Ejercicios Sist Ecuaciones 3 incógnitas

(1)

cada una de las cosas, sabiendo que sobre esos precios se ha hecho el 10% dedescuento. 12.Disponemos de tres lingotes de distintas aleaciones de tres metales A, B y C. Elprimer lingote contiene 20 g del metal A, 20 g del B y 60 del C. El segundo contiene10 g de A, 40 g de B y 50 g de C. El tercero contiene 20 g de A, 40 g de B y 40 g de

C. Queremos elaborar, a partir de estos lingotes, uno nuevo que contenga 15 g de A,35 g de B y 50 g de C.

¿Cuántos gramos hay que coger de cada uno de los tres lingotes?

13. En una reunión hay 22 personas, entre hombres, mujeres y niños. El doble delnúmero de mujeres más el triple del número de niños, es igual al doble del número de hombres.

a) Con estos datos, ¿se puede saber el número de hombres que hay?

b) Si, además, se sabe que el número de hombres es el doble del de mujeres, ¿cuántos hombres, mujeres y niños hay?

14. En una residencia de estudiantes se compran semanalmente 110 helados de distintos sabores: vainilla, chocolate y nata. El presupuesto destinado para esta compra es de 540 euros y el precio de cada helado es de 4 euros el de vainilla, 5 euros el de chocolate y 6 euros el de nata. Conocidos los gustos de los estudiante, se sabe que entre helados de chocolate y de nata se han de comprar el 20% más que de vainilla.

a) Plantea un sistema de ecuaciones lineales para calcular cuántos helados de cadasabor se compran a la semana.

b) Resuelve, mediante el método de Gauss, el sistema planteado en el apartado anterior. 15.Una compañía fabricó tres tipos de muebles: sillas, mecedoras y sofás. Para la fabricación de cada uno de estos tipos necesitó la utilización de ciertas unidades de madera, plástico y aluminio tal y como se indica en la tabla siguiente. La compañía teníaen existencia 400 unidades de madera, 600 unidades de plástico y 1500 unidades dealuminio. Si la compañía utilizó todas sus existencias, ¿cuántas sillas, mecedoras ysofás fabricó? 16.

Tres amigos acuerdan jugar tres partidas de dados de forma que cuando

uno

pierda entregará a cada uno de los otros dos una cantidad igual a la que

cada

uno posea en ese momento. Cada uno perdió una partida, y al final

cada uno

tenía 24 €.

¿Cuánto tenía cada jugador al comenzar?

17.

Una persona ha obtenido 6 000 € de beneficio por invertir un total de 60 000€

en tres empresas: A, B y C. La suma del dinero invertido en A y B fue m veces

el

invertido en C, y los beneficios fueron el 5% en A, el 10% en B y el 20% en C.

a)

Plantea un sistema de ecuaciones para averiguar la cantidad invertida en

cada

empresa.

b)

Prueba que si m > 0, el sistema es compatible determinado.

c)

Halla la solución para m = 5.

18. Una cuadrilla de cinco jardineros debía podar una plantación trabajando

de

lunes a viernes. Cada día, cuatro podaban y el otro les ayudaba. Cada

jardinero

podó el mismo número de árboles cada día.

Los resultados de la poda fueron: lunes, 35 árboles podados; martes, 36;

miércoles,

38; jueves, 39, y el viernes no sabemos si fueron 36 ó 38.

(2)

Ejercicio nº 1.-

Disponemos de tres lingotes de distintas aleaciones de tres metales A, B y C. El primer lingote contiene 20 g del metal A, 20 g del B y 60 del C. El segundo contiene 10 g de A, 40 g de B y 50 g de C. El tercero

contiene 20 g de A, 40 g de B y 40 g de C. Queremos elaborar, a partir de estos lingotes, uno nuevo que contenga 15 g de A,

35 g de B y 50 g de C.

¿Cuántos gramos hay que coger de cada uno de los tres lingotes?

