1-Magnitudes, Unidades y Vectores

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Profesora Alejandra Mocagatta CINEMÁTICA Magnitudes, Unidades, Vectores

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1-Magnitudes, Unidades y Vectores

Magnitudes

Una magnitud es todo aquello que se puede medir de un cuerpo material o un fenómeno físico, y que se puede representar por un número y que puede ser estudiado en las ciencias experimentales.

Ejemplos de magnitudes: longitud, masa, velocidad, fuerza, temperatura, energía.

Unidades

Una unidad es una cantidad de magnitud que se toma como patrón para compararla con la cantidad de magnitud de lo que se desee medir.

Para medir la masa, por ejemplo, tomamos (arbitrariamente) como unidad una cantidad materia a la que llamamos kilogramo. Para medir la longitud, tomamos una cantidad de longitud que se llama metro, etc

La Medida es el resultado de medir, es decir, de comparar la cantidad de magnitud que queremos medir con la unidad de esa magnitud. Este resultado se expresará mediante una cantidad (número) seguida de la unidad.

Las unidades deben ser:

Reproducibles por cualquiera en cualquier parte del mundo.

Universales y contrastables: utilizadas por todos los países y accesibles para el que quiera calibrar con ellas otros patrones de medida.

Inalterables por las condiciones atmosféricas, el uso, etc.

Coherentes: Para que se puedan basar unas en otras y tener múltiplos y submúltiplos.

El Sistema Internacional de unidades (S.I.) establece siete unidades básicas con sus múltiplos y submúltiplos (Sistema Internacional ampliado) correspondientes a siete magnitudes fundamentales.

Tabla 1. Unidades de base SI

Magnitud de base Unidad de base SI _Nombre _Símbolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eléctrica Ampere A temperatura termodinámica kelvin K

cantidad de materia mol mol

intensidad luminosa candela cd

Las demás magnitudes que se relacionan con las fundamentales mediante fórmulas matemáticas reciben el nombre de magnitudes derivadas.

Magnitud derivada Unidad derivada SI _Nombre _Símbolo

superficie metro cuadrado _m2

volumen metro cúbico _m3

velocidad metro por Segundo m/s

aceleración metro por segundo cuadrado m/s2

número de ondas recíproco de metro _m-1 densidad kilogramo por metro cúbico kg/m3

volumen específico metro cúbico por kilogramo m3/kg

densidad de corriente ampere por metro cuadrado A/m2

campo magnético ampere por metro A/m

concentración mol por metro cúbico mol/m3

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Física 1º Profesorado de Educación secundaria en Química ISFDyT nº 117

Profesora Alejandra Mocagatta CINEMÄTICA. –Magnitudes, Unidades y Vectores

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Tabla 3. Unidades SI derivadas con nombres y símbolos especialesi

magnitud derivada

unidad derivada SI

Nombre Símbolo

expresada en término de otra unidad SI

Expresada en término de unidades SI de

base

ángulo plano radian Rad m.m-1 _{= 1}

ángulo sólido estereoradián Sr m2_.m-2 _{= 1}

frecuencia hertz Hz _s-1

fuerza newton N m.kg.s-2

presión, tensión pascal Pa N/m2 m-1_.kg.s_-2

energía, trabajo, cantidad de calor joule J N.m m2_.kg.s_-2

potencia, flujo energético watt W J/s m2_.kg.s_-3

Magnitudes escalares

Son aquellas que para quedar determinadas solo necesitan un número y una unidad, por ejemplo: la longitud, el tiempo, la temperatura, el volumen.

Magnitudes vectoriales

Son aquellas magnitudes que para quedar determinadas necesitan de cuatro elementos:

Módulo: es el número con la unidad.

Dirección: es la recta de acción sobre la cual la magnitud se desplaza. Sentido: para una dirección existen dos sentidos posibles.

Punto de aplicación: es el lugar del cuerpo donde se encuentra aplicada la magnitud

Estas magnitudes se representan mediante un vector que es un segmento orientado, como indica la figura.

