ABF EBD son semejantes (es

1 1

Resuelve

Página 29

El pentágono estrellado

Observa el pentágono estrellado que se muestra a continuación:

1. Demuestra que los triángulos ABF y ABFABF y EBDEBDEBD son semejantes (es son semejantes (es decir, demuestra que sus ángulos son respectivamente iguales).

2. Si llamamos l al lado del pentágono y ll al lado del pentágono y ddd a su diagonal, basándote a su diagonal, basándote en la semejanza de los triángulos que acabas de demostrar, halla la relación

l

d y comprueba que es el número áureo:

l d ₌

2 5 1 5 1+ 5 1 _{= ϕ}

E FFF

D l

d B

A C

El ángulo B^ = 36° en el triángulo ABF, y ABF, y ABF B^ = 36° en el triángulo EBD. Por otra parte los triángulos DAB y EBD son iguales, luego el ángulo EBD son iguales, luego el ángulo EBD A^^ = 36° en el triángulo = 36° en el triángulo

en el triángulo ABF, y ABF, y ABF D. Por otra parte los triángulos . Por otra parte los triángulos ^^ en el triángulo EBD son iguales. Por tanto los triángulos son semejantes.

El lado AF = AF = AF d – d – d l.l.l

Por la semejanza de los triángulos ABF y ABF y ABF EBD; BD_BF =ED_AF ; es decir, d_l = _{d ld ld l}l_– Operando, d(d – d – d l) = l2_{, por tanto d}2 _{– dl – dl – dl l}2 _{= 0.}

Las soluciones posibles para d son d l= ±lllllll±±±±±±±±±±±±±±±± llllllll2222₂2++4444444 =444 l44 l44444l22222 l 1± 5₂

Como d no puede ser negativa, d no puede ser negativa, d d ld ld l 1 5= 1 51 51 51 51 5 , y +₂ l

d = 1 51 51 51 51 5_{1 5 =} +_{2 ϕ}

1

Lenguaje matemático: conjuntos y símbolos

1 ¿Verdadero o falso?

a) El conjunto coloreado de la izquierda se puede designar A – B.

Verdadero, porque la parte coloreada está formada por todos los elementos de A que no están en B.

b) El conjunto coloreado de la izquierda se puede designar A∩B'B'B'..

Verdadero, porque la parte coloreada está formada por todos los elementos de A que no están en B, ya que B' es el complementario de B' es el complementario de B' B.

c) El conjunto coloreado de la derecha se puede designar: (A

(A

( – B) BB) ∪ (B – BB A – )

Verdadero, porque para que un elemento esté en el conjunto coloreado, o está en A y no está en B, o está en B y no está en B y no está en B A.

A B

d) El conjunto coloreado de la derecha se puede designar: (A

(A

( ∪BBB) – () – () – (A) – (A∩BBB))

Verdadero, porque para que un elemento esté en el conjunto coloreado, tiene que estar en A o en B, pero no puede estar en los dos a la vez (A

pero no puede estar en los dos a la vez (A pero no puede estar en los dos a la vez ( ∩B).B).B

e) El conjunto coloreado de la derecha se puede designar (A e) El conjunto coloreado de la derecha se puede designar (A

e) El conjunto coloreado de la derecha se puede designar ( ∩B' ) ∪ (A' (A' ( ∩BBB).).

Verdadero, porque para que un elemento esté en el conjunto, o está en A y no está en B, o está en B y no está en

B y no está en

B A.

f ) x∈

Z

Q

Verdadero, porque todos los números enteros son racionales.

g)

[

]

(n•) es el conjunto de los múltiplos de n.

Verdadero, porque si un número es a la vez múltiplo de 2 y de 3, entonces es múltiplo de 2 · 3 = 6.

h) (3) • ∩ (2) = (• 66•••)

Es la misma afi rmación anterior.

i) x∈A – B ⇒ x∈A∩B'

Verdadero, porque los elementos de A – B están en B están en B A y no están en B, luego están en A y en B'.B'.B'

j) (x j) (x

j) ( ∈A ⇒ x∈B ) es lo mismo que decir A ⊂ B.

Verdadero, porque la implicación indica que todo elemento de A es un elemento de B.

k) (x k) (x

k) ( ∈A ⇒ x∈B ) ⇔ A ⊂ B

Tenemos que comprobar que las dos siguientes afi rmaciones son ciertas: (x∈A⇒x∈B) ⇒A⊂B que es la afi rmación del apartado j)B que es la afi rmación del apartado j)B

A⊂B⇒x∈ A ⇒x∈ B , pero si B contiene a A, es porque todos los elementos de A están en B, luego son equivalentes y es verdadera la afi rmación.

l) (x l) (x

l) ( ∈A ⇒ x∈B ) ⇒B ⊂ A

Falso, porque puede existir algún elemento de B que no esté en B que no esté en B A.

3

m) x∈ (0, 1) ⇔x∈

Á

Verdadero, porque los intervalos representan conjuntos de números reales y el intervalo (0, 1) está formado por los números comprendidos entre 0 y 1 que son mayores que 0 y menores que 1, luego son afi rmaciones equivalentes.

n) 2 ∉ (

Á

Q

Á

Q

Verdadero, porque 2 es un número real que no es racional y es mayor que 1, sin embargo 2/2 también es irracional, pero está entre 0 y 1.