Solución:

Resumimos en una tabla los datos que nos dan:

Llamamos x a los gramos que tenemos que coger del primer lingote, y a los del segundo lingote y z a los del tercero.

Como queremos conseguir 15 g de A, 35 g de B y 50 g de C, tendremos que:

A B C PESO TOTAL

1er LINGOTE 20 g 20 g 60 g 100 g

2º_LINGOTE _{10 g} _{40 g} _{50 g} _{100 g}

3er LINGOTE 20 g 40 g 40 g 100 g

11. E

l rotulador marcaba 1,80 euros, el cuaderno, 0,90 euros y, la carpeta, 1,26 euros.

12.

Habrá que coger 25 g del primer lingote, 50 g del segundo y 25 g del tercero.

13.

Hay 12 hombres, 6 mujeres y 4 niños.

14.

Se compran 50 helados de vainilla, 20 de chocolate y 40 de nata.

15.

Se fabricaron 100 sillas, 100 mecedoras y 200 sofás.

16.

El jugador que perdió primero tenía 39 euros, el que perdió en segundo lugar tenía 21 € yel queperdió en tercer lugar tenía 12 €.

17. Para m=5, las cantidades invertidas respectivamente en A, B y C fueron

20000,

30000 y

10000 euros.

18. El jardinero que descansa el lunes poda 11 árboles; el que descansa el

martes,

10; el que

descansa el miércoles, 8; el que descansa el jueves, 7, y el

que descansa

el viernes, 10.

Teléfono – Fax: 926 51 39 29

(3)

Resolvemos el sistema mediante el método de Gauss:

Planteamos el sistema con los datos que nos dan:

→             − − →             − →             ⋅ − ⋅ ⋅ − − 250 10 0 0 200 2 3 0 150 2 1 2 50 2 2 0 200 2 3 0 150 2 1 2 500 4 5 6 350 4 4 2 150 2 1 2 a a a a a a a a a 2 2 3 3 2 1 1 3 3 1 2 1 50 3 50 200 3 2 200 25 2 50 50 150 2 2 150 200 2 3 150 2 2 = − = − = = − − = − − =         = + = + +

→ y z

z y x

−10z=−250 z=25

Por tanto, habrá que coger 25 g del primer lingote, 50 g del segundo y 25 g del tercero.

Por un rotulador, un cuaderno y una carpeta se pagan 3,56 euros. Se sabe que el precio del cuaderno es la mitad del precio del rotulador y que, el precio de la carpeta es igual al precio del cuaderno más el 20% del precio del rotulador. Calcula los precios que marcaba cada una de las cosas, sabiendo que sobre esos precios se ha hecho el 10% de descuento.

Solución: Tenemos que: z y z y x

ROTULADOR CUADERNO CARPETA

PRECIO SIN DESCUENTO x y z

PRECIO CON DESCUENTO 0,9 x 0,9 y 0,9 z

x x x x x z x y z x y z y x 7 , 0 2 , 0 5 , 0 2 , 0 2 2 , 0 2 56 , 3 9 , 0 9 , 0 9 , 0 = + = + =       + = = = + + 56 , 3 98 ,1 56 , 3 63 , 0 45 , 0 9 , 0 56 , 3 7 , 0 9 , 0 2 9 , 0 9 ,

(4)

Por tanto, el rotulador marcaba 1,80 euros, el cuaderno, 0,90 euros y, la carpeta, 1,26 euros.

Una compañía fabricó tres tipos de muebles: sillas, mecedoras y sofás. Para la fabricación de cada uno de estos tipos necesitó la utilización de ciertas unidades de madera, plástico y aluminio tal y como se indica en la tabla siguiente. La compañía tenía en existencia 400 unidades de madera, 600 unidades de plástico y 1500 unidades de aluminio. Si la compañía utilizó todas sus existencias, ¿cuántas sillas, mecedoras y sofás fabricó?