La suma de vectores no se hace de la misma manera que la de escalares (números con unidad). Al resultado de la suma de vectores se lo llama vector resultante, o simplemente resultante. La resultante es un solo vector equivalente a sus componentes

Para hallar la resultante existen métodos gráficos y analíticos. Los métodos gráficos, como su nombre lo indica, son a través de dibujos en escala. Los analíticos son a través de cálculos matemáticos.

Suma de vectores

Para sumar dos vectores libres vector y vector se escogen como representantes dos vectores tales que el extremo de uno coincida con el origen del otro vector.

Punto de aplicación

sentido

(3)

₆

ii

Método del polígono

Otra forma de hacer la suma, es utilizando el llamado método del polígono. Este método es simplemente la extensión del método del triángulo. Se van desplazando los vectores para colocarlos uno a continuación del otro y la resultante final es el vector que cierra el polígono desde el extremo que quedo libre hasta la punta de flecha que quedó libre.

El orden en que se realice la suma no interesa, pues aunque el polígono resultante tiene forma diferente en cada caso, la resultante final conserva su magnitud, su dirección y su sentido.

Este método sólo es eficiente desde punto de vista gráfico, y no como un método analítico.

Método del paralelogramo

Se toman como representantes dos vectores con el origen en común, se trazan rectas paralelas a los vectores obteniéndose un paralelogramo cuya diagonal coincide con la suma de los vectores.

Suma por el método de las Componentes

Todo vector se puede expresar como la suma de otros dos vectores a los cuales se les denomina componentes.

Para sumar dos vectores se suman sus respectivas componentes.

(4)

₇

Las componentes rectangulares cumplen las siguientes relaciones:

Ejemplo:

Sumar los vectores mediante el método de las componentes rectangulares.

Lo primero que se debe hacer es llevarlos a un plano cartesiano:

Se calculan las componentes rectangulares:

(5)

₈

Se representan estos dos vectores en el plano cartesiano y se suman vectorialmente

Se calcula ahora el módulo de la resultante y su dirección:

Resta de vectores

Para restar dos vectores libres vector a y vector b, se suma el vector a con el opuesto del vector b. Las componentes del vector resta se obtienen restando las componentes de los vectores.

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Profesora Alejandra Mocagatta CINEMÁTICA- MovimientoS

₉

Movimientos

Para saber cuándo un punto está en movimiento tendríamos que poder ubicarlo en el espacio. En física utilizamos para éste fin un Sistema de referencias.

Sistema de referencias

Para indicar la posición de un cuerpo en el espacio es necesario determinar un sistema de referencias

El más común es el sistema cartesiano ortogonal con sus ejes X, Y y Z. El sistema consiste en tres ejes que se cortan en un punto llamado origen y que cada uno es perpendicular a los otros dos.

Para ubicar un punto en el espacio es necesario indicar tres coordenadas espaciales. Por ejemplo para indicar la posición del punto P tendremos que indicar las coordenadas xp, yp, zp

Para ubicar un objeto en el plano, se necesitarán solo dos ejes coordenadas (X, Y)

Para ubicar algo sobre una línea bastará con una sola coordenada

Es evidente que si se cambia la ubicación o el tipo de sistema de referencias, las coordenadas de un punto también cambiaran aunque éste siempre se encuentre en el mismo lugar del espacio, por ésta razón decimos que la posición de un móvil es relativa al sistema de referencias adoptado.

Escala de tiempo

Para ubicar temporalmente un suceso, es necesario determinar un origen en la escala de tiempo al que se designa como

t

₀. En la práctica este t=0 se le asigna al momento en el que se enciende el cronómetro, por lo tanto el tiempo negativo no tiene ningún sentido físico.

