Máximo relativo en x = 0 ()

(1)

PRUEBA A PROBLEMAS

PR-1.- .- a) Discútase el sistema , en función del valor de a.

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − = − + + = + + = − + 1 ) 1 ( 3 0 2 2 a z y a x az y x z ay x

b) Para el valor a=1, hállese, si procede, la solución del sistema.

(

)

(

)

(

)

(

)

( )

(

6,10,2

)

(2)

PR-2.- a) Calcúlense los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función , sus extremos relativos, puntos de inflexión y asíntotas

2

1

) (x e x

f = −

( )

x =− xe

f' 2

b) Esbócese la gráfica de f y calcúlese

∫

3 .

1 xf(x)dx

( )

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧

ℜ ∈ ∀ ⇒ >

> ℜ ∈ ∀ ⇒ >

ℜ ∈ ∀ ⇒ < − ⇒ > −

⇒ > ⇒

− −

−

x e

x x

x

x xe

x f si o Crecimient

x x

x

0

0 / 0

0 2 0

2 0 '

2 2

2

1 1

1

−∞ 0 ∞

-2 < 0 ( - ) ( - )

x > 0 ( - ) ( + )

0 2

>

1−x

e ( + ) ( + )

Solución ( + ) f’(x) > 0 ( - ) f’(x) < 0 Crecimiento ∀x∈ℜ/x<0 Decrecimiento ∀x∈ℜ/x<0 Máximo relativo en x = 0 f

( )

0 =e1−02 =e

(

0,e

)

de crecimiento pasa a decrecimiento

(

)

(

)

( )

⎪ ⎪ ⎪

⎩ ⎪⎪ ⎪

⎨ ⎧

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛ − ⇒ = = =

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ⇒ − =

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛ ⇒ = = =

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⇒ =

⇒ = ⇒ = ⇒ = − ⇒ = ⇒

− −

= −

− ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − −

− ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − −

−

e e

f x

e e

f x

x x

f x e

xxe lexión

x x

x

, 2

2 2

2

, 2

2 2

2

2 1 1

2 0 2 1 0 '' 2

1 2 2

2 1 2 1 1 2

2 1

2 1 2 1 1 2

2 1

2 2

1 1

1

2 2 2

2 2

⇒ ± =

− =

x

e x

f

de Puntos

2 1

2 ''

inf

Asíntotas verticales

( )

f x Noexistenasíntotasverticales Dom =∀ ∈ℜ⇒

Asíntotas horizontales

0 0

lim lim

lim

0 0

lim lim

2 2

2

2 2

1 1

1

= ⇒ −∞ → ⇒

= ∞ = =

= =

= ⇒ ∞ → ⇒

= ∞ = =

=

∞ → − ∞ → − −∞ →

∞ → − ∞ →

y x

Cuando e

e e e

e y

y x

Cuando e

e e e

y

x x x x x x

x x x x

Asíntotas oblicuas

hay No x

Cuando e

xe e x

e x

e m

hay No x

Cuando e

xe e x

e m

x x

x

x x

x

x x x

x

⇒ −∞ → ⇒

= ∞ − = −

= − = =

⇒ ∞ → ⇒

= ∞ = =

=

∞ → −

−∞ →

∞ → −

∞ →

0 lim

lim lim

0 lim

lim

2 2

2

2 2

1 1

1

(3)

Continuación del Problema 2 de la Opción A

0 1 2 3

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Y

X

[ ]

(

)

⎩ ⎨ ⎧

= ⇒ =

− = ⇒ = ⇒ − = ⇒ = − ⇒ = −

− = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ ₋

⋅ − = − ⋅ − = ⋅

− = −

= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− ⋅

=− − − −

−

∫

0 1

8 3

2 2

1

2 1 1

1 2 1 2

1 2

)

2

8 8 8

0 8 8

0

8 0 8

0 3

1 1 2

t x

dt xdx dt

xdx t

x

e e e

dt e dt

e dx xe b

t t

(4)

CUESTIONES

C-1.- Sea A una matriz de columnas y determinante 4. Sea B otra matriz de determinante 2. Si C es la matriz de columnas

2

2× C₁,C₂

2

2× C1+C2 y , calcúlese el

determinante de la matriz .

