Mecánica Vectorial
Cap. 5
Juan Manuel Rodríguez Prieto
Equilibrio de cuerpo rígido
OBJETIVOS DEL CAPÍTULO
• Desarrollar las ecuaciones de equilibrio para un
cuerpo rígido.
• Presentar el concepto de diagrama de cuerpo
libre para un cuerpo rígido.
• Mostrar cómo resolver problemas de equilibrio
Equilibrio de cuerpo rígido
Equilibrio de cuerpo rígido
• El sistema de fuerzas y
momentos que actúan sobre un cuerpo puede reducirse a una fuerza resultante y un m o m e n t o d e p a r equivalentes en cualquier
punto arbitrario O sobre el
cuerpo o fuera de él.
• Si tanto la fuerza como el
momento de par resultantes son iguales a cero, entonces se dice que el cuerpo está en
equilibrio. FR = ∑F = 0
MR0 = ∑M
Equilibrio de cuerpo rígido
FR = ∑F =0
MR0 = ∑M
0 =0
establece que la suma de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo es igual a cero.
establece que la suma de los momentos de todas las fuerzas en el sistema con respecto al punto O, añadida a todos los momentos de par es igual a cero.
Estas dos ecuaciones no sólo son necesarias para el equilibrio, también son suficientes.
Equilibrio en dos dimensiones
FR = ∑F = 0 MR0 = ∑M0 =0
Equilibrio en dos dimensiones
FR = ∑F = 0 MR0 = ∑M
0 =0
La aplicación ecuaciones de equilibrio requiere de una especificación completa de todas las fuerzas externas conocidas y desconocidas que actúan sobre un cuerpo. ( diagrama de cuerpo libre)
Reacciones de soportes
Consideremos los diversos tipos de reacciones que ocurren en soportes y puntos de contacto entre cuerpos sometidos a sistemas coplanares de fuerza.
Como regla general:
• Si un soporte evita la traslación de un cuerpo en una dirección dada, entonces se desarrolla una fuerza sobre el cuerpo en esa dirección.
Reacciones de soportes
Procedimiento para el análisis
Trace el contorno.
Muestre todas las fuerzas y momentos de par.
Ecuaciones de equilibrio 2D
FR = ∑F = 0 MR0 = ∑M
Ejemplo 4
FR = ∑F = 0 MR0 = ∑M
Ejemplo 4
Ejemplo 5
FR = ∑F = 0 MR0 = ∑M
Ejemplo 5
Equilibrio en 3D
FR = ∑F = 0 MR0 = ∑M
Equilibrio en 3D
• Una fuerza se desarrolla mediante un soporte
que restringe la traslación de su elemento conectado.
• Un momento de par se desarrolla cuando se
Equilibrio en 3D
• Una fuerza se desarrolla mediante un soporte
que restringe la traslación de su elemento conectado.
• Un momento de par se desarrolla cuando se
Equilibrio en 3D
Soportes para cuerpos rígidos sometidos a sistemas de fuerzas
Equilibrio en 3D
Soportes para cuerpos rígidos sometidos a sistemas de fuerzas
Equilibrio en 3D
Soportes para cuerpos rígidos sometidos a sistemas de fuerzas
Equilibrio en 3D
Soportes para cuerpos rígidos sometidos a sistemas de fuerzas
Equilibrio en 3D
Soportes para cuerpos rígidos sometidos a sistemas de fuerzas
Equilibrio en 3D
Soportes para cuerpos rígidos sometidos a sistemas de fuerzas
Equilibrio en 3D
Soportes para cuerpos rígidos sometidos a sistemas de fuerzas
Equilibrio en 3D
Soportes para cuerpos rígidos sometidos a sistemas de fuerzas
Equilibrio en 3D
Soportes para cuerpos rígidos sometidos a sistemas de fuerzas
Equilibrio en 3D
Soportes para cuerpos rígidos sometidos a sistemas de fuerzas
Equilibrio en 3D
Soportes para cuerpos rígidos sometidos a sistemas de fuerzas
Diagrama de cuerpo libre en 3D
• Se requiere primero “aislar” el cuerpo por medio del
delineado de su contorno.