Movimiento

Para hablar de movimiento hay que hablar de tiempo. La noción de tiempo va asociada a la sucesión de acontecimientos que no es otra cosa que movimiento. La magnitud tiempo se representa con la letra t y un intervalo de tiempo entre dos instantes t1 y t2 se representa con ∆t:

2 1

t t

t

(7)

₁₀

Trayectoria

Por ejemplo, en la siguiente figura, la trayectoria está indicada por la línea verde, el punto P es el móvil y xp,

yp, zp, son las coordenadas del punto en un instante determinado

Vector posición

A medida que el móvil se desplace, el vector posición ( ) cambiara de módulo y/o dirección.

Matemáticamente, el vector posición se escribe indicando las coordenadas de su extremo, ya que por definición las de su origen son cero, por lo tanto

r

tiene tres coordenadas:

r x y z

( , , )

En lenguaje vectorial, cada coordenada se asocia a un versor que, es un vector unidad, es decir, su módulo vale "1" y que su dirección coincide, en nuestro caso, con la dirección de los ejes coordenados. Denominamos versor al asociado con el eje X, versor al asociado con el eje Y y versor al asociado con el eje Z. Por lo tanto el vector posición se expresa de la siguiente manera:

(

)

r xi

 

yj

zk

DEFINICIÓN:

Un punto se mueve respecto de un sistema de referencias adoptado, cuando cambia alguna de sus coordenadas espaciales a lo largo del tiempo

DEFINICIÓN:

La trayectoria de un móvil es la línea formada por los sucesivos puntos que éste va ocupando en el espacio a medida que se mueve. Si se trata de una recta decimos que la trayectoria es rectilínea. Si se trata de una curva, toma el nombre de la misma.

DEFINICIÓN:

(8)

₁₁

Vector desplazamiento

El desplazamiento es una magnitud vectorial que representa la diferencia entre dos posiciones.

En un instante t el vector posición de un móvil es (t) y en otro instante posterior t+∆t, el nuevo vector posición sea (t+∆t), entonces el vector desplazamiento será:

 

r

₍_t__t₎



r

_{( )}_t

Observemos su significado gráfico:

Es importante destacar que no es lo mismo el desplazamiento que el camino recorrido por el móvil "s", ya que s viene dado por la curva de la trayectoria. La trayectoria s coincide con



r

si la trayectoria es rectilínea.

Velocidad media

No todos los móviles se mueven de la misma manera, pero en todos los casos, es posible describir su movimiento. Si además se quiere poder predecir donde se encontrará en un instante determinado, se requiere la información completa de ese movimiento, entonces , es necesaria una nueva magnitud que permita diferenciar un caso del otro y tener una "idea" de cómo se desplaza un móvil. Esta magnitud se denomina velocidad media:

Físicamente, la velocidad media representa la rapidez con que se produce el desplazamiento de un móvil. El vector velocidad media tiene la misma dirección y sentido que el vector desplazamiento.

La velocidad media solamente relaciona el vector desplazamiento total producido en un intervalo de tiempo con dicho intervalo. No brinda información de la trayectoria seguida por el móvil, ni si ha llevado siempre la misma velocidad en todo el intervalo de tiempo.

Pensemos que, si el móvil regresa al punto de partida al cabo de un intervalo de tiempo, la velocidad media será nula en dicho intervalo, pues el vector desplazamiento será nulo. Frente a esta situación es necesario definir una nueva magnitud: la velocidad instantánea

(t)

(t+∆t) s y

z

x

DEFINICIÓN: el vector desplazamiento



r

viene dado por la cuerda sustendida entre un instante y el otro posterior.

(t t) ( )t

r

_

r

 



DEFINICIÓN

La velocidad media de un móvil en un intervalo de tiempo



t

, es una magnitud vectorial igual al cociente entre el vector desplazamiento correspondiente al intervalo y el valor de dicho intervalo.

m

r

V

t







   

_{ }

r

m km

v

ó

t

s

h



(9)

₁₂

Velocidad instantánea

La velocidad instantánea representa la velocidad de un móvil en un instante determinado, o la velocidad que posee en un punto determinado de la trayectoria.

