Software de aplicación al cálculo de cargas, rotaciones,deflexiones y deformaciones de estructuras en 2D mediante análisis matricial de rigidez (Direct Stiffness Method) “Demat”

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(1)UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS Ingeniería civil. SOFTWARE DE APLICACIÓN AL CÁLCULO DE CARGAS, ROTACIONES, DEFLEXIONES Y DEFORMACIONES DE ESTRUCTURAS EN 2D MEDIANTE ANÀLISIS MATRICIAL DE RIGIDEZ (DIRECT STIFFNESS METHOD) “DEMAT”.. Universidad Distrital Francisco José de Caldas 07/04/2017.

(2) UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS Ingeniería civil. 1. SOFTWARE DE APLICACIÓN AL CÁLCULO DE CARGAS, ROTACIONES, DEFLEXIONES Y DEFORMACIONES DE ESTRUCTURAS EN 2D MEDIANTE ANÀLISIS MATRICIAL DE RIGIDEZ (DIRECT STIFFNESS METHOD) “DEMAT”.. 2. CRISTIAN FELIPE GONZÀLEZ COBOS ESTUDIANTE INGENIERIA CIVÌL C.C.1018447889 de Bogotá Tel: 796 32 30 Correo Electrónico: INICIO DE CARRERA 2014-1. Código: 20141579063 Cel.: 319 634 79 94 qbex32 @hotmail.com TERMINACIÓN DE MATERIAS 2016-2. JUAN CARLOS MANRIQUE ÀLVAREZ ESTUDIANTE INGENIERIA CIVÌL C.C.1032424676 de Bogotá Tel: 760 88 93 Correo Electrónico: INICIO DE CARRERA 2014-1. Código: 20141579032 Cel.: 310 313 52 79 [email protected] TERMINACIÓN DE MATERIAS 2016-1. ENTIDAD: UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÈ DE CALDAS TIPO DE ENTIDAD: UNIVERSIDAD PÙBLICA PROYECTO CURRICULAR: INGENIERIA CIVÌL TIPO DE INVESTIGACIÒN: TEÒRICA LINEA DE INVESTIGACIÒN: ESTRUCTURAS PROYECTO DE GRADO PARA OPTAR EL TÍTULO DE INGENIERO CIVIL.

(3) UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS Ingeniería civil. SOFTWARE DE APLICACIÓN AL CÁLCULO DE CARGAS, ROTACIONES, DEFLEXIONES Y DEFORMACIONES DE ESTRUCTURAS EN 2D MEDIANTE ANÀLISIS MATRICIAL DE RIGIDEZ (DIRECT STIFFNESS METHOD) “DEMAT”.. CRISTIAN FELIPE GONZÀLEZ COBOS 20141579063 JUAN CARLOS MANRIQUE ÀLVAREZ 20141579032. MONOGRAFÍA PARA OPTAR EL TÍTULO DE INGENIERO CIVIL. UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS FACULTAD TECNOLÓGICA INGENIERÍA CIVIL BOGOTÁ D.C. 2017.

(4) UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS Ingeniería civil. SOFTWARE DE APLICACIÓN AL CÁLCULO DE CARGAS, ROTACIONES, DEFLEXIONES Y DEFORMACIONES DE ESTRUCTURAS EN 2D MEDIANTE ANÀLISIS MATRICIAL DE RIGIDEZ (DIRECT STIFFNESS METHOD) “DEMAT”.. CRISTIAN FELIPE GONZÀLEZ COBOS 20141579063 JUAN CARLOS MANRIQUE ÀLVAREZ 20141579032. MONOGRAFÍA PARA OPTAR EL TÍTULO DE INGENIERO CIVIL. TUTOR: ING. PAULO MARCELO LOPEZ P.. UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS FACULTAD TECNOLÓGICA INGENIERÍA CIVIL BOGOTÁ D.C. 2017.

(5) UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS Ingeniería civil. Nota de aceptación: ____________________________ ____________________________ ____________________________ ____________________________ ____________________________ ____________________________. ____________________________ Firma del jurado.... ____________________________ Firma del jurado……….. ____________________________ Firma del jurado………. Bogotá D.C., ______ de ____________ del 2017..

(6) UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS Ingeniería civil. DEDICATORIA. A nuestros padres, por la formación, educación y sabiduría que nos han transmito desde la niñez, para formarnos como personas integrales y de servicio a la sociedad. A nuestros hermanos y amigos, por el apoyo incondicional que nos ha permitido afrontar los problemas y circunstancias desfavorables a lo largo de nuestro camino..

(7) UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS Ingeniería civil. AGRADECIMIENTOS. Al ingeniero Paulo Marcelo López por darnos la iniciativa y seguimiento del proyecto. Sin su. colaboración no hubiera sido posible desarrollar esta idea. Al ingeniero Sebastián Sánchez por brindarnos apoyo en situaciones complejas que definieron el rumbo del proyecto. A nuestros profesores, quienes con su profesionalismo y entrega nos otorgaron los conocimientos para poder desarrollar este proyecto..

(8) UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS Ingeniería civil. Contenido INTRODUCCIÓN................................................................................................................................. 14 1.. IDENTIFICACIÓN Y DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA .................................................................... 15. 2.. JUSTIFICACIÒN .......................................................................................................................... 15. 3.. OBJETIVOS ................................................................................................................................. 16 3.1 OBJETIVO GENERAL................................................................................................................. 16 3.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS.......................................................................................................... 16. 4.. RESTRICCIONES DE USO ............................................................................................................ 17. 5.. MARCO DE REFERENCIA............................................................................................................ 18 5.1 MARCO DE ANTECEDENTES .................................................................................................... 18 5.2 MARCO CONCEPTUAL ............................................................................................................. 24 5.2.1 Estructura ......................................................................................................................... 24 5.2.2 Análisis estructural ........................................................................................................... 24 5.2.3 Elementos estructurales .................................................................................................. 25 5.2.4 Tipos de estructuras ......................................................................................................... 25 5.2.5 Apoyos.............................................................................................................................. 26 5.2.6 Cargas ............................................................................................................................... 27 5.2.7 Método análisis matricial ................................................................................................. 27 5.3 MARCO REFERENCIAL ............................................................................................................. 29 5.3.1 Principios fundamentales del análisis matricial ............................................................... 29 5.3.2 Definición geométrica de la estructura ........................................................................... 30 5.3.3 Sistema de coordenadas .................................................................................................. 31 5.3.4 Grados de libertad ........................................................................................................... 31 5.3.5 Matriz de fuerzas internas ............................................................................................... 32 5.3.6 Matriz global de rigidez.................................................................................................... 32 5.3.7 La relación elemental de la rigidez .................................................................................. 33. 6.. DISEÑO METODOLÒGICO.......................................................................................................... 35 6.1. Tipo de investigación ........................................................................................................ 35. 6.2. Población........................................................................................................................... 35. 6.3. Muestra ............................................................................................................................. 35.