Solución:

Llamamos x al número de sillas fabricadas, y al de mecedoras y z al de sofás. Así, teniendo en cuenta los datos que nos dan, tenemos que:

Resolvemos el sistema mediante el método de Gauss:

Por tanto, se fabricaron 100 sillas, 100 mecedoras y 200 sofás.

En una residencia de estudiantes se compran semanalmente 110 helados de distintos sabores: vainilla, chocolate y nata. El presupuesto destinado para esta compra es de 540 euros y el precio de cada helado es de 4 euros el de vainilla, 5 euros el de chocolate y 6 euros el de nata. Conocidos los gustos de los estudiante, se sabe que entre helados de chocolate y de nata se han de comprar el 20% más que de vainilla.

a) Plantea un sistema de ecuaciones lineales para calcular cuántos helados de cada sabor se compran a la semana.

26 ,1 7 , 0

90 , 0 2 80 ,1 2

80 ,1

= =

= = = = →

x z

x y x

MADERA PLÁSTICO ALUMINIO

SILLA 1 unidad 1 unidad 2 unidades

MECEDORA 1 unidad 1 unidad 3 unidades

SOFÁ 1 unidad 2 unidades 5 unidades

     

= + + →

500 1 5 3 2 Aluminio

600 2 Plástico

400 Madera

z y x

→    

 

   

  →

   

 

   

 

⋅ −

−

700 3 1 0

200 1 0 0

400 1 1 1

500 1 5 3 2

600 2 1 1

400 1 1 1

a a

a

1 2 3

1 2

1

200

100 600 700 3 700

100 200 100 400 400

700 3

200 400

=

= − = − =

= − − = − − =

     

= +

= = + +

→

z

z y

z y x

z y

z z y x

Teléfono – Fax: 926 51 39 29

(5)

a) Llamamos x al número de helados de vainilla que se compran semanalmente, y al de helados de chocolate, y z al de helados de nata.

Por tanto, se compran 50 helados de vainilla, 20 de chocolate y 40 de nata.

En una reunión hay 22 personas, entre hombres, mujeres y niños. El doble del número de mujeres más el triple del número de niños, es igual al doble del número de hombres.

a) Con estos datos, ¿se puede saber el número de hombres que hay?

b) Si, además, se sabe que el número de hombres es el doble del de mujeres, ¿cuántos hombres, mujeres y niños hay?

Solución:

a) Llamemos x al número de hombres, y al de mujeres y z al de niños.

Como hay 22 personas, tenemos que:

x + y + z = 22

Con el otro dato, planteamos otra ecuación:

2y + 3z = 2x

Solo con estos datos no podemos saber el número de hombres (ni el de mujeres, ni el de niños) que hay. Es un sistema compatible indeterminado; como tenemos tres incógnitas, para que pueda ser compatible determinado, necesitamos otra ecuación.

      = − − = + + = + +       = + → = = + + → = + + → 0 10 10 12 540 6 5 4 110 2 ,1 vainilla que más 20% nata y Chocolate 540 6 5 4 euros 540 total Precio 110 total en helados 110 Compran z y x z y x z y x x z y z y x z y x →             − − − →             − − − ⋅ ⋅ − 320 1 22 22 0 100 2 1 0 110 1 1 1 0 10 10 12 540 6 5 4 110 1 1 1 b) a a a a a 1 12 3 1 4 2 1 →             →             → −

− 0 0 1 40

(6)

b) Añadiendo una tercera ecuación con el dato que nos dan, planteamos el sistema:

Por tanto, hay 12 hombres, 6 mujeres y 4 niños.

12

6 66

11

4 18 22 0

9 66 2

3 22 0

3 2

22 3

2

0 3 2 2

22

=

= → − = −

= − =

      = − + −

− =

      = + −

= +

     

=

= + + −

= + +

x

y y

z

y y

y z

z y

y x

z y x

Teléfono – Fax: 926 51 39 29