Caracterización Teórica y Experimental del Diseño de un Sistema de Freno por Plegado Automático para un Aerogenerador de Baja Potencia-Edición Única

(1)

Monterrey, Nuevo León a

INSTITUTO TECNOLÓGICO Y DE ESTUDIOS SUPERIORES DE MONTERREY

PRESENTE.-Por medio de la presente hago constar que soy autor y titular de la obra denominada "

", en los sucesivo LA OBRA, en virtud de lo cual autorizo a el Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey (EL INSTITUTO) para que efectúe la divulgación, publicación, comunicación pública, distribución, distribución pública y reproducción, así como la digitalización de la misma, con fines académicos o propios al objeto de EL INSTITUTO, dentro del círculo de la comunidad del Tecnológico de Monterrey.

El Instituto se compromete a respetar en todo momento mi autoría y a otorgarme el crédito correspondiente en todas las actividades mencionadas anteriormente de la obra.

De la misma manera, manifiesto que el contenido académico, literario, la edición y en general cualquier parte de LA OBRA son de mi entera responsabilidad, por lo que deslindo a EL INSTITUTO por cualquier violación a los derechos de autor y/o propiedad intelectual y/o cualquier responsabilidad relacionada con la OBRA que cometa el suscrito frente a terceros.

(2)

Caracterización Teórica y Experimental del Diseño de un

Sistema de Freno por Plegado Automático para un

Aerogenerador de Baja Potencia-Edición Única

Title Caracterización Teórica y Experimental del Diseño de un

Sistema de Freno por Plegado Automático para un Aerogenerador de Baja Potencia-Edición Única

Authors Humberto Ibarra Suárez

Affiliation ITESM-Campus Monterrey

Issue Date 2008-05-01

Item type Tesis

Rights Open Access

Downloaded 19-Jan-2017 05:38:41

(3)

CAMPUS MONTERREY

DIVISIÓN DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA PROGRAMA DE GRADUADOS EN INGENIERIA

CARACTERIZACIÓN TEÓRICA Y EXPERIMENTAL DEL DISEÑO DE UN

SISTEMA DE FRENO POR PLEGADO AUTOMÁTICO PARA UN

AEROGENERADOR DE BAJA POTENCIA.

TESIS

PRESENTADA COMO REQUISITO PARCIAL PARA OBTENER EL GRADO ACADÉMICO DE:

MAESTRO EN CIENCIAS

ESPECIALIDAD EN INGENIERÍA ENERGÉTICA

POR

HUMBERTO IBARRA SUAREZ

(4)

CAMPUS MONTERREY

DIVISIÓN DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA PROGRAMA DE GRADUADOS EN INGENIERÍA

Los miembros del comité de esta tesis recomendamos que el presente proyecto de tesis presentado por el Ing. Humberto Ibarra Suárez sea aceptado como requisito parcial para obtener el grado académico de:

Maestro en Ciencias con Especialidad en Ingeniería Energética

Comité de Tesis:

Dr. Oliver Matthias Probst Oleszewski Asesor

Dr. Ciro Ángel Rodríguez González Dr. Hugo Ramón Elizalde Siller Sinodal Sinodal

Aprobado:

Dr. Joaquín Acevedo Mascarúa

(5)

DEDICATORIA

A DIOS,

Porque me permite seguir disfrutando de la vida.

A MIS QUERIDOS ABUELOS, MARIA DEL PILAR, SALOMÉ, EUSTOLIA (†), E ISIDRO,

Por su ejemplo de cariño y unión familiar.

A MIS QUERIDOS PADRES, ANGÉLICA Y HUMBERTO,

A quienes les debo todo lo que soy. Cada una de las letras de este trabajo son para ustedes.

A MIS HERMANAS, ANGÉLICA, MARTHA Y BRENDA, Por todo el cariño y apoyo que me han brindado.

(6)

AGRADECIMIENTOS

A MI ASESOR, EL DR. OLIVER PROBST, por su invaluable asesoría y guía.

A MIS SINODALES, EL DR. CIRO RODRIGUEZ Y EL DR. HUGO ELIZALDE, por compartir su experiencia y conocimientos.

A MIS COMPAÑEROS Y AMIGOS JORGE ELIZONDO, JAIME MARTINEZ, ANGEL VALERIO Y RAFAEL DORREGO, un especial agradecimiento y sincero afecto, por su orientación y valiosas recomendaciones.

A MIS COMPAÑEROS Y AMIGOS, FATIMA CÓRTES, CLAUDIA CAMBERO, DIEGO CÁRDENAS, JUAN PABLO VARGAS, ROMAIN PIQUET, GUILLERMO COLUNGA, GABRIEL TREJO, ALEJANDRO SAUCEDO, LUIS QUINTERO Y JUAN JOSE PADRÓN, por brindarme siempre su amistad y apoyo sincero.

A MI TIO RAFAEL SUÁREZ, quién me proporcionó la camioneta para realizar las pruebas de campo.

(7)

RESUMEN

En este trabajo de tesis se analizó el comportamiento de un sistema de frenado por plegado automático para un aerogenerador de baja potencia, conocido comúnmente como Furling. Se modeló este comportamiento con un enfoque Hamiltoniano usando las Ecuaciones de Lagrange y se realizaron pruebas de campo para cotejar las predicciones del modelo. Se realizaron simulaciones del comportamiento de tres aerogeneradores de baja potencia, incluyendo un aerogenerador de tipo Lenz manufacturado por el grupo de energía eólica del ITESM, analizando los parámetros de tipo geométrico, de aerodinámica y de carga.

Se desarrolló un esquema de pruebas de campo llamado “pruebas de camioneta” en el cuál se detalla el procedimiento de armado de una torre de tres metros sobre la caja de una camioneta para simular lo más real posible, las condiciones de viento deseado. El lugar de pruebas seleccionado constó de un tramo de 1,000m., de los cuáles 500m. era un trayecto plano, suficiente para reportar las mediciones, y se ubicó en Carretera a Potrero Chico, en el Municipio de Hidalgo, Nuevo León. Este esquema de pruebas proporcionó una pauta para analizar otros parámetros no considerados en el sistema de frenado, ya que se midió el efecto de estela del aerogenerador.

(8)

CONTENIDO

Resumen I

Contenido II

Lista de Figuras V

Lista de Tablas IX

CAPITULO 1.- INTRODUCCIÓN 1

1.1 Antecedentes 1

1.2 Clasificación de los sistemas de frenado para aerogeneradores 2

1.2.1 Regulación por frenos aerodinámicos 2

1.2.2 Mediante el control electrónico de la potencia 3

1.2.3 Regulación por desenganche de las palas (Darrieux) 3

1.2.4 Regulación por orientación del rotor 4

1.3 Hipótesis 5

1.4 Objetivos 5

1.5 Importancia del estudio 6

1.6 Limitaciones del estudio 6

1.7 Organización de la tesis 6

CAPITULO 2.- MODELO FURLING 8

2.1 Justificación del modelo 8

2.2 Definición de ejes 8

2.2.1 Matrices de transformación 13

2.3 Geometrías 14

2.4 Energías Cinética y Potencial del sistema 16

2.4.1 Lagrangiano 20

2.5 Momento en eje de Yaw 24

2.6 Momento en eje de Furling 27

2.6.1 Momento por límites 27

2.6.2 Momento aerodinámico por la veleta 28

CAPITULO 3.- EFECTO ESTELA 32

3.1 Antecedentes del efecto estela 32

3.1.1 Definición estela 32

3.2 Déficit de velocidad por la estela 32

3.3 Análisis del déficit de velocidad en la estela por BEM 33

3.4 Diseño de pruebas para la medición del viento en la estela del aerogenerador 34

3.4.1 Procedimiento para mediciones de velocidad en estela 34

3.4.2 Calibración de anemómetros 35

3.5 Resultados de las pruebas de estela 37

3.6 Restricciones del modelo por efecto estela 39

3.6.1 Análisis de la geometría para la estela en aerogenerador Bergey XL.1 40 3.6.2 Análisis de la geometría para la estela en aerogenerador Modelo Lenz y Aeroluz 45

