x2_{+x ; 2x}3_+4x2_{-2x-4 ;} 2x3_+8x2_+6x

14.2x3_+4x2_{-2x-4 ; x}3_+6x2_{+12x+8 ; x}3_+4x2_+2x

15. 2x4_-4x2 _{; 2x}3_-8x2_{+4x ; 4x}3_-6x2_+4x

16.x3_{-x ; x}4_-5x2_{+4; x}4_-10x2₊₉

17.x4_-3x3 _+3x2_{-x ; 2x}3_-4x2_{+2x ;x}4_-3x2_+2x

18.x4_-6x3_+12x2_{-8x ; 2x}3_-8x2_{+8x ;} 4_-5x3_+8x2 -4x

3.- Hallar mediante la regla de Ruffini el cociente y el resto de las siguientes divisiones:

1. (x5_-3x3_+2x2_-15):(x+2)

2. (x3_-5x2_{+2x-3):( x-1)}

3. (x4_-3x3_+5x2_{-3x+3): (x-3)}

4. (x4_-2x3_-3x2_{-3x+1): (x+3)}

5. (x4_+2x3_-x2_{-2x-2): (x-1)}

6. (3x4_+2x2_{-4x+1): (x-2)}

7. (x4_-5x3_-x2_+2x-1):(x-3)

8. (x5_-2x3_+x2_-1):(x-2)

9. (x3_+x2_{+3x-1):( x-1)}

10. (x4_-x3_+4x2_{-2x+1): (x-2)}

11. (x4_-x3_-x2_{-x+1): (x+5)}

12. (2x4_-2x3_+3x2_{-x+2): (x-1)}

13. (x4_+x3_-2x2_{-x-1): (x-2)}

14. (x5_-2x4_+x3_{-2x+2): (x-1)}

15. (x7 _{+ 2x}5 _{– 3x}4 _{+ x + 2):(x-3)}

16. (4x5 _{+ 5x}4 _{+ 6x}3 _{- x}2 _{+ 2x + 2) :} (x+2)

17. (2 x6 _{+ 3x}5 _{+ x}4 _{+ x}2 _{+ 2x + 3) :} (x-1)

18. (x6 _{– x}5 _{+ x}4 _{+ x}3 _{- x – 5) :} (x-5)

4.- Aplicar la regla de Ruffini en cada uno de los siguientes casos para calcular el valor de K:

Polinomio Divisor Resto Polinomio Valor Resultado

6x6 _{+ 2x}5 _{– x}4 _{+ kx}2 _{+ 1 x-1 10 2x}6 _{+ 3x}5 _{– x}4 _{+ kx}2 _{+ 1 x = 2 5}

2x7 _{+ x}6 _{– x}5 _{+ kx}3 _{– x}2 _{+2 x - 1 x + 3 -50 2x}7 _{+ x}6 _{– x}5 _{+ kx}3 _{– x}2 _{+2 x - 1 x=- 4 35}

3x6 _{+ x}4 _–2x3_{+ x}2 _{+ kx x - 2 -2 3x}6 _{+ x}4 _–2x3_{+ x}2 _{+ kx x =- 2 2}

7x5 _{– 2x}4 _{+ x}3 _{+ kx + 5 x + 1 30 7x}5 _{– 2x}4 _{+ x}3 _{+ kx + 5 x = 2 -2}

- x7 _{+ x}6 _{+ x}4 _{– x}3_{+ kx}2 _{- x - 1 x + 1 -5 - x}7 _{+ x}6 _{+ x}4 _{– x}3_{+ kx}2 _{- x - 1 x = 2 -50}

2x6 _{– x}5 _{+ x}3 _{– x}2 _{+ x + k x - 2 0 2x}6 _{– x}5 _{+ x}3 _{– x}2 _{+ x + k x =- 3 15}

– 3x6 _{– x}5 _{+ 2x}4 _{– x}3 _{- 2x + k x - 4 2 – 3x}6 _{– x}5 _{+ 2x}4 _{– x}3 _{- 2x + k x = 3 -6}

x5 _{+ 2x}4 _{+ 3x}3 _{+ kx}2 _{+ 5 x - 1 15 x}5 _{+ 2x}4 _{+ 3x}3 _{+ kx}2 _{+ 5 x= - 1 15}

-2 x6 _{+ 6x}4 _{+ x}3 _{– 2x}2 _{+ k x - 2 -29 2 x}6 _{+ kx - 1 x =- 2 1}

– 5x5 _{+ kx}4 _{– x}3 _{- x + 3 x + 3 1086 2x}5 _{– x}4 _{+ 3x}3 _{- 2x}2 _{+ kx - 3 x= - 2 6}

x5 _{+ 2x}4 _{+ 3x}3 _{+ kx}2 _{+ 5 x - 1 15 x}5 _{– x}3 _{+ kx + 22 x = 2 10}

FRACCIONES ALGEBRAICAS

1.- Realiza las siguientes operaciones:

1. 

