Movimiento de un cuerpo

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Figura 1

TEMA 5: Cinemática

1) El movimiento

Sistema de referencia

Un sistema de referencia es un punto situado en un lugar del espacio (puede coincidir con algún cuerpo o donde no haya nada), y que viene dotado de unos ejes de coordenadas que nos permiten medir la distancia de otros puntos con respecto al punto de referencia (O), llamado origen del sistema de referencia (Figura 1). La manera más fácil de establecer estos ejes es disponiéndolos rectilíneamente y perpendiculares entre sí, aunque no sea obligatorio.

El punto P del dibujo queda perfectamente determinado con respecto al origen del sistema de referencia (O) si indicamos la distancia que está a lo largo del eje X (a) y a lo largo del eje Y (b). A estas distancias, se les llama coordenadas del punto P con respecto al sistema de referencia indicado; P(a ,b).

Vector de posición

Dado un sistema de referencia, podemos indicar la posición de cualquier punto mediante un vector con origen en O y extremo en dicho punto P. A este vector, se le llama vector de posición. En la figura 2, hemos dibujado esta representación. Hemos llamado al vector de posición r.

Utilizando los vectores unitarios ̂i y j, o

también llamados versores, podemos escribir el vector de posición como:

r=âi+b̂j=(a ,b)

Así, el vector de posición lo podemos expresar indicando sus componentes âi y b̂j en el sistema de referencia, que sumándolas nos da el vector ⃗r , o dando sus coordenadas a y b, que son las del punto P. En general, el vector de posición es un vector con una componente x e y que irán cambiando con el tiepo conforme el cuerpo se mueve:

r=x̂i+ŷj

Movimiento de un cuerpo

Para simplificar, vamos a suponer que los cuerpos en movimiento que vamos a estudiar son muy pequeños en comparación con los desplazamientos que realizan, y que por tanto, podemos representarlo por un punto. Podremos especificar su posición indicando la posición de dicho punto, como el punto P en

O Y

P

X

r

Figura 2

O

P

X Y

j

i bj

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la figura 2. Por tanto, r sería el vector de posición con respecto a nuestro sistema de referencia de este cuerpo que ocupa el punto P.

Diremos que un cuerpo se mueve con respecto a nuestro sistema de referencia, si su posición (su vector de posición) va cambiando conforme transcurre el tiempo.

En la figura 3, hay representado el vector de posición r⃗1 para cuando el cuerpo se halla en el punto P, y el

vector r2, en un instante posterior, para cuando el cuerpo se encuentra en el punto Q. El vector de posición ha cambiando, luego el cuerpo se ha movido con respecto al sistema de referencia que esamos considerando.

Relatividad del movimiento

El sistema de referencia que se toma para estudiar un movimiento es totalmente arbitrario. Es decir, lo podemos tomar donde queramos y como queramos, puede incluso estar moviéndose con respecto a otro sistema de referencia.

Si consideramos el sistema de referencia O' de la figura 4, que se mueve con respecto al sistema de referencia O por una trayectoria igual a como lo hace el cuerpo. Con respecto a O', los vectores de posición de los puntos P y Q son ⃗r '1 y ⃗r '2, que son iguales: ⃗r '1=⃗r '2, y no cambian con el transcurso del tiempo. Esto quiere decir, que el cuerpo no se mueve con respecto a O'. Y sin embargo, sí lo hace con tespecto a O.

Por el hecho de que para estudiar un movimiento es necesario establecer previamente un sistema de referencia, y que éste sea totalmente arbitrario, decimos que el movimiento es relativo; depende del

O

Y P

X

r1

Figura 3

r2 Q

O

Y P

X

Figura 4

Q O'

O' Y'

Y'

X' X'

r1

r2

r '1

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sistema de referencia que se tome.

Por tanto, no tiene sentido hablar del movimiento de un cuerpo si no especificamos el sistema de referencia que vamos a considerar. Aquí en la Tierra, hablamos de movimiento sin especificar con respecto a qué, porque mentalmente tenemos todos un sistema de referencia anclado en el suelo. Por eso, cuando decimos que la moto se mueve, todos entendemos que es con respecto el suelo. Pero el universo es más grande aún, y podremos preguntarnos cómo se mueve un cuerpo que esté en la otra punta del universo sin tener que pensar en el suelo de la Tierra.