CAPITULO 4.- SIMULACIONES 47

4.1 Casos de Estudio 47

4.2 Simulaciones Aerogenerador AEROLUZ Pro 48

4.2.1 Respuesta del sistema Aerogenerador Aeroluz Pro 48

4.2.2 Correlación del ángulo de Furling con parámetros de diseño 50

4.2.2.1

Ángulo Gamma –

Parámetro L3 50

(9)

4.2.2.4

Ángulo Gamma –

Parámetro A 53

4.2.2.5

Ángulo Gamma –

Parámetro L1 53

4.2.2.6 Ángulo Gamma – Parámetro L2 54

4.2.2.7

Ángulo Gamma –

Parámetro L4 55

4.2.2.8

Ángulo Gamma –

Parámetro L5 56

4.3 Simulaciones Aerogenerador BERGEY XL.1 57

4.3.1 Geometrías y parámetros de diseño Aerogenerador Bergey XL.1 57

4.3.2 Respuesta del sistema Aerogenerador Bergey XL.1 59

4.3.3.2 Ángulo Gamma – Parámetro Mg 62

4.3.3.3 Ángulo Gamma – Parámetro Mt 63

4.3.3.4 Ángulo Gamma – Parámetro A 63

4.3.3.5

Ángulo Gamma –

Parámetro L1 64

4.3.3.6

Ángulo Gamma –

Parámetro L2 64

4.3.3.7

Ángulo Gamma –

Parámetro L4 65

4.3.3.8

Ángulo Gamma –

Parámetro L5 65

4.4 Simulaciones Aerogenerador LENZ 66

4.4.1 Geometrías y parámetros de diseño Aerogenerador Lenz 66

4.4.2 Respuesta del sistema Aerogenerador Lenz 68

4.4.3.2 Ángulo Gamma – Parámetro Mg 70

4.4.3.3 Ángulo Gamma – Parámetro Mt 71

4.4.3.4

Ángulo Gamma –

Parámetro A 72

4.4.3.5

Ángulo Gamma –

Parámetro L1 72

4.4.3.6

Ángulo Gamma –

Parámetro L2 73

4.4.3.8

Ángulo Gamma –

Parámetro L5 74

CAPITULO 5.- DISEÑO DE PRUEBAS EXPERIMENTALES 75

5.1 Justificación de pruebas 75

5.2 Sistemas de pruebas 75

5.3 Diseño de “Pruebas de Camioneta” 76

5.3.1 Armado de torre y aerogenerador en camioneta 76

5.3.2 Armado de Equipo 78

5.3.3 Configuración eléctrica para pruebas 83

(10)

5.4.1 Báscula para medición de fuerza axial 86

5.4.2 Anemómetro para medición de velocidad de viento axial 87

5.4.3 Láser para medición de ángulo de desalineamiento del rotor al actuar el Furling 87

5.5 Esquema de Pruebas 88

5.5.1 Variación de ángulo de Furling (Parámetro Gamma) 88

5.5.2 Variación de la masa de la veleta 90

5.5.3 Variación de Área de la veleta 90

5.5.4 Variación de geometría L3 91

5.6 Sitio de pruebas 91

CAPITULO 6.- ANALISIS DE RESULTADOS 93

6.1 Fuerza del viento en el rotor 93

6.2 Pruebas con resistencias 94

6.3 Pruebas en configuración con baterías 97

CAPITULO 7.- CONCLUSIONES, LIMITACIONES E INVESTIGACIONES POSTERIORES 101

7.1 Conclusiones Generales 101

7.2 Conclusiones de Pruebas 102

7.3 Limitaciones 103

7.4 Investigaciones posteriores 103

REFERENCIAS 104

ANEXO A

ANEXO B

ANEXO C

ANEXO D

(11)

Lista de Figuras

[image:11.612.91.549.98.733.2]

Figura 1.1

Secuencia del desplome de un aerogenerador cuando sus aspas golpean la torre por vientos

excesivos. 2

Figura 1.2

Regulación del ángulo de inclinación de las aspas mediante resortes, por acción de la fuerza

centrífuga. 3

Figura 1.3

Regulación por desenganche de las

aspas. 4

Figura 1.4 Sistema de regulación por orientación del rotor. 4

Figura 2.1 Eje referencial A. 9

Figura 2.2 Eje referencial B. 9

Figura 2.3 Eje referencial C. 9

Figura 2.4 Eje referencial D. 10

Figura 2.5 TILT ángulo . 11

Figura 2.6 FURLING ángulo . 11

Figura 2.7

Rotación en xc ángulo

δ. 12

Figura 2.8 Ángulos de orientación. 12

Figura 2.9

Geometrías desde el

plano y. 14

Figura 2.10

plano x. 15

Figura 2.1

plano y. 15

Figura 2.1 Vector rot del eje de Yaw al centro de masa de la veleta. 16

Figura 2.1

Topes o límites de la

veleta. 28

Figura 2.1 Rango de giro de la veleta limitado por los topes. 28 Figura 3.1 Efecto estela apreciado con humo que sale de un aspa. 32 Figura 3.2 Déficit de velocidad a tres diámetros tras el aerogenerador por BEM. 33 Figura 3.3 Aerogenerador con anemómetro en la parte trasera para medir velocidad de estela. 34 Figura 3.4 Gráfico de velocidad medida en el tubo de Pitot del túnel de viento del ITESM contra la

frecuencia del osciloscopio y la regresión lineal de cada anemómetro.

36

Figura 3.5 Gráfico de las funciones obtenidas de las regresiones lineales de cada anemómetro. 36 Figura 3.6 Gráfico de la diferencia en las funciones de los anemómetros 1 y 2. 37

Figura 3.7

Posiciones del anemómetro tras la

turbina. 38

Figura 3.8 Ajuste de la curva del comportamiento del factor de déficit de velocidad por la estela en fusión de la posición de la raíz a al punta del aspa.

39

Figura 3.9 Área afectada por la estela en estado estable(a) y en Yaw(b). 40 Figura 3.10 Esquema de las geometrías del aerogenerador Bergey XL.1 (vista superior) 41 Figura 3.11 Esquema con un giro de Yaw mínimo donde L2 ´ < L5 ´ 42 Figura 3.12 Esquema con un giro de Yaw suficiente para que L2 ´ = L5 ´ 42 Figura 3.13 Esquema con un giro de Yaw suficiente para que L2 ´ > L5 ´ 43 Figura 3.14 Posición del punto p2 del aerogenerador Bergey XL.1 (vista superior) 43 Figura 3.15 Posición del punto p1 del aerogenerador Bergey XL.1 (vista superior) 44 Figura 3.16 Esquema de las geometrías del aerogenerador Aeroluz (vista superior) 45 Figura 3.17 Posición del punto p2y p1 del aerogenerador Aeroluz (vista superior) 45

Figura 4.1 Aerogenerador Aeroluz modelo Aeroluz Pro. 48

(12)

Aerogenerador de Aeroluz Pro.