(9) UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS Ingeniería civil. 6.4. Arquitectura del Software................................................................................................. 36. 6.5. Casos de Uso ..................................................................................................................... 37. Funcionamiento General ............................................................................................................... 37 Descripción...................................................................................................................................... 37 Normal.............................................................................................................................................. 37 Excepciones .................................................................................................................................... 38 Consolidación, Matriz inversa y calculo desplazamientos ....................................................... 39 Descripción...................................................................................................................................... 39 Normal.............................................................................................................................................. 39 Excepciones .................................................................................................................................... 39 6.6 7.. Diagrama de secuencia ..................................................................................................... 42. RESULTADOS ............................................................................................................................. 43 7.1. Vigas (programa dvigas) .................................................................................................... 51. 7.1.1 formulario de entrada del programa de vigas ................................................................. 51 7.1.2 formulario del cálculo de la matriz de rigidez en cada elemento .................................... 52 7.1.3 formulario del proceso de consolidación......................................................................... 59 7.1.4 formulario cálculo de desplazamientos desconocidos .................................................... 61 7.1.5 formulario graficas de cada elemento de la viga ............................................................. 63 7.2 Cerchas (programa dcerchas) ................................................................................................. 67 7.2.1 formulario de entrada del programa de cerchas ............................................................. 67 7.2.2 formulario del cálculo de la matriz de rigidez en cada elemento de la cercha ............... 68 7.2.3 formulario del proceso de consolidación......................................................................... 74 7.2.4 formulario del proceso de consolidación......................................................................... 76 7.2.5 formulario del resultado de las reacciones y desplazamientos desconocidos en la cercha .................................................................................................................................................. 77 7.3 Pórticos (programa dpinclinado) ............................................................................................ 79 7.3.1 formulario de entrada del programa de pórticos ............................................................ 79 7.3.2 formulario del cálculo de la matriz de rigidez en cada elemento del pórtico ................. 80 7.3.3 formulario datos entrada de fuerzas desconocidas para la consolidación del pórtico ... 88 7.2.4 formulario del proceso de consolidación de pórticos..................................................... 90 7.3.5 formulario del resultado de las reacciones y desplazamientos desconocidos en el pórtico .................................................................................................................................................. 91.

(10) UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS Ingeniería civil. 7.4 Ejemplos de los programas de vigas, cerchas y pórticos. ....................................................... 96 8.. CONCLUSIONES ....................................................................................................................... 113. 9.. RECOMENDACIONES ............................................................................................................... 114. 10.. BIBLIOGRAFIA ...................................................................................................................... 115. 11.. ANEXOS ............................................................................................................................... 116. 11.1. MAGNETICO DEEMAT ...........................................................¡Error! Marcador no definido.. 11.2. CODIGO FUENTE DEL SISTEMA ............................................¡Error! Marcador no definido..

(11) UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS Ingeniería civil. LISTA DE FIGURAS Figura 1. Módulos generales ............................................................................................................ 36 Figura 2. Relaciones del sistema ...................................................................................................... 37 Figura 3. Caso de uso Funcionamiento General del sistema ........................................................... 40 Figura 4. Consolidación, Matriz inversa y calculo desplazamientos ................................................ 41 Figura 5. Diagrama de secuencia ..................................................................................................... 42 Figura 6. Formulario de entrada y recomendaciones de uso .......................................................... 51 Figura 7. Formulario de datos de entrada para la ecuación general matricial de cada elemento. . 52 Figura 8. Elemento prismático de viga sometido a flexión y corte .................................................. 53 Figura 9. Planteamiento matricial del elemento viga. ..................................................................... 53 Figura 10. Significado físico de los términos de la matriz de rigidez de un elemento prismático sometido a flexión y corte. Donde los desplazamientos nodales no indicados explícitamente son cero. .................................................................................................................................................. 54 Figura 11. Primer listado de fuerzas de empotramiento ................................................................. 55 Figura 12. Segundo listado de fuerzas de empotramiento ............................................................. 55 Figura 13. Tercer listado de fuerzas de empotramiento ................................................................. 56 Figura 14. Ecuación general matricial de cada elemento ................................................................ 56 Figura 15. Matriz de rigidez del elemento viga ................................................................................ 57 Figura 16. Formulario de consolidación ........................................................................................... 59 Figura 17. Matriz de consolidación de las matrices de rigidez de cada elemento .......................... 60 Figura 18. Formulario calculo desplazamientos y reacciones desconocidas ................................... 61 Figura 19.Inversa de la matriz de consolidación. ............................................................................. 62 Figura 20. Formulario grafica de cada elemento ............................................................................. 63 Figura 21. Grafica de cortante ......................................................................................................... 64 Figura 22. Diagrama de momento ................................................................................................... 64 Figura 235. Formulario de entrada y recomendaciones de uso ...................................................... 67 Figura 24. Formulario de matrices de rigidez en cerchas ................................................................ 68 Figura 25. Orientación arbitraria en el plano, de un elemento de cerca ........................................ 68 Figura 26. Matriz rigidez en coordenadas locales ............................................................................ 70 Figura 27. Matriz de transformación del elemento ......................................................................... 71 Figura 28. Matriz de rigidez en coordenadas generales .................................................................. 73 Figura 29. Formulario datos de entrada de desplazamientos desconocidos .................................. 74 Figura 30. Formulario de consolidación de cerchas......................................................................... 76 Figura 31. Matriz de consolidación de cerchas ................................................................................ 76 Figura 32. Formulario del resultado de fuerzas y desplazamientos desconocidos ......................... 77 Figura 33. Formulario de entrada programa pórticos recomendaciones y uso .............................. 79 Figura 34. Formularios matrices de rigidez en elementos de pórticos ............................................ 80 Figura 35. Elemento de pórtico plano orientado arbitrariamente .................................................. 81 Figura 36. Primer listado de fuerzas de empotramiento para elemento del pórtico ...................... 83 Figura 37. Segundo listado de fuerzas de empotramiento para el elemento del pórtico .............. 83 Figura 38. Tercer listado de fuerzas de empotramiento para el elemento del pórtico................... 84.

(12) UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS Ingeniería civil. Figura 39. Fuerzas de fijación en coordenadas locales .................................................................... 84 Figura 40. Matriz de transformación del elemento del pórtico....................................................... 85 Figura 41. Fuerzas de fijación en coordenadas generales ............................................................... 85 Figura 42. Matriz de rigidez local y desplazamientos locales del elemento .................................... 86 Figura 43. Matriz de rigidez local del elemento de pórtico ............................................................. 86 Figura 44. Matriz de rigidez general y desplazamientos desconocidos en coordenadas generales 87 Figura 45. Datos de entrada de fuerzas desconocidas para la consolidación ................................. 88 Figura 46. Formulario de consolidación de pórticos ........................................................................ 90 Figura 47. Matriz de consolidación del pórtico ................................................................................ 90 Figura 48. Formulario de desplazamientos y fuerzas desconocidas en el pórtico .......................... 91 Figura 49. Formulario graficas de cada elemento del pórtico ......................................................... 93 Figura 50. Diagrama de cortante en el elemento pórtico ................................................................ 93 Figura 51. Diagrama de momento para el elemento del pórtico .................................................... 94 Figura 52. Ejercicio viga con asentamiento diferencial.................................................................... 96 Figura 53. Formulario cuadro de entrada, Ejercicio viga con asentamiento diferencial ................. 97 Figura 54. Formulario de los datos de entrada del primer elemento del ejercicio de viga, con asentamiento diferencial .................................................................................................................. 97 Figura 55. Formulario de los datos de entrada del segundo elemento del ejercicio de viga, con asentamiento diferencial .................................................................................................................. 98 Figura 56. Formulario de consolidación 1 del ejercicio de viga con asentamiento diferencial ....... 98 Figura 57. Formulario del cálculo de los desplazamientos desconocidos del ejercicio de viga con asentamiento diferencial .................................................................................................................. 99 Figura 58. Formulario del primer elemento para graficar, en el ejercicio de viga con asentamiento diferencial ....................................................................................................................................... 100 Figura 59. Formulario del segundo elemento para graficar, en el ejercicio de viga con asentamiento diferencial ................................................................................................................ 100 Figura 60. Formulario de grafica del primer elemento de la viga, en el ejercicio de viga con asentamiento diferencial ................................................................................................................ 101 Figura 61. Ejercicio de viga ............................................................................................................. 101 Figura 62. Formulario inicio del programa y recomendaciones de uso en ejercicio de viga ......... 102 Figura 63. Formulario del primer elemento en el ejercicio de viga ............................................... 102 Figura 64. Formulario del segundo elemento en el ejercicio de viga ............................................ 103 Figura 65. Formulario de consolidación del ejercicio de viga. ....................................................... 103 Figura 66. Formulario del cálculo de los desplazamientos desconocidos en el ejercicio de viga. 104 Figura 67. Formulario del primer elemento para graficar, en el ejercicio de viga......................... 104 Figura 68. Formulario de grafica del elemento de la viga.............................................................. 105 Figura 69. Ejercicio de pórtico inclinado ........................................................................................ 105 Figura 70. Formulario inicio del programa y recomendaciones de uso en ejercicio de pórtico inclinado .......................................................................................................................................... 106 Figura 71. Formulario del primer elemento del ejercicio de pórtico inclinado, correspondiente a matrices de transformación. ........................................................................................................... 106.