Si preguntamos a una persona que está sentada en un banco en el parque si se está moviendo, seguramente nos diga que no, ya que está pensando en un sistema de referencia en el suelo. Pero si le recordamos que la Tierra está dando vueltas alrededor del Sol, puede que ahora nos diga que sí se mueve junto con todo el planeta alrededor del Sol. En este caso, estaría considerando el sistema de referencia en el Sol. Luego es fundamental dejar bien claro cuál es el sistema de referencia cuando hablamos de movimiento, puesto que el cuerpo estará en movimiento, o no, dependiendo del que consideremos.

Cada persona que observa un cuerpo, puede considerarse ella misma un sistema de referencia. Así, cada persona puede preguntarse cómo observan el mismo cuerpo el resto de personas (desde ellas mismas). La Física, estudia cómo se puede relacionar estas distintas observaciones dependiendo de cómo se encuentre cada observador. Por ejemplo, si estamos en el arcén de una autovía y vemos pasar un autobús a 100 km/h (con respecto al suelo), y dentro hay una persona sentada y leyendo un libro. Nosotros vemos que el libro se mueve a 100 km/h con respecto a nosotros. En este caso, estamos poniendo el sistema de referencia en nosotros mismos. Sin embargo, la persona que está leyendo el libro en el autobús, ve que el libro está en reposo. Está utilizando otro sistema de referencia, que está situado en ella misma.

De hecho, para cualquier sistema de referencia que tomemos en reposo con respecto el suelo, el libro se moverá a 100 km/h, mientras que para cualquier sistema de referencia que tomemos en reposo con respecto el autobús, el libro tendrá una velocidad de cero.

Pero no hay solamente estos dos sistemas de referencia, hay infinitos. Por ejemplo, un motorista que vaya a 120 km/h (con respecto al suelo) que esté adelantando el autobús, verá que la velocidad del libro es de 20 km/h. Un astronauta que esté en la Luna, que pudiera ver el libro con un telescopio, lo vería moverse a unos 1.700 km/h. Un extraterrestre que estuviera en su nave en el espacio, en reposo con respecto al Sol, y que pudiera estar viendo el libro, lo vería moverse a unos 107.500 km/h.

Reposo absoluto

Podríamos pensar, que esta relatividad del movimiento se acabaría si buscamos qué punto del Universo está en reposo, y situamos siempre ahí el sistema de referencia. De esta forma, podríamos hablar de movimiento sin tener que especificar nada más, ya que siempre se toma con respecto a este punto del Universo. Así, si algo se mueve, entendemos que se mueve con respecto al Universo. Esto significaría que el reposo sería un concepto absoluto; los cuerpos se moverían o no, dependiendo si cambian de posición con respecto a este punto del Universo. Diríamos que el movimiento es un concepto absoluto.

Pero sabemos que no existe ningún punto en el Universo que esté quieto, todo se mueve con respecto a todo. Incluso el propio espacio se está moviendo en su expansión, y por lo tanto, el movimiento no puedeser absoluto, sino relativo; depende de otra cosa: el sistema de referencia que se considere.

Habrá que tener cuidado cuando elijamos nuestro sistema de referencia a la hora de estudiar un movimiento, ya que dependiendo de cuál utilicemos, éste puede resultar más o menos complicado.

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Galaxia, es aconsejable situar nuestro sistema de referencia en el centro de nuestra galaxia.

2) Características del movimiento

Definamos algunos conceptos necesarios para el estudio del movimiento. El primero de ellos, es que se suele llamar móvil al cuerpo cuyo movimiento se estudia.

Trayectoria

Si un cuerpo se va moviendo, con respecto a un sistema de referencia, entonces su vector de posición va cambiando también con el tiempo, se llama trayectoria al lugar geométrico de los puntos por los que va pasando el extremo del vector de posición. Podríamos decir, que la trayectoria es el camino que va describiendo el cuerpo móvil. En la figura 5, aparece dibujada la trayectoria.

La forma de la trayectoria, también es relativa, es decir, depende del sistema de referencia que se tome. En la televisión quizás has visto imágenes de aviones soltando bombas. Las bombas van cayendo mientras que siguen moviéndose horizontalmente a la velocidad del avión. Desde el avión, se ven las bombas caer en línea recta hacia abajo. Sin embargo, una persona que esté en tierra, ve que las bombas describen una curva (una parábola).

