formulario del cálculo de la matriz de rigidez en cada elemento del pórtico

Figura 34. Formularios matrices de rigidez en elementos de pórticos

Fuente: Autores

Al igual que en los programas de vigas y cerchas después de dar clic en “continuar” del formulario de entrada, aparece el formulario donde se deben ingresar unos datos de entrada en cada elemento, para poder obtener los valores de las matrices de transformación, la matriz de rigidez local y general, y por ultimo las fuerzas de fijación en el elemento del pórtico. Los cuales son usados para la consolidación de las matrices de rigidez general.

Según el libro de uribe escamilla, un elemento de portico plano inclinado esta orientado arbitrariamente con respecto al eje X. Donde los ejes “X” y “Y” con barra, corresponden al eje local o del miembro, pero si no tiene barra corresponde al eje general o de la estructura. Un elemento de estos, esta sometido en sus extremos a cargas de corte, flexion y axial.

Figura 35. Elemento de pórtico plano orientado arbitrariamente

Fuente: URIBE ESCAMILLA, Jairo. Análisis de estructuras. Caso general del elemento portico plano, arbitrariamente orientado. Libro Rafael Uribe escamilla. 2 ed. Bogotá D.C.: ECOE ediciones. P 516.

Donde:

X= sistema de ejes generales o ejes de la estructura en “x” X= sistema de ejes locales o ejes del elemento en “x” Y= sistema de ejes generales o ejes de la estructura en “y” Y= sistema de ejes locales o ejes del elemento en “y”

u= deformacion del elemento en el eje “x” de coordenadas generales u= deformacion del elemento en el eje “x” de coordenadas locales v= deformacion del elemento en el eje “y” de coordenadas generales v= deformacion del elemento en el eje “y” de coordenadas locales i= nudo inicial del elemento

j= nudo final del elemento

la figura anterior muestra la orientacion arbitraria que puede tener un elemento de la cercha, al igual que sus ejes locales y generales. Tambien se identifica el nudo inicial y el nudo final del elemento.

Como en el programa de viga es importante que el usuario enumerar todos los nudos encontrados en el pórtico. De esta manera en cada elemento del pórtico, se encuentra un nudo inicial y otro final. El usuario

debe digitar en la opción “elemento” el valor del nudo inicial y luego el nudo final según la numeración generada.

El usuario debe calcular el valor de la inercia en cm4 _{del pórtico}

evaluado, para ser digitado o introducido en el cuadro blanco. También debe introducir el valor de la longitud del elemento en metros, al igual que su módulo de elasticidad (E) en mega páscales, y por último el área de la sección del elemento evaluado en el pórtico correspondiente a metros cuadrados.

Al igual que en el programa de vigas, el usuario debe ingresar como datos de entrada el valor de las fuerzas de empotramientos o fijación en kilonewtons por metro. Haciendo referencia a las fuerzas y momentos de fijación del nudo inicial y final de cada elemento. Para poder obtener este valor debe hacer uso de las ecuaciones de fuerzas de empotramiento, según las cargas aplicadas y el caso que corresponda. También se debe ingresar el ángulo en que se encuentra ubicado el elemento del pórtico.

Al igual que en el programa de vigas para facilitar el cálculo de las fuerzas de empotramiento, el programa de pórticos dispone de un listado de opciones según las cargas aplicadas al elemento, para el respectivo cálculo de las fuerzas de fijación por parte del usuario. Para acceder a este listado hay que dar clic en el botón azul “fuerzas de empotramiento”.

Figura 36. Primer listado de fuerzas de empotramiento para elemento del pórtico

Fuente: autores

Figura 37. Segundo listado de fuerzas de empotramiento para el elemento del pórtico

Figura 38. Tercer listado de fuerzas de empotramiento para el elemento del pórtico

Fuente: autores

Después de ingresar los datos de entrada anteriormente descritos, se procede a dar clic al botón “ejecutar”. Donde se obtiene los valores de la matriz de rigidez del elemento, las matrices transpuestas, sus fuerzas de fijación y los valores en las casillas de color gris dependientes de los datos iniciales.