  



 _{− +}

+

x 1 x

1 x

1 ) x x

( 4 3 _{3 2}

2. (1 x )

x 1

x 3 x

1 3

3

− − + + +

3. 

     −    



 _{− − 1}

x 1 x

1 x

1 x

1

3 2

4. 3x 1

x 2 x

1 2

2 _ −

 



 ₋

5. 

  



 ₋

− ₂

x 1 x 4

3 x 1

6. 

  



 ₊

  



− 2_{2 2 3}

x a x

1 : x a 1

7.       ₊     − a x x a : x a a x 2 2 2 2 8.       − + −       − − x 1 x x : x 1 x x 9.       − −       − + x 1 x x : x 1 x x 10. 8 x 4 5 x : 4 x 3 8 x 4 1 x 2 + +       − − − + 11.       ₋ − +       + + − x 1 x 1 x x : 1 x x x 1 x

12.  

+ − −     − +

+ x y

x y x x : y x x y x x

13. _ + _

+     − + + + − 1 y x xy 2 y x y x y x y x 2 2 14. 6 x 2 1 x : 4 x 2 1 6 x x x 1 2 + −       − − − + + 15. x 3 x 4 x 2 . 4 x 2 x 1 2 x x x 1 2 2 − +       + − − − + − 16. x 6 9 x 3 . 3 x 2 x 2 x 3 x 3 4 2 + +       − + + − − 17.       + − + + + + − − 2 x 2 1 2 x 3 x 3 x 8 x 2 2 x x 2 2 18. 3 x 3 2 x 6 x 6 4 3 x 6 x 3 x 3 2 + − + − + + 19. 3 x 2 4 x 2 6 x 4 2 9 x 4 1 x 2 − + − − − +

20.- a

4º ECUACIONES DE 1º GRADO CON UNA INCÓGNITA

Procedimientos

Se trata de encontrar un número real que verifique una igualdad. Para ello las operaciones que se hagan a un lado de la igualdad también se deben realizar al otro lado para que se mantenga la igualdad

Ejemplo1: Resolver 2(x-3) +3(x-5) = 4x-7 ;

1º Operamos los paréntesis ; 2x-6 +3x -15 = 4x -7 ;

2º Se pasan aun lado del signo igual todos los términos con x y al otro los términos sin x y se opera.: 2x+3x-4x = -7+6-15 ; x= -16

Ejemplo 2: Resolver 6

1 x 2 3 5 27 x 4 2 18 3 x 2 − − = − − − ; 1.- el MCM de los denominadores es 54

54       ₋ − =       − ₋ − 6 1 2 3 5 54 27 4 2 18 3

2x x x

; 3(2x-3) – 2(2 – 4x) = 18.5 – 9(2x – 1) 6x – 9 –4 + 8x = 90 – 18x + 9

2.- Se pasan aun lado del signo igual todos los términos con x y al otro los términos sin x y se opera. 6x + 8x + 18x = 90 + 9 + 9 + 4; 32x = 112

3.- Se despeja x y se da la solución. x = 2

7 32 112 = 36 x 2 9 x 10 12 x 9 x 12 ) 14 2 1 x 3 4 1 x 5 2 3 x 4 1 x 2 ) 13 6 11 x 5 4 x 4 1 4 x 3 3 x 10 ) 12 10 1 x 2 2 x 1 6 2 x 5 3 x 8 x ) 11 8 4 x 9 x 6 8 x 3 4 4 x x 9 ) 10 2 2 x 1 x 2 5 x 6 x 8 1 x ) 9 4 5 x 2 8 1 x 16 8 x 4 x 4 x 2 ) 8 5 x 6 2 x 9 5 1 x 2 x 7 5 x 5 x ) 7 6 2 x 3 1 x 3 3 2 x 12 8 x 5 1 x ) 6 2 x 12 9 x 8 4 x 4 6 21 x x ) 5 8 1 x 4 17 x 3 7 8 11 x 2 2 5 x 4 7 x 3 ) 4 6 3 x 3 x 5 3 x 6 3 x 3 x 6 x 2 ) 3 10 1 x 6 1 x 10 x 4 5 1 x x 2 ) 2 6 5 x 4 4 1 x 3 2 x x 9 ) 1 − − + = + + + − − = + − − + + − = + − + + − − = − − − + − + + + = − − − − − − = + − − + + − + − = + − − + − + + + − = + − + + − + + + = − − − + + + + = − − + + − − − − + = − − − + + + + − + + = − − − + − + + = − + − − − + + = + −

5º PROBLEMAS DE ECUACIONES DE 1º GRADO CON UNA

INCÓGNITA

1º La diferencia entre un número y la tercera parte del anterior es 1. Calcúlalo

2º El mástil de una bandera mide 9,10 m y se parte en dos trozos. El mayor mide 80 cms más que el otro. Calcula la longitud de cada trozo.

3º La suma de las edades de los cuatro miembros de una familia es 104 años.. El padre es 6 años mayor

que la madre, que tuvo dos gemelos a los 27 años. ¿Cuál es la edad de cada uno?