ñ) 0,5 ∈ (

Á

Q

Falso, porque 0,5 es racional.

o) (

Á

Q

Verdadero, porque son los números reales que no son racionales, es decir, irracionales, y además tie-nen que ser mayores que cero, por tanto positivos, y menores que 1.

p) {x∈

Z

Z

Z

Verdadero, porque los únicos números enteros mayores que –2 y menores o iguales que 5 son los del conjunto indicado.

q) El conjunto de los números enteros mayores que –5 y menores que 7 es

Z

Verdadero, porque, de los números enteros mayores que –5 y menores que 7, están en el intervalo (–5, 7) y además son enteros.

r) (x r) (x

r) ( es un número real pero no es racional) xx es un número real pero no es racional) ⇔x∈

Á

Q

2

Números reales. La recta real

Refl exiona y resuelve

Observa cómo se sitúan estos números en los conjuntos numéricos:

Ahora, en tu cuaderno, sitúa los siguientes números en un diagrama similar:

– 13 _{; 4,5; 6; 10; 16}4_{– ; 2}3_{– ; 27/5; 27/3}

7,3 4,5

–2

5 √— √— √64

√— √— √–8 √–8 √ –3√3√3√√6—— 3

√ 3 √ 3— √— √–27 √–27 √

√— √— √3

6, 27₃ ∈

N

Z

Z

Z

Q

Á

6

3 √ 3 √ 3— √— √–2 √–2 √ –3√

–√

–3√3√√1—— √√√10——

27 —₅

27 —₃

Página 33

1 Representa los siguientes conjuntos:

a) (–3, –1) b) [4, +∞) c) (3, 9] d) (– ∞, 0)

e) {x / –2 ≤ x < 5} xx < 5} f ) [–2, 5) f ) [–2, 5) ∪ (5, 7] g) (– ∞, 0) ∪ (3, +∞) h) (– ∞, 1) ∪ (1, +∞)

g)

0 3 h) 0 1

e)

–2 0 5 f) –2 0 5 7

c)

0 3 6 9 d) 0

a)

–3 –1 b) 0 4

2 Averigua y representa para qué valores de x se cumplen las siguientes relaciones:xx se cumplen las siguientes relaciones: a) | x | = 5 b) | x | ≤ 5 c) | x – 4| = 2xx – 4| = 2

d) | x – 4| ≤ 2 xx – 4| ≤ 2 e) | e) | xxx – 4| > 2 – 4| > 2 f ) | f ) | xxx + 4| > 5 + 4| > 5

a) 5 y –5

b) – 5 ≤ x ≤ 5; [–5, 5]x ≤ 5; [–5, 5]x

c) 6 y 2

d) 2 ≤ x ≤ 6; [2, 6]x ≤ 6; [2, 6]x

e) x < 2 o x < 2 o x x > 6; (–x > 6; (–x ∞, 2) ∪ (6, +∞)

0 2 6

0 2 6

–5 0 5

0 2 6

5

3

Radicales. Propiedades

Página 34

1 Simplifi ca.

a) x9 12 _b) 12_x8 _c) 5 _y10

d) 86 _e) 9_{64 f )} 8₈₁

a) x9 12 _{= x}3 _{4 Se dividen índice y exponente entre 3. b) x}12_xxxxxxx88=3_xxxxxxxx2 c) y5 _yyyy1010_=yyy_yy 2 _{d) 8}6_{88888888888====}66_2222222222223_{==== 2} e) 649 ₌₌₌₌₌₌9₂2_22222222222266₌₌₌₌₌₌33₂₂2_222222222222₌₌₌₌₌₌34 _{f) 81}8 ₌₌₌₌8_3333333344_{==== 33333333}

2 ¿Cuál es mayor, 314 _{o 13}3 _?

Reducimos a índice común: 314 ₌1229791_{; 13}3 ₌12₂₈₅₆₁ Por tanto, es mayor 314 _.

3 Reduce a índice común. a) a12 5 _{y a}18 7

b) 513 _{y 132 650}9

a) a12_aaaaaaaaa55₌3636_aa_{aa ; aaaaaaa}15 18_aaaaaaaaa77₌3636_aaaaaaaaaa14 b) 513 =9132651; 1326509 4 Simplifi ca.

a) aaaaaaaaaaa kkkkkkkkkkkkk8 b) 53x10 _c) 3_{( )( )( )( )( )( )x 6}

a) k_`8_kkkkkkjj88_{=kkkkk b) k}k 15_xxxxxxxx1010₌3_{xx c) xxxxxx}2 6_xxxxx66_=xxxxx

