UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDER FACULTAD DE INGENIERIA
CONTROL AUTOMATICO
LABORATORIO No. 5 – Análisis de la Respuesta en Estado Estable de los
Sistemas de Control Continuo Lineal
INSTRUCCIONES
1- Las actividades de laboratorio y talleres deberán ser desarrollados en grupos de hasta 2 (dos) alumnos.
2- Las técnicas y herramientas didácticas que se empleen en los laboratorios tiene como finalidad el refuerzo, la conformación y ejecución de los diferentes aspectos que hacen parte de la asignatura. De forma que el alumno desarrolle un pensamiento flexible, dinámico, audaz, independiente, persistente, divergente y original en su formación como profesional.
OBJETIVO
• Adquirir la Competencia para entender y determinar el Error de Estado Estable de los Sistemas de Control Continuo Lineal.
REFERENCIAS
1- Andrew Knight Basics of MATLAB and Beyond. Chapman and Hall/CRC; 1 edition, 1999. 2- Hanselman, D.; Littlefield, B. MATLAB 5: Versão do Estudante, Guia do Usuário, Makron
Books, 1999.
3- White Robert: Computational Mathematics: Models, Methods, and Analysis with MATLAB and MPI. Chapman and Hall/CRC; 1 edition, 2003.
4- http://www.mathworks.com
ACTIVIDAD PREVIA - MARCO TEORICO
Respuesta en Estado Estable
En este apartado se discute los criterios típicos utilizados para medir el comportamiento de un sistema de control en el dominio del tiempo. El tiempo de respuesta de un sistema de control puede estar caracterizado por la respuesta transitoria y la de estado estable. Por otra parte, por medio de un índice de funcionamiento se da una medida cualitativa del tiempo total de respuesta. Estos criterios se discuten a continuación.
Error en Estado Estable
Si la entrada de referencia r(t) y la salida controlada c(t) son homogéneas dimensionalmente, por ejemplo, un voltaje controlando un voltaje, una posición controlando una posición, etc., y están al mismo nivel de magnitud o son del mismo orden, la señal de error es:
e(t)=r(t) − c(t)
Sin embargo, a veces puede ser imposible o inconveniente proporcionar una señal del mismo nivel, o incluso de la misma dimensión que la variable controlada. Por ejemplo, puede ser conveniente utilizar una fuente de potencia de bajo voltaje para controlar la salida de una fuente de potencia de alto voltaje; para un sistema de control de velocidad es más práctico utilizar una fuente de voltaje o una entrada de posición como señal para controlar la velocidad del eje de salida. En estas condiciones, la señal de error no puede definirse simplemente como la diferencia entre la entrada de referencia y la salida controlada, y la forma de la Ecuación anterior carece de sentido. Las señales de entrada y de salida deben ser de la misma dimensión y estar al mismo nivel antes de restarlas. Por esta razón, es común incorporar en el camino de retroalimentación un elemento no unitario,
H(s), como aparece en la Figura siguiente.
Sistema de Control con Retroalimentación no Unitaria
El error de este servosistema con retroalimentación no unitaria está definido por:
Como ejemplo alternativo, se puede suponer que el sistema de la Figura representa un sistema de control de velocidad. En donde la entrada r(t) se utiliza como referencia para el control de velocidad de la salida del sistema, siempre que c(t) indique el desplazamiento a la salida. Entonces, se requiere un dispositivo, tal como un tacómetro en la trayectoria de retroalimentación, de manera que
H(s) = Kt s.
El error de estado estable de un servosistema se define como el error cuando el tiempo tiende a infinito, o sea:
Respecto a la Figura, la transformada de Laplace de la función error es:
Aplicando el teorema del valor final, el error de estado estable del sistema es:
donde sE(s) no debe tener polos en el eje imaginario ni en la región real positiva del plano s. Substituyendo tenemos:.
expresión que indica que el error de estado estable depende de la entrada de referencia R(s) y de la función de transferencia en lazo abierto G(s) H(s).
Error ante entrada Escalón
El error ante entrada escalón se obtiene de Ecuación para ess substituyendo como expresión de la
entrada un Escalón de valor R y resulta
y aplicando propiedades de límites se tiene:
por lo tanto
Tipo de Sistema
El Tipo de un sistema de control está definido como la cantidad de polos de lazo abierto que tiene el sistema en el origen, como se ve en Ecuación siguiente, donde m representa el tipo de sistema.