Desde el punto de vista mecánico, hoy día, en qué se queda la controversia que existió entre Copérnico y la Iglesia. Según Copérnico, el Sol estaba quieto, y la Tierra giraba su alrededor, mientras que la Iglesia se basaba en el modelo de Ptolomeo, en el que se creía que la Tierra permanecía inmóvil, y es el Sol el que giraba en torno a ella. Hoy sabemos que las dos formas son distintas maneras de estudiar el movimiento de los astros considerando distintos sistemas de referencia. Si colocamos el sistema de referencia en el Sol, tenemos el modelo de Copérnico, mientras que si lo colocamos en la Tierra, tenemos el modelo de Ptolomeo.

Sí que es cierto, que con el modelo de Copérnico, los movimientos se describen más fácilmente, ya que los planetas describen trayectorias elípticas, mientras que con el modelo de Ptolomeo, el movimiento de los planetas describe trayectorias extrañísimas.

Espacio recorrido (e)

Imaginemos que un cuerpo se va moviendo con respecto al sistema de referencia de la figura 5, describiendo la trayectoria marcada. En un determinado instante t1, está en la posición P, descrita por el vector de posición r1, y posteriormente, en el instante t2, se encuentra en la posición Q, señalada por el vector de posición r⃗2.

El espacio recorrido (e), es lo que mide la trayectoria desde la posición inicial hasta la posición final a lo largo de la trayectoria. Sería lo que marcara el cuentakilómetros de un vehículo puesto a cero en el instante t1. Es un número positivo.

Desplazamiento (∥ r)

El vector desplazamiento ( r ), es el vector cuyo origen está en la posición inicial del movimiento, y el extremo en la posición final (Figura 5). Su coordenada x es la variación que experimenta en este eje, e igualmente con la y:

Δ ⃗rx̂iŷj

El desplazamiento, es el módulo del vector

O Y

P

X Q

r1

r2

Figura 5

(5)

desplazamiento (∥Δ ⃗r∥). Podríamos decirlo de otra manera; el desplazamiento es la distancia que hay en línea recta desde la posición inicial hasta la posición final del movimiento. Es por tanto, un número positivo.

Así, si una persona anda 10 m en línea recta, y luego vuelve 2 m por el mismo camino, el desplazamiento ha sido ∥Δ ⃗r∥=8m, aunque el espacio que ha recorrido sea e=12m.

3) La velocidad

Velocidad media

Imaginemos que un móvil se mueve como según se indica en la figura 6 desde un punto P (en el instante

t1) hasta otro Q (en el instante t2) a lo largo de la trayectoria que se indica. Se define la velocidad media como:

vM=Δ ⃗r

Δt

donde Δt=t2t1.

Por consiguiente, la velocidad media, es un vector, que apunta hacia donde lo hace el vector desplazamiento [ya que se trata de un vector ( r), dividido entre un número positivo (Δt>0 )], y cuyo módulo es el desplazamiento realizado por unidad de tiempo.

La unidad de velocidad en el SI es el m/s, aunque también utilizamos mucho el km/h.

Velocidad instantánea

La definición de velocidad media es en realidad una utilidad para poder definir la velocidad instantánea o velocidad a secas. Se define la velocidad instantánea de un móvil en un determinado instante y punto de su trayectoria como la velocidad media que tiene cuando dejamos que transcurra un tiempo infinitamente pequeño, que representamos en este caso por dt . Un intervalo de tiempo como este, se denomina infinitesimal. Este intervalo de tiempo es tan pequeño como queramos considerar. Así, la velocidad instantánea consiste en una velocidad media en un tramo tan pequeño como queramos, donde el vector desplazamiento será también un vector infinitesimalmente pequeño, que escribiremos como dr . Se puede ver, que a partir de un intervalo de tiempo muy pequeño, la velocidad media ya no cambia al hacer el intervalo de tiempo más pequeño. Este será entonces, el valor de la velocidad instantánea. Por tanto, la velocidad instantánea ⃗v , es:

v=dr

dt

O Y

P

X Q

Figura 6vM

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En la figura 7 se está representando esta situación. Imaginemos que queremos determinar la velocidad instantánea del cuerpo en el punto P. Para ello, partimos de la velocidad media en el tramo PQ, y luego nos imaginamos cada vez el tramo más pequeño, de manera que Q se acerca a P. Hemos dibujado Q' ya muy cerca de P, pero este punto deberá seguir acercándose a P. Vemos que el vecto velocidad, se va haciendo cada vez más tangente a la trayectoria en el punto P.