Página 35

5 Reduce.

a) 23₂22₂₂₂₂·55_{2 b) 2}2₂₂22₂ 3_99999999·66_{3333 c) 3333 22222222222222222···}44_{22222222222222222···}88_{22222222222222222}

d) 84₈88₈₈₈₈·33_{4 e) 44}4₄₄44 4_{125 55 55 55 55 55 5 f ) ·} 3_{81 3·}

a) 215₂2₂₂₂₂₂₂55··15152₂₂₂₂₂₂2₂3₌1528 b) 36₃3₃₃₃₃₃₃44··66₃3₃₃₃₃₃3₃₌635 c) 8_2222222222244·_·····_·88₂₂₂₂₂₂22₂₂₂2_······ 2_·8_2222222=88₂₂₂₂₂₂2₂7

d) 12_8888888888₈833_···_{················}·_·······_···121212₄4₄4_4444444444_========1212_{(((((((((((((((((((((}( ) ·( )((2_((((((22₂₂₂₂2₂₂₂₂₂3 33 33 33 3_{) ·) ·) ·) ·) ·( )) ·) ·}) ·_{) ·}) ·( )_{) ·) ·( )( )( )( )( )}( )_{( )( )2}2₂₂₂₂2₂₂₂₂2₂2 42 4_========122₂₂₂₂1717₌2 2₂₂₂₂12 5

e) Se factorizan los radicandos y se reduce a índice común:

125 5 5 5 5 5 5

4 _{$$$$$$$$$$$$$$$ 55555555555555555555555555555===========}44_{55555555555555555555555555555}333_{$$$$$$$$$$$$$$$}4_55555555522_===========44_{55555 5 55555}5_{=5 55 55 55 5}44

f) Se factorizan los radicandos y se reduce a índice común: ( )

a) x x 3 5 b) a b a b a b·

a b a b·

a b

3 c) _a

a 2 3 3 6 d)

a b c a b c

· ·

a b· ·

a b

· ·

a b· ·

a b

3 _c3 3 _c3 3 5

a b3 5

a b 4

a) x x

x1 x 5

3 15

2 15 2

15 _–

= =

= =

= = b)

a b

a b _{a b} 2 2 a b2 2 a b

3 3 a b3 3 a b

6 ₌₆

c) a a a a 1 4 3

6 ₌₌₌6 _{===6 –1 d)}

a b ca b c2 6 bca 1c bca a b2 6

a b 6 3 5 a b3 5 a b 4

5

4 4

= =

= = _{c bc bc b}

= =

7 Reduce.

a) 3 32 3 b) 3 9

3 c) ₂

16 5 d) 3 729 4 a) 3 3 ₃ 3 4 ₆

= b)

3

3 _{3 3}

2 6

6 ₌₌₌₌6_{33333333344====}33_3333333332

c) 2

2 _{2 8}

5 8

10 ₌₌₌₌10_{22222222233====}1010_{888 888888 d)}

3

3 _{3 3}

2 6

4 ₌₌₌₌4_{3 33 33 33 344====}

8 Suma y simplifi ca.

a) x5555555 xxxxxxxxxxxxxxxxx++++++3333333 xxxxxxxxxxxxxxxxxx++++++2 x b) 9 29 29 2········ ++ 2525 225·· 2······2222– 22 c) 2222 18+ 50–––– 222222–––– 888888 d) 27––––– 505050+++++ 12+ 8 e) 50aaaaaaaa– 1818aaaaaaaa f) 316₊354–3250

a) 10 x

b) 3 2 5 23 2 5 23 23 2++++++++++5 25 25 25 25 25 25 25 25 25 2–– 2 72 72 7 2==========

c) 18_{+++++++++++++++++++ 50 –}50_{50––––––––– 2222222}2_{22222222––––––––––} 8_{888888888888888===================} 2 32 32 3_··_··_······ 222222222_{++++++++++++++++++++++++ 2 52 52 52 52 52 52 52 5 –}2 5_{2 52 52 52 5·}·_··_······ 222222222_{––––––– 222}2_{222222222222–––––––– 2222222}2 3 2 5 2_{2222 3 22222}333_{========================3 2 5 23 2+++++++++++++++++5 25 25 25 25 25 25 25 25 25 2––––––––} 2 2 2 5 2_{2 22 22 2 2 52 22 22 2–––––––– 2 5=================} d) _333333333₃₃3₃₃₃₃₃333333333_{––––––––––––––––––––––––––}––––– _{222 52}2 5₂2₂₂2 ·_{22222 5222··}·_·······_{········}·_·······_·····_{·······}·_······_····_{·············55555555}5_{55555555555555555555555555555}5522222222_{+++++++++++++++++++++ 2222222}2_2222222222222_222222222_{222 322222222}2₂222222222_···_{····· 3·}·_{··················}·_··· 3_{·· 3···}·_···· 3_···_{········}·_{········}·_{33333333333333}3_{333333+++++++++++++++++++++ 2222222222}2 3 3 5 2 2 3 2 2 5 3 3 2₂₂₂₂₂2_{22 3 32222 =22}2333333333_{============3 33 33 33 33 33 3 5 23 3 5 23 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 3––––––––}––_{––––––––}––_{–––––––––}–_{–5 25 25 25 25 25 25 2 2 35 25 2+++++++++++++2 3 2 22 3+++++2 22 2 5 32 22 22 22 22 22 22 22 2=====5 35 3 3 2}–_{3 23 2}

