2.
Ecuaciones No lineales.
M´odulo 2 Prof. M.Ang´elica Vega
2.1.
M´
etodo de Bisecci´
on
Problema 1. Dada una funci´on f(x) no lineal y continua en el intervalo [a, b]. Determinar una ra´ızα ∈[a, b] de la ecuaci´onf(x) = 0.
Ante el problema planteado surgen las siguientes interrogantes : 1. ¿Existe soluci´on?
2. Si existe soluci´on . ¿Es ´unica ? 3. ¿C´omo determinarla ?
1.- Existencia : Teorema de Bolzano.
La existencia de soluci´on est´a garantizada por el teorema de Bolzano, cuyo enunciado afirma que bajo las hip´otesis :
i)f continua en [a, b].
ii)f(a) yf(b) de distinto signo. (es decir,f(a)·f(b)<0 ) entonces,
existeα∈(a, b) tal quef(α) = 0.
2.- Unicidad :
La existencia de una ´unica soluci´on en el intervalo de precici´on queda garantizada por el siguiente teorema visto en C´alculo Diferencial .
Teorema 2.1 Si f es una funci´on que satisface las hip´otesis : i)f continua en [a, b].
ii)f(a)·f(b)<0.
iii)f es diferenciable en(a, b)
iv) Signo def0(x)es constante en (a, b) entonces, existe un ´unicoα∈(a, b)tal que,f(α) = 0.
M´etodo de Bisecci´on. Se basa en el teorema de Bolzano, por lo tanto se supone : i)f continua enI(α) = [a, b].
ii)f(a)·f(b)<0
Algoritmo de la Bisecci´on .
1.- Dividir el intervalo de precisi´onI(α) por la mitad, obteniendose:
x1=
2.- Analizarf(x1)
Sif(x1) = 0 , entoncesα=x1y detener el proceso.
Sif(x1)6= 0 , entonces
Si f(x1)·f(a)<0 , f(x) tiene un cero en el intervalo [a, x1].
Si f(x1)·f(a)>0 , f(x) tiene un cero en[x1, b].
3.- Repitiendo los pasos 1 y 2 se genera una sucesi´on de aproximaciones, hasta que se satisfaga una condici´on de t´ermino.
Ventajas y desventajas.
Es posible demostrar que sif(x) es continua en [a, b] yf(a)·f(b)<0, el procedimiento de bisecci´on genera una sucesi´on que converge a la ra´ızαy
|xn−α| ≤
(b−a)
2n . (8)
Sin embargo este m´etodo tiene la desventaja que la convergencia es lenta .
Del resultado anterior, se puede deducir una f´ormula para determinar el n´umero de iteraciones, dada una cierta tolerancia.
n≥ ln ((b−a)
ln(2) . (9)
Actividades 2.1
Demuestre que de(8)puede obtener(9).
Seaf(x) =x3+ 4x2−10, encuentre una ra´ız aproximada. a) ¿C´omo podr´ıa verificar si es la ´unica?
b) Determine I(x).
c) ¿C´uantas iteraciones se deben realizar para que la aproximaci´on sea correcta a lo menos en 4 cifras significativas?
2.2.
M´
etodo de la secante.
Se basa en encontrar una aproximaci´on a la ra´ız mediante rectas secantes a la gr´afica def(x), de modo que, si (xk−1, f(xk−1)) y (xk, f(xk)) son dos puntos de la gr´afica def(x) una aproximaci´on
a la ra´ızαes,xk+1 intersecci´on de la recta secante que une los puntos mencionados con el ejeX.
De donde se deduce :
xk+1=xk−
(f(xk)·(xk−xk−1))
(f(xk)−f(xk−1))
Figura 2:
Algoritmo de la Secante .
1.- Dadas dos aproximacionesx0yx1.
2.- Generamos una sucesi´on de aproximaciones {xk+1} definida por:
xk+1=xk−
(f(xk)·(xk−xk−1))
(f(xk)−f(xk−1))
.
M´etodo de la Regula Falsi.
Este algoritmo es una mezcla de los m´etodos de bisecci´on y secante.