El vector r2 se va aproximando cada vez más al vector r1, así que, el vector desplazamiento (que no

está representado en este dibujo), se va aproximando cada vez más al tramo de trayectoria que hay entre las dos posiciones. Así, Cuando el punto Q esté infinitamente cerca de P, el vector desplazamiento coincidirá completamente con el pequeño tramo de trayectoria. Entonces, el vector velocidad instantánea, que tiene la misma dirección y sentido que el desplazamineto, resulta ser un vector tangente a la trayectoria en el punto P. Puesto que el intervalo de tiempo infinitesimal será un número menor que uno, al dividir por este número el vector desplazamiento, nos saldrá un vector mayor que dr .

4) Estudio del movimiento uniforme

Movimiento rectilíneo uniforme (MRU)

Se entiende por movimiento uniforme (MRU), aquel que la velocidad permanece constante. Puesto que la velocidad es un vector que es siempre tangente a la trayectoria, significa que no cambia su módulo (mantendrá la misma rapidez), y tampoco su dirección (se desplaza en línea recta).

Vamos a considerar que la línea recta por la que se mueve el cuerpo coincide con el eje x. Así, el vector de posición no tiene coordenada y, y lo podemos escribir:

r=x̂i

Puesto que solamente vamos a tener un vector de posición con una coordenada (la x), no será necesario escribilo de manera vectorial, y solamente escribiremos su coordenada x. Igualmente, el vector desplazamiento Δ ⃗r , lo representaremos por su única coordenada Δx .

En consecuencia, la velocidad media con la que se mueve un cuerpo con MRU, sólo tendrá componente

x:

vxMx Δt

Y puesto que la velocidad permanece constante, quiere decir que la velocidad media es igual a la velocidad instantánea, en particular, su componente x. Entonces, podemos escribir:

vxx Δt

O Y

P

X Q

Q' v

r1

(7)

Si designamos por x(t) a la posición en la trayectoria en un instante dado t, y x0 a la posición inicial,

entonces Δx=x(t)−x0. También, tenemos que t=tt0=t, que si suponemos que en el instante inicial t0=0, podemos escribir la ecuación anterior como:

vxx Δt=

x(t)−x0

t

x(t)=x0+vxt

que es la ecuación que cumple cualquier móvil que se mueva con movimiento rectilíneo uniforme.

Movimiento uniforme (MU)

Un movimiento es simplemente uniforme si el módulo de la velocidad permanece constante, pero la trayectoria puede ser cualquiera. Como vemos, el MRU es un caso particular de MU.

Si nos imaginamos un sistema de referencia especial, que en lugar de tener un eje x, tuviera un eje s que no es rectilíneo, sino que se ajusta perfectamente a la forma de la trayectoria, podremos describir también este movimiento utilizando únicamente esta coordenada. Así, obtendremos la misma ecuación que antes para describir este movimiento, pero en lugar de escribir x, pondremos s, y la componente de la velocidad en este eje, la representaremos simplemente por v, pudiendo ser positiva o negativa dependiendo del sentido de marcha del cuerpo:

s(t)=s0+v t (1)

Esta ecuación es más general que la anterior, puesto que la podremos utilizar siempre, sea el movimiento rectilíneo o no.

Gráfica espacio-tiempo

Una gráfica espacio-tiempo es en realidad una gráfica posición-tiempo, en donde en el eje de ordenadas se representa la posición de un móvil, y en el eje de abscisas se representa el tiempo.

Para el caso particular de un MU o MRU, la ecuación que nos informa de la posición que ocupa el móvil en función del tiempo es la ecuación (1), que es la ecuación de una recta, donde la ordenada en el origen es s0, y la pendiente es v (Figura 8). Si el móvil se mueve con velocidad positiva, su gráfica es creciente, y al contrario si es negativa. Cuanto mayor sea la pendiente, mayor es la velocidad.

