UNIDAD 1: PARTE 2 – OPERACIONES DE DESCUENTO
OBJETIVO
Al finalizar la unidad los estudiantes estarán en capacidad de calcular operaciones de descuento.
CONTENIDO
1. Operaciones de descuento
Glo
sari
o
de
té
rm
in
o
s
24
1.
Interés anticipado y descuento comercial
En algunas transacciones financieras es normal que el pago del interés se haga de manera
anticipada; es decir, que se causan los intereses al principio de los periodos acordados en la
operación; en este caso, se aplica la tasa de interés anticipada; la cual se representa con el
símbolo (ia).
Por su parte, en las operaciones comerciales es corriente el descuento de pagos futuros
respaldados en títulos valores; también conceder descuentos bajo ciertas condiciones
comerciales para motivar el pago cumplido, anticipado, o la compra de la mercancía. En
estos casos el descuento se calcula utilizando la tasa de descuento, que se representa con
la letra “d”.
En la unidad de aprendizaje siguiente se tratara en detalle el interés anticipado,
especialmente se tratará la equivalencia con el interés vencido.
1.1 Operaciones de Descuento
El descuento de pagos futuros respaldados en títulos valores es común en el ámbito
comercial. La operación consiste en volver líquido ante un tercero, usualmente una entidad
financiera, un titulo valor que respalda un pago futuro. El descuento (D) se calcula sobre el
valor final o valor nominal de la operación, aplicando la tasa de descuento (d) acordada en
la operación y considerando el tiempo faltante para causar el pago; el valor líquido (Vt),
valor de la transacción, se calcula como el valor nominal menos el descuento.
Teniendo en cuenta lo anterior el descuento se realiza como:
𝐷 = 𝑉𝑓 × 𝑑 × 𝑛 (6)
Donde:
𝐷: 𝐷𝑒𝑠𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑜
𝑉𝑓: 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑎𝑐𝑐𝑖ó𝑛
𝑑: 𝑡𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑜
Glo
sari
o
de
té
rm
in
o
s
25
Por su parte el Valor Líquido (Vt) o valor de la transacción se calcula como el valor nominal
menos el descuento:
𝑉𝑡 = 𝑉𝑓 − 𝐷
𝑉𝑡 = 𝑉𝑓 − (𝑉𝑓 × 𝑑 × 𝑛)
𝑉𝑡 = 𝑉𝑓 × (1 − 𝑑 × 𝑛) (7)
Los símbolos tienen el mismo significado que en las formulas (6)
Ejemplo 12
El 22 de abril del 2010 una pequeño comerciante compra mercancías por un valor de $8´000.000 para surtir su almacén; este realiza el pago a la fabrica a través de una letra de cambio por valor nominal de $8´000.000 con vencimiento el 22 de julio.
El 20 de junio la fábrica por problemas de liquidez ofrece en venta la letra al banco Medellín, el cual aplica un descuento del 27%. ¿Cuánto recibirá el fabricante en esta transacción?
Solución
La transacción financiera se ilustra con el siguiente flujo de caja.
o El valor final es: 𝑉𝑓 = 8´000.000
o El periodo en que se causa el descuento esta entre el 25/06 y 22/07, es decir: 27 días.
o Tasa de descuento: 𝑑 = 27% 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 o Aplicando interés bancario.
Con las anteriores consideraciones, el Valor Liquido se calcula utilizando la formula (7), como:
𝑉𝑡 = 𝑉𝑓 × (1 − 𝑑 × 𝑛) Vt = ¿?
22/04/10
Vf = 8´000.000
d= 27%
22/07
Glo
sari
o
de
té
rm
in
o
s
26
𝑉𝑡 = 8´000.000 × (1 − 0,36 × 27
360) = 7´784.000
La fabrica recibirá el 25 de junio un valor de $7´784.000
Ejemplo 13
¿Cuál deberá ser el valor nominal de una letra de cambio que un comerciante descuenta en el Banco Medellín, cincuenta días antes de su vencimiento a una tasa de descuento del 25% anual, si el comerciante recibe un valor de $125´450.000?
Solución
La situación se ilustra gráficamente como se muestra a continuación:
o El valor liquido es: 𝑉𝑡 = 125´450.000
o El tiempo en que se causa el descuento es: 50 días.
o Tasa de descuento: 𝑑 = 25% 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 o Aplicando interés bancario.
Con las anteriores consideraciones, el Valor Nominal se calcula despejando de la formula (7), Vf, así como se muestra a continuación:
𝑉𝑓 = 𝑉𝑡
(1 − 𝑑 × 𝑛)
𝑉𝑓 = 125´450.000
(1 − 0,25 ×360)50
= 129´962.589,9
El valor nominal de la letra de cambio deberá ser de $129´962.589,9
Vt = 125´450.000
n= 50 días
Vf = ¿?
Glo
sari
o
de
té
rm
in
o
s
27
1.2 Tasa de interés real en una operación de descuentoLa tasa de descuento se aplica al valor final de la operación, a diferencia del interés simple
que se aplica al valor inicial; en consecuencia, es lógico, que para un mismo valor el interés
hallado sea diferente; para calcular la tasa de interés real que se cobra en una operación de
descuento se debe aplicar la formula de interés simple (4), al resultado final de la operación
de descuento.
El cálculo de la tasa de interés real en una operación de descuento se ilustra a través del
siguiente ejemplo:
Ejemplo 14
Si el Banco Medellín descuenta una letra de cambio de $6´000.000, 75 días antes del vencimiento al 26%. ¿Cuál es la tasa de interés simple real que se cobra por esta operación?
