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2. Ecuaciones No lineales. - 2. Ecuaciones No Lineales

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(1)

2.

Ecuaciones No lineales.

M´odulo 2 Prof. M.Ang´elica Vega

2.1.

etodo de Bisecci´

on

Problema 1. Dada una funci´on f(x) no lineal y continua en el intervalo [a, b]. Determinar una ra´ızα ∈[a, b] de la ecuaci´onf(x) = 0.

Ante el problema planteado surgen las siguientes interrogantes : 1. ¿Existe soluci´on?

2. Si existe soluci´on . ¿Es ´unica ? 3. ¿C´omo determinarla ?

1.- Existencia : Teorema de Bolzano.

La existencia de soluci´on est´a garantizada por el teorema de Bolzano, cuyo enunciado afirma que bajo las hip´otesis :

i)f continua en [a, b].

ii)f(a) yf(b) de distinto signo. (es decir,f(a)·f(b)<0 ) entonces,

existeα∈(a, b) tal quef(α) = 0.

2.- Unicidad :

La existencia de una ´unica soluci´on en el intervalo de precici´on queda garantizada por el siguiente teorema visto en C´alculo Diferencial .

Teorema 2.1 Si f es una funci´on que satisface las hip´otesis : i)f continua en [a, b].

ii)f(a)·f(b)<0.

iii)f es diferenciable en(a, b)

iv) Signo def0(x)es constante en (a, b) entonces, existe un ´unicoα∈(a, b)tal que,f(α) = 0.

M´etodo de Bisecci´on. Se basa en el teorema de Bolzano, por lo tanto se supone : i)f continua enI(α) = [a, b].

ii)f(a)·f(b)<0

Algoritmo de la Bisecci´on .

1.- Dividir el intervalo de precisi´onI(α) por la mitad, obteniendose:

x1=

(2)

2.- Analizarf(x1)

Sif(x1) = 0 , entoncesα=x1y detener el proceso.

Sif(x1)6= 0 , entonces

Si f(x1)·f(a)<0 , f(x) tiene un cero en el intervalo [a, x1].

Si f(x1)·f(a)>0 , f(x) tiene un cero en[x1, b].

3.- Repitiendo los pasos 1 y 2 se genera una sucesi´on de aproximaciones, hasta que se satisfaga una condici´on de t´ermino.

Ventajas y desventajas.

Es posible demostrar que sif(x) es continua en [a, b] yf(a)·f(b)<0, el procedimiento de bisecci´on genera una sucesi´on que converge a la ra´ızαy

|xn−α| ≤

(b−a)

2n . (8)

Sin embargo este m´etodo tiene la desventaja que la convergencia es lenta .

Del resultado anterior, se puede deducir una f´ormula para determinar el n´umero de iteraciones, dada una cierta tolerancia.

n≥ ln ((b−a)

ln(2) . (9)

Actividades 2.1

Demuestre que de(8)puede obtener(9).

Seaf(x) =x3+ 4x210, encuentre una ra´ız aproximada. a) ¿C´omo podr´ıa verificar si es la ´unica?

b) Determine I(x).

c) ¿C´uantas iteraciones se deben realizar para que la aproximaci´on sea correcta a lo menos en 4 cifras significativas?

2.2.

etodo de la secante.

Se basa en encontrar una aproximaci´on a la ra´ız mediante rectas secantes a la gr´afica def(x), de modo que, si (xk−1, f(xk−1)) y (xk, f(xk)) son dos puntos de la gr´afica def(x) una aproximaci´on

a la ra´ızαes,xk+1 intersecci´on de la recta secante que une los puntos mencionados con el ejeX.

De donde se deduce :

xk+1=xk−

(f(xk)·(xk−xk−1))

(f(xk)−f(xk−1))

(3)

Figura 2:

Algoritmo de la Secante .

1.- Dadas dos aproximacionesx0yx1.

2.- Generamos una sucesi´on de aproximaciones {xk+1} definida por:

xk+1=xk−

(f(xk)·(xk−xk−1))

(f(xk)−f(xk−1))

.

M´etodo de la Regula Falsi.

Este algoritmo es una mezcla de los m´etodos de bisecci´on y secante.

