05) Cinemática 1-D
0501) Introducción
Desarrollado por el Profesor Rodrigo
Vergara Rojas
A) Distancia Recorrida y Cambio de
Posición
Considere la situación ilustrada en la figura 1.Un automovilista debe pasar por una cuesta para llegar a su destino. Parte en la hostería. Su acompañante toma nota de su recorrido, anotando la hora y la distancia recorrida, leída directamente del “cuentakilómetros” del auto.
Hora Referencia Kilometraje
10:05 Salida de la Hostería 44080,3 10:23 Paso frente al servicentro 44106,8 10:31 Frente al cedro, regreso por escasez de bencina. 44115,1 10:38 Llegada al servicentro 44123,4 10:51 Partida hacia la cuesta 44123,4 11:00 Nuevamente frente al cedro 44131,7 11:43 Llegada a la cima 44165,5
A partir de esos datos construyen la siguiente tabla
Hora t[min] ∆∆∆∆t[min] Kilometraje d [km] ∆∆∆∆d[Km] vmedia[Km/h]
10:05 0 44080,3 0
18 26,5 88,3
10:23 18 44106,8 26,5
8 8,3 62,3
10:31 26 44115,1 34,8
7 8,3 71,1
10:38 33 44123,4 43,1
13 0 0,0
10:51 46 44123,4 43,1
9 8,3 55,3
11:00 55 44131,7 51,4
43 33,8 47,2
11:43 98 44165,5 85,2
Donde
• t: tiempo medido a partir del instante de salida de la hostería.
• ∆t: intervalo de tiempo transcurrido entre dos referencias sucesivas.
• d: distancia recorrida por el automóvil desde que salió de la hostería.
• ∆d: distancia recorrida entre dos referencias sucesivas.
• vmedia= ∆d / ∆t: rapidez media entre dos referencias sucesivas.
[image:2.612.83.542.214.588.2]A partir de estos datos se pueden construir los gráficos de “distancia recorrida v/s tiempo” (figura 2a) y su correspondiente “rapidez media en función del tiempo” (figura 2b).
Se observa que la distancia recorrida siempre es positiva y creciente, y su rapidez media de cambio entre dos instantes es siempre positiva. La rapidez instantánea de cambio de distancia recorrida es lo que marca el velocímetro del automóvil.
Mirando sólo estos gráficos, ¿Se podría decir en que instantes el móvil se devolvió a la hostería? La respuesta es no. El
cuentakilómetros del auto aumenta su cuenta siempre, independientemente de si el auto va de Santiago a Valparaíso o viceversa. Similarmente, el velocímetro del auto siempre marcará un valor positivo independiente de la trayectoria seguida. Luego, la información que proporciona la distancia recorrida respecto del movimiento es incompleta.
A continuación, describiremos la misma situación anterior, consideraremos la posición del auto con respecto a la hostería a lo largo del camino. Para ello considere la siguiente tabla, obtenida con los mismos datos anteriores.
t[min] ∆∆∆∆t[min] s [km] ∆∆∆∆s[Km]
vmedia_s [Km/h]
0 0
18 26,5 88,3
18 26,5
8 8,3 62,3
26 34,8
7 -8,3 -71,1
33 26,5
13 0 0,0
46 26,5
9 8,3 55,3
55 34,8
43 33,8 47,2
98 68,6
Donde
• s: distancia del auto a la hostería (a lo largo del camino).
• ∆s: Cambio de posición entre dos referencias sucesivas.
• Vmedia_s= ∆s / ∆t: rapidez media correspondiente.
(a) (b)
[image:3.612.102.507.400.644.2]En la tabla, se observa que los cambios de signo indican cambios en el sentido del movimiento.
A partir de estos datos se pueden construir los gráficos de “posición v/s tiempo” y su correspondiente “rapidez media en función del tiempo”.
Estos gráficos nos proporcionan una información más completa respecto del movimiento del auto, pues a partir de él podemos conocer cuando el auto se aleja de la hostería o se acerca a ella.
Usualmente, el movimiento será descrito en términos de su posición con respecto a un punto de referencia convenientemente establecido.
B) Modelo General para el movimiento rectilíneo con aceleración constante en
una dimensión
En la figura 4 se muestra un móvil en el instante t = 0. El sentido del eje indica los valores positivos.
