División de Estudios de Posgrado
Maestría en Modelación Matemática.
Nociones de Transitividad Topológica en Productos Simétricos
Generalizados
Tesis
que para obtener el grado de
Maestra en Modelación Matemática
presenta
Anahí Rojas Carrasco
Directores de tesis:
Dr. Franco Barragán Mendoza
Dr. Sergio Macías Álvarez
Una vez un hombre dijo que las matemáticas eran como la música, escuchar las notas de cierta melodía puede cambiar en un instante una noche por el día. Pero si al hacer sangrar las yemas de tus dedos pasando de SOL a DO siguiendo el trabajo de un gran compositor, entonces podría uno mismo construir un refugio para los enamorados. Y qué diera yo por poder sanar el alma del desdichado, uniendo las notas que una noche escuché en el silencio de mi más profundo ser.
Desde que inicié este largo camino que aún no termino de recorrer, uno de los sueños por el que desde entonces he luchado, es el de poder contribuir al engrandecimiento de la matemática y que en algún momento en alguien resuenen las enseñanzas que grandes personas me han brindado. Con este trabajo he avanzado tan sólo una pequeña parte de todo el camino que me queda por recorrer y quisiera agradecer a las personas que formaron parte de su elaboración.
A mis padres, Rosario Maribel y Naguib Guadalupe, porque por cada uno de mis sueños cumplidos, ellos han tenido que renunciar a más de dos.
A mis hermanos, Janecxi, Lenin, Yesenia y Diana Laura, que desde lejos me han estado apoyando siempre.
Al Dr. Franco Barragán Mendoza, porque nunca me dejó sola en la elaboración de este trabajo y siempre ha estado al pendiente de que no muera en mí el placer por descubrir todo lo que encierra esta bella área.
Al Dr. Sergio Macías Álvarez, por su apoyo y su confianza a lo largo de la elaboración de este trabajo.
Escribo cinco líneas y los puntos, seguidos de un “ entonces” me acer-can al final. Escribo otras diez y una coma después de un “por lo tanto” revelan que un épsilon positivo también es negativo. De los grandes he aprendido que no hay que detenerse ni temerle a la verdad.
Prefacio IX
1. Dinámica topológica 1
1.1. Notaciones y conceptos básicos . . . 1
1.2. Iteración de funciones . . . 18
1.3. Órbitas . . . 20
1.4. Análisis gráfico de órbitas . . . 24
1.5. Tipos de sistemas dinámicos discretos . . . 29
1.6. Tres funciones: tienda, logística y rotación irracional . . . 39
1.7. Sistemas dinámicos discretos en la modelación matemática . . . 50
2. Otras nociones relacionadas a la transitividad topológica 55 2.1. Definiciones . . . 55
2.2. Relaciones en General . . . 58
2.3. Condicionando al espacio fase . . . 61
2.4. Condicionando a la función . . . 65
3. Propiedades del producto simétrico 71 3.1. Topología de Vietoris . . . 71
3.2. Propiedades topológicas . . . 78
3.3. Dinámica colectiva . . . 85
4. Transitividad topológica en productos simétricos generalizados 89 4.1. Tipos de transitividad más conocidos . . . 89
4.2. Otras nociones relacionadas con la transitividad topológica . . . 99
4.3. Otras nociones de transitividad topológica . . . 102
Conclusiones 107
Referencias 109
Índice alfabético 111
El tema de la tesis se encuentra dentro de las ramas de la matemática conocidas como Topología y Sistemas Dinámicos. En varios fenómenos de la naturaleza, y en la mayoría de las actividades del hombre, el movimiento de los objetos juega un papel imprescindible. La parte de la matemática que se encarga del estudio del movimiento de los objetos y su evolución a través del tiempo se le conoce como Sistemas Dinámicos. De manera intuitiva, un sistema dinámico es un fenómeno de la naturaleza, un sistema físico o un espacio de puntos, cuyo estado evoluciona con el tiempo mediante una ley determinada. Si el tiempo se considera continuo se dice que es un sistema dinámico continuo; por otra parte, si el tiempo se considera o se mide en lapsos, se dice que es un sistema dinámico discreto.
En los últimos 30 años los sistemas dinámicos discretos han tenido un gran desarrollo, obteniendo de esta manera un gran número de publicaciones, pues son muy útiles para modelar diversos problemas de otras ciencias, como en: química, física, biología, medicina y economía, vea [8], [9], [15] y [24]. Por otra parte, además de estudiar la dinámica de los objetos de manera general, podemos analizar su comportamiento respecto a la cercanía o acumulación entre éstos o respecto a ciertos conjuntos, interviniendo de esta forma la topología. La parte de la topología que estudia a los sistemas dinámicos discretos se llama Dinámica Topológica.
En este sentido, sean X un espacio topológico y f : X → X una función. La pareja formada porX yf proporcionan un modelo matemático del movimiento, esto es, propor-cionan un sistema dinámico discreto, que denotamos por (X, f), cuyo comportamiento depende tanto def como de X.
Se han definido y clasificado varios sistemas dinámicos discretos, por mencionar algu-nos: localmente eventualmente sobreyectivos, mezclantes, débilmente mezclantes, transi-tivos, totalmente transitransi-tivos, fuertemente transitransi-tivos, caóticos, minimales e irreducibles. Varios de estos sistemas fueron introducidos para espacios métricos y han sido amplia-mente estudiados (ver [1], [10] y [24]). En [7], se muestra la relación que existe entre estos sistemas, se observa que todos estos sistemas son transitivos. Particularmente, el concepto de sistema dinámico discreto transitivo, actualmente conocido como transitividad topoló-gica, fue introducido en el año 1920 por G. D. Birkhoff [10], para espacios métricos. Desde entonces, este concepto ha sido estudiado ampliamente (ver [1] y [24]) y a través del tiem-po, esta noción ha sido generalizada a espacios topológicos. Además, se han dado otras
X ÍNDICE GENERAL
definiciones muy similares, las cuales están relacionadas o son equivalentes a la transiti-vidad topológica (ver [2] y [25]), entre éstas tenemos: órbita-transititransiti-vidad, estrictamente órbita-transitividad y ω-transitividad.
En la literatura es común encontrar el estudio sólo de la dinámica individual o puntual. Sin embargo, en matemáticas y en varios fenómenos de la naturaleza se tiene la necesidad de conocer la dinámica de un subconjunto, lo cual motiva a estudiar las propiedades dinámicas en hiperespacios. Un hiperespacio de un espacio topológico X es una colección de subconjuntos de X considerada con alguna topología. La teoría de los hiperespacios tiene sus orígenes alrededor de 1900, con los trabajos de F. Hausdorff [18] y L. Vietoris [28].
Dado un espacio topológico X y n ∈ N, entre los hiperespacios más conocidos se encuentra el hiperespacioFn(X)el cual está formado por los subconjuntos deXque tienen
a lo más n puntos. El hiperespacio Fn(X) fue introducido originalmente por K. Borsuk
y S. Ulam en 1931 para espacios topológicos, el cual denominaron el n-ésimo producto simétrico de X [11]. Este hiperespacio tuvo sus orígenes en la teoría de continuos, más tarde se analizaron en espacios métricos y posteriormente se inició su estudio en espacios topológicos, ver ([23] y [26]).
Además, sif :X →X es una función, se define la función inducida Fn(f) :Fn(X)→ Fn(X) por Fn(f)(A) = f(A), para cada A ∈ Fn(X). Se han estudiado varias clases de
funciones y su relación con sus respectivas funciones inducidas [5], [6] y [20]. También, es de resaltar que existen varios resultados en cuanto a propiedades dinámicas en hiperespacios, cuando X es un continuo [7], [16] y [20]. Recientemente, en [17], C. Good y S. Macías investigan algunas propiedades topológicas deln-ésimo producto simétricoFn(X), cuando
X es un espacio topológico de Hausdorff.
Este último trabajo, nos motivó a estudiar propiedades dinámicas, relacionadas con la transitividad topológica, de la función inducida Fn(X) en el n-ésimo producto
simé-trico Fn(X), cuando X es un espacio topológico T1, propiedades como: localmente
even-tualmente sobreyectiva, mezclante, débilmente mezclante, transitiva, totalmente transiti-va, fuertemente transititransiti-va, caótica, minimal, irreducible, órbita-transititransiti-va, estrictamente órbita-transitiva y ω-transitiva, entre otras.
Para ello, hemos organizado nuestro trabajo de la siguiente manera:
En el primer capítulo, además de presentar los conceptos básicos de topología que necesitaremos para una mejor comprensión del tema, introducimos también, los primeros conceptos relacionados con los sistemas dinámicos discretos. Se definen tipos de sistemas dinámicos más conocidos, entre éstos los transitivos. Además, en este capítulo se da una aplicación de éstos en la modelación matemática.