e) · · a2 52 5· ·· ·222222 a_aaaaaaaaaaaaaaa_aa_aaa_aa_aaaaa_aaaa_–––_{–––––––––––––}––– _{2 3}2 3_{2 3}2 3_{2 32 3}2 32 32 32 32 3· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·222222 _aa_aa_aaa_{aaa =}a_{a 5 2a}a_aaaa_aaaaa_aaa_aaaaaaa_{================5 25 25 25 25 2}5 2_{5 25 25 25 25 25 25 25 25 2a5 25 25 25 25 25 2a}aa_aa_aaaaaa_{aaaaaaaaaaaaaaaaa}a_aaa––––_{–––––––––}––_–––_{–3 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 2}3 23 23 23 2_{3 2aaaaaaaa}a_aaaaaaaa 2 2_{aa 2 2}a_aaaa_{aaaaaaaaa=================2 22 2}a

f) Se factorizan los radicandos y se sacan factores de la raíz:

16 54–– 250 222 2 322 –– 2 5 2 2 3 2 5 2 0 3 _{+++++++++++++++}333_{5454––––––––––––––––––––––}333_{250250250250250250===============}3_{222222222222222222222222222}44_{++++++++++++++++++++++}33_{222222222 32222222222222 ·22 3222·························333333333333333333333333333}3333_{––––––––––––––––––––––}33_{2 5 22222222222222222222222222222··5 2························5 25 25 25 25 25 2}3333_{======================} 3333333_{2 32 32 32 32 3 2 52 32 32 3++++++++++++++} 3333333_{2 52 52 52 52 5 2 0––} 333_{2 0==============}

Página 36

9 Racionaliza denominadores y simplifi ca cuanto puedas.

a) 7

5 b) 4

3

3 c) ₃7 d) _a1₃

e)

503 f) 184 g) 3225 h) 3₄₀1

i) 36 3

3 j) 3₁₀₀2

a) 7 5

7 5 7

= 5 75 75 7 b)

4 3 2 3 2 3 2

3 3 2

3 3 23 3 2 = = 3 23 23 2

= =

c) ₃7 3 7

3 21

= =

= = d)

a a a a a

1 1

3== _{a aa aa a} == 2 e)

503 == 2 52 53·· 2== _{5 25 25 2}5 23 =3 23 23 23 210 f) ₁₈4 = _{2 32 3}4_·· 2 ===_{3 23 23 23 2}4 === 4 24 24 2 2 24 2₆ ===2 22 22 2₃ g) 25 2 5 2 5 2 5

3 3 2

3 2 53 2 5 = = 2 52 52 5

= = h)

40 1

2 5·

2 52· 2 51 10 5

1025 3 33333_{2 52 52 52 52 52 52 5 2 52 5}33333 _{2 5}33333

2

3 3

= ₃ = ₃ = =

2 5 2 5 2 5

= = = =

7 10 Racionaliza denominadores y simplifi ca cuanto puedas.

a) 2 11 2 1+

2 1 b) x y

x y x+ y x y x y+

x y x y x y

x y c) aa– d) –11 x y

x y x– y x y x+ y x y x y x y x y x y x y x y e)

2 31– 5 2 3 2 3

2 3 f ) 3 2 2 3

3 2 2 3 – + 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 2 32 32 3

2 3 2 3

2 3 g) 12++++ 2 12 12 1111– ++++ 2 12 12 11+ h) xxxxxx111– yyyyyy ++ xxxxxx+111 yyyyyy

a)

( ( )

( )( ( 2 ( 2 ( 2 ( 2

( (

( )( ( 2 ( 2 ( )(

( 2 1( 1 2 12 1 2 1 ( 2 ( 2

( 1 ( ( 2 ( 2

( 22––2 12 1–( 22++ 2 12 12 12 1–– 2 12 1– ( 2 ( 2

( – ( + ( 2 ( 2

( (

( )( ( 2 ( 2 ( )( ( – ( + ( )( ( 2 ( 2 ( )(

( (

( 2 ( 2 ( – ( + ( 2 ( 2

( (

( 2 ( 2 ( 1 ( ( 2 ( 2 ( – ( + ( 2 ( 2 ( 1 ( ( 2 ( 2

( ( = =

( (

( (

( 222222222––– ( 222222222+++ = =

b) ( ( )( ( )( ) ) ) ( ) ( ) ( ) ( )()( ) x x y (x y)

( )(( x ((

x y x x x y

y x)( y x)( y

y y

( y ( y

( y)) ( y))

( ) ( )

( y ( y

( ) ( )

( yyyyy)))))))))))))) (x y)(x yx y)(x yx yx y)()()()()()()()()()( xx yyyyy)))))))))))))) x y y x y y

– –

x y– –

x y– x yx y– –

) )

y) y)

– yy)))) )()()()( – yy)))) – yy)))))) x yx y)()()()( – yy)))))) – yy)))))))) x y)(x y)(x yx y)()()()()()( – yy)))))))) – yy)))))))) x y)(x y)()()()()()()( xx– yy)))))))) – y)))) xx– y))))

( – ( –

( (

( y ( y

( – ( –

( y ( y

( – yy)))) ( – yy))))