4º Una niña tiene 7 años. Cuando alcance la edad de su madre la suma de ambas edades será 104 años.

¿Cual es la edad de la madre?

5º En una caja hay 72 bolígrafos negros, rojos y azules . Sabiendo que el número de bolígrafos negros

es

5 veces el de rojos y la suma de negros y rojos es el doble que azules ¿Cuántos hay de cada tipo?

6º Reparte 300 € entre tres personas de manera que la segunda reciba 16 € más que la primera y la tercera 28 más que la segunda.

7º Antonio tiene 56 años ¿Qué edad tiene su hijo Luis si hace dos años su padre le triplicaba la edad?

8º El precio de un libro coincide con un tercio de lo que vales más un cuarto de lo que vale más 5 €. ¿ Cuánto cuesta el libro?

9º Calcula un número sabiendo que su mitad es 63 unidades menos que su doble.

11º Rosa ha comprado dos CD de música que ayer se vendía al mismo precio, pero hoy se encuentra que uno está rebajado el 10 % y otro el 15%. Así se ahorra 3 €. ¿Cuánto costaban originalmente?.

12º La construcción de una carretera entre dos pueblos se inicia a la vez por ambos extremos. Al cabo de un mes, lo construido por un extremo es 3 / 4 de lo construido por el otro, y faltan 4200 m que es el doble de lo que se ha hecho. ¿Qué longitud tiene la carretera?

13º Antonio tiene 15 años y su madre 42. ¿Cuántos años han de transcurrir para que la edad del hijo sea la mitad que la de la madre?

14º Hallar dos números sabiendo que su suma es 52 y que uno es el triple de otro.

15º Las edades de un padre y una hija suman 32 y dentro de 8 años la edad del padre será el triple que la de la hija hallar la edad de cada uno.

16º ¿ Qué hora es si la parte que queda del día equivale a los 5/7 de la parte que ya ha transcurrido?.

17º. Un padre tiene 32 años y sus hijos 8 y 6 años respectivamente. ¿Cuántos años han de transcurrir para que la edad del padre sea igual a la suma de las edades de los hijos?

18º Padre tiene 44 años y su hijo 20 ¿Cuánto tiempo ha pasado desde que la edad del padre era el cuádruple de la edad del hijo?

19º Un padre tiene 49 años y su hijo 21 ¿Cuantos años hace que la edad del padre era el triple que la del hijo?

20º Antonio tiene 3 años más que Bernardo y esta 9 años más que Carlos. Calcular la edad de cada uno sabiendo que suman 39 años.

21º La suma de las edades de tres personas es 100 años. La de en medio tiene 10 años más que la más joven y la edad de la mayor es la suma de las edades de las otras dos. Hallar la edad de cada una.

22º La fortuna de un padre se reparte entre tres hijos, dando al primero la cuarta parte, al segundo las dos terceras partes y al tercero 4500 €. Calcular el capital y lo que le corresponde a cada hijo.

23º En una familia trabajan todos. El padre gana el doble que el hijo y la madre las 2/3 partes que el hijo. En un mes han ganado 1800 € ¿ Cuánto gana cada uno?

24º A tiene 3 años más que B y este 9 más que C . Calcular la edad de cada uno sabiendo que suman 39 años.

25º Sabiendo que se han comprado 12m de tela y que si el metro costase 3 € , se hubiesen podido comparar con el mismo dinero 4m más , hallar el precio del metro.

26º Si se repartiera una pieza de tela entre 8 personas sobrarían 2 metros; pero si las personas fueran sólo 7 a cada una le corresponderían un metros mas y sobraría un metro. Hallar su longitud.

27º De un bidón de aceite se extrae la quinta parte de su contenido, después las dos terceras partes de lo que quedo y aún sobran 4 litros¿ Cual es el contenido inicial del bidón?

28ºCalcular la longitud del lado de un cuadrado, sabiendo que si se añadieran 2 cms más a cada lado ,el área del cuadrado resultante sería 32 cm2

29º Calcular la edad de una persona sabiendo que si al triple de su edad le resto el cuádruplo de la que tenía hace 10 años , resulta su edad actual.

6º ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Completa

Incompleta falta b

Incompleta falta c

y=ax2_{-bx+c ax}2_{+c=0 x}2_+bx=0

x= 2a

ac 4 b

b± 2 −

−

x= a

c

−

± x=0 y x=-b/a x(x+b)=0

1º Resuelve las siguientes ecuaciones. Aplicando la fórmula

1) x2 _{– 5x + 6 = 0 .- 2) x}2 _{– 10x + 9 = 0 3) x}2 _{– 8x + 15 = 0} 4) x2 _{+ 12x + 32 = 0 5) x}2 _{– 9x + 8 = 0 6) x}2 _{– 2x - 15 = 0}

