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Tema 9: Energía

1.- Los cambios en los sistemas materiales

En cursos anteriores hemos estudiado ya la energía. Podemos definirla como la capacidad de realizar cambios. Es decir, un cuerpo o sistema material puede realizar cambios sobre sí mismo u otros cuerpos si tiene energía. Si una persona eleva un cuerpo del suelo, es porque tiene energía que le permite hacerlo. Por el contrario, si un cuerpo no tuviera energía, no podría realizar ningún cambio.

Existe un postulado en la Física que afirma que la energía no se crea ni se destruye, sino que se transforma. O mejor, la energía siempre se conserva; este es el principio de conservación de la energía. Lo que significa es que la energía puede pasar de unos cuerpos a otros, manifestándose incluso de distintas maneras. En nuestro ejemplo, la persona que eleva el cuerpo pierde energía que es ganada por el cuerpo. Ha habido un tránsito de energía desde la persona al cuerpo, de tal forma, que siempre hay la misma entre los dos cuerpos que interfieren. Así, esta persona quedará con menos energía después de elevar el cuerpo. Podemos imaginar que la energía es la moneda que hay que “pagar” para poder hacer cambios; uno paga, y otro cobra.

1.2.- Distintas manifestaciones de la energía Energías que un sistema material podría tener o no

En esta primera parte, hablaremos de las distintas formas de energía que un cuerpo o sistema material podría tener o no, dependiendo de cómo se encuentre. Veamos estos ejemplos:

- Un muelle comprimido (o estirado) tiene energía, puesto que si se libera el muelle recuperará su forma, es decir, se realiza un cambio a sí mismo, además, podría mover otros cuerpos. A esta energía se la ha denominado energía potencial elástica:

𝐸𝑃𝑒 =

1 2· 𝑘 · 𝑥

2

donde k es la constante elástica del muelle y x la elongación que experimenta. Un cuerpo tendrá de esta energía si es elástico y si está deformado.

- Un cuerpo lanzado a una cierta velocidad tiene energía, puesto que, si golpea a otro, le producirá algún cambio. A esta energía se la ha denominado energía cinética:

𝐸𝐶 =

1 2· 𝑚 · 𝑣

2

donde m es la masa del cuerpo y v la velocidad a la que se mueve. Un cuerpo tendrá de esta energía si se mueve a una cierta velocidad.

- Un cuerpo a una cierta altura tiene energía, ya que si cae realizará algún cambio sobre los cuerpos con los que impacte. Esta energía es la energía potencial gravitatoria:

𝐸𝑃𝑔 = 𝑚 · 𝑔0· ℎ

donde m es la masa del cuerpo, g0 la gravedad del planeta en la superficie y h la altura a la que está el cuerpo. Por

consiguiente, los cuerpos que tengan una cierta altura tendrán de este tipo de energía.

Esta expresión es válida siempre la altura h no sea muy grande comparada con el radio del planeta. Para cualquier altura, la expresión de la energía potencial gravitatoria que habría que utilizar es otra.

- Un cuerpo por el que circula una corriente eléctrica puede hacer funcionar distintos aparatos eléctricos y electrónicos. A este tipo de energía que posee, se la denomina energía eléctrica.

- Un cuerpo cargado eléctricamente tiene energía, ya que es capaz de atraer o repeler a otros cuerpos, a esta energía se la denomina energía potencia electrostática.

2 - Los tres fenómenos anteriores están relacionados, y cuando se producen fenómenos eléctricos y magnéticos a la vez, se habla de energía electromagnética. Esta es la energía que se transmite en las ondas electromagnéticas, como la luz, las ondas de radio, televisión, microondas, rayos x, etc., en definitiva, todo el espectro de radiación.

Energías que un sistema material siempre tiene (energía interna)

Ahora nos referimos a la energía que todo cuerpo o sistema material siempre tiene, por el mero hecho de estar formado de materia. Es una energía inherente a la materia. La denominamos energía interna, y está constituida de tres partes:

- Un cuerpo caliente puede calentar cuerpos cercanos, dilatándolos o cambiándolos de estado, y hacer que empujen a otro cuerpo colindante, como por ejemplo cuando con el carbón a alta temperatura (ardiendo) calienta agua pasándola a vapor que es conducido hasta las paletas de un alternador para producir electricidad al hacerlas girar. A este tipo de energía se la denomina energía térmica. Cuanto mayor sea la temperatura de un cuerpo, mayor es la cantidad de energía térmica que tiene. Al contrario, cuando un cuerpo se enfría; pierde energía térmica. Cualquier cuerpo tiene siempre energía térmica, salvo si se enfriara hasta el cero absoluto de temperatura (-273,15 °C); cosa que es físicamente imposible.

Desde el punto de vista microscópico, la energía térmica no es ni más ni menos que la suma de las energías cinéticas de las partículas que constituyen el sistema material, puesto que estas se encuentran en continua agitación térmica. - Cuando una sustancia (o varias) se transforman mediante un cambio químico en otras, se observan fenómenos de emisión o absorción de energía, ya que se consigue calentar o enfriar la materia cercana. Esto nos da a entender que en el interior de la materia hay otro “tipo” de energía que se desprende o absorbe en las reacciones químicas. A esta energía la denominamos energía química. Si la energía química del sistema disminuye, entonces la desprenden, y normalmente se manifiesta en forma de energía térmica calentando las propias sustancias y las de su alrededor. Cuando la energía química aumenta, el sistema absorbe la energía térmica de los cuerpos de su alrededor, enfriándolos.

A escalas atómicas, la energía química no es ni más ni menos que es la energía almacenada en los enlaces atómicos. Cualquier sistema material con átomos o moléculas enlazados tiene energía de este tipo; por eso, podríamos decir que siempre tienen energía química.

Esta es la energía almacenada en una pila o batería, que transforma en energía eléctrica cuando se conecta a un circuito eléctrico. También, es la energía que tomamos de los alimentos y almacenamos en nuestros músculos para utilizarla moviendo objetos o haciendo que funcione nuestro organismo.

- Desde que se formuló la Teoría Especial de la Relatividad, sabemos que la materia es energía condensada. Podemos imaginar que, si comprimimos la energía, obtenemos materia. Por eso, cada partícula de las que forman los átomos está formada por energía. Esta energía condensada es la que llamamos energía nuclear. Es una energía que permanece muy estable (sin variar) en la mayoría de los átomos, pero existen sustancias, que denominamos radiactivas, cuyos núcleos son inestables, y que sufren cambios en la búsqueda de esta estabilidad. En estos cambios, denominados cambios nucleares, hay materia que desaparece, transformándose en energía liberada (en forma de energía electromagnética y energía cinética en partículas, puesto son lanzadas a grandes velocidades). Estos átomos sufren una transmutación, es decir, se transforman de unos elementos a otros. Por tanto, todo sistema material siempre tiene de este “tipo” de energía, ya que está formado de partículas.