Gráfica velocidad-tiempo

En la gráfica velocidad-tiempo, se representa en el eje de ordenadas el módulo de la velocidad, y en el eje s

t

s

t

s0 s0

v0 v0

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de abscisas el tiempo.

Para el caso de un movimiento uniforme, la gráfica de este tipo es muy simple, es una línea constante horizontal, ya que el módulo de la velocidad no cambia.

Las correspondientes gráficas v-t a las s-t de la figura 8, son las que aparecen en la figura 9.

5) La aceleración

Aceleración media

Imaginemos que un móvil tiene en un determinado instante una velocidad vectorial v, y que inicialmente tenía una velocidad vectorial v0, es decir, la velocidad ha cambiado un incremento  v=v− v0 en un intervalo de tiempo t (Figura 10). Se define la aceleración media como,

aM=Δ ⃗v

Δt

En la primera parte de la figura 10 hay representada una trayectoria cualquiera con la velocidad vectorial inicial, y la velocidad vectorial en un determinado instante posterior. En la segunda parte, hemos representado juntos los vectores velocidad para poder determinar gráficamente el vector  v. Según se aprecia en la parte derecha de la figura 10:

v0 v=v⇒ v=v− v0

Como vemos, Δ ⃗v es un vector que apunta hacia donde se ha producido el cambio de velocidad. La aceleración media es un vector que se calcula divitiendo Δ ⃗v entre un número positivo (Δt ), por eso, la aceleración media apunta hacia donde lo hace la variación de velocidad (Δ ⃗v). Su módulo es igual al módulo de la variación de velocidad por unidad de tiempo. Así, la aceleración, lo que mide es lo rápido o lento que cambia la velocidad, tanto en dirección como en módulo.

Si la velocidad (como vector) no cambiara, entonces la aceleración media sería cero, ya que sería Δ ⃗v=0

dividido entre el tiempo transcurrido Δt . v

t

v

t

v0

v0

Figura 9

aM

Figura 10v

v0

v0

(9)

De la definición de aceleración, deducimos que su unidad es la de velocidad dividido por tiempo. En el Sistema Internacional de Unidades, es m/s que cambia la velocidad por cada s que transcurre. Es decir, (m/s)/s=m/s2.

Aceleración instantánea

La aceleración instantánea se define como la aceleración media cuando el incremento de tiempo tiende a cero, es decir, es infinitesimal. Análogamente a como hicimos anteriormente:

a=dv

dt

La aceleración mide el ritmo al que cambia el vector velocidad en un determinado instante, e insistimos, la velocidad cambia si cambia su módulo y/o dirección.

Como sabemos, que el vector velocidad siempre es tangente a la trayectoria, así, si el móvil curva, cambia la dirección del vector velocidad. Por tanto, un móvil que se mueva por una trayectoria curva tendrá aceleración, aunque el módulo de la velocidad permanezca constante. En este caso, sería un cuerpo con MU.

Componentes intrínsecas de la aceleración

En la parte (a) de la figura 11, hemos representado la trayectoria de un móvil. En un determinado momento, hemos dibujado también su vector velocidad y su vector aceleración. Si imaginamos un sistema de ejes perpendiculares que se mueve con el cuerpo, de tal manera que uno de los ejes es siempre tangencial a la trayectoria y el otro perpendicular, podríamos descomponer el vector aceleración utilizando estos ejes, tal y como se ve en la parte (b) de la figura 11.

Una componente es la aceleración tangencial (at), que es paralela a la velocidad (puesto que ella es siempre tangencia), y la otra, que es perpendicular a la velocidad y por lo tanto a la trayectoria en el punto estudiado, se llama aceleración normal o centrípeta, an. Por tanto, el vector a lo podemos escribir como suma de at y an. Es decir:

a= at an

Podemos imaginar, que en lugar de existir el vector a, lo que existen son los vectores at y an. La aceleración tangencial lo que mide es el ritomo al que cambia el módulo de la velocidad (si cada vez va más rápido o cada vez más lento), mientras que la aceleración normal mide el ritmo al que cambia la dirección de la velocidad.