( ) ( )

( y ( y

( ) ( )

( – ( –

( ) ( )

( y ( y

( ) ( )

( – yy)))))))) (x yx yx yx y – yy)))))))) ––––x yx y y xy x–––– (x y)

( + ) (x y)

( ) –– yyyyyy)))))))))))))))))))))))) ₌ x yx yx yx yx yx yx yx yx yx yx yx y++ –– yyyyyy)))))))))))))))))))))))_{) =} + + – + – – – ( ( ( (

( –– yyyyyyy))))))))))))))) ( –– yyyyyyy) x x)))))))))))))) x xx x y x y x y x ( ( ( – ( – ( ( ( ( ( – ( – ( (

( yyyyy))))))) ( yyyyy))))))) ––––x y y xx yx yx yx yx yx y y x y yy xy xy xy xy x–––– y yy y

c)

((((((((((((((aaaaaaaaaaa––1111111111))))))())))))())()()( a( aaaaaaaaaaaa+++++++++++++++11111111111111111111111111111111111111111111111111111))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))) ==((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa––(((((((11111111a)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))()))))())))))))))))())))))))())))))))))))))))())))))))))))))))))))))))))–(((((((((((((((((((((((((((((1aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa)))))))++++++++++++++111111111111111111111111111111111111111111111)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))) == a+1

d)

( )( )

( )( )

x y ( x y)

( ) x(( x yy)) x y

( x y)

( ) x(( x yy))

x y x y 2 xy ( x y)

( – ) ( x y)

((((((( xx+++++ yy)())())))(((((((( xxxx++++++ yyyy))))) = + +))))) x yx y+ +x yx y–

( )

( )

( x y) ( x y)

( )

( )

( x y) ( x y) ( x y)

( )(((((((((( xxxxx yyyyy))))))))))

( )

( )

( x y) ( x y)

( )

( x y) ( + ) + ( x y)

( )

( )

( x y)

( )

( x y) ( + ) + ( x y) ( x y) ( x y)

( +++ )(((((((((((((((( xxxxx+++ yyyyy))))))))))))))))

e)

( ( )( ) )

(2 3 ) ( 5 2) ( 5 2)

( ((((2 35 2)(((( 53)))) 5)))) 2 312 55 2 37 5

( – )

( (( )+(((( 33))+ 55)))) = –+ = +

( )

(2 3 )

( )

( )

(2 3 )

( )

( )

(2 3 )

( )

( )

( )

( ((((((((((((2 32 32 3)(((((((((((( 333)))))))))))) 555)))))))))))) 2 32 32 3 2 32 32 3

f) (((((((((((((((((((((((((3 23 23 23 2_{18 12}+_–2 32 32 32 3)))))))))))))))))))))))))2 = 18 12 12 6+ ++ +1212₆ = 30 12 6 5 2 6+₆ = += +5 25 2

g) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1

2 11–– 2 11 (( 2 1)()( 2 12 22 2(((((()) 2 2––2 21 21 21 2(((()))()))((( 11))))1)))) 22(( 2 1)) ((2 1) 2 2 2) 2 22 2(((( 11)))) 2 522 5 22

2 1– –

2 1––– 2 12 1 (((((( 2 12 1–––––––––––––––– ))()))()(((((((((( 2 12 12 22 22 22 2(((()))))))))))) –––2 22 22 22 2(((((()))) 11)))))) 2(2((((( 2 12 1–––––––––––––––– )))))) ((((((2 12 1––––––– )))))) 2 22 2(( – ))22––––––– 22

+ 1 +

+ 1 +

2 1+ 2 1 2 1

– 2 12 1+ –

– 2 1 = –––––––––––– (((((((((((((((((((((((( 2 12 12 12 12 12 12 12 1+ ++ ++ ++ ++ ++ ++ ++ ++ +)))))))))))))))))))))))) – (((((((((((((((((((((((((( + ++ ++ ++ ++ ++ ++ ++ ++ ++1111111111111111)))))))))))))))))))))))))) 2222222222222222 –––––––––––– = –––––– + ++ ++ ++ ++ ++ +2 2 +2 22 22 22 22 22 22 2+ –––––– = =

+ +

– –

– ((( –– )))((((((( ))))))) – ––

– –

– 2 22 2((((( – ))))) – 2 22 22 2((((((( – )))))))

– –––––––– 2 22 2((((( –2 22 22 22 22 22 22 21 21 21 2((((((((((((((((()))))((((((((( 1111111)))))))))))))))))))))))))) 222(2222(((((( –––––––– ))))))) –– 2 22 2 22 22 22 22 22 2111 22–– 222 222 5 25 25 2

+ + = =

4

Logaritmos. Propiedades

1 Halla.

a) logloglog₂₂ 16 b) logloglog₂₂ 0,25 c) logloglog₉₉ 1 d) logloglog₁₀₁₀ 0,1

e) logloglog44 64 f ) logloglog77 49 g) ln e 4 h) ln e –1/4

i) logloglog₅₅ 0,04 j) logloglog_66ccccc2121611_6mmmmm

a) logloglog 16 = log₂₂ loglog 2₂₂ 4 _{= 4 b) log} 2 log₂

log 0,25 = logloglog 2₂₂ –2 _{= –2} c) logloglog 1 = 0 ₉₉ d) log₁₀ 0,1 = log₁₀ 10–1 _{= –1} e) logloglog 64 = log₄₄ loglog 4₄₄ 3 _{= 3 f) log}