Esta energía no se manifiesta únicamente en los elementos radiactivos, sino que cuando se hace colisionar partículas a grandes velocidades, estas se transforman en nuevas partículas normalmente más masivas, tomando la energía que necesita para ello de la energía cinética de las partículas y de la desprendida al desintegrarse las partículas iniciales.

El principio de conservación de la energía deja de tener validez en los cambios nucleares. Ha habido que ampliar este principio al de conservación de la masa-energía. Según esto, lo que realmente siempre se conserva es la masa-energía. En el resto de cambios (los físicos y los químicos), se conserva la masa (por un lado) y la energía también (por separado), y como consecuencia, la masa-energía también se conserva. Sin embargo, en los cambios nucleares la masa cambia, y la energía también, pero la suma de ambos permanece constante.

La famosa expresión:

3 debida a Einstein, nos permite calcular cuanta energía E hay almacenada en una masa m. La constante c representa la velocidad de la luz (3·108_{m/s). Vemos en la ecuación, la cantidad tan terriblemente grande de energía que hay}

almacenada en la materia. Como ejemplo, calculemos la energía que forma un gramo de masa:

𝐸 = 𝑚𝑐2 = 10−3 𝑘𝑔 · (3 · 108)2𝑚2

𝑠2 = 9 · 10 13 _𝐽

Con esta energía se podría tener encendida una bombilla de 100 W más de 28000 años. 1.2.- Unidad de energía

La unidad de energía en el SI es el julio (J). Si por ejemplo tomamos la expresión de la energía potencial gravitatoria, vemos que julio equivale al producto de newton por metro. Efectivamente:

𝐽 = 𝑘𝑔 · 𝑁

𝑘𝑔· 𝑚 = 𝑁 · 𝑚

Podemos comprobar, para hacernos una idea de cuánto es un julio, que es la energía potencial gravitatoria que tiene 102 g de masa (aproximadamente) cuando está a 1 m de altura. O si lo prefieres, es la energía que deberíamos “gastar” si elevamos un cuerpo de 102 g a 1 m de altura:

𝐸𝑃𝑔 = 𝑚 · 𝑔0· ℎ = 0,102 𝑘𝑔 · 9,8

𝑁

𝑘𝑔· 1 𝑚 ≈ 1 𝑁 · 𝑚 = 1 𝐽

Otra unidad de energía, muy utilizada, es la caloría (cal). Se define como la energía que hay que proporcionar a un gramo de agua para elevarle su temperatura un grado Celsius. Su equivalencia con el julio es, aproximadamente:

1 𝑐𝑎𝑙 = 4,18 𝐽

No hay que confundirla con la caloría alimentaria, que se suele representar (Cal), que en realidad representa una kilocaloría (1 Cal = 1 kcal = 1000 cal).

2.- Trabajo

2.1.- Definición de trabajo

En Física existe una magnitud escalar denominada trabajo (W). Si aplicamos una fuerza a un cuerpo y conseguimos desplazarlo o deformarlo, decimos que le hemos realizado trabajo. Para el caso de que el cuerpo se desplace, y que la fuerza aplicada permanezca constante, se define el trabajo como el producto del desplazamiento (Δr) por la componente tangencial de la fuerza (Ft):

𝑊 = 𝐹𝑡· ∆𝑟

Hay que entender que el cuerpo no tiene por qué moverse en línea recta, el vector desplazamiento nos indica desde dónde sale y hasta dónde llega, pero no dice nada de por dónde lo hace.

Si recordamos que el producto escalar de los vectores 𝐴⃗ y 𝐵⃗⃗ es 𝐴⃗ · 𝐵⃗⃗ = 𝐴 · 𝐵 · cos 𝜃, siendo θ el ángulo que forman ambos vectores, podemos utilizarlo para escribir el trabajo con una nueva expresión:

𝑊 = 𝐹⃗ · ∆𝑟⃗

Efectivamente:

𝑊 = 𝐹⃗ · ∆𝑟⃗ = 𝐹 · ∆𝑟 · cos 𝜃 = 𝐹𝑡· ∆𝑟

4 Así, si una persona levanta un cuerpo de 102 g a 1 m de altura, pierde 1 J de energía, que es ganado por el cuerpo elevado. Es decir, el trabajo realizado por la persona es de 1 J, ya que es la energía transferida desde la persona hasta el cuerpo. Inicialmente la energía estaba almacenada en forma de energía química en los músculos de la persona, y finalmente esa misma energía queda como energía potencial gravitatoria en el cuerpo. Como puedes comprender, la energía puede pasar de un cuerpo a otro y transformarse de un tipo a otro, pero como ya dijimos, siempre se mantiene constante; no se crea ni se destruye (si no se trata de un cambio nuclear).

Ahora, podemos dar una definición más formal de energía, se denomina energía a la capacidad de realizar trabajo. Con esto se quiere decir, que si un cuerpo tiene energía, puede realizar trabajo, y si no, no. Por realizar trabajo entendemos desplazar cuerpos o deformarlos.

2.2.- Signo del trabajo

Si observamos la expresión del trabajo:

𝑊 = 𝐹⃗ · ∆𝑟⃗ = 𝐹 · ∆𝑟 · cos 𝜃

vemos que será positivo siempre que 0 ≤ 𝜃 <𝜋₂. Esto quiere decir que se transfiere energía al cuerpo, y por tanto, el cuerpo gana energía. Por el contrario, si 𝜋

2< 𝜃 ≤ 𝜋, el trabajo es negativo, esto quiere decir que se le está quitando energía al cuerpo, sin embargo no la gana la persona que realiza la fuerza. Esta energía se disipa calentando los cuerpos de alrededor, es decir, se transforma en energía térmica.

Se denominan fuerzas disipativas a aquellas que se oponen al movimiento de los cuerpos. En definitiva, las fuerzas disipativas son las fuerzas de rozamiento o de resistencia con el fluido que lo envuelve. Estas fuerzas siempre tienen sentido opuesto a la velocidad. Luego en cualquier instante, 𝜃 = 𝜋, por lo que producen un trabajo negativo en cada desplazamiento infinitesimal. Como consecuencia, estas fuerzas quitan energía al cuerpo, transformándola en energía térmica, calentando toda aquella materia que fricciona, es decir, el propio cuerpo y el plano por donde desliza o el fluido que lo envuelve.

Si una fuerza actúa perpendicularmente al desplazamiento del cuerpo, su trabajo es cero (cos 𝜋/2 = 0). Esto quiere decir que esta fuerza ni da ni quita energía al cuerpo. Igualmente, el trabajo es cero si no hay desplazamiento.

Un cuerpo de 10 kg apoyado en una superficie horizontal sin rozamiento es empujado durante 4 m con una fuerza de 20 N según se muestra en la imagen. Determina la velocidad que alcanzará el cuerpo. Si posteriormente entra en una zona con rozamiento (µd=0,4), determina el espacio que recorrerá hasta detenerse. Dato: θ=30°.