En el segundo capítulo se introducen otras nociones relacionadas con la transitivi-dad topológica, las cuales fueron introducidas recientemente en [25], entre éstas: órbita-transitiva, estrictamente órbita-transitiva y ω-transitiva. Analizaremos sus relaciones en general, posteriormente daremos condiciones al espacio y a la función para así obtener algunos otros resultados, como se hace en [25].
para este hiperespacio y se estudian tanto propiedades topológicas como dinámicas. Finalmente, en el capítulo cuatro, considerando un espacio topológico T1, digamosX,
y una función f : X → X, se estudia el n-ésimo producto simétrico Fn(X) y la función
inducida Fn(f), para analizar las relaciones entre f y Fn(f), cuando f o Fn(f) es: lo-calmente eventualmente sobreyectiva, mezclante, débilmente mezclante, transitiva, total-mente transitiva, fuertetotal-mente transitiva, caótica, minimal, irreducible, órbita-transitiva, estrictamente órbita-transitiva y ω-transitiva, entre otras.
Es importante mencionar que, hasta donde sabemos, el problema tratado en el último capítulo sólo se había considerado cuando X es un espacio métrico (o un continuo). No-sotros nos hemos aventurado a generalizar estas ideas, considerando espacios topológicos
Productos Simétricos Generalizados
Anahí Rojas Carrasco
Dinámica topológica
En este capítulo, presentamos los conceptos básicos que utilizamos a lo largo del desa-rrollo de la tesis. También se introducen los primeros conceptos de dinámica topológica. Se revisa el concepto de órbita, el cual es uno de los conceptos clave de nuestro trabajo. Se dan a conocer los tipos de sistemas dinámicos discretos que revisaremos y se estudia la relación de éstos con la modelación matemática.
1.1.
Notaciones y conceptos básicos
En esta sección introducimos los conceptos básicos que se utilizan a lo largo del trabajo de tesis. Además, se repasan caracterizaciones de algunos de los conceptos que revisamos, con el fin de facilitar el trabajo de demostración en resultados posteriores.
Puesto que uno de los objetivos del trabajo es generalizar algunos resultados a espacios topológicos generales, lo primero que presentamos es el concepto de espacio topológico.
Definición 1.1.1. Sean X un conjunto y P(X) la colección de los subconjuntos de X. Se dice que τ ⊆ P(X) es una topología sobre X si cumple:
(1) ∅ ∈τ y X ∈τ.
(2) Si U, V ∈τ, entoncesU ∩V ∈τ.
(3) Sea I un conjunto. Si Uα ∈τ, para cada α∈I, entonces
S
α∈IUα ∈τ.
Los elementos deτse llamanabiertos y la pareja(X, τ)la llamamosespacio topológico.
Cuatro topologías importantes son las siguientes.
Ejemplo 1.1.2. SeaX un conjunto. La colecciónP(X)de todos sus posibles subconjun-tos, define una topología paraX. Esta topología se conoce como topología discreta y a la pareja(X,P(X))como espacio discreto.
2 1.1. Notaciones y conceptos básicos Ejemplo 1.1.3. Sea X un conjunto. La colección {X,∅} define una topología sobre X. Esta topología se conoce como topología indiscreta y a la pareja (X,{X,∅}) como
espacio indiscreto.
Ejemplo 1.1.4. Sea X = {1,2}. Notemos que para este conjunto existe un total de cuatro topologías. Estas son:
τ1 ={∅, X}; τ2 ={∅, X,{1}}; τ3 ={∅, X,{2}}; τ4 =P(X).
Al espacio topológico (X, τ2) se le llama espacio de Sierpiński.
Ejemplo 1.1.5. Sean (X, τ) un espacio topológico y A ⊆ X. Al conjunto A se le da una topología denotada y definida por τA = {U ∩A : U ∈ τ}. A la topología τA se
le llama topología restringida y al espacio topológico (A, τA), se le llama subespacio
topológico de (X, τ).
Un caso particular de los espacios topológicos son los espacios métricos.
Definición 1.1.6. Unespacio métrico es un conjunto no vacíoX junto con una función
d :X×X →[0,∞), la cual satisface las siguientes condiciones: (1) Para cada x y y enX, d(x, y)≥0.
(2) Para cada x y y enX, d(x, y) = 0 si y sólo si x=y.
(3) Para cada x y y enX, d(y, x) = d(x, y).
(4) Para cada x, y y z enX, d(x, z) ≤d(x, y) +d(y, z). A esta propiedad se le conoce como la desigualdad del triángulo.
A la función d se le llama métrica enX. A la pareja (X, d) se le llama espacio métrico. Si no hay riesgo de confusión, lo denotamos simplemente por X.
Ejemplo 1.1.7. Todo espacio métrico es un espacio topológico [12, Ejemplo 2.3.6].
Definición 1.1.8. Dado un conjunto X, definimos una sucesión o sucesión infinita
de elementos de X como una función:
x:N→X.
Si x es una sucesión, representamos el valor de x en i por xi, en lugar de x(i). Además,
denotaremos a la función x como {xn}∞n=1.
Definición 1.1.9. Sean (X, d) un espacio métrico y {xn}∞n=1 una sucesión de elementos
de X. Se dice que {xn}∞n=1 converge a x ∈ X, si para todo > 0, existe un N ∈ N tal
que:
d(x, xn)< ,para cadan≥N.
En este caso, x se llama el límite de la sucesión {xn}∞n=1. Y lo denotamos por xn →x o
Definición 1.1.10. Sea (X, d) un espacio métrico. Una sucesión {xn}∞
n=1 de puntos de
X se dice que es unasucesión de Cauchy en(X, d)si tiene la propiedad de que, dado
>0, existe N ∈N tal que:
d(xn, xm)< , para todon, m≥N.
El espacio métrico (X, d) se dice que es completo si toda sucesión de Cauchy en X
es convergente.
Definición 1.1.11. Sean X un espacio topológico y A ⊆ X. Se dice que A es cerrado
enX, si X\A es abierto en X.
Sabemos que existen conjuntos que constan de un único punto, sin embargo, estos conjuntos y el espacio topológico que inducen, no tienen propiedades interesantes para nuestro estudio, es por ello que en este trabajo consideramos espacios topológicos con más de un punto. A continuación se introduce la definición formal de estos conjuntos.
Definición 1.1.12. Sea X un conjunto. Se dice que X es no degenerado si tiene más de un punto.
En un espacio topológico no degenerado, existen puntos con propiedades particula-res con las que otros puntos no cuentan. A estos puntos con propiedades especiales es importante darles un nombre especial.
Definición 1.1.13. Sean X un espacio topológico, A⊆X y a∈ X. Se dice que a es un
punto adherente deAsi para cada subconjunto abiertoV deX tal quea∈V, se cumple queV ∩A6=∅. Al conjunto de todos los puntos adherentes de A enX lo denotamos por
clX(A) y se llama adherencia o clausura de A en X. Si no hay confusión se escribe
cl(A).
Figura 1.1: Punto de adherencia de un conjunto A.
4 1.1. Notaciones y conceptos básicos
En muchas ocasiones es importante conocer las propiedades que satisface un conjunto en particular. Es por ello que en el siguiente teorema, damos a conocer las propiedades que cumple la clausura de un conjunto en general. Una prueba se puede consultar en [12, Proposición 4.3.10].
Teorema 1.1.15. Sean X un espacio topológico y E y F subconjuntos de X. Las si-guientes proposiciones son verdaderas.
(1) cl(E) es cerrado en X.
(2) Si F ⊆X es cerrado en X y E ⊆F, entoncescl(E)⊆F.
(3) Si E ⊆F, entoncescl(E)⊆cl(F).
(4) cl(E) = T
{F ⊆X:F es cerrado enXyE ⊆F}.
(5) cl(E∪F) = cl(E)∪cl(F).
(6) cl(E∩F)⊆cl(E)∩cl(F).
La prueba del siguiente resultado se puede consultar en [27, Teorema 17.4]
Teorema 1.1.16. SeanX un espacio topológico y B ⊆A⊆X. Se cumple que:
clA(B) = clX(B)∩A.
Existen, además, subconjuntos para los cuales se cumple que su clausura contiene a todo el espacio. A estos conjuntos les daremos un nombre especial.
Definición 1.1.17. Sean X un espacio topológico y E ⊆X. Se dice que E esdenso en
X si clX(E) =X.
Ejemplo 1.1.18. En el espacio euclidiano R, el conjunto de los números racionales Q y el de los números irracionales I son densos en R [12, Ejemplo 4.4.3].
Una caracterización importante de los conjuntos densos es la siguiente [12, pág. 173].
Teorema 1.1.19. Sean X un espacio topológico y E ⊆X. E es denso enX si y sólo si para cada U ⊆X abierto en X y diferente del vacío, se cumple queU ∩E 6=∅.
Otras propiedades que satisfacen ciertos puntos de un espacio topológico son las si-guientes.
Definición 1.1.20. SeanX un espacio topológico,A ⊆X ya∈A. Se dice que el puntoa
es unpunto interior deAsi existe un subconjunto abiertoV deXtal quea∈V ⊆A. Al conjunto de los puntos interiores de Alo denotamos por intX(A) y lo llamamosinterior
Figura 1.2: Punto interior de un conjuntoA.