7) x2 _{– x - 2 = 0 8) x}2 _{- 3x - 10 = 0 9) x}2 _{- 3x - 10 = 0}

10) x2 _{– 7x + 6 = 0 11) x}2 _{– 7x + 12 = 0 12) x}2 _{– 4x - 12 = 0}

13) x2 _{- 6x + 5 = 0 14) x}2 _{– 3x - 4 = 0 15) x}2 _{+ x - 2 = 0}

16) x2 _{– 9x + 20 = 0 17) x}2 _{- 5x + 4 = 0 18) x}2 _{– 2x - 3 = 0}

19) x2 _{+ 7x + 12 = 0 20) x}2 _{– 4x + 3 =0 21) x}2 _{- 5x - 6 = 0}

2. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas:

1) 2x2 _{– x = 0 2) 2x}2 _{– 3x = 0 3) x}2 _{+ x = 0 4) x}2 _{– 5x = 0 5) x}2 _{+ 9x = 0} 6) 2x2 _{– 5x = 0 7) x}2 _{– 6x = 0 .- 8) x}2 _{+ 2x = 0 .- 9) x}2 _{+ 8x = 0 10) x}2 _{- 2x = 0}

11) 2x2 _{– 7x = 0 12) 3x}2 _{– x = 0 13) 4x}2 _{+ 7x = 0 14) x}2 _{+ 7x = 0 15) x}2 _{- x = 0}

16) x2 _{+ 3x = 0 17) 3x}2 _{+ 5x = 0 18) x}2 _{- 3x = 0 19) 5x}2 _{– x = 0 20) 5x}2 _{- 4x = 0}

21) 3x2 _{– 2x = 0 22) x}2 _{– 4x = 0 23) 5x}2 _{- 2x = 0 24) 3x}2 _{– 4x = 0 25) x}2 _{- 7x = 0}

26) x2 _{– 1 = 0 27) 4x}2 _{– 1 = 0 28) 9x}2 _{– 1 = 0 29) 16x}2 _{– 25 = 0 30) 9x}2 _{– 16 =0}

31) x2 _{– 4 = 0 . 32) 16x}2 _{– 1 = 0 33) x}2 _{– 9 = 0 34) 4x}2 _{– 9 =0 35) 4x}2 _{– 49 = 0}

36)16x2 _{– 49 = 0 37) 25x}2 _{– 16 = 0 38) 16x}2 _{– 9 = 0 39) 49x}2 _{– 1 = 0 40) 25x}2 _{– 1 = 0}

3.- Operar y realizar las siguientes ecuaciones de segundo grado 0

32 4

) º

1 x2 − x=

21 ) 2 ( 3 ) º

2 x2 − =

2 2 _{1 1}

2 ) º

3 x − = −x−x

1 6 1 5 ) º

4 = −

   

 +x x

x

0 5 ) º 5 x2 =

6 1 3 1 2 1 2 ) º 6 2 x x x − = − − −

7º) (x+1)2 _{= 4}

8º) (x+4)(x-3)=-12 9º) (1-2x)2 _{= 1}

10º) (2x-1)(x+3)=0

11º)

1

2 = −

+ x

x x

12º) (x+1)2_+(x-1)2₌₁

13º) 3x(3x-2)=1 14º) (2x-3)2_=8x

15º) 1 1 + = − x x x

16º) 5x(x+4) =0 17º) 3(x-5)2_-75=0

18º) (4x-1)(2x+2)=12 17º) 11(x-1)2_=(2x-3)2 _+4x2₊₁

19º) (3x-) 2 1 (3x+ ) 2 1

-2x=8x2_-1

20º) (x+1)(x-1)(x+2) =x3_-x2₊₈

21º) x(x-1)+1= 3 ) 1 2 ( 6 5 −

+ x x

22º) 1 16 2 x 8 3 x 4 x 2 = + + + −

23º) x 4

24 2 8 x 8 x − = − − +

24º) x 1

1 6 1 x 1 + = −

25º) x 1

2 5 2 x + = −

26º) x x 1

1 3 x x 4 6 2 2 _{+ −} = _{+ −}

27º) 1 2 1 x 4 x 1 8 x

x 2 2

− + = − − + 28º) 1 4 4 x 2 x 3 2 = + − 29º) 2 9 2 x 2 2 x 1 = + + +

7 º BICUADRADAS Y DE ORDEN SUPERIOR

Procedimiento:

Se hace el cambio de variable x2 _{= y; x}4 _{= y}2_{, y se resuelven como las ecuaciones de 2º} grado. Al terminar se deshace el cambio de variable.