Vamos a calcular el trabajo que le realizamos al bloque en la primera parte:

𝑊 = 𝐹⃗ · ∆𝑟⃗ = 𝐹 · ∆𝑟 · cos 𝜃 = 20 · 4 · cos 30° ≈ 69,3 𝐽

Luego esta energía es la que le hemos transferido al bloque para que se mueva más rápidamente, es decir, ha habido una transformación de energía química de nuestros músculos (suponiendo que somos nosotros los que empujamos) en energía cinética en el bloque.

Fíjate que el trabajo realizado (la energía que le damos al bloque) es independiente de su masa, pero la velocidad que va a adquirir sí que depende de ella. Imponemos la ecuación que dice que el trabajo realizado se transforma en energía cinética:

𝑊 = 𝐸𝐶 =

1 2𝑚 · 𝑣

2 _{→ 𝑣 = √}2𝑊

𝑚 = √

2 · 69,3 10 ≈ 3,7

𝑚 𝑠

Cuando la fuerza deje de actuar sobre el bloque, la velocidad se mantendrá si no hay rozamiento y la pista sigue horizontal, pero en la segunda parte del ejercicio, nos dicen que el bloque entra en una zona con rozamiento. La fuerza de rozamiento, es una fuerza disipativa, esto quiere decir que va a realizar un trabajo negativo quitándole energía al bloque. Por tanto, lo frenará hasta dejarlo parado. Ahora, la energía cinética se transformará en energía térmica, calentando el propio bloque y el suelo.

La fuerza de rozamiento es:

5 Y el trabajo que realizará será - 69,3 J, que será cuando lo deje parado:

𝑊𝑟 = 𝐹⃗𝑟· ∆𝑟⃗ = 𝐹𝑟· ∆𝑟 · cos 𝜃 → ∆𝑟 =

𝑊𝑟

𝐹𝑟· cos 𝜃

= −69,3

39,2 · cos 𝜋≈ 1,77 𝑚

3.- Trabajo realizado por una fuerza variable

En la definición que hemos dado de trabajo hemos supuesto que la fuerza permanece constante a lo largo de todo el recorrido. Pero esto no ocurrirá siempre, y normalmente ocurrirá que las fuerzas varíen mientras el cuerpo se desplaza. Para poder abordar este tipo de situaciones, se define el trabajo elemental o infinitesimal (𝑑𝑊). Para ello, supondremos que el cuerpo se va a mover un desplazamiento infinitesimal (𝑑𝑟⃗), tan pequeño que la fuerza es constante en todo este desplazamiento. Entonces podemos definir el trabajo infinitesimal como:

𝑑𝑊 = 𝐹⃗ · 𝑑𝑟⃗

Si queremos calcular el trabajo total, el realizado por la fuerza variable a lo largo de todo el recorrido, deberemos sumar todos los trabajos infinitesimales durante todo el recorrido:

𝑊 = 𝑑𝑊1+ 𝑑𝑊2+ 𝑑𝑊3+ ⋯ = 𝐹⃗1· 𝑑𝑟⃗1+ 𝐹⃗2· 𝑑𝑟⃗2+ 𝐹⃗3· 𝑑𝑟⃗3+ ⋯

Esta operación aprenderás a hacerla el próximo curso, pero ahora sí podemos ver su interpretación gráfica. Para ello, imaginemos un cuerpo que se va a mover a lo largo del eje x y que actúa sobre él una fuerza en la dirección de este eje (para simplificar), cuyo módulo varía en función de la posición que ocupa, tal y como se muestra en la gráfica:

Si troceamos la gráfica en intervalos muy estrechos, como se muestra en la imagen:

vemos que la fuerza es casi constante en cada trozo. Pero podemos hacer los rectángulos lo suficientemente pequeños como para hacer que realmente la fuerza sea constante en cada trozo. Así, podemos calcular el trabajo infinitesimal de este trozo:

𝑑𝑊𝑖 = 𝐹𝑖· 𝑑𝑥

que corresponde con el área del rectángulo. Por tanto, realizando el cálculo del trabajo a lo largo de todo el recorrido, que consiste en sumar las áreas de todos los rectángulos, obtendremos que es el área bajo la curva de la gráfica.

Este resultado es totalmente generalizable para el caso de que la fuerza tenga otra dirección y el cuerpo se mueva también en otra dirección. El resultado es que el área bajo la curva que representa la fuerza es igual al trabajo que realiza dicha fuerza. Si el área estuviera por debajo del eje de abscisas, el trabajo se toma como negativo.

3.2.- Trabajo realizado por la fuerza elástica

La fuerza elástica es un caso de una fuerza que no es constante, que depende de lo que se estira o comprime el cuerpo elástico. Imaginemos un muelle que vamos a estirar desde x = 0 hasta un valor final x.

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𝐹𝑒 = −𝑘 · 𝑥

Si representamos esta fuerza en función del desplazamiento y calculamos el área que queda bajo la curva, habremos calculado el trabajo que realiza esta fuerza.

Por tanto:

𝑊𝑒 = −

𝐹𝑒∆𝑙

2 = − 1 2𝑘 · 𝑥

2

Si hubiéramos realizado el cálculo comprimiendo el muelle en lugar de estirarlo, hubiéramos obtenido el mismo resultado. El trabajo siempre es negativo porque la fuerza elástica siempre se opone a que se deforme el muelle. La fuerza elástica es también una fuerza conservativa, por tanto:

𝑊𝑒 = −∆𝐸𝑝𝑒= 𝐸𝑝𝑒0− 𝐸𝑝𝑒= 0 − 𝐸𝑝𝑒 = −𝐸𝑝𝑒

Del resultado anterior, demostramos que la expresión de la energía potencial elástica es:

𝐸𝑝𝑒 =

1 2𝑘 · 𝑥

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4.- Potencia

Se define la potencia media que desarrolla una fuerza F que realiza un trabajo WF en un tiempo t, como el trabajo

realizado por unidad de tiempo:

𝑃𝑜𝑡𝑚 =

𝑊𝐹

𝑡

Se define la potencia instantánea que una fuerza F está realizando en un determinado momento, como la potencia media medida en un tiempo infinitesimalmente pequeño. Para este caso, el trabajo realizado por la fuerza será infinitamente pequeño, lo representamos por dWF y el tiempo transcurrido, también, dt. Por tanto:

𝑃𝑜t =𝑑𝑊𝐹 𝑑𝑡

Vemos que la potencia instantánea es la derivada del trabajo con respecto el tiempo. Podemos encontrar otra expresión muy útil para calcular la potencia instantánea:

𝑃𝑜𝑡 =𝑑𝑊𝐹 𝑑𝑡 =

𝐹⃗ · 𝑑𝑟⃗ 𝑑𝑡 = 𝐹⃗ ·

𝑑𝑟⃗

𝑑𝑡 = 𝐹⃗ · 𝑣⃗

Es decir, deberemos multiplicar escalarmente la fuerza en el instante que queramos por la velocidad que lleva el cuerpo en ese instante.

4.1.- Unidades de la potencia y relacionadas con ella

Su unidad en el S.I es el vatio (W=J/s). Una potencia de 1 w es la que realiza un trabajo de un julio cada segundo. También, Se utiliza bastante el kilovatio (kW), que corresponde a 1000 W.