Aplicando el Teorema de Pitágoras, obtenemos fácilmente la relación entre sus módulos:

a2=a t2an2

(a) (b)

v

a

v

a

at

an

(10)

En cualquier punto de la trayectoria, siempre se puede descomponer la aceleración en sus dos componentes intrínsecas, y en general, irán cambiando conforme el cuerpo se mueve.

Si de un movimiento, sabemos que su aceleración normal es siempre cero, sabemos que ese movimiento es rectilíneo, ya que la velocidad no cambia de dirección, indicando que la trayectoria es rectilínea. En caso contrario, puede demostrarse que la aceleración normal (o centrípeta) está relacionada con la velocidad del móvil (v) y su radio de giro (R), mediante la ecuación:

an=v 2

R

Si por otro lado, sabemos que la aceleración tangencial de un movimiento es cero, sabemos entonces que su velocidad no cambia, se trata de un MU. Si por el contrario sí hay aceleración tangencial distinta de cero, el cuerpo irá cambiando su rapidez en su desplazamiento. Si tiene el mismo sentido que la velocidad, como en la imagen 11, indicará que el módulo de la velocidad va aumentando, es decir, el cuerpo cada vez va más rápido. Por el contrario, si apunta en sentido contrario, como en la figura 12, el cuerpo irá frenando.

Vemos que el módulo de la aceleración normal depende inversamente del radio de curvatura, y directamente proporcional al cuadrado de la velocidad. Así, si con un vehículo tomamos una curva de radio la mitad que otra (a la misma velocidad), el módulo de la aceleración será el doble. Y si tomamos una curva a una determinada velocidad, y después tomamos la misma curva al doble de velocidad, el módulo de la aceleración normal será el cuádruple.

6) Movimiento uniformemente acelerado

Movimiento uniformemente acelerado (MRUA)

Un cuerpo se mueve con MRUA si se mueve en una trayectoria rectilínea y el módulo de su aceleración es constante. Si el cuerpo no curva, no puede tener aceleración normal ( an=0 ), y por tanto, toda la

aceleración está en forma de aceleración tangencial (⃗a= ⃗at), y que deberá permanecer constante. Así, el

vector aceleración es paralelo al vector velocidad, pudiendo tener el mismo sentido (si va aumentando la velocidad) o sentido contrario (si va disminuyendo la velocidad).

Ecuación de la velocidad

Puesto que en este movimiento la aceleración es constante, resulta que la aceleración media es igual a la aceleración instantánea. Así que,

a= ⃗aM=Δ ⃗v Δt

Supongamos que el cuerpo se mueve a lo largo del eje x. Entonces, la componente x de esta ecuación es:

(a) (b)

v

a

v

a

at

an

(11)

axvx Δt

Si tomamos t0=0 , podemos escribir:

axvx Δt =

vxvx0 t

Despejando la velocidad, obtenemos la ecuación de la velocidad de un MRUA.

vx(t)=vx0+ax· t

Veremos en el siguiente punto, que la ecuación que describe la posición del cuerpo con MRUA es:

x(t)=x0+vx0· t+1

2ax· t 2

Movimiento uniformemente acelerado (MUA)

Igualmente a como hicimos con el movimiento uniforme, vamos a generalazar el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado al caso de que la trayectoria no sea recta. En este caso, diremos que tenemos un movimiento uniformemente acelerado (MUA), simplemente. Así, en lugar de considerar el eje x, tomaremos un eje s que se ajuste a la forma de la trayectoria. De esta manera, en lugar de x tendremos s, tampoco escribiremos vx, y pondremos v, y por último, deberemos tener en cuenta que la aceleración que aparece en las ecuaciones es la aceleraciión tangencial. Además, si el cuerpo curva, tendrá además aceleración normal, que no aparecerá en las ecuaciones para describir el movimiento. Entonces:

v(t)=v0+at· t (2)

s(t)=s0+v0· t+ 12at· t 2

(3)

Gráfica velocidad-tiempo

Para un MRUA la velocidad va cambiando linealmente según se ve en la ecuación (2), que es la ecuación de una recta, con pendiente at, y ordenada en el origen v0. Si la aceleración es positiva, la recta será

creciente, mientras que si es negativa, será decreciente.

