Geometr´ıa en Olimpiadas de Matem´ aticas

(1)

de Matem´

aticas

por

Jes´

us Jer´

onimo Castro

Universidad Aut´

onoma de Guerrero

Facultad de Matem´aticas

(2)

(3)

Matem´

aticas

(4)

(5)

(6)

(7)

A lo largo del libro se usar´a la siguiente notaci´on:

△ABC el tri´angulo de v´ertices A, B y C

|ABC_| ´area del tri´angulo _△ABC

|ABCD_| ´area del cuadril´atero ABCD AB el segmento de extremos A y B AB la l´ınea por los puntos A y B AB la longitud del segmento AB

∡_A _{´angulo de v´ertice} _A

∡_BAC _{´angulo formado por} _BA _y _CA

d

AB el arco de A a B

(8)

(9)

Introducci´on III

Notaci´on b´asica V

1. Conceptos y teoremas b´asicos 1

1.1. ´Angulos entre paralelas. . . 1

1.1.1. Problemas . . . 4

1.2. ´Angulos en circunferencias . . . 5

1.2.1. Problemas . . . 10

1.3. El Teorema de Tales . . . 12

1.3.1. Problemas . . . 15

1.4. Tri´angulos semejantes . . . 16

(10)

1.5. Cuadril´ateros c´ıclicos. . . 27

1.5.1. Problemas . . . 34

1.6. Potencia de un punto con respecto a una circunferencia . . . 38

1.6.1. Problemas . . . 45

1.7. Teorema de Pit´agoras . . . 49

1.7.1. Problemas . . . 53

1.8. Areas de tri´angulos y cuadril´ateros . . . 56

1.8.1. Problemas . . . 60

1.9. Teorema de Ptolomeo . . . 63

1.9.1. Problemas . . . 66

2. Puntos y rectas notables en el tri´angulo 69 2.1. Las medianas y el gravicentro . . . 69

2.1.1. Problemas . . . 72

2.2. Las bisectrices y el incentro . . . 74

2.2.1. Problemas . . . 78

2.3. Las alturas y el ortocentro . . . 82

2.3.1. Problemas . . . 85

2.4. Las mediatrices y el circuncentro . . . 86

2.4.1. Problemas . . . 88

(11)

2.5.1. Problemas . . . 95

2.6. Circunferencias ex-inscritas . . . 98

2.6.1. Problemas . . . 100

2.7. Teoremas de Ceva y Menelao . . . 102

2.7.1. Problemas . . . 106

2.8. Teoremas de Euler y Simson . . . 108

2.8.1. Problemas . . . 111

3. Algunas estrategias en Geometr´ıa 113 3.1. Prolongar segmentos . . . 114

3.1.1. Problemas . . . 117

3.2. Trazar perpendiculares y paralelas . . . 119

3.2.1. Problemas . . . 121

3.3. Trazar tangentes y cuerdas comunes . . . 123

3.3.1. Problemas . . . 127

3.4. Construir un ´angulo . . . 129

3.4.1. Problemas . . . 130

4. Problemas variados 133 4.1. Problemas . . . 134

(12)

Bibliograf´ıa 147

(13)

Conceptos y teoremas b´

asicos

1.1. Angulos entre paralelas.

´

Consideremos un par del´ıneas paralelas (ℓ ym) en el plano. Ahora, supongamos que una l´ınea corta a l y m y observemos los ángulos que ésta forma con ellas. Los ángulos mantienen las siguientes relaciones:

b

5 4

3

1 2 ℓ

m

(14)

(b) ∡_{1 =}∡₃ _{y se llaman ´angulos}_{alternos internos}_,

(c) ∡_{1 =}∡₄ _{y se llaman ´angulos}_{correspondientes}_,

(d) ∡_{2 =}∡₄ _{y se llaman ´angulos}_{alternos externos}_.

Además, tenemos que ∡_{4 +}∡_{5 = 180}◦ _{y decimos que} ∡₄ _y ∡₅ _son suplemen-tarios. Aprovechando estas relaciones de ángulos podemos demostrar (justificar mediante argumentos válidos) el siguiente teorema básico:

Teorema 1.1.1 La suma de los ´angulos internos de un tri´angulo es 180◦_.

Demostración.Se traza un l´ıneaℓ,paralela aBC,por el vérticeA.De esta manera obtenemos las igualdades de ángulos marcados en la figura. Como sabemos que un ángulo llano mide180◦_, _{tenemos que}_α₊_θ₊_β _{= 180}◦_.

A

B

α

C

β _θ

ℓ

β θ

Ejemplo 1.1.1 En el tri´angulo _△ABC, ∡_CAB₊∡_ABC _{= 110}◦_{, y} _D _{es un} punto sobre el segmento AB tal que CD = CB y ∡_DCA _{= 10}◦_{. Calcula el} valor del ´angulo∡_CAB.

A B

C

(15)

Solución. La suma de los ángulos interiores del triángulo_△ABC es 180◦_{. Como}

∡_A₊∡_B _{= 110}◦_{, entonces} ∡_BCA _{debe ser} ₇₀◦_{. Si}∡_DCA_{= 10}◦_,∡_BCD ₌

70◦ ₋₁₀◦ _{= 60}◦_{. Además, el triángulo} _△_BCD _{es isósceles, con} _CD ₌ _CB,

de modo que ∡_DBC ₌ ∡_{CDB. Ahora, la suma de los ´angulos interiores del}

tri´angulo BCD es 180◦_{, de donde} ∡_DBC ₌∡_CDB _{= 60}◦_{. Por ´ultimo, en el}

triángulo_△ACD, el ángulo exterior ∡_CDB _{es la suma de los ángulos interiores}

opuestos∡_A_y∡_{DCA. Por lo tanto,}∡_A₌∡_CDB₋∡_DCA_{= 60}◦₋₁₀◦ _{= 50}◦_.

A B

C

D 10◦ 60◦

Ejemplo 1.1.2 En la siguiente figura, ¿cu´anto vale la suma de los ´angulos a,

b, c, d y e?

a

b

c d e

Solución. Considerando el triángulo _△ABC obtenemos que a+c+f+g+d = 180◦_{, pero de los triángulos} _△_BCD _y _△_{F ED} _{obtenemos que} _f ₊_g ₌_b₊_e.

Por lo tanto, a+b+c+d+e = 180◦_.

a

b

c d e

f g A

B C

D

(16)

1.1.1. Problemas

Problema 1.1 Encuentra cuánto vale el ángulo exteriorθ en la siguiente figura si son conocidos los ángulosα= 62◦ _y _β _{= 71}◦_.

A

B α

C β θ

Problema 1.2 Encuentra cu´anto vale el ´angulo x en la siguiente figura.

140◦

140◦ x

A

B

C P

Problema 1.3 En la figura, los triángulos_△P AB y _△P CD son idénticos. Si el ángulo ∡_{AP C} _{= 67}◦ _{y el ángulo} ∡_{CP D} _{= 38}◦_{, ¿cuánto mide el ángulo}

∡_{BP C}_?

P

A

B

(17)

Problema 1.4 Encuentra cu´anto vale la suma de los ´angulos internos de un pol´ıgono convexo 1

de n v´ertices.

Problema 1.5 El trapecio is´osceles ABCD es tal queAD =AB =BC = 1

y DC = 2, donde AB es paralelo a DC. ¿Cu´anto mide el ´angulo ∡_CAD_?

A B

C D

1.2. Angulos en circunferencias

´

Dado un ángulo y una circunferencia, podemos calcular el valor de este ángulo dependiendo de los arcos que intersecta en ésta. La forma de calcular el ángulo dependerá del lugar donde se encuentre el vértice y de la forma en que sus lados intersecten la circunferencia. Veamos cada uno de ellos y la manera de calcularlos:

Definición 1.2.1 Un ángulo central es el que tiene su vértice en el centro de un c´ırculo y su valor es igual al arco que intersecta medido en radianes2

, es decir

α =AB.d 3

A

B O α

1

Una figura se dice que es convexa, si para cualesquiera dos puntos en ella, el segmento que los une est´a totalmente contenido en la figura.

2

Un radi´an es la medida de un ´angulo central que intersecta un arco que tiene longitud igual a un radio de la circunferencia.