Para medir el consumo energético, se utiliza mucho el kW·h. Puesto que es unidad de potencia multiplicada por unidad de tiempo, el resultado es una nueva unidad de energía.

1 𝑘𝑊 · ℎ = 1 𝑘𝑊 · ℎ1000 𝑊 1 𝑘𝑊

3600 𝑠

1 ℎ = 3,6 · 10

7 Hay dos unidades de potencia que aunque no pertenecen al S.I. son muy utilizadas para definir la potencia de maquinarias. Una es el caballo de vapor (CV), donde 1 CV ≈ 735 W, y la otra es el horse power (HP), donde 1 HP ≈ 746 W.

5.- Fuerzas conservativas

Una fuerza es conservativa si el trabajo que realiza no depende del camino por el que se haga, sólo depende de la posición inicial y final. La fuerza gravitatoria (el peso), la fuerza elástica y la fuerza electrostática son fuerzas conservativas. Así, si cogemos un cuerpo y lo llevamos desde un punto hasta la cima de una montaña, el trabajo que realiza la fuerza peso es independiente del camino por el que llevemos el cuerpo.

La “naturaleza” le proporciona una cantidad de energía potencial a todo cuerpo que esté afectado por una fuerza conservativa. Así, “la naturaleza” realiza trabajo sobre los distintos cuerpos utilizando esta energía potencial, haciéndolos caer, o repelerse, etc. La energía potencial inicial se transforma en trabajo más una cierta cantidad de energía potencial sobrante:

𝐸𝑃0 = 𝑊 + 𝐸𝑃

Esta expresión también se suele escribir así:

𝑊 = 𝐸𝑃0− 𝐸𝑃→ 𝑊 = −∆𝐸𝑃

Esta expresión es conocida como el teorema de la energía potencial.

Por ejemplo, un cuerpo a una determinada altura tiene energía potencial gravitatoria inicial, que “la naturaleza” utiliza para realizarle trabajo, haciendo que caiga.

Utilizando esta idea, vamos a encontrar cómo es la expresión matemática de la energía potencial gravitatoria.

𝑊 = 𝑝⃗ · ∆𝑟⃗ = 𝑝 · ∆𝑟 = 𝑚 · 𝑔0· (ℎ0− ℎ) = 𝑚 · 𝑔0· ℎ0− 𝑚 · 𝑔0· ℎ

Comparando esta expresión con la del teorema de la energía potencial:

𝑊 = 𝐸𝑃0− 𝐸𝑃

Concluimos que la energía potencial gravitatoria obedece a la expresión que ya vimos al inicio de la unidad:

𝐸𝑃𝑔 = 𝑚 · 𝑔0· ℎ

Esta expresión ya dijimos que es válida siempre que h no sea comparable al radio del planeta.

Así, el trabajo que realiza la fuerza peso es positivo cuando el cuerpo baja, y negativo cuando sube, puesto que cos 𝜃 es positivo en el primer caso, y negativo en el segundo. Atendiendo a la expresión 𝑊 = 𝐸𝑃0− 𝐸𝑃, si el trabajo es positivo la 𝐸𝑃0 >

𝐸𝑃, luego la energía potencial inicial es mayor que la final, es decir, inicialmente el cuerpo tenía una cierta cantidad de energía potencial (𝐸𝑃0), parte de ella la gasta en

realizar el trabajo positivo (el cuerpo cae), sobrándole un resto de energía potencial que se queda al final (𝐸𝑃). Pero cuando el trabajo es negativo, entonces 𝐸𝑃0 < 𝐸𝑃. Esto quiere decir que el cuerpo va a ganar energía (el cuerpo sube), y la almacenará en forma de energía potencial.

Debido a una explosión, una roca de 20 kg sale disparada desde el suelo alcanzando una altura de 45 m. Determina el trabajo que realiza sobre ella la fuerza de la gravedad en este trayecto.

No conocemos cómo es la trayectoria que sigue la roca en su subida, pero como sabemos, no es necesario puesto que la fuerza de la gravedad (la fuerza peso) es conservativa, y entonces el trabajo que realiza es independiente del camino por el cual alcance esta altura. Aplicamos el teorema de la energía potencial:

𝑊 = 𝐸𝑃𝑔0− 𝐸𝑃𝑔 = 0 − 𝑚 · 𝑔0· ℎ = −20 · 9,8 · 45 = −8820 𝐽

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6.- Trabajo total

6.1.- Trabajo realizado por varias fuerzas

Si sobre un cuerpo actúan varias fuerzas 𝐹⃗1, 𝐹⃗2, 𝐹⃗3, etc., el trabajo total o neto, es igual a la suma de los trabajos que realizan individualmente cada una de las fuerzas:

𝑊𝑇 = 𝑊1+ 𝑊2+ 𝑊2+ ⋯

Si desarrollamos esta expresión:

𝑊𝑇 = 𝑊1+ 𝑊2+ 𝑊2+ ⋯ = 𝐹⃗1· ∆𝑟⃗ + 𝐹⃗2· ∆𝑟⃗ + 𝐹⃗2· ∆𝑟⃗ + ⋯ = (𝐹⃗1+ 𝐹⃗2· 𝐹⃗2) · ∆𝑟⃗ + ⋯ = 𝐹⃗𝑇 · ∆𝑟⃗

Como vemos, el trabajo neto de todas las fuerzas también se puede determinar calculando el trabajo que realiza la fuerza neta.

6.2.- Teorema de las fuerzas vivas

Imaginemos que sobre un cuerpo actúan varias fuerzas, cuya fuerza neta es 𝐹⃗𝑇. Vamos a ver a qué es igual el trabajo que realiza la fuerza neta:

𝑊𝑇 = 𝐹⃗𝑇· ∆𝑟⃗ = 𝐹𝑇· ∆𝑟 · cos 𝜃𝑇

Sabemos que la fuerza total cumple la segunda ley de Newton, que para el caso de que la masa no cambie:

𝐹𝑇= 𝑚 · 𝑎

Y supongamos (para no hacer el cálculo demasiado complejo), que las fuerzas aplicadas son constantes haciendo que el cuerpo se mueva con MRUA. Entonces la fuerza total tiene la dirección y sentido del desplazamiento, es decir,

𝜃𝑇 = 0, y ∆𝑟 = ∆𝑠 = (𝑣2− 𝑣02)/(2 · 𝑎). Entonces:

𝑊𝑇= 𝐹𝑇 · ∆𝑟 · cos 𝜃𝑇 = 𝑚 · 𝑎 ·

𝑣2− 𝑣02

2 · 𝑎 · 1 = 1 2𝑚 · 𝑣

2₋1

2𝑚 · 𝑣0

2

Obtenemos que el trabajo total es igual a la variación que experimenta una función que depende de la velocidad y de la masa del cuerpo. A esta función la definimos como energía cinética (como vimos al inicio de la unidad). Entonces:

𝑊𝑇= 𝐸𝐶− 𝐸𝐶0 = ∆𝐸𝐶

Esta expresión es conocida como teorema de las fuerzas vivas o teorema de la energía cinética, y es válida para cualquier caso, no es necesario que el cuerpo se mueva con MRUA, ni que se mantenga su masa constante, ni que las fuerzas sean constantes.