En la figura 13 se han representado dos ejemplo para las dos posibilidades. En los dos ejemplos hemos supuesto que la velocidad inicial v0 es positiva, evidentemente puede darse el caso de que sea negativa. Una aceleración tangencial positiva, significa que la velocidad va creciendo numéricamente, pero esto puede significar que vaya cada vez más rápido o cada vez más lento. Por ejemplo, si la aceleración

v

t v

t

Figura 13

v0 v0

v0

(12)

tangencial es 3 m/s2, y el cuerpo se mueve a 5 m/s, el segundo siguiente, su velocidad será 8 m/s, pero si

la velocidad era –4 m/s, al segundo después será –1 m/s, y el cuerpo va frenando.

Análogamente, el significado de una aceleración tangencial negativa es que la velocidad disminuye en su valor, y esto puede significar también que cada vez vaya más lento o más rápido. Si la aceleración tangencial fuese –2m/s2 y la velocidad 5 m/s, al segundo siguiente será 3 m/s, y vemos que el cuerpo va

frenando. Pero, si la velocidad fuese –6 m/s y al cabo de un ratito es de –8 m/s, la velocidad ha disminuido en su valor, pero sin embargo, va más rápido. Podemos deducir la regla de que si la aceleración tangencial tiene el mismo signo que la velocidad, el cuerpo irá más rápido, y si son de signo contrario, cada vez va más lento.

Ecuación del espacio en función del tiempo

Para la descripción completa de un MUA son necesarias dos ecuaciones, la (2) y la (3). Hemos demostrado la primera de ellas, pero no la segunda. Para demostrar la ecuación (3) vamos a utilizar la siguiente propiedad: el área que va quedando encerrada en una gráfica v-t entre la función y el eje de abscisas, es igual al espacio recorrido; s.

Para el caso de un MU es evidente, como vemos en la figura 14. El área que queda bajo la función es un rectángulo, cuyo área es base por altura. La base mide t, y la altura v.

s=st−s0=v · tst=s0v · t

y obtenemos la ecuación de la posición para un MU, que ya conocemos.

Vamos a aplicar esta propiedad ahora para encontrar la ecuación (3) de la posición en un MUA. Para este caso, como podemos ver en la figura 15, el área encerrada es la de un triángulo más la de un rectángulo. El rectángulo tiene una base igual a t, y una altura v0. El triángulo tiene una base igual a t, y una altura igual a vv0. Por tanto:

s=st−s0=v0· t1

2vt−v0tst−s0=v0·t

1

2v0a ·tv0t=v0· t

1 2a ·t

2 ⇒

s(t)=s0+v0· t+1

2a · t

2

(3) v

t

v

t

Figura 14

v

t

v0 v

(13)

La ecuación (3) es una ecuación parabólica. Es decir, la función que nos determina la posición de un móvil con MUA es la de una parábola. Más o menos como aparece dibujado en la figura 16 para el caso de una aceleración tangencial positiva.

También la gráfica podrá ser invertida si la aceleración tangencial es negativa.

7) Caída libre

Un cuerpo se dice que está en caída libre cuando está sometido únicamente a la fuerza de la gravedad de un planeta. Cuando las alturas no son muy grandes en comparación con el radio del planeta, y los gases de la atmósfera no molestan demasiado, se cumple que el cuerpo está sometido a una aceleración constante y apuntando hacia el suelo. El valor de esta aceleración es lo que se llama gravedad del planeta. Para el caso de la Tierra, la aceleración de la gravedad tiene de módulo 9,8 m/s2 hacia abajo. Es decir, cada segundo, la

velocidad cambia en 9,8 m/s, si sube, disminuye en este valor, y si baja, va aumentando en este valor. Para el caso particular de que el cuerpo inicialmente esté en reposo, o tenga velocidad inicial, pero perpendicular al suelo, entonces describirá un MRUA, cuya aceleración será la de la gravedad. Entonces, s representa la altura del cuerpo, y en lugar de poner a , escribiremos g. Las ecuaciones quedarán así:

vt=v0g ·t ; st=s0v0· t1

2g · t

2

Puesto que tomaremos el eje s positivamente hacia arriba, la aceleración de la gravedad deberemos tomarla negativa porque en realidad es un vector que apunta hacia abajo. Por tanto:

a=g=−9,8m

s2

Por último. Observa que en las ecuaciones no aparece la masa del cuerpo, y es que si el rozamiento con el aire lo podemos despreciar, todos los cuerpos caen con la misma aceleración, como ya estudiaremos al estudiar dinámica en la próxima unidad.