Ejemplo 1.1.21. Sea X ={1,2,3} con la topologíaτ ={∅,{2},{1,2},{2,3},{1,2,3}}. Luego, el punto 2 ∈ X es un punto interior del conjunto {2,3} pues existe el conjunto abierto{2} enX tal que 2∈ {2} ⊆ {2,3}.
Definición 1.1.22. Sean X un espacio topológico, A ⊆ X y x ∈ X. Se dice que x es un punto de acumulación o punto límite de A si para cada subconjunto abierto
V de X tal que x ∈ V, se cumple que V ∩(A\{x}) 6= ∅. Al conjunto de los puntos de acumulación deXlo llamamosconjunto derivado de Ay lo denotamos porA0, es decir,
A0 ={x∈X :xes punto de acumulación deA}.
Ejemplo 1.1.23. En el Ejemplo 1.1.21, el punto 3∈X es un punto de acumulación del conjunto A={2,3}. Ya que {2,3} ∩(A\{3}) ={2} y {1,2,3} ∩(A\{3}) = {1,2}.
Definición 1.1.24. Sean X un espacio topológico y A ⊆ X. Se dice que x ∈ A es un
punto aislado de A si existe un subconjunto abiertoU de X tal que U ∩A={x}.
Figura 1.3: Conjunto {a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7} formado por puntos aislados.
Ejemplo 1.1.25. En el Ejemplo 1.1.21, el punto2∈X es un punto aislado del conjunto
A={2,3} ya que existe el subconjunto abierto{2} enX tal que {2} ∩A={2}.
Observación 1.1.26. SeanX un espacio topológico yx∈X. Se tiene quexes un punto aislado de X si y sólo si existe un subconjunto abierto U de X tal que U ={x}.
6 1.1. Notaciones y conceptos básicos Teorema 1.1.27. Sean X un espacio topológico y x∈X.x es un punto aislado deX si y sólo si {x} es un subconjunto abierto de X.
Ejemplo 1.1.28. Sea (X, τ) como en el Ejemplo 1.1.21. Luego, el punto 2 ∈ X es un punto aislado, ya que {2} ∈τ.
Dos caracterizaciones que más adelante vamos a utilizar son las siguientes.
Proposición 1.1.29. Sean X un espacio topológico y A ⊆ X. A es abierto en X si y sólo si int(A) = A.
Una prueba de la Proposición 1.1.29, se puede consultar en [13, Proposición 2.9] y para la Proposición 1.1.30, se puede consultar [13, Proposición 2.6].
Proposición 1.1.30. Sean X un espacio topológico y A ⊆ X. A es cerrado en X si y sólo si A =cl(A).
Dado un conjuntoX, existen varias subcolecciones de conjuntos que no son una topo-logía para dicho conjunto, sin embargo, algunos de estas pueden ayudar a construir una topología para tal conjunto. Lo cual se muestra en el Teorema 1.1.31.
Teorema 1.1.31. Sean X un espacio topológico y β una colección de subconjuntos de
X. Si β satisface:
(1) X =S
{B :B ∈β},
(2) Si B1, B2 ∈β y x∈B1∩B2, entonces existe B3 ∈β tal que x∈B3 ⊆B1∩B2,
entonces τβ ={∅} ∪ {E ⊆X :Ees unión de elementos deβ} es una topología en X.
Cuando uno se centra en el estudio de alguna propiedad que involucre a la colección de los subconjuntos abiertos de un espacio topológico, es de muchísima ayuda restringirse a sólo una pequeña parte de ésta sin perder generalidad. Es aquí cuando aparecen los conceptos de base y subbase.
Definición 1.1.32. Sea (X, τ) un espacio topológico. Una subcolección β de τ es una
base para τ si para cada elemento A∈τ, existe A ⊆β tal que A=S
A.
Definición 1.1.33. Sean (X, τ) un espacio topológico y δ ⊆ τ. Se dice que δ es una
subbase para τ si para cada A∈τ\{∅} y cada x∈A, existe A ⊆ δ finita y no vacía tal que x∈T
A ⊆A.
Un resultado muy conocido, cuya demostración se puede consultar en [13, Proposición 1.18], es el siguiente.
Teorema 1.1.34. Sea (X, τ) un espacio topológico. Una subcolección β de la topología
Sabemos que existen espacios topológicos de los cuales podemos estudiar sus propie-dades. Sin embargo, el estudio de ciertos espacios topológicos con propiedades especiales resulta, la mayoría de las veces muy interesante. A continuación introducimos la definición de algunos de estos espacios topológicos y también damos un ejemplo de cada uno de ellos con la finalidad de que el concepto quede lo más claro posible.
Definición 1.1.35. SeaXun espacio topológico. Se dice queXes unespacio topológico T0 si para cada par de puntos distintos x y y en X, existe un subconjunto abierto U de
X tal que x∈U y y6∈U.
Figura 1.4: Espacio T0.
Ejemplo 1.1.36. SeaX ={1,2,3}. Consideremos la siguiente colección de subconjuntos de X, τ = {X,∅,{2},{1,2},{2,3}}. Notemos que τ define una topología para X. Más aún, X con la topología τ es un espacio topológico T0.
Ejemplo 1.1.37. Sean X =n1 :n ∈N ∪ {0} ⊆[0,1]con la métrica usual y Y = [0,1] con la topología τ = {[0, t) : t ∈ (0,1]} ∪ {∅, Y}. Luego, el espacio X × Y es T0 [25,
Ejemplo 2.10].
Definición 1.1.38. SeaXun espacio topológico. Se dice queXes unespacio topológico T1 si para cualesquiera dos puntos distintos xy y enX, existen subconjuntos abiertosU
y V deX tales que x∈U\V y y∈V\U.
8 1.1. Notaciones y conceptos básicos Ejemplo 1.1.39. SeaX ={1,2,3}. Consideremos la siguiente colección de subconjuntos de X, τ ={X,∅,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3}}. Notemos que τ define una topología para X. Más aún, X con dicha topología es un espacio topológico T1.
Ejemplo 1.1.40. Sea X = R y τ = {A ⊆ X : A = ∅oX\Aes finito}. Se cumple que (X, τ) es un espacio topológicoT1.
Para revisar una prueba del Teorema 1.1.41, sugerimos consultar [13, Corolario 5.7].
Teorema 1.1.41. Un espacio topológico X es T1 si y sólo si todo subconjunto finito de
X es un subconjunto cerrado en X.
En particular, los conjuntos con un solo punto son subconjuntos cerrados en un espacio
X que sea T1.
Invitamos al lector a revisar nuevamente la propiedad que tienen los espacios topoló-gicos T1. Como habrán notado ya, los subconjuntos abiertos de la definición, pueden o no
tener intersección vacía. Sin embargo, cuando se da el caso en el que U∩V =∅, se da a este espacio topológico un nombre distinto.
Definición 1.1.42. SeaXun espacio topológico. Se dice queXes unespacio topológico de Hausdorff o T2 si para cualesquiera par de puntos distintos x y y de X, existen
abiertos U y V deX tales que x∈U, y∈V y U ∩V =∅.
Figura 1.6: Espacio T2.
Ejemplo 1.1.43. Consideremos al espacio topológico (X, τ) del Ejemplo 1.1.39. Como se podrá verificar fácilmente, este espacio topológico tiene la propiedad de Hausdorff.
No es difícil verificar que todo espacio topológico T2 es T1 y todo espacio topológico
T1 esT0 (ver Figuras 1.4, 1.5 y 1.7).
Definición 1.1.44. Sea X un espacio topológico. Se dice que X es un espacio topoló-gico regular si para cada subconjunto cerrado F ⊆ X y para cada x ∈ X\F, existen subconjuntos abiertosU y V deX tales que F ⊆U, x∈V y U ∩V =∅.
Figura 1.7: Espacio Regular.
Definición 1.1.45. Se dice que un espacio topológico X es T3 si es regular y T1.
Notemos que, de la definición se tiene que todo espacio T3 es un espacioT2.
A continuación se da un ejemplo de un espacio topológico que es T3.
Ejemplo 1.1.46. Cualquier espacio métrico es un espacio T3.
Ejemplo 1.1.47. Sea X ={1
n :n ∈N} ∪ {0} ⊆[0,1], con la métrica usual. Luego, X es
un espacio T3.
En un espacio topológico existen subconjuntos que contienen algún subconjunto abier-to del espacio, como es el caso de los subconjunabier-tos abierabier-tos en los cuales siempre podemos encontrar un subconjunto abierto, en este caso int(U)⊆ U. Una propiedad todavía más fuerte resulta cuando un subconjunto no sólo contiene un subconjunto abierto si no que además contiene la clausura de este abierto. La prueba del siguiente resultado se puede consultar en [27, Lema 31.1]
Proposición 1.1.48. Sea X un espacio topológico. El espacio X es regular si y sólo si para cualquier x ∈X y cualquier subconjunto abierto U de X tal que x ∈U, existe un subconjunto abiertoV de X tal que x∈V y cl(V)⊆U.
Como muestra la Proposición 1.1.48, dado un conjunto abierto U en un espacio topo-lógico T1 y regular, para cada elemento x∈U podemos hallar un subconjuntoV abierto
en X tal que x ∈ V ⊆ cl(V) ⊆ U. Existen otros espacios en los cuales sólo se puede garantizar la existencia de algún subconjuntoV de X con esta propiedad.