2

3C

1

−

C

⋅

B

6 1 12

2 1

12 4 . 3 3

3 3

3

1 1

2 1 2

2 2 1 2 2 1

= = = ⋅ = ⋅ =

= = ⋅

= +

=

− −

C B C B C B BC

C C C

C C C C C C C

C-2.- Calcúlese la distancia del origen al plano π que pasa por y contiene a la recta

) 0 , 2 , 1 (

A z

y x

r≡( +2)/2=( −1)/3= .

(

)

(

) (

)

(

) (

)

(

)

( )

u

d

z y x x

z z y

z y

x

z y x z

y x AB

AB

v

O

r

59 59 5 59 5 7

3 1

5 0 . 7 0 . 3 0

0 5 7 3 0

1 9

2 2 3

0 0 1 3

1 3 2

2 1

, 2 , 1 0

, 2 , 1 , ,

0 , 1 , 3 0

, 2 , 1 0 , 1 , 2

1 , 3 , 2

2 2 2

= =

+ − +

+ + − =

= + + − ≡ ⇒ = − + + − − −

⇒ = −

−

− − ≡ ⇒ ⎪

⎩ ⎪ ⎨ ⎧

− − = −

=

− − = −

− =

=

π

C-3.- Calcúlese _x

x _e

x xln( ) lim

+∞ →

0 1 1 lim 1

lim

1 ) ln( lim 1 ) ln( lim )

ln(

lim ' '

= ∞ = =

=

= ⎯ ⎯ ⎯ ⎯

⎯ →

⎯ = ∞ ∞ = + =

⋅ + =

⎯ ⎯ ⎯ ⎯

⎯ →

⎯ = ∞ ∞ =

+∞ → +∞

→

+∞ → +∞

→ +∞

→

x x

Hopital L Utilizando x

x x

x Hopital L Utilizando x

x

xe e

x

e x e

x x x e

x x

(5)

C-4.- Aplicando el teorema de Lagrange de los incrementos finitos, demuéstrese que

para x>0 se verifica: ₂

1 ) ( arctg )

2 ( arctg

x x x

x

+ <

− .

( )

₍

( )

₎

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

( )

₍

₎

(

)

(

)

( )

₍

₎

(

)

(

)

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

/ 0

1 12

7

12 1 3

2 12

1 3

2 .

2

12 1 0

0 1 24

2 0 6 0

1 6

0 2 0

1 2

2 0

3 2 0

4 1 24

16 0 192 0

. 4 1 6

0 . 16 2

0 . 4 1

2 0

. 2

1 2 6 ''

' 1

2 ''

1 2 '

4 1

16 192

'' ' 4

1 16 ''

4 1

2 '

. 2

! 1 !

0 !

2 0 '' !

1 0 ' 0

2 3

3 3

2 2 2

2 2

3 3

3 2 2 2

2 2 2

3 2 2 2

2 2

3 2 2 2

2 2

1 1

2

> ℜ ∈ ∀ ⇒ + < + −

= − =

+ − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ ₋ ₊

− + − = −

= − =

⇒ ⎪

⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧

+ −

+ = +

⋅ − ⋅ + + ⋅

⋅ − +

⋅ + =

+ − + = +

⋅ − ⋅ + +

⋅ − ⋅ + + =

⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧

+ − = ⇒

+ = ⇒

=

+ − =

⇒ +

− = ⇒

+ = ⇒

=

⋅ + + ⋅ +

+ ⋅ +

⋅ +

= + +

x x

x x x

x g x f x h

x x

x x x

x x tg arc x tg arc x g x f x h

x x x

tg arc x g

x x x

x x

x tg

arc x f

x x x g x

x x

g x x

g x tg arc x g

x x x

f x

x x

f x x

f x tg arc x f

x n

x f x n f x

f x f f

x

f n

n n n

"

" "

(6)

PRUEBA B

PROBLEMAS

PR-1.- a)Determínese el punto simétrico de A(−3,1,−7) respecto de la recta

2 1 2

3

1= − = +

+

≡x y z

r .

b) Hállese la distancia entre A y r.

a) Por A trazaremos un plano π perpendicular a la recta r que tiene como vector genérico al de la recta que es perpendicular al vector formado por A y el punto genérico del plano G por lo que su producto escalar es nulo. Se halla el punto de corte de recta y plano que nos da el punto B, punto medio entre A y su simétrico A’

(

)

(

) (

)

(

) (

)

(

) (

)

(

) (

)