8) Movimiento circular uniforme MCU

Definición de MCU

Un cuerpo móvil describe un MCU cuando su trayectoria es una circunferencia, y su velocidad permanece constante (en módulo). El movimiento de la Tierra alrededor del Sol es muy aproximadamente un MCU, o también el movimiento de la Luna alrededor de la Tierra.

Por ser un movimiento uniforme MU, se cumple la ecuación (1). Un movimiento de este tipo, tiene una aceleración tangencial igual a cero, ya que no cambia el módulo de la velocidad. Toda la aceleración la tiene en forma de aceleración normal o centrípeta, que permanece constante, ya que siempre la velocidad va curvando igual. Ya vimos que la aceleración normal es:

s

t

s0

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an=v 2

R (4)

El vector aceleración normal, es un vector que apunta hacia el centro de la circunferencia, como puede verse en la figura 17.

Definición de radián

El radián es la unidad en el Sistema Internacional de Unidades de ángulo. Imagínate un móvil que sale desde el punto O de la figura 17 que va recorriendo el arco de la circunferencia de radio R. El ángulo 

se va haciendo cada vez mayor. También, el arco recorrido (o espacio recorrido, e ), es cada vez mayor.

Un ángulo de un radián (=1rad) es aquel que cumple que el arco es igual de largo que el radio; e=R. Así, un ángulo es de =2rad cuando el arco que describe es dos veces el radio; e=2R .

¿Cuántos radianes será un ángulo de una vuelta completa? Cuando damos una vuelta completa, es decir, cuando el ángulo es de 360º, el arco es la longitud completa de la circunferencia. Por tanto, sabemos que el arco completo mide e=2πR. Entonces, el ángulo que subtiende una circunferencia completa es de

=2rad.

Ya disponemos de una equivalencia para cambiar de unidad entre grados y radianes; 360º=2rad, o lo que es lo mismo; 180º=rad.

Por tanto, se define un ángulo  en radianes como

θ= e R

donde e es el arco de circunferencia de radio Rque subtiende dicho ángulo.

En el estudio del MCU, coincide s con e, así, la ecuación que rige este movimiento es:

=s R (5) Velocidad angular

Se define la velocidad angular () como el ángulo girado (en radianes) por unidad de tiempo. Es decir, si un cuerpo con MCU describe un ángulo  (en radianes), en un tiempo t, tendrá una velocidad angular de:

= t (6)

R e

Figura 17anv

(15)

La unidad de la velocidad angular en el Sistema Internacional es de rad/s.

Relación entre la velocidad angular y la lineal

Si en la ecuación (6) sustituimos  de la ecuación (5), obtenemos,

= t=

s R t

y teniendo en cuenta la ecuación (1) con la velocidad despejada, obtenemos finalmente:

=v R (7)

que nos relaciona la velocidad (lineal) con la velocidad angular.

Periodo T

Se llama periodo (T) al tiempo que tarda un móvil con MCU en dar una vuelta. En el SI, se expresa en segundos.

Si conocemos el periodo, se puede determinar muy fácilmente la velocidad angular utilizando la expresión (6), donde cuando =2rad, t=T. Entonces,

=2 T (8) Frecuencia f

Se define la frecuencia ( f) como el número de vueltas que da el móvil por unidad de tiempo. Si la unidad de tiempo, es el segundo, a la unidad de frecuencia se le llama hercio (Hz). Así, un MCU de 5 Hz, significa que da 5 vueltas cada segundo.

Para calcular la frecuencia, necesitamos saber cuántas vueltas da un móvil y en cuánto tiempo. Por ejemplo, si conocemos el periodo, podemos calcular la frecuencia, ya que es el tiempo que tarda en dar una vuelta.

f=1 T (9)

Una unidad muy utilizada de frecuencia es revoluciones por minuto (rpm). Es decir, vueltas que da en un minuto. Es muy fácil pasar esta unidad a hercios. Por ejemplo, ¿cuántos Hz son 50 rpm?

f=50

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Referencias

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