(13) UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS Ingeniería civil. Figura 72. Formulario del primer elemento del ejercicio de pórtico inclinado, correspondiente a las matrices de rigidez local y general........................................................................................... 107 Figura 73. Formulario del segundo elemento del ejercicio de pórtico inclinado, correspondiente a matrices de transformación. ........................................................................................................... 107 Figura 74. Formulario del segundo elemento del ejercicio de pórtico inclinado, correspondiente a las matrices de rigidez local y general........................................................................................... 108 Figura 75. Formulario de entrada de los desplazamientos conocidos y desconocidos en el ejercicio de pórtico inclinado ........................................................................................................................ 108 Figura 76. Formulario de consolidación en el ejercicio de pórtico inclinado ................................ 109 Figura 77. Formulario de desplazamientos y fuerzas desconocidas en el ejercicio de pórtico inclinado .......................................................................................................................................... 109 Figura 78. Formulario matriz inversa de la matriz de consolidación en el ejercicio de pórtico inclinado .......................................................................................................................................... 110 Figura 79. Formulario del primer elemento del ejercicio de pórtico inclinado, correspondiente a matrices de transformación y obteniendo el valor de los desplazamientos y fuerzas desconocidas ........................................................................................................................................................ 110 Figura 80. Formulario del primer elemento del ejercicio de pórtico inclinado, correspondiente a las matrices de rigidez local y general y la obtención de los desplazamientos y fuerzas conocidas ........................................................................................................................................................ 111 Figura 81. Formulario del segundo elemento del ejercicio de pórtico inclinado, correspondiente a matrices de transformación y obteniendo el valor de los desplazamientos y fuerzas desconocidas ........................................................................................................................................................ 111 Figura 82. Formulario del segundo elemento del ejercicio de pórtico inclinado, correspondiente a las matrices de rigidez local y general y la obtención de los desplazamientos y fuerzas conocidas ........................................................................................................................................................ 112 Figura 83. Formulario de grafica de los elementos de pórtico inclinado ...................................... 112.

(14) UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS Ingeniería civil. INTRODUCCIÓN. En el presente proyecto se muestra una trazabilidad de la Construcción de una herramienta complementaria para el curso de análisis de estructuras II que permite sistematizar, visualizar e interpretar el método matricial de rigidez de estructuras. El software facilita la evaluación del comportamiento estructural de vigas, cerchas y pórticos en 2D mediante una plataforma de visual Basic, de acuerdo a las configuraciones, condiciones y restricciones realizadas por el usuario. Por consiguiente, apoya al desarrollo de criterios de diseño gracias a su versatilidad mostrando y evaluando paso a paso el cálculo realizado del elemento analizado. Se adjuntan definiciones teóricas básicas del método matricial de rigideces que involucren la aplicabilidad del sistema. Adicionalmente, como soporte al desarrollo realizado se establece la operabilidad, alcance y posibles ampliaciones que puede surgir en el programa..

(15) UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS Ingeniería civil. 1. IDENTIFICACIÓN Y DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA Existen diferentes formas de interpretar el comportamiento estructural de un sistema mediante el análisis Matricial de rigideces. Desarrollándose constantemente aplicaciones que faciliten su entendimiento. No obstante, realizar evaluaciones de resultados del método matricial sin un software de apoyo se convierte en una tarea dispendiosa debido a la cantidad de operaciones matemáticas que se deben realizar simultáneamente. En consecuencia, surge la necesidad adicionar una herramienta complementaria que apoye el proceso y permita hacer revisiones de manera práctica.. 2. JUSTIFICACIÒN Actualmente la mayoría aplicaciones destinadas al análisis estructural se fundamentan en el método directo de la rigidez (direct stiffness method DSM), presentando un avanzado desarrollo en la consolidación de información y en la solución de la ecuación matricial producto del sistema evaluado. sin embargo, no muestran la funcionalidad conceptual del método de análisis, Dificultando la interpretación de resultados debido a su complejidad, es decir, la capacidad de criterio de diseño se ve afectado cuando el usuario no posee experiencia. Por tal motivo, surge la necesidad de generar un complemento a dichas aplicaciones que evidencie un paso a paso del cálculo realizado. En donde al momento de elaborar controles del sistema no se requiera efectuar extensas modificaciones y se trabaje en conjunto con el software principal de cálculo. La aplicación muestra de manera específica el procedimiento del análisis de las rigideces, mostrando la matriz de consolidación en la cual se fundamenta el desarrollo de la estructura, además del análisis detallado por elemento estructural, adaptándose a cualquier necesidad conceptual que se requiera como apoyo al software general utilizado..

(16) UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS Ingeniería civil. 3. OBJETIVOS. 3.1 OBJETIVO GENERAL Desarrollar una herramienta de apoyo para el curso de análisis de estructuras II que permita sistematizar, visualizar e interpretar el método matricial de la rigidez (direct stiffness method DSM), en vigas, cerchas y pórticos en 2D. Utilizando una interface de usuario Microsoft Visual Basic y Microsoft Excel.. 3.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS  . . . Mostrar al usuario la ecuación matricial ensamblada del elemento estructural mostrando las fuerzas y los desplazamientos obtenidos. Construir herramientas programables que se adapten a las configuraciones, condiciones y restricciones realizadas por el usuario para cualquier elemento estructural. Evidenciar la trazabilidad del procedimiento solicitado al software de manera sistemática y Documentada. Con el fin de que se cree un historial del procedimiento efectuado. Garantizar una plataforma amigable con el usuario, en donde se muestre de manera gráfica el resultado del cálculo obtenido..

