ìnducción – deducción (teoría y problemas resueltos)

En relación con el estudio de la matemática en nuestra sociedad, encontramos aún algunos prejuicios: unos dicen, por ejemplo, sólo personas de gran talento, pueden dedicarse a la matemática, mientras que otros afirman que para ello es preciso tener una "memoria matemática" capaz de permitir recordar fórmulas y saber cómo y cuándo aplicarlas.

Las expresiones: "soy incapaz para la matemática", "no he nacido para los números", "me falta memoria para aprender todas las fórmulas", etc., etc., son un producto amargo del tipo de enseñanza memorística y mecanizada que hemos recibido desde nuestra infancia, debido a la falta de un sistema educativo adecuado, objetivo y verdaderamente científico capaz de satisfacer las expectativas de la gran mayoría de estudiantes y no sólo de un sector, cuyo beneficio obedece claramente a intereses egoístas.

En consecuencia, nos corresponde revertir esta situación, poniendo en práctica nuestra capacidad de raciocinio y análisis objetivo. Contribuiremos a ello, en esta parte del curso, desarrollando la parte inductiva-deductiva de nuestro razonamiento para lograr, de esta manera, un mayor grado de abstracción.

Quizá en algunas ocasiones, durante la búsqueda de la solución de alguna interrogante relacionada con nuestra vida diaria o al intentar resolver problemas netamente matemáticos, nos hayamos encontrado un tanto desorientados sobre cómo afrontarlos, entonces nos asaltó la duda y surgieron las eternas preguntas: ¿Por dónde empezar? ¿Qué estrategia plantear y seguir? Parte de culpa de estar en dicha situación la tiene el hecho de no tener en claro los conceptos de razonamiento, pensamiento creativo, lógica deductiva, lógica inductiva, etc.

El objetivo entonces del presente capítulo será estudiar los diversos conceptos y aplicarlos manejando criterios adecuados, desarrollando, además, ejemplos necesarios para un mejor desenvolvimiento dentro del curso de razonamiento y actividades en general.

Nunca olvides que el primer paso es comprender el problema, una vez logrado esto debes dar el siguiente paso: idear cómo afrontarlo; cada problema debe ser un reto, para ello debes leer atentamente la parte teórica y rescatar las mayores observaciones de cada ejemplo. Después de haber resuelto un problema, debes valorar más el proceso inductivo-deductivo y no tanto la respuesta, ello te permitirá salir airoso en cada problema siguiente.

INDUCCIÓN - DEDUCCIÓN

¿Qué es estrategia?

¿Qué es inducción?

¿Qué es deducción?

Analiza atentamente las siguientes situaciones:

?

Alejandro

Carlos

Calcular la suma de las cifras de A

A = (33 .... 33)²

100 cifras

En la primera de ellas una pelota ha caído por un estrecho orificio, no tan profundo, pero no al alcance de los brazos de Alejandro; él no dispone de palos ni varas para extraerla; Juan, que estaba sacando agua, observa la escena y se pregunta: ¿qué hará él para poder sacar la pelota? En el siguiente caso Carlos está frente a un problema que se ve muy laborioso: ¿cómo resolverlo? En ambos casos será necesario pensar detenidamente sobre la situación y elaborar un plan que les permita conseguir sus objetivos; dicho plan recibe el nombre de

estrategia.

La palabra estrategia proviene del griego "strategia" (generalato, aptitudes de general), que en el contexto de nuestro interés se entiende como el plan o técnica para dirigir un asunto o para conseguir un objetivo.

En la primera situación, una posibilidad sería buscar ayuda, traer herramientas y "ampliar el hueco lo cual no está mal, pero sería muy trabajoso y mostraría que no pensamos mucho sobre el asunto y estamos procediendo de manera mecánica. Otra posibilidad podría ser echar abundante agua por el orificio, la pelota flotará y podremos sacarla, lo cual sería una solución más razonada, ¿no crees?

Para resolver la segunda situación, deberemos aplicar la inducción y para ello hay que tener una idea de lo que es razonamiento inductivo-deductivo, nociones que estudiaremos más adelante.

La palabra inducción proviene del latín "Inductio", ("in" : en y ducere : conducir); que es la acción y efecto de inducir. Es definido como un modo de razonar que consiste en sacar de los hechos particulares una conclusión general; así, la inducción desempeña una gran papel en las ciencias experimentales. Más adelante podremos apreciar la forma de aplicar este modo de razonar en la resolución de problemas matemáticos.

Podemos decir, figurativamente, que la inducción y la deducción son como las dos caras de una misma moneda, estableciéndose como herramientas poderosas que han permitido el avance de la ciencia en general. ¿Cómo hizo Arquímedes para determinar, según él, el valor aproximado del número p y el cálculo de áreas de regiones sumamente complicados para su época? ¿Cómo llegó Kepler a establecer sus tres famosas leyes? ¿De qué manera Galileo procedió para establecer la relación: e = gt²?

¿Sospechas, cómo llegó Newton a dar la ley de la gravitación universal a partir de hechos comunes contemplados por todos nosotros, pero que él supo observar atentamente para enunciar tan importante teoría? y ¿Lobatcheysky, para crear su geometría no euclideana? y ¿Einstein, con su Teoría de la relatividad?... En fin, gran parte de lo establecido hasta ahora por la ciencia se ha hecho en base a la experimentación, a la aplicación de la inducción, y deducción, y al proceso de ensayo-error con el estudio y el análisis de todas las consecuencias que se derivan de ellos, los cuales ha permitido el avance de la ciencia en todos los campos.

Al igual que Daniela, muchos estudiantes al empezar la resolución de un problema siempre se preguntan: "¿Cómo resuelvo este problema?, ¿por dónde empiezo la resolución del problema?, ¿será este el camino adecuado para su resolución?; indudablemente que para el ejemplo anterior, el contar uno por uno los palitos de fósforos del castillo no sería una resolución adecuada, ya que sería muy tedioso y agotador realizar dicha operación. Siempre que se busca la solución a un problema, debemos buscar los caminos más cortos para llegar a ella, debemos analizar nuestros datos e incógnitas y al relacionarlos debemos encontrar una "estrategia" de cómo afrontar el problema, "ser creativos y analistas" para buscar esa relación de datos con incógnitas. Justamente, a partir de estas ideas ("tener estrategia", "ser creativo y analista"), surgen dos herramientas importantes que nos permiten afrontar un problema: la lógica inductiva y la lógica deductiva. Las lógicas inductiva y deductiva representan la base del razonamiento matemático, pilares sobre los cuales se construye esta hermosa disciplina, en base a la observación y el análisis.

1 2

¿Cuántos palitos de

fósforo conforman

el siguiente castillo?

¿Cómo resuelvo

este problema?

Es un modo de razonar, en el que a partir de la observación de casos particulares, nos conducen al descubrimiento de leyes generales, con la particularidad de que la validez de las últimas se deduce de la validez de las primeras.

Así:

El método del razonamiento inductivo es un método especial de demostración matemática que permite, en base a observaciones particulares, juzgar las regularidades generales correspondientes.

Ejemplo:

Casos Particulares

Razonamiento Inductivo

(15)² (35)² (85)² (125)²

= 225 = 1225 = 7225 = 15625

Casos particulares

Ejemplo 1

Resolución:

Calcular el número total de palitos de fósforo que conforman la torre de la derecha.

Como se observa, contar los palitos uno por uno va a resultar una tarea bastante tediosa. Nos damos cuenta que la distribución de palitos en la torre obedece a una cierta formación (va aumentando uniformemente por pisos), entonces aplicamos inducción, analizando los 3 casos más simples que se puedan encontrar.

Conclusión general

Razonamiento Inductivo

"Podemos concluir que todo número que termina en 5, al elevarlo al cuadrado, su resultado termina en 25" (....5)² = ...25

1 2 3...28 29 30 ...

...

.

Caso

3

1

1

1 2 3

2

- 1

- 1

- 1

- 1 = 899

8

15

2

2

2

2

Nº de palitos

Caso

Caso

En el problema :

\ Nº de palitos = 899

Ejemplo 2

Calcular el valor de "E" y dar como respuesta la suma de sus cifras.