(

( )

(

)

( ) ( )

( )

( ) ( )

(

)

( )

[

]

[

( )

]

[

( )

]

( )

u

d d b

A z

z

y y

x x

B

z y

x B z

y x r

z y x z

y x

z y x

AG v AG v

z y x z

y x AG

v v

AB Ar

A A

A A r

2 2 8 2

2 0 5

7 1

1 3 3 )

3 , 3 , 3 '

3 7 5 2 2

7 5

3 1 1 2 2

1 1

3 3 3 2 2

3 3

5 , 1 , 3

2 2 1

2 2 3

2 1 2

0 9 18 0 15 2 1 2 2 3 2 1

2 1

2 3

1

0 15 2 2 0

7 2 1 2 3 0

7 , 1 , 3 2

, 2 , 1

0 7

, 1 , 3 7

, 1 , 3 ,

,

2 , 2 , 1

2 2

2 2 2

2

' '

= = − + + = − − − + − − + − − − = =

− − − ⇒

⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧

− = − − − ⋅ = ⇒ + − = −

− = − − ⋅ = ⇒ + = −

− = − − − ⋅ = ⇒ + − = − ⇒ − − −

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧

− + − =

− + =

− − = ⇒

− = ⇒ = + ⇒ = + + − + + + + − ⇒ ⎪

⎩ ⎪ ⎨ ⎧

+ − =

+ =

+ − = ≡

= + + + ≡ ⇒ = + + − + + ⇒ = + − + ⋅

⇒ = ⋅ ⇒ ⊥

⇒ ⎪⎩

⎪ ⎨ ⎧

+ − + = − −

− =

= =

λ λ

π π π

π

(7)

PR-2.- Sea , f(x)=ex +ln(x) x∈(0,∞).

a) Estúdiense los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f y sus asíntotas. b) Pruébese que f tiene un punto de inflexión en el intervalo

⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡

1 , 2 1

y esbócese la gráfica

de f.

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

) (

)

( )

⎪

⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧

> − =

< − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝

⎛ −

= − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

⎪ ⎪ ⎪

⎩ ⎪ ⎪ ⎪

⎨ ⎧

− =

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

− ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⇒ − =

− − +

= + − + =

∞ →

+ =

+ + =

⎯ ⎯ ⎯ ⎯

⎯ →

⎯ =

= ∞ ∞ = + =

+ =

⎯ ⎯ ⎯ ⎯

⎯ →

⎯ = ∞ ∞ = + =

+ =

∞ →

∞ = + =

+ =

⎯ ⎯ ⎯ ⎯

⎯ →

⎯ = ∞ ∞ = + =

= ⇒

= ⇒ ≥ ∈ ∀ =

> ℜ ∈ ∀ ⇒ ⇒

⎩ ⎨ ⎧

> ℜ ∈ ∀ ⇒ >

ℜ ∉ ∀ ⇒ − > ⇒

− > ⇒ > +

⇒ > + ⇒ > ⇒

⇒ + = + =

∞ → ∞

→

∞ → ∞

→ ∞

→

∞ → ∞

→ ∞

→

0 1 1

''

0 4 4

4 4

4 1

1 4 2 1 ''

1 1 1 1 ''

2 1

1 2

1

2 1 '' 1

1 1

) ( '' )

2 2 lim 2

1 lim

2 1 lim 2

lim 1

lim 1 lim

1 lim 1

lim 1

lim

0 0 0

0 / 0

/ 0

1 ln ln

1 0

1

0 1 0

) ( ' 1

1 )

( ' )

2 1 2

2 2 1 2

2 2 2

2 2

'

' 2

'

e f

e e

e f

x e x x

xe e x xe x

xe xe

e x x f b

x cuando oblicua

asíntota existe

No

x e e

x e

x x e x

xe e x

xe x

x xe y

oblicuas Asíntotas

x cuando horizontal

asíntota existe

No

x e xe

e x

xe y

es horizontal Asíntotas

x vertical asíntota

Existe

x x

x f Dom

verticales Asíntotas

x x

o Crecimient x

x x

x xe

xe xe

x xe x

f o Crecimient x

xe x e x f a

x x

x

x x x

x Hopital L Aplicando

x

x x x

x Hopital L Aplicando x

x x

x

x x x x

x Hopital L Aplicando x

x

x x

x

x x

(8)