1.- Si [a, b] es el intervalo de precisi´on, unimos (a, f(a)) y (b, f(b)) para obtenerx1como intersecci´on

de la recta secante que pasa por los puntos precedentes y el ejeX.

2.- Trazamos la recta secante por (x1, f(x1)) y (b, f(b)) cuya intersecci´on sobre el ejeX determina

dos subintervalos, escogemos aquel que contiene a la ra´ız, verificando :

Sif(x1)·f(b)<0 , la ra´ız est´a en [x1, b] , de lo contrario la ra´ız pertenece al intervalo [a, x1] .

3.- Supongamos quef(x1)·f(b) < 0 , repetimos el paso 1 considerando el intervalo [x1, b] , de

modo que se obtiene la aproximaci´onx2, como intersecci´on de la secante y el ejeX.

4.- Procediendo as´ı sucesivamente obtenemos la sucesi´on{xk+1}definida por :

xk+1=xk−

(f(x[k])·(b−xk))

(f(b)−f(xk))

(11)

(4)

Figura 3:

Usando el m´etodo de la secante, obtener el cero de

f =x−2 senx

que est´a en el intervalo[1,5,2]

Dada f =x3+x23x3 , determine en forma aproximada la ra´ız que se encuentra en el intervalo [0,3] .

M´etodo de Newton-Raphson.

El m´etodo de Newton-Raphson es uno de los m´etodos num´ericos m´as conocidos en la resoluci´on del problema de b´usqueda de ra´ıces de la ecuaci´on :

f(x) = 0

Existen tres formas de derivar este m´etodo, un enfoque basado en el polinomio de Taylor, como un procedimiento para obtener una convergencia m´as r´apida que la que se obtiene con los otros m´etodos y el m´etodo gr´afico.

Discutiremos este ´ultimo. Geom´etricamente consiste en dada una funci´on dos veces continuamente diferenciable, nos aproximamos a la ra´ız mediante rectas tangentes, de modo que si ((xk, f(xk)) es

un punto de la gr´afica def(x), trazamos la recta tangente en este punto y donde la tangente corta al ejeX obtenemos la aproximaci´onxk+1, es decir, geom´etricamente

de donde deducimos

xk+1=xk−

(f(xk))

(f0(x

k))

(5)

Figura 4:

Actividades 2.3 Use el m´etodo de Newton-Raphson para determinar una aproximaci´on de la mayor ra´ız negativa de la ecuaci´on f(x) = 0 con

f(x) =x5+ 0,85x4+ 0,70x3−3,45x2−1,10x+ 1,265

use como aproximaci´on inicialx0=−0,1.

2.3.

Estudio de la convergencia del m´

etodo de Newton-Raphson.

Definici´on 2.1 Si {xn} es una sucesi´on de n´umeros reales que converge a la ra´ız r, diremos que

la raz´on de convergencia es deordenαsi existen dos constantes C y αy un enteroN tal que,

|xn+1−r| ≤C|xn−r|α ,∀n≥N o l´ım n→∞

|xn+1−r| |xn−r|α

=C. (13)

Observaci´on 2.1 i) Si usamos la notaci´on|en+1|=|xn+1−r| (error absoluto cometido en la (n+1)- ´esima aproximaci´on), el l´ımite puede abreviarse por

l´ım

n→∞

|en+1|

|en|α

=C.

ii) SiC <1 yN es un entero tal que

|xn+1−r| ≤C|xn−r| ∀n≥N

(6)

iii) Si existenC no necesariamente menor que 1 y un entero N tal que

|xn+1−r| ≤C|xn−r|2 ∀n≥N

diremos que la convergencia es a lo menos cuadr´atica.

2.4.

Velocidad de convergencia del m´

etodo de Newton- Raphson

Comentamos antes, que otra forma de obtener Newton-Raphson consiste en derivarlo a partir del desarrollo en serie de Taylor de la funci´onf(x).

En efecto, supongamos que desarrollamos en serie la funci´on no linealf(x) en torno del puntoxk

f(x) =f(xk) +f0(xk)(x−xk) +f

00(ξ)

2! (x−xk)

2 evaluamos en x

k+1

f(xk+1) =f(xk) +f0(xk)(xk+1−xk) + f00(ξ)

2! (xk+1−xk) 2.