1.- Si [a, b] es el intervalo de precisi´on, unimos (a, f(a)) y (b, f(b)) para obtenerx1como intersecci´on
de la recta secante que pasa por los puntos precedentes y el ejeX.
2.- Trazamos la recta secante por (x1, f(x1)) y (b, f(b)) cuya intersecci´on sobre el ejeX determina
dos subintervalos, escogemos aquel que contiene a la ra´ız, verificando :
Sif(x1)·f(b)<0 , la ra´ız est´a en [x1, b] , de lo contrario la ra´ız pertenece al intervalo [a, x1] .
3.- Supongamos quef(x1)·f(b) < 0 , repetimos el paso 1 considerando el intervalo [x1, b] , de
modo que se obtiene la aproximaci´onx2, como intersecci´on de la secante y el ejeX.
4.- Procediendo as´ı sucesivamente obtenemos la sucesi´on{xk+1}definida por :
xk+1=xk−
(f(x[k])·(b−xk))
(f(b)−f(xk))
(11)
Figura 3:
Usando el m´etodo de la secante, obtener el cero de
f =x−2 senx
que est´a en el intervalo[1,5,2]
Dada f =x3+x2−3x−3 , determine en forma aproximada la ra´ız que se encuentra en el intervalo [0,3] .
M´etodo de Newton-Raphson.
El m´etodo de Newton-Raphson es uno de los m´etodos num´ericos m´as conocidos en la resoluci´on del problema de b´usqueda de ra´ıces de la ecuaci´on :
f(x) = 0
Existen tres formas de derivar este m´etodo, un enfoque basado en el polinomio de Taylor, como un procedimiento para obtener una convergencia m´as r´apida que la que se obtiene con los otros m´etodos y el m´etodo gr´afico.
Discutiremos este ´ultimo. Geom´etricamente consiste en dada una funci´on dos veces continuamente diferenciable, nos aproximamos a la ra´ız mediante rectas tangentes, de modo que si ((xk, f(xk)) es
un punto de la gr´afica def(x), trazamos la recta tangente en este punto y donde la tangente corta al ejeX obtenemos la aproximaci´onxk+1, es decir, geom´etricamente
de donde deducimos
xk+1=xk−
(f(xk))
(f0(x
k))
Figura 4:
Actividades 2.3 Use el m´etodo de Newton-Raphson para determinar una aproximaci´on de la mayor ra´ız negativa de la ecuaci´on f(x) = 0 con
f(x) =x5+ 0,85x4+ 0,70x3−3,45x2−1,10x+ 1,265
use como aproximaci´on inicialx0=−0,1.
2.3.
Estudio de la convergencia del m´
etodo de Newton-Raphson.
Definici´on 2.1 Si {xn} es una sucesi´on de n´umeros reales que converge a la ra´ız r, diremos que
la raz´on de convergencia es deordenαsi existen dos constantes C y αy un enteroN tal que,
|xn+1−r| ≤C|xn−r|α ,∀n≥N o l´ım n→∞
|xn+1−r| |xn−r|α
=C. (13)
Observaci´on 2.1 i) Si usamos la notaci´on|en+1|=|xn+1−r| (error absoluto cometido en la (n+1)- ´esima aproximaci´on), el l´ımite puede abreviarse por
l´ım
n→∞
|en+1|
|en|α
=C.
ii) SiC <1 yN es un entero tal que
|xn+1−r| ≤C|xn−r| ∀n≥N
iii) Si existenC no necesariamente menor que 1 y un entero N tal que
|xn+1−r| ≤C|xn−r|2 ∀n≥N
diremos que la convergencia es a lo menos cuadr´atica.
2.4.
Velocidad de convergencia del m´
etodo de Newton- Raphson
Comentamos antes, que otra forma de obtener Newton-Raphson consiste en derivarlo a partir del desarrollo en serie de Taylor de la funci´onf(x).
En efecto, supongamos que desarrollamos en serie la funci´on no linealf(x) en torno del puntoxk
f(x) =f(xk) +f0(xk)(x−xk) +f
00(ξ)
2! (x−xk)
2 evaluamos en x
k+1
f(xk+1) =f(xk) +f0(xk)(xk+1−xk) + f00(ξ)
2! (xk+1−xk) 2.