Figura 39. Fuerzas de fijación en coordenadas locales

Fuente: Autores

Después de haber ingresado el usuario los datos de entrada y de dar clic en ejecutar, se obtiene los valores correspondientes a la matriz de transformación (T). Necesarios para poder obtener la matriz inversa de esta.

Figura 40. Matriz de transformación del elemento del pórtico

Fuente: URIBE ESCAMILLA, Jairo. Análisis de estructuras. Matriz de transformación del elemento pórtico.. Libro Rafael Uribe escamilla. 2 ed. Bogotá D.C.: ECOE ediciones. P 516.

Donde la matriz de transformación se define en la siguiente ecuación:

[𝐹𝐹̅̅̅̅] = [𝑇][𝐹]

Como en el programa de cerchas, poder obtener los valores en la matriz de transformación, se requiere de los datos de entrada correspondientes al área (a) de la sección del elemento, la longitud (l) del elemento, el módulo de elasticidad (E), y finalmente el ángulo de inclinación del elemento.

Figura 41. Fuerzas de fijación en coordenadas generales

Fuente: Autores

Teniendo los valores en la matriz de transformación, se puede obtener el valor de la matriz inversa de transformación, necesario para el cálculo de las fuerzas de fijación en coordenadas generales. Estas fuerzas de fijación en coordenadas generales (FF) se obtienen a partir, de multiplicar la matriz inversa de transformación (T-1_{) por las fuerzas de fijación}

en coordenadas locales (ff).

Después de ingresar los datos iniciales de un elemento y dar ejecutar a las matrices, se puede proceder al siguiente elemento del pórtico. Donde apareceré el mismo formulario para ingresar los valores de entrada correspondientes, y obtener el valor en las matrices de cada elemento evaluado.

al dar clic en “paso siguiente” el usuario se dirige a la plataforma correspondiente a las matrices de rigidez local y general del elemento.

Figura 42. Matriz de rigidez local y desplazamientos locales del elemento

Fuente: Autores

Dada la siguiente ecuacion matricial se obtiene el valor de las fuerzas locales del elemento, teniendo claro que es importante primero hayar el valor de los desplazamientos desconocidos.

[𝐹̅] = [𝐾̅][𝛿̅] + [𝐹𝐹̅̅̅̅]

Figura 43. Matriz de rigidez local del elemento de pórtico

Fuente: URIBE ESCAMILLA, Jairo. Análisis de estructuras. Matiz de rigidez local del elemento portico. Libro Rafael Uribe escamilla. 2 ed. Bogotá D.C.: ECOE ediciones. P 519.

Con cada ecuacion dada en cada celda, se obtienen los valores para la matriz de rigidez local del elemento del portico.

Donde:

𝜆 = cos 𝜙𝑥

𝜇 = cos 𝜙𝑦 = sin 𝜙𝑥

Con los datos de entrada ingresados por el usuario, se obtiene el valor de las matrices de rigidez local del elemento, y sus fuerzas de fijacion local.

Figura 44. Matriz de rigidez general y desplazamientos desconocidos en coordenadas generales

Fuente: Autores

Para obtener el valor de la matriz de rigidez general del elemento, se requiere tenere la matriz de rigidez en coordenadas locales. Con las ecuaciones correspondientes y con los valore de la matriz de rigidez local, se obiene en cada casilla el valor de la matriz de rigidez general. Tambien se tiene el valor de las fierzas de fijacion en coordenadas generales. Para obtener la matriz de rigidez general del elemento se debe efectuar la siguiente ecuacion matricial:

[𝐾] = [𝑇]𝑇_{[𝐾̅][𝑇]}

Ya teniendo la matriz de riguidez local del elemento, y despues de ser hayadas los desplazamientos desconocidos del elemento, se puede obtener el valor de las fuerzas desconocidas en coordenadas generales con la siguiente ecuacion matricial:

Una vez ingresado todos los datos de entrada de cada elemento del pórtico, y obtenido las matrices de rigidez, las matrices de transformación y fuerzas de fijación, se procede al proceso de consolidación. Se da clic al botón “consolidación”.

Dando clic en el botón “cerrar” el usuario da por finalizado el uso del programa de pórticos. Cabe aclarar, que al salir del programa no se guardan los cambios o procesos efectuados.