Significa, que el trabajo total que se realiza sobre los cuerpos se invierte en incrementar su energía cinética. Lógicamente, si el trabajo total es positivo, el cuerpo gana energía cinética (gana velocidad), pero cuando es negativo, el cuerpo pierde energía cinética (pierde velocidad).

Sobre un bloque en reposo de 12 kg apoyado horizontalmente aplicamos una fuerza horizontal de 24 N. Determina el trabajo total realizado sobre el cuerpo al desplazarlo 5 m si existe un coeficiente de rozamiento de 0,2. ¿Qué velocidad final alcanzará el bloque?

Sobre el cuerpo actúan cuatro fuerzas: la que le aplicamos de 20 N, la de rozamiento, el peso y la normal. Podemos determinar la fuerza neta y calcularle a ésta el trabajo, o sumar el trabajo que realiza cada una de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo. Vamos a usar la segunda opción:

𝑊𝑇= 𝑊𝐹+ 𝑊𝑟+ 𝑊𝑝+ 𝑊𝑁

Tanto la fuerza peso como la normal son perpendiculares al deslazamiento, luego su trabajo es cero. Por tanto:

𝑊𝑇 = 𝐹 · ∆𝑟 · cos 0 + 𝐹𝑟· ∆𝑟 · cos 180° = 𝐹 · ∆𝑟 − 𝐹𝑟· ∆𝑟

Tenemos que averiguar el módulo de la fuerza de rozamiento:

𝐹𝑟 = 𝜇 · 𝑁 = 𝜇 · 𝑚 · 𝑔0

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𝑊𝑇 = 𝐹 · ∆𝑟 − 𝜇 · 𝑚 · 𝑔0· ∆𝑟 = (𝐹 − 𝜇 · 𝑚 · 𝑔0) · ∆𝑟

𝑊𝑇 = (24 − 0,2 · 12 · 9,8) · 5 = 2,4 𝐽

Para la segunda parte del ejercicio utilizamos el teorema de las fuerzas vivas:

𝑊𝑇 = ∆𝐸𝐶 = 𝐸𝐶− 𝐸𝐶0=

1 2𝑚 · 𝑣

2_{− 0 =}1

2𝑚 · 𝑣

2_{→ 𝑣 = √}2 · 𝑊𝑇

𝑚 = √ 2 · 2,4

12 ≈ 0,63 𝑚

𝑠 ≈ 2,3 𝑘𝑚

ℎ

Una persona coge un cuerpo de 5 kg que está en reposo y lo sube a una sexta planta subiendo por las escaleras, y dejándolo nuevamente en reposo. Cada planta está a una altura de 3,2 metros de la anterior. Calcula el trabajo que realiza esta persona al subir el cuerpo.

Sobre el cuerpo, actúan dos fuerzas; la que le ejerce la persona y la de la gravedad. El trabajo total (el de la fuerza de la persona más el realizado por el peso) es igual al incremento de energía cinética, que en este caso es cero, ya que inicialmente el cuerpo está en reposo y finalmente también. Por tanto:

𝑊𝑇= 𝑊𝐹+ 𝑊𝐶 = 0

Deducimos entonces que el trabajo que realiza la persona es igual al que realiza el peso, pero cambiado de signo:

𝑊𝐹 = −𝑊𝐶

Entonces:

𝑊𝐹 = −𝑊𝐶 = ∆𝐸𝑃= 𝐸𝑃− 𝐸𝑃0 = 𝐸𝑝− 0 = 𝐸𝑝= 𝑚 · 𝑔0· ℎ = 5 · 9,8 · (3,2 · 6) = 940,8 𝐽

Es un trabajo positivo porque la fuerza de la persona favorece el movimiento. Sin embargo, el trabajo que realiza la fuerza peso (-940,8 J) es negativo porque el peso está en contra de que el cuerpo suba.

7.- Energía mecánica

7.1.- Concepto de energía mecánica

Se define la energía mecánica de un cuerpo como la energía cinética más potencial que tiene este cuerpo. La energía potencial es la suma de todas las energías potenciales que pudiera tener el cuerpo; gravitatoria, elástica, etc.

𝐸𝑚 = 𝐸𝐶+ 𝐸𝑝

Así, la energía que tiene un cuerpo, podemos descomponerla en dos partes, la energía interna, que es debida a cómo está hecha la materia (energía térmica, energía química, energía nuclear), y por tanto, todo cuerpo tiene siempre de esta energía, y la otra parte es la energía mecánica, que podríamos decir que se trata de la energía externa de un cuerpo, que puede o no puede tener, debida a su movimiento y si está a una cierta altura, o es un cuerpo elástico y está deformado, etc.

7.2.- Principio de conservación de la energía mecánica

Consideremos que sobre un cuerpo actúan fuerzas conservativas y fuerzas no conservativas mientras se desplaza. El trabajo total realizado sobre el cuerpo será la suma del trabajo conservativo más el no conservativo:

𝑊𝑇= 𝑊𝐶+ 𝑊𝑁𝐶

El trabajo total lo vamos a sustituir por el incremento de energía cinética (teorema de las fuerzas vivas), y el trabajo de las fuerzas conservativas por el menos incremento de la energía potencia (teorema de la energía potencial):

∆𝐸𝐶 = −∆𝐸𝑃+ 𝑊𝑁𝐶

Si despejamos el trabajo de las que realizan las fuerzas no conservativas, nos queda:

𝑊𝑁𝐶 = ∆𝐸𝐶+ ∆𝐸𝑃

que podemos escribir:

𝑊𝑁𝐶= ∆𝐸𝑚

10 Un grupo muy importante de fuerzas no conservativas, son las fuerzas disipativas, cuyo trabajo siempre es negativo (ya que se oponen al movimiento frenando al cuerpo), y como consecuencia disminuyen la energía mecánica del cuerpo, disipándola en forma de energía térmica, calentando el propio cuerpo y el entorno.

De esta última ecuación, deducimos el principio de conservación de la energía mecánica; si sobre un cuerpo, el trabajo de las fuerzas no conservativas es cero, entonces, la energía mecánica se conserva:

𝑆𝑖 𝑊𝑁𝐶 = 0 ⟹ ∆𝐸𝑚= 0 ⟺ 𝐸𝑚0= 𝐸𝑚

Así, la energía mecánica inicial es igual a la final si no hay fuerzas no conservativas, ya que entonces su trabajo es cero, pero también, podría haber fuerzas no conservativas, pero que no realicen trabajo, bien porque sean perpendiculares a la trayectoria o porque se compense una parte positiva con otra negativa.

Se lanza un bloque por una pista horizontal sin rozamiento a una velocidad de 36 km/m, cuando llega a un plano inclinado (hacia arriba), también sin rozamiento. Determina la altura que alcanza el bloque.

