Equilibrio de cuerpo rígido

(1)

Mecánica Vectorial

Cap. 5

Juan Manuel Rodríguez Prieto

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Equilibrio de cuerpo rígido

OBJETIVOS DEL CAPÍTULO

•  Desarrollar las ecuaciones de equilibrio para un

cuerpo rígido.

•  Presentar el concepto de diagrama de cuerpo

libre para un cuerpo rígido.

•  Mostrar cómo resolver problemas de equilibrio

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Equilibrio de cuerpo rígido

(5)

Equilibrio de cuerpo rígido

•  El sistema de fuerzas y

momentos que actúan sobre un cuerpo puede reducirse a una fuerza resultante y un m o m e n t o d e p a r equivalentes en cualquier

punto arbitrario O sobre el

cuerpo o fuera de él.

•  Si tanto la fuerza como el

momento de par resultantes son iguales a cero, entonces se dice que el cuerpo está en

equilibrio. FR = ∑F = 0

M_R₀ = ∑M

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Equilibrio de cuerpo rígido

F_R = ∑F =0

M_R₀ = ∑M

0 =0

establece que la suma de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo es igual a cero.

establece que la suma de los momentos de todas las fuerzas en el sistema con respecto al punto O, añadida a todos los momentos de par es igual a cero.

Estas dos ecuaciones no sólo son necesarias para el equilibrio, también son suficientes.

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Equilibrio en dos dimensiones

F_R = ∑F = 0 MR0 = ∑M₀ =0

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Equilibrio en dos dimensiones

F_R = ∑F = 0 M_R₀ = ∑M

0 =0

La aplicación ecuaciones de equilibrio requiere de una especificación completa de todas las fuerzas externas conocidas y desconocidas que actúan sobre un cuerpo. ( diagrama de cuerpo libre)

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Reacciones de soportes

Consideremos los diversos tipos de reacciones que ocurren en soportes y puntos de contacto entre cuerpos sometidos a sistemas coplanares de fuerza.

Como regla general:

• Si un soporte evita la traslación de un cuerpo en una dirección dada, entonces se desarrolla una fuerza sobre el cuerpo en esa dirección.

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Reacciones de soportes

Procedimiento para el análisis

Trace el contorno.

Muestre todas las fuerzas y momentos de par.

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(15)

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(17)

(18)

Ecuaciones de equilibrio 2D

F_R = ∑F = 0 M_R₀ = ∑M

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Ejemplo 4

F_R = ∑F = 0 M_R₀ = ∑M

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Ejemplo 4

(21)

Ejemplo 5

F_R = ∑F = 0 M_R₀ = ∑M

(22)

Ejemplo 5

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Equilibrio en 3D

F_R = ∑F = 0 M_R₀ = ∑M

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Equilibrio en 3D

•  Una fuerza se desarrolla mediante un soporte

que restringe la traslación de su elemento conectado.

•  Un momento de par se desarrolla cuando se

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Equilibrio en 3D

•  Una fuerza se desarrolla mediante un soporte

que restringe la traslación de su elemento conectado.

•  Un momento de par se desarrolla cuando se

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Equilibrio en 3D

Soportes para cuerpos rígidos sometidos a sistemas de fuerzas

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(29)

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(31)

(32)

(33)

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(35)

(36)

(37)

Diagrama de cuerpo libre en 3D

•  Se requiere primero “aislar” el cuerpo por medio del

delineado de su contorno.

•  Una cuidadosa rotulación de todas las fuerzas y

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Ecuaciones de equilibrio en 3D

F_R = ∑F =0 MR0 = ∑M₀ =0

F_R = ∑F_xi+ ∑F_yj+ ∑F_zk =0 M_R₀ = ∑ M_xi + ∑ M_yj+ ∑ M_zk = 0

F_x

∑ = 0

F_y = 0

∑

F_z = 0

∑

M_x

∑ = 0

M_y = 0

∑

M_z = 0

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Ejemplo 1

B_x = 0 B_y = 0

A_z + B_z +T_C − 300 − 981= 0

F_x

∑ = 0

F_y = 0

∑

F_z = 0

∑

T_C(2m)− 981(1m)+ B_z(2m) = 0 300(1.5)+ 981(1.5)− B_z(3m)

−A_z(3m)− 200Nm = 0

M_x

∑ = 0

M_y = 0

∑

M_z = 0

∑

La ecuación de momentos con respecto a z no nos aporta ninguna información.