(14)

donde,ξ∈(xk, xk+1). Truncando el tercer t´ermino, queda

f(xk+1) =f(xk) +f0(xk)(xk+1−xk). (15)

En la intersecci´on con el ejeX,f(xk+1) = 0, luego

0 =f(xk) +f0(xk)(xk+1−xk). (16)

Ordenando, se obtiene

xk+1=xk−

f(xk)

f0(x

k)

. (17)

La f´ormula del m´etodo de Newton.

Adem´as este desarrollo permite estimar el error de la f´ormula y la velocidad de convergencia del m´etodo.

En efecto, supongamos que en el desarrollo anteriorxk+1esxrel valor exacto, entoncesf(xr) = 0.

y

0 =f(xk) +f0(xk)(xr−xk) +

f00(ξ)

2! (xr−xk)

2. (18)

Restando (16) y (18) se obtiene :

0 =f0(xk)(xr−xk+1) +f

00(ξ)

2! (xr−xk) 2

0 =ek+1f0(xk) +f

00(ξ)

2! (ek) 2.

ek+1= −f00(x

k)

2f0(x

k)

e2k

(7)

Tomando valor absoluto y l´ımite cunadok→ ∞, se tiene que

l´ım

k→∞

|ek+1|

|ek|2

= |f

00(ξ)|

2|f0(x

k)|

. (19)

De aqu´ı deducimos que el m´etodo converge cuadr´aticamente, sif0(xk) 6= 0, es decir si la ra´ız es

simple.

Teorema 2.2 Si f ∈C2[a, b]y r es una ra´ız es simple en[a, b] (es decir, f(r) = 0y f0(r)6= 0)

entonces, existe unδ >0tal que el m´etodo de Newton-Raphson generar´a una sucesi´on que converge cuadr´aticamente a rpara cualquier aproximaci´on inicialx0∈[r−δ, r+δ].

Observaci´on 2.2 Deducimos que no ocurre necesariamente convergencia cuadr´atica si la ra´ız no es simple.

El m´etodo de Newton-Raphson en general es muy eficiente, sin embargo hay situaciones en que no es aplicable o se comporta en forma deficiente. Uno de estos casos es cuando la funci´on posee ra´ıces m´ultiples.

La siguiente figura muestra gr´aficamente, un ejemplo donde no es posible aplicar Newton-Raphson. ¿Podr´ıa explicar porqu´e ?

Figura 5:f(x) =x−cos(x)x∈[0,π2]

(8)

Dada la funci´on

f(x) =−1

2x

3+5

2x

aproxime la ra´ız positiva, use como aproximaci´on inicial x0 = 1. y realice 6 iteraciones. ¿Qu´e sucede ? ¿Porqu´e ocurre esto ?

Dada la funci´on

f(x) = (x−1)3(x−2)

aproxime la menor ra´ız, use como aproximaci´on inicialx0= 1,75 ¿Qu´e sucede ? ¿A qu´e atribuye este hecho ?

Ra´ıces m´ultiples.

Las ra´ıces m´ultiples presentan algunas dificultades para los m´etodos que hemos analizado.

i) Si una funci´on no cambia de signo en ra´ıces m´ultiples pares impide el uso de los m´etodos cerrados que usan intervalos y los m´etodos abiertos tienen la limitaci´on que pueden ser divergentes.

ii) Otra dificultad que puede presentarse, es el hecho quef(x) yf0(x) tiendan a cero. En estos

casos, hay dificultades con el m´etodo de Newton-Raphson y el de la secante (aproximaci´on def0(x)) que provocan una divisi´on por cero.

iii) Ralston y Rabinowitz demostraron que los m´etodos de Newton-Raphson y secante conver-gen linealmente cuando hay ra´ıces m´ultiples y han propuesto algunas modificaciones que se obtienen a partir del m´etodo de newton-Raphson para problemas con funciones que tienen ra´ıces m´ultiples.

iv) El siguiente m´etodo es una modificaci´on de Newton-Raphson, tiene convergencia cuadr´atica:

xk+1=xk−m

f(xk)

f0(x

k)