Figura 4.3 Gráfico de la respuesta del modelo a una velocidad de viento por arriba del diseño

Aerogenerador de Aeroluz Pro. 49

Figura 4.4 Gráfico del comportamiento del ángulo θa diversas velocidades de vientoAerogenerador de

Aeroluz Pro. 49

Figura 4.5 Gráfico del comportamiento del ángulo ψ a diversas velocidades de viento Aerogenerador de

Aeroluz. 49

Figura 4.6 Gráfico de correlación de la velocidad de entrada a Furling en función del parámetro L3 a

Diversos ángulos de Furling γ (Aerogenerador Aeroluz Pro)

50

Figura 4.7 Ejemplo de uso de curvas de correlación. Parámetro L3 (Aerogenerador Aeroluz Pro) 51

Figura 4.8 Gráfico de correlación de la velocidad entrada a Furling en función del parámetro Mg a diversos ángulos de Furling γ ( Aerogenerador Aeroluz Pro)

52

Figura 4.9 Gráfico de correlación de la velocidad entrada a Furling en función del parámetro Mt a diversos ángulos de Furling γ ( Aerogenerador Aeroluz Pro)

52

Figura 4.10 Gráfico de correlación de la velocidad de entrada a Furling en función del parámetro A a diversos ángulos de Furling γ (Aerogenerador Aeroluz Pro)

53

diversos ángulos de Furling γ (Aerogenerador Aeroluz Pro)

54

55

Figura 4.1 Gráfico de Superficies de la reacción de entrada a Furling correlacionadas con el parámetro L4. γ (Aerogenerador Aeroluz Pro)

55

Figura 4.2 Grafico de correlación de la velocidad de entrada a Furling en función del parámetro L5 a

56

Figura 4.2 Gráfico de Superficies de la reacción de entrada a Furling correlacionadas con el parámetro L5 . La reacción es del ángulo θ en a) corresponde a un ángulo de Furling(γ) de 6° y b) a un

ángulo de 30° (Aerogenerador Aeroluz Pro)

56

Figura 4.2

Aerogenerador Bergey

XL.1 57

Figura 4.2

Geometría de

aerogenerador Bergey

XL.1 57

Figura 4.2

Gráfico de la Fuerza en las aspas a diversas velocidades de viento Aerogenerador Bergey

XL.1 59

Figura 4.20 Gráfico de la respuesta del modelo a una velocidad de viento por debajo de las de diseño. 60 Figura

4.2

Gráfico de la respuesta del modelo a la velocidad de viento abajo del diseño donde el sistema de plegado automático comienza a reaccionar.

60

Figura 4.2 Gráfico de la respuesta del modelo a la velocidad de viento máxima de diseño. 60 Figura 4.2 Gráfico del comportamiento del ángulo θa diversas velocidades de viento. 61 Figura 4.2 Gráfico del comportamiento del ángulo ψ a diversas velocidades de viento. 61 Figura

4.3

Gráfico de correlación de la velocidad de entrada a Furling en función del parámetro L3 para

diversos ángulos de Furling γ (Aerogenerador Bergey XL.1)

62

Figura 4.3 Gráfico de correlación de la velocidad de entrada a Furling en función del parámetro Mg para diversos ángulos de Furling γ (Aerogenerador Bergey XL.1)

62

Figura 4.3 Gráfico de Correlación de velocidad entrada a Furling en función del parámetro Mt para diversos ángulos de Furling γ (Aerogenerador Bergey XL.1)

63

Figura 4.3 Gráfico de correlación de la velocidad de entrada a Furling en función del parámetro A para diversos ángulos de Furling γ (Aerogenerador Bergey XL.1

63

Figura 4.3 Gráfico de correlación de la velocidad de entrada a Furling en función del parámetro L1 para

(13)

Figura 4.3 Gráfico de Correlación de velocidad entrada a Furling en función del parámetro L4 para

65

Figura 4.3 Gráfico de correlación de la velocidad de entrada a Furling en función del parámetro L5 para

65

Figura 4.3 Aerogenerador Lenz manufacturado por el grupo de energía eólica del ITESM. 66

Figura

4.3 Geometría de

aerogenerador Lenz. 66

Figura 4.4 Gráfico de la Fuerza en las aspas a diversas velocidades de viento Aerogenerador Lenz. 68

Figura

4.4 Gráfico de la respuesta del modelo a una velocidad de viento por debajo del las de diseño

Aerogenerador Lenz. 68

Figura

4.4 Gráfico de la respuesta del modelo a una velocidad de viento por arriba del la de diseño

Aerogenerador Lenz. 69

Figura

4.4 Gráfico del comportamiento del ángulo θ a diversas velocidades de viento Aerogenerador

Lenz. 69

Figura

4.4 Gráfico del comportamiento del ángulo ψa diversas velocidades de viento Aerogenerador de

Lenz. 69

Figura 4.40 Gráfico de correlación de la velocidad de entrada a Furling en función del parámetro L3 para

diversos ángulos de Furling γ (Aerogenerador Lenz)

70

Figura 4.4 Gráfico de correlación de la velocidad de entrada a Furling en función de la masa del rotor Mg para diversos ángulos de Furling γ (Aerogenerador Lenz)

71

Figura 4.4 Gráfico de Correlación de velocidad entrada a Furling en función del parámetro Mt para diversos ángulos de Furling γ (Aerogenerador Lenz)

71

Figura 4.4 Gráfico de correlación de la velocidad de entrada a Furling en función del área de la veleta A para diversos ángulos de Furling γ (Aerogenerador Lenz)

72

73

Figura 4.5 Gráfico de correlación de la velocidad de entrada a Furling en función del parámetro L4

para diversos ángulos de Furling γ (Aerogenerador Lenz)

73

Figura 4.5 Gráfico de correlación de la velocidad entrada a Furling en función del parámetro L5 para

74

Figura 5.1 Túnel de viento a pequeña escala Departamento de termo-fluidos ITESM. 75

Figura 5.2

Pruebas de camioneta para un aerogenerador de baja potencia, coordinadas por estudiantes

de la UFRO en Chile. 76

Figura 5.3 Piezas para armado de torre en camioneta. 77

Figura 5.6 Pivoteado de torre. 79

Figura 5.7

Armellas y calzas para

armado de torre . 79

Figura 5.8

Armado de torre sección

inferior. 80

Figura 5.9

Armado de tubo de

sujeción principal. 80

Figura 5.10

Cable tensor principal y

báscula. 81

Figura 5.11 Armado de segunda sección de la torre con tornillos y armellas . 81

Figura 5.12

Instalación de aerogenerador en la

torre. 82

Figura 5.13 Formas de elevar la torre a)manual b) sistema de polea con vehículo. 82

Figura 5.14 Instalación de veleta. 83

(14)

sistema eólico.