(14)
donde,ξ∈(xk, xk+1). Truncando el tercer t´ermino, queda
f(xk+1) =f(xk) +f0(xk)(xk+1−xk). (15)
En la intersecci´on con el ejeX,f(xk+1) = 0, luego
0 =f(xk) +f0(xk)(xk+1−xk). (16)
Ordenando, se obtiene
xk+1=xk−
f(xk)
f0(x
k)
. (17)
La f´ormula del m´etodo de Newton.
Adem´as este desarrollo permite estimar el error de la f´ormula y la velocidad de convergencia del m´etodo.
En efecto, supongamos que en el desarrollo anteriorxk+1esxrel valor exacto, entoncesf(xr) = 0.
y
0 =f(xk) +f0(xk)(xr−xk) +
f00(ξ)
2! (xr−xk)
2. (18)
Restando (16) y (18) se obtiene :
0 =f0(xk)(xr−xk+1) +f
00(ξ)
2! (xr−xk) 2
0 =ek+1f0(xk) +f
00(ξ)
2! (ek) 2.
ek+1= −f00(x
k)
2f0(x
k)
e2k
Tomando valor absoluto y l´ımite cunadok→ ∞, se tiene que
l´ım
k→∞
|ek+1|
|ek|2
= |f
00(ξ)|
2|f0(x
k)|
. (19)
De aqu´ı deducimos que el m´etodo converge cuadr´aticamente, sif0(xk) 6= 0, es decir si la ra´ız es
simple.
Teorema 2.2 Si f ∈C2[a, b]y r es una ra´ız es simple en[a, b] (es decir, f(r) = 0y f0(r)6= 0)
entonces, existe unδ >0tal que el m´etodo de Newton-Raphson generar´a una sucesi´on que converge cuadr´aticamente a rpara cualquier aproximaci´on inicialx0∈[r−δ, r+δ].
Observaci´on 2.2 Deducimos que no ocurre necesariamente convergencia cuadr´atica si la ra´ız no es simple.
El m´etodo de Newton-Raphson en general es muy eficiente, sin embargo hay situaciones en que no es aplicable o se comporta en forma deficiente. Uno de estos casos es cuando la funci´on posee ra´ıces m´ultiples.
La siguiente figura muestra gr´aficamente, un ejemplo donde no es posible aplicar Newton-Raphson. ¿Podr´ıa explicar porqu´e ?
Figura 5:f(x) =x−cos(x)x∈[0,π2]
Dada la funci´on
f(x) =−1
2x
3+5
2x
aproxime la ra´ız positiva, use como aproximaci´on inicial x0 = 1. y realice 6 iteraciones. ¿Qu´e sucede ? ¿Porqu´e ocurre esto ?
Dada la funci´on
f(x) = (x−1)3(x−2)
aproxime la menor ra´ız, use como aproximaci´on inicialx0= 1,75 ¿Qu´e sucede ? ¿A qu´e atribuye este hecho ?
Ra´ıces m´ultiples.
Las ra´ıces m´ultiples presentan algunas dificultades para los m´etodos que hemos analizado.
i) Si una funci´on no cambia de signo en ra´ıces m´ultiples pares impide el uso de los m´etodos cerrados que usan intervalos y los m´etodos abiertos tienen la limitaci´on que pueden ser divergentes.
ii) Otra dificultad que puede presentarse, es el hecho quef(x) yf0(x) tiendan a cero. En estos
casos, hay dificultades con el m´etodo de Newton-Raphson y el de la secante (aproximaci´on def0(x)) que provocan una divisi´on por cero.
iii) Ralston y Rabinowitz demostraron que los m´etodos de Newton-Raphson y secante conver-gen linealmente cuando hay ra´ıces m´ultiples y han propuesto algunas modificaciones que se obtienen a partir del m´etodo de newton-Raphson para problemas con funciones que tienen ra´ıces m´ultiples.