. (20)

donde,mes la multiplicidad de la ra´ız, es decirm= 2 si la ra´ız tiene multiplicidad 2. v) Otra modificaci´on de Newton-Raphson, se obtiene definiendo una nueva funci´on

u(x) = f(x) f0(x),

que tiene ra´ıces en las mismas proporciones que la funci´on original. Se sustituyeu(x) en (17) y se obtiene:

xk+1=xk−

f(xk)·f0(xk)

[f0(x

k)]2−f(xk)·f00(xk)

(9)

Actividades 2.5 Usar m´etodo de Newton-Raphson y el modificado (21)para aproximar la ra´ız m´ultiple de :

f(x) =x3−5x2+ 7x−3

use como aproximaci´on inicialx0= 0. Realice a lo menos 5 iteraciones con el m´etodo de Newton-Raphson.

Nota 2.1 El material bibliogr´afico usado para la elaboraci´on de este taller : An´alisis Num´erico. R.L. Burden-J.D. Faires

(10)

2.5.

etodos de punto fijo.

M´odulo 3

Prof: Mar´ıa Ang´elica Vega U.

Seaf(x) = 0 una ecuaci´on no lineal. Los m´etodos para determinar una ra´ız de esta ecuaci´on, que se expresan en la forma

x=g(x)

se denominanM´etodos de Iteraci´on Funcional o M´etodos de punto fijo.Una soluci´on de esta ecuaci´on se llamapunto fijo de g y la funci´ong(x) se llamafunci´on de iteraci´on .Frente al problema de buscar los puntos fijos de la ecuaci´onx=g(x), surgen las siguientes interrogantes : 1.- ¿C´uando una funci´ong(x) tiene un punto fijo ?

2.- ¿Si existe, es ´unico ? 3.- ¿ C´omo determinarlo ?

Las respuestas a la primera y segunda interrogante, es el resultado que veremos a continuaci´on formalizado como Teorema de existencia y unicidad.

Teorema 2.3 Teorema de Existencia y unicidad. Si i) g(x)es continua en[a, b].

ii) g(x)pertenece a[a, b], para todo xque pertenece al intervalo[a, b]. entonces, existe un punto fijo parag(x) en(a, b).

Si adem´as,

iii) g(x)es diferenciable en (a, b)

iv) |g(x)| ≤k <1 , para todoxperteneciente al intervalo(a, b), entonces ,g(x)tiene un ´unico punto fijo en[a, b].

Demostraci´on.

1) Existencia. Sig(a) =a yg(b) =b la existencia de un punto fijo es trivial.

Suponemos entonces,

a < g(a)y b > g(b)(Por hip´otesisg(x)∈[a, b]). Definimos:

h(x) =g(x)−x

observamos que,

i)h(x)es continua en[a, b]

ii)

h(a) =g(a)−a >0 h(b) =g(b)−b <0

)

(11)

Por teorema de Bolzano existep∈(a, b)tal que

h(p) = 0 ⇔g(p)−p= 0 ⇔p=g(p)

, luego pes punto fijo.

2) Unicidad. Supongamos quepyqson dos puntos fijos distintos. Por Teorema del Valor Medio,

(f continua y diferenciable, existeξ∈(p, q)tal quef0(ξ) =f(b)bfa(a).) Tenemos, |p−q|=|g(p)−g(q)|=|g0(ξ)||p−q|< k|p−q|<|p−q|.

Contradicci´on de suponerp6=q, luego p=q en[a, b].

Algoritmo de punto fijo.

1.- Dada una aproximaci´on inicialx0,

2.- Generamos una sucesi´on de aproximaciones {xn}definida por :

xn=g(xn−1)

. Situaci´on gr´afica de algunas funciones.

Figura 6:x= (1/3)x+ 0,2 Figura 7:x=x(1/3)

Actividades 2.6 La ecuaci´on x3+ 4x2−10 = 0 tiene una ra´ız en [1,2], obtenga al menos 5 funciones de iteraci´on.