7 log₇

log 49 = logloglog 7₇₇ 2 _{= 2} g) ln e_{ee = 4} 44 _{h) ln eee}–1/4–1/4 _{= –}

4 1

i) logloglog 0,04 = log₅₅ loglog 5₅₅ –2 _{= –2 j) log} 6 log₆

log cccc₂₁₆₂₁₆11 mmmm = logloglog 6₆₆ –3 _{= –3}

2 Halla la parte entera de…

a) logloglog₂₂ 60. b) logloglog₅₅ 700. c) logloglog₁₀₁₀ 43 000. d) logloglog₁₀₁₀ 0,084. e) logloglog₉₉ 60. f ) ln e. g) logloglog₂₀₂₀ 450 000. h) logloglog_5,45,4 900.

a) 25 _{= 32 ; 2}6 _{= 64 ; 32 < 60 < 64} 5 < log₂ 60 < 6 ⇒log₂ 60 = 5,…

b) 54 _{= 625 ; 5}5 _{= 3 125 ; 625 < 700 < 3 125} 4 < log₅ 700 < 5 ⇒log₅ 700 = 4,…

c) 104 _{= 10 000 ; 10}5 _{= 100 000 ; 10 000 < 43 000 < 100 000} 4 < log₁₀ 43 000 < 5 ⇒log₁₀ 43 000 = 4,…

d) 10–2 _{= 0,01 ; 10}–1 _{= 0,1 ; 0,01 < 0,084 < 0,1} –2 < log₁₀ 0,084 < –1 ⇒log₁₀ 0,084 = –1,… e) 91 _{= 9 ; 9}2 _{= 81 ; 9 < 60 < 81}

1 < log₉ 60 < 2 ⇒log₉ 60 = 1,… f) ln e = 1e = 1e

g) log₂₀ 450 000; 204 _{= 160 000; 20}5 _{= 3 200 000}

Como 204 _{= 160 000 < 450 000 < 3 200 000 = 20}5_{⇒ 4 < log}

20 450 000 < 5. La parte entera de log20 450 000 es 4.

h) log_5,4 900 = 4,0337

5,44 _{= 850,31; 5,4}5 _{= 4 591,7}

Como 5,44 _{= 850,31 < 900 < 4 591,7 = 5,4}5_{⇒ 4 < log}

9

3 Aplica la propiedad 8 para obtener los siguientes logaritmos con la ayuda de la calculadora: a) logloglog₂₂ 1 500 b) logloglog₅₅ 200 c) logloglog₁₀₀₁₀₀ 200 d) logloglog₁₀₀₁₀₀ 40 En cada caso, comprueba el resultado utilizando la potenciación.

a) logloglo_logloglo1500 = 10,55; 2₂ 10,55 _{≈ 1 500 b)} log log lo log log lo

5

200 = 3,29; 53,29 _{≈ 200}

c) logloglo_{logloglo 100}200 = 1,15; 1001,15 _{≈ 200 d)} log log

lologloglo 10040 = 0,80; 1000,80 ≈ 40 4 Calcula sabiendo que logloglog A₅₅ = 1,8 y logloglog B₅₅BB = 2,4. = 2,4.

a) logloglog₅₅ B A

25 2

33 b) logloglog₅₅ B

A

5 2

3

a) logloglog₅₅ 3 ₂₅A_B2 = [2 log1₃ loglog A – log₅₅ log 25 – loglog₅₅ loglog B] = ₅₅B] = B ₃1 [2 · 1,8 – 2 – 2,4] = ,–0 80 8₃,, ≈ – 0,27

b) logloglog₅₅ BA 5

2 3

= logloglog 5 + _{55 2}3 loglog A – 2 loglog₅₅ loglog B = 1 + ₅₅B = 1 + B ₂3 · 1,8 – 2 · 2,4 = 1 + 2,7 – 4,8 = –1,1

5 Averigua la relación que hay entre x e xx e y, sabiendo que se verifi ca:

ln y = 2

ln y = 2

ln y xxx ln – – 5

5

Expresión decimal de los números reales.

Números aproximados

Página 41

1 ¿Verdadero o falso?

I. El precio de esta vivienda es, aproximadamente, de 390 000 €, con un error menor que

10 000 €.

II. El precio del menú del día es, aproximadamente, de 12 €, con un error menor que 1 €.

En I el error absoluto es mucho mayor que en II, pero el error relativo es menor.

I. E.R. < ₃₉₀₀₀₀10000 = 2,5641 · 10–2 _{= 0,025641 → E.R. < 2,6 %}

II. E.R. < ₁₂1 = 8,3333 · 10–2 _{= 0,08333 → E.R. < 8,3 %}

El error absoluto nos lo dicen y es mayor en I que en II. Hemos calculado el error relativo en cada caso y vemos que es verdadera la afi rmación.