10 1.1. Notaciones y conceptos básicos
Figura 1.8: Espacio pseudo-regular.
De la definición, claramente se tiene que cada espacio regular es pseudo-regular. Sin embargo, a continuación se da un ejemplo de un espacio pseudo-regular que no es regular. A los interesados en conocer los detalles en el desarrollo del Ejemplo 1.1.50, se les invita a consultar [25, Ejemplo 5.4].
Ejemplo 1.1.50. Sean los subconjunto Xn (con n un natural) del plano R2, donde:
X0 ={(r,0)∈R2 : 0< r <1} y
Xn ={(2kn,
1
2n)∈R2 :k = 1,3,· · ·,2n−1}, para n∈N.
Sea X =
∞
[
n=0
Xn. Definimos la proyección p : X → R por p(r, s) = r, para cualquier
(r, s)∈X. Sea
B={Uabc : 0≤a < b ≤1y c >0} ∪ {Uabcx :c >0, x∈X\X0 y 0≤a < p(x)< b≤1}.
Donde:
Uabc={(r, s)∈X :a < r < b, 0≤s < c} y Uabcx= (Uabc\{(p(x),0)})∪ {x}.
Luego, existe una única topologíaτ enX tal queBes una base paraτ. Además,(X, τ) es pseudo-regular pero no es regular.
Figura 1.9: Representación gráfica del espacio X definido en el Ejemplo 1.1.50.
Definición 1.1.51. Sean X un espacio topológico, V ⊆ X y x ∈ V. Se dice que V es
vecindad de x en X si existe un subconjunto abierto U deX tal que x ∈U ⊆ V. A la colección de vecindades dex enX le llamamos sistema de vecindades del punto x y lo denotamos por V(x).
Podemos considerar al punto x como una persona, al conjunto U como el cuarto que renta dicha persona en una vecindad V. Esta vecindad V, será la vecindad de la persona
x, si existe un cuarto por el cual paga el alquiler.
Figura 1.10: Vecindad dex.
Definición 1.1.52. Sean X un espacio topológico y B(x) ⊆ V(x). Se dice que B(x) es unabase de vecindades de xenX si para cadaV ∈ V(x)podemos encontrarB ∈ B(x) tal que B ⊆V.
Definición 1.1.53. Sea (X, τ)un espacio topológico. Se dice que X es:
(1) Primero numerable si cada puntox∈X tiene una base de vecindades numerable. (2) Segundo numerable si existe una base numerable para τ.
Otro concepto muy importante dentro de la topología es el de conexidad, intuitiva-mente, podemos imaginarnos un espacio conexo, como un espacio que consta de una sóla pieza. Veamos la definición formal.
Definición 1.1.54. Sea X un espacio topológico. Se dice que X es disconexo si existen subconjuntos abiertos y no vacíosU y V de X tales que X =U ∪V y U∩V =∅. Si X
no es disconexo, se dice que es conexo.
Una prueba del Teorema 1.1.55 se puede consultar en [27, Proposición 6.1.7].
Teorema 1.1.55. Sea X un espacio topológico. X es conexo si y sólo si los únicos sub-conjuntos abiertos y cerrados deX son X y ∅.
12 1.1. Notaciones y conceptos básicos Definición 1.1.56. Sean X un espacio topológico y x ∈ X. Se dice que x es un punto
casi aislado deX si existe un subconjunto densoA deX tal quex∈A yx es un punto aislado en A.
Cuando uno piensa en estos dos conceptos, nos aventuramos a asegurar que todo punto aislado es casi aislado pues el nombre de estos dos puntos lo sugiere. Aunque la prueba de este resultado es inmediata, a continuación damos el resultado formal e incluimos su demostración.
Teorema 1.1.57. Sean X un espacio topológico yx∈X. Sixes un punto aislado enX, entonces x es un punto casi-aislado en X.
Demostración. Supongamos quexes un punto aislado deX. Ya queX es un subconjunto
denso de X y x∈X, se tiene quex es un punto casi aislado de X.
Con el fin de que el lector quede convencido de que los conceptos de punto aislado y casi-aislado, no son equivalentes de manera general, damos a continuación un ejemplo en el cual un punto es casi-aislado pero no aislado.
Ejemplo 1.1.58. Sea Y = [0,1]con la topología τ ={[0, t) :t∈(0,1]} ∪ {∅, Y}. Luego, el 0 es un punto casi aislado de Y. En efecto, ya que si U es un subconjunto abierto en (Y, τ), entonces U = [0, t), para algúnt ∈(0,1]. Así,U∩ {0} 6=∅. Por lo tanto, {0}es un subconjunto denso de Y y el punto 0 es aislado en {0}. Usando los mismos argumentos se tiene que el 0 no es un punto aislado de Y. Más aún, como´ınf(A) = 0 para cualquier subconjunto denso A de Y, se sigue que Y no tiene más puntos casi aislados que 0. Con ´ınf(A)denotamos al elemento ínfimo del conjunto A, [25, Ejemplo 2.3].
En el siguiente resultado presentamos algunas caracterizaciones del concepto de punto casi-aislado que son de gran ayuda en el desarrollo del trabajo de tesis.
Lema 1.1.59. Sea X un espacio topológico. Se cumple que:
(1) Un puntox∈X es un punto casi aislado deX si y sólo siint(cl({x}))6=∅. Además,
x∈int(cl({x})).
(2) X no tiene puntos casi aislados si y sólo si para cualquier subconjunto abierto y no vacío U de X, todo subconjunto denso deU contiene al menos dos puntos.
Demostración. (1) Supongamos que x ∈ X es un punto casi aislado de X. Veamos que int(cl({x}))6=∅. Por hipótesis, existe un subconjunto denso A de X tal que x
es un punto aislado en A. Esto es, existe un subconjunto abierto U en X tal que
U∩A ={x}. Veamos queA\U ⊆A\{x}. Seay ∈A\U. Luego,y∈Ay y6∈U. Esto es, y 6∈ A∩U = {x}. Así, y 6∈ {x}. Consecuentemente, y ∈ A\{x}. Por lo tanto,
A\U ⊆ A\{x}. Ahora veamos que A\{x} ⊆ A\U. Sea y ∈ A\{x}. Luego, y ∈ A
y y 6∈ {x}. De aquí, y ∈ A y y 6∈ A∩U. Así, y 6∈ U. De lo anterior, resulta que,
y ∈A\U. Por lo tanto, A\{x} ⊆A\U. Así,A\{x}=A\U. De aquí:
Notemos también que:
X =cl(A) =cl({x} ∪(A\{x})) =cl({x})∪cl(A\{x}). (1.1.2)
De (1.1.1) y (1.1.2), se tiene que:
U ⊆X\cl(A\{x}) = [cl({x})∪cl(A\{x})]\cl(A\{x})⊆cl({x}).
Nuevamente ya queU es un subconjunto abierto deX, se tiene queU ⊆int(cl({x})) y, comoU 6=∅, se tiene que int(cl({x}))6=∅.
Recíprocamente, supongamos que V = int(cl({x}))6=∅. Veamos que xes un punto casi aislado deX. Sea z ∈V. Luego, existe un subconjunto abierto U deX tal que
z ∈ U ⊆ cl({x}). De aquí que U ∩ {x} 6=∅. En consecuencia, x∈ U. Por lo tanto,
x ∈ int(cl({x})), esto es, x ∈ V. Sea A = {x} ∪X\V. Ya que V es un conjunto abierto y A∩V = {x}, se tiene que x es un punto aislado de A. Más aún, puesto que X =V ∪X\V ⊆cl({x})∪cl(X\V) = cl({x} ∪X\V) =cl(A), se tiene que A
es un subconjunto denso en X. Por lo tanto,x es un punto casi aislado de X.
(2) Supongamos que X no tiene puntos casi aislados y veamos que para cualquier sub-conjunto abierto y no vacíoU deX, todo subconjunto denso deU contiene al menos dos puntos. Nuevamente la prueba se hará por contrarrecíproco. Supongamos que existe un subconjunto abierto y no vacío U de X y un punto x ∈ U tal que {x}
es un subconjunto denso en U. Esto es, cl({x}) =U. Puesto que U es un conjunto abierto, U ⊆ int(cl{x}). Luego, ya que U 6= ∅, se tiene que int(cl({x})) 6= ∅. Así, por parte la (1) de este lema, se tiene que xes un punto casi aislado.
Ahora supongamos que para cualquier subconjunto abierto y no vacíoU deX, todo subconjunto denso de U contiene al menos dos puntos y veamos que X no tiene puntos casi aislados. La prueba se hará por contrarrecíproco. Sea x ∈ X un punto casi aislado. Por la parte (1) de este lema, se tiene que int(cl({x})) 6= ∅. Veamos que int(cl({x})) = cl({x}). Sea V ∩int(cl({x})) un subconjunto abierto no vacío de int(cl({x})). Luego, existe z ∈ V ∩int(cl({x})). De aquí, V ∩ {x} 6= ∅. En consecuencia,x ∈V. Además, x∈int(cl({x})). Por lo tanto, x∈V ∩int(cl({x})). Así, cl({x}) = int(cl({x})). Esto es, {x} es un subconjunto denso del subconjunto abierto y no vacíoint(cl{x}).