(17) UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS Ingeniería civil. 4. RESTRICCIONES DE USO EL Desarrollo “ DEMAT” contempla la sistematización y visualización del método matricial de rigidez (direct stiffness method DSM) en vigas, cerchas y pórticos en 2D utilizando una interface de usuario Microsoft Visual Basic y Microsoft Excel. En cuanto a cerchas, Pórticos y vigas, el programa se basa en el método matricial del cálculo de desplazamientos desconocidos, para después poder obtener las reacciones desconocidas. Desarrollar grandes estructuras implica separar procesos de cálculo y luego consolidarlos. El software no permite guardar avances de procedimientos realizados, trabajar cálculos matriciales de cerchas, pórticos y vigas simultáneamente, exportar algún tipo de resultado a otro formato, graficar la deformación general de la estructura, graficar unificadamente el cortante y momento de las estructuras calculadas, desarrollar más de 30 elementos en cherchas, 10 en vigas y pórticos..

(18) UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS Ingeniería civil. 5. MARCO DE REFERENCIA. 5.1 MARCO DE ANTECEDENTES El análisis estructural tuvo una evolución a lo largo de los miles de años, donde en la antigüedad se hicieron construcciones usando marcos, vigas, arcos, y armaduras sin tener un método de análisis estructural. Se hicieron demasiadas construcciones exitosas a lo largo del tiempo como lo fueron catedrales, grandes puentes, pirámides, barcos de vela entre otros, sin contar con una teoría real del análisis de una estructura. Muchas construcciones de egipcios y otros antiguos, contaban con reglas empíricas obtenidas de la experiencia, para así poder determinar los tamaños de los elementos estructurales. Muchos consideran al egipcio Imhotep el primer ingeniero estructural del mundo; quien construyo alrededor del año 3000 a.C., la gran pirámide escalonada de Sakkara. Aunque los griegos construyeron algunas magnificas estructuras, sus contribuciones a la teoría estructural fueron pocas y muy espaciadas. Pitágoras (c. 582-500 a.C.), de quien se dice que creo la palabra matemáticas, es famoso por el teorema geométrico que lleva su nombre. Este teorema en realidad ya era conocido por los sumerios hacia 2000 a.C. Posteriormente, Arquímedes (257-212 a.C.) desarrollo algunos principios fundamentales de la estática e introdujo el término centro de gravedad1.. Los romanos al igual que los griegos fueron constructores de grandes proyectos, donde en ambos casos tenían pocos conocimientos del análisis de una estructura. Lo más probable es que sus proyectos fueron enfocados desde un punto de vista más artístico, y usando reglas empíricas basadas en sus experiencias. Solamente sus obras más exitosas han prevalecido con el tiempo. Una de las más grandes y notables contribuciones al análisis estructural, así como a todos los otros campos científicos, fue el desarrollo de numeración hindú-arábigo. Matemáticos hindúes desconocidos crearon en los siglos II y III a.C. un sistema de numeración del uno al nueve. Alrededor del año 600 d.C., los hindúes inventaron el símbolo sunya (que significa vacío), que ahora llamamos. 1. NELSON, James K. MACCORMAN, Jack C. Historia del análisis estructural. Análisis de estructuras métodos clásicos y matricial. Traducido por Ing. José de la Cera Alfonso. 3 ed. México: Alfaomega grupo editor. 2006. P 4-5. ISBN 970-15-1118-2..

(19) UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS Ingeniería civil. cero. Sin embargo, los indígenas mayas de la américa central ya habían desarrollado el concepto de cero aproximadamente 300 años antes2. En el siglo VIII d.C. los árabes tomaron ese sistema de numeración de los escritos científicos de los hindúes. En el siguiente siglo, un matemático persa escribió un libro que incluyo al sistema. Su libro fue traducido al latín algunos años después y llevado a Europa. Alrededor del año 1000 d.C. el papa silvestre II decreto que los números hindú-arábigos deberían ser usados por los cristianos3.. Para poder desarrollar el concepto de análisis estructural, fue necesario iniciar con la ciencia de la resistencia de los materiales. El Físico Francés Charles Augustin de Coulomb (17361806), y el ingeniero matemático también francés, Claude Louis Marie Henri Navier (17851836), dieron las bases de la ciencia de la mecánica de materiales. Publicando un libro en 1826, donde se analizaban las resistencias y deflexiones de vigas, arcos, columnas, arcos colgantes y algunas otras estructuras. El arquitecto italiana Andrea Palladio (1508-1580) uso por primera vez las armaduras modernas, reviviendo o usando alguna de las estructuras antiguas romanas, como las reglas empíricas para poderlas dimensionar. En 1847 se introdujo el primer método racional en el análisis de estructuras, por Squire Whipple, siendo una gran contribución a la teoría de las estructuras. Donde se puede señalar que este aporte dio el principio del análisis estructural moderno. Varios métodos excelentes para calcular deflexiones fueron publicados entre 1860 y 1870, y estos aceleraron el desarrollo del análisis estructural. Entre los más importantes investigadores y sus logros se cuentan: James Clerk Maxwell (1831-1879), de Escocia, por su teorema de las deflexiones reciprocas publicado en 1864; Otto Mohr (1835-1918), de Alemania, por su método de los pesos elásticos, presentado en 1870; Carlo Alberto Castigliano (1847-1884), de Italia, Por su teorema del trabajo mínimo en 1873; y Charles E. Greene (1842-1903), de Estados Unidos, por sus teoremas de área-momento, publicado en 18734.. Con el uso de los ferrocarriles fue necesario la construcción de grandes puentes, los cuales soportaban cargas móviles muy pesadas. Donde se adquirió gran importancia el cálculo de esfuerzos y deformaciones. Ya que anteriormente no se tenía la necesidad de realizar cálculos de estructuras estáticamente indeterminadas, pero debido a la construcción de puentes para ferrocarriles dio origen a esta necesidad. 2NELSON,. James K. MACCORMAN, Jack C. Historia del análisis estructural. Análisis de estructuras métodos clásicos y matricial. Traducido por Ing. José de la Cera Alfonso. 3 ed. México: Alfaomega grupo editor. 2006. P 5. ISBN 970-15-1118-2. 3 NELSON, James K. MACCORMAN, Jack C. Historia del análisis estructural. Análisis de estructuras métodos clásicos y matricial. Traducido por Ing. José de la Cera Alfonso. 3 ed. México: Alfaomega grupo editor. 2006. P 5. ISBN 970-15-1118-2. 4 NELSON, James K. MACCORMAN, Jack C. Historia del análisis estructural. Análisis de estructuras métodos clásicos y matricial. Traducido por Ing. José de la Cera Alfonso. 3 ed. México: Alfaomega grupo editor. 2006. P 5. ISBN 970-15-1118-2..