E = (333...334)²

101 cifras

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

:

:

:

1 2

3...28 29

...

...

...

.

....

Resolución:

Elevar el número al cuadrado resulta muy operativo y tedioso, pero nos damos cuenta también que la base tiene cierta formación (la cifra 3 se repite constantemente); entonces recurrimos a la inducción, analizando los casos simples, análogos al de la expresión "E".

Multiplicar, sumar y extraer la raíz cuadrada va a ser demasiado operativo. Observando detenidamente el problema nos damos cuenta que tiene una particularidad (producto de cuatro números consecutivos); entonces aplicamos inducción, analizando los casos más simples sin que se pierda la forma original del problema.

(34)²

2 cifras

3 cifras

4 cifras

101 cifras 101 cifras 101 cifras

. . .

. . .

. . .

. . .

= 1156 Suma de cifras = 13 Þ 6(2) + 1

19 Þ 6(3) + 1

25 Þ 6(4) + 1 Suma de cifras =

Suma de cifras =

Suma de cifras =

\ Suma de cifras = 607 111556

11115556 =

= (334)²

(3334)²

E = (333 … 3334)² = 111 … 1155 … 556

Ejemplo 3

Calcular el valor de E =

Calcular el valor de E = 97 • 98 • 99 • 100 + 1

Resolución:

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Resolución:

Por inducción:

(1 + 2 + 3)² = 6² = 36

E = 444 … 4443555 … 5556

49 cifras 49 cifras

(11 + 22 + 33)² = 66² = 4356

(111 + 222 + 333)² = 666² = 443556

Resolución:

¿Cuántos apretones de manos se producirán al saludarse las 40 personas asistentes a una reunión?

Calcular:

E = (1111 … 111 + 222 … 222 + 333 … 333)²

Dado que la cantidad de apretones depende del número de personas, vamos a realizar un análisis inductivo de casos particulares, así:

# Personas # de Apretones

2

3

4

5 ..

. ... ...

1

3

6

10

1 x 2 2 2 x 3

2 3 x 4

2 4 x 5

2 =

=

=

=

(n - 1)n 2

39 x 40 2 n

Caso general para "n" personas

\ para 40 personas Þ Respuesta: = 780 apretones.

50 cifras

50 cifras

50 cifras

2 6 12 20_.. .. .

CURIOSIDADES SOBRE INDUCCIÓN

1²

11²

111²

1111²

11111²

111111²

1111111²

11111111²

111111111²

=

=

=

=

=

=

=

=

=

1

121

12321

1234321

123454321

12345654321

1234567654321

123456787654321

12345678987654321

Observando el resultado en el desarrollo de cada potencia vemos

que, iniciando en la cifra1, se ordenan de manera ascendente los

números naturales consecutivos, hasta llegar a una cifra que coincida

con la cantidad de cifras 1 de la expresión exponencial, para luego

LÓGICA DEDUCTIVA (deducción)

C A S O

G E N E R A L

CASO 1

CASO 2

CASO 3

CASO 4

Es un modo de razonar mediante el cual, a partir de informaciones, casos o criterios generales, se obtiene una conclusión particular.

Así :

.. .. ..

Razonamiento Deductivo

Ejemplo:

Ejemplo 1

Resolución:

La suma de los "n" primeros números impares es 900, por lo tanto, ¿cuál es el valor de "n"?

Para resolver este problema, primero hay que conocer a qué es igual la suma de los "n" primeros números impares (caso general), para luego verificar el valor de "n" cuando la suma sea 900 (caso particular).

- Todos los hijos de la señora Ana son valientes

- Pedro es hijo de la señora Ana

Por lo tanto: Pedro es valiente Conclusión particular Información general

Razonamiento deductivo

1 + 3 = 4 = (2)²

1 + 3 + 5 = 9 = (3)²

1 + 3 + 5 + 7 = 16 = (4)²

2 términos

3 términos

4 términos

Conclusión general :

Caso particular : n² = 900 ... (Dato)

Ejemplo 2

Resolución:

* 1 * 3 * 2 * 3 *

_ 1 _

3 _ 2

_ 3

0

4

1 5

3 _ 2

_ 3

0

4 1 5

3 _ 2

_ 3 0

8

3

5 x 3 = ..5 4 x 3 = 12

(x)

3 * 2 * * 2 * 5

3 _ 2

0

1

2 _ 5

3 _ 2

0

1

2 _ 5

3 _ 2 0

1 2 _ 5

1 * 8 * 3 0

1 _ 8 _ 3 0

1 _ 8 _ 3 0

1 _ 8 _ 3 0

Completar las cifras que faltan en la siguiente multiplicación, sabiendo que cada (asterisco (*) representa un dígito.

Tengamos presente los criterios generales en la multiplicación para aplicarlo en este caso en particular.

Finalmente, resolviendo las operaciones:

\ n = 30

.

.

.

.

# de términos

# de términos

# de términos

415 x 8 3320

4 1 5

3 8 2

8 3 0

x

2 4

d + p + w = 20

b + n + y = 14

a + m + x = 11

c + p + z = 17 Ejemplo 3

Ejemplo 4 Resolución:

Resolución:

Calcular m, n y p; sabiendo que: m ¹ n ¹ p y además: mmm + nnn + ppp = 2664

Hallar : E = abcd + mnpp + xyzw, sabiendo que: _{bd + np + yw = 160} ac + mp + xz = 127 ab + mn + xy = 124

ab mn xy 124 ac

mp xz 127 bd

np yw 160

+

i) ii) ₊ iii) ₊

m m m n n n p p p 2 6 6 4

+

2 2

Ordenando los números en columna:

Considerando los criterios generales de la adición, ordenamos cada uno de los datos, así:

De i) y iii) se deduce:

En iii): como : b + n + y = 14, entonces : En ii): como : a + m + x = 11, entonces :

Luego, hallando E:

E = abcd + mnpp + xyzw

\ E = 12590

1 1 2 a b c d m n p p x y z w 1 2 5 9 0

.

+ 1ro.

2do.

1ra. Columna : m + n + p = ... 4

3ra. Columna : m + n + p + 2 = 26

De la 1ra. y la 3ra. Columna, se deduce que: m + n + p = Buscando tres dígitos diferentes cuya suma sea igual a 24, encontramos:

m = 7 ; n = 8 ; p = 9

\ Respuesta : 7 x 8 x 9 = 504

EJERCICIO 1

Resolución:

M

M

M

Luego :

M

N

N

N

N 1

1

1

1 2

2

2 3

. . . . . .

.. .. . .. .

. ._{. .}

50

Nº de triángulos

Nº de triángulos

Nº de triángulos

Nº total de triángulos

\ Respuesta : 153 triángulos

=

=

= =

=

=

= 6

9

12 3(2)

3(3)

3(4)

3(51) = 153 Nº de rectas trazadas + 1

Nº de rectas trazadas + 1

Nº de rectas trazadas + 1

Nº de rectas trazadas + 1

Sería muy laborioso el conteo si trazamos las 50 rectas de golpe, entonces aplicando lógica inductiva, iremos trazando dichas rectas uno por uno y analizando cada caso:

M N

EJERCICIO 2

Resolución:

# de esferas

1

1 + 2

1 + 2 + 3

1 + 2 + 3 + 4 = =

= =

= =

=

Números triangulares

1 1 x 2

2

2 x 3 2

3 x 4 2

4 x 5 2

Nº esferas en la base

Nº esferas en la base

Nº esferas en la base

Nº esferas en la base

3

6

10 . . .

=

1 + 2 + 3 + .... + 100 Luego

1 2 99 100

100 x 101

2

= = 5050

Debido a que la distribución de las esferas responden a una formación triangular, entonces analizaremos, recurriendo a la inducción, los casos iniciales a dicha formación:

Calcular la cantidad total de esferas que hay en el siguiente arreglo triangular.