De (1) y (2), se tiene el resultado.
Después de revisar las relaciones que hay entre los conceptos de punto casi aislado y punto aislado, de manera natural surge la inquietud de saber las condiciones bajo las cuáles estos dos conceptos son equivalentes. Esto nos lleva a presentar el siguiente resultado.
Lema 1.1.60. Sea X un espacio topológico T1. Un punto x ∈X es un punto aislado de
X si y sólo six es un punto casi aislado deX.
14 1.1. Notaciones y conceptos básicos
Supongamos quex∈X es un punto casi aislado de X. Por el Lema 1.1.59, parte (1), se tiene que int(cl({x})) 6= ∅. Por hipótesis, ya que X es un espacio T1, por el Teorema
1.1.41, cl({x}) = {x}. De aquí que int(cl({x})) = int({x})6=∅. Lo cual implica que {x}
es un subconjunto abierto deX. Por lo tanto, por el Teorema 1.1.27,xes un punto aislado
de X.
Existen espacios topológicos en los cuales no es posible encontrar puntos aislados, como es el caso de los conjuntos conexos que anteriormente definimos.
Teorema 1.1.61. Sea X un espacio topológicoT1. Si X es conexo, entoncesX no tiene
puntos aislados.
Demostración. Supongamos que existe x0 ∈X tal que x0 es un punto aislado de X. Del
Teorema 1.1.27, se sigue que {x0}es un subconjunto abierto de X. Luego, comoX es un
espacioT1, se sigue que el conjunto{x0}es además un subconjunto cerrado. Por lo tanto,
por el Teorema 1.1.55 , X no es conexo. Así, se tiene el resultado.
En la Definición 1.1.22, se requiere la existencia de un subconjunto abierto U de X
tal que (A\{x} ∩U) 6= ∅. Es interesante saber que existe un resultado que nos asegura en adición, que esta intersección además de ser no vacía, es un subconjunto infinito [27, Teorema 17.9]. Veamos esto de manera formal.
Teorema 1.1.62. SeanX un espacio topológico T1,A⊆X y x∈X. Sixes un punto de
acumulación de A, entonces el conjunto V ∩(A\{x}) es infinito, para cualquier vecindad
V de x.
Definición 1.1.63. Sea X un espacio topológico. Se dice que X es perfecto si no tiene puntos aislados.
Ejemplo 1.1.64. Del Teorema 1.1.61 se tiene que los espacios conexos T1 son perfectos.
Una propiedad fuerte que tienen ciertos espacios topológicos es la de compacidad. Antes de dar la definición formal, tratamos de explicar este concepto con un ejemplo sencillo.
Definición 1.1.65. Sean X un espacio topológico y U una colección de subconjuntos de X. Se dice que U es una cubierta de X si X = SU
. Si, además, cada uno de los elementos de U es un subconjunto abierto de X, se dice que U es unacubierta abierta
deX.
Definición 1.1.66. Sean X un espacio topológico, U una cubierta deX y V una subco-lección de U. Se dice que V es una subcubierta de U para X siS
V =X.
Definición 1.1.67. Sea X un espacio topológico. Se dice que X es compacto si toda cubierta abierta de X tiene una subcubierta finita.
Algunos ejemplos de conjuntos compactos son los siguientes.
Ejemplo 1.1.68. El intervalo cerrado[a, b]es un subconjunto compacto deR[13, Ejemplo 7.2].
Ejemplo 1.1.69. Cualquier espacio X que contenga un número finito de puntos es, trivialmente, compacto, pues cualquier cubierta abierta tendrá una subcubierta finita.
También existen subconjuntos que no cumplen esta propiedad, veamos el siguiente ejemplo.
Ejemplo 1.1.70. El intervalo (0,1]no es compacto ya que la cubierta abierta
A=
1
n,1
:nes un natural
,
no contiene subcubiertas finitas para el intervalo(0,1]([27, pág. 187]).
Cuando estudiamos las propiedades de un espacio topológico, nos preguntamos en qué subconjuntos de este espacio se preservan dichas propiedades. Tal es el caso de los espacios compactos. SeaX un espacio compacto, nos interesan los subconjuntos deX que preservan dicha propiedad.
Teorema 1.1.71. Sean X un espacio topológico compacto yA un subconjunto deX. Si
A es cerrado enX, entonces A es compacto.
Una prueba del Teorema 1.1.71, se encuentra en [13, Proposición 7.5]. Otra propiedad relacionada a la compacidad y que más adelante utilizamos es la siguiente.
Teorema 1.1.72. Sean X un espacio topológico compacto y {Xn}∞n=1 una familia de
subconjuntos cerrados y no vacíos de X tales que Xn+1 ⊆ Xn, para cada n ∈ N. Si
Y =T∞
n=1Xn, entonces Y 6=∅.
Demostración. La prueba la haremos por contradicción. Supongamos que T∞
n=1Xn =∅.
Luego, X = X\(T∞
n=1Xn). De aquí,
S∞
n=1(X\Xn) = X. Puesto que X es compacto y
X\Xnes abierto, para cadan∈N, existenXn1, . . . , Xnk tales queX =
Sk
j=1(X\Xnj). Sea
m= m´ax{n1, . . . , nk}. Luego,X =X\Xm. De aquí,Xm =∅. Lo cual es una contradicción.
Por lo tanto,Y =T∞
n=1Xn 6=∅.
16 1.1. Notaciones y conceptos básicos Teorema 1.1.73. Sea X un espacio métrico. Si X es compacto, entonces todo subcon-junto infinito de X posee un punto de acumulación en X.
Definición 1.1.74. Sea X un espacio topológico. Se dice que X esparcialmente com-pacto y pseudo-regular si existe un subconjunto abierto y no vacío U de X tal que
cl(U) es un subespacio de X compacto y pseudo-regular.
Ejemplo 1.1.75. El espacio topológico definido en el Ejemplo 1.1.50, es parcialmente compacto y pseudo-regular.
Una herramienta poderosa para el estudio de los espacios topológicos son ciertas fun-ciones con propiedades especiales. El estudio de ellas nos ayuda por ejemplo, a conocer las propiedades de un espacio topológico a partir de las propiedades que se conocen de otro espacio topológico.
Definición 1.1.76. Una función entre conjuntos f :X →Y se dice que es:
(1) Inyectiva (o uno a uno) si para cualesquieraa1, a2 ∈X, se tiene que si a1 6=a2,
entonces f(a1)6=f(a2).
(2) Sobreyectiva o suprayectiva si f(X) = Y.
(3) Biyectiva si es a la vez inyectiva y sobreyectiva.
Definición 1.1.77. Sea X un conjunto. La función idX :X →X dada por idX(z) =z,
para cada z ∈X se llama función identidad enX.
En el Teorema 1.1.78, se enumeran algunas propiedades básicas que cumplen las fun-ciones, respecto a imagen e imagen inversa de uniones e intersecciones de familias de conjuntos. Su prueba se puede consultar en [13, Proposición A.18] y [13, Proposición A.19].
Teorema 1.1.78. Seaf :X →Y una función entre conjuntos. Consideremos{Ai :i∈I}
y{Bj :j ∈J}familias de conjuntos enX yY, respectivamente. Se cumplen las siguientes
propiedades:
(1) f\{Ai :i∈I}
⊆\{f(Ai) :i∈I}.
(2) f[{Ai :i∈I}
=[{f(Ai) :i∈I}.
(3) f−1\{Bi :i∈I}
=\{f−1(Bi) :i∈I}.
(4) f−1[{B
i :i∈I}
=[{f−1(Bi) :i∈I}.
(5) f(f−1(B
(6) Ai ⊆f−1(f(Ai)), la igualdad ocurre si f es inyectiva.
Además, existen funciones que se pueden definir a partir de una función ya definida, tal es el caso de la función restricción.
Definición 1.1.79. SeanX yY conjuntos,C ⊆X yf :X →Y una función. La función
g : C →Y tal que g(c) = f(c), para todo c∈ C se llama la restricción de f a C y se denota por f|C.
Existen muchas funciones con propiedades muy interesantes y que, además, nos ayudan en el estudio de los espacio topológicos y sus propiedades. De todas estas, nosotros nos centramos en las funciones continuas.
Definición 1.1.80. Sean X y Y espacios topológicos y f :X →Y una función. Se dice que f es continua en un punto x0 ∈ X si para cualquier subconjunto abierto A de
Y que contiene a f(x0), existe un subconjunto abierto B de X que contiene a x0 y que
satisfacef(B)⊆A. Se dice quef es continua en X si es continua en cada punto deX. En la Figura 1.11, se da una idea geométrica de esta definición.
Figura 1.11: Función continua en el punto x0.
La prueba del siguiente resultado se puede consulta en [27, Teorema 18.1].