Matemáticamente esta expresión es una "derivada", la derivada del vector posición respecto del tiempo. Vectorialmente la velocidad instantánea se expresará de la siguiente forma:

v v i v j v k



_x



_y



_z

Velocidad instantánea y trayectoria

El vector velocidad instantánea de un móvil tendrá una dirección que será siempre tangente a la trayectoria en el punto donde se la mida y su sentido coincidirá con el del movimiento.

Aceleración

Físicamente, la aceleración mide la rapidez con que cambia la velocidad de un móvil. Por lo tanto siempre que se observe un cambio de velocidad, se podrá medir la aceleración.

Como la velocidad es una magnitud vectorial, habrá aceleración no solo cuando varíe su módulo, sino también cuando varíe su dirección o su sentido.

Aceleración media

En general cuando un cuerpo se mueve su velocidad no se mantiene constante, y puede cambiar en módulo, dirección y sentido, cuando la velocidad varía, el cuerpo está acelerado.

Supongamos que un móvil sigue una trayectoria, y en un instante t, su velocidad es

v

_{( )}_t y en otro instante

posterior

(

t

 

t

)

su velocidad es

v

₍_t__t₎.

Si transportamos los vectores velocidad a un origen común, podemos realizar la diferencia entre ellos y así obtener al vector



v

.

y

z

x

DEFINICIÓN

La velocidad instantánea es el valor límite que toma la velocidad media cuando el intervalo de tiempo en el que se mide es muy pequeño, es decr que tiende a cero.

tant

0

lim

ins ánea t

r

dr

v

t

dt

 





(10)

₁₃

En este caso, el vector velocidad instantánea cambia en modulo y dirección, es decir, es el caso más general. En otros casos, puede ser que solo cambie la dirección o el módulo (movimientos rectilíneos)

m

a

Es una magnitud vectorial, cuya dirección y sentido coincide con la dirección y sentido del vector variación de velocidad



v

.

Aceleración instantánea

Al reducir el intervalo de tiempo en el que se mide la aceleración, la posibilidad de que ésta haya cambiado también se reduce y, si este intervalo de tiempo tiende a cero, se puede asegurar que, en dicho intervalo la aceleración no cambió.

Físicamente, la aceleración que tiene un móvil en cualquier instante o en cualquier punto de la trayectoriase define como aceleración instantánea.

La aceleración instantánea es el valor límite que toma aceleración media cuando el intervalo de tiempo en el que se mide tiende a cero:

0

lim

t

v

dv

a

t

dt

 







Matemáticamente esta expresión es la derivada del vector velocidad instantánea respecto del tiempo.

Clasificación de los movimientos

Como sabemos, un cuerpo puede moverse de infinitas maneras, sin embargo, existen algunos tipos de movimientos que aparecen con mucha frecuencia en la naturaleza, y por esta razón, se los estudia particularmente

En este curso analizaremos algunos casos de movimiento rectilíneo uniforme, uniformemente variado, en dos dimensiones y circular uniforme.

y

z

x

y

z

x

v



Unidades

DEFINICIÓN La aceleración media de un móvil es una magnitud igual al cociente entre la variación de velocidad instantánea que experimenta un móvil y el intervalo de tiempo en que dicha variación se produce.

(t t) ( )t m

v

a

t

v











   

2

m

s

a

t

s

v

 

 

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Profesora Alejandra Mocagatta CINEMÁTICA- MRU

₁₄

2-Movimiento rectilíneo uniforme

Si la dirección del vector velocidad permanece constante, la trayectoria del móvil es una recta.

Si la velocidad instantánea de un móvil permanece constante, significa también, que su módulo tendrá el mismo valor cuando se lo mida en cualquier intervalo de tiempo, sea este infinitamente pequeño o muy grande, lo que equivale a decir que en el MRU, la velocidad media coincide con la instantánea.

Por ésta razón, el cálculo de la velocidad se simplifica mucho al utilizar como sistema de referencias solo el eje X. Puede tratarle a la velocidad como una magnitud escalar donde el sentido está expresado por su signo.