Ejemplo: x4 _{– 6x}2 _{+ 5 = 0; x}2 _{= y; y}2 _{– 6y + 5 = 0;}

y = 

   ± = = = ± = = = = ± = − ± 1 ; 1 x ; 1 5 ; 5 x ; 5 2 4 6 2 20 36 6 2 2 x y x y

Resolver las siguientes ecuaciones bicuadradas:

1. x4_-5x2 ₊₄₌₀

2. x4_-8x2 _-9=0

3. x4_-25x2 ₊₁₄₄₌₀

4. 36x4_-13x2 ₊₁₌₀

5. x4_+4x2 ₊₃₌₀

6. x4_-13x2 ₊₃₆₌₀

7. x4_-26x2 ₊₂₅₌₀

8. 4x4_-17x2 ₊₄₌₀

9. 9x4_+5x2 _-4=0

10.144x4_-25x2₊₁₌₀

11.(3x2_+3)(x2_-5)=-15

12.(x2_-5)(x2_-3)=-1

13.x4−29x2+100=0

14.9x4+16=40x2

15. 2

2

x 225 x

34− =

17. 0 72

16 x 9 x

2 2

2 =

− −

− 18. 4 0

1 4 5 2 4 − + =

x x

Ecuaciones de grado superior Procedimiento:

Se obtienen soluciones por el método de Ruffini hasta obtener una ecuación de segundo grado que se resuelve utilizando la fórmula.

Ejemplo: 8x4 _{– 6x}3 _–7x2 _{+6x –1 = 0}

8x2_-6x+1=0 2

1 16

8 ₌

x= =

± = − ±

16 2 6 16

32 36 6

4 1 16

4

=

Soluciones:1, -1, 1/2, 1/4

Resolver las siguientes ecuaciones de grado superior: 1 6x3 _{+ 5x}2 _{-2x -1 =0}

2. 2x3_-x2_{-8x+4 =0}

3. 6x3_{- 17x}2_+11x-2=0

4. 3x3_+x2_-12x-4=0

5. 2x4_-9x3_+6x2_+11x-6=0

6. 3x4_+5x3_-10x2_-20x-8=0

7. 3x4_+7x3_+x2_-7x-4=0

8. 2x3_-3x2_-2x+3=0

9. 12x4_-x3_-49x2_+4x+4=0

10. 4x4_-20x3_+15x2_+45x-54=0

11. 6x4_+17x3_-8x2_-27x+18=0

12. 9x4_-36x3_+26x2_+4x-3=0

13. 9x4_-36x3_+26x2_+4x-3=0

14. 5x3_-x2_-5x+1=0

15. x6 −19x3 = 216 16.x8 −x4 −240=0

17

3 2 4

2 4

x x x x

− = −

18

3 3 2 2

2 2 4

4

2

2 2

4 −

= − + +

− x

x x

x

19.

4 2

2 3

3 6 3

2

2x + x +x − x −x = x

20.

3 3

2 2

3 2 2 3 2

3 x x

x x x

x + + = + −

21.

(

4

)

5

(

4

)

4 0

2 2

2 − − ⋅ − + =

x x

22. 3

2 2

2 2 4

4 2 ₂ 2

4 +

− = + +

− x

x x

x

23

3 2 2

2 2 4

4 2 ₂ 2

4 ₊

− = + +

− x

x x

x

24

3 3

3

2 3

2

2 x x x

x x

x + − =

+ +

25.

4 2

2

3 ₃

6 3

2

2x + x +x − x −x = x

26. ₂ 4 ₂ 3 5 ₂

2 2

2 x x x +x = x −x −x+x

  

 _{− −}

8º ECUACIONES RACIONALES

Ecuaciones en las que la incógnita aparece en el denominador de una fracción. Normalmente Se resuelven reduciéndolas a común denominador mediante el mínimo común múltiplo, o bien en el caso de que exista una única fracción en cada miembro de la igualdad se podría multiplicar en cruz

1.

8 -6 -7 6 -1

1 8 2 -5 1

8 2 -5 1 0

-1 -8 6 -1

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9. 1

2 x

x 1 x

x

= − + +

10. 3

2 ₃ 3

x x x

x =

+ −

11.

12.

3 1 6

3 4

5

x x2− 2 =

13.

3 1 1 3 1

+ − =

x x x

14.

3 4 1₌

+ x x

15.

16.

17. 0

9 28 4

32 2 2

= − + −

x x

18. _20₃x−1_⋅x−19_{3 }₃4x−1₅_=0

19. 1 6 1 6= 24

  

  _{− +} ⋅

   



 _{+ +}

x x x x

20. 12

1

2 1 1 1

=

+ −

x x

21. 1

1 1

3 − =

+ −

− x

x x

x

22.

23. 2

4 x 4

x 3 2

x 6 x

x2− + =

− − +

24. 1

9 7 4 3 7 3

4 ₌ + ₋

− − −

+ x

x x x

25.

1 5 1 2 6 1

2 1

2 2

2− _x+ + _x + _x+ = _x −

x

26.

6 6 3

4

1 ₂

− − = − − −

x x x

x

27. 2 ₁₁6 3₄ 22_{3 44}9 11₄

2

2 x x x x

x − − = − −

28. 1

2 3

4 6 2 2 1

2 2

− = + +

+ − − + +

x x

x x x

x

29.

x x x

x x

x x

+ = + + −

− −

2 2

3 2

15 6

30.

₍

₎

2 5

13 2

1 3 4 3 2

2 + = −

+ + − −

x x

x

9º ECUACIONES CON RAICES

Procedimiento: Si la ecuación tiene una raíz se deja en un lado de la igualdad y se eleva al cuadrado, para quitar la raíz.