EJERCICIO 3 EJERCICIO 4

Hallar la suma de todos los elementos de la siguiente matriz:

Resolución:

Sumar los 100 elementos que conforman la matriz va a ser demasiado operativo, aplicando inducción tendremos:

[ 1 ] ó suma = 1 = (1)³

ó suma = 8 = (2)³

ó suma = 27 = (3)³

\ suma = (10)³ = 1000

\ suma = 1000

1 2 1 2 3 1 2 3 10 2 3 4 11 10 11 12 19 … … … … … 2 3 4 3 4 5 2 3 # filas # filas # filas # filas

Calcular "n" y dar como respuesta la suma de sus cifras:

Resolución:

Aplicando inducción tendremos:

S = 1 = 1 = 1²

S = 1 + 3 = 4 = 2²

S = 1 + 3 + 5 = 9 = 3²

S = 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4²

S = 1 + 3 + 5 + 7 + ... = n²

E = (333 … 333)²

EJERCICIO 5

Calcular "E" y dar como respuesta la suma de sus cifras.

S = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + …

"n" términos 1 término 2 términos 3 términos 4 términos ...

...

...

... ...

...

n términos

200 cifras

1 2 3 28 29 30

1 2 3 28 29 30

1

Número de puntos de contacto Resolución:

Por inducción tendremos:

3² = 9

(33)² = 1089

(333)² = 110889

E = (333...333)² = 11...110 88...889

EJERCICIO 6

¿Cuántos puntos de contacto hay en la siguiente gráfica de circunferencias?

Resolución:

Vamos a proceder a contar, aplicando el método inductivo, es decir, analizando casos simples, cuidando que la formación (distribución de las esferas) se mantenga uniformemente, así:

\ S_cifras = 9(200) = 1800 # cifras

# cifras

# cifras

# cifras

..

..

.

1 cifra

2 cifras

3 cifras

200 cifras 199 cifras 199 cifras

= 9 = 9(1)

= 18 = 9(2)

= 27 = 9(3) S_cifras

S_cifras

S_cifras

3 = 3(1) = 3

9 = 3(3) = 3

18 = 3(6) = 3

= 3

= 1305

EJERCICIO 7

Resolución:

Viendo la formación que presenta cada factor, entonces analizaremos la multiplicación para casos más simples, así:

Hallar la suma de cifras del producto siguiente: P = 777 … 777 x 999 … 999

50 cifras 50 cifras

# Total de puntos de contacto

\

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

(

(

(

(

(

(

(

(

1 x 2 2

2 x 3 2

3 x 4 2

29 x 30 2

2

1

1

Luego :

2

2 3

7 x 9 = 63 ® = 9 = 9(1)

77 x 99 = 7623 ® = 18 = 9(2)

777 x 999 = 776223 ® = 27 = 9(3)

Luego: P = 77...776 22...223 ® = 9(50) = 450

Suma de cifras EJERCICIO 9

Resolución:

Calcular la suma de cifras del resultado de A

El valor de "n" puede ser un valor grande como también un valor pequeño. Para hacerlo más sencillo, vamos a analizar este problema para valores pequeños de "n" (2, 3 y 4); y, al final, después de observar lo que sucede sacaremos una conclusión general.

A = (777 … 777 + 222 … 2225)²

(77 + 5)² = (82)² = 6724

Þ S_cifras = 6 + 7 + 2 + 4 = 19

(777 + 25)² = (802)² = 643204

Þ S_cifras = 6 + 4 + 3 + 2 + 4 = 19

(7777 + 225)² = (8002)² = 64032004

Þ S_cifras = 6 + 4 + 3 + 2 + 4 = 19

A = (77…77 + 22...225)² = 6400...003200...004

\ S_cifras = 19

"n" cifras "n - 1" cifras "n - 3" cifras cero

"n - 2" cifras cero

...

"n" cifras "n - 1" cifras

1 cifra

2 cifras

3 cifras

49 cifras 49 cifras 3 cifras

2 cifras 1 cifra

EJERCICIO 8

Resolución:

Si tratamos de contar los triángulos uno por uno en el cuadrado de 100 cuadraditos por lado, va a resultar muy agotador. Lo más recomendable sería, en este caso, analizar ejemplos en los cuales el número de cuadraditos sea mucho menor. Aplicando inducción tendremos:

# total de Ds = 2 = 1 x 2

# total de Ds = 6 = 2 x 3

1

1 2

1 2 3

1 2 3

100

... ... ..

1

1 2

1 2 3

1 2 3...100

# total de Ds = 12 = 3 x 4

\ # total de Ds = 100 x 101 = 10100

..

.

..

.

# de cuadraditos por lados

# de cuadraditos por lados

# de cuadraditos por lados

EJERCICIO 10

Calcular la suma de cifras del resultado de:

Resolución:

—

_Þ

Þ

6 6 … 6 6 8

(a + 3)(a + 3) … (a + 3)(a + 3)(a + 3) - (a - 3)(a - 3) … (a - 3)(a - 3)(a - 5)

(a + 3)(a + 3) … (a + 3)(a + 3)(a + 3) (a - 3)(a - 3) … (a - 3)(a - 3)(a - 5)

101 cifras

101 cifras

101 cifras Entonces:

Aplicando inducción, tendremos:

(68)²

(668)²

(6668)²

M = (66 … 668)² = 44 … 44622 … 224

...

.

2 cifras

3 cifras

4 cifras

101 cifras 100 cifras 100 cifras

\ S

= 6(101) + 4 = 610

=

= 4624

446224

44462224

S_cifras

S_cifras

S_cifras

= 16 = 6(2) + 4

= 22 = 6(3) + 4

= 28 = 6(4) + 4

Nº cifras del número base

Nº cifras del número base

Nº cifras del número base M = (666 … 6668)²

101 cifras

2

EJERCICIO 11

Resolución:

En la figura, calcular el número total de "hojitas" de la forma indicada:

Contar una por una las "hojitas" que conforman la gráfica, sería demasiado cansado y perderíamos mucho tiempo. Si aplicamos inducción, tendremos:

Nº "hojitas" = 2 = 1 x 2

Nº "hojitas" = 6 = 2 x 3

Nº "hojitas" = 12 = 3 x 4

Nº total de "hojitas"

= 1

1

1

2

3 2

Nº circunferencias en la base

Nº circunferencias en la base

Nº circunferencias en la base

1 2 3 49 50 51

1 2 3 49 50 51

EJERCICIO 12 Resolución:

Resolviendo el problema aplicando inducción tendremos:

saludo

saludo

saludo

Nº de personas

Nº de personas

Nº de personas

Nº de personas Nº saludos = 1 =

Nº saludos = 3 =

Nº saludos = 6 =

Nº saludos = 1 x 2

2

2 x 3 2

3 x 4 2 (n-1)n 2 (n-1)n 2 Resolución:

Calcular la suma de los términos de las veinte primeras filas en el triángulo numérico siguiente:

Como nos piden sumar hasta la fila 20, pareciera que la única solución sería aplicar algunas fórmulas del capítulo de series; pero si observamos bien el triángulo numérico, vemos que presenta una ley de formación, la cual la podemos aprovechar aplicando inducción.

F₁ 1

1

1

1 4 4

4 4

4 4 9 9 9

9 9 9 F₁

F₁

F₁

Suma=

\ Suma de términos : 44100

EJERCICIO 13

A una reunión asistieron cierto número de perso-nas, si cada una fue cortés con los demás y en total se contaron 1275 estrechadas de manos (saludos), averiguar, ¿cuántas personas asistieron?

Suma= 36 = 6² = Suma = 9 = 3² = Suma = 1 = 1² =

= 44100

2 2 2 2

Nº de filas Nº de filas Nº de filas Nº de filas

20 x 21 2 3 x 4

2 2 x 3

2 1 x 2

2

(

(

(

(

(

(

(

(

2 2 2 3

..

Nº saludos = 1275 =

EJERCICIO 14

Dado el esquema:

¿Cuántas bolitas habrá en S ?₁₂

S :₁ S :₂ S : ₃ S : ₄ ... n(n - 1) = 2550 = 51 x 50

\ Nº de personas: n = 51 Por dato del problema tendremos:

4 = 2²

8 = 2³ formas

formas

letras

Total_maneras = 2

\ Se puede leer de 256 maneras diferentes

8

= 2 = 256 -1

-1

-1

Resolución:

Si contamos las bolitas en los 4 casos particulares dados, tendremos:

Nº de bolitas

S S S S

S

EJERCICIO 15

Según el esquema mostrado, ¿de cuántas maneras diferentes se puede leer la palabra "INDUCCION"?