Teorema 1.1.81. Sean X y Y espacios topológicos y f : X → Y una función. Las siguientes condiciones son equivalentes.
(1) f es continua.
(2) Para cualquier abierto U deY,f−1(U) es abierto en X.
(3) f−1(F) es cerrado enX, para cualquier cerrado F de Y.
(4) f(clX(A))⊆clY(f(A)), para cualquier A⊆X.
18 1.2. Iteración de funciones Ejemplo 1.1.82. Sean X y Y espacios topológicos yf :X →Y una función. SiX tiene la topología discreta, entonces f−1(B) es abierto en X para cualquier subconjunto B de
Y, así, por el Teorema 1.1.81,f es continua.
Ejemplo 1.1.83. SeanX y Y espacios topológicos yf :X →Y una función. Si Y tiene la topología indiscreta, entonces f es continua.
Teorema 1.1.84. SeanX y Y espacios topológicos, A un subespacio deX yf :X →Y
una función. Si f es continua, entonces f |A es continua.
Definición 1.1.85. SeanX yY espacios topológicos y f :X →Y una función biyectiva. Se dice que f es un homeomorfismo si tanto f como su inversa f−1 son continuas.
Los espacios topológicos X yY son llamadoshomeomorfos si existe un homeomorfismo entre ellos.
Definición 1.1.86. Sea X un espacio topológico. Se dice que X esparcialmente com-pletable si existe un subconjunto abierto y no vacíoU deX tal quecl(U)es homeomorfo a un espacio métrico completo.
En [25, Ejemplo 5.5], se da un ejemplo de un espacio parcialmente completable. Para concluir con esta sección, introducimos un subconjunto que se define a partir de subconjuntos dados y que más adelante vamos a utilizar en nuestro trabajo.
Definición 1.1.87. Sea {(Xi, τi)}ni=1 una colección de espacios topológicos no vacíos.
Definimos y denotamos su producto cartesiano como el conjunto:
n
Y
i=1
Xi ={(x1, . . . , xn) :xj ∈Xj,para cadaj ∈ {1, . . . , n}}.
Este espacio es considerado con la topología producto, la cual, tiene como base la colección
β ={U1×U2× · · · ×Un:Ui ∈τi,para cadai∈ {1, . . . , n}} [27, pág. 98].
La prueba del siguiente resultado se puede consultar en [13, Teorema 7.13].
Teorema 1.1.88. Sea {(Xi, τi)}ni=1 una colección no vacía de espacios topológicos no
vacíos. El producto Πni=1Xi es un espacio compacto si y sólo si el espacio Xi es compacto
para cada i∈ {1, . . . , n}.
1.2.
Iteración de funciones
En esta sección vamos a trabajar lo que se conoce como dinámica puntual. Pero antes de empezar, damos las notaciones básicas que necesitamos.
entiende que f1 =f y se define f0 = idX la función identidad de X. Debe quedar claro
quefk◦fs =fk+s y (fk)s =fks.
Para A ⊆ X y k un entero, denotamos por fk(A) a la imagen de A bajo fk cuando
k ≥ 0 y la preimagen bajo f|k| cuando k < 0. En el caso del conjunto que consta de un único punto x, escribimos f−k(x) para denotar al conjunto f−k({x}), para k >0.
Consideremos por ejemplo la función definida porf(x) = 2x. Luego:
f2(x) =f(f(x)) = 22x,
f3(x) =f(f2(x)) = 23x,
.. .
fk(x) =f(fk−1(x)) = 2kx.
Dos teoremas que más adelante vamos a utilizar en varios de los resultados que se presentan en este trabajo, son los siguientes.
Teorema 1.2.1. Sean X un espacio topológico, f :X →X una función,k, m∈N∪ {0}
y U y V subconjuntos no vacíos de X. Se cumple que fk(U)∩f−m(V) 6= ∅ si y sólo si
fm(U)∩f−k(V)6=∅.
Demostración. Supongamos que fk(U)∩f−m(V) 6=∅. Sea z ∈ fk(U)∩f−m(V). Luego,
existe a ∈ U tal que fk(a) = z y fm(z) ∈ V. De aquí, fm(a) ∈ fm(U) y fm(fk(a)) =
fm+k(a) = fk+m(a) = fk(fm(a)) ∈ V. Así, fm(a) ∈ f−k(V). Por lo tanto, fm(a) ∈
fm(U)∩f−k(V). Así,fm(U)∩f−k(V)6=∅.
Ahora supongamos que fm(U)∩f−k(V)6=∅. Sea z ∈fm(U)∩f−k(V). Luego, existe
u∈U tal quefm(u) = zyfk(z)∈V. De aquí,fk(u)∈fk(U)yfk(fm(u)) =fm(fk(u))∈
V. Sea z0 =fk(u). Luego,z0 ∈fk(U)∩f−m(V). Por lo tanto, fk(U)∩f−m(V)6=∅.
Teorema 1.2.2. Sean X un espacio topológico, f : X → X una función y k ∈ N. Si
fk(x) =x, entonces fkm(x) = x, para cada m ∈ N.
Demostración. La prueba se hará por inducción. Para m = 1 es claro que se cumple. Supongamos que se cumple para m y veamos que se cumple para m+ 1. Notemos que
fk(m+1)(x) = fkm(fk(x)). Luego, puesto que fk(x) = x y, por hipótesis de inducción,
fkm(x) = x, se sigue que fk(m+1)(x) =x. Así, se tiene el resultado.
Definición 1.2.3. Sean X un espacio topológico y (G,∗) un semi grupo, un sistema dinámico es una función continuaφ :G→X que satisface lo siguiente:
(1) φ(0, x) =x, para cada x∈X, donde 0 es el neutro en G.
(2) φ(t, φ(s, x)) = φ(t∗s, x), para cada t, s∈G y para cada x∈X.
Generalmente, al espacio X se le llama espacio fase, al semi grupo G se le llama
20 1.3. Órbitas
1.3.
Órbitas
Uno de los conceptos más importantes dentro del estudio de los sistemas dinámicos es el de órbita de un punto. Es por esto que dedicamos una sección al estudio de estos conjuntos.
Definición 1.3.1. Sean X un espacio topológico y f : X → X una función. La órbita de un punto x ∈X bajo f, denotada por O(x, f), es el conjunto {x, f(x), f2(x), . . .}. Esto es: O(x, f) = {fn(x) :n ∈
N∪ {0}}.
La interpretación que se le da a la órbita de un punto O(x, f) es la siguiente: En el tiempo n = 0 un objeto se encuentra en la posición x; en el tiempo n = 1 el objeto ha cambiado de posición y ahora se encuentra en la posición f(x); en el tiempo n = 2 el objeto vuelve a cambiar de posición y ahora se encuentra en la posición f(f(x)) = f2(x);
etcétera, ver Figura 1.12.
Figura 1.12: Órbita del punto x.
Ejemplo 1.3.2. Sea f :R→R tal que f(x) =x+ 1. Luego, la órbita de x0 = 1 bajof
es el conjunto {1,2,3, . . .}. En la Figura 1.13 se muestra el comportamiento de la órbita del punto x0 = 1.
Figura 1.13: Representación gráfica de la órbita del punto x0 = 1 bajof(x) =x+ 1.
Notemos que, en la Definición 1.3.1, la órbita de un punto puede ser un conjunto infinito o bien un conjunto finito. Cuando un punto genera una órbita finita, recibe un nombre especial.
Definición 1.3.3. Sean X un espacio topológico, f : X → X una función y x0 ∈ X.
Decimos que x0 es un punto periódico de f si existe n ∈ N tal que fn(x0) = x0. Al
Ejemplo 1.3.4. Sea f : R → R tal que f(x) = x2 −1. Luego, x0 = 0 es un punto
periódico ya que f2(x
0) = f(f(x0)) =f(−1) = 0. Y la órbita de x0 es{0,−1}.
Figura 1.14: Representación gráfica de la órbita de x0 = 0 bajof(x) =x2−1.
La Definición 1.3.3 nos menciona la existencia de un número natural que satisface cierta propiedad, sin embargo no nos habla de la unicidad de este número natural. De hecho, este número natural no es único. Sin embargo, es necesario considerar alguno de estos naturales como el periodo de un punto periódico.
Definición 1.3.5. SeanX un espacio topológico,f :X →X una función yx0 ∈P er(f).
Decimos que x0 tiene periodo k si:
k = m´ın{n ∈N:fn(x0) =x0}.
Notemos que six0 es un punto periódico bajof de periodok con k≥2, entonces para
cada1≤j < k se tiene que fj(x
0)es distinto dex0. Además, si x0 es un punto periódico
def de periodok, a su respectiva órbita se le llamaórbita periódica. En la Figura 1.15, se muestra una órbita periódica.
Figura 1.15: x es un punto periódico, de periodo cuatro.
Ejemplo 1.3.6. Sean, X = R y f : X → X dada por f(x) = −x3. Notemos que x = 1
es un punto periódico def de periodo dos.
Figura 1.16: x= 1 es un punto periódico, de periodo dos.