Figura 5.16 Esquema de pruebas con conexión de resistencias de ½ ohm en estrella. 85 Figura 5.17 Esquema de pruebas con conexión con baterías en serie con un total de 12Volts. 85

Figura 5.18 Báscula y su instalación. 86

Figura 5.19

Anemómetro y su

instalación. 87

Figura 5.20 Láser, instalación y modo de medición por tabla graduada. 88 Figura 5.21 Diversos ángulos de furling para pruebas y su instalación. 89 Figura 5.22 Aditamento para ajustes de angulo de veleta para pruebas y su instalación. 89 Figura 5.23 Masa extra en el centro de masa de la veleta. 90

Figura 5.24

Veletas a probar placa

plana y con aleta. 90

Figura 5.25 Relación del centro de masa y la longitud L3. 91

Figura 5.26

Esquema del lugar de

pruebas. 92

Figura 5.27 Sitio de pruebas (Carretera a Potrero Chico en el Municipio de Hidalgo, N.L.) 92

Figura 6.1

Diagrama de fuerzas

sobre la torre. 93

Figura 6.2

Aerogenerador en

Furling. 93

Figura 6.3 Gráfico de Fuerza axial en el rotor Vs Velocidad de viento medido. 94

Figura 6.4 Dimensiones de la torre 95

(15)

Lista de Tablas

Tabla 3.1 Posición (A1,B) raíz. 38

Tabla 3.2 Posición (A2,B) centro. 38

Tabla 3.3 Posición (A3,B) punta. 38

Tabla 4.1 Datos Geométricos Aerogenerador Bergey XL.1. 58 Tabla 4.2 Datos de diseño Resortes (Bergey XL.1) 58

Tabla 4.3 Datos de diseño de baleros (Bergey XL.1) 58

Tabla 4.4 Datos diseño veleta y rotor (Bergey XL.1) 58

Tabla 4.5 Estado inicial del sistema (Bergey XL.1) 58

Tabla 4.6 Datos Geométricos Aerogenerador Lenz. 67

Tabla 4.7 Datos de diseño resortes Lenz. 67

Tabla 4.8 Datos de diseño baleros Lenz. 67

Tabla 4.9 Datos diseño veleta y rotor Lenz. 67

Tabla 4.10 Estado inicial del sistema Lenz. 67

(16)

Capítulo 1. Introducción

1.1Antecedentes

Los aerogeneradores1 ó turbinas eólicas requieren de un sistema de control mecánico o

electrónico que permita regular el giro de las aspas y por ende del rotor. Cuando un

aerogenerador está sometido a una determinada velocidad del viento, comienza a girar;

dicha velocidad es denominada de conexión, pero su giro es lento y el aerogenerador está

lejos de generar su máxima potencia. A medida que la velocidad del viento aumenta, el

rotor gira más rápido y la potencia que produce también aumenta; a una determinada

velocidad el rotor gira a las revoluciones precisas para que la máquina proporcione su

potencia nominal2 y a partir de ese momento, aunque aumente la velocidad del viento, no

interesa que la velocidad del giro aumente, por lo que hay que actuar sobre ella

regulándola.

A velocidades altas de rotación la fuerza centrífuga en las aspas sería también alta, ya que

los sistemas de sujeción de éstas al rotor no soportarían esta fuerza y existe la posibilidad

de que las aspas se desprendan o se fracturen; inclusive la fuerza axial (dirección del eje del

rotor) en las aspas provocada por vientos fuertes podría flexionarlas y ocasionar que

golpeen la torre con consecuencias no deseadas, como se puede apreciar en la secuencia de

imágenes del la Figura 1.1. Por otro lado, estos sistemas de control también permiten

optimizar el funcionamiento del aerogenerador, como en el caso de la generación de

energía eléctrica donde se requiere una frecuencia constante, para lo cuál, se debe mantener

la velocidad de giro del rotor dentro de ciertos límites para obtener un alto rendimiento del

generador.

1

(17)

Figura 1.1 Secuencia del desplome de un aerogenerador sin freno, cuando sus aspas se doblan por vientos excesivos y golpean la torre[31]

1.2 Clasificación de los sistemas de frenado para aerogeneradores

De manera muy general, los diversos sistemas de regulación para los aerogeneradores se

clasifican como sigue:

• Regulación por frenos aerodinámicos.

• Mediante el control electrónico de la potencia.

• Regulación por desenganche de las aspas (Darrieux).

• Regulación por orientación del rotor.

1.2.1 Regulación por frenos aerodinámicos

Estos sistemas se activan por la acción de la fuerza centrífuga y actúan cuando el giro del

rotor no es el adecuado al sobrepasar un cierto valor. La sencillez de este mecanismo de

regulación es una de las principales características de los aerogeneradores de baja potencia.

Estos sistemas se basan en el efecto de la fuerza centrífuga de rotación.

La actuación del frenado aerodinámico se realiza mediante un adecuado dispositivo que

consiste en colocar perfiles aerodinámicos en los extremos de las aspas del rotor que

(18)

variación del ángulo de inclinación 3 [1] de las aspas, que puede incluir toda el aspa, parte

de la misma o mediante alerones. En la figura 1.2 se presenta un esquema de un ejemplo de

estos sistemas.

Figura 1.2 Regulación del ángulo de inclinación de las aspas mediante resortes, por acción de la fuerza centrífuga[32]

1.2.2 Mediante el control electrónico de la potencia

Se puede variar la velocidad del rotor en un pequeño margen, mediante resistencias

rotóricas variables, controladas por un microprocesador y accionadas por interruptores

estáticos; de esta forma se consigue variar el deslizamiento del generador, y con ello la

velocidad del rotor.

1.2.3 Regulación por desenganche de las aspas (Darrieux o de eje Vertical)

Mediante la acción de una varilla, las aspas se encuentran en una posición en la que el

viento no actúa sobre ellas; se conoce también como regulación por bandera y se utiliza en

aquellas máquinas eólicas cuya velocidad de giro no tiene la necesidad de ser constante, ya

que no se accionan generadores eléctricos. En la figura 1.3 se presenta este sistema.

(19)

Figure 1.3 Regulación por desenganche de las aspas [32]

1.2.4 Regulación por orientación del rotor

En aerogeneradores de baja potencia existe peligro para la hélice cuando la velocidad del

viento se incrementa, ya que este puede tener tal fuerza que doble las aspas. Un modo de

evitar esto, es desorientar el rotor de modo que las aspas ofrezcan al viento la mínima

superficie posible, para que no interaccione con ellas.

En los dispositivos de aspas fijas existen mecanismos que consiguen la regulación del giro

del rotor, haciendo que el plano del mismo gire de manera que la superficie que ofrece al

viento disminuya; esto se consigue con una conexión que articula el eje del rotor con el eje

de transmisión o colocando una excéntrica que haga que la fuerza de empuje del viento

produzca un momento que desoriente el plano del rotor. En estas situaciones la hélice deja

de estar en posición frontal a la dirección del viento. En la figura 1.4 se presenta un

esquema de este sistema.

(20)

Cada sistema tiene sus ventajas y desventajas y según el modelo de aerogenerador es el tipo

de sistema de freno que se le adecuará. En el presente estudio de tesis utilizaremos el

sistema de regulación por orientación del rotor con su variante “sistema con ángulo de paso

fijo y variación del área de captación” el cuál es conocido comúnmente como Furling o

Auto Furl. El nombre Furling proviene del mecanismo de los veleros que nos permite

disminuir la superficie de una vela enrollándose sobre sí misma; ya que en aerogeneradores

este sistema hace una función análoga, variando el área de captación de viento de las aspas,

desorientando el rotor.

1.3 Hipótesis

Aplicar un modelo del comportamiento de un sistema de frenado por plegado

automático. Este modelo consiste en resolver las ecuaciones de movimiento de Lagrange

[2] para todo el sistema.

El modelo predice la respuesta del generador bajo condiciones estables (velocidad de

viento constante) e involucra las dependencias tanto mecánicas como aerodinámicas para

absorber un posible error. En pruebas de campo se corroborará lo que el modelo predice.