Resolución:

Como se puede apreciar, la palabra "Inducción" puede ser leída (siguiendo las líneas punteadas) de diferentes maneras, demasiadas como para

I N N D D D U U U U C C C C C C C C C C C I I I I I I I O O O O O O O O N N N N N N N N N

I N N D D D U U U U C C C C C C C C C C C I I I I I I I O O O O O O O O N N N N N N N N N

\

1 3 7 15

= 2 - 1 = 2 - 1 = 2 - 1 = 2 - 1

2 - 1 = 4096 - 1 = 4095 bolitas

1

2

3

4

12

12

1

2

3

4

contarlas una por una, ya que sería un trabajo muy laborioso y correríamos el riesgo de obviar algunas, y dar una respuesta equivocada. Por lo tanto, aplicaremos el método inductivo.

• Digamos que la palabra a leer sea "IN"

• Ahora que la palabra sea "IND":

• Ahora que la palabra sea "INDU":

En el problema : IN

IND

INDU

INDUCCION

I

N N

I

N N

D D D

I

N N

D D D

U U U U

I

N N

D D D

U U U U

letras

letras

letras 2 = 2 formas

EJERCICIO 16

Resolución:

¿Has visto cómo se ha procedido en el ejercicio anterior? Podemos proceder, ahora, de modo análogo; es decir:

1er. Caso Se lee: "R" ( letra)

R

¯ R¬

R O R

®

R R O R R O M O R

R R O R R O M O R R O M A M O R

1 = 2 - 1

3 = 2 - 1

7 = 2 - 1

15 = 2 - 1

Se calcula, análogamente igual al lado 1 Lado 1

7 maneras 7 maneras Centro

1

Lado 2

Nº Formas

R R O R R O M O R

R O M A M O R

¿De cuántas maneras distintas se puede leer la palabra "ROMA" en el siguiente arreglo triangular?

2do. Caso Se lee: "RO" ( letra)

3er. Caso Se lee: "ROM" ( letra)

4to. Caso Se lee: "ROMA" ( letra)

Como finalmente puedes apreciar, la palabra "ROMA" se lee en dicho arreglo de 15 maneras distintas. Observa bien el conteo en cada caso y contesta las siguientes preguntas:

1. ¿Los números 1; 3; 7 y 15 obtenidos en cada caso, se han escrito en su forma equivalente como potencias de dos menos una constante ¿Por qué o para qué se ha hecho esto?

2. ¿Tiene alguna relación el número de letras que se lee en cada uno y el exponente que presenta la respectiva potencia 2?

3. Deduce la expresión matemática que nos brinda el número de formas de leer palabras dispuestas, en arreglos análogos al mostrado, responde la siguiente pregunta:

¿De cuántas maneras distintas se puede leer la palabra "CREATIVO", en el siguiente arreglo?

C C R C C R E R C C R E A E R C C R E A T A E R C C R E A T I T A E R C C R E A T I V I T A E R C C R E A T I V O V I T A E R C

\ Se puede leer de 255 maneras

EJERCICIO 17

Sabiendo que:

Calcular:

A = 1 x 100 + 50₁ A = 2 x 99 + 49₂ A = 3 x 98 + 48₃

A ₂₀

. . .

. . .

Resolución:

Analizando los casos dados como datos, tendremos: A A A A A

EJERCICIO 18

Resolución:

Calculando primero S y S obtenemos:_{21 20}

S = A + A + A + … + A + A + A_{21 1 2 3 19 20 21} S = A + A + A + … + A + A_{20 1 2 3 19 20}

Þ S - 21

S = A = (-1) + 1 = - 1 + 1

21 20 21

\ S - S = 0_{21 20}

— Si:

Hallar :

n

A = (-1) + 1_n

S - S_{21 20}

S = A + A + A + … + An_{n 1 2 3}

\

x 100 + 50

x 99 + 49

x 98 + 48

x + -50

-50

-50

-50

-50

x 81 + 31 = 1651

suma 101 suma 101 suma 101 suma 101 suma 101 EJERCICIO 19 Resolución:

Analicemos los casos dados: Hallar:

si:

S = 1₁ S = 1 + 1₂ S = 1 + 2 + 1₃ S = 1 + 3 + 3 + 1₄

S = 1 = 2º₁ S = 2 = 2¹₂ S = 4 = 2²₃ S = 8 = 2³₄

136

Þ S₁₃₇ = 2

\ E =

EJERCICIO 20

Resolución:

Deduzcamos los valores de A, D y U a partir de criterios generales: 1 AA DD UU ADU .

Si: AA + DD + UU = ADU calcular: E = A² + D² + U²

= 11

= 2 = 2048 4

4 4

44

= 2

180 2 F₁₈₀ 136 2 S₁₃₇ 180

Þ F₁₈₀ = 2 F = 2₁ F = 2 + 2₂ F = 2 + 4 + 2₃ F = 2 + 6 + 6 + 2₄

F = 2 = 2¹₁ F = 4 = 2²₂ F = 8 = 2³₃

4

F = 16 = 2₄ E = 4F₁₈₀ + S₁₃₇

I. El máximo valor que puede asumir la suma de 3 números de 2 cifras es: 3(99) = 297 Entonces en el resultado ADU, la cifra "A" puede ser 2 ó en todo caso 1.

II. Sumando las cifras de las unidades, tendremos:

Resolución:

Para mayor comodidad, numeremos las filas de esta operación:

Nos damos cuenta que como esta división no tiene residuo, bastaría con sólo conocer las cifras del cociente para resolver este problema. Entonces:

I. Para que el residuo sea cero, la segunda cifra de la fila VI debe ser 5, y para que resulte 5, la tercera cifra del cociente debe ser 2, pues es la única manera que: (2 x 325 = 650).

II. Para que la segunda cifra de la fila IV sea 9, la segunda cifra del cociente debe ser 6: ya que 325 x 6 = 1950, conociendo ya las cifras del cociente, la operación reconstruida sería:

\ Suma de cifras del dividendo = 5 + 2 + 6 + 5 + 0 = 18

EJERCICIO 22

Calcular el máximo valor de : a + b + c Si : abc + cba = ...8

abc - cba = ...8 5 2 6 5 0 3 2 5 2 0 1 5 1 9 5 0 - - 6 5 0 6 5 0

-3 2 5 1 6 2 I

II III IV V VI

* 2 * 5 * * * * * 0 * * * 9 * * - - * 5 * * * *

-325 1 * *

III. Sumando en la columna de las decenas: 1 + A + D + U = AD

10

10 + D = AD

Pero:

A + D = 10 A + U = 9

Þ A = 1, D = 9, U = 8

\ A² + D² - U² = 1² + 9² - 8² = 18

EJERCICIO 21

Reconstruir la siguiente operación de división e indicar la suma de cifras del dividendo, si cada * representa un dígito cualquiera.