Convergencia

Teorema 2.4 Bajo las hip´otesis del teorema de existencia y unicidad, si p0 ∈ [a, b] la sucesi´on definida por

(12)

Figura 8:x= (3/2)x

converge al ´unico punto fijo. Adem´as se cumple

i)|pn−p| ≤

kn

1−k|p0−p1| ∀n≥1.

ii)|pn−p| ≤kn|p0−p| ≤knm´ax{p0−a, b−p0}, puesto que,p∈[a, b].

Demostraci´on. Hacerla como ejercicio. Se utilizan las hip´otesis del Teorema de existencia y unicidad y el Teorema del Valor Medio.

Actividades 2.7 Seag(x) = (x23−1) en [−1,1]. Demostrar queg(x)tiene un ´unico punto fijo en

(−1,1).

Velocidad de Convergencia.

Teorema 2.5 Sea pun punto fijo deg(x), tal que p∈I y sea

xk =g(xk−1) para k= 1,2, ... i) Sig∈C1(I(p))y g0(p)6= 0, entonces

|xk+1−xk| ≈g0(p)|xk−xk−1|

de modo que, six0∈I(p) entonces,

(13)

{xk} diverge linealmente a pcon C=g0(p)si|g0(p)|>1.

ii) Sig00(x)es continua yg0(p) = 0entonces,

|xk+1−xk| ≈ −

1 2g

00(p)|x

k−xk−1|

six0∈I(p)entonces,

{xk} converge cuadr´aticamente a pcon C=−12g00(p).

Sig0(p) =±1 , {xk} puede converger o diverger muy lentamente.

Demostraci´on.Consultar An´alisis Num´erico de M.J.Maron-R.J.L´opez.

2.6.

Convergencia del M´

etodo de Newton-Raphson

Teorema 2.6 Si α es una ra´ız simple de f(x) = 0, entonces el algoritmo de Newton Raphson tiene convergencia Cuadr´atica.

Sol.αra´ız simple def(x) = 0 implica que:

f(x) = (x−α)·h(x)conh(α)6= 0 f0(x) =h(x) + (x−α)·h0(x) f0(α) =h(α)6= 0

Desarrollandof(x)en serie de Taylor alrededor de x=αse tiene :

f(x) =f(α) +f0(α)(x−α) +f

00(α)(xα)2

2! +

f000(ξ)(x−α)2

3!

Para alg´un ξ en un entorno deα. Consideremos el algoritmo de Newton-Raphson:

xn+1 =xn−

f(xn)

f0(x

n)

xn+1−α =xn−α−

1 f0(x

n)

f0(α)(xn−α) +

f00(α)(xn−α)2

2! +

f000(ξ)(xn−α)3

3!

xn+1−α =

(xn−α)2

f0(x

n)

f0(x

n)−f0(α)

(xn−α)

−f

00(α)

2! −

f000(ξ)(xn−α)

3!

l´ımn→∞

|xn+1−α| |xn−α|2

= 1 f0(α)(f

00(α)f00(α)

2 ) = 1 2f0(α)

=cte (22)

Luego el m´etodo de Newton tiene orden de convergencia 2 para αra´ız simple.

Teorema 2.7 Si α es una ra´ız multiplicidad p de f(x) = 0, entonces el algoritmo de Newton Raphson tiene convergencia lineal.

(14)

f(x) = (x−α)p·g(x)cong(α)6= 0

f0(x) =p(x−α)p−1·g(x) + (x−α)p·g0(α)

En efecto,

xn+1 =xn−

f(xn)

f0(x

n)

xn+1−α =xn−α−

(xn−α)p·g(xn)

p(xn−α)p−1·g(xn) + (xn−α)p·g0(xn)

xn+1−α = (xn−α)−

(xn−α)p·g(xn)

(xn−α)p−1(pg(xn) + (xn−α)·g0(xn))

xn+1−α = (xn−α)

1− g(xn)

pg(xn) + (xn−α)g0(xn)

l´ımn→∞

|xn+1−α| |xn−α|2

= l´ımn→∞

1− g

0(α) pg(α)

g(α)6= 0

= 1−1

p = p−1

p , conp >1

(23)

Luego el m´etodo de Newton-Raphson tiene orden convergencia 1 o lineal paraαra´ız m´ultiple.