(20) UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS Ingeniería civil. Un método para analizar vigas estáticamente indeterminadas (el teorema de los tres momentos) fue dado a conocer en 1857 por el francés B.P.E. Clapeyron (1799-1864) y se usó para el análisis de muchos puentes de ferrocarril. En las décadas que siguieron se hicieron otros muchos avances en el análisis de estructuras indeterminadas, basados en los recientes métodos desarrollados sobre el cálculo de deflexiones. En Estados Unidos, dos grandes desarrollos en el análisis de estructuras estáticamente indeterminadas fueron hechos por G.A. Maney (1888-1947) y Hardy Cross (1885-1959). En 1915 Maney presento el método pendiente-deflexión, mientras que Cross introdujo la distribución de momentos en 19245.. A finales del siglo XIX eran muy usados los métodos clásicos de análisis estructural, pero eran muy laboriosos sus cálculos, al ser usados en casos prácticos. Por lo cual presentaba un gran defecto. Surgieron generaciones de ingenieros que trataron de reducir los cálculos, donde surgieron métodos como giro deflexión, Cross, entre otros, los cuales eran usados en determinado tipo de estructuras; y conduciendo a ecuaciones lineales, las cuales resultaban difícil de resolver de forma manual.. En la primera mitad del siglo XX, muchos problemas estructurales complejos fueron expresados en forma matemática, pero no se disponía entonces de computadoras para resolver prácticamente las ecuaciones resultantes. Esta situación continúo en los años 40, cuando gran parte para analizar las estructuras de aviones se realizó con matrices. Por fortuna, el desarrollo de las computadoras digitales hizo práctico el uso de las ecuaciones para esas y para muchos otros tipos de estructuras, incluido los edificios de gran altura6. “En 1954, Turner, Clough, Martin y Topp presentaron el Método de los Desplazamientos, también conocido como Método de las Rigideces pero no fue utilizado por cuanto en esa época el desarrollo informático era incipiente. La teoría general por ellos formulada dio origen a una serie de algoritmos para resolver estructuras con una simple regla de cálculo que era lo que se disponía por aquella época En los años 1970 y 1980 se contaba con computadoras que ocupaban un gran espacio pero con muy poca capacidad de memoria en los cuales cada línea de instrucción se perforaba en una tarjeta de 80 caracteres, de tal manera que un simple programa era escrito en un paquete de unas 50 o 100 tarjetas las mismas que debían ser entregadas al operador del sistema para su procesamiento. Con ésta limitación no quedaba otra alternativa que usar algoritmos aproximados para resolver las. 5. NELSON, James K. MACCORMAN, Jack C. Historia del análisis estructural. Análisis de estructuras métodos clásicos y matricial. Traducido por Ing. José de la Cera Alfonso. 3 ed. México: Alfaomega grupo editor. 2006. P 6. ISBN 970-15-1118-2. 6 NELSON, James K. MACCORMAN, Jack C. Historia del análisis estructural. Análisis de estructuras métodos clásicos y matricial. Traducido por Ing. José de la Cera Alfonso. 3 ed. México: Alfaomega grupo editor. 2006. P 6-7. ISBN 970-15-1118-2..

(21) UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS Ingeniería civil. estructuras en lugar de aplicar el Método de los Desplazamientos que estaba orientado al uso del ordenador. Uno de esos algoritmos fue el Método de las Rigideces Sucesivas desarrollado por el Ing. Alejandro Segovia Gallegos con el cual se podía resolver pórticos planos con una regla de cálculo y los resultados obtenidos eran muy satisfactorios. Entre 1980 y 1985 empieza el gran desarrollo informático, se suprime la entrada de datos por tarjetas, ahora los programas se graban en casetes y los computadores se conectan a un televisor. Realmente fue un gran avance en comparación con la forma con que se trabajaba antes, ahora es posible tener un ordenador en casa aunque sea muy primitivo con relación a los que se cuentan en el siglo XXI. Este avance informático obligó a incluir en las materias de Ingeniería Civil la cátedra de “Análisis Matricial de Estructuras” puesto que ya se vislumbraba que la Informática tendría gran desarrollo. Entre 1985 y 1995 hay un gran avance tecnológico en los computadores personales los famosos PC. Se cuenta con computadores con gran capacidad de memoria en los cuales uno ya no tiene que estar pensando en resolver grandes sistemas de ecuaciones lineales por bloques debido a que no se tenía suficiente memoria en el ordenador. Se cuenta con computadores muy rápidos en los que ya no importa mucho el número de operaciones que se realicen porque las máquinas son muy rápidas. Todo éste desarrollo informático llevó a que la materia de Análisis Matricial de Estructuras sea una de las más importantes, a que el Método de los Desplazamientos sea estudiado con más detenimiento toda vez que permite programar la solución de estructuras en forma sencilla, empleando matrices. El gran desarrollo informático no solo se tiene en los ordenadores también se tiene en los programas de computación. Por ejemplo antes de 1980 no se conocía el MATLAB, ahora es muy utilizado ya que permite programar con bastante facilidad. Pero aparte de que MATLAB es muy sencillo, el autor de este libro ha desarrollado el sistema de computación denominado CEINCILAB utilizando la librería de programas de MATLAB simplificando notablemente el cálculo de estructuras”7.. En la actualidad se requiere de herramientas de cómputo para un mayor análisis y entendimiento de las estructuras, especialmente aquellas que tienen una mayor complejidad. Meli piralla lo describe de la siguiente manera: “la práctica del diseño estructural tiende en forma natural hacia una creciente automatización, impulsada aceleradamente por la popularización del empleo de las computadoras. Es común el empleo de programas de cómputo en el análisis estructural y su uso se está difundiendo en la etapa de dimensionamiento, hasta llegar a la elaboración misma de los planos estructurales y de las especificaciones. Este proceso es sin duda benéfico y va a redundar en una mayor eficacia y precisión en el diseño, en cuanto se emplee con cordura. Buena parte del tiempo de un proyectista en una ROBERTO AGUIAR FALCONI, ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS, CUARTA EDICIÓN. Departamento de Ciencias de la Tierra y la Construcción, Universidad de Fuerzas Armadas ESPE Quito, Ecuador400 ISBN-9978310-01-1. 7.

(22) UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS Ingeniería civil. oficina de diseño estructural se dedica a la realización de cálculos rutinarios y a la preparación de detalles más o menos estandarizados. Al recurrir a procedimientos automatizados de cálculo, se libera al proyectista de esas tareas rutinarias y se le permite dedicar su atención a los problemas fundamentales de la concepción de la estructura y de la solución de los aspectos básicos, así como a la revisión de resultados. Es motivo, sin embargo, de gran preocupación observar lo que sucede en diversas oficinas de proyectos, donde la implantación de sistemas automatizados de análisis y dimensionamiento ha dado lugar a la aparición de una nueva clase de empleo subprofesional para el ingeniero, el del “codificador”, quien tiene que preparar los datos de las cargas y las propiedades de la estructura de acuerdo con ciertas reglas preestablecidas e introducirlas en un sistema de cómputo. Como resultado recibe algunos cientos de hojas de computadora entre cuyos cientos de miles de números debe elegir unos cuantos que le sirven para revisar si cumplen con lo que un “instructivo de salida” la indica. En otros casos recibe ya las características finales de la estructura en sus aspectos generales o hasta su mayor detalle. No se busca en esos casos eliminar labores rutinarias al ingeniero, sino eliminar al ingeniero, realizar el proyecto sin necesidad de un director pensante; el autómata no es en este caso solo la computadora sino también el usuario. Los más graves errores se cometen cuando el responsable del proyecto pierde el control sobre el significado de los números que está generando a todo lo largo del proceso.. Tanto a lo que se refiere al empleo de manuales y ayudas de diseño, como al de los programas de cómputo, el proyectista debería tener grabados en su mente los siguientes mandamientos: 1) Nunca uses una de estas herramientas si no sabes en que teoría se basa, que hipótesis tiene implícitas y que limitaciones existen para su uso. 2) Después de asegurarte que es aplicable a tu caso particular, cuida que puedas obtener los datos que se requieren para su empleo y pon atención en emplear las unidades correctas. 3) una vez obtenido los resultados, examinarlos críticamente, ve si hacen sentido: si es posible compruébalos con otro procedimiento aproximado, hasta que estés convencido de que no hay errores gruesos en el proceso. 4) Analiza que aspectos no han sido tomados en cuenta en ese proceso y asegúrate que no alteran el diseño. Por ejemplo, ninguna de esas herramientas suele tomar en cuenta concentraciones de esfuerzos en los puntos de aplicación de las cargas o en irregularidades locales; si se dan estas condiciones en tu estructura, revíselas por separado.. Actualmente están disponibles sistemas de cómputo que permiten generar una gran variedad de modelos estructurales y analizar su respuesta ante una gran variedad de condiciones de carga. Estos sistemas permiten visualizar en forma gráfica los modelos y generar de manera automática muchas de las propiedades geométricas y mecánicas requeridas para el análisis. También cuentan con postprocesadores de resultados que generan representaciones graficas de las configuraciones de deformaciones y esfuerzos, o aun de las formas de vibrar de las estructuras sujetas a efectos dinámicos. La mayoría de estos sistemas de cómputo están basados en la técnica de elementos.