Escribamos 36 km/h en el SI:

36𝑘𝑚 ℎ

1 ℎ 3600 𝑠

1000 𝑚 1 𝑘𝑚 = 10

𝑚 𝑠

Una vez que el bloque es lanzado, actúan sobre él dos fuerzas: el peso y la normal. Durante todo el tramo horizontal, estas dos fuerzas son perpendiculares al desplazamiento, luego no realizan trabajo. Esto quiere decir, que el bloque ni gana ni pierde energía mediante trabajo. Por tanto, mantiene la energía mecánica que tuviera, que en este caso es íntegramente energía cinética. Así, la energía cinética se mantiene constante durante todo el trayecto horizontal. Cuando el bloque llega al plano inclinado, la fuerza normal sigue siendo perpendicular al movimiento, pero la fuerza peso deja de ser perpendicular al desplazamiento, y sí realiza trabajo.

Puesto que la fuerza peso es conservativa, su trabajo no depende de la trayectoria, esto quiere decir que da igual la inclinación que tenga el plano, o incluso si no tiene una pendiente constante.

Puesto que se cumple que el trabajo de las fuerzas no conservativas es cero (la fuerza normal no realiza trabajo), quiere decir que la energía mecánica se conserva:

𝐸𝑚0= 𝐸𝑚

Inicialmente, la energía mecánica del bloque consiste en energía cinética (no tiene potencial), y finalmente, el bloque no tiene energía cinética (se para), sólo tiene energía potencial gravitatoria. Esto quiere decir, que la energía cinética que tiene el bloque abajo se ha transformado en energía potencial gravitatoria arriba, y esta transformación la ha hecho posible el trabajo de la fuerza peso:

𝐸𝑚0 = 𝐸𝑚→ 𝐸𝐶0= 𝐸𝑃𝑔 →

1 2𝑚 · 𝑣0

2_{= 𝑚 · 𝑔} 0· ℎ →

1 2𝑣0

2 _{= 𝑔} 0· ℎ

ℎ =1 2

𝑣02

𝑔0

=1 2

102

9,8 ≈ 5,10 𝑚

Como vemos, el resultado no depende de la masa del bloque.

11 Debemos escribir la constante elástica en el SI:

1000 𝑁 𝑐𝑚

1000 𝑐𝑚

1 𝑚 = 100000 𝑁 𝑚

Durante todo el recorrido actúan la fuerza normal (que nunca realiza trabajo al ser perpendicular al movimiento), la fuerza peso, que sólo realizará trabajo cuando el bloque se desplace por el plano inclinado, y al final, la fuerza elástica del muelle que va a frenar el bloque (ambas fuerzas son conservativas).

Por tanto, no hay trabajo no conservativo. Luego la energía mecánica se conserva. Esto quiere decir que la energía mecánica inicial (cinética más potencial gravitatoria) es igual a la energía mecánica final (solamente energía potencial elástica):

𝐸𝑚0 = 𝐸𝑚→ 𝐸𝐶0+ 𝐸𝑃𝑔0= 𝐸𝑒 →

1 2𝑚 · 𝑣0

2_{+ 𝑚 · 𝑔}

0· ℎ0=

1 2𝑘 · 𝑥

2

𝑣0= √

𝑘 𝑚· 𝑥

2_{− 2 · 𝑔}

0· ℎ0 = √

100000

10 · (12 · 10

−2₎2_{− 2 · 9,8 · 1,5 ≈ 10,7}𝑚

𝑠

El resultado es independiente de si el bloque se lanza hacia arriba o hacia abajo, ya que, si se lanzara hacia arriba, el cuerpo subiría y volvería a bajar, y cuando pasara por el punto inicial pasaría a la misma velocidad que se lanzó hacia arriba, pero ahora hacia abajo; exactamente igual que se si hubiera lanzado hacia abajo.

Desde el reposo se deja caer un bloque por un plano inclinado desde una altura de 2 m. Si el coeficiente de rozamiento es 0,4, determina la velocidad a la que llega el bloque abajo. Realiza los cálculos por energías. ¿Qué fracción de la energía mecánica del bloque se ha disipado?𝜃 = 30°.

Sobre el bloque actúan tres fuerzas, el peso, la normal y la fuerza de rozamiento. Como sabemos, la fuerza normal es perpendicular al desplazamiento, luego no realiza trabajo. Solamente realiza trabajo la fuerza peso y la fuerza de rozamiento.

Puesto que la fuerza peso es conservativa, su trabajo podemos calcularlo mediante el teorema de la energía potencial:

𝑊𝑃= −∆𝐸𝑃𝑔 = 𝐸𝑃𝑔0− 𝐸𝑃𝑔 = 𝐸𝑃𝑔0− 0 = 𝑚 · 𝑔0· ℎ0

El trabajo de la fuerza de rozamiento es:

𝑊𝑅= 𝐹⃗𝑟· ∆𝑟⃗ = −𝐹𝑟· ∆𝑟

12

∆𝑟 · sin 𝜃 = ℎ0→ ∆𝑟 =

ℎ0

sin 𝜃

Además, la fuerza de rozamiento es:

𝐹𝑟 = 𝜇 · 𝑁 = 𝜇 · 𝑚 · 𝑔0· cos 𝜃

Sustituimos en la expresión del trabajo de la fuerza de rozamiento:

𝑊𝑅= −𝐹𝑟· ∆𝑟 = −𝜇 · 𝑚 · 𝑔0· cos 𝜃

ℎ0

sin 𝜃= −

𝜇 · 𝑚 · 𝑔0· ℎ0

tan 𝜃

El trabajo total es:

𝑊𝑇= 𝑊𝑃+ 𝑊𝑅= 𝑚 · 𝑔0· ℎ0−

𝜇 · 𝑚 · 𝑔0· ℎ0

tan 𝜃 = 𝑚 · 𝑔0· ℎ0· (1 − 𝜇 tan 𝜃)

Según el teorema de las fuerzas vivas, el trabajo total es:

𝑊𝑇= ∆𝐸𝐶 = 𝐸𝐶− 𝐸𝐶0= 𝐸𝐶− 0 =

1 2𝑚 · 𝑣

2

Igualando estas dos últimas expresiones:

𝑚 · 𝑔0· ℎ0· (1 −

𝜇 tan 𝜃) =

1 2𝑚 · 𝑣

2 _{→ 𝑔}

0· ℎ0· (1 −

𝜇 tan 𝜃) =

1 2𝑣

2_{→ 𝑣 = √2 · 𝑔}

0· ℎ0· (1 −

𝜇 tan 𝜃)

Sustituimos los datos:

𝑣 = √2 · 9,8 · 2 · (1 − 0,4

tan 30°) ≈ 3,47 𝑚

𝑠

Vemos que el resultado final no depende ni de la masa del cuerpo ni del ángulo del plano inclinado.

La energía disipada es la energía mecánica que ha perdido el bloque debido a la fuerza de rozamiento, que recordemos que es una fuerza disipativa. La energía mecánica perdida se ha transformado en energía térmica calentando el cuerpo y el plano.