3

(18)

Definición 1.2.2 Un ángulo inscrito es el que tiene su vértice sobre la circun-ferencia y los lados que lo forman son cuerdas de la circuncircun-ferencia. Su valor es igual a la mitad del arco que intersecta, es decir α=AB/d 2.

A

B C α

Definición 1.2.3 Un ángulo semi-inscrito es el que tiene su vértice sobre la circunferencia y está formado por una l´ınea tangente y una secante. Su valor es igual a la mitad del arco que intersecta, es decir α=AB/d 2.

A

B α

Teorema 1.2.1 El valor de un ´angulo inscrito es igual a la mitad del ´angulo central que intersecta el mismo arco.

Demostración.Probaremos esto para el caso cuando uno de los lados del ángulo coincide con un diámetro:

A

B C

O α α

β

En la figura anterior, sean CB un di´ametro, ∡_ACB ₌ _α _{(´angulo inscrito)}

y ∡_AOB ₌ _β _{(´angulo central). Debemos probar que} _α ₌ β

(19)

tantoOAcomoOC son radios de la circunferencia, entonces el tri´angulo∡_AOC

es is´osceles, esto es ∡_ACO ₌ ∡_CAO ₌ _{α. Sabemos que} _β ₌ ∡_AOB ₌ ∡_ACO₊∡_CAO ₌_α₊_{α, por lo tanto}_β _{= 2}_α.

Ahora, faltar´ıa demostrar lo anterior para los casos mostrados en las siguientes figuras. Esto puede hacerse f´acilmente utilizando el caso que ya hemos probado, pero esto se deja como ejercicio.

A

B C α O β

A

B C

O β α

Sin embargo, el vértice de un ángulo no siempre está en alguna de las posiciones antes mencionadas, por lo que debemos encontrar una forma de calcular la medida de un ángulo cuyo vértice esté dentro o fuera del c´ırculo en cuestión.

Teorema 1.2.2 La magnitud del ´angulo entre dos l´ıneas que se cortan dentro de un c´ırculo es equivalente a la semisuma de los arcos que cortan dichas l´ıneas. Es decir

α= ABd+CDd

2 .

Demostraci´on.Trazamos el segmentoCBy de esta manera obtenemos el tri´angu-lo _△P CB. Como α=β+θ tenemos

α = ABd

2 +

d

CD

2 =

d

AB+CDd

2 .

A

B C

D

(20)

Teorema 1.2.3 La magnitud del ´angulo entre dos l´ıneas que se cortan fuera de un c´ırculo es igual a la semidiferencia de los arcos que cortan dichas l´ıneas. Es decir

α= ABd−CDd

2 .

Demostración. Se traza el segmento DB, formándose as´ı el triángulo _△P DB. Comoθ =α+β, tenemos que α=θ₋β, entonces

α = ABd

2 −

d

CD

2 =

d

AB₋CDd

2 .

A

B C

D

P α _β θ

Ahora, veremos un ejemplo en el cual se mostrar´a la utilidad de los anteriores teoremas.

Ejemplo 1.2.1 Las circunferenciasC1 yC2 se intersectan en los puntosAyB. Se traza una rectalque corta aC1enCyD, y aC2enM yN, de tal manera que

AyB quedan en distintos lados del. Demuestra que∡_CAN₊∡_MBD_{= 180}◦_.

A

B

C D

M N

C1

C2

α β

θ

(21)

Demostración. Una recomendación muy útil cuando tenemos dos circunferencias que se cortan en dos puntos es trazar la cuerda común. Trazamos entonces AB. Tenemos que ∡_ABD ₌∡_ACD₌_α, _{ya que ambos son ángulos inscritos en} _C₁

los cuales intersectan el arcoAD.d De la misma manera,∡_ABM ₌∡_ANM ₌_β,

ya que ambos son ´angulos inscritos enC2.Por otro lado, si hacemos∡CAN =θ,

en el tri´angulo _△ACN tenemos que α+β+θ = 180◦_.

Ejemplo 1.2.2 Demuestra que el radio trazado hacia el punto de tangencia es perpendicular a la tangente.

Demostración. Sea A un punto sobre la circunferencia Γ y OA el radio trazado hacia éste. Por el punto A trazamos la recta ℓ perpendicular a OA. Claramente ℓ es tangente aΓ. En caso contrario, supongamos que ℓ intersecta aΓ, además de enA,en otro puntoB.ComoOB también es radio, tenemos que el triángulo

△OAB es is´osceles, de lo cual tenemos que ∡_ABO ₌ ∡_BAO _{= 90}◦_.

Clara-mente esto es una contradicción, ya que entonces la suma de los ángulos del triángulo _△OABser´ıa mayor que 180◦_._{Por lo tanto, la recta} _ℓ_{es tangente a la}

circunferencia en el punto A.

b

b b

O A B

Ejemplo 1.2.3 Sea ABCD un cuadrilátero el cual tiene sus cuatro vértices sobre una circunferencia. Las l´ıneas AB y DC se intersectan en un punto Q y las l´ıneas DAyCB se intersectan en un puntoP. Demuestra que las l´ıneas que bisectan los ángulos ∡_{DP C} _y ∡_AQD _{son mutuamente perpendiculares.}

Demostraci´on.SeaHel punto de intersecci´on de las dos bisectrices mencionadas. SeanY yXlos puntos donde la bisectriz del∡_AQD_{intersecta a la circunferencia}

(22)

isósceles. Para probar esto utilizaremos una técnica que resulta muy útil al resolver problemas y a la cual denominaremosir hacia atrás. La idea es suponer válido el resultado que queremos demostrar e ir observando que otros resultados también ser´ıan válidos. Se hace esto hasta que lleguemos a un resultado el cual sea fácil de demostrar o sea conocido por nosotros de alguna manera. Una vez hecho esto tratamos de regresarnos siguiendo los pasos en orden inverso. Aplicando esta técnica al problema tenemos lo siguiente:

△P EF is´osceles=_⇒ ∡_{P EF} ₌∡_{P F E}₌_⇒_DYd₊_ABd₊_BXd ₌d_{Y A}₊_ABd₊_XCd

=_⇒ DYd +BXd = dY A+XCd =_⇒ DYd ₋XCd = Y Ad ₋BX.d Esto ´ultimo es cierto debido a que QY es la bisectriz del ´angulo ∡_{AQD. El regreso se lleva a}

cabo sin dificultad alguna en este caso.

A

B

C D

E

F H X Y

P

Q

1.2.1. Problemas

Problema 1.6 Demuestra que dos l´ıneas paralelas cualesquiera que intersectan una circunferencia, cortan arcos iguales entre ellas.

Problema 1.7 Demuestra que el valor de un ´angulo semi-inscrito es igual al valor de un ´angulo inscrito que intersecte el mismo arco.

(23)

partes, y los puntos medios de los arcos obtenidos se han unido con segmentos de rectas. Demuestra que entre estos segmentos dos ser´an perpendiculares entre s´ı.

Problema 1.9 En la siguiente figuraP Ay P B son tangentes a la circunferen-cia. Demuestra que P A=P B.

A

B

P

Problema 1.10 Dos circunferencias son tangentes exteriormente en un punto

A.BC es una tangente com´un externa. Demuestra que ∡_BAC _{= 90}◦_.

Problema 1.11 A una circunferencia se le han trazado dos l´ıneas tangentes paralelas las cuales la tocan en los puntos M y N. Se traza una tercer tangente la cual corta a las tangentes anteriores en los puntos K y L. Sea O el centro de la circunferencia. Demuestra que ∡_KOL_{= 90}◦_.

Problema 1.12 Uno de los lados de un triángulo inscrito en una circunferencia coincide con un diámetro. Demuestra que el triángulo es un triángulo rectángulo.

Problema 1.13 Demuestra que la razón entre la longitud del lado de un triángulo y el seno del ángulo opuesto es igual al diámetro de la circunferen-cia circunscrita al triángulo. 4

Problema 1.14 Dos circunferencias se intersectan en los puntosAyBcomo se muestra en la figura. Se escoge un punto arbitrario C en la primer circunferencia y se trazan los rayos CA y CB, los cuales intersectan la segunda circunferencia de nuevo en los puntos D y E, respectivamente. Demuestra que la longitud del segmento DE no depende de la elecci´on del punto C.