(23) UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS Ingeniería civil. finitos. La complejidad de los problemas y el número de ecuaciones simultaneas que estos sistemas pueden resolver con asombrosos. Un ejemplo lo constituye el modelo de la catedral de la ciudad de México que cuenta con 9000 elementos finitos y cuyo análisis requiere la solución de 30000 ecuaciones simultáneas. La posibilidad de obtener la distribución de esfuerzos a lo largo de la estructura para los efectos del peso propio, ha hecho caer en desuso los estudios sobre modelos físicos para análisis de esfuerzos, como los modelos fotoelásticos muy en boga hace algunas décadas”8.. 8. PIRALLA, Roberto Meli. Las Herramientas del Diseño. Diseño estructural. 2 ed. México: Limusa Noriega editores. P 30 y 35..

(24) UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS Ingeniería civil. 5.2 MARCO CONCEPTUAL 5.2.1 Estructura Se conoce como una estructura los elementos básicos de una construcción, que permite recibir y transmitir cargas al terreno; donde todos sus elementos estén en equilibrio estático. Donde cada una de sus partes conectadas soporta cargas, y el proceso constructivo de una estructura requiere de una planeación, análisis, diseño y construcción. Elena blanco, Miguel Cervera y Benjamín Suarez lo definen: Se entiende por estructura aquella parte de la construcción que soporta el conjunto, es decir, que es capaz de resistir las acciones que actúan sobre ella (peso propio, sobrecarga de uso, viento, movimientos sísmicos, etc.)9.. 5.2.2 Análisis estructural En el análisis estructural, mediante el uso de las ecuaciones de la resistencia de materiales, permite calcular las fuerzas internas y deflexiones en un punto cualquiera de una estructura resistente. Donde se deben tener en cuenta tres aspectos importantes, como lo son: las condiciones de equilibrio de fuerzas externas e internas correspondiente a todos los elementos de la estructura, la relación de fuerza con desplazamiento y por último la compatibilidad de las deformaciones en todos los elementos estructurales. El análisis de estructuras en un sentido amplio, es el conjunto de métodos y técnicas que permiten estudiar el comportamiento de las estructuras bajo determinadas acciones, en las distintas etapas que éstas atraviesan. En un sentido más clásico, el análisis de estructuras busca establecer las condiciones de resistencia y rigidez de las estructuras analizadas a través de la Resistencia de Materiales y de la Teoría de la Elasticidad10. Para analizar apropiadamente una estructura, deben hacerse ciertas idealizaciones sobre cómo están soportados y conectados los miembros entre sí. Una vez que se ha determinado esto y se han especificado las cargas, las fuerzas de los miembros y sus desplazamientos pueden encontrarse utilizando la teoría de la mecánica estructural11. 9. BLANCO DÍAZ, Elena. CERVERA RUIZ, Miguel. SUÁREZ ARROYO, Benjamín. Generalidades sobre el análisis de estructuras. Análisis matricial de estructuras. Barcelona, España: CIMNE., 2015. P 1 10 BLANCO DÍAZ, Elena. CERVERA RUIZ, Miguel. SUÁREZ ARROYO, Benjamín. Generalidades sobre el análisis de estructuras. Análisis matricial de estructuras. Barcelona, España: CIMNE., 2015. P 1 11 HIBBELER, Russell C. Introducción. Análisis estructural. Traducido por Ing. José de la Cera Alfonso. 3 ed. México: Pearson Prentice hall. P 2. ISBN 970-17-0047-3..

(25) UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS Ingeniería civil. 5.2.3 Elementos estructurales Los elementos más comunes del que constan las estructuras corresponden a las columnas, vigas y tirantes. Russell C. Hibbeler los define: Tirante: Los miembros estructurales sometidos a una fuerza de tensión se denominan tirantes o puntales de arriostramiento. Debido a la naturaleza de esta carga, estos miembros son esbeltos y para formarlos se escogen perfiles redondos, rectangulares (varillas y barras), ángulos, canales, etc. Vigas: las vigas son usualmente miembros horizontales rectos usados principalmente para soportar cargas verticales, A menudo se clasifican según la manera en la que están apoyadas. En particular cuando la sección transversal varia, la viga se denomina ahusada o acartelada. Las secciones transversales de las vigas son también “compuestas”, como en los casos en los que se añaden placas en su parte superior e inferior. La mayoría de las veces, las vigas se diseñan principalmente para resistir el momento flexionante; sin embargo, si son cortas y soportan grandes cargas, la fuerza cortante interna puede resultar muy grande y ser la que determine el diseño. Columnas: Los miembros que generalmente son verticales y resisten cargas axiales de compresión se conocen como columnas. Para columnas metálicas se suele usar secciones tubulares y secciones de patín ancho y para las de concreto son usuales las secciones circulares y cuadradas con barras de refuerzo. En ocasiones, las columnas están sometidas a carga axial y a momento de flexión. Estos elementos se llaman entonces flexocomprimidas12.. 5.2.4 Tipos de estructuras Un sistema estructural corresponde a la combinación de los elementos estructurales y también a los materiales que están compuestos. En donde estos tipos de sistemas estructurales están construidos de uno o más de cuatro tipos de estructuras básicas. Los cuales son clasificados según el grado de complejidad en su análisis. Russell C. Hibbeler los clasifica: Armaduras: las armaduras consisten en barras a tensión y elementos esbeltos tipo columna, usualmente dispuestos en forma triangular. Las armaduras planas se componen de miembros situados en el mismo plano y se usan a menudo para puentes y techos, mientras que las armaduras espaciales tienen miembros en tres dimensiones y son apropiadas para grúas y torres. Cables y arcos: Otras dos estructuras que se usan para salvar grandes distancias son el cable y el arco. Los cables suelen ser flexibles y soportar sus cargas en tensión. Sin embargo, a diferencia de los tirantes, la carga externa no se aplica a lo largo del eje del cable y, en consecuencia, el cable adopta una forma acorde con la carga aplicada. Los cables se usan generalmente para soportar puentes y techos de edificios. Cuando se usan para estos fines el cable tiene una ventaja sobre la 12. HIBBELER, Russell C. Introducción. Análisis estructural. Traducido por Ing. José de la Cera Alfonso. 3 ed. México: Pearson Prentice hall. P 5-6. ISBN 970-17-0047-3..