Ejemplo: 3 9+x −15=2x+1

1) _{Se deja la raíz sola a un lado del signo =.} 3 9+x =2x+16 2)

Se elevan los dos términos de la igualdad al cuadrado.

(

)

(

)

2 2

16 2 9

3 +x = x+

9(9 + x) = 4x2 _{+ 216 + 64x}

Se termina resolviendo como una ecuación normal. 81 + 9x = 4x2 _{+ 216 + 64x}

4x2 _{+ 55x –135 = 0;}

Procedimiento: Si la ecuación tiene dos raíces se deja una de ellas en un lado de la igualdad y se eleva al cuadrado, para quitar la raíz. Después se vuelve a proceder igual.

Ejemplo: 2x−1+ x+4 =6

1) Se deja una raíz a cada lado del signo =. 2x−1=6− x+4 2)

Se elevan los dos términos al cuadrado.

(

) (

)

2 2

4 6

1

2x− = − x+

4 12 ) 4 ( 36 1

2x− = + x+ − x+

3) Se deja la raíz que queda sola un lado de la igualdad. 2x – 1 – 36 – (x + 4) = -12 x+4; x – 41 = -12 x+4 4)

Se vuelve a elevar al cuadrado.

(

)

(

)

2 2

4 12

41 = − +

− x

x

) 4 ( 144 82

1681

2 + − _x= _x+

x

Se termina resolviendo como una ecuación normal. x2 +1681−82x−144x−576=0; x2 _{+ 226x + 1105 = 0 (resolver)}

Resolver las siguientes ecuaciones radicales:

1. x−2=2 2. 1−x =1 3. 3−2x =3 4. x2 −1=x−1 5. x2 −7 =x−5 6. x+ 2x2 +16 =4 7. 2x+1+ x2−x+3=0

8. x=2+ x 9. −3+ x =9−x 10.

2+2(x-1)=5 x−1 11. x− 25−x2 =1 12. 2x+1+ x2−x+3 =0

13. 9−x −11=x 14. x−1−x+7=0 15. 2+ x−5=13−x 16. (2−x)(1−x) =x−1

17.

2 7 5

27+x− = x−

18. x+3+ 2x+4 =1 19. 2x+1+ 3x+4 =1 20. 6 x =x x−5 21. 36+x =2+ x 22. x + x−5=5 23. x + x+3=3 24. x + x−5=5

25. x + x−2=2 26. x−2− x−14 =1 27. x+2 − x−1=1 28. x−1+ x−6=5 29. 2x−1+ x−1=5 30. 3x+1− 2x−1=1

31. x+2 + 2x+2=1

32.

3 3 6 3

+ = + + +

x x

x

33. x

x x

x x

= − − + −

+ 2 2

2 2

2 2

36. x+4=3− x−1 37. 2 x−3+ 4x−1=1

38.

3 x

3 6

x 3 x

+ = + + +

39. x−9 − x −18=1

40. x+4=3− x−1 41. x+5+ 2x+8=7 42. 2x−1=6− x+4 43. 5− x = 1+2x 44. 9−x− 6−x = 3

45. x+3+ x−2=5 46. 2x+7− 3+x =1

10º SISTEMAS DE TRES ECUACIONES CON TRES

INCÓGNITAS

x + y + z = 7 1º x + 2y – z= 3 2x – y +2z=8

x + y – z = 3 2º 2x- y +3z=5 4x+2y-2z=10

x -2y + z = -1 3º 2x+ y-3z =8

3x -2y+ 2z=2

x +2y -2 z = 1 4º 2x+ y +z =1

5x+ y- 3z=-6 x=2 ; y=2 ; z=3 x=2 ; y=2 ; z=1 x=2 ; y=1 ; z=-1 x=-1 ; y=2 ; z=1 x -2 y +2 z = -6

5º 2x -4y +3z= -11 3x – y - z = 4

x + y - z = 1 6º 3x + y -z=3 2x + y-3z=0

x - y + z = 3 7º 2x+ 3y-2z =-2

3x -4y+ 2z =7

x +2y -4z = 4 8º 5x -3y +z =7

3x+ y- 2z= 7 x=2 ; y=3 ; z=-1 x=1 ; y=1 ; z=1 x=1 ; y=0 ; z=2 x=2 ; y=1 ; z=0 x – y – z = 1

9º 3x – y + z= -1 7x + y +z=7

4x +3y -2z = 5 10º 2x- 4y +7z=5 3x -4y +2z=1

2x +3y- z = 3 11º 3x+ 2y-z =3

5x +3y+ z=10

2x +y + z = -3 12º 3x+4y +2z =-1

-5x+2y- 4z=-21 x=1 ; y=2 ; z=-2 x=1 ; y=1 ; z=1 x=1 ; y=1 ; z=2 x=-1 ; y=2 ; z=-3 3x -2y +z = 16