2 Di una cota del error absoluto y otra del error relativo en las siguientes mediciones: a) Daniel le dice a su hermana María que la superfi cie de su casa es de 96,4 m2_. b) Por la gripe se han perdido 37 millones de horas de trabajo.

c) Juana gana unos 19 000 € al año.

a) E.A. < 0,05 m2_{; E.R. <} , , 96 4 0 0,

0 0_{, 5 = 5,1867 · 10}– 4 _{= 0,00051867 → E.R. < 0,05 %}

b) E.A. < 0,5 millones de horas = 500 000 horas E.R. < ,0 50 5₃₇,, < 0,014 = 1,4 %

c) — Si suponemos que los tres ceros fi nales se han utilizado para poder expresar la cantidad (es decir, que se trata de 19 mil , redondeando a los “miles de euros”), entonces:

E.A. < 0,5 miles de € = 500 € E.R. < ,

19 0 5,

0 5_{, < 0,027 = 2,7 %}

— Si suponemos que es 19 000 € exactamente:

E.A. < 0,5 € E.R. < ,

190000 50 5,, < 0,000027 = 0,0027 %

Página 42

3 Calcula en notación científi ca sin usar la calculadora:

a) (800 000 : 0,0002) · 0,5 · 1012 _{b) 0,486 · 10}–5 _{+ 93 · 10}–9 _{– 6 · 10}–7 a) (800 000 : 0,0002) · 0,5 · 1012 ₌

₍

₎

= (4 · 109_{) · 5 · 10}11 _{= 20 · 10}20 _{= 2 · 10}21 b) 0,486 · 10–5 _{+ 93 · 10}–_{9 – 6 · 10}–7 _{= 48,6 · 10}–7 _{+ 0,93 · 10}–7 _{– 6 · 10}–7 ₌ = 43,53 · 10–7 _{= 4,353 · 10}–6

4 Opera con la calculadora:

a) (3,87 · 1015 _{· 5,96 · 10}–9_{) : (3,941 · 10}– 6_{) b) 8,93 · 10}–10 _{+ 7,64 · 10}–10 _{– 1,42 · 10}–9 a) (3,87 · 1015 _{· 5,96 · 10}–9_{) : (3,941 · 10}– 6_{) ≈ 5,85 · 10}12

11

7

Fórmula del binomio de Newton

Página 45

1 Desarrolla: a) (x a) (x

a) ( + 3)xx + 3)5 _{b) (2x – xx x – xx} 2 2₎4 _{c) ccc}xx _{++ mmm}6

x

c_{2 x}m c₂ 1m c 1m c m c m

a) (x + 3)x + 3)x 5 _{= e oe o}55 0

e o_{0 x x x}5 _{+ e oe o}55 1

e o_{1 x}4 _{· 3 + e oe o}55 2

e o_{2 x x x}3 ₃2 _{+ e oe o}55 3

e o_{3 x x x}2 ₃3 _{+ e oe o}55 4

e o_{4 x · 3}x · 3x 4 _{+ e oe o}55 5

e o_{5 3}5 ₌

= x x x5 _{+ 15x x x}4 _{+ 90x x x}3 _{+ 270x x x}2 _{+ 405x + 243x + 243x}

b) (2x – x – x x x x2₎4 _{= e oe o}44 0

e o_{0 (2x)}x)x 4 _{– e oe o}44 1

e o_{1 (2x)}x)x3 _{· x x x}2 _{+ e oe o}44 2

e o_{2 (2x)}x)x2 _{· (x x x}2₎2 _{– e oe o}44 3

e o_{3 2x · (}x · (x x x x2₎3 _{+ e oe o}44 4

e o_{4 (x x x}2₎4 ₌

= x x x8 _{– 8x x x}7 _{+ 24x x x}6 _{– 32x x x}5 _{+ 16x x x}4

c) cccccccc₂₂xx ++ 11_xxmmmmmmmm6 = e b_{0 2}6o lxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxl6666666666++++++++++++++++++++++++eeeee₁₁6666_{1 2}ooooobbbbbxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxlll5555555555cc1_x11mm++++++++++++++++++++++++e b6_{2 2}o lx 4c_x1m2++++++++++++ee₃6_{33 2}oobbxxxll3++++++++++++c_x1m3+

+++++++++++++++++++++ee6_{0 200}oobbxxxll2cc1_x11mm444444444444444+++++++++++++++++++++ee66_{5 2}6oobbxllcc_xxx1_xxx1_xxxx1_xmmm555555555555555++++++++++++eee₆₆₆6₆oooccc111_xxxxxxxxxxxmm6============

=

x x x x x x

4152++++++ 15₁₆151516₁₆xx222++++++ 34 ++++++ ₁₆₁₆16333 xx444++++++ 16 ++++++₆₄₆₄64111 xx666++++++ 25

2 Calcula el coefi ciente de x5 en el desarrollo del binomio: 7

e – o ex – o ex _xo e_{2 x}o e₂ 3o e 2 3o e 2 o

e o

e o

Obtenemos el término k + 1 de la expresión kk + 1 de la expresión eeeeeeeeexx₂₂22 –– 3_x3_xooooooooo7:

k x x

7

2 –3

k k

2 7 –

e oc m c m

El grado de x en este término es 2(7 – x en este término es 2(7 – x k ) – k ) – k k, que tiene que ser igual a 5: 2(7 – k ) – k ) – k k = 5 k = 5 k ⇒k = 3k = 3k

El término de grado 5 es _e7_{3 2oc}x2 4_{m c––––}–_–3_xmm3_==–––_–––945₁₆ x5_.