Por tanto, el trabajo de la fuerza de rozamiento es:

𝑊𝑅 = −𝜇 · 𝑚 · 𝑔0· ℎ0

Y la energía mecánica del bloque la podemos calcular viendo la que tenía inicialmente, que es enteramente energía potencial gravitatoria:

𝐸𝑃𝑔0 = 𝑚 · 𝑔0· ℎ0

La fracción de energía mecánica perdida es:

|𝑊𝑅|

𝐸𝑃𝑔0

=𝜇 · 𝑚 · 𝑔0· ℎ0 𝑚 · 𝑔0· ℎ0

= 𝜇 = 0,4 → 40%

Es decir, el 40% de la energía mecánica se ha disipado calentando el entorno.

8.- Energía de un oscilador armónico

Entendemos por oscilador armónico a un cuerpo que oscila en un movimiento armónico simple (MAS). Por ejemplo, es el movimiento que seguiría una masa atada al extremo de un muelle, o el de un péndulo para pequeñas oscilaciones. Aunque no todos los movimientos periódicos son MAS, es muy importante su estudio porque podría demostrarse que cualquier movimiento periódico es suma de un determinado número de movimientos armónicos. Ya hemos estudiado el MAS desde el punto de vista de la Cinemática y de la Dinámica. Ahora nos queda hacerlo desde el punto de vista energético.

Hemos visto que un cuerpo atado a un muelle describe un MAS, y que la única fuerza que actúa sobre él es la fuerza elástica del muelle (F=-k·x), que es conservativa. Por tanto, la energía mecánica se conserva. Así:

13 Si desarrollamos cada expresión:

𝐸𝑚=

1 2𝑚 · 𝑣

2₊1

2𝑘 · 𝑥

2 _{= 𝑐𝑡𝑒}

Estamos considerando que el cuerpo se mueve a lo largo del eje x, con la posición de equilibrio en x = 0. La expresión:

𝐸𝑃𝑒 =

1 2𝑘 · 𝑥

2

es la ecuación de una parábola centrada en x = 0.

Por otra parte, si recordamos de la unidad de cinemática que 𝑣2= 𝜔2(𝐴2− 𝑥2), podemos sustituirlo en la expresión de la energía cinética:

𝐸𝐶 =

1 2𝑚 · 𝜔

2_(𝐴2_{− 𝑥}2₎

que es la ecuación de una parábola invertida, centrada también en x = 0.

Si sumamos ambas energías, y tenemos en cuenta que 𝑘 = 𝑚 · 𝜔2, obtenemos que la energía mecánica es:

𝐸𝑚=

1 2𝑘 · 𝐴

2 _{= 𝑐𝑡𝑒}

que como vemos, permanece constante.

En la gráfica de la derecha vemos una representación de estas energías en función de la elongación.

Podríamos haber encontrado este resultado también con el siguiente razonamiento: cada vez que el cuerpo llega a un extremo de su movimiento, su elongación es igual a la amplitud (x = A) y la velocidad es cero (v = 0). Si sustituimos esta información en las ecuaciones de la energía cinética y potencial, obtenemos el valor de la energía mecánica en función de la amplitud:

𝐸𝑚 = 1 2𝑘 · 𝐴

2_{= 𝑐𝑡𝑒}

Si representamos cómo cambian las energías en función del tiempo, obtenemos:

Aunque la energía cinética y potencial cambian con el tiempo, su suma no lo hace.

Un péndulo de 2,5 m de longitud y 200 g de masa realiza oscilaciones de 10 cm de amplitud. Determina su velocidad máxima y la energía mecánica del oscilador.

Al ser las oscilaciones pequeñas, el movimiento lo podemos aproximar a un MAS. Recordemos que la frecuencia angular de un péndulo es:

𝜔 = √𝑔 𝐿= √

9,8

2,5≈ 1,98 𝑟𝑎𝑑

𝑠

14

𝑣0= 𝐴 · 𝜔 = 0,10 · 1,98 = 0,198

𝑚

𝑠 = 19,8 𝑐𝑚

𝑠

La constante elástica del MAS es:

𝑘 = 𝑚 · 𝜔2= 0,200 · 1,982 ≈ 0,784 𝑁 𝑚

𝐸𝑚=

1 2𝑘 · 𝐴

2₌1

2· 0,784 · 0,10

2_{= 3,92 · 10}−3_𝐽

También podíamos haber utilizado el hecho que cuando el péndulo pasa por la posición de equilibrio no tiene energía potencial elástica, y la energía cinética es la máxima puesto que la velocidad lo es:

𝐸𝑚= 𝐸𝐶0=

1 2𝑚 · 𝑣0

2₌1

2· 0,200 · 0,198

2_{≈ 3,92 · 10}−3_𝐽

9.- Energía electrostática

9.1.- Expresión de la energía potencial electrostática de una partícula cercana a una carga fuente

Imaginemos una carga fija en un punto. Esta carga, denominada carga fuente, crea un campo electrostático a su alrededor. Si ahora colocamos una carga en las inmediaciones, denominada carga testigo, ésta se verá afectada por una fuerza electrostática debido a la carga fuente. Veamos que el trabajo que realiza esta fuerza cuando la carga testigo se mueve de un punto a otro, no depende del camino por el que lo haga. Entonces habremos demostrado que la fuerza electrostática es conservativa y además que existe una energía potencial electrostática asociada.

Supongamos que la carga fuete es positiva y la carga testigo también. Si la carga se mueve desde el punto 1 al 2 por un camino cualquiera, el trabajo lo calcularemos mediante la suma de los trabajos infinitesimales, puesto que la fuerza no se mantiene constante:

𝑊 = 𝑑𝑊𝑎+ 𝑑𝑊𝑏+ 𝑑𝑊𝑐+ ⋯ = 𝐹⃗𝑎· 𝑑𝑙⃗𝑎+ 𝐹⃗𝑏· 𝑑𝑙⃗𝑏+ 𝐹⃗𝑐· 𝑑𝑙⃗𝑐+ ⋯ =

= 𝐾0

𝑄 · 𝑞 𝑟𝑎2

𝑟̂ · 𝑑𝑙⃗𝑎+ 𝐾0

𝑄 · 𝑞

𝑟_𝑏2 𝑟̂ · 𝑑𝑙⃗𝑏+ 𝐾0 𝑄 · 𝑞

𝑟𝑐2

𝑟̂ · 𝑑𝑙⃗𝑐+ ⋯ =

En este caso, representamos por 𝑑𝑙⃗𝑖 los desplazamientos infinitesimales en cualquier dirección, y reservamos la notación 𝑑𝑟⃗𝑖 para desplazamientos infinitesimales radiales. Recordemos que 𝑟̂ es un vector unitario radiar, y hacia afuera. Así, el producto escalar 𝑟̂ · 𝑑𝑙⃗𝑖 nos da la proyección de 𝑑𝑙⃗𝑖 sobre una recta radial a la carga fuente, que hemos designado por 𝑑𝑟𝑖. La suma de todos estos 𝑑𝑟𝑖 desde el punto 1 hasta el 2 nos da la distancia que separa las circunferencias que contienen estos puntos.