• Una cuidadosa rotulación de todas las fuerzas y
Ecuaciones de equilibrio en 3D
FR = ∑F =0 MR0 = ∑M0 =0
FR = ∑Fxi+ ∑Fyj+ ∑Fzk =0 MR0 = ∑ Mxi + ∑ Myj+ ∑ Mzk = 0
Fx
∑ = 0
Fy = 0
∑
Fz = 0
∑
Mx
∑ = 0
My = 0
∑
Mz = 0
Ejemplo 1
Bx = 0 By = 0
Az + Bz +TC − 300 − 981= 0
Fx
∑ = 0
Fy = 0
∑
Fz = 0
∑
TC(2m)− 981(1m)+ Bz(2m) = 0 300(1.5)+ 981(1.5)− Bz(3m)
−Az(3m)− 200Nm = 0
Mx
∑ = 0
My = 0
∑
Mz = 0
∑
La ecuación de momentos con respecto a z no nos aporta ninguna información.
Ejemplo 1
Az + Bz +TC = 1281 2TC + 2Bz = 981 3Bz + 3Az = 1721.5
1 1 1 0 2 2 3 3 0 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ Az Bz TC ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ = 1281 981 1721.5 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ Az Bz TC ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥= 790 −217 717 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥
Ejemplo 2
Ax + Bx = 0
Ay = 0
Az + Bz + FC − 900 = 0
Fx
∑ = 0
Fy = 0
∑
Fz = 0
∑
−900(0.4m)+ Bz(0.8m)+ Fc(1.2m) = 0
FC(0.6m)− 900(0.4m) = 0 ⇒ FC = 600N
Bx(0.8m) = 0 ⇒ Bx = 0
Mx
∑ = 0
My = 0
∑
Mz = 0
Ejemplo 2
Ax + Bx = 0 ⇒ Ax = 0
Az + Bz + FC − 900 = 0 ⇒ Az = 750
−900(0.4m)+ Bz(0.8m)+ Fc(1.2m) = 0 ⇒ Bz = −450
Ejemplo 3
FAC = FAC UAC
FAB = FAB UAB
rA = 6 j
rB = 2i + 3k
rC = −2i + 3k
rAC = −2i − 6 j + 3k
rAB = 2i − 6 j + 3k
UAC = − 2
7 i − 6
7 j + 3 7 k
UAB = 2
7 i − 6
Ejemplo 3
FAC = FAC UAC
FAC = − 2
7 FAC i − 6
7 FAC j + 3
7 FAC k
FAB = 2
7 FAB i − 6
7 FAB j + 3
7 FAB k
Ejemplo 3
M0 = r0A × (FAC + FAB)− 450i = 0
r0A × FAC =
i j k
0 6 0
− 2
7 FAC − 6
7 FAC
3
7 FAC
= 18
7 FAC i + 12
7 FAC k
r0A × FAB =
i j k
0 6 0
2
7 FAB − 6
7 FAB
3
7 FAB
= 18
7 FAB i − 12
7 FAB k
M0 = 18
7 FAC i + 18
Ejemplo 3
M0 = 18
7 FAC i +
18
7 FAB i − 450i
12
7 FAC j−
12
7 FAB j = 0
18
7 FAC + 18
7 FAB = 450
FAC = FAB
Ejemplo 3
FA = Axi + Ayj + Azk
TE = TEi
TD = TD j
FC = −200kN
FA + TE + TD + FC = 0
FR = ∑F =0
F
∑ = (Ax + TE)i + (Ay + TD)j+ (Az − 200)k
Sumatoria de fuerzas, formulación vectorial
Ejemplo 3
MA = rAC × FC + rAB × (TE + TD)
Sumatoria de momentos con respecto a A
rA = 0i + 0j+ 0k
rB = 1i + 2j− 2k rAB = 1i + 2j − 2k
rAC × FC =
i j k
0.5 1 −1
0 0 −200
rAB × (TE + TD ) =
i j k
1 2 −2
Ejemplo 3
rAC × FC =
i j k
0.5 1 −1 0 0 −200
= −200i +100j
rAB × (TE + TD ) =
i j k
1 2 −2
TE TD 0
= 2TDi − 2TE j+ (TD − 2TE )k
2TD − 200 = 0
−2TE +100 = 0
TD − 2TE = 0
TD = 100N TE = 50N