Continuación del Problema 2 de la opción B

No hay puntos de discontinuidad en el intervalo ⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

1 , 2 1

Teorema de conservación del signo

Si f(x) es continua en x₀ y f

( )

x₀ ≠0, entonces existe un entorno x₀,

(

x₀ −δ ,x₀ +δ

)

≠0, en el que la función tiene el mismo signo que f

( )

x₀

(

)

, es decir

( )

[

f x

]

=sign

[

f

( )

x₀

]

,∀x∈ x₀ −δ , +δ

sign x₀

Corolario: Si una funciónes continua en un punto x₀, y toma valores negativos

4 2

1

'' ⎟= −

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

e

f ypositivos f ''

( )

1 =e−1en todo entorno de x₀entonces f

( )

x₀ =0

Consecuencia de todo ello

Teorema de Bolzano,- Si f(x) es continua en el intervalo [a , b], y toma valores de distinto signo en los extremos del intervalo

[

sign f

( )

a ≠sign f

( )

b

]

, entonces existe, al menos, un punto c∈

(

a,b

)

tal que f (c) = 0

Como

( )

_⎥

⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡

− = ≠

− = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

1 1

'' 4

2 1

'' e sign f e

f

sign , entonces existe, al menos, un punto

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

∈ , 1

2 1

c tal que f’’ (c) = 0 (Solución o soluciones de la ecuación) que es el punto de inflexión buscado

(9)

C-1.- Dadas las matrices , , hállense las matrices X que satisfacen ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 0 0 1 0 0 1 0 0 1 A 2 A ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 2 2 3 0 1 2 0 0 1 C C A XC+ = +

(

)

(

)

(

)

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = = ⋅ + = ⇒ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − ⇒ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − + = − + = ⇒ − + = ⇒ − + = − − − − − 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 I C I X A A A C A A I C A A C X C A A C XCC A A C XC

C-2.- Dados el punto A(3,5,−1) y la recta

4 1 2

2

1₌ ₊ ₌ +

−

≡ x y z

r , hállese el punto B

perteneciente a r tal que el vector de extremos A y B es paralelo al plano π de ecuación .

0 5 2

3x− y+z+ =

(

)

(

) (

)

(

)

(

) (

)

( )

1 5

(

1, 3, 5

)

4 1 3 1 2 1 1 2 1 1 0 8 8 0 4 2 14 6 6 0 1 , 2 , 3 4 , 7 , 2 2 0 1 , 2 , 3 4 , 7 , 2 2 1 , 5 , 3 4 1 , 2 , 2 1 4 1 2 2 1 − − − ⇒ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − = − ⋅ + − = − = − + − = − = − ⋅ + = ⇒ − = ⇒ = + ⇒ = + − + + − ⇒ = − ⋅ + − + − ⇒ = ⋅ ⇒ ⊥ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − = + − + − = − − + − + − + = ⇒ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + − = + − = + = B z y x B v AB v AB v AB z y x genérico B λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ π π π

C-3.- Estúdiese, según los valores de los números reales α y β, la continuidad de la función f definida por

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≠ + + = 0 si 0 si 1 )

( 1/

(10)

10

C-4.-Hállese el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones

2

x y= ,

2

x

y= , y =2x.

(

)

(

)

⎩ ⎨ ⎧

= ⇒ = −

= ⇒

= − ⇒ = − ⇒ = ⇒ =

⎩ ⎨ ⎧

= ⇒ = −

= ⇒

= − ⇒ = − ⇒ =

= ⇒ = ⇒ = ⇒ =

4 0

4 0 0

4 0

4 4

2 2

2 0

2 0 0

2 0

2 2

0 0

2 2

2

2 2

2 2 2 2

2

x x

x x x x x

x x

x x x

x x

x x x

x

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1 0 1 2 3 4 5

Y

X

[ ]

(

3 3

) (

2 2

)

(

3 3

)

2

4 0 3 4

2 2 2

0

4 0

2 0 3 2

4 2 2

4 3 12 3

32 36 8 3 32 12 3 8 6 64 12 3 8 0 4 6 1 2 4 0 2 3 1

3 1 2 1 2

1 2 3

1 2

u A

x x

x dx

x dx x dx x A

= = − + = − + = − + = − ⋅ − − + − ⋅ =

⇒ ⋅

⋅ − ⋅

⋅ + ⋅ = −

+