13º 2x +4y – z= -10 -7x + 2y +3z=-14

x + y + z = 5 14º 2x- 4y +3z=1 3x +7y -2z=2

x +3y- z = 2 15º 3x+ 2y-z =3

4x +3y+ z=9

5x -2y +z =-15 16º 2x+2y –z =1

4x -3y- 2z=-26 x=2 ; y=-3 ; z=2 x=0 ; y=2 ; z=3 x=1 ; y=1 ; z=2 x=-2 ; y=4 ; z=3 4x –y -z = 8

17º x + y -5z= -10 4x + y +2z=10

x +2y +2z = 5 18º 3x- y +2z=4 4x + y -3z=2

2x – y- z = 2 19º 4x+ y-2z =0 3x – y+ 2z=6

4x+2y +4z =18 20º 2x+ y + z =5

6x –y- 3z=3 x=2 ; y=-2 ; z=2 x=1 ; y=1 ; z=1 x=1 ; y=-1 ; z=1 x=2 ; y=-3 ; z=4 x + y + z=14

21º x – y + z = 22 -x + y + z =2

x + y + z = 1 22º 3x + y -z=3 2x+2y-3z=7

x + y + z = 5 23º 3x + y -z=-5 2x+3y+2z=14

x + y + z = 4 24º x +3z=0

3x+2y=13 x = 6; y= -4; z= 12 x =0; y=2; z=-1 x=-2 ; y=4 ; z=3 x=3 ; y=2 ; z=-1 x + y - z = 4

25º x + 2y – z= 6 2x – y +2z=-2

x + 2y – z = -4 26º 2x+3y +3z=-1 4x+ y-2z =0

x -2y + z = 0 27º 2x+ y -3z =10

3x -2y+ 2z=5

x +2y -2 z = -5 28º 2x+ y +z =1

5x+ y- 3z=0 x=1 ; y=2 ; z=-1 x=1 ; y=-2 ; z=1 x=3 ; y=1 ; z=-1 x=1 ; y=-2 ; z=1 x -2 y -2 z = 4

29º 2x +4y +3z= 6 3x -2y -3z = 10

x +2 y + z = 4 30º 3x + y -z=3 2x+3y-3z=2

x - y + z = 3 31º 2x+ 3y-2z =-3

3x -4y+ 2z =9

x -2y -4z = -12 32º 5x -3y +z =17

3x+ y- 2z= -3 x=4 ; y=-2 ; z=2 x=1 ; y=1 ; z=1 x=1 ; y=-1 ; z=1 x=2 ; y=-1 ; z=4

PROBLEMAS

2.- Un grupo de personas se reúne para ir de excursión, juntándose un total de 20 entre hombres, mujeres y niños. Contando hombres y mujeres juntos, su número resulta ser el triple del número de niños. Además, si hubiera acudido una mujer más, su número igualaría al del hombres. Resolver el problema.

3.- Calcular el número de monedas que tiene cada uno de los amigos José, Luis e Iván, sabiendo que si Iván diese 5 a José tendrían las mismas; si José diera 5 a Luis, éste tendría el cuádruple que José; además se sabe que Luis tiene la tercera parte del número de monedas que poseen los tres. 4.- Un frutero lleva al mercado 8 kg de manzanas, 10 de peras y 15 de naranjas, y lo vende todo ello en 34 €. Otro lleva 10 kg de manzanas, 12 de peras y 10 de naranjas, cobrando por todo 31.6 €. Un cliente compra 1 kg de cada clase de fruta y paga 2 €. ¿A cómo estaban los precios de cada clase de fruta aquel día?

5.- Se dispone de un recipiente de 24 litros de capacidad y de tres medidas, A, B y C. Se sabe que el volumen de A es el doble del de B, que las tres medidas llenan el depósito y que las dos primeras lo llenan hasta la mitad. ¿Qué capacidad tiene cada medida.

6.- Se juntan 30 personas entre hombres, mujeres y niños. Se sabe que entre los hombres y las mujeres duplican al número de niños. También se sabe que entre los hombres y el triple de las mujeres exceden en 20 al doble de niños. Plantear un sistema de ecuaciones que permita averiguar el número de hombres, mujeres y niños. Resolver el sistema de ecuaciones planteado.

7. Cierto estudiante obtuvo, en un control que constaba de 3 preguntas, una calificación de 8 puntos. En la segunda pregunta sacó dos puntos más que en la primera y 1 punto menos que en la tercera. (a) Plantear un sistema de ecuaciones para determinar la puntuación obtenida en cada una de las preguntas. (b) Resolver el sistema

8.- Tres estudiantes desean regalar una calculadora gráfica de 160 € a un amigo. Deciden reunir esa cantidad de la siguiente forma: Pedro aportará el triple de lo que aporten los otros dos juntos. Juan aportará tres euros por cada dos que aporte José. ¿Cuánto debe pagar amigo?