* 2 * 5 * * * * * 0 * * * 9 * * - - * 5 * * * *

-325 1 * *

D = 9 U = 8

1D = AD A = 1

A + U = 9 A + D + U = ...U

Resolución: Entonces:

3 6 9 90

N + N + N + ... + N = ...abc 30 sumandos

30 sumandos

(...376) + (...376) + (...376)+…+(...376) = ...abc

30 x (...376) = ...abc …1280 = ...abc

a = 2; b = 8; c = 0

\ a + b + c = 2 + 8 + 0 = 10

EJERCICIO 24

Si:

n + nn + nnn + nnnn + … + nnn … nnn = ...xy9 17 sumandos

(x-y)

Calcular: E = (n - y)

Resolución:

Si colocamos a los 17 sumandos, uno debajo del otro, tendremos:

I. Al sumar las 17 cifras de las unidades obtendremos:

II. Al sumar las 16 cifras de las decenas, más 11 que

"llevamos" de la operación anterior, obtenemos:

III. Al sumar las 15 cifras de las centenas, más 12 que "llevamos" de la operación anterior, obtenemos:

17 x n = ...9 Þ n = 7 (17 x 7 = 119) "dejamos 9 y llevamos 11"

16 x n + 11 que es 16(7) + 11 = 123; y = 3 "Dejamos 3 y llevamos 12"

15 x n + 12 = ...x Þ x = 7 (15 x 7 + 12 = 117)

"Dejamos 7 y llevamos 11"

(x-y) (7-3) 4

\ E = (n-y) = (7 - 3) = 4 = 256 nn...nnnnn

nnnn nnn nn

n +

11 12

...xy9 Como tenemos la suma y diferencia de los mismos

números, entonces:

abc + cba = ...8 abc - cba = ...8

abc + cba = ...8

2(cba) = …0

a = 0 ó a = 5 como a ¹ 0, entonces: a = 5

Luego:

como a = 5, entonces: c = 3

Como nos piden el máximo valor de: a+b+c, entonces b tomará su máximo valor, es decir: b = 9

EJERCICIO 23

Resolución:

Para hallar: a, b y c, habrá que hallar las potencias de N³, entonces:

3

N = ...376 (dato)

6 3 3

N = N x N = (...376) x (...376) = ...376

9 3 6

N = N x N = (...376) x (...376) = ...376

12 3 9

N = N x N = (...376) x (...376) = ...376

90

N = ...376

...

.

Si: N³ = ...376, calcular: a + b + c donde:

3 6 9 90

N + N + N + ... + N = ...abc

EJERCICIO 25

Resolución:

De la última expresión, nos damos cuenta que un

d

número elevado a él mismo (d ) debe dar como resultado un número de cuatro cifras (abcd) y, como "d" es una cifra, su valor oscila de 0 a9, entonces:

1 2 3 4 5

1 = 1; 2 = 4; 3 = 27; 4 = 256; 5 = 3215;

6

6 = 46656

Viendo los resultados, el único valor que cumple con la condición anterior es d = 5, entonces:

EJERCICIO 26

Resolución:

Antes de entrar al problema en sí, hagamos un ejemplo previo:

Hallar la suma de cifras del resultado de multiplicar "abc x 512", sabiendo que la suma de los productos parciales de esta multiplicación resulta 3496.

Si: = d, calcular: E =

E = = = = 4

\

a . b + d c

Entonces:

Por dato, tenemos:

abc x 2 + abc x 1 + abc x 5 = 3496 8(abc) = 3496 - abc = 437

Reemplazando, luego, en el producto original: abc x 512 obtenemos :

abc x 512 = 437 x 512 = 223744

\ S_cifras = 2 + 2 + 3 + 7 + 4 + 4 = 22

EJERCICIO 27

Si: abc x a = 428

Calcular: E = (a x b x c)²

Resolución:

Si acomodamos, correctamente, cada producto obtendremos:

abc x a = 428 = 214 x 2

a b c

\ E = (a x b x c)² = (2 x 1 x 4)² = 64

EJERCICIO 28

Si: abcde + edcba = 876... y además: a < b < c < d < e Calcular: E = a² + b² + c² + d² + e²

= 2 = 1 = 4 abc x b = 214 = 214 x 1

abc x c = 856 = 214 x 4 abc x b = 214

abc x c = 856 abc x 512

abc x 2

abc x 1 productos_parciales abc x 5

a x b + d c

3 x 1 + 5 2

8 2 d

abcd

5

5 = 3125

a = 3 c = 2

b = 1 d = 5

237 x 94 948 2133 22278

237 x 4 237 x 9

Resolución:

5(2x² + 30) + 10(15 + x²) = 420 10(x² + 15) + 10(x² + 15) = 400 + 20 10(x² + 15) + 10(x² + 15) = 400 + 400 (Por comparación)

Þ 10(x² + 15) = 400 ® x² + 15 = 40

Þ x² = 25 Þ x = 5 Reemplazando :

EJERCICIO 30

Resolución:

abcde = 88...88

22 88

88

-88 88

88 888888 22

40404

abcde

\ abcde = 40404

EJERCICIO 31

+

Si: a, b y c ÎZ y se cumple que:

Calcular: E = (a + b)² + (b + c)² + (c + a)² a + b + c = 11

a² + b² + c² = 49

Supongamos que el número de 5 cifras sea abcde; entonces, por condición del problema, tendremos:

abcde x 22 = 88...88 (la cantidad de cifras del producto es desconocida), despejando se tiene: ¿Cuál es el número de 5 cifras que, multiplicado por 22, nos da un producto cuyas cifras son todas 8?

\ 2x + 5 = 2(5) + 5 = 15 Disponiendo la operación verticalmente:

I. La suma de dos números iguales siempre da un valor par, y como la cifra de las centenas del resultado es 6, concluimos que c = 3 ó c = 8. Este último valor no puede ser porque si c = 8, según la desigualdad, "e", como mínimo, tendría que ser 10 y eso sería absurdo, entonces: c = 3

II. Por la desigualdad, concluimos:

III. Si reemplazamos estos valores en la operación, tendremos:

d = 5 e = 7

\ E = a² + b² + c² + d² + e² = 1² + 2² + 3² + 5² + 7² = 98

EJERCICIO 29

+

Calcular el valor de "2x + 5", si xÎZ y además

Resolución:

Si comenzamos a operar la expresión anterior, nos vamos a complicar demasiado. Mejor podríamos comenzar a deducir a partir de que "x" es un entero positivo y obtendremos:

5(2x² + 30) + 10(15 + x²) = 420 1 2 3 d e + e d 3 d 1 8 7 6 -a < b < c < d < e

1 2 3 a b c d e e d c b a 8 7 6

Resolución:

Si procedemos a operar, el ejercicio resulta tedioso; pero si comenzamos a deducir a partir

+

de que a, b, c ÎZ obtendremos:

(la suma de tres cuadrados perfectos resulta 49) a² + b² + c² = 49

2(a x b) = da

2 8 32 Þ b = 8 ; d = 3 III.

EJERCICIO 33

¿Cuántos triángulos hay en total en f₍₂₀₎?

f₍₁₎

f₍₁₎

Número de

triángulos Los

pequeños

Los pequeños

Los medianos 4 + 1 4 + 4 + 1

El grande

EJERCICIO 34

Resolución:

Son muchos los números que debemos sumar por lo cual, hacerlo de manera directa, nos demandaría demasiado tiempo, es por eso que aplicaremos el método inductivo.

Hallar el valor de "S":

S = 1 + + + + … +

1 x 2 1 2 x 3

1 3 x 4

1 4 x 5

1 99 x 100

El grande

4 + 4 + 4 +1

\ f₍₂₀₎ 4 + 4 + 4 ... 4 + 1 = 81 20

1 2 3

f₍₂₎

f₍₂₎

f₍₃₎

f₍₃₎

Resolución:

Según lo que se observa nos podemos formar una idea de cómo será el gráfico que corresponde a f₍₂₀₎; pero dibujar el gráfico y contar los triángulos que hay en él sería un trabajo demasiado tedioso; por lo tanto, aplicamos el método inductivo.

,

,

,

\ a0b + cdaec = 208 + 43264 = 43472 b² = ec

8² = 64 Þ e = 6 ; c = 4

1², 2², 3², 4², 5², 6², 7²,...

suma = 49 Entonces :

EJERCICIO 32

Hallar: a0b + cdaec, si (a0b)² = cdaec Además:

0 = cero y las letras diferentes tienen valores diferentes.

Resolución:

Entonces:

Donde:

I. b² = ec ; m = a x b ; a² = c

Þ b = 4, 5, 6, 7, 8, 9 Þ a = 1, 2, 3 par

par Þ a=2 II. m + m = da Þ 2m = da (a0b)² = a0b x a0b = cdaec

a² + b² + c² = 49 a + b + c = 11 2² + 3² + 6² = 49

\ E = (a + b)² + (b + c)² + (c + a)² = 5² + 9² + 8² = 170

2 + 3 + 6 = 11

Verificando:

cdaec a0b x a0b mec 0m

S = 11 + 22 x a = … a

11 + 22 x 9 = 20 9 a = 9

Nos piden:

EJERCICIO 36

Halle la cantidad total de "palitos", en la siguiente figura:

M =

M = =

ab - ba

95 - 59 36 = 6 S =

S =

S =

Como se puede observar, el resultado de sumar este tipo de números está en función a los factores que aparecen en el denominador de la última fracción.