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Ejemplo 1

A_z + B_z +T_C = 1281 2T_C + 2B_z = 981 3B_z + 3A_z = 1721.5

1 1 1 0 2 2 3 3 0 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ A_z B_z T_C ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ = 1281 981 1721.5 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ A_z B_z T_C ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥= 790 −217 717 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥

(42)

(43)

Ejemplo 2

A_x + B_x = 0

A_y = 0

A_z + B_z + F_C − 900 = 0

F_x

∑ = 0

F_y = 0

∑

F_z = 0

∑

−900(0.4m)+ B_z(0.8m)+ F_c(1.2m) = 0

F_C(0.6m)− 900(0.4m) = 0 ⇒ F_C = 600N

B_x(0.8m) = 0 ⇒ B_x = 0

M_x

∑ = 0

M_y = 0

∑

M_z = 0

(44)

Ejemplo 2

A_x + B_x = 0 ⇒ A_x = 0

A_z + B_z + F_C − 900 = 0 ⇒ A_z = 750

−900(0.4m)+ B_z(0.8m)+ F_c(1.2m) = 0 ⇒ B_z = −450

(45)

(46)

Ejemplo 3

F_AC = F_AC U_AC

F_AB = F_AB U_AB

r_A = 6 j

r_B = 2i + 3k

r_C = −2i + 3k

r_AC = −2i − 6 j + 3k

r_AB = 2i − 6 j + 3k

U_AC = − 2

7 i − 6

7 j + 3 7 k

U_AB = 2

7 i − 6

(47)

Ejemplo 3

F_AC = F_AC U_AC

F_AC = − 2

7 FAC i − 6

7 FAC j + 3

7 FAC k

F_AB = 2

7 FAB i − 6

7 FAB j + 3

7 FAB k

(48)

Ejemplo 3

M₀ = r₀_A × (F_AC + F_AB)− 450i = 0

r₀_A × F_AC =

i j k

0 6 0

− 2

7 FAC − 6

7 FAC

3

7 FAC

= 18

7 FAC i + 12

7 FAC k

r₀_A × F_AB =

i j k

0 6 0

2

7 FAB − 6

7 FAB

3

7 FAB

= 18

7 FAB i − 12

7 FAB k

M₀ = 18

7 FAC i + 18

(49)

Ejemplo 3

M₀ = 18

7 FAC i +

18

7 FAB i − 450i

12

7 FAC j−

12

7 FAB j = 0

18

7 FAC + 18

7 FAB = 450

F_AC = F_AB

(50)

(51)

Ejemplo 3

F_A = A_xi + A_yj + A_zk

T_E = T_Ei

T_D = T_D j

F_C = −200kN

F_A + T_E + T_D + F_C = 0

F_R = ∑F =0

F

∑ = (A_x + T_E)i + (A_y + T_D)j+ (A_z − 200)k

Sumatoria de fuerzas, formulación vectorial

(52)

Ejemplo 3

M_A = r_AC × F_C + r_AB × (T_E + T_D)

Sumatoria de momentos con respecto a A

r_A = 0i + 0j+ 0k

r_B = 1i + 2j− 2k r_AB = 1i + 2j − 2k

r_AC × F_C =

i j k

0.5 1 −1

0 0 −200

r_AB × (T_E + T_D ) =

i j k

1 2 −2

(53)

Ejemplo 3

r_AC × F_C =

i j k

0.5 1 −1 0 0 −200

= −200i +100j

r_AB × (T_E + T_D ) =

i j k

1 2 −2

T_E T_D 0

= 2T_Di − 2T_E j+ (T_D − 2T_E )k

2T_D − 200 = 0

−2T_E +100 = 0

T_D − 2T_E = 0

T_D = 100N T_E = 50N