iv) El siguiente m´etodo es una modificaci´on de Newton-Raphson, tiene convergencia cuadr´atica:
xk+1=xk−m
f(xk)
f0(x
k)
. (20)
donde,mes la multiplicidad de la ra´ız, es decirm= 2 si la ra´ız tiene multiplicidad 2. v) Otra modificaci´on de Newton-Raphson, se obtiene definiendo una nueva funci´on
u(x) = f(x) f0(x),
que tiene ra´ıces en las mismas proporciones que la funci´on original. Se sustituyeu(x) en (17) y se obtiene:
xk+1=xk−
f(xk)·f0(xk)
[f0(x
k)]2−f(xk)·f00(xk)
Actividades 2.5 Usar m´etodo de Newton-Raphson y el modificado (21)para aproximar la ra´ız m´ultiple de :
f(x) =x3−5x2+ 7x−3
use como aproximaci´on inicialx0= 0. Realice a lo menos 5 iteraciones con el m´etodo de Newton-Raphson.
Nota 2.1 El material bibliogr´afico usado para la elaboraci´on de este taller : An´alisis Num´erico. R.L. Burden-J.D. Faires
2.5.
M´
etodos de punto fijo.
M´odulo 3
Prof: Mar´ıa Ang´elica Vega U.
Seaf(x) = 0 una ecuaci´on no lineal. Los m´etodos para determinar una ra´ız de esta ecuaci´on, que se expresan en la forma
x=g(x)
se denominanM´etodos de Iteraci´on Funcional o M´etodos de punto fijo.Una soluci´on de esta ecuaci´on se llamapunto fijo de g y la funci´ong(x) se llamafunci´on de iteraci´on .Frente al problema de buscar los puntos fijos de la ecuaci´onx=g(x), surgen las siguientes interrogantes : 1.- ¿C´uando una funci´ong(x) tiene un punto fijo ?
2.- ¿Si existe, es ´unico ? 3.- ¿ C´omo determinarlo ?
Las respuestas a la primera y segunda interrogante, es el resultado que veremos a continuaci´on formalizado como Teorema de existencia y unicidad.
Teorema 2.3 Teorema de Existencia y unicidad. Si i) g(x)es continua en[a, b].
ii) g(x)pertenece a[a, b], para todo xque pertenece al intervalo[a, b]. entonces, existe un punto fijo parag(x) en(a, b).
Si adem´as,
iii) g(x)es diferenciable en (a, b)
iv) |g(x)| ≤k <1 , para todoxperteneciente al intervalo(a, b), entonces ,g(x)tiene un ´unico punto fijo en[a, b].
Demostraci´on.
1) Existencia. Sig(a) =a yg(b) =b la existencia de un punto fijo es trivial.
Suponemos entonces,
a < g(a)y b > g(b)(Por hip´otesisg(x)∈[a, b]). Definimos:
h(x) =g(x)−x
observamos que,
i)h(x)es continua en[a, b]
ii)
h(a) =g(a)−a >0 h(b) =g(b)−b <0
)
Por teorema de Bolzano existep∈(a, b)tal que
h(p) = 0 ⇔g(p)−p= 0 ⇔p=g(p)
, luego pes punto fijo.
2) Unicidad. Supongamos quepyqson dos puntos fijos distintos. Por Teorema del Valor Medio,
(f continua y diferenciable, existeξ∈(p, q)tal quef0(ξ) =f(b)b−−fa(a).) Tenemos, |p−q|=|g(p)−g(q)|=|g0(ξ)||p−q|< k|p−q|<|p−q|.
Contradicci´on de suponerp6=q, luego p=q en[a, b].
Algoritmo de punto fijo.
1.- Dada una aproximaci´on inicialx0,
2.- Generamos una sucesi´on de aproximaciones {xn}definida por :
xn=g(xn−1)
. Situaci´on gr´afica de algunas funciones.
Figura 6:x= (1/3)x+ 0,2 Figura 7:x=x(1/3)
Actividades 2.6 La ecuaci´on x3+ 4x2−10 = 0 tiene una ra´ız en [1,2], obtenga al menos 5 funciones de iteraci´on.