= 𝐾0

𝑄 · 𝑞 𝑟𝑎2

𝑑𝑟𝑎+ 𝐾0

𝑄 · 𝑞 𝑟𝑏2

𝑑𝑟𝑏+ 𝐾0

𝑄 · 𝑞 𝑟𝑐2

𝑑𝑟𝑐+ ⋯ = 𝐾0· 𝑄 · 𝑞 · (

𝑑𝑟𝑎

𝑟𝑎2

+𝑑𝑟𝑏 𝑟𝑏2

+𝑑𝑟𝑐 𝑟𝑐2

+ ⋯ ) =

Mediante cálculo integral (que nosotros aún no sabemos) se puede realizar esa suma, obteniéndose:

= 𝐾0· 𝑄 · 𝑞 · (

1 𝑟1

− 1 𝑟2

) = 𝐾0

𝑄 · 𝑞 𝑟1

− 𝐾0

𝑄 · 𝑞 𝑟2

15 Nota: ese cálculo, en realidad se escribe con la siguiente notación:

𝑑𝑟𝑎

𝑟𝑎2

+𝑑𝑟𝑏 𝑟_𝑏2 +

𝑑𝑟𝑐

𝑟𝑐2

+ ⋯ = ∫ 𝑑𝑟 𝑟2 𝑟2

𝑟1

que estudiarás el curso que viene.

Como vemos, el valor final depende únicamente de las distancias de las posiciones iniciales y finales a la carga fuente. Es decir, no depende del camino, solamente de las propiedades del punto final e inicial. Para que se cumpla el teorema de la energía potencial, nos damos cuenta que:

𝐸𝑃𝐸 = 𝐾0

𝑄 · 𝑞 𝑟

es la expresión de la energía potencial electrostática que tiene una carga testigo de carga q a una distancia r de una carga fuente Q.

Dependiendo del signo del producto Q·q, la energía potencial podrá ser positiva o negativa. 9.2.- Expresión del potencial electrostático de una partícula

Se define el potencial electrostático en cualquier punto del espacio como la energía potencial electrostática que adquiriría una carga de +1 C colocada en dicho punto. También podemos decir, que es la energía potencial electrostática por unidad de carga (testigo). Matemáticamente es:

𝑉 =𝐸𝑃𝐸

𝑞 entonces 𝑉 = 𝐾₀𝑄·𝑞

𝑟 𝑞 = 𝐾0

𝑄

𝑟 → 𝑉 = 𝐾0 𝑄 𝑟

A V se le denomina potencial electrostático, voltaje o tensión y forma un campo escalar alrededor de la carga fuente, es decir, en el entorno de la carga fuente se crea un valor del potencial en cada punto. Este campo se pone de manifiesto cuando colocamos una carga testigo en cada punto mediante la adquisición de una cantidad de energía potencial. La unidad del potencial es J/C a la cual se le ha llamado voltio (V). Así, si en un punto hay un potencial de 3 V, significa que si colocamos ahí, una carga de +1 C, adquirirá una energía potencial de 3 J.

Las expresiones que hemos hallado de la energía potencial electrostática y del potencial electrostático son para una carga puntual. Si hubiera varias cargas, se cumple el principio de superposición, es decir, la energía o el potencial total sería la suma del que crea cada carga fuente.

Disponemos de una carga fuente de 5 mC. Se desplaza una carga de -2 μC mediante una fuerza externa desde una distancia de 2 cm de la carga fuente a 47 cm. Determina el trabajo externo que se ha realizado.

Aunque el enunciado no lo diga explícitamente, supondremos que la carga inicialmente estaba en reposo, y que finalmente la dejaremos en reposo. Por tanto, no hay incremento de energía cinética, esto quiere decir, por el teorema de las fuerzas vivas que el trabajo total es cero.

Como sabemos, sobre la carga testigo actúan dos fuerzas, la electrostática, que tiende a atraer las dos cargas (puesto que son de signo contrario), y la fuerza externa que aplicamos para llevarla de un punto a otro (que no es conservativa).

Deducimos pues, que el trabajo que realiza la fuerza externa es opuesto al realizado por la fuerza electrostática:

𝑊𝑇 = 𝑊𝐶+ 𝑊𝑒𝑥𝑡= 0 → 𝑊𝑒𝑥𝑡 = −𝑊𝐶

Y por el teorema de la energía potencial, sabemos que el trabajo de la fuerza electrostática (que es conservativa) es:

𝑊𝐶 = −∆𝐸𝑃𝐸

Por tanto:

𝑊𝑒𝑥𝑡= ∆𝐸𝑃𝐸 = 𝐸𝑃𝐸(47 𝑐𝑚) − 𝐸𝑃𝐸(2 𝑐𝑚) = 𝐾0

𝑄 · 𝑞 𝑟1

− 𝐾0

𝑄 · 𝑞 𝑟0

=

= 9 · 1095 · 10

−3_{· (−2) · 10}−6

47 · 10−2 − 9 · 109

5 · 10−3· (−2) · 10−6

16 Si nos preguntaran que cuánto es el trabajo realizado por el campo electrostático, diríamos que -4309 J. Que al ser un trabajo negativo, concluimos que la carga testigo se mueve en contra del campo; la carga es forzada a desplazarse en contra de cómo lo haría naturalmente.

Disponemos de dos cargas fuentes separadas 10 cm, una de -4 mC y la otra de -6 mC. Determina el potencial eléctrico en un punto que está a 50 cm de la primera carga y 80 de la segunda. ¿Cuánta energía nos costaría colocar una carga de -3 nC en dicho punto?

Puesto que se cumple el principio de superposición, el potencial en el punto mencionado se calcula como la suma de los potenciales que crea cada carga por separado en el punto en cuestión:

𝑉 = 𝑉1+ 𝑉2= 𝑉 = 𝐾0

𝑄1

𝑟1

+ 𝐾0

𝑄2

𝑟2

= 9 · 109−4 · 10

−3

0,5 + 9 · 10

9−6 · 10−3

0,8 = −1,395 · 10

8_𝑉

La energía que tendrá una carga de -3 nC colocada en este punto es:

𝑉 =𝐸𝑃𝐸

𝑞 → 𝐸𝑃𝐸 = 𝑞 · 𝑉 = −3 · 10

−9_{· (−1,395 · 10}8_{) ≈ 0,42 𝐽}

Si queremos calcular la energía que costará colocar esta carga testigo en este punto, tendremos que calcular el trabajo externo que realizaremos al desplazar esta carga desde una distancia infinitamente lejos de las cargas fuente, donde el potencial es cero (o la energía potencial es cero) hasta el punto que estamos mencionando. Como hemos visto en el ejercicio anterior, el trabajo externo (suponiendo que la carga inicialmente estaba en reposo y se deja finalmente en reposo) es:

𝑊𝑒𝑥𝑡 = ∆𝐸𝑃𝐸 = 𝐸𝑃𝐸(𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜) − 𝐸𝑃𝐸(𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜) = 0,42 − 0 = 0,42 𝐽