4

Con esto hemos probado que SenaA = b

SenB = c

SenC = 2R, la cual es conocida como la

(24)

A B C

D

E

Problema 1.15 Dos circunferencias de centros O1 y O2 se intersectan en los puntosA y B, como se muestra en la figura. La l´ınea CD es tangente a ambas circunferencias. Demuestra que

∡_CAD₌ 1

2∡O1AO2.

b

A

B O1

O2

C D

1.3. El Teorema de Tales

Teorema 1.3.1 Si una l´ınea transversal corta a tres paralelas y los segmentos que quedan entre éstas se dividen en la razón m : n, entonces cualquier otra transversal que corte a estas paralelas también quedará dividida en la razón

m:n.

(25)

b

A

C B D

F E p

q

r

ℓ t

El rec´ıproco del teorema de Tales es válido cuando es aplicado a dos segmentos que comparten un extremo. Por ejemplo, si dos segmentos AB yAC comparten un vértice A, el segmento que une los puntos medios de éstos es paralelo al segmento que une los otros dos extremos. Es decir, seanDyE los puntos medios de AB y AC, respectivamente; como AD

DB = AE

EC, entonces por el rec´ıproco del

Teorema de Tales tenemos que DE es paralelo a BC. A

B C

D _E

Sin embargo, debemos tener cuidado cuando los segmentos no comparten un extremo. Por ejemplo, en la siguiente figura D y E son los puntos medios de A′_B _y _AC, _{respectivamente, y sin embargo} _DE _{no es paralelo ni a} _BC _{ni a}

A′_A.

A′

A

B C

D

(26)

Ejemplo 1.3.1 Sean F, G, H e I los puntos medios de los lados AB, BC,

CD y DA, respectivamente. Demuestra que el cuadril´atero F GHI es un para-lelogramo5

.

Solución.Tracemos la diagonalBD. ComoF eI son los puntos medios deAB y AD,respectivamente, tenemos queF I es paralelo aBD; también, como GyH son los puntos medios de BC y CD, respectivamente, entonces GH es paralelo a BD. De aqu´ı tenemos que F I es paralelo a GH. Análogamente, podemos demostrar queF Ges paralelo a IH. Como el cuadrilátero F GHI tiene sus dos pares de lados opuestos paralelos, entonces es un paralelogramo.

A

D

B C

F

H

G I

Ejemplo 1.3.2 En la siguiente figura, BE y AD son alturas del _△ABC las cuales se intersectan en un punto H. Sean F, G y K los puntos medios de los segmentos AH, AB y BC, respectivamente. Demuestra que ∡_{F GK} _{es un} ´angulo recto.

b

A

B D C

E F G

K H

Demostraci´on. Dado que G es el punto medio de AB y F el punto medio de AH,por el Teorema de Tales tenemos queGF es paralelo aBH.An´alogamente,

5

(27)

se prueba que GK es paralelo a AC.Por otro lado, como el ángulo entreBH y AC es 90◦_, _{también tenemos que el ángulo entre} _GF _y _GK _es ₉₀◦_.

1.3.1. Problemas

Problema 1.16 En la siguiente figura los segmentos a, b, c y d son paralelos y dividen al lado BC en 4 segmentos iguales. Si a = 10, encuentra la suma

a+b+c+d.

a b

c d A

B C

Problema 1.17 Sea ABCD un paralelogramo en el que L y M son puntos medios deAB yCD, respectivamente. Demuestra que los segmentos LC yAM

dividen la diagonal BD en tres segmentos iguales.

Problema 1.18 Demuestra que las diagonales en un paralelogramo se cortan en su punto medio.

Problema 1.19 SeaAM la mediana trazada hacia el ladoBC de un tri´angulo

△ABC. ProlongamosAM más allá del punto M y tomamos un puntoN de tal manera que AN es el doble de AM. Demuestra que el cuadrilátero ABNC es un paralelogramo.

(28)

Problema 1.21 En un paralelogramo ABCD se escogen los puntos E y F

sobre la diagonal AC de manera que AE = F C. Si BE se extiende hasta intersectar AD en H, y BF se extiende hasta intersectar DC en G,demuestra queHG es paralelo a AC.

Problema 1.22 AM es la mediana hacia el ladoBC de un tri´angulo_△ABC. Se toma un punto P sobre AM. BP se extiende hasta intersectar AC enE, y

CP se extiende hasta intersectar AB en D. Demuestra que DE es paralelo a

BC.

Problema 1.23 Sobre los lados AB y AC de un tri´angulo _△ABC se cons-truyen hacia afuera los cuadrados ABNM y CAP Q. SeaD el punto medio del lado BC. Demuestra que P M = 2_·AD.

1.4. Tri´

angulos semejantes

En esta sección analizaremos el concepto desemejanza de triángulos. Enseguida daremos una definición, que aunque no es formal, nos da la idea intuitiva de este concepto.

Definición 1.4.1 Se dice que dos triángulos son semejantes si tienen la misma forma (aunque no necesariamente el mismo tamaño), es decir, si tienen sus tres ángulos iguales.

Por ejemplo, los tri´angulos _△ABC y _△A′_B′_C′ _{son semejantes:}

A

B C

A′

B′ C′ 80◦

80◦

(29)

Si nosotros movemos el triángulo _△ABC hasta que el vértice A concida con el vérticeA′_{, y además lo hacemos de tal manera que el lado}_AB _{quede exactamente}

encima del lado A′_B′_{, tendremos la siguiente figura:}

A′, A

B′ C′ 80◦

70◦

B C

70◦

30◦

Aqu´ı podemos observar que los lados BC y B′_C′ _{son paralelos, y de manera}

inversa, si nosotros trazamos una l´ınea paralela a uno de los lados de un triángulo de manera que ésta corte a los dos lados restantes, entonces esta l´ınea paralela determinará un triángulo semejante al triángulo original.

A

B C

M N

Utilizando lo anterior y el teorema de Tales , tenemos las siguiente proporci´on: BM

MA = CN NA,

sumando 1 en ambos lados tenemos

BM

MA + 1 = CN

NA + 1 =⇒

BM +MA MA =

CN +NA NA =⇒

AB AM =

AC AN.

(30)

A

B C

M N

P

Utilizando nuevamente el teorema de Tales tenemos que CP

P B = CN NA.

Nuevamente sumamos 1 en ambos lados y obtenemos que CB

P B = CA NA,

pero como P B =NM tenemos que BC MN =

AC AN. Juntando los resultados anteriores tenemos que

AB AM =

BC MN =

AC AN,

es decir, si dos triángulos son semejantes, entonces sus lados son proporcionales. Probaremos ahora el rec´ıproco de este enunciado, es decir, probaremos que si dos triángulos tienen sus tres lados respectivos proporcionales, entonces son se-mejantes. Para esto, consideremos que los triángulos _△ABC y _△DEF tienen sus lados proporcionales, es decir, que se cumple que

AB DE =

AC DF =

BC EF =λ.

Sin p´erdida de generalidad, supongamos que λ > 1. Coloquemos el tri´angulo

△DEF de manera que el vértice D coincida con el vértice A y que el lado DE esté sobre el lado AB. Si tenemos que ∡_EDF ₌ ∡_BAC, _{entonces por el}

Teorema de Tales tenemos que EF es paralelo a BC y por tanto, el tri´angulo

(31)

∡_BAC. _Sea _F′ _{el punto donde la paralela a} _BC _por _E _{intersecta al lado} _AC_;

como sabemos que _△DEF′ _{∼ △}_ABC _{entonces se cumple que}

AB DE =

AC DF′ =

BC EF′.

De aqu´ı se obtiene que EF′ ₌ _EF _{y que} _DF′ ₌ _DF, _{es decir, los triángulos} △EF′_F _y _△_DF′_F _{son isósceles. Si trazamos las alturas de estos triángulos}

desde los v´ertices E yD sobre el segmento F′_F,_{tenemos que ambas caen sobre}

el punto medio de F′_F, _{pero entonces tenemos dos l´ıneas perpendiculares a}

F′_F _{las cuales son distintas. Esto es claramente una contradicci´on, por lo tanto}

F′ ₌_F _y _△_DEF _{∼ △}_ABC_.