1.4 Objetivos

Se tienen los siguientes Objetivos:

1. Explicar de manera estructural el modelo para que su aplicación sea sencilla.

2. Analizar dos modelos de aerogeneradores y simular su configuración, con el

objetivo de corroborar si lo que el fabricante afirma en su hoja técnica es

aproximado a lo que el modelo reporta.

3. Analizar un tercer modelo de aerogenerador manufacturado en el ITESM y

generar las mismas simulaciones.

(21)

5. Desarrollar un esquema de pruebas experimentales con el propósito de conocer

el comportamiento del aerogenerador Lenz manufacturado por el grupo de

energía eólica del ITESM.

1.5 Importancia del estudio

Existen pocas fuentes que analizan este sistema de manera teórica y práctica, generalmente

se puede encontrar información de cómo manufacturar un pequeño aerogenerador y se

proporcionan las geometrías e incluso el ángulo de Furling [3]; pero éstos fueron obtenidos

de manera empírica. Existen estudios del comportamiento de este sistema, pero los

fabricantes de aerogeneradores solo reportan las conclusiones específicas del sistema, ya

que consideran confidencial el estudio realizado.

La presente tesis analiza más de un tipo de aerogenerador para cotejar que el modelo

propuesto aplique no solo para ciertas configuraciones.

1.6 Limitaciones del estudio

El modelo involucra las teorías más importantes que rigen el sistema, sin embargo no

considera el efecto de las vibraciones mecánicas que pueden generarse en función de la

velocidad del viento y en el diseño del sistema para absorber estas vibraciones. Así mismo

tampoco incluye el efecto giroscópico de las aspas.

1.7 Organización de la tesis

La presente tesis consta de 7 capítulos que tienen por objetivo abrir una ventana al sistema

Furling.

El capítulo uno presenta una visión general de los sistemas de control de velocidad

rotacional para diversos modelos de aerogeneradores; así mismo, presenta la justificante de

(22)

El capítulo dos presenta el modelo a estudiar, su explicación matemática y justificación.

Así mismo presenta un método de solución numérica para el modelo.

El capítulo tres profundiza en el efecto denominado estela, es decir, una larga cola de

viento bastante turbulenta y ralentizada, si se compara con el viento que llega al

aerogenerador, que es producida por las aspas.

El capítulo cuatro considera el modelo que se propone en el capítulo 2, se programa en

MATLAB y se realizan simulaciones para cotejar que el momento cuándo entra el sistema

de plegado automático es el reportado por los fabricantes en su hoja técnica; así mismo se

generan simulaciones para correlacionar los efectos de un parámetro contra otros.

El capítulo cinco presenta el esquema de las pruebas experimentales y se justifica el tipo de

pruebas realizadas.

El capítulo seis analiza los datos generados en las pruebas experimentales y se filtran para

su análisis.

El capítulo siete presenta las conclusiones comparando el modelo con las pruebas

experimentales y propone el potencial de los trabajos que se podrían generar, incluyendo

las limitantes tanto del modelo como de las pruebas.

(23)

Capítulo 2. MODELO FURLING

2.1 Justificación del modelo

Modelar el sistema Furling no es una tarea sencilla ya que se involucran muchas variables.

Esta modelación fue realizada por el grupo de Energía Eólica del ITESM, con ayuda de

artículos que proponen sistemas de solución[2] y se pondrá a prueba con

experimentaciones en campo.

Como ya se mencionó en el capítulo 1, el sistema de frenado por plegado automático o

conocido comúnmente como Furling, consiste en desorientar el plano del rotor (las aspas)

de la dirección del viento y de esta manera el vector de velocidad no incidirá de manera

perpendicular al plano, de tal forma que la potencia del generador disminuirá por un efecto

menor de esta componente.

La importancia de esta modelación consiste en la conjunción de la mecánica y la

aerodinámica para la obtención de los momentos ocasionados por la fuerza del viento que

se ejerce sobre el rotor y la veleta.

Para este tipo de sistemas donde se tienen momentos que son función de fuerzas externas a

las gravitatorias, es más conveniente usar el enfoque Hamiltoniano, que presenta los

mismos conceptos que las leyes de Newton, pero que parte de las energías potencial y

cinética, en lugar de fuerzas. Se optó entonces por usar las Ecuaciones de Movimiento de

Lagrange[ 4] para fines prácticos.

2.2 Definición de ejes

Se definen cuatro ejes de coordenadas para fines de aplicación del modelo, presentando a

continuación un esquema de la distribución de estos ejes en el aerogenerador y su

explicación:

(24)

En la figura 2.1 se esquematiza el eje referencial A desde una vista superior de un

aerogenerador sin aspas, como podemos observar que siempre yˆ apuntando al norte. En _A

la figura 2.2 se sobreponen los ejes A y B observando que yˆ sigue viendo el norte _A

mientras que yˆ se mueve con el eje del rotor. _B

En la figura 2.3 se observa el eje C con origen en el eje de Furling y con yˆ apuntado en _C

dirección opuesta a la veleta.

A

x

ˆ

A

y

ˆ

C

y

ˆ

C

x

ˆ

C

z

ˆ

A

x

ˆ

A

y

ˆ

B

y

ˆ

B

x

ˆ

Figura 2.1 Eje referencial A Figura 2.2 Eje referencial B

(25)

El eje referencial D es la dirección del viento y en la figura 2.4 se aprecia como el rotor

esta alineado al viento traslapándose los ejes B y D pero como se aprecia el rotor esta

desfasado del norte (eje A) en un ángulo

ξ

. Por facilidad para cálculos se considerará el

viento siempre en dirección del Norte.

A continuación se detallan cada un de estos ejes de referencia:

Eje A: Es un sistema de referencia inercial con su origen en el eje de YAW.

Coordenadas: xˆ con dirección positiva hacia el Este. A

yˆ con dirección positiva hacia el Norte. A

zˆ con dirección positiva Vertical. _A

Eje B: Es un sistema de referencia inercial que se mueve con el eje del generador con su

origen en el eje de YAW.

Coordenadas: xˆ_B = yˆ_B ×zˆ_B con dirección positiva determinada por el producto cruz de yˆ _B y zˆ _B

yˆ paralelo a la flecha del generador y positiva hacia las aspas. _B

zˆ con dirección positiva Vertical. _B

Eje C: Es un sistema de referencia que se mueve junto con el Eje B pero dependiente de la

veleta y con origen en el eje de Furling.

A

x

ˆ

A

y

ˆ

B

x

ˆ

D

y

ˆ

D

x

ˆ

Dirección del viento

ξ

B

y

ˆ

(26)

Coordenadas: xˆ_C = yˆ_C ×zˆ_C con dirección positiva determinada por el producto cruz de yˆ _C y zˆ . C

yˆ opuesto a la dirección de la veleta. _C

zˆ es normal al plano que forma _C xˆ y _C yˆ al cambiar _C ψ .

Eje D: Es un sistema de referencia del viento con origen en el eje de YAW.