(26) UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS Ingeniería civil. viga y la armadura. Como siempre están a tensión, los cables no resultan inestables ni se desploma repentinamente como puede suceder con vigas y armaduras. El arco debe ser rígido para mantener su forma y esto genera cargas secundarias en que interviene la fuerza cortante y el momento flexionante, que deben considerarse en su diseño. Los arcos son frecuentemente usados en estructuras de puentes, domos para techos y en aberturas para muros de mampostería. Pórticos: Los pórticos se usan a menudo en edificios y se componen de vigas y columnas que están articuladas o bien son rígidas en sus conexiones. Igual que las armaduras, los pórticos pueden ser bidimensionales o tridimensionales. La carga en un marco ocasiona flexión en sus miembros, y debido a las conexiones rígidas, esta estructura es generalmente “indeterminada” desde el punto de vista del análisis. La resistencia de un pórtico se deriva de las interacciones de momento entre las vigas y las columnas en los nudos rígidos y, en consecuencia, los beneficios económicos de usar un pórtico dependen de la eficiencia de usar tamaños menores de vigas, respecto a tamaños mayores en las columnas debido a la acción “viga-columna” causada por la flexión en los nudos. Estructuras superficiales: una estructura superficial esta echa de un material cuyo espesor es muy pequeño en comparación con sus otras dimensiones. Algunas veces este material es muy flexible y pues de tomar la forma de una tienda de campaña o de una estructura inflada con aire. En ambos casos, el material actúa como una membrana sometida a tensión pura13.. 5.2.5 Apoyos El dispositivo que une la estructura al medio de suspensión se llama apoyo. El apoyo tiene una doble función, por un lado, impedir o limitar los movimientos de la estructura y por otro, transmitir las cargas que soporta la estructura al medio de suspensión. Por cada movimiento impedido, el apoyo transmite a la estructura una reacción que impide el movimiento. Estas reacciones son iguales y de sentidos opuestos a las fuerzas que la estructura transmite al medio de sustentación. Existen varios tipos de apoyo: El apoyo simple o articulado móvil solo coarta el movimiento de la sección de apoyo en una dirección, permitiendo la traslación en la dirección perpendicular y el giro de la sección. La reacción que produce es una fuerza en la misma dirección que el movimiento impedido. El apoyo fijo o articulación permite el giro de la sección de apoyo pero impide totalmente el movimiento de traslación, en este caso la reacción que transmite a la estructura es una fuerza de dirección y modulo desconocido. El empotramiento impide todo movimiento de la sección de apoyo, tanto de traslación como de giro. La reacción que se produce es una fuerza de posición, dirección y modulo desconocidos, se introducen tres incógnitas: dos componentes de la reacción y el momento sobre la sección de apoyo14.. 13. HIBBELER, Russell C. Introducción. Análisis estructural. Traducido por Ing. José de la Cera Alfonso. 3 ed. México: Pearson Prentice hall. P 6-8. ISBN 970-17-0047-3. 14 BLANCO DÍAZ, Elena. CERVERA RUIZ, Miguel. SUÁREZ ARROYO, Benjamín. Generalidades sobre el análisis de estructuras. Análisis matricial de estructuras. Barcelona, España: CIMNE., 2015. P 5-6..

(27) UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS Ingeniería civil. 5.2.6 Cargas Las cargas de una estructura corresponden a dos tipos de códigos, las referentes a los códigos de construcción y los de diseño. Donde estos corresponden a una guía para el ingeniero estructural poder generar su diseño. Los códigos de construcción corresponden a los requisitos mínimos de diseño y estándares de construcción, establecidos por una institución oficial; mientras que los códigos de diseño generan normas técnicas usadas para el requisito de diseño de una estructura. Donde en general, las cargas estructurales son clasificadas de acuerdo a su carácter y su duración. Las cargas para un edificio según la NSR 10 se clasifican y definen: Cargas muertas. Cubre todas las cargas de elementos permanentes de construcción incluyendo su estructura, los muros, pisos, cubiertas, cielos rasos, escaleras, equipos fijos y todas aquellas cargas que nos son causadas por la ocupación y uso de la edificación. Las fuerzas netas de preesfuerzo deben incluirse dentro de la carga muerta. Cargas vivas. Son aquellas cargas producidas por el uso y ocupación de la edificación y no deben incluir cargas ambientales tales como viento y sismo15. Cargas ambientales. Aquellas cargas causadas por el ambiente en que se encuentran la estructura. Por lo que se refiere a los edificios, las cargas ambientales son causadas por lluvia, nieve, viento, temperatura y sismo. Estrictamente hablando, estas también son cargas vivas, pero son el resultado del ambiente en que se localiza la estructura16.. 5.2.7 Método análisis matricial El método de la rigidez mediante el análisis matricial, es un método de análisis de desplazamientos. Puede usarse también un método matricial para el análisis de fuerzas, para analizar estructura. Muy importante es que el método de los desplazamientos o la rigidez puede usarse para analizar estructuras tanto determinadas como indeterminadas, mientras que el método de las fuerzas requiere un procedimiento diferente para cada uno de esos dos casos. Es también mucho más fácil formular las matrices necesarias para las operaciones hechas por la computadora si se usa el método de los desplazamientos; una vez hecho esto, los cálculos con la computadora pueden efectuarse eficientemente. La aplicación del método de la rigidez requiere subdividir la estructura en una serie de elementos finitos e identificar sus puntos extremos como nodos. Para el análisis de armaduras, los elementos finitos se representa por cada uno de los miembros que forman la armadura y los nodos representan los nudos. Se determinan las propiedades de fuerza-desplazamiento de cada elemento y luego se 15. MINISTERIO DE AMBIENTE, VIVIENDA Y DESARROLLO TERRITORIAL, Reglamento Colombiano de construcción sismo resistente. NSR10, Segunda actualización, Bogotá, Asociación Colombiana de Ingeniería Sísmica. AIS, 2010. 16 NELSON, James K. MACCORMAN, Jack C. Historia del análisis estructural. Análisis de estructuras métodos clásicos y matricial. Traducido por Ing. José de la Cera Alfonso. 3 ed. México: Alfaomega grupo editor. 2006. P 21. ISBN 970-15-1118-2..

(28) UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS Ingeniería civil. relaciona entre sí mediante las ecuaciones de equilibrio planteadas en los nodos. Estas relaciones, para todos los miembros de la estructura, se agrupan luego en lo que se llama matriz K de rigidez de la estructura. Una vez establecida esta, los desplazamientos desconocidos de los nodos pueden determinarse para cualquier carga dada en la estructura. Cuando se conocen estos desplazamientos, las fuerzas externas e internas en la estructura pueden calcularse mediante las relaciones fuerzas-desplazamientos para cada miembro17. 17. HIBBELER, Russell C. Introducción. Análisis estructural. Traducido por Ing. José de la Cera Alfonso. 3 ed. México: Pearson Prentice hall. P 6-8. ISBN 970-17-0047-3..