Solución
Primero, en la operación de descuento, se calcula el valor líquido. La situación se ilustra gráficamente como se muestra a continuación:
o El valor nominal es: 𝑉𝑓 = 6´000.000
o El tiempo en que se causa el descuento es: 75 días.
o Tasa de descuento: 𝑑 = 26% 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 o Aplicando interés bancario.
Con las anteriores consideraciones, el Valor liquido se calcula aplicando la formula (7), como se muestra a continuación:
𝑉𝑡 = 𝑉𝑓 × (1 − 𝑑 × 𝑛)
𝑉𝑡 = 6´000.000 × (1 − 0,26 × 75
360) = 5´675.000
Vt = ¿?
n= 75 días Vf = 6´000.000
Glo
sari
o
de
té
rm
in
o
s
28
Así, la situación de la operación financiera se muestra en la siguiente gráfica, a partir de esta se pide determinar la tasa de interés real de la operación
Para hallar la tasa de interés real, aplicamos la formula (4)
𝑖 = 𝑉𝑓 𝑉𝑝 − 1
𝑛
𝑖 =
6´000.000
5´675.000− 1
75 360
= 0,2748 = 27,48%
La tasa de interés anual real de la operación es: 27,48%
1.3
Descuentos en Cadena
Como se explicó en las operaciones comerciales es común también ofrecer descuentos con
el fin de motivar el pago y/o incentivar la compra de mercancías. Lo corriente es encontrar
que los comerciantes ofrecen más de un descuento simultáneamente aplicables a una
misma factura, a continuación se relacionan los más comunes:
Descuento por volumen
Descuento por pronto pago
Descuento por embalaje
Descuento por temporada
Descuento por fidelidad
La aplicación de varios descuentos sobre una misma factura recibe el nombre de descuentos
en cadena. En la tabla No 1 Descuentos en cadena, se muestra la forma de calcula, el valor
del descuento y el valor final de la factura, cuando se aplican varios descuentos de manera
simultánea a una misma factura.
Vt = 5´675.000
n= 75 días Vf = 6´000.000
Glo
sari
o
de
té
rm
in
o
s
29
TABLA NO 1.DESCUENTOS EN CADENA
Valor factura antes del descuento
Tasa
descuento
Valor descuento (D) Valor factura después del descuento
(Af)
A d1 D1 = Ad1 A1 = A - Ad1 =A(1-d1)
A(1-d1) d2 D2 = A(1-d1) d2 A2 = A(1-d1)-A(1-d1) d2 = A(1-d1)(1-d2)
A(1-d1)(1-d2) d3 D3 = A(1-d1)(1-d2) d3 A3 = (A(1-d1)(1-d2)-A(1-d1)(1-d2)d3) = A(1-d1)(1-d2)(1-d3)
… … … …
A(1-d1)(1-d2)…(1-dn-1) dn Dn = A(1-d1)(1-d2)… (1-dn-1) dn An = A(1-d1)(1-d2)(1-d3)…(1-dn)
Donde:
𝐴: 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑢𝑟𝑎
𝑑𝑛: 𝑇𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑛
𝐷𝑛: 𝐷𝑒𝑠𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑛 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠
𝐴𝑛: 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑛 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠
Resumiendo, de la tabla se puede establecer que el descuento total se calcula como:
𝐷 = 𝐴[1 − (1 − 𝑑1)(1 − 𝑑2) … (1 − 𝑑𝑛−1)(1 − 𝑑𝑛)] (8)
El valor de la factura final, se calcula como:
𝐴𝑓= 𝐴(1 − 𝑑1)(1 − 𝑑2) … (1 − 𝑑𝑛) (9)
La tasa de descuento promedio se obtiene de dividir el valor final de la factura con el valor
inicial de la misma:
𝑑̅ = 1 − (1 − 𝑑1)(1 − 𝑑2) … (1 − 𝑑𝑛) (10)
Ejemplo 15
Glo
sari
o
de
té
rm
in
o
s
30
$120´350.000, a un fabricante que le concede los siguientes descuentos: por pronto pago: 15%; por compra al por mayor 20%; por fidelidad 3%; y por temporada: 5%
Solución
o El valor inicial de la factura es: 𝐴 = 120´350.000 o Descuento por pronto pago: 𝑑1 = 15%
o Descuento por compra al por mayor: 𝑑2 = 20% o Descuento por fidelidad: 𝑑3 = 3%
o Descuento por temporada: 𝑑4 = 5%
Teniendo en cuenta las anteriores consideraciones el valor total del descuento se calcula con la formula (8):
𝐷 = 𝐴[1 − (1 − 𝑑1)(1 − 𝑑2) … (1 − 𝑑𝑛−1)(1 − 𝑑𝑛)]
𝐷 = 120´350.000[1 − (1 − 0,15)(1 − 0,20)(1 − 0,03)(1 − 0,05)] = 44´969.283
El valor de la factura final, se calcula con la formula (9), como:
𝐴𝑓 = 𝐴(1 − 𝑑1)(1 − 𝑑2) … (1 − 𝑑𝑛)
𝐴𝑓 = 120´350.000(1 − 0,15)(1 − 0,20)(1 − 0,03)(1 − 0,05) = 75´413.717
La tasa promedio de descuento, se calcula con la formula (10), como:
𝑑̅ = 1 − (1 − 𝑑1)(1 − 𝑑2) … (1 − 𝑑𝑛)
𝑑̅ = 1 − (1 − 0,15)(1 − 0,20)(1 − 0,03)(1 − 0,05) = 0,3733 = 37,33%
El comerciante obtendrá un descuento total de $44´969.283, el valor final de la factura