Convergencia
Teorema 2.4 Bajo las hip´otesis del teorema de existencia y unicidad, si p0 ∈ [a, b] la sucesi´on definida por
Figura 8:x= (3/2)x
converge al ´unico punto fijo. Adem´as se cumple
i)|pn−p| ≤
kn
1−k|p0−p1| ∀n≥1.
ii)|pn−p| ≤kn|p0−p| ≤knm´ax{p0−a, b−p0}, puesto que,p∈[a, b].
Demostraci´on. Hacerla como ejercicio. Se utilizan las hip´otesis del Teorema de existencia y unicidad y el Teorema del Valor Medio.
Actividades 2.7 Seag(x) = (x23−1) en [−1,1]. Demostrar queg(x)tiene un ´unico punto fijo en
(−1,1).
Velocidad de Convergencia.
Teorema 2.5 Sea pun punto fijo deg(x), tal que p∈I y sea
xk =g(xk−1) para k= 1,2, ... i) Sig∈C1(I(p))y g0(p)6= 0, entonces
|xk+1−xk| ≈g0(p)|xk−xk−1|
de modo que, six0∈I(p) entonces,
{xk} diverge linealmente a pcon C=g0(p)si|g0(p)|>1.
ii) Sig00(x)es continua yg0(p) = 0entonces,
|xk+1−xk| ≈ −
1 2g
00(p)|x
k−xk−1|
six0∈I(p)entonces,
{xk} converge cuadr´aticamente a pcon C=−12g00(p).
Sig0(p) =±1 , {xk} puede converger o diverger muy lentamente.
Demostraci´on.Consultar An´alisis Num´erico de M.J.Maron-R.J.L´opez.
2.6.
Convergencia del M´
etodo de Newton-Raphson
Teorema 2.6 Si α es una ra´ız simple de f(x) = 0, entonces el algoritmo de Newton Raphson tiene convergencia Cuadr´atica.
Sol.αra´ız simple def(x) = 0 implica que:
f(x) = (x−α)·h(x)conh(α)6= 0 f0(x) =h(x) + (x−α)·h0(x) f0(α) =h(α)6= 0
Desarrollandof(x)en serie de Taylor alrededor de x=αse tiene :
f(x) =f(α) +f0(α)(x−α) +f
00(α)(x−α)2
2! +
f000(ξ)(x−α)2
3!
Para alg´un ξ en un entorno deα. Consideremos el algoritmo de Newton-Raphson:
xn+1 =xn−
f(xn)
f0(x
n)
xn+1−α =xn−α−
1 f0(x
n)
f0(α)(xn−α) +
f00(α)(xn−α)2
2! +
f000(ξ)(xn−α)3
3!
xn+1−α =
(xn−α)2
f0(x
n)
f0(x
n)−f0(α)
(xn−α)
−f
00(α)
2! −
f000(ξ)(xn−α)
3!
l´ımn→∞
|xn+1−α| |xn−α|2
= 1 f0(α)(f
00(α)−f00(α)
2 ) = 1 2f0(α)
=cte (22)
Luego el m´etodo de Newton tiene orden de convergencia 2 para αra´ız simple.
Teorema 2.7 Si α es una ra´ız multiplicidad p de f(x) = 0, entonces el algoritmo de Newton Raphson tiene convergencia lineal.
f(x) = (x−α)p·g(x)cong(α)6= 0
f0(x) =p(x−α)p−1·g(x) + (x−α)p·g0(α)
En efecto,
xn+1 =xn−
f(xn)
f0(x
n)
xn+1−α =xn−α−
(xn−α)p·g(xn)
p(xn−α)p−1·g(xn) + (xn−α)p·g0(xn)
xn+1−α = (xn−α)−
(xn−α)p·g(xn)
(xn−α)p−1(pg(xn) + (xn−α)·g0(xn))
xn+1−α = (xn−α)
1− g(xn)
pg(xn) + (xn−α)g0(xn)
l´ımn→∞
|xn+1−α| |xn−α|2
= l´ımn→∞
1− g
0(α) pg(α)
g(α)6= 0
= 1−1
p = p−1
p , conp >1
(23)
Luego el m´etodo de Newton-Raphson tiene orden convergencia 1 o lineal paraαra´ız m´ultiple.