Coordenadas: xˆ_D = yˆ_D×zˆ_D con dirección positiva determinada por el producto cruz de yˆ _D y zˆ . _D

yˆ en dirección del viento. _D

zˆ con dirección positiva Vertical. _D

Se definen ángulos que se utilizarán para generar las respectivas matrices de

transformación entre cada eje de coordenadas:

β : Definido como ángulo “TILT” es un ángulo entre la horizontal (yˆ ) y la flecha del _B

Generador, su rotación es en xˆ . Figura 2.5 _B

γ_{: Es una rotación en}

C

yˆ después de realizar la rotación de β. Figura 2.6

δ : Es una rotación en xˆ después de realizar la rotación de _C γ . Figura 2.7

C yˆ C

zˆ

γ

Figura 2.5 TILT ángulo β

β

B yˆ

(27)

Así mismo se definen ángulos de orientación de de estos ejes:

ξ : Ángulo entre el Norte y la dirección del viento.

θ : Ángulo entre el eje del rotor y la dirección del viento.

ψ : Ángulo entre la veleta y el eje del rotor.

δ

C xˆ

Figura 2.7 Rotación en xˆ_C ángulo δ

Figura 2.8 Ángulos de orientación.

ψ

(28)

2.2.1 Matrices de transformación

Un vector en el sistema A se traduce al sistema D mediante la siguiente matriz de

transformación: ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = 1 0 0 0 cos 0 cos ξ ξ ξ ξ ξ sen sen R

Un vector en el sistema A se traduce al sistema B mediante la siguiente matriz de

transformación: ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = 1 0 0 0 cos 0 sin cos θ θ θ θ θ sen R

Un vector en el sistema B se traduce al sistema C mediante la siguiente matriz de

transformación: ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = β β β β β cos 0 cos 0 0 0 1 sen sen R ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = γ γ γ γ γ cos 0 0 1 0 0 cos sen sen R ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = δ δ δ δ δ cos 0 cos 0 0 0 1 sen sen R

La matriz R condensa todas estas transformaciones y su matriz inversa proporciona el

efecto opuesto:

δ γ

βR R

R

(29)

2.3 Geometrías

La configuración de un generador en los sistemas ya mencionados esta definido por las

siguientes geometrías importantes que también determinan el comportamiento del sistema

de plegado automático:

L1 : Distancia en dirección −xˆB entre el eje de YAW y el eje de Furling. L2 : Distancia en dirección − yˆ_B entre el eje de YAW y el eje de Furling.

L3 : Distancia en dirección de la veleta (en el plano xˆ y _C yˆ ) desde el eje de Furling hasta _C

el centro de masa de la veleta.

L4 : Distancia en dirección yˆ entre el eje de YAW y el centro de masa del generador. B

L5 : Distancia en dirección xˆ entre el eje de YAW y el centro de masa del generador. _B

3

L

Δ : Es la distancia del centro de gravedad de la veleta sobre el eje yˆ al centro _C aerodinámico de la misma.

4

L

Δ : Es la distancia del centro de gravedad del rotor al centro aerodinámico del mismo.

A continuación se presentan gráficamente estas geometrías:

L4 ΔL₄

L2

c.m c.a.

Eje YAW

Eje FURLING

(30)

C.A.V. Centro aerodinámico de la veleta

C.M.V Centro de masa de la veleta

C.A.R. Centro aerodinámico del rotor

C.M.R Centro de masa del rotor

2.4 Derivación de la dinámica del sistema por Ecuaciones de Lagrange

El análisis dinámico de este sistema por

Las ecuaciones de movimiento de Lagrange son definidas de la siguiente forma general:

θ

θ Q

L L dt

d

= ∂ ∂ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂

& _ψ _ψ Qψ

L L

dt

d ₌

∂ ∂ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛

∂ ∂

& (Ec. 2.1 y 2.2)

L5 L1

Eje rotor Eje FURLING

Eje YAW

Figura 2.10 Geometrías desde el plano xˆ

C.M.V

C.A.V 3

L

Δ

L

₃

L

₂

L

₄

Δ

L

₄

Eje FURLING

Eje YAW

C.M.R. C.A.R

(31)

Dónde L es la energía cinética (T) del sistema menos la energía potencial (V).Q_θ y Q_ψ

son las momentos en el eje de YAW y el eje de Furling respectivamente.

2.4 Energías Cinética y Potencial del sistema

Para resolver el problema de la obtención de las energías cinética y potencial del sistema se

debe referenciar a un eje para utilizar todas las transformaciones pertinentes en este. Por

conveniencia se define el eje B.

Debemos mover el vector del centro de masa de la veleta rr_ot en el sistema referencial B,

esto se logra con el siguiente vector:

(

)

B

(

)

B

(

)

C

(

)

C

B

ot Lx L y L sen z L sen R x L R y

r ˆ cos ˆ ˆ ˆ cos 1ˆ

3 1 3

2 2

1

−

− ₊

+ −

− −

= β β ψ ψ

r

( Ec. 2.3)

Figura 2.12 Vector rot

r

del eje de Yaw al centro de masa de la veleta

ot

(32)

Con este vector se define la energía cinética y potencial del sistema. La energía potencial se

calcula de la siguiente manera:

(

ot B

)

Tg r z M

V = r ⋅ˆ (Ec. 2.4)

Dónde:

T

M : Es la masa de la veleta.

g : Es la gravedad.

(

rot ⋅zˆB

)

r

: Es la altura del centro de masa de la veleta con respecto zˆ . _B

La transformación de la energía potencial del sistema C al B o del C al A no modifica ésta,

ya que en ambos sistemas zˆ y _B zˆ están en el mismo nivel. _A

La energía cinética del sistema se calcula de la siguiente manera:

(

)

(

)

2

2 1 2

1 2

1 r r _ωr _ωr _θ_&

gy T

A T A ot T

T

T v v J J

M

T = ⋅ + ⋅ + ( Ec. 2.5)

Dónde:

T

vr : Es la velocidad del centro de masa de la veleta con respecto al eje de YAW.

ot

J : Es el momento de inercia de la veleta medido desde un eje que pasa por su centro de.

Masa.

T

ωr : Es la velocidad rotacional de la veleta respecto a la referencia A.

gy

J : Es el momento de inercia del generador medido desde el eje de YAW.

θ&_{: Es la derivada con respecto al tiempo del ángulo entre el rotor y el viento.}

El primer término de la ecuación 2.5 involucra la velocidad del centro de masa de la veleta

(33)

usando la regla de la cadena de derivación se puede obtener su dependencia de los ángulos

θ y ψ :

( )

_θ θ ψ ψ & r & r r r ∂ ∂ + ∂ ∂ =

= ot ot ot

T r r dt r d

v (Ec. 2.6)

En la ecuación 2.6 la dependencia de rr_ot con respecto a ψ es directa ya que está incluída en la ecuación 2.3. La dependencia de rr_ot con respecto a θ se obtiene al trasladar el vector

ot

rr del sistema B al sistema A de la siguiente manera:

( ) ( )B ot A

ot R r

rr = −1r

θ (Ec. 2.7)

De esta manera obtenemos una expresión del vector rr_ot con dependencia de θ y se obtiene el termino ( )_θ

θ &

r

∂

∂ rot del la ecuación 2.6. De aquí en delante se suprimirá el superíndice

cuando el vector rr_ot se escriba en el sistema B.