(29) UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS Ingeniería civil. 5.3 MARCO REFERENCIAL. 5.3.1 Principios fundamentales del análisis matricial Básicamente los métodos matriciales consisten en remplazar la estructura continua real por un modelo matemático de elementos estructurales finitos, cuyas propiedades pueden expresarse en forma matricial. Al igual que en los métodos tradicionales, el modelo idealizado se configura de manera un poco arbitraria por el analista. A continuación, se calculan las propiedades elásticas de cada elemento mediante la teoría de un medio elástico continuo, se efectúa el ensamblaje de las propiedades estructurales del conjunto y se procede entonces a resolver la estructura. Naturalmente, al disminuir el tamaño de los elementos se incrementa la convergencia entre el comportamiento del modelo y el de la estructura continua original. El proceso de análisis se puede considerar como el estudio de cuatro etapas bien definidas, a saber: 1. Acción sobre la estructura 2. Acción sobre los elementos 3. Respuesta de los elementos 4. Respuesta de la estructura Por acción se puede entender una fuerza o un desplazamiento impuestos sobre la estructura. A su vez, ésta responde con desplazamientos o fuerzas respectivamente18. Los métodos de análisis estructural a los que se van aplicar las técnicas matriciales son aptos para estructuras en las que son válidos o se suponen validos los principios fundamentales de la Mecánica de Estructuras, por tanto, se basan en el cumplimiento de: I. compatibilidad. La deformación es una función continua y tiene un valor único en cada punto. En consecuencia, los movimientos también lo son, y en particular, los movimientos en los extremos de las piezas que concurren en un mismo nudo son identificados para todas las piezas. II. Equilibrio. Tanto la estructura globalmente como cada parte de la misma y, en particular, cada nudo y cada pieza de la misma están en equilibrio estático, bajo la acción de las fuerzas exteriores y de los esfuerzos internos. III. linealidad y principio de superposición. La estructura se comporta linealmente tanto a nivel local (relación tensión-deformación según la ley de Hooke), como a nivel global (relaciones desplazamientos-deformación y fuerzas-tensiones, según la hipótesis de los pequeños movimientos). En virtud de esta pequeña linealidad, es válido el principio de superposición.. 18. URIBE ESCAMILLA, Jairo. Conceptos generales. Análisis de estructuras. 2 ed. Bogotá D.C.: ECOE ediciones. P 414..

(30) UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS Ingeniería civil. Los pasos necesarios para resolver una estructura mediante los métodos matriciales comienzan por definir la geometría de la estructura y las acciones, así como las condiciones de apoyo de la misma. De la definición del a geometría debe hacerse de forma digital para que se pueda operar con ella fácilmente de manera algorítmica. La definición de las acciones debe ser general, de manera que se puedan considerar la enorme variedad de cargas y acciones que pueden solicitar la estructura. De igual manera, las condiciones de apoyo deben definirse de forma general. El proceso continua con la identificación de las incógnitas, que serán movimientos incógnita de la estructura. Si se aplica el método de la rigidez, o fuerzas hiperestáticas, en el caso de aplicar el método de la flexibilidad. El método de la rigidez consiste en el proceso secuencial siguiente: 1. Definir la geometría de la estructura y las acciones, así como las condiciones de apoyo. 2. Identificar el número de movimientos incógnitas que determinan la deformación de la estructura, teniendo en cuenta las correspondientes condiciones de compatibilidad en los nudos. 3. Resolver las piezas individuales, en función de los movimientos de sus extremos, satisfaciendo las condiciones de equilibrio y compatibilidad de las piezas 4. Imponer las necesarias condiciones de equilibrio de los nudos 5. Imponer las condiciones de apoyo de la estructura 6. Determinar los movimientos incógnita resolviendo el sistema de ecuación resultante 7. Determinar los esfuerzos y las reacciones en la estructura. La identificación de los movimientos incógnita de la estructura es trivial, ya que son todos los movimientos desconocidos de los nudos, es decir, el número de incógnitas cinemáticas de la estructura que es igual a: 𝑘 = 𝑔𝑙 ∗ 𝑛𝑛 − 𝑐𝑎 Donde gl es el número de grados de libertad a considerar por nudo, nn es el número de nudos en la estructura y ca es el número de grados de libertad prescritos por las condiciones de apoyo19.. 5.3.2 Definición geométrica de la estructura Una estructura genérica de piezas rectas se define mediante una serie de líneas rectas, que representan las directrices o ejes de las piezas, unidas unas a otras en puntos que representan los nudos. Al definir dicha estructura, de cara al análisis por ordenador, se utiliza la siguiente notación: . Cada nudo se identifica por un número. El orden de numeración de los nudos es arbitrario, en principio, esta numeración incide en el tamaño de la matriz de rigidez. La posición de los nudos se define dando las coordenadas de estos referidas a un sistema global de referencia.. 19. BLANCO DÍAZ, Elena. CERVERA RUIZ, Miguel. SUÁREZ ARROYO, Benjamín. Generalidades sobre el análisis de estructuras. Análisis matricial de estructuras. Barcelona, España: CIMNE., 2015. P 31-33..

(31) UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS Ingeniería civil. . . Cada pieza de la estructura se identifica también por un número. El orden de numeración de las piezas es independiente del de los nudos y también arbitrario. En una pieza cualquiera “k” que une los nudos “i” y “j”, se llama extremo “a” al de menor numeración y extremo “b” al opuesto. Se adopta como sentido positivo de una pieza al definido por la secuencia a – b. A cada pieza se le asigna un número que identifica el “material” de la pieza. El material de una pieza está definido por el conjunto de propiedades mecánicas (físicas y geométricas) que se precisan para caracterizar el comportamiento de esta. En una estructura reticulada de plano medio, por ejemplo, es necesario definir el módulo de elasticidad del material E, el área A y el momento de inercia I, de la sección de la pieza20.. 5.3.3 Sistema de coordenadas Como las cargas y los desplazamientos son cantidades vectoriales, es necesario establecer un sistema coordenado para identificar su sentido correcto de dirección. Usando dos tipos diferentes de sistemas coordenados. Un sistema coordenado global o de la estructura, usando ejes x, y, especificara el sentido de cada una de las componentes externas de fuerza y desplazamientos en los nodos. Un sistema coordenado local o de miembro se usara en cada miembro en especificar el sentido de sus desplazamientos y cargas internas. Este sistema se identificara usando ejes x’, y’ con el origen en el nodo “cercano” y el eje x’ señalando hacia el extremo “alejado”21.. 5.3.4 Grados de libertad Los grados de libertad no restringidos de una estructura representan las incógnitas principales en el método de la rigidez y por tanto, deben ser identificados. Como regla general, hay dos grados de libertad o dos posibles desplazamientos para cada nudo (o nodo) de una armadura. En las aplicaciones cada grado de libertad debe especificarse en la estructura usando un número de código, mostrado en el nudo o nodo y referido a su dirección coordenada global positiva por medio de una flecha. En aplicaciones posteriores, los números de códigos más bajos se usaran siempre para identificar los desplazamientos desconocidos (grados de libertad no restringidos) y los números de código más altos se usaran para identificar los desplazamientos conocidos (grados de libertad no restringidos). La razón para escoger este método de identificación tiene que ver con la conveniencia de subdividir después la matriz de la estructura, de manera que los desplazamientos desconocidos puedan encontrarse de la manera más directa posible. Una vez etiquetada la armadura y especificados los números de código como se indicó, puede determinarse la matriz K de rigidez de la estructura. Para ello, debemos primero establecer una matriz de rigidez de miembro k’ para cada miembro de la armadura. Esta matriz se usa para expresar 20. BLANCO DÍAZ, Elena. CERVERA RUIZ, Miguel. SUÁREZ ARROYO, Benjamín. Generalidades sobre el análisis de estructuras. Análisis matricial de estructuras. Barcelona, España: CIMNE., 2015. P 3. 21 HIBBELER, Russell C. Introducción. Análisis estructural. Traducido por Ing. José de la Cera Alfonso. 3 ed. México: Pearson Prentice hall. P 655. ISBN 970-17-0047-3..