22 1.3. Órbitas Observación 1.3.8. Sean X un espacio topológico,f :X →X una función y x∈X. Si
fN(x)∈P er(f), entonces existe n ∈
N tal que fn(fN(x)) =fN(x). De aquí, fn+N(x) =
fN(x). Por ejemplo, para N = 3 y n = 4, se tiene que f4+3(x) =f4(f3(x)) =f3(x). Ver
Figura 1.17.
Figura 1.17: x es un punto preperiódico.
Ejemplo 1.3.9. Sea f : R → R tal que f(x) = x2 −1. Luego, x
0 = 1 es un punto
preperiódico de f ya que f2(f(1)) = 0 =f(1). Ver Figura 1.18.
Figura 1.18: x0 = 1 es un punto preperiódico.
En el Ejemplo 1.3.9, el puntox0 = 1 no es periódico ya queO(1, f) ={1,0,−1}. Esto
nos lleva a la conclusión de que, en general, no todo punto preperiódico es periódico. También existen puntos cuya órbita consiste de un único punto. Y a estos puntos al igual que a los puntos periódicos se les da un nombre especial.
Definición 1.3.10. Sean X un espacio topológico,f :X →X una función yx0 ∈X. Se
dice que x0 es un punto fijo de f si f(x0) =x0. O bien,x0 es punto fijo si x0 ∈P er(f)
y tiene periodo uno.
Ejemplo 1.3.11. Sean f :R→R y g :R→ R tales que f(x) =x3 y g(x) =x2. Luego, los puntos fijos de f son 1,0y −1. Sin embargo, sólo 1y 0son puntos fijos de g.
Notemos que para la función f(x) = −1
2x existe un único punto fijo x0 = 0. Ahora,
consideremos la órbita del puntox= 1,O(x, f) ={1,−1 2,
1 4,−
1 8,
1 16,−
1
32, . . .}. Observemos
que los elementos de esta órbita se aproximan cada vez más al punto fijo de la función. Por otro lado, si consideramos la función g(x) = −2x, cuyo punto fijo es tambiénx0 = 0,
observamos que en este caso, O(1, g) ={1,−2,4,−8,16,−32, . . .}. Nos damos cuenta de que los puntos de la órbita se alejan cada vez más del punto fijo. Esto nos lleva a clasificar los puntos fijos de acuerdo a sus respectivas órbitas.
Definición 1.3.12. Sean X un espacio topológico, f : X → X una función continua y
(1) Decimos que x0 esun punto fijo atractor si existe un abiertoU deX conx0 ∈U
tal que para cada x∈U, l´ımn→∞fn(x) = x0.
(2) Decimos también que x0 es un punto fijo repulsor si existe un abierto U de X
con x0 ∈ U tal que para cada x ∈ U, x 6= x0, existe n ∈ N, n = n(x), tal que
fn(x) 6∈U. En las Figuras 1.19 y 1.20, se muestra gráficamente el comportamiento
de estos puntos.
Inicialmente, estos conceptos se dan para espacios métricos no vacíos, compactos y conexos mejor conocidos como continuos. Sin embargo, puesto que en nuestro trabajo estamos considerando espacios topológicos más generales, de igual forma damos una de-finición más general de estos dos conceptos.
(a)|x0|<1 (b)|x0|>1
Figura 1.19: Puntos fijos atractores.
(a)|x0|<1 (b)|x0|>1
Figura 1.20: Puntos fijos repulsores.
Una prueba de la Proposición 1.3.13, se puede consultar en [24, pág. 15].
Proposición 1.3.13. Sea X = R, A un intervalo en R y x0 ∈ A tal que f(x0) = x0.
Supongamos quef es derivable enx0. Se cumple lo siguiente:
(1) Si |f0(x0)|<1, entonces x0 es un punto fijo atractor.
(2) Si |f0(x0)|>1, entonces x0 es un punto fijo repulsor.
Proposición 1.3.14. Sea f :X →X una función continua y sean x0 y y0 dos puntos en
X. Si la órbita dex0 converge ay0, es decir,l´ımn→∞fn(x0) = y0, entoncesy0 es un punto
24 1.4. Análisis gráfico de órbitas
Demostración. Supongamos que la órbita dex0 converge a y0. Esto es, l´ımn→∞fn(x0) =
y0. Luego, ya que f es una función continua, se tiene que:
f(y0) =f( l´ım
n→∞f
n(x
0)) = l´ım
n→∞f
n+1(x 0).
puesto que {fn+1(x
0)}∞n=1 es una subsucesión de la sucesión {fn(x0)}∞n=1, se tiene que
l´ımn→∞fn(x0) =y0.
Un último concepto que revisamos en esta sección es el de punto transitivo.
Definición 1.3.15. Sean X un espacio topológico y f : X → X una función. Un punto
x∈X es llamado un punto transitivo def si la órbita O(x, f)es densa en X.
Lema 1.3.16. Sean X un espacio topológico sin puntos casi aislados, f : X → X una función, x ∈ X y n ∈ N. x es un punto transitivo de f si y sólo si fn(x) es un punto transitivo de f.
Demostración. Supongamos que x es un punto transitivo. Veamos que fn(x) es también
un punto transitivo. La prueba se hará por inducción. Veamos que se cumple para n = 1. Sea U un subconjunto abierto y no vacío en X. Supongamos que cl({x}) = U. Luego,
{x} es un subconjunto denso de U. Así, por el Lema 1.1.59, parte (2), se tiene que {x}
tiene por lo menos dos puntos. Lo cual es una contradicción. Por lo tanto, cl({x}) 6=U. Notemos que U\cl({x}) 6= ∅. En efecto, ya que al no ser {x} un subconjunto denso de
U, existe un subconjunto abierto y no vacío V en U tal que V ∩ {x} = ∅. Puesto que
V 6=∅, existez ∈V tal quez ∈U\cl({x}). Además,U\cl({x})es un conjunto abierto. En efecto, ya que U\cl({x}) = (X\cl({x}))∩U. Por lo tanto, U\cl({x}) es un subconjunto abierto en X. Así, (U\cl({x}))∩ O(x, f) 6= ∅. Consecuentemente, existe k ∈ N tal que
fk(x) = fk−1(f(x)) ∈ U\cl({x}) ⊆ U. Esto es, U ∩ O(f(x), f) 6= ∅. O bien, f(x) es también un punto transitivo. Ahora supongamos que se cumple para n y veamos que se satisface para n+ 1. Por hipótesis inductiva, se tiene que fn(x) es un punto transitivo.
Así, del caso base se tiene que f(fn(x)) = fn+1(x) es también un punto transitivo. Esto prueba la primera parte del resultado.
Recíprocamente, supongamos que fn(x) es un punto transitivo. Así:
X ⊆cl(O(fn(x), f))⊆cl(O(x, f)).
Por lo tanto, x también es un punto transitivo def.
1.4.
Análisis gráfico de órbitas
El análisis gŕafico muchas veces nos ayuda a conocer el comportamiento de la órbita de un punto. En esta sección explicamos el procedimiento para poder analizar gráficamente la órbita de un punto, de una función de una variable real y valores reales.
mediante la gráfica de f. Lo primero que se hace es dibujar la recta y = x y la gráfica de f. Hemos visto que los puntos de intersección de la recta y = x con la gráfica de
f son los puntos fijos de f. Para encontrar la órbita del punto x0, comenzamos en el
punto (x0,0) y desde este punto, dibujamos una recta paralela al eje y desde el punto
(x0,0) a la gráfica de f. Cuando esta recta toca a la gráfica de f, hemos alcanzado el
punto (x0, f(x0))(Figura 1.21, (a)). A continuación, dibujamos una recta paralela al eje
x, desde este último punto hasta la gráfica de la rectay =x. Al trazar esta recta, hemos alcanzado el punto en la recta y = x, (f(x0), f(x0)) (Figura 1.21, (b)). Así, el siguiente
punto de la órbita de x0 es f(x0). Continuando con este proceso, dibujamos una recta
paralela al ejey, del punto(f(x0), f(x0))de la rectay=xa la gráfica def, esto nos sitúa
en el punto(f(x0), f2(x0))(Figura 1.21, (c)). Luego, al dibujar una recta paralela al ejex,
del punto anterior hasta la gráfica de la rectay=x, alcanzamos el punto(f2(x
0), f2(x0))
(Figura 1.21, (d)), directamente sobre el siguiente punto de la órbita dex0. Siguiendo este
procedimiento se lograr obtener el comportamiento de la órbita de manera gráfica.
(a) (b)
(c) (d)
26 1.4. Análisis gráfico de órbitas
El resultado es conocido como “escalera” o “red de araña” y nos proporciona una ilus-tración del comportamiento de la órbita dex0. Para entender mejor el proceso, observemos
la Figura 1.21.
A partir de ahora, para no caer en confunción, en cada red de araña que presentamos, vamos a etiquetar a la gráfica de la función identidad y=xy a la gráfica def correspon-diente a cada ejemplo. Además, con líneas punteadas, indicamos la dirección en la que se mueve la órbita de un punto.
A continuación ponemos en práctica el proceso explicado anteriormente para analizar el comportamiento de los puntos fijos de dos funciones en particular. De cada ejemplo, incluimos la red de araña que resulta.