Actividades 2.8

1. Considere la ecuaci´on:

ex2 −2x= 0 (24)

i) Verif´ıque la ecuaci´on(24)tiene una ra´ız en el intervalo [4,5].

ii) Demuestre que en el intervalo[4,5]est´a la mayor ra´ız positiva de la ecuaci´on(24). iii) Para obtener la ra´ız que est´a en [4,5], se propone el siguiente algoritmo de punto fijo:

xk+1=

exk2

2 (25)

Determine justificadamente , si es posible garantizar la convergencia del algoritmo para hallar la ra´ız . Usando (25) y una aproximaci´on x0, adecuada, trate de obtener una aproximaci´on de la citada ra´ız.

iv) Proponga un algoritmo de punto fijo convergente, y ´uselo con x0 conveniente, para determinar una aproximaci´on de la ra´ız de(24)en[4,5].

2. Puede demostrarse que la forma que adopta un cable suspendido de sus extremos es catenaria. Una ecuaci´on de una catenaria est´a dada por:

y=coshx

(15)

donde a es una constante por determinar. El eje Y equidista de sus puntos extremos. Un cable telef´onico est´a suspendido, a la misma altura, de dos postes que est´an a 200 pies uno del otro. El cable tiene una ca´ıda m´axima de10 pies en el punto medio del cable. Determine el valor dea. (Recuerde que cosh0 = 1.)

Nota 2.2 El material bibliogr´afico usado para la elaboraci´on de este taller : An´alisis Num´erico. R.L. Burden-J.D. Faires

(16)

3.

Ceros de las funciones Polin´

omicas.

Una expresi´on de la forma:

Pn(x) =anxn+an−1xn−1+· · ·a1x+a0

donde, losai son constantes,an6= 0, se llamapolinomio de grado n.

Recordamos el m´etodo de Horner:

Teorema 3.1 M´etodo de Horner. Sea

Pn(x) = n

X

k=0

akxk , anneq0 , an =bn

i) Sibk=ak+bk+1x0 , ∀k=n−1,· · ·1,0entonces

P(x0) =b0

ii) Adem´as si,

Qn−1(x) =bnxn−1+bn−1xn−2+· · ·b2x+b1 entonces

Pn(x) = (x−x0)Qn−1(x) +b0

Dem.

ii) DesarrollamosQ(x)en la expresi´on :

(x−x0)Qn−1(x) +b0 = (x−x0)(bnxn−1+bn−1xn−2+· · ·b2x+b1) +b0

=bnxn+bn−1xn−1+· · ·b2x2+b1x)−(bnx0xn−1+bn−1x0xn−2+· · ·b2x0x+b1x0) +b0

=bnxn+ (bn−1−bnx0)xn−1+· · ·+ (b2−b3x0)x2+ (b1−b2x0)x+ (b0−b1x0)

=anxn+an−1xn−1+· · ·a1x+a0=Pn(x).

i) Usando ii)

Pn(x) = (x−x0)Qn−1(x) +b0 ⇐ P(x0) =b0

Corolario.P0(x0) =Q(x0)

Dem.

P(x) = (x−x0)Q(x) +b0

=Q(x) + (x−x0)Q0(x)

P0(x0) =Q(x0)

(17)

Ejemplo 3.1 Usando Newton - Raphson y M´etodo de Horner, aproximar la mayor ra´ız negativa de

2x4−3x2−3x−4

Usandox0=−2 como aproximaci´on inicial, relizar 3 iteraciones.

Soluci´on .

Primera iteraci´on.

i) C´alculo deP(x0)

ai a4 a3 a2 a1 a0

2 0 −3 3 −4

−4 8 −10 14

bi 2 −4 5 −7 10

Por teorema de Horner:

P(−2) = 10 y Q(x) = 2x3−4x2+ 5x−7

ii) C´alculo deP0(x

0)

Para determinarP0(−2) =Q(−2), usamos nuevamente m´etodo de Horner.

2 −4 5 −7

−4 16 −42 2 −8 21 −49

LuegoP0(−2) =−49Usamos M´etodo de Newton-Raphson

x1=−2−

10

−49 ≈ −1,796

Segunda y Tercera iteraci´on.

Actividades 3.1 Separar las ra´ıces de los siguientes polinomios: a)P3(x) = 3x3+ 2x−1

Referencias

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