Al estudiar el movimiento de un cuerpo que se desplaza con MRU utilizando un cronómetro:

Se enciende el cronómetro en el instante en que se mide por primera vez la posición del móvil en el sistema de referencias. El tiempo será igual a cero (

t

₁= 0 ), y a ese instante se lo llama instante inicial

t

₀y a la posición que ocupa el móvil se llama posición inicial y se la indica con

x

₀. (El subíndice cero hace referencia a que en ésta posición el tiempo valía cero). Al instante posterior,

t

₂ , se lo llama directamente t y representa un instante cualquiera después de haber encendido el cronómetro. A la posición del móvil en este instante t la indicaremos con el siguiente símbolo:

x

_{( )}_t .

( 2) ( 1)

2 1

( ) 0

.

t t t t

x

v

t

x

v

t

x

v t





















Reorganizando los términos obtenemos, la ecuación horaria para el MRU.

Esta ecuación se denomina así, porque permite calcular la posición

(

x

)

de un móvil en cualquier instante

(

t

)

. Los valores de

x

₀y

v

son constantes para un movimiento ya que el móvil en el instante cero se encuentra en un lugar y se desplaza con una única velocidad.

DEFINICIÓN:

Un móvil se desplaza con movimiento rectilíneo uniforme ( MRU ) cuando su velocidad instantánea permanece constante.

( ) 0

.

t t

x

v

t

x

v t

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Profesora Alejandra Mocagatta CINEMÁTICA- M.R:U

₁₅

GRÁFICOS

Para el análisis y la descripción de un movimiento, es muy útil representar gráficamente las magnitudes que varían en función del tiempo. En particular, para el MRU se representan la posición y la velocidad en función del tiempo ya que la aceleración es nula en todo momento.

Gráfico de posición en función del tiempo

x



f t

( )

Si analizamos matemáticamente la ecuación horaria es evidente de que se trata de la ecuación de una recta, donde x(t) es la variable dependiente, t es la variable independiente,

x

₀ es la ordenada al origen y v es la pendiente de la recta.

Representando gráficamente esta ecuación:

En el primer caso, la representación corresponde a un móvil que se desplaza en sentido creciente del eje X y por lo tanto la velocidad es positiva.

En el segundo, la representación corresponde a un móvil que se desplaza en el sentido decreciente del eje X lo que implica una velocidad negativa.

El módulo de la velocidad, está representado por la pendiente de la recta, a mayor pendiente mayor velocidad.

Gráfico de Velocidad en función del tiempo:

v



f t

( )

Está claro que en éste movimiento la velocidad permanece constante a lo largo del tiempo y por ende su gráfico corresponderá al de una constante.

Nuevamente, el primer gráfico corresponde a una velocidad positiva y el segundo a una negativa.

Tomemos un gráfico de velocidad en función del tiempo y analicemos lo que representa el área encerrada. Para un cierto lapso de tiempo



t

, el área determinada entre el gráfico de v y el eje t es:

area v

 

.

t

, lo que corresponde al valor de



x

t

x

t

v

t

v

t

v

t

x

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Profesora Alejandra Mocagatta CINEMÁTICA- M.R:U

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Resolver:

1. Calcular la velocidad en

m

s

,

cm

s

,

km

h

, que lleva un móvil que recorre 300m en 2 minutos con MRU

2. Un tren parte de la estación terminal donde se ubica la marca 0m, si viaja con una velocidad constante de 36 m/s. Calcular:

a. Cuantos segundos después pasará el tren frente a una estación que se encuentra en la marca 1620m b. La velocidad del tren en km/h

3. Una moto pasa a las 10:15h por el mojón que indica el km 30 de una ruta, y marcha todo el tiempo con una velocidad de 108km/h. ¿Qué indicará el mojón por el que pase a las 15hs?