Es importante mencionar que en algunos ejemplos no ponemos la gráfica completa de la función, sólo ponemos la parte de la gráfica que nos convenga.
Ejemplo 1.4.1. En la Figura 1.22, se muestra un análisis gráfico de la funciónf definida por f(x) = √x. Notemos que para cualquier punto positivo x0, obtenemos una red de
araña la cual nos lleva al punto de intersección de la gráfica de f con la diagonal, el cual es el punto fijo x= 1.
(a) Representación gráfica de la órbita de
x= 0.1bajof(x) =√x.
(b) Representación gráfica de la órbita de
x= 3.5bajof(x) =√x.
Figura 1.22: Análisis gráfico del punto fijo def(x) = √x.
Veamos un último ejemplo del desarrollo de este análisis gráfico, para después explicar otro método que se conoce para saber la naturaleza de los puntos fijos, esto es, saber si son repulsores o atractores.
Ejemplo 1.4.2. Ahora, consideremos la función f : R → R dada por f(x) = x3. La
gráfica de f nos dice que existen tres puntos fijos, los cuales son0,1 y −1. Al analizar la gŕafica de esta función, se observa que si |x0 |<1, entonces la órbita de x0 tiende a cero,
como se observa en la Figura 1.23 (a). Sin embargo si | x0 |>1, la órbita de x0 tiende a
(a) Representación gráfica de la órbita
dex=−0.9 bajof(x) =x3
(b) Representación gráfica de la
órbi-ta dex= 0.9 bajof(x) =x3
(c) Representación gráfica de la órbita dex=
−1.1 bajof(x) =x3
(d) Representación gráfica de la órbita dex=
1.1bajof(x) =x3
Figura 1.23: Análisis gráfico de los puntos fijos de f(x) = x3.
El análisis gráfico de las órbitas es muy útil para conocer su comportamiento, sin embargo, no es un método riguroso y en algunas ocasiones no es posible hacer uso de él. Otro método para describir las órbitas de un sistema dinámico consiste en representar las órbitas sobre la línea real y este método se conoce como retrato fase del sistema dinámico. Para el caso en que se trabaja con una función de R enR, este método no nos da más información. Sin embargo en el caso de dos dimensiones, cuando no es posible hacer un análisis gŕafico como el que se describió anteriormente, este método es confiable para analizar el comportamiento de las órbitas.
Para dar una idea general del método, representamos los puntos fijos con puntos sólidos y a las órbitas con líneas continuas.
Ejemplo 1.4.3. Hemos visto que los puntos fijos de la función f(x) =x3 son 0,1 y −1. Además, si |x0 |<1, entonces fn(x0) tiende a cero y si |x0 |>1, entoncesfn(x0) tiende
28 1.4. Análisis gráfico de órbitas
Figura 1.24: Retrato fase de f(x) =x3.
Como otro ejemplo, consideremos a la función f(x) =x2. Los puntos fijos de f son 0 y 1. Observemos que si x0 <0, entonces f(x0)>0y todas las sucesiones de puntos de la
órbita de x0 son positivas. Así, el retrato fase def(x) =x2 queda como se muestra en la
Figura 1.25.
Figura 1.25: Retrato fase de f(x) =x2.
En la Definición 1.3.12, vimos que hay dos tipos de puntos fijos, los puntos fijos atrac-tores y los puntos fijos repulsores. A continuación hacemos un análisis gráfico de los puntos fijos de la función f(x) = x2 y vemos de qué naturaleza son.
Hemos visto que esta función tiene dos puntos fijos, dichos puntos son0y 1. Notemos que para un punto x0 ∈ R tal que | x0 |< 1, la órbita O(x0, f) se aproxima a cero. Por
ejemplo la órbita del x0 =0.1 es:
{0.1,0.01,0.0001,0.00000001, . . .}.
De hecho, para un punto x0 ∈ R tal que 0 ≤ x0 < 1, no importa que tan cerca esté de
uno, la órbita O(x0, f) se aleja cada vez más de 1 y se aproxima a 0. Por ejemplo, la
órbita del punto x0 =0.9 es:
{0.9,0.81,0.6561,0.430467, . . . ,0.185302, . . . ,0.034336, . . . ,0.00117, . . .}.
Más precisamente, si 0≤x0 <1, entoncesfn(x0)tiende a cero cuandon tiende a infinito.
Por otro lado, si x0 >1, entonces la órbita dex0 se aleja de 1. Por ejemplo, la órbita
del punto 1.1 es:
{1.1,1.21,1.4641,2.1436, . . . ,4.5950, . . . ,21.114, . . . ,445.79, . . .}.
Si −1 < x0 ≤ 0, entonces fn(x0) tiende a cero cuando n tiende a infinito y, por lo
tanto, la órbita se aleja de 1. Así, si x0 > 1, entonces fn(x0) se va a infinito cuando n
(a) Representación gráfica de la órbita de
x0= 0.9bajof(x) =x2.
(b) Representación gráfica de la órbita de
x0= 1.1bajof(x) =x2.
Figura 1.26: Análisis gráfico de los puntos fijos de f(x) = x2.
A los interesados en conocer más sobre el análisis gráfico de órbitas, les sugerimos revisar [14], donde se elaboran códigos utilizando Matlab para generar estas gráficas. Cabe mencionar que en esta tesis se utilizó el código que se presenta en dicho trabajo para generar la gráfica de las Figuras 1.26, 1.23 y 1.22, hasta este momento.
1.5.
Tipos de sistemas dinámicos discretos
Un sistema dinámico se nombra de acuerdo a las propiedades que satisface la fun-ción que lo define. En esta secfun-ción se introducen algunos tipos de sistemas dinámicos discretos que se conocen y, además, estudiamos las relaciones que existen entre ellos. Es importante mencionar que cuando estudiemos un cierto tipo de sistema dinámico, sólo nos referiremos a la función. Por ejemplo, si analizamos alguna propiedad de una función transitiva, en realidad estaremos analizando un sistema dinámico transitivo. También hay que mencionar que los sistemas dinámicos que presentamos en esta sección generalmente son estudiados en espacios métricos. Sin embargo, en nuestro trabajo analizamos las pro-piedades que se siguen cumpliendo en espacios topológicos. Sin más introducción, pasamos a las definiciones.
Definición 1.5.1. Sean X un espacio topológico y f :X →X una función. Se dice que
f es:
(1) Localmente eventualmente sobreyectiva si para cada subconjunto abierto no vacíoU deX, existe k ∈N tal que fk(U) =X.
(2) Mezclante si para cada par de subconjuntos abiertos no vacíos U y V de X, existe
30 1.5. Tipos de sistemas dinámicos discretos
(3) Débilmente mezclante si para cualesquiera subconjuntos abiertos y no vacíos U1,
U2,V1 y V2 deX, existe k ∈N tal que fk(Ui)∩Vi 6=∅, para cadai∈ {1,2}.
(4) Transitiva si para cada par de subconjuntos abiertos y no vacíosU yV deX, existe
k∈N tal que fk(U)∩V 6=∅.
(5) Totalmente transitiva si fs es transitiva, para cada s∈ N.
(6) Fuertemente transitiva si para cada subconjunto abierto y no vacíoU deX, existe
s∈N tal que X =Ss
k=0fk(U).
(7) Caótica si f es transitiva y P er(f) es denso en X.
(8) Minimal si no existe un subconjunto propio A de X el cuál es no vacío, cerrado y
f(A) = A.
(9) Irreducible si el único subconjunto cerrado A deX tal que f(A) =X es A=X.
(10) Semi-abierta si para cada subconjunto abierto y no vacío U de X, existe un sub-conjunto abierto y no vacíoV de X tal que V ⊆f(U).
(11) Turbulenta si existen subconjuntos compactos y no degenerados C y K de X tales queC∩K tiene a lo más un punto y K∪C ⊆f(K)∩f(C).
Por ahora sólo vamos a analizar las relaciones que existen entre éstas clases de funcio-nes, más adelante, nos ocuparemos de los ejemplos.
Es importante mencionar que el concepto de transitividad es manejado por otros autores como conjunto-abierto-transitiva [25] o TT+ [2]. Sin embargo, el término
más conocido y manejado es el de transitividad y es por eso que adoptamos este término en nuestro trabajo.
Analizar las relaciones que existen entre ciertas clases de funciones, es un tema muy interesante, ya que se pueden empezar a mezclar propiedades, y de cada mezcla obtener un resultado interesante. Referente a las clases de funciones definidas previamente, en [7], se muestran las relaciones entre éstas, cuando el espacio fase es un continuo y la función es continua. En este trabajo se considera el espacio fase como un espacio topológico y la función se considera de manera general.
Los Teoremas 1.5.2, 1.5.3 y 1.5.4, se tienen directamente de la definición.
Teorema 1.5.2. Sean X un espacio topológico y f : X → X una función. Si f es irreducible, entonces f es sobreyectiva.
Teorema 1.5.3. SeanX un espacio topológico yf :X →X una función. Sif es caótica, entonces f es transitiva.