El modelo general para el movimiento rectilíneo en una dimensión está dado por:
( )
20 0
0 a t
2 1 t V X t
X = + +
[1]
( )
t V a t V0 0 +
= [2]
( )
t a0A = [3]
Donde
• X(t): posición del móvil en función de t.
• V(t): velocidad del móvil en función de t.
• A(t): aceleración del móvil en función de t.
• X0: posición del móvil en t=0. • V0: velocidad del móvil en t=0. • a0: aceleración del móvil en.
(a) (b)
Figura 3) (a) Gráfico de posición v/s tiempo; (b) Gráfico de rapidez media de cambio de posición en función del tiempo
O a0 X0 V0 X t=0 O a0 X0 V0 X O a0 X0 V0 X X0 V0 X t=0
[image:4.612.81.534.338.651.2]Si a0 = 0, se habla de Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU), o movimiento con velocidad
constante. Si a0 ≠ 0, se habla de Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado (MRUA), o
movimiento con aceleración constante.
La posición, velocidad y aceleración de un móvil son cantidades físicas vectoriales. Como el movimiento es unidimensional, la dirección de éste es siempre la misma, dada por el vector unitario
xˆ, por lo que los vectores pueden tener dos orientaciones posibles: +xˆ y -xˆ. Para simplificar la
notación, se suelen omitir los vectores unitarios, trabajando solamente con las magnitudes.
C) Velocidades media e instantánea, aceleraciones media e instantánea.
Tal como a cualquier cantidad física, se pueden aplicar los conceptos de rapidez media y rapidez instantánea de cambio a la posición y velocidad de un móvil.
En referencia a la figura 5, podemos decir que X1 y X2
son las posiciones del móvil, y que V1 y
V2 corresponden a
la “rapidez instantánea de cambio de posición
del móvil” en los instantes t1 y t2, respectivamente. Asimismo, a0 es la “aceleración instantánea de
cambio de posición del móvil” o “rapidez instantantánea de cambio de velocidad del móvil” en los instante referidos. Para a0 constante, esta aceleración es la misma en t1 y t2.
La rapidez media de cambio de posición del móvil entre t1 y t2 se define como:
1 2
1 2 2 1
t t
X X V
− − =
→ [4]
La aceleración media de cambio de posición del móvil (o “rapidez media de cambio de la velocidad del móvil”) entre t1 y t2 se define como:
1 2
1 2 2 1
t t
V V A
− − =
→ [5]
0
x
t = t1 t = t2 V(t1) = V1 V(t2) = V2
X(t1) = X1 X(t2) = X2 a0
En la siguiente tabla se resumen las diferencias entre rapideces y aceleraciones medias e instantáneas
Media (entre t1 y t2) Instantánea (en t)
Rapidez
1 2
1 2
t t
X X
−
− V0 +a0t
Aceleración
1 2
1 2
t t
V V
−
− a0
Muchas veces se suele hablar de “velocidad” y “rapidez” de un móvil. Para efectos de este curso, el término velocidad se referirá al vector velocidad completo (incluyendo magnitud y orientación
xˆ
+ ó -xˆ), mientras que el término rapidez es un escalar que se referirá solamente a la magnitud
del vector velocidad, que a su vez es igual a la rapidez instantánea de cambio de la distancia recorrida.
D) Retardo y adelanto de movimientos.
En más de una ocasión hay problemas en los cuales el movimiento de uno de los móviles implicados parte con
un retardo o adelanto
respecto a la referencia t = 0.
Tales situaciones se enfrentan de la siguiente manera (ver figura 6).
• Si el movimiento parte con un retardo de T, las ecuaciones de posición y velocidad se evalúan en t –T
• Si el movimiento parte con un adelanto de T, las ecuaciones de posición y velocidad se evalúan en t +T
X
t
X(t)
T
-T
0
X(t-T)
X(t+T)
[image:6.612.102.547.345.604.2]Estos criterios se especifican en la siguiente tabla:
Inicio Ecuación de posición Ecuación de Velocidad
t = 0
( )
20 0
0 a t
2 1 t V X t
X = + + V
( )
t =V0 +a0t Retrasado en T(
)
(
)
(
)
20 0
0 a t-T
2 1 T -t V X T -t
X = + ⋅ + ⋅ V
(
t-T)
=V0 +a0 ⋅(
t-T)
Adelantado en T(
)
(
)
(
)
20 0
0 a t T
2 1 T t V X T t