4. Un carro se mueve con içuna velocidad de 20km/h durante 5 horas. a. Calcular su posición final

b. Graficar la velocidad en función del tiempo y el espacio en función del tiempo de un MRU 5. ¿Cuál será la distancia recorrida por un móvil que marcha a 60km/h durante 1 día, 3 horas y 40 minutos? 6. Una moto que circula a 60km/h pasa por el mojón 100km a las 8:00h. Determinar

a. A qué hora pasa por el mojón 400

b. En que quilómetro de la ruta se encontrará a las 15:00 hs

7. Un auto realiza un recorrido de 100 km, con el siguiente gráfico representando su posición en función del tiempo:

a. Cuanto tiempo estuvo el auto parado sin avanzar b. Cuanto tiempo tardó en total

c. Cuantos km recorrió en la última hora de recorrido d. Cual fue la velocidad promedio en los primeros50km e. Cual fue la velocidad promedio en las primeras 2

horas

8. Juan recorre con su auto una carretera de 200km a una

velocidad constante de 100km/h. Mónica recorre la misma distancia con su auto pero los primeros 100km los hace a 75km/h, y los restantes los hace a 125km/h.

a. En cuanto tiempo recorre Juan los 200km b. En cuanto tiempo lo hace Mónica

c. Cuál es la velocidad media de Mónica en todo el recorrido

d. Realiza en un mismo gráfico la posición en función del tiempo para Mónica y para Juan e. Realiza otro gráfico con la velocidad en función del tiempo para cada uno.

9. Dado el siguiente gráfico:

a. Determinar cuánto el tiempo estuvo detenido el móvil

b. Cuál es la velocidad media para el recorrido

c. En qué periodo de tiempo la velocidad promedio fue mayor, ¿en las primeras dos horas o en las segundas? d. Cuales serían las ecuaciones horarias para cada

intervalo del movimiento

10. Si en una noche lluviosa vemos un rayo y 2,5 segundos despues escuchamos el trueno ¿ A que distancia cayó ese rayo

(alguno de estos datos te resultará necesario velocidad de la luz:300000km/s ; velocidad del sonido en el aire: 343m/s)

11. Los delfines se comunican mediante ondas sonoras. Si se encuentran a una distancia de 3km, y un delfín emite una señal sonora ¿cuánto tardará el otro lo escucharla? (velocidad del sonido en el agua:1493m/s

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Profesora Alejandra Mocagatta CINEMÁTICA- MRU -Encuentro

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Encuentro (M. R. U.)

Hay problemas que suele denominarse de encuentro ya que en ellos siempre hay dos o más móviles que en algún lugar de sus trayectorias se encuentran.

Para resolver éste tipo de problemas, debe fijarse un sistema de referencias y en el expresar claramente los datos que corresponden a cada móvil:

Ejemplo:

En un mismo instante un auto sale de la posición A hacia B ubicado a 1000m de distancia, en ese mismo instante

una bicicleta parte de B hacia A. si sus velocidades son

40 m

s

y

10 m

s

respectivamente, calcular el tiempo que tardan en encontrarse y la posición en la que lo hacen.

Lo primero que hay que hacer es definir un sistema de referencias . En este caso se toma al eje x con origen en "A" y dirigido hacia "B" de manera que la posición inicial del auto es cero y la de la bicicleta es 1000 m.

Debido al sistema de referencias adoptado la velocidad de la bicicleta queda con signo negativo ya que su sentido es contrario al sentido creciente del sistema de referencias.

Ahora deberemos aplicar la ecuación horaria del MRU,

x

_{( )}t



x

₀



v t

.

, para cada móvil:

PARA EL AUTO PARA LA BICICLETA

En el momento del encuentro los dos móviles deberán ocupar la misma posición en el mismo instante, por lo tanto x y t serán iguales para ambos móviles. ( Es importante tener en claro que ésta igualdad se da si y solo sí en el instante de encuentro). Por lo tanto estamos en presencia de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (Posición e instante de encuentro) que se puede resolver por cualquier método.

Por el método de igualación: se igualan los primeros términos de la igualdad ya que coinciden en la posición de encuentro, de modo que los segundos términos de la igualdad se igualen también quedando una ecuación con una sola incógnita.