9.-Si la altura de Cándido aumentase el triple de la diferencia entre las alturas de Pedro y Jaime, Cándido sería igual de alto que Jaime. Las de los tres suman 515 cm. Ocho veces la altura de Pedro es lo mismo que nueve la de Cándido. Halla la medida de cada uno

11º SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES

1º) x+y=20 xy=64

2º) x-y =21 xy=100

3º) x+y=5 x2_-xy=-3

4º) x2_+y2_+x-5y=24 X+y=7

5º) x2_-y2₌₉ xy=20

6º) x2_+y2₌₂₅ x+y=7

7º) x2_-y2₌₅₉ x2_+y2₌₁₄₉

8º) x + 2/ y =1 1+ 1/x =6

9º) y2_=x2_-5 3y-x=3

10º) x+y=7 x.y=12

11º) x=2y x2_+y2₌₂₀

12º) x+y =13

x- y=1 13º) y2_+xy=5

x2_+xy=20

14º) x2_+y2₌₈ x-y =0

15º) xy=12 x-y=1

16º) x2_-2y2_+2y-1=0 x-y = 1 17º) x-y=1

x+ y=5

18º) x+ y=15 x-y = 105

19º) xy=165 x2_-y2₌₁₀₄

20º) xy=182 x+y =27

21º) x + y =16 x2_-y2 ₌₃₂

22º) 2x+y=3 x2_+y2₌₂

23º) x-y =1

x- y=5

24º) x-y =10+ xy xy =36 25º) x y =6

1/x +1/y =5/6

26º) x2_-2y2₌₇ 3x2_-5y2₌₃₀

27º) xy=6 x2_-y2₌₅

29º) xy=12 2x2_-3y2₌₅

30º) x2_+3xy=0 2x-y=-1

31º) x2_+y2₌₁₇ (x-y)2_{= 9}

32º) x+y =26

x+ y=18 33º) (x-y)2₌₁

x2_-y2 ₌₄

34º) 2x+y2₌₅ 5x=9+y

35º) x2_+y2_+3x+y=20 x-y=2

36º) xy=24 x2_-y2₌₅₅ 37º) 6x+y=2

x2_{-y =0}

38º) x2_{/25 + y}2_/9=1 x+2y=4

39º) xy = 6 6x+y=9

40º) 2x-y=4 x2_+y2₌₁₃

12º PROBLEMAS ECUACIONES DE 2º GRADO, BICUADRADAS,

ECUACIONES CON RAICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES DE

2º GRADO

1. Hallar dos números naturales cuya diferencia es 8 y cuyo producto es 105 2. Dos números suman 52 y sus cuadrados 1354. Hallarlos.

3. Dos números suman 22 y la diferencia de sus cuadrados es 44. Halla estos números 4. Dos números suman 65 y la diferencia de sus cuadrados es 325. Calculados

5. Halla dos números cuya suma es 15 y la de sus cuadrados 117

6. Las medidas de los lados de un rectángulo son 3 números impares consecutivo, Hallarlos

7. ¿Qué número supera en 6 unidades a su raíz cuadrada?

8. Hallar un número tal que restándole su raíz cuadrada se convierte en 72 9. Hallar un número tal que sumándole su raíz cuadrada se convierte en 90

10.Hallar un número positivo tal que la raíz cuadrada de su triplo aumentado en 18 , exceda en 1 a la raíz cuadrada de su doble aumentado en 13.

11.La suma de dos números es 34 y la diferencia entre sus raíces es 2. Hallarlos. 12.La suma de dos números es 80 y la suma de sus raíces cuadradas es 12. Hallarlos 13.La diagonal de un rectángulo mide 16 cms. Y el perímetro 68 cms. . Hallar las

dimensiones.

14.La suma de dos números enteros positivos es 36. El producto del primero, aumentado en 3, por el

15.segundo aumentado en 2, es 408. ¿Cuáles son dichos números

16.Calcular las dimensiones de un rectángulo sabiendo que su diagonal es 17 y su superficie 120.

17.La suma de los cuadrados de dos números positivos es 125. Calcularlos sabiendo que su diferencia es 75

18.Un cuadrado tiene 44 m2 más de área que otro, y éste dos metros menos de lado que el

primero. Hallar los lados de los dos cuadrados

19.Para vallar una finca rectangular de 600 m2 se han utilizado 100 m de cerca. Calcula las dimensiones de la finca

20.Un rectángulo de área 60 cm2_{; tiene una base 7 cm más larga que su altura. Hallar sus}

dimensiones.

21.El área de un rectángulo mide 48 cm2 _{y la diagonal 10 cm. ¿Cuánto miden sus lados?}

22.Las dimensiones de un ortoedro son 3 números consecutivos. Si el volumen es 1320 cm3 _{¿Cuáles son dichas dimensiones?}

23.Hallar tres números consecutivos tal que su producto sea 5 veces la suma. 24.El perímetro de un rectángulo es 40 y su superficie 38400m2 _{. Calcular las}

dimensiones.

25.Las diagonales de un rombo suman 20 cms. Y su área es 42 cm2_{. Calcular el valor del}

lado

26.Los lados de un triángulo rectángulo son tres números pares consecutivos. Calcularlos.

27.La suma de las áreas de dos cuadrados es 1300 m2 _{y su diferencia es 500 m}2 _{. Hallar}