Actividades 2.8
1. Considere la ecuaci´on:
ex2 −2x= 0 (24)
i) Verif´ıque la ecuaci´on(24)tiene una ra´ız en el intervalo [4,5].
ii) Demuestre que en el intervalo[4,5]est´a la mayor ra´ız positiva de la ecuaci´on(24). iii) Para obtener la ra´ız que est´a en [4,5], se propone el siguiente algoritmo de punto fijo:
xk+1=
exk2
2 (25)
Determine justificadamente , si es posible garantizar la convergencia del algoritmo para hallar la ra´ız . Usando (25) y una aproximaci´on x0, adecuada, trate de obtener una aproximaci´on de la citada ra´ız.
iv) Proponga un algoritmo de punto fijo convergente, y ´uselo con x0 conveniente, para determinar una aproximaci´on de la ra´ız de(24)en[4,5].
2. Puede demostrarse que la forma que adopta un cable suspendido de sus extremos es catenaria. Una ecuaci´on de una catenaria est´a dada por:
y=coshx
donde a es una constante por determinar. El eje Y equidista de sus puntos extremos. Un cable telef´onico est´a suspendido, a la misma altura, de dos postes que est´an a 200 pies uno del otro. El cable tiene una ca´ıda m´axima de10 pies en el punto medio del cable. Determine el valor dea. (Recuerde que cosh0 = 1.)
Nota 2.2 El material bibliogr´afico usado para la elaboraci´on de este taller : An´alisis Num´erico. R.L. Burden-J.D. Faires
3.
Ceros de las funciones Polin´
omicas.
Una expresi´on de la forma:
Pn(x) =anxn+an−1xn−1+· · ·a1x+a0
donde, losai son constantes,an6= 0, se llamapolinomio de grado n.
Recordamos el m´etodo de Horner:
Teorema 3.1 M´etodo de Horner. Sea
Pn(x) = n
X
k=0
akxk , anneq0 , an =bn
i) Sibk=ak+bk+1x0 , ∀k=n−1,· · ·1,0entonces
P(x0) =b0
ii) Adem´as si,
Qn−1(x) =bnxn−1+bn−1xn−2+· · ·b2x+b1 entonces
Pn(x) = (x−x0)Qn−1(x) +b0
Dem.
ii) DesarrollamosQ(x)en la expresi´on :
(x−x0)Qn−1(x) +b0 = (x−x0)(bnxn−1+bn−1xn−2+· · ·b2x+b1) +b0
=bnxn+bn−1xn−1+· · ·b2x2+b1x)−(bnx0xn−1+bn−1x0xn−2+· · ·b2x0x+b1x0) +b0
=bnxn+ (bn−1−bnx0)xn−1+· · ·+ (b2−b3x0)x2+ (b1−b2x0)x+ (b0−b1x0)
=anxn+an−1xn−1+· · ·a1x+a0=Pn(x).
i) Usando ii)
Pn(x) = (x−x0)Qn−1(x) +b0 ⇐ P(x0) =b0
Corolario.P0(x0) =Q(x0)
Dem.
P(x) = (x−x0)Q(x) +b0
=Q(x) + (x−x0)Q0(x)
P0(x0) =Q(x0)
Ejemplo 3.1 Usando Newton - Raphson y M´etodo de Horner, aproximar la mayor ra´ız negativa de
2x4−3x2−3x−4
Usandox0=−2 como aproximaci´on inicial, relizar 3 iteraciones.
Soluci´on .
Primera iteraci´on.
i) C´alculo deP(x0)
ai a4 a3 a2 a1 a0
2 0 −3 3 −4
−4 8 −10 14
bi 2 −4 5 −7 10
Por teorema de Horner:
P(−2) = 10 y Q(x) = 2x3−4x2+ 5x−7
ii) C´alculo deP0(x
0)
Para determinarP0(−2) =Q(−2), usamos nuevamente m´etodo de Horner.
2 −4 5 −7
−4 16 −42 2 −8 21 −49
LuegoP0(−2) =−49Usamos M´etodo de Newton-Raphson
x1=−2−
10
−49 ≈ −1,796
Segunda y Tercera iteraci´on.
Actividades 3.1 Separar las ra´ıces de los siguientes polinomios: a)P3(x) = 3x3+ 2x−1