0A

0 x



m

x

₀_B



100 m

40

A

m v

s

 B 10

m v

s

 

0

0 t



s

t

₀



0 s



( ) 0

0

.

1000

( 10

).

B

t

B B

B

x

v t

x

v t

m

x

m

t

s











 

( ) 0

0

.

0

40 .

A

t

A A

A

x

v t

x

v t

m

x

m

t

s









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Profesora Alejandra Mocagatta CINEMÁTICA- M.R:U. - Encuentro

₁₈

0 40 . 1000 10 .

40 . 1000 10 .

40 . 10 . 1000

.(40 10 ) 1000

.50 1000 1000 . 50 20 A B x x m m

m t m t

s s

m m

t m t

s s

m m

t t m

s s m m t m s s m t m s m t m s t s             

Una vez que se conoce el instante del encuentro puede calcularse la posición en la que se produce el encuentro con cualquiera de las ecuaciones horarias planteadas anteriormente.

Sólo para que verifiquen que se obtiene la misma posición de encuentro se resuelven ambas ecuaciones.

0

40 .

40 .20

800

A A A

m

x

m

t

s

m

x

s

x

m







1000

10 .

1000

10 .20

1000

200

800

B B B B

m

x

m

t

s

m

x

m

s

x

m

x

m















Ambos móviles se encontrarán 20 segundos después de su partida y a 800m de A.

GRÁFICOS

Los gráficos para este caso se realizan sobre un mismo sistema de coordenadas

0 200 400 600 800 1000 1200

0 10 20 30

x(m

)

t(s)

(16)

Profesora Alejandra Mocagatta CINEMÁTICA- M.R:U. - Encuentro

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Resolver:

1. Resolver el problema del ejemplo pero considerando ahora que el auto y la bicicleta se desplazan con el mismo sentido. ¿Dónde se encuentran y cuánto tiempo después de abandonar las posiciones A y B? resuelve analítica y gráficamente.

2. Dos móviles pasan simultáneamente, con movimiento rectilíneo y uniforme, por dos posiciones A y B distantes entre sí 3 km., con velocidad de 54 km/h y 36 km/h respectivamente, paralelas al segmento AB y del mismo sentido. Hallar analítica y gráficamente la posición y el instante del encuentro.

Resp: 10 min. , 9 km.

3. Dos móviles pasan simultáneamente con movimiento rectilíneo uniforme por dos posiciones A y B distantes entre sí 6 km., con velocidades de 36 km/h y 72 km/h respectivamente, paralelas al segmento AB y de sentidos opuestos. Halar analítica y gráficamente la posición y el instante del encuentro.-

Resp: 2 km. , 200 s

4. Dos puntos A y B están separados por una distancia, medida en línea recta, de 180m. En un mismo momento pasan dos móviles, uno desde A hacia B, y el otro desde B hacia A, a velocidades de 10m/s y 20 m/s respectivamente. ¿Luego de cuánto tiempo a partir de ese momento y a qué distancia de A se encuentran. Resolver gráfica y analíticamente.-

Resp: 6 s , 60 m

5. Por dos puntos distantes entre sí 100m medidos en línea recta, pasan simultáneamente dos móviles que se mueven en sentidos opuestos y con M.R.U., de tal manera que uno de ellos tarda 2s en llegar al segundo punto y el otro 1,5s en llegar al primero. Calcular dónde y cuándo se cruzan.-

Resp: 42,85 m , 0,857 s

6. En una carrera, un corredor parte a 15m/s y 30 segundos después lo hace otro con igual dirección y sentido a 18 m/s. ¿Cuánto debe recorrer el segundo corredor hasta alcanzar al primero?

7. Dado el siguiente gráfico del encuentro entre una moto M y una bicicleta B indicar:

a. El momento y lugar de encuentro de ambos móviles

b. La velocidad de cada vehículo c. Las posiciones iniciales de cada uno

d. Escribir las ecuaciones horarias para cada vehículo

e. Realiza un esquema que represente la situación

0 100 200 300 400 500 600

0 10 20

x(m

)

t(s)