F A, D

B C

E F′

Veamos algunos ejemplos donde utilicemos lo anterior:

Ejemplo 1.4.1 Tenemos dos tri´angulos semejantes _△ABC y _△MNP. Sabe-mos que sus lados son iguales a los valores marcados en la siguiente figura, encuentra cu´anto vale x.

A

B C

M

N P

2 3

4 8

4 x

Soluci´on. Como tenemos que los lados de ambos tri´angulos son proporcionales, entonces:

x

3 = 8 4

(32)

Ejemplo 1.4.2 En la siguiente figura, ABCD es un paralelogramo. Sobre los ladosAB y ADse dibujan los triángulos equiláteros_△ABF y_△ADE, respec-tivamente. Demuestra que el triángulo_△F CE es equilátero.

A

B C

D F

E

Solución.Cuando dos triángulos, además de ser semejantes, tienen las longitudes de sus lados iguales se dice que son congruentes. En la figura anterior, tenemos que ∡_{F AE}_{+ 120}◦ ₊∡_BAD _{= 360}◦_{, entonces} ∡_{F AE} _{= 240}◦ ₋∡_BAD ₌

180◦₋∡_BAD_{+ 60}◦_._Como∡_{F BC} _{= 180}◦₋∡_BAD_{+ 60}◦_,_entonces∡_{F AE} ₌ ∡_{F BC. Adem´as, tenemos que} _{F A} ₌ _{F B} _y _AE ₌ _{BC, esto implica que el}

triángulo_△F AE es congruente al triángulo _△F BC y por lo tantoF E =F C. De manera análoga podemos demostrar queEC =F E y as´ı concluimos que el triángulo_△F EC es equilátero.

Ejemplo 1.4.3 SeaZ un punto sobre el ladoAB de un triángulo_△ABC. Una l´ınea a través deA paralela a CZ intersecta a BC en X. Una l´ınea a través de

B paralela a CZ intersecta aAC en Y. Demuestra que

1

CZ =

1

AX +

1

BY .

C

A B

X

Y

(33)

Demostraci´on. Primero reescribimos la expresi´on que queremos demostrar como

1 = CZ

AX + CZ BY .

Tenemos que el tri´angulo_△BCZ es semejante al tri´angulo_△BXA,de aqu´ı ob-tenemos

CZ AX =

BZ AB.

De manera an´aloga, de la semejanza entre los tri´angulos _△ACZ y _△AY B, tenemos que

CZ BY =

AZ AB.

Sumando estas dos expresiones que hemos obtenido tenemos que CZ AX + CZ BY = BZ AB + AZ AB =

AZ+ZB AB =

AB

AB = 1.

Ejemplo 1.4.4 Dado un triángulo _△ABC, sea l una l´ınea que pasa por el vértice A la cual divide el ángulo ∡_BAC _{en dos partes iguales. Sean}_P _y _Q _las proyecciones desde B y C sobre l, respectivamente, y sea D un punto sobre la l´ınea BC de tal manera que DA es perpendicular a l. Demuestra que AD, BQ

y CP concurren.

C A B D P Q S

Demostraci´on. Sea S el punto donde la l´ınea BQ intersecta a AD. Como AD, CQ y BP son paralelas, tenemos que

SQ SB =

(34)

Adem´as, como los tri´angulos _△ABP y_△ACQ son semejantes, tenemos que QC

BP = AQ AP,

de aqu´ı obtenemos que los tri´angulos _△SQC y _△SBP son semejantes y com-parten el v´ertice S, por lo tanto, P, C y S son colineales.

En el siguiente ejemplo podemos observar c´omo la geometr´ıa y el ´algebra, en ocasiones, se mezclan en armon´ıa para dar como resultado demostraciones con gran belleza.

Ejemplo 1.4.5 Expresa el lado de un decágono regular en función del radio de la circunferencia circunscrita a éste.

Solución.Sean AB =xuno de los lados del decágono,O el centro de la circun-ferencia y R el radio de ésta. Sea C un punto sobre el lado OB de tal manera que∡_OAC ₌∡_CAB _{= 36}◦_._{De esta manera, obtenemos el triángulo} _△_CAB,

el cual es semejante al tri´angulo_△OAB. Utilizando la proporci´on entre los lados tenemos:

x R =

R₋x x .

Esto da lugar a la siguiente ecuación (aqu´ı se acabó la geometr´ıa y le toca el turno al álgebra):

x2

+Rx₋R2

= 0,

la cual tiene como ra´ıces a R √5₋1 2

y ₋R √5+1 2

. Claramente, la segunda no puede ser soluci´on de nuestro problema, ya que no existen longitudes negativas. Por lo tanto, la soluci´on es R √5₋1

2 . R A B C

O _x _R₋_x x x

36◦

36◦ 36◦

(35)

Hasta este momento, podr´ıa quedarnos la idea de que un problema posee s´olo una soluci´on y se necesita de mucha suerte para encontrarla. Normalmente esto no es cierto, como podemos apreciarlo en el siguiente ejemplo para el cual damos tres soluciones (esencialmente) distintas:

Ejemplo 1.4.6 Sea ABC un tri´angulo tal que AB > AC > BC. Sea D un punto sobre el lado AB de tal manera que CD =BC, y sea M el punto medio del lado AC. Demuestra que BD=AC si y s´olo si ∡_BAC _{= 2}∡_ABM_.

Primera Soluci´on. Sea ∡_BAC _{= 2}_α. _{Prolongamos el segmento} _BM _{hasta un}

punto B′ tal que BM = MB′. De este modo obtenemos que el cuadril´atero AB′_CB _{es un paralelogramo, de donde se sigue que} _B′_C ₌_AB_{. Tambi´en}

sabe-mos que DC = BC = AB′_, _{entonces el cuadril´atero} _ADCB′ _{es un trapecio}

is´osceles. De aqu´ı se sigue que DB′ ₌ _AC. _{Con estas tres igualdades de}

seg-mentos obtenemos que el tri´angulo B′_CD _{es congruente al tri´angulo} _ABC. _Se

sigue que ∡_DB′_C _{= 2}_α. _{Entonces se cumple que} _BD ₌ _DB′ ₌ _AC _{si y s´olo}

si ∡_DB′_B ₌∡_DBB′_{, lo cual es cierto si y s´olo si} ∡_DB′_B ₌∡_BB′_C ₌_α. _Es

decir, BD=AC si y s´olo si∡_BAC _{= 2}∡_ABM.

b b

b

A B′

B C

D

M 2_α

β

β θ

Segunda Soluci´on. Tracemos primero la alturaCF desdeC. Sean2α =∡_BAC,

β =∡_ABM _y_θ₌∡_{F MB. Como el tri´angulo}_△_{CF A}_{es un tri´angulo}

rectángu-lo, tenemos que F M = AC/2, además, también tenemos que ∡_{MF A} _{= 2}_α.

Por otro lado, como el ´angulo∡_{MF A}_{es exterior al tri´angulo}_△_{MF B, tenemos}

(36)

b b

b

A

B C

D

M F

2_α

β

θ 2_α

Tercera Soluci´on.Sea C′ _{el punto donde la paralela a} _MB _por _A_{intersecta a la}

l´ınea BC, y sea D′ _{el punto sobre el lado} _AB _{tal que} _AD′ ₌_{BD. Observemos}

queC′_B ₌_BC ₌_CD _{y que}_BD′ ₌_{AD, adem´as, como el tri´angulo}_△_BCD_es

is´osceles tenemos que∡_C′_BD′ ₌∡_{ADC. Con esto, obtenemos que el tri´angulo}

△C′_BD′ _{es congruente al tri´angulo}_△_{CDA, de donde se sigue que}_C′_D′ ₌_AC.

Denotemos por 2α a los ´angulos∡_DAC _y ∡_C′_D′_B_.

b b

b

A

B C

C′

D

D′

M 2_α

2_α

Supongamos primero que BD =AC, es decir, AD′ ₌_{AC. Entonces,} _C′_D′ ₌

AD′ _{y de aqu´ı obtenemos que} ∡_AC′_D′ ₌∡_C′_AD′_{, adem´as, como} ∡_AC′_D′₊

∡_C′_AD′ ₌∡_C′_D′_B _{= 2}_α_{obtenemos que}∡_C′_AD′ ₌_{α. Como}_C′_A _y_BM _son

paralelas, concluimos que∡_ABM ₌∡_C′_AD′ ₌_α.