EJERCICIO 35

Si:

b + ab + bab + abab + babab +...+ baba...bab = ...ab

Calcular:

Resolución:

Colocamos los números en forma vertical.

En el orden de las unidades: 23 x b =

23 x 5 = b = 5;

"Llevamos" 11 siguiente orden En el orden de las decenas:

… b 11 5

23 sumandos +

23 sumandos

11

...

b a b b a b a b a b

a b a . . . b a b . . . a b

M = ab - ba

23 cifras

\

..

.

=

=

=

= +

+

+

+

+ + … +

1 1 x 2

1 2 x 3

1 2 x 3

1 2 x 3

1 3 x 4

1 3 x 4 1

1 x 2 1 1 x 2

1 1 x 2

1 2

2 3

3 4

99 100 1

99 x 100

1

1

1

2

2

2 3

3 4 99 100

Resolución:

Si contamos, uno por uno la cantidad de "palitos" que conforma la figura, sería demasiado extenso. Si analizamos casos "pequeños", tendremos:

Þ Nº de "palitos" = 3 = x3 1

Þ Nº de "palitos" = 9 = 3x3 Producto de los últimos

dos números entre 2

1 2

Þ Nº de "palitos" = 18 = 3 x 6

I. Al sumar las cifras de las unidades obtendremos:

IV. Al sumar las cifras de los millares ocurre lo mismo que las cifras de las centenas, llevando 3 a la cifra de unidad de millar, de aquí a = 3.

EJERCICIO 38

Si : m.n = p, halle: p; además:

si :

+

-m² - p² + n² 1

m² 1 n²

1 p²

= 1296

III. Al sumar las cifras de las centenas más 3 que llevamos en la operación anterior obtendremos: II. Al sumar las cifras de las decenas, más 2 que llevamos en la operación anterior obtendremos:

s + q + p + r = ...c

= ...c 28

"De aquí c = 8 y llevamos 2"

"De aquí b = 0 y llevamos 3"

"De aquí d = 1 y llevamos 3"

\ (a + b + c - d)² = (3 + 0 + 8 - 1)² = 100

s + q + r + q + 2 = ...b

q + r + p + s + 3 = ...d = ...b

= ...d 30

31 Producto de los últimos

dos números entre 2

3 4

1 2 3

= 4950 Luego:

Þ Nº de palitos =

\ Nº de palitos = 14850

EJERCICIO 37

Si: p + q = 12 y r + s = 16 además:

qqss + mpq + pprp + ssqr = addbc calcular : (a + b + c - d)²

Resolución:

Colocamos los números en forma vertical

como : p + q = 12 r + s = 16 p + q + r + s = 28

Þ

qqss mpq pprp ssqr addbc

+

3 x 4950 99 x 100

2 3(99 x 100)

2

Resolución:

Al operar la siguiente expresión se tiene que:

4

Además : mn = p, entonces: m² n² = p

Reemplazando se tiene que:

Factorizando:

4 4

p = 6

EJERCICIO 39

Si :

calcule :

Resolución:

Recordar:

Dándole forma al dato:

A = - 3 +

+

+

= 2

- 2

-= 0

= 0

\ A = - 3

- 3

+ 3

+ 3 =

= 3

EJERCICIO 40

Resolución:

n n-1 3n

Si: 8 - 8 = 14, entonces (3n) es igual a:

n n-1

8 - 8 = 14

n+1 n

8 - 8 = 8 . 14

n

8 = 16

3n 4

2 2 = 3n = 4

3n 4

\ (3n) = 4 = 256

(Expresando como potencia de 2)

n

8 - = 14 (Multiplicando todo por 8)

n 8 8 + + + + = 0 Þ x = n

Al extraer la raíz cuadrada obtenemos:

, despejando

+ + 3

+ = 2

2 2 2 2 2 2 3 3 2 2 3 3 3 3 2 2

\ p = 6 (m² - p² + n²) m² n² p²

6

(m² - p² + n²) . p

6

(m² - p² + n²) . p

= 1296

= 1296

4

= 1296 = 6 n² p² + p² m² - m² n²

4

n² p² + p² m² - p

6

(n² + m² + n²) . p

1 2 3 19 20 21

1. Calcular el valor M y dar como respuesta la suma de sus cifras:

6. En el siguiente gráfico, ¿cuántos triángulos equiláteros se formarán, en total, al unirse los centros de tres circunferencias vecinas inmediatas?

7. ¿Cuántos triángulos se pueden contar, como máximo, en la siguiente figura?

8. Calcular la suma de los términos de la fila 50. Fila 1

Fila 2 Fila 3 Fila 4

1 3 5 7

9 11 13 15 17 19 2. Calcular la suma de cifras del resultado:

3. Si:

4. Calcular la suma de cifras del resultado de:

5. ¿Cuántas "cerillas" conforman la torre mostrada?

1 2 3 4 19 20 21

Calcular la diferencia entre la suma de cifras del resultado de A y la suma de cifras del resultado de B.

A = 555...555 x 999...999

A = (333...333)² y B = (666...666)²

A = 111 … 111 - 222 … 222 100 cifras

61 cifras

"2n" cifras "n" cifras 31 cifras 100 cifras M = (666666666666)² A) 102 B) 140 C) 108 D) 110 E) 111

A) 20 B) 21 C) 400 D) 441 E) 360

A) 5500 B) 5000 C) 5050 D) 5253 E) 5250

A) 9750 B) 12500 C) 25000 D) 75200 E) 125000

1 2 3 4 48 49 50 51

4

Obs.: De la forma indicada

A) 1 B) 10 C) 100 D) 90 E) 900

A) 279 B) 549 C) 270 D) 828 E) 720

A) n B) 3n C) 6n D) n² E) 2n

A) 20 B) 21 C) 210 D) 200 E) 420

9. 13. Calcular la suma de cifras del resultado de efectuar: E = 81(12345679)²

14. Si:

15. ¿Cuántos "palitos" se trazaron para construir el siguiente arreglo?

16. ¿Con cuántos "palitos" se formó la siguiente figura?

1

1 96 97 98 99 100 101

2

2

3

3

4

4

5

5

48 49 50 Calcular:

"a" sumandos M = a + aa + aaa + aaaa + .... 10. Calcular la suma de cifras del resultado de

"A".

11. Hallar la suma de los elementos de la siguiente matriz de 10 x 10

12. Calcular el número total de triángulos de la forma D y Ñ en la siguiente figura:

2 4 6

18 20

4 6 8

20 22

6 8 10

22 24

18 20 22

34 36

20 22 24

36 38 Si: a + b + c = 0

Calcular la suma de cifras de A : A = (xxx … xxx)²

A = (999 … 9995)² 101 cifras 100 cifras sabiendo, además que:

x = a² + +

bc b² ac

c² ab A) 90 B) 989 C) 99 D) 900 E) 199

A) 49 B) 64 C) 81 D) 100 E) 72

A) 4936 B) 4856 C) 4836 D) 4938 E) 4746

A) 3600 B) 3675 C) 2550 D) 3725 E) 3625

A) 11000 B) 10010 C) 10200 D) 10100 E) 10101

a5 x a6 x a7 x a8 + 1 = 2161

A) 900 B) 925 C) 625 D) 90 E) 907

A) 2500 B) 1900 C) 1650 D) 2000 E) 3600

A) 441 B) 225 C) 324 D) 400 E) 300

1 2 3 98 99 100 17. Para construir el siguiente castillo se utilizaron

"cerillas", ¿cuántas se emplearon en total?

20. En el siguiente triángulo, ¿cuántas bolitas sombreadas hay?

21. Determinar: "P + U + C", si PUC + CUP = 888

22. Al multiplicar un número de 7 cifras

consecutivos por 13, el resultado termina en 7. ¿Cuál será la diferencia entre la suma de cifras del resultado, con la suma de cifras del número de 7 cifras?