Obtenemos la derivada del vector ( )A ot

rr con respecto a θ aplicando la regla del producto:

(

) ( )

( )

θ θ θ θ θ θ ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂

∂ − − − ot

ot ot r R r R r

R 1r 1 r ₁ r

(Ec. 2.8)

Como el vector rr_ot en el sistema B no tiene dependencias de θ, entonces

( )

₌₀ ∂ ∂

θot rr

resultando así el segundo término en cero. Como

( )

1

2 1 − + − = ∂ ∂ π θ θ θ R

R _{, equivale a simplemente rotar}

el vector posición

2

π_{radianes respecto a su posición original sin afectar su magnitud, lo}

(34)

( )

ot B A ot r z r r × = ∂ ∂ ˆ

θ (Ec. 2.9)

Una vez definido lo anterior se puede desglosar el producto punto del vector velocidad de

la veleta:

(

)

( )

(

)

(

)

( ) ( )

( ) (

)

[

(

) (

[

)

]

(

)

( ) ( )

[

(

) (

[

)

]

( ) (

)

θψ ψ θ ψ ψ ψ θ θ ψ ψ ψ ψ ψ θ ψ ψ θ θ ψ ψ & & r r & r r & r r r r & r r & r & r & r r r r & r & r & r & r r r ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ × ⋅ ∂ ∂ + × ⋅ × + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ = ⋅ × ⋅ × + × ∂ ∂ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ = ⋅ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ × + ∂ ∂ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ + ∂ ∂ = ⋅ ot B ot ot B ot B ot ot T T ot B ot B ot B ot ot ot T T ot B ot ot ot T T r z r r z r z r r v v r z r z r z r r r v v r z r r r v v ˆ 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 ˆ 2 2 2 2 2 2

El segundo término de la ecuación 2.5 involucra la velocidad angular de la veleta con

referencia en A, y se puede escribir de la siguiente manera:

B C T

A ψzˆ θzˆ

ω ₌ _& ₊ & _{(Ec. 2.11)}

La ecuación 2.11 implica una rotación en el eje A de la veleta equivale a una rotación del

eje de Furling (primer término) y una rotación del eje de YAW (segundo término). El

desglose para la energía cinética sería entonces:

(

)

(

)(

)

2

[

_ˆ _ˆ

]

2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ θ ψ θ ψ ψθ θ ψ ω

ωr _⋅ r ₌ _& ₊ & _& ₊ & ₌ _& ₊ ₊ _&&₊ &

B C B C B C T A T

A z z z z z z (Ec. 2.12)

Se reescribe la ecuación de la energía cinética con los términos de

(

vr_T ⋅vr_T

)

y

(

T

)

A T A ω

ωr ⋅r

obtenidos:

(35)

(

)

(

)

( ) ( ) _[₍ _{) (} ₎_] _{( ) (} ₎

_{

_[ _]

_}

( ) ( ) _[₍ _{) (} ₎_] _{( ) (} ₎ _[ _] ( ) ( ) [ ]

{

}

( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ _⋅ _× ∂ ∂ + ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ + + + × ⋅ × = + + + + + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ _⋅ _× ∂ ∂ + × ⋅ × + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ = + + + + + ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ _⋅ _× ∂ ∂ + × ⋅ × + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ = + ⋅ + ⋅ = B C ot ot B ot T ot ot ot T gy ot ot B ot B T gy ot B C ot ot ot B ot T ot B ot B T ot ot T gy B C ot ot B ot ot B ot B ot ot T gy T A T A ot T T T z z J r z r M J r r M J J r z r z M T J J z z J J r z r M r z r z M r r M T J z z J r z r r z r z r r M T J J v v M T ˆ ˆ ˆ 2 1 ˆ ˆ 2 1 2 1 2 1 ˆ ˆ 2 1 ˆ ˆ ˆ 2 1 2 1 2 1 ˆ ˆ 2 2 1 ˆ 2 ˆ ˆ 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 r r & & r r & r r & & & & & & & & r r & r r & r r & & & & & & & r r & r r & r r & r r r r ψ ψ θ ψ ψ ψ θ θ θ θ ψ ψ ψ θ ψ θ ψ ψ ψ θ θ θ ψ ψ ψ θ ψ θ ψ ψ ψ θ ω ω

(Ec. 2.13)

Se hace un cambio de variable para simplificar la expresión:

(

) (

)

[

]

( ) ( )

( ) (

B ot

)

ot

[

C B

]

ot T ot ot ot T gy ot ot B ot B T z z J r z r M J J r r M J J J r z r z M J ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 3 2 1 + + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ × ⋅ ∂ ∂ = + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ = + + × ⋅ × = r r r r r r ψ ψ ψ

De esta manera la ecuación 2.5 se reduce a la siguiente expresión:

ψ θ ψ

θ& &2 ₃ &&

2 2 1 2 1 2 1 J J J

T = + + (Ec. 2.17)

2.4.1 Lagrangiano

Ya conocidas las expresiones para la energía cinética y potencial, se pueden desarrollar las

ecuaciones de Lagrange 2.1 y 2.2, resolviendo el Lagrangiano (L) para las variables

dependientes θ y ψ

V J J J L V T L − + + = − = ψ θ ψ

θ& &2 ₃&&

2 2 1 2 1 2

1 (Ec. 2.18)

Para la variable θ se tiene:

(Ec. 2.14)

(Ec. 2.15)

(36)

(

)

θ θ θ ψ ψ θ θ ψ θ θ ψ θ ψ θ θ ψ θ ψ θ Q dt dJ J dt dJ J Q J J dt d Q V J J J V J J J dt d = + + + = + = ∂ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ₊ ₊ ₋ ∂ − ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ₊ ₊ ₋ ∂ & & & & & & & & & & & & & & & & & 3 3 1 1 3 1 3 2 2 2 1 3 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

En la expresión 2.19 se pueden reescribir las dependencias de J₁ y J₃ con el tiempo,

usando la regla de la cadena como sigue:

θ θ ψ ψ θ θ ψ ψ & & & & ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ = 3 3 3 1 1 1 J J dt dJ J J dt dJ

En las ecuaciones 2.20 y 2.21,J₁ y J₃ no tienen dependencia de θ por lo tanto estos términos desaparecen dejando las ecuaciones en la siguiente forma:

ψ ψ ψ ψ ψ ψ & & & & ′ = ∂ ∂ = ′ = ∂ ∂ = 3 3 3 1 1 1 J J dt dJ J J dt dJ

Rescribiendo la ecuación 2.19 se tiene:

θ θ ψ θ ψ ψ θ ψ ψ ψ θ ψ θ Q J J J J Q J J J J = ′ + ′ + + = ′ + + ′ + 2 3 1 3 1 3 3 1 1 & & & & & & & & & & & & & & &

Para la variable ψ se tiene:

(Ec. 2.19)

(Ec. 2.20)

(Ec. 2.21)

(Ec. 2.22)

(Ec. 2.23)

(37)

(

)

(

)

ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ θ ψ θ ψ θ θ ψ ψ ψ ψ θ ψ θ ψ θ ψ ψ ψ θ ψ ψ ψ θ ψ θ ψ ψ ψ ψ θ ψ θ ψ ψ θ ψ θ ψ ψ ψ ψ ψ Q V J J dt dJ J dt dJ J Q V J J J J dt d Q V J J J J J dt d Q V J J J J J J dt d Q V T T dt d Q L L dt d = ∂ ∂ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ − + + + = ∂ ∂ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ − + = ∂ ∂ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ − + = ∂ ∂ + ∂ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ₊ ₊ ∂ − ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ₊ ₊ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = ∂ ∂ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & 3 2 1 3 3 2 2 3 2 1 3 2 3 2 2 2 1 3 2 3 2 2 2 1 3 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

En la expresión 2.25 se pueden reescribir las dependencias de J₂ y J₃ con el tiempo,

usando la regla de la cadena como sigue:

θ θ ψ ψ θ θ ψ ψ & & & & ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ = 3 3 3 2 2 2 J J dt dJ J J dt dJ