Ahora, supongamos que ∡_ABM ₌ _{α, entonces se sigue que} ∡_C′_AD′ ₌ _α.

(37)

que AD′ ₌_C′_D′ ₌_{AC, y como} _AD′ ₌_{BD, concluimos que} _BD ₌_AC.

1.4.1. Problemas

Problema 1.24 Demuestra que la recta que une los puntos medios de los lados paralelos de un trapecio pasa por el punto de intersecci´on de las diagonales.

Problema 1.25 En un tri´angulo_△ABC, sobre el lado BC se toma un punto

D de tal manera que ∡_BAD₌∡_ACB. _{Demuestra que} ₍_AB₎2

=BD_·BC.

Problema 1.26 En un tri´angulo_△ABC, la alturaCEes extendida hastaGde tal manera que EG=AF, donde AF es la altura trazada haciaBC. Una l´ınea a trav´es de Gy paralela aAB intersectaCB enH. Demuestra queHB =AB.

Problema 1.27 Dos circunferencias se intersectan en los puntosAy B. Por el punto Ase han trazado los segmentos AC yAD, cada uno de los cuales, siendo cuerda de una circunferencia, es tangente a la segunda circunferencia. Demuestra que AC2

·BD=AD2

·BC.

Problema 1.28 En un trapecio ABCD (AB paralelo a DC) sea AB = a

y DC = b. Sean M, N, P y Q los puntos medios de AD, BD, AC y BC,

respectivamente. Demuestra que

(a) MQ= a+b

2

(b) NP = |a−2b|

Problema 1.29 En un trapecio ABCD (AB paralelo a DC) sea AB = a y

DC = b. Supongamos que ∡_ADC₊∡_BCD _{= 90}◦_. _Sean _M _y _N _{los puntos} medios de AB yDC, respectivamente. Demuestra que

(38)

Problema 1.30 En un trapecio ABCD (AB paralelo a DC) M es el punto medio del lado DC. Supongamos que AM intersecta a BD en E. A trav´es de

E, se traza una l´ınea paralela aDC la cual corta aAD,AC yBC,en los puntos

H,F y G, respectivamente. Demuestra que HE =EF =F G.

Problema 1.31 Demuestra que las rectas que unen los centros de los cuadra-dos, construidos exteriormente sobre los lados de un paralelogramo, forman tam-bi´en un cuadrado.

Problema 1.32 En un cuadril´atero ABCD. Sobre las rectas AC y BD se toman los puntos K y M de manera que BK es paralelo a AD y AM es paralelo a BC. Demuestra que KM es paralelo aCD.

Problema 1.33 SeaM el punto medio de la base AC de un tri´angulo is´osceles

△ABC. H es un punto en BC tal que MH es perpendicular a BC. P es el punto medio del segmento MH. Demuestra que AH es perpendicular a BP.

Problema 1.34 Se da un tri´angulo_△ABC.En la recta que pasa por el v´ertice

A y es perpendicular al lado BC, se toman dos puntos A1 y A2 de modo que

AA1 = AA2 = BC (A1 es más próximo a la recta BC que A2). De manera análoga, en la recta perpendicular a AC, que pasa por B, se toman los puntos

B1 yB2 de modo queBB1 =BB2 =AC. Demuestra que los segmentos A1B2 y A2B1 son iguales y mutuamente perpendiculares.

Problema 1.35 Por el punto de intersecci´on de las diagonales de un cuadril´atero

ABCD se traza una recta que corta a AB en el punto M y a CD en el punto

N. Por M y N se trazan las rectas paralelas a CD y AB, respectivamente, que cortan a AC y a BD en los puntos E y F. Demuestra que BE es paralelo a

CF.

Problema 1.36 Sea E un punto arbitrario sobre el lado AC del tri´angulo

(39)

Problema 1.37 Sea_△ABC un triángulo equilátero y seaΓel semic´ırculo que tiene a BC como diámetro y que es exterior al triángulo. Demuestra que si una l´ınea que pasa por A trisecta a BC, entonces también trisecta al arco Γ.

1.5. Cuadril´

ateros c´ıclicos.

Un hecho muy conocido en geometr´ıa es que por cualesquiera tres puntos no alineados pasa exactamente una circunferencia. ¿Pero qué podemos decir si con-sideramos cuatro puntos en lugar de tres? Como es de esperarse, no siempre existirá una circunferencia que pase por los cuatro puntos dados. Por ejemplo, consideremos la circunferencia que pasa por tres puntos dados (la cual es única), A, B, C, y agreguemos un cuarto punto, D, el cual no esté sobre la circunferen-cia. Claramente, no existe una circunferencia que pase por estos cuatro puntos, ya que en particular pasar´ıa por A, B, C,y por la manera en que escogimos aD, ésta no puede pasar por D.De aqu´ı vemos que los cuadriláteros que posean una circunferencia que pase por sus vértices deben ser en cierta forma especiales. A tales cuadriláteros se les acostumbra llamar cuadriláteros c´ıclicos.

Definición 1.5.1 Un cuadrilátero que está inscrito en una circunferencia, es decir, sus cuatro vértices están sobre una misma circunferencia se dice que es un cuadrilátero c´ıclico.

Veremos que dos ángulos opuestos de un cuadrilátero c´ıclico suman 180◦_, _más

aún, para que un cuadrilátero sea c´ıclico es suficiente con verificar que dos ángulos opuestos sumen 180◦_.

Teorema 1.5.1 Un cuadrilátero es c´ıclico si y sólo si la suma de dos ángulos opuestos es igual a 180◦_.

Demostraci´on. Para probar esto, primero vamos a suponer que el cuadril´atero ABCD es c´ıclico. Tenemos que el ∡_DAB ₌ BDd

2 y ∡BCD = d

DB

2 , y como

d

(40)

A

B

C D α

β

Ahora supongamos que∡_DAB₊∡_BCD₌_α₊_β _{= 180}◦_{. Tracemos la}

circun-ferencia que pasa por los vérticesD, A y B y supongamos que ésta no pasa por el vértice C. Prolonguemos DC hasta que intersecte a la circunferencia en C′. Como el cuadriláteroABC′_D_{es c´ıclico tenemos que}∡_DAB₊∡_BC′_D_{= 180}◦_,

esto quiere decir que∡_BC′_D ₌∡_BCD₌_β _{y entonces} _DC _{es paralelo a} _DC′_,

lo cual es una contradicci´on ya que l´ıneas paralelas no se intersectan. Entonces C coincide con C′ _{y por lo tanto el cuadril´atero} _ABCD _{es c´ıclico.}

A

B

C′ C

D α

β β

Ahora vamos a hacer un ejemplo donde utilicemos el teorema anterior:

Ejemplo 1.5.1 Las circunferencias C1 y C2 se intersectan en los puntos A y

(41)

A

B C

D M

α β θ

C1

C2

β

α

Soluci´on. Queremos probar que ∡_CMD₊∡_DBC _{= 180}◦_{. Tracemos la cuerda}

com´un AB. Tenemos que ∡_MCA ₌ ∡_CBA ₌ _α _{ya que uno es ´angulo}

semi-inscrito y el otro es ´angulo semi-inscrito, ambos en la circunferenciaC1. An´alogamente

se demuestra que ∡_MDA ₌∡_DBA₌ _β _(en _C₂_{). Tenemos que} _α₊_β₊_θ ₌

180◦_, _{por ser los ´angulos internos del tri´angulo} _△_{MCD, pero como} ∡_CBD ₌

α+β tenemos que ∡_CMD₊∡_DBC _{= 180}◦_.

Ejemplo 1.5.2 SeaBC el di´ametro de un semic´ırculo y sea A el punto medio del semic´ırculo. Sea M un punto sobre el arco dAC. Sean P y Q los pies de las perpendiculares desde A y C a la l´ınea BM, respectivamente. Demuestra que

BP =P Q+QC.