E

jercicios y problemas resueltos

Página 46

1. Intervalos y valor absoluto

Hazlo tú. ¿Para qué valores de x se verifi ca |3xx se verifi ca |3xxx – 7| < 5? – 7| < 5?

|3x – 7x – 7x | < 5

Seguimos el razonamiento del apartado a) del ejercicio 1 de esta página: 3x – 7 < 5 x – 7 < 5 x → x < 4x < 4x

3x –7 > –5; 3x –7 > –5; 3x x > –2 x > –2 x → x > x > x ₃2

Los valores que verifi can la expresión son los del intervalo cccccc2 42₃₃,,4mmmmmm.

–1 0 _2— 1 2 3 4

3

3. Operaciones con radicales

Hazlo tú. Simplifi ca: a) 32

2 1 50

6 5 2 –

+ b) 88ababab··3a b_{a ba b}22

a) Factorizamos y sacamos factores de las raíces:

32_{+++ 2}1 501 501 ₅₀–– ₆5 2 222₌₌₌ 22555 ₂1 2 51 2 51 _{2 5}222–– ₆5 2 2 22 5 2₂ 5 2₆ 17 2₃ 6

+ ₆5 =

+ 5 2 2=

+ – 2= 2 –

+ –– 22= 22 ––

+ ––––––– 22= 22 +555555₊+₊++++++₊+ 1 2 5111 2 5_{2 5}2 52 52 52 5_{2 5}2 52 52 52 52 5_{2 5}2 52 5··· 222222––––––– 5₆₆5 2 22 2=₌=₌===₌==== _{+ =} 2

+ _{2 2} =

+ 2 ₆ =

+ ₆5 =

+ 5 2=

+ – 2=

+ – =

+ =

+ =

+ =

+ – = –

+ – = –

+ – = –

+ – = –

+ –_–––_–– 2222222= 22 +2222255555₊₊₊+₊₊₊₊₊ 22222_–––––– ₌₌₌₌==_{==== ++++++ ======}

+ =

+ – = –

+ ––– = +++ ––– === ++ == b) Reducimos los radicales a índice común y sacamos factores de las raíces:

( )

ab a b a b ( )( )aa bb a b a b a b a ab

8 · 8 ·

8ab· 8 ·

8ab a b 8 8 ·· a ba b 8 ··

8 ·· a b_{a ba ba b}22 8 ·· 2 2 2 2 2 2 8 a b_{a b}2 8

8 3a b 8

8 3 8

8 683 33 3_{a ba b}3

8 68

8 _{······ =======} 8 _{a ba ba ba b ···· a· ( )·}6_{( )( )( )( )( )( )( )( )( )aaaaaaa}2 22 22 2_bbbbbbbb2_======= 6_{a ba b}3 33 36_{a ba b}4 24 2 6_{a ba b}7 57 5 _{a aa a}66 5

8 = 8 =

8 · 8 ·

8 ·· = 8 ·· =

8 · 8 ·

8 = 8 =

8 · 8 ·

8 ·· = 8 ·· =

8 · 8 ·

8 = 8 =

8 · 8 ·

8 ·· = 8 ·· =

8 · 8 · ==₌₌=2 22 2 a ba b_{a ba ba ba b}7 57 57 57 5==₌=₌

8 · 8 ·

8 · 8 ·

8 · 8 ·

8 · 8 ·

8 8

8 8

8 8

8 = 8 =

8 · 8 ·

8 ·· = 8 ·· =

8 · 8 ·

8 8

8 8

8 = 8 =

8 · 8 ·

8 ·· = 8 ·· =

8 · 8 ·

8 == 8 == 2 22 22 2 ====2 22 22 22 22 22 22 2 ==== 2 22 22 2a aa aa a

Página 47

4. Racionalización de denominadores

Hazlo tú. Racionaliza: a)

5 2 3

4 b) _{2 5 32 52 52 5}11₊

a) Multiplicamos numerador y denominador por 54 _: ·

5 2

5 5

5 2 5 3

4 4

4₅ 4

4_{5 2 5}4

4 _{2 5}4

=

4 _{2 52 52 5}4

b) Multiplicamos numerador y denominador por 2 5 32 52 52 5– :

( ( )( )) ) ((· ))

2 511++++333333333= (((2 5(((2 52 52 52 52 52 511 2 5++++333333333 2 5 3–––––––3333333333333333333333))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))– =11111111111111114 54 5((((((((((((((((2 52 52 52 52 52 52 5···· ––––––––93333333333333333333333)))))))))))))))))))) 2 5))))))))))))))))))))))))))))))))= –3 2 5

2 5