23. Si. ANITA x 8 = PEPITO , 0 = CERO Hallar: M = A + N + I + T + E + P

Además: P - C = 4 18. Hallar la suma de cifras del resultado de la

siguiente operación:

18. Si:

M(1) = 4 x 1 + 1 M(2) = 8 x 4 + 8 M(3) = 12 x 9 + 27

999 … 99 - 1999 998

1 2 3 99 100 101

A) 10000 B) 16000 C) 25000 D) 20400 E) 20300

A) 2550 B) 2500 C) 2250 D) 5100 E) 2555

A) 10 B) 14 C) 11 D) 13 E) 18

A) 0 B) 1 C) 35 D) 14 E) 13

A) 20 B) 24 C) 35 D) 27 E) 28 A) 3n B) 6n C) 6(n + 1)

D) 9n E) 9(n - 1)

A) 15 B) 18 C) 23 D) 20 E) 21

4

24. Reconstruir la siguiente operación e indicar la suma de cifras del resultado. Cada asterisco representa un dígito cualquiera.

28. Calcular la suma de cifras del resultado de:

29. Un número de 4 cifras de la forma abc6, elevado al cuadrado, termina en abc6, Calcular: a + b + c

1997

30. Calcular: (A - M - N) si se sabe que:

1A + 2A + 3A + … + 9A = MN1

31. En la siguiente división, hallar la suma de las cifras del dividendo:

32. Si: A + U = D y U + D = 17

hallar la suma de las cifras del resultado de: E = AU x (AA...AA)² - (DD...DD)² + (UU...UU)²

8 cifras 8 cifras 8 cifras 2 * * * * * *

* * - - * *

5 * - * * 5 *

-* -* 3 -*

E = 10305050301 + 2040604020

25. Calcular la suma de cifras del cociente, en la siguiente división:

26. Hallar la última cifra del resultado de:

27. Si: SIETE + TRES = 100000 hallar SEIS, además: I = E y T = R

31 19

E = 3671 + (825 + 1)(26² - 1) * * * * x * 6 * * 8 4 * 1 * * * * * * * * * * 5 1 2 9

* * * * * * * * * * * *

- - - * * - * * * * * * - - 1

* * 8 * * A) 21 B) 22 C) 23 D) 24 E) 25

A) 10 B) 9 C) 12 D) 6 E) 8

A) 17 B) 18 C) 19 D) 20 E) 21

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

A) 21 B) 37 C) 25 D) 18 E) 15

A) 49 B) 54 C) 64 D) 72 E) 80 A) 20 B) 21 C) 26

D) 30 E) 32

A) 1 B) 1 C) 3 D) 4 E) 5

33. En un examen, las respuestas a las cinco primeras preguntas son: a, b, c, d, e; para las siguientes 10 son: a, a, b, b, c, c, d, d, e, e; para las siguientes 15 son: a, a, a, b, b, b, c, c, c, d, d, d, e, e, e; y así sucesivamente. Entonces, la respuesta a la pregunta 90, es:

37. Se tiene un número de 3 cifras que comienza en 5 y acaba en 2; dichas cifras son cambiadas por 1 y 8, respectivamente. ¿En cuánto ha disminuido dicho número?

38. Si: (a + b + c)² = a25

Calcular: M = ab3 + c2b + 4ac + bca

39. Poseo cinco dígitos, pero si me restaras la unidad, ya no tendría cinco, sino solamente cuatro, ¿quién soy? (Dar como respuesta la suma de cifras del número)

40. Calcular: a + b + c + d, si: a y c < 6 ; b yd < 8 Además:

131² + 133² + 135² + 231² + 233² + 235² + … =

= ...ab + ...cd 34. Si:

35. Si: ababa x 6 = 212118, hallar: aab + ab

36. Efectuar la siguiente suma y hallar: m + n + p + q

7 + 77 + 777 + 7777 + … + 777..77 = ...mnpq 36 sumandos

Calcular: E = 2(A + 3) + 7 = 3

A2 1A

A) a B) b C) c D) d E) e

A) 388 B) 432 C) 406 D) 280 E) 394

A) 1475 B) 1685 C) 2088 D) 1575 E) 1988

A) 1 B) 27 C) 36 D) 2 E) 3 A) 4 B) 7 C) 14

D) 21 E) 20

A) 335 B) 370 C) 535 D) 730 E) 337

A) 7 B) 5 C) 5 D) 12 E) 14

A) 2 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9

1. En el siguiente arreglo, ¿de cuántas formas se puede leer la palabra Roma?

2. Halle la suma de cifras del producto

6. En el siguiente arreglo, halle las sumas de todos los números.

7. Halle el valor de la suma

8. Si

MIA x 999 = ...1648 calcule MAMA x 99 si se cumple que:

ABCD + EFGH + IJKL + MNOP

CD + GH + KL + OP = 305 AB + EF + IJ + MN = 347

3. En la siguiente figura, halle la cantidad de palitos.

4. ¿De cuántas maneras diferentes se puede leer TROTAMUNDOS?

TR O_OTA DO_S N N N N U U U M M D D O O R T A) 27 B) 20 C) 28 D) 21 E) 19 A) 18 B) 24 C) 25 D) 12 E) 30

A) 702 B) 709 C) 800 D) 901 E) 699

A) 3600 B) 4200 C) 3500 D) 4100 E) 2460 A) 4000 B) 4200 C) 4700 D) 5200 E) 47211

A) 36405 B) 46225 C) 64555 D) 43215 E) 35005

A) 319968 B) 53222 C) 432412 D) 47211 E) 66647

A) 130 B) 128 C) 135 D) 166 E) 120

1 2 3 . . . .18 19 20

A A A A M M M A O O A

M R M A O O A

M M M A A A A

* 4 * 2 * * 1 * * * * * * 4 6 * 4 9 * * 5 0

* * *

5. En la figura al unir los centros de las circunferencias, halle el número de triángulos simples que se forman

1 2 3 60 61

4 8 12 16 40 8 12 16 20 44 12 16 20 24 48 16 20 24 28 52 40 44 48 52 76

9. En la figura, halle la cantidad de palitos

1 2 3 4 57 58 59 60

A) 7000 B) 7198 C) 7411 D) 6852 E) 6421

10. En el siguiente arreglo, halle

E = (A + B) - (C + D). Si se tiene 77 sumandos

A) 102! - 1 B) 100! - 1 C) 101! - 1 D) 122! - 3 E) 99! + 2 11. Si

12. Halle el valor de R si

2 4 8 1024

R = 2(3+1)(3 +1)(3 +1)(3 +1)...(3 +1)+1 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6... x 50 =

donde N no es múltiplo de 5, halle XYOX + XOYY + YXXX + Y47Y

x

N x 10

-y

10

A) 25814 B) 64334 C) 48624 D) 11424 E) 74284

A) 72 B) 66 C) 60 D) 3 E) 18

A) 17 B) 16 C) 25 D) 32 E) 8

A) 9 B) 8 C) 6 D) 10 E) 12

1024 2048 512

A) 3 B) 3 C) 3

246 1152

D) 3 E) 3

13. Si: abcd x 4 = … 792 abcd x 5 = … 370

halle las tres últimas cifras del siguiente producto

A) 315 B) 308 C) 158 D) 716 E) 324

14. Calcule el valor de

15. Halle la suma de cifras de la siguiente

40 40

expresión: A = (10 + 1)(10 - 1)

16. Si cada asterisco es una cifra R = (409) x (391) + 81

(115) x (85) + 225

A) 3 B) 6 C) 5 D) 4 E) 2

A) 700 B) 640 C) 599 D) 720 E) 761

A) 18 B) 20 C) 27 D) 30 E) 33 abc - cba = 3**

abc - cba = *35* halle 2a + b + c

a - b = b - c = 6 Calcule

6 6 6

M = [(a - c) + (b - c) + (a - b) ] + 6 6

17. Si

18. Sabiendo que

19. Calcule la suma del resultado de

A = (4444...448)² - (4444...447)² + 1111...1110

100 cifras _{100 cifras 100 cifras} 2

20. Si B = 1 x 1! + 2 x 2! + 3 x 3! + … + 100 x 100! halle el valor de B.

(a + 2 ab + b)(a - 2 ab + b) = 0

A = a² + 2b² + + +

a² + b²

a² + 4b² a² + b²

a³ + 8b³ a³ + b³

4 4

a + 16b

4 4

PROBLEMA 01 PROBLEMA 04

PROBLEMA 05

PROBLEMA 06 PROBLEMA 02

PROBLEMA 03

En la siguiente sucesión determinar el número de círculos sin pintar en la colección de círculos que ocupe el décimo lugar.