Soluci´on. Consideremos el puntoD sobre el rayo BP de tal manera que QD =

QC, entonces P D =P Q+QD = P Q+QC. Bastar´a entonces probar que P es el punto medio de BD. Primero, tenemos que Q y M coinciden, entonces

∡_QDC ₌∡_QCD _{= 45}◦_{, y como}_O _{es el punto medio de}_BC,_{ahora tendremos}

que demostrar que OP es paralelo a DC. Para esto, bastar´a demostrar que

∡_{BP O} _{= 45}◦_. _Como _AO _⊥ _BC _y ∡_{AP B} _{= 90}◦ _{tenemos que} _{AP OB} _es

(42)

A

B C

D

M, Q

P

O 45◦

45◦

Aunque el siguiente ejemplo ya fue demostrado en la sección anterior, damos una demostración más utilizando cuadriláteros c´ıclicos.

Ejemplo 1.5.3 Sea _△ABC un tri´angulo tal que AB > AC > BC. Sea D un punto sobre el lado AB de tal manera queCD =BC, y sea M el punto medio del lado AC. Demuestra queBD =AC si y s´olo si ∡_BAC _{= 2}∡_ABM_.

Demostraci´on.Sea P un punto sobre BM tal que∡_{P AM} ₌∡_MBA₌_α. _Los

triángulos _△MAP y _△MBA comparten el ángulo ∡_BMA _{y por construcción} ∡_{P AM} ₌∡_MBA,_{por tanto, son semejantes. As´ı que} M A

M P = M B

M A.ComoMA=

CM,se tiene que CM M P =

M B

CM.Entonces, los tri´angulos△MCP y△MBC tienen

lados proporcionales, adem´as comparten el ´angulo ∡_CMB. _{Se sigue que son}

semejantes. De aqu´ı obtenemos que ∡_MCP ₌∡_MBC ₌_β.

b b

b

A

B C

D

M α

α

β

(43)

Ahora, observemos que ∡_{AP C} _{= 180}₋₍_α₊_β₎_._{Por otro lado, como} _α₊_β ₌ ∡_ABC ₌∡_CDB,_{se tiene que}∡_ADC _{= 180}₋₍_α₊_β_{) =}∡_{AP C.}_Obtenemos

que el cuadril´atero CP DA es c´ıclico. Esto implica que ∡_{P DB} ₌∡_{P CA}₌_β.

Se sigue que los tri´angulos _△CP Ay _△DP B son semejantes. Entonces, BD =

AC _⇔ ∆CP A ∼= ∆DP B _⇔ P A = P B _⇔ ∡_{P AB} ₌ ∡_{P BA} ₌ ∡_{P AC} _⇔

∡_A _{= 2}∡_MBA.

Ejemplo 1.5.4 Sea _△ABC un tri´angulo y sea D el pie de la altura desde

A. Sean E y F sobre una l´ınea que pasa por D de tal manera que AE es perpendicular a BE, AF es perpendicular a CF, E y F son diferentes de D. Sean M yN los puntos medios deBC y EF, respectivamente. Demuestra que

AN es perpendicular a NM.

B C

A

M D

F

N

E

α

β β

θ

α

Demostración.Tenemos queEestá sobre la circunferencia circunscrita al triángu-lo _△ABDy F está sobre la circunferencia circunscrita al triángulo_△ADC, en-tonces los cuadriláterosABDEyADCF son c´ıclicos. De lo anterior tenemos que

∡_ABD ₌∡_AEF ₌_α _y ∡_ACD₌∡_{AF E} ₌_β _{lo cual implica que} _△_ABC _∼

△AEF.TantoM comoN son puntos medios de los lados correspondientes BC y EF, respectivamente, y esto implica que ∡_AMB ₌∡_ANE ₌ ∡_AND₌ _θ,

es decir, el cuadril´atero ADMN es c´ıclico y por lo tanto ∡_ANM _{= 90}◦_.

(44)

N, respectivamente. Sean P y Q los puntos de intersecci´on de AD con EF y

MN, respectivamente. Demuestra que Q es el punto medio deP D.

Demostración.ComoADes diámetro, los ángulos∡_AMD _y∡_AND_{son rectos.}

El tri´angulo _△ABD es entonces semejante al _△ADM y de aqu´ı, AM _·AB =

AD2

. An´alogamente,AN_·AC =AD2

. Por lo tanto,AM_·AB =AN_·AC. Esto implica que los triángulos_△ANM y_△ABC son semejantes, ya que además de tener una pareja de lados proporcionales también comparten el ángulo ∡_BAC.

Se sigue queBCNM es un cuadril´atero c´ıclico. A

B D C

E

F

M

N P

Q T

R α

α

Por otro lado, como ∡_BEC ₌ ∡_{BF C} _{= 90}◦_, _{el cuadril´atero} _{BF EC} _tambi´en

es c´ıclico. Entoncesγ=∡_ACB ₌∡_AMN ₌∡_{AF E}_{. De aqu´ı,}_MN _{es paralela}

a F E. Además, si T es el punto de intersección de MN con CF, ∡_{CT N} ₌ ∡_{F T M} _{= 90}◦ ₋∡_{T MF} _{= 90}◦ ₋_γ ₌ ∡_CDN_{. Por lo tanto, el cuadrilátero}

DT NC es c´ıclico y entonces ∡_{DT C} ₌∡_DNC _{= 90}◦_{. El cuadril´atero} _{DMF T}

tiene 3 ángulos rectos, luego el cuarto ángulo también es recto, es decir, se trata de un rectángulo.

TracemosF Rparalela aP QconRsobreMN,entonces los tri´angulos_△F MRy

△DT Qson de lados paralelos y comoDT =F M los tri´angulos son congruentes, luego DQ=F R=P Q, por lo tanto Q es el punto medio de P D.

(45)

intersecta de nuevo a las circunferencias en los puntos M y N. Por M y N se trazan las l´ıneas tangentes respectivas y ´estas se intersectan en el punto P. La paralela aP N porO2 y la paralela aP M porO1se intersectan enQ. Demuestra que las rectas P Q, al variar la recta l, pasan por un punto fijo y que la longitud del segmento P Q es constante.

M

B

N

O1 O2

A Q

T

P α α

α

Demostraci´on. Como vimos en el Ejemplo 1.5.1, el cuadril´ateroBMP N es c´ıcli-co. Entonces ∡_{BP N} ₌∡_BMN ₌_α. _{Por otro lado, tenemos que} ∡_BO₁_O₂ ₌ ∡_BMN _y ∡_BO₂_O₁ ₌ ∡_{BNM, lo cual implica que} ∡_O₁_BO₂ ₌ ∡_MBN_.

Con esto hemos probado que el cuadril´atero BO1QO2 es c´ıclico. De aqu´ı

ob-tenemos que ∡_BQO₂ ₌ ∡_BO₁_O₂ ₌ ∡_BMN ₌ _α, _{lo cual implica que} _B,

Q y P est´an alineados. De no ser as´ı, tendr´ıamos que BP intersectar´ıa a la l´ınea QO2 en un puntoQ′ distinto deQ,pero entonces tambi´en tendr´ıamos que ∡_BQ′_O₂ ₌∡_{BP N} ₌∡_BQO₂ ₌_α, _{lo que a su vez implicar´ıa que los puntos}

B, O1, Q, Q′ y O2 son conc´ıclicos. Esto es una contradicci´on, por lo tanto, B,

Q y P est´an alineados.

Para la segunda parte consideramos la proyección deQ sobreP N y la llamamos T. Sabemos que el ángulo∡_BMA₌_α _{no depende de la elección de la recta} _l,

(46)

de centro O2 y ∡QP T = α, tenemos que los tri´angulos △QP T siempre son

congruentes. Por lo tanto, la longitud del segmentoP Qno depende de la elecci´on de la l´ınea l.

1.5.1. Problemas

Problema 1.38 En la siguiente figura est´an trazadas las bisectrices 6

de los ´angulos interiores del cuadril´ateroABCD, las cuales se intersectan en los puntos

E, F, G y H, como se muestra en la figura. Demuestra que el cuadril´atero

EF GH es c´ıclico.