En la Tabla se puede observar: si el sistema es Tipo 0 tiene un error de estado estable constante cuando se le aplica una entrada en escalón y para las entradas en rampa y aceleración el error crece hasta hacerse infinito cuando el tiempo es infinito. Para un sistema Tipo 1 con una entrada en rampa se tiene un error de estado estable constante y con la entrada escalón no tiene error de estado estable, y cuando se aplica una entrada en Aceleración el error crece hasta hacerse infinito cuando el tiempo es infinito. Para un sistema Tipo 2 con entradas escalón y rampa no se tiene error de estado estable y con una entrada en aceleración se tiene un error de estado estable constante. Un sistema Tipo 3 no tiene error de estado estable bajo ninguna de las tres entradas tipo. Aunque los sistemas Tipo 2 y Tipo 3 son muy poco comunes porque sólo unos cuantos, muy raros, son estables.
Ejemplo
Para comprobar lo obtenido en la Tabla tomaremos cuatro funciones de transferencia Tipo 0, Tipo 1 y Tipo 2 se les aplica, a cada uno, un Escalón Ru-1(t) = R, una Rampa Ru-2(t) = Rt y una Aceleración
Por lo tanto para comprobar el error simularemos en Matlab con el comando lsim(tf,u,t) utilizando el comando tf para crear tres funciones de transferencia una Tipo 0, otra Tipo 1 y otra Tipo 2 aplicándole a cada una en u un Escalón, una Rampa y una Aceleración durante un tiempo t. Para nuestro caso R = 5, el periodo de tiempo es de 15 seg. con incrementos de 0.01 seg. para la simulación del sistema Tipo 0 y siendo de 35 seg. con incrementos de 0.01 seg. para los sistemas Tipo 1 y Tipo 2, de las funciones de transferencia que se muestran enseguida
Para poder obtener las Simulaciones en Matlab tenemos que primero generar los vectores tiempo t1
y t2 que utilizaremos en la simulación y en la generación de los vectores de las entradas u11, u21 y u31 para t1; u21, u22 y u32 para t2 ya que tanto los vectores de las entradas como el de tiempo
deben tener el mismo numero de elementos. Además, hay que cargar cada una de las tres Funciones de Transferencia.
Carga de las Funciones de Transferencia C0 Tipo 0 con ganancia de 20, C1 Tipo1 con ganancia de 5 y C2 Tipo2 con ganancia de 5.
Comandos para Simulación de la Respuesta en el Tiempo del Sistema Tipo 0 para entrada Escalón, Rampa y Aceleración
Simulación de la Respuesta en el Tiempo de un Sistema Tipo 0 para
(a) Una Entrada Escalón (b) Una Entrada Rampa (c) Una Entrada Aceleración.
(a) (b)
Comandos para Simulación de la Respuesta en el Tiempo del Sistema Tipo 1 para entrada Escalón, Rampa y Aceleración
Simulación de la Respuesta en el Tiempo de un Sistema Tipo 1 para
Comandos para Simulación de la Respuesta en el Tiempo del Sistema Tipo 2 para entrada Escalón, Rampa y Aceleración
Simulación de la Respuesta en el Tiempo de un Sistema Tipo 2 para
ACTIVIDADES A REALIZAR EN EL LABORATORIO
Sobre el circuito de la siguiente figura se evaluará experimentalmente las condiciones de estabilidad, por lo tanto deberá ser implementarlo en protoboard para su debido estudio.
Calcular analíticamente la función de transferencia y analizarla con Matlab la respuesta en malla cerrada
Ajustar el valor de P1 a 1 KΩ y el valor de P2 a 200 Ω.
Conectar la salida del generador de señal al punto Vi con una señal de onda cuadrada de baja frecuencia (escalón).
Conectar una punta de prueba del osciloscopio a este punto y colocar la otra punta de prueba en el punto de salida Vo.
Comparar la señal medida a la calculada analíticamente para esta condición.
Conectar una punta de prueba del osciloscopio al punto Vi y colocar la otra punta de prueba en
el punto V1.
Comparar la señal medida a la calculada analíticamente para esta condición.
Ajustar el valor de P1 al mínimo y el valor de P2 a algún valor arbitrario.
Conectar la salida del generador de señal al punto Vi con una señal senoidal.
Aumentar el valor de P1 hasta que la salida resulte inestable.
Medir la frecuencia de oscilación de la salida
ω
0.Medir el valor de P1 y comparar este con el calculado analíticamente para el valor de P2 elegido, en la condición de inestabilidad.
Analice el desarrollo de esta práctica en el cual se haga constar aquellos valores, cálculos y gráficos resultantes de las mediciones realizadas.