Calcular :

Calcular el número total de hexágonos que se pueden contar, considerando el tamaño que se indica en la figura

En la siguiente gráfica ¿Cuántas bolitas sombreadas hay?

2002

2

1 + (3 x 5 x 17 x ...) 2002 factores

Hallar el número total de palitos

Calcular la suma de cifras del resultado de la siguiente expresión:

Indicar la última cifra de dicha suma (999 ... 999)³

2002 Cifras

1 2 3 4 5. . . .46 47 48 49 50 A) 201 B) 131 C) 151

D) 181 E) 231

A) 1 B) 2 C) 32 D) 2002 E) 2003

A) 1250 B) 1225 C) 1500 D) 1600 E) 1275

A) 250 B) 2450 C) 1324 D) 5050 E) 1275

A) 1500 B) 1550 C) 2501 D) 1000 E) 5050 A) 6 B) 8 C) 4

D) 0 E) 1

1

1

2

2

3

3 98 99 100

51 52 53

PROBLEMA 07

PROBLEMA 11

PROBLEMA 12 PROBLEMA 08

PROBLEMA 09

Cuántas cajitas de la forma se han utilizado en la construcción de la siguiente torre

Halle el número total de palabras "SAN MARCOS" en:

Hallar la cantidad total de palabras "INGENIO" que se puede leer en la siguiente figura (uniendo letras vecinas consecutivamente)

¿Cuántos triángulos se pueden contar en la siguiente figura?

¿Cuántos cerillas se utilizan para formar desde la figura (I) hasta la figura (20)?

A) 6160 B) 6140 C) 6110 D) 6170 E) 6180

A) 256 B) 512 C) 511 D) 225 E) 1023 F(I) F(II) F(III) A) 280 B) 390 C) 410 D) 401 E) 400 A) 3775 B) 2105 C) 5050 D) 2500 E) 1275

1 2 3 48 49 50

1 2 3

1 2 3 37 38 39

S A N N N N M A A A R C C C S S N M A A A A A A R C C S M A R R R C C S A R R C C C S R R C C C S S O O O O O O O O O O O O O O O S S A N M

M M M M A A R R R C O S

PROBLEMA 07

En la siguiente gráfica ¿Cuántos cuadritos sombreados hay?

A) 600 B) 400 C) 441 D) 625 E) 675

PROBLEMA 13

PROBLEMA 15

PROBLEMA 14

¿De cuántas formas consecutivas diferentes se puede formar la palabra "RAZONA", uniendo las letras en forma consecutiva?

¿De cuántas maneras diferentes se puede leer la palabra "RAZONANDO", uniendo círculos consecutivos?

Calcular el número de rombos con un cuadrado pequeño interior que se forman al unir los centros de todos los cuadrados de la figura.

1

A) 20030 B) 40060 C) 100404 D) 100404 E) 100020

2 3 2001 2002 2003

R R A R R A Z A R R A Z O Z A R R A Z O N O Z A R R A Z O N A N O Z A R A) 192 B) 189 C) 63 D) 255 E) 8 A) 64 B) 63 C) 127 D) 31 E) 128 A) 25 B) 21 C) 75 D) 70 E) 81

01) B 06) C 11) B

02) C 07) E 12) B

03) A 08) A 13) B

04) B 06) A 14) D

05) E 10) D 15) D

CLAVES

G G G

G E E

E E E E

E E N

N N

N N N

N N N N

0 0 0 0 0 0 0

0

R A Z Z Z

O O O D D O O

N N N N N N N N A A A A

A

PROBLEMA RECREATIVO:

PROBLEMA RECREATIVO:

Mover dos palitos de fósforos, de tal manera que el recogedor quede de la misma forma pero con el papel fuera de él:

1. 5.

6.

7.

8.

9.

f(1) f(2) f(3)

, .... , ....

1 2 3 4 47 48 49 50 2.

3.

4.

Si se cumple que Halle la suma de todos los elementos de la

fila 20 en el siguiente arreglo triangular

¿Cuántos palitos conforman la siguiente torre?

¿De cuántas formas distintas se puede leer SAN MARCOS en el siguiente arreglo?

¿Cuántos triángulos hay en total en f(20)?

¿Cuántos paralelogramos de la forma y tamaño de los que aparecen sombreados hay en total en la siguiente figura?

1 2 3 3 4 5 4 5 6 7 5 6 7 8 9

Fila 1 Fila 2

Fila 3 Fila 4

Fila 5 halle M(19)

Halle el valor de E

Halle la sua de todos los elementos de la siguiente matriz

Halle el valor de la siguiente expresión

n sumandos

n sumandos

n n² - 1 (1 x 3 - 3 x 5 - 5 x 7 - ...) - n

1² - 2² - 3² - …

1 2 3 20

2 3 4 21

3 4 5 22

20 21 22 39 E =

M(1) = 2 + 1 - 1 M(2) = 4 + 4 ÷ 3 M(3) = 6 X 9 - 5 M(4) = 8 + 16 ÷ 7

A) 348 B) 362 C) 452 D) 286 E) 456

A) 590 B) 610 C) 720 D) 480 E) 350

A) 1600 B) 1800 C) 2100 D) 2500 E) 1900

A) 256 B) 1024 C) 64 D) 128 E) 512

A) 81 B) 84 C) 80 D) 68 E) 76

S

A A

N N N

M M M M

A A A A A

R R R R R R

C C C C C C C

O O O O O O O O

S S S S S S S S S

A) 441 B) 8000 C) 2000 D) 4000 E) 4441

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) A)

D)

B) C)

E) 1001

1002 2000 2001

2001 2002

1001 2000 1000 1001 1 + 3 + 5 + 7 + … + 2001 2 + 4 + 6 + 8 + … + 2002

A) 3125 B) 625 C) 1225 D) 2550 E) 2415

A) 8118 B) 9119 C) 9339 D) 1881 E) 3333

A) 12 B) 9 C) 10 D) 13 E) 15

A) 300 B) 270 C) 150 D) 450 E) 420

A) 525 B) 2500 C) 1875 D) 1600 E) 1500

A) 705 B) 816 C) 902 D) 684 E) 848

A) 100 B) 200 C) 300 D) 400 E) 500 10. Halle SEIS si SIETE + TRES = 100000 y

T = R I = E

15. Si:

16. ¿Cuál es la suma de cifras del producto

15 15

(10 - 1)(10 + 1)?

17. Si se cumple que

f(x + 1) = f(x) + 2 x + 1 y f(1) = 1 halle f(50)

18. Halle la suma de cifras del resultado de la siguiente operación

19. Efectúe y dé como respuesta la suma de cifras

S = 555 … 555 + 777 … 777 + 999 … 999

A = (111 … 112)² - (111 … 110)² 300 cifras

100 cifras 100 cifras

299 cifras 298 cifras halle las 3 últimas cifras de N x 42 y dé como respuesta la suma de dichas cifras.

N x 23 = ....927 N x 25 = ....225

1 2

3 4

5

50 51

11. Si abc - mn4 = cba, además a + b + c = 20

12. Si ADCV(99999999) = ....3518 halle A + D + C + V

13. Halle la suma de las cifras del resultado del multiplicar abc x 512 sabiendo que la suma de los productos parciales sumados

convencionalmente nos da 4096.

14. Al dividir abcd entre 4, el cociente es dcba y el resto es cero.

Halle E = a + b + c + d halle c

a - b

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

A) 20 B) 24 C) 12 D) 18 E) 25

A) 32 B) 19 C) 25 D) 48 E) 12