B C

D A

G H E F

Problema 1.39 En un tri´angulo_△ABC seanM,N yP, puntos sobre los lados

BC,CAyAB, respectivamente. Se trazan las circunferencias circunscritas a los tri´angulos _△AP N,_△BMP y_△CNM. Demuestra que las tres circunferencias tienen un punto en com´un.7

Problema 1.40 Están dadas cuatro rectas en el plano de manera que no hay un par de ellas que sean paralelas. Estas rectas determinan cuatro triángulos. Demuestra que los centros de las circunferencias circunscritas a estos triángulos determinan un cuadrilátero c´ıclico.

Problema 1.41 En un tri´angulo_△ABC seanM,N yP, puntos sobre los lados

BC, CA y AB, respectivamente. Se trazan las circunferencias circunscritas a

6

La bisectriz de un ángulo es la l´ınea que pasa por el vértice y lo divide en dos ángulos iguales.

7

(47)

los tri´angulos _△AP N, _△BMP y _△CNM. Sea T un punto cualquiera en el plano. La l´ınea T A corta a la circunferencia circunscrita al tri´angulo _△AP N

de nuevo en A′_, _{La l´ınea} _{T B} _{corta a la circunferencia circunscrita al tri´angulo} △BMP de nuevo en B′_, _{y La l´ınea} _{T C} _{corta a la circunferencia circunscrita al}

tri´angulo_△CNM de nuevo enC′_. _{Demuestra que los puntos}_A′_{, B}′_{, C}′ _y_T _son

conc´ıclicos.

Problema 1.42 Por uno de los puntos C del arco ABd de una circunferencia se han trazado dos rectas arbitrarias que cortan la cuerda AB en los puntos D

y E, y a la circunferencia, en los puntos F y G. ¿Para cu´al posici´on del punto

C en el arco ABd, el cuadril´atero DEGF es c´ıclico?

Problema 1.43 Una l´ınea P Q, paralela al lado BC de un tri´angulo _△ABC, corta a AB y a AC en P yQ, respectivamente. La circunferencia que pasa por

P y es tangente a AC en Q corta de nuevo a AB en R. Demuestra que el cuadril´atero RQCB es c´ıclico.

Problema 1.44 Se toma un punto P en el interior de un rect´angulo ABCD

de tal manera que ∡_{AP D}₊∡_{BP C} _{= 180}◦_{. Encuentra la suma de los ´angulos}

∡_DAP _y ∡_BCP_.

Problema 1.45 Sobre los lados de un cuadrilátero convexo hacia el exterior están construidos cuadrados. Las diagonales del cuadrilátero son perpendiculares. Demuestra que los segmentos que unen los centros de los cuadrados opuestos, pasan por el punto de intersección de las diagonales del cuadrilátero.

Problema 1.46 En un cuadrado ABCD, M es el punto medio de AB. Una l´ınea perpendicular aMC porMintersectaADenK. Demuestra que∡_BCM ₌

∡_KCM_.

(48)

Problema 1.48 Sea AB el di´ametro de un c´ırculo con centro O. Se toma un punto C sobre la circunferencia de tal manera que OC es perpendicular a

AB. Sea P un punto sobre el arco CB. Las l´ıneas CP y AB se intersectan en

Q. Se escoge un punto R sobre la l´ınea AP de tal manera que RQ y AB son perpendiculares. Demuestra que BQ=QR.

Problema 1.49 Sea ABC un triángulo rectángulo con ángulo recto en A, tal queAB < AC. SeaM el punto medio de BC yDla intersección de AC con la perpendicular a BC que pasa por M. Sea E la interseción de la paralela a AC

que pasa porM con la perpendicular aBD que pasa por B.Demuestra que los tri´angulos AEM y MCAson semejantes si y s´olo si ∡_ABC _{= 60}◦_.

Problema 1.50 Demuestra que si un cuadril´atero c´ıclico tiene sus diagonales perpendiculares, entonces la perpendicular trazada hacia un lado desde el punto de intersecci´on de las diagonales bisecta el lado opuesto.

Problema 1.51 Demuestra que si un cuadril´atero c´ıclico tiene sus diagona-les perpendiculares, entonces la distancia desde el centro de la circunferencia circunscrita hasta un lado es igual a la mitad de la longitud del lado opuesto.

Problema 1.52 Sea ABCD un cuadril´atero convexo tal que las diagonales

AC y BD son perpendiculares, y sea P su intersecci´on. Demuestra que las reflexiones 8

de P con respecto a AB, BC,CD y DA son conc´ıclicos.

Problema 1.53 Está dada la circunferencia Ω. Desde un punto exterior P se trazan dos l´ıneas tangentes aΩlas cuales la tocan en Ay B.También por P se traza una secante l a Ω. Desde el centro de Ω se traza una recta perpendicular a l la cual corta a Ω en el punto K y a l en C (el segmento BK corta a l). Demuestra que BK bisecta el ángulo ∡_ABC_.

Problema 1.54 La cuerda CD de un c´ırculo de centro O es perpendicular a su di´ametro AB. La cuerda AE bisecta el radio OC. Demuestra que la cuerda

DE bisecta la cuerda BC. 8

Decimos que un puntoX′ _{es el reflejado de}_X _{con respecto a una l´ınea}_ℓ _{si el segmento}

(49)

Problema 1.55 Están dados una circunferencia C1 y un punto P exterior a ésta. Desde P se trazan las tangentes a C1 las cuales la intersectan en los puntos A yB. También desde P se traza la secantel la cual intersecta aC1 en los puntos C y D. Por A se traza una l´ınea paralela a l la cual intersecta a C1, además de en A, en un punto E. Demuestra que EB bisecta la cuerda CD.

Problema 1.56 Desde un punto sobre la circunferencia circunscrita a un triángu-lo equilátero _△ABC están trazadas rectas paralelas aBC,CAyAB, las cuales cortan CA, AB y BC en los puntos M, N y Q, respectivamente. Demuestra que M, N yQ están alineados.

Problema 1.57 SeanAB yCDdos cuerdas sobre una circunferencia las cuales no se intersectan y sea P un punto variable sobre el arcoAB,d el cual no contiene los puntos C y D. Sean E y F las intersecciones de las cuerdas P C, AB, y

P D, AB, respectivamente. Demuestra que el valor de AE_·BF

EF no depende de la

posici´on del punto P.

Problema 1.58 El _△ABC tiene inscrita una circunferencia, cuyo di´ametro pasa por el punto de tangencia con el lado BC y corta la cuerda que une los otros dos puntos de tangencia en el punto N. Demuestra queAN parteBC por la mitad.

Problema 1.59 Dos circunferencias se intersectan en los puntos A y B. Una recta arbitraria pasa porB y corta por segunda vez la primera circunferencia en el punto C y a la segunda en el puntoD. Las tangentes a la primera circunferencia en C y a la segunda enD se cortan en el puntoM. Por el punto de intersecci´on de AM y CD pasa una recta paralela a CM, que corta AC en el punto K. Demuestra que KB es tangente a la segunda circunferencia.

Problema 1.60 Sean B y C dos puntos de una circunferencia, AB y AC las tangentes desde A. Sea Q un punto del segmento AC y P la intersecci´on de

BQ con la circunferencia. La paralela aAB porQ corta aBC enJ. Demuestra que P J es paralelo a AC si y s´olo siBC2

(50)

Problema 1.61 Dado un cuadril´atero c´ıclicoABCD, las diagonalesACyBD

se intersectan enE y las l´ıneasADyBC se intersectan enF.Los puntos medios de AB y CD son G y H, respectivamente. Demuestra que EF es tangente en

E al circunc´ırculo del tri´angulo _△EGH.

1.6. Potencia de un punto con respecto a una

circunferencia

Consideremos un punto P y una circunferencia Ω. Ahora, tracemos una l´ınea ℓ que pase por P y nombremos A y B a las intersecciones de ℓ con Ω. El productoP A_·P B es llamado lapotenciadeP con respecto aΩ. Como veremos enseguida, el valor deP A_·P B no depende de la l´ınea ℓ que hayamos trazado. Sin embargo, cuando consideramos segmentos dirigidos tenemos que la potencia de un punto dado P es positiva, cero, o negativa, dependiendo de si el punto se encuentra fuera, sobre, o dentro de la circunferencia. De ahora en adelante no nos preocuparemos por el signo de la potencia, ya que para muchos de los problemas a los que nos enfrentamos en una olimpiada de matemáticas sólo nos interesa el valor absoluto de ésta.