En las ecuaciones 2.26 y 2.27,J₂ y J₃ no tienen dependencia de θ ; así mismo J₂ no tiene dependencia directa ψ por lo tanto estos términos desaparecen dejando las ecuaciones en la siguiente forma:

ψ ψ

ψ & = ′ &

∂ ∂ = = 3 3 3 2 ₀ J J dt dJ dt dJ

Rescribiendo la ecuación 2.25 se tiene:

(Ec. 2.25)

(Ec. 2.26)

(Ec. 2.27)

(Ec. 2.28)

(38)

ψ ψ ψ ψ θ θ ψ ψ ψ θ θ ψ θ θ ψ ψ ψ θ θ ψ θ θ ψ Q V J J J Q V J J J J J Q V J J J J J = ∂ ∂ + ′ − + = ∂ ∂ + ′ − ′ − ′ + + = ∂ ∂ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ′ ₊ ′ − ′ + + 2 1 3 2 3 2 1 3 3 2 3 2 1 3 3 2 2 1 2 1 2 1 & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &

Se pueden reescribir las ecuaciones 2.24 y 2.30 en forma matricial de la siguiente manera

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ′ + ′ − ′ − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ψ θ ψ θ ψ ψ θ ψ θ V J Q J J Q J J J J 2 1 2 3 1 2 3 3 1 2 1 _& & & & & & & &

Las ecuaciones en la matriz 2.1 son de segundo orden y algo complicado de resolver así

que se la podemos reducir a una de primer orden agregando variables a la misma de la

siguiente manera: ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ′ + ′ − ′ − = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ψ θ ψ θ ψ ψ θ ψ θ ψ θ ψ θ V J Q J J Q J J J J 2 2 1 2 2 3 2 2 1 2 2 2 2 1 1 2 3 3 1 2 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 & & & &

Los términos θ&₁ y ψ&₁ definen un estado inicial del sistema en un tiempo inicial de t = 0, de

esta manera se elimina cualquier derivada explícita del lado derecho de la matriz 2.2. Al

mismo tiempo se debe de considerar otro factor que afecta el sistema, estos son los

momentos generados por la fricción de los baleros en los ejes de Yaw y Furling así que se

pueden agregar directamente a la ecuación 2.3 de la siguiente manera:

(Ec. 2.30)

(Matriz. 2.1)

(39)

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ∂ ∂ − ′ + − ′ − ′ − = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 2 2 2 2 1 2 1 2 2 3 2 2 1 2 2 2 2 1 1 2 3 3 1 2 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ψ ψ θ θ ψ θ ψ ψ θ ψ θ ψ θ ψ θ b V J Q b J J Q J J J J & & & &

Donde los términos b₁θ₂ y b₂ψ₂ son los términos de momentos por fricción de baleros en

el eje de Yaw y Furling respectivamente.

Hacemos una nueva transformación del sistema de siguiente manera:

⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ∂ ∂ − ′ + − ′ − ′ − = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 4 3 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 3 2 2 1 2 2 2 2 1 1 2 3 3 1 2 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 f f f f b V J Q b J J Q J J J J ψ ψ θ θ ψ θ ψ ψ θ ψ θ ψ θ ψ θ & & & &

Se usa el método de Gauss Jordan para resolver el sistema de la matriz 2.4:

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 2 3 2 1 3 3 4 1 2 3 2 1 3 3 4 1 1 3 1 3 2 1 2 2 1 1 J J J f J f J J J J f J f J J J J f f f ψ θ ψ θ & & & &

2.5 Momento en el eje de YAW

El viento al incidir en las aspas del generador las hace girar debido a su diseño

aerodinámico, así mismo diversas velocidades de viento producen fuerzas sobre el rotor,

éstas fuerzas son función de diversos parámetros como los son, la misma velocidad del

viento, la aerodinámica y geometría de las aspas y el desempeño del generador. Esta fuerza

varía también en relación al ángulo entre la dirección del viento y el eje del generador. (Matriz. 2.3)

(Matriz. 2.4)

(40)

Para el cálculo de la fuerza axial en el rotor (Fr_ro) por el viento, se utiliza la teoría del BEM

(Blead Element Momentum Theory). Se utiliza un software que incluye esta teoría, al que

se captura con los datos de geometría, aerodinámica y condiciones de operación del

generador para obtener una curva de fuerza en el rotor en función de la velocidad; de esta

curva se hace una regresión en cualquier software para tener una ecuación que describa su

comportamiento.

Se tiene ahora que o r

Fr es función de la velocidad de viento incidente y se comporta de

manera cuadrática o inclusive como una función cúbica según arroje los resultados el

modelo de BEM. Esta fuerza es la máxima que incide en la turbina y se obtiene cuando la

turbina esta alineada en la dirección del viento. Como ya se ha definido, el eje de la turbina

rota en un plano (xˆ_B,yˆ_B), esto hace que las aspas de la turbina puedan desviarse de la

dirección del viento y esto es el objetivo del sistema de frenado por Furling, el problema a

resolver en este punto, es cómo es afectada la fuerza del viento cuando el eje de la turbina

esta desorientado en una ángulo θ de la dirección del viento. Para este caso existen

aproximaciones que nos dan una idea de este comportamiento, una de ellas es la que se

usará en la modelación y es la aproximación de que la fuerza varía con un coseno cuadrado

en función del ángulo del área de captación [1].

La ecuación que resulta de este modelo es la siguiente:

(

) ( )

(

) ( )

A

o r A o

r

r F y F sen x

Fr = r cos2 ξ −θ cosξ ˆ + r cos2 ξ−θ ξ ˆ

Dónde:

r

Fr : Fuerza sobre el rotor cuando esta desviado de la dirección del viento.

o r

Fr : Fuerza sobre el rotor en dirección del viento.

ξ : Ángulo entre el norte y la dirección del viento.

θ : Ángulo entre el eje del rotor y la dirección del viento.

(41)

Ya que sobre el rotor no se ejercen otras fuerzas de consideración, con esta información se

puede calcular el momento alrededor del eje de YAW con la siguiente expresión:

(

r F

)

z

M_Gθ = _g × r_r ⋅

Dónde:

θ

G

M : Es el momento alrededor del generador.

g

r : Es un vector que apunta desde el eje de YAW hasta el centro aerodinámico del

Generador.

r

Fr : Fuerza sobre el rotor por el viento.

El vector r_g no es constante ya que tiene cierta dependencia del ángulo θ y ξ, ya que el

centro aerodinámico del generador no es fijo. Para corregir esto, se utiliza la aproximación

de una placa plana, donde el centro aerodinámico cambia senoidalmente desde el centro,

(cuando la incidencia del viento es normal a la placa), hasta la mitad de la longitud de las

aspas. Este vector se puede expresar entonces en términos de la parametrización que antes

se definió de la siguiente manera:

(

) ( )

(

) ( )

(

)

⎟

⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ ₋

+ Δ

+ + Δ

+ + −

= _B _B _B _B

g sen x

Radio z

sen L L y L

L x L

r ˆ

2 ˆ

ˆ cos

ˆ ₄ ₄ ₄ ₄

5 β β θ ξ

Radio : Distancia desde el eje del rotor hasta la punta del aspa.

La veleta tiene efecto no solo en el eje de FURLING sino también en el eje de YAW. Este

momento es representado por la siguiente expresión:

(

ot t

)

B

T r F z

Mθ = ₂× r ⋅ˆ

Dónde:

(Ec. 2.32)

(Ec. 2.33)