A B ℓ

P A B

ℓ

P A B

ℓ

P

b

Teorema 1.6.1 La potencia de un punto P con respecto a una circunferencia

Ωes constante.

Demostraci´on.Demostraremos el teorema para cada uno de los casos siguientes.

(51)

II. El puntoP est´a en el interior deΩ. SeanAB yCD dos cuerdas arbitrarias que pasan por el punto P. Tracemos CA y BD. Tenemos que ∡_ACD ₌ ∡_ABD_{porque ambos son ´angulos inscritos que intersectan el mismo arco,}

an´alogamente ∡_CAB ₌ ∡_{CDB, de aqu´ı que el tri´angulo} _△_{AP C} _es

semejante al tri´angulo _△DP B de donde se obtiene que AP

P D = P C

P B =⇒AP ·P B =CP ·P D

lo cual muestra que la potencia es constante para todas las cuerdas que pasen por P.

A

B D

C

P

III. El punto P est´a en el exterior de la circunferencia. Sean P B y P D dos secantes arbitrarias trazadas desde P, las cuales intersectan a la circun-ferencia, adem´as de en B y D, en los puntos A y C, como se muestra en la figura. Tracemos CA y BD. Tenemos que ∡_ACP ₌∡_ABD ₌_α,

ya que el cuadrilátero ABDC es c´ıclico. Por la misma razón, ∡_CAP ₌ ∡_BDC ₌ _{β, de aqu´ı que el triángulo} _△_{AP C} _{es semejante al triángulo}

△DP B de donde se obtiene que AP

P D = P C

P B =⇒AP ·P B =CP ·P D

lo cual muestra que la potencia es constante para todas las rectas secantes que pasen por P. 9

9

(52)

B

A

P

C

D α

α

β

β θ

Veremos ahora como la potencia de un punto nos puede ayudar a solucionar algunos problemas en los que aparentemente no tiene relaci´on.

Ejemplo 1.6.1 Está dado un ángulo con vérticeO y una circunferencia inscrita en él, la cual toca sus lados en los puntosAyB. Por el puntoAse traza una l´ınea paralela a OB la cual intersecta a la circunferencia en el punto C. El segmento

OCintersecta la circunferencia en el puntoE. Las l´ıneasAEyOBse intersectan en el punto K. Demuestra que OK =KB.

Demostraci´on. Demostrar que OK = KB es equivalente a demostrar que OK2

=KB2

.ComoKB2

es la potencia del puntoK a la circunferencia tenemos queKB2

=KE _·KA (esto se deja como ejercicio). S´olo falta calcular OK2

,y para esto tenemos que∡_OAK ₌∡_ACE ₌_{α, ya que ambos ´angulos intersectan}

el arco dEA; adem´as ∡_EOK ₌ ∡_ACE, _{por ser} _AC _y _OK _{paralelos. Tenemos}

entonces que_△EOK _{∼ △}OAK de donde obtenemos que OK2

=KE_·KA y como ya hab´ıamos encontrado queKB2

=KE_·KAtenemos queOK2

=KB2

, es decir,OK =KB.

O K B E

A C

α

(53)

Ejemplo 1.6.2 La circunferencia inscrita en el tri´angulo _△ABC es tangente a los lados BC,CA yAB es los puntos D,E y F, respectivamente. ADcorta la circunferencia en un segundo punto Q. Demuestra que la recta EQ pasa por el punto medio de AF si y s´olo si AC =BC.

Demostración. De manera análoga a la solución del ejemplo anterior, tenemos que M es el punto medio deAF si y sólo si∡_MAQ₌∡_AEM _(β ₌_α).

B C

A

D

E M

F

Q β

α

Por otro lado, sabemos que ∡_EDQ ₌ ∡_AEM _{(inscrito y semi-inscrito que}

intersectan el mismo arco), entonces M ser´a el punto medio de AF si y s´olo si

∡_MAQ₌∡_EDQ._{Es decir,}_M _{es el punto medio de}_AF _{si y s´olo si}_ED_k_AB.

Pero esto ´ultimo es cierto si y s´olo si AC =BC.

Definici´on 1.6.1 Dadas dos circunferencias, consideremos el conjunto de pun-tos que tienen la misma potencia con respecto a ambas. A este conjunto se le denomina eje radical.

(54)

A

B C P

D C1 C2

Es muy fácil ver que cualquier punto sobre la l´ınea que pasa por A y B tiene la misma potencia con respecto a las dos circunferencias. Pero, ¿cómo sabemos que no hay más puntos, además de los de esta l´ınea, que pertenezcan al eje radical? Como veremos ahora, no existe ningún punto fuera de la recta el cual tenga la misma potencia con respecto a C1 y C2. Supongamos que P tiene la

misma potencia con respecto a C1 y C2 y consideremos la l´ınea que pasa por P

yA. Esta l´ınea intersecta aC1 yC2 por segunda vez en C yD,respectivamente.

Tenemos que la potencia de P con respecto a C1 es P A·P C y la potencia de

P con respecto aC2 es P A·P D, pero P C 6=P D, por lo tantoP no pertenece

al eje radical.

Si las dos circunferencias son tangentes en un punto entonces el eje radical es la l´ınea tangente que pasa por el punto com´un:

C1 C2

b

Por otro lado, si las dos circunferencias no se intersectan, se puede probar que el eje radical es la recta que pasa por los puntos medios de las tangentes comunes10

.

10

(55)

C1

C2

Teorema 1.6.2 Dadas tres circunferencias cuyos centros no est´an alineados, los tres ejes radicales (uno por cada par de circunferencias) se intersectan en un punto. Este punto es llamado el centro radical de las circunferencias.

Demostraci´on. Sean C1, C2 y C3 las circunferencias dadas y sea P el punto

donde se intersectan los ejes radicales de C1 y C2, y C1 y C3, respectivamente.

De aqu´ı es claro que P tiene la misma potencia con respecto a C1, C2 yC1, C3,

en particular, P tiene la misma potencia con respecto a C2 y C3. Se sigue que

P pertenece al eje radical de C2 y C3.

P C2

C3

C1

b

Utilizando este teorema podemos dar una manera de construir el eje radical de dos circunferencias que no se intersectan. Por ejemplo, para encontrar el eje radical deC1 yC2 trazamos dos circunferencias (C3 yC4) cada una de las cuales

(56)

centro radical deC1, C2 y C4 es Q.ComoP y Qtienen la misma potencia con

respecto a C1 y C2 tenemos que el eje radical de C1 y C2 es la l´ınea que pasa

porP y Q.

b

P

Q C1

C2

C3

C4

Ejemplo 1.6.3 Una l´ınea paralela al lado BC de un triángulo _△ABC corta a AB en F y a AC en E. Demuestra que las circunferencias que tienen como diámetros aBE y aCF se cortan en un punto que cae en la altura del triángulo

△ABC bajada desde el v´ertice A.

Demostraci´on.SeanC1yC2las circunferencias de di´ametrosBEyCF,

respecti-vamente. Supongamos queC1intersecta aACde nuevo enLy queC2intersecta

aAB de nuevo enK.SeanP yQlos puntos de intersecci´on de estas circunferen-cias. Debido a queBE es di´ametro deC1 tenemos que∡BLE = 90◦, de la

mis-ma mis-manera tenemos que ∡_CKF _{= 90}◦_,_{y con esto tenemos que el cuadril´atero}

BKLC es c´ıclico. Denotemos la circunferencia circunscrita de BKLC por C3.

Tenemos que la l´ınea BL es el eje radical de C1 y C3, adem´as, la l´ınea CK

es el eje radical de C2 y C3. Tenemos que estos ejes radicales se intersectan en

el ortocentro del tri´angulo (el punto donde concurren las alturas, H), y por el Teorema 1.6.2 tenemos que el eje radical de C1 y C2 tambi´en debe pasar por

(57)

P Qpasa por H,además, como sabemos que la l´ınea que une los centros de dos circunferencias es perpendicular a su eje radical (esto se deja como ejercicio), tenemos entonces que P Qes perpendicular aMN.Por otro lado, como M yN son puntos medios de BE y CF,además, como EF _kBC, concluimos que los puntos P y Qestán sobre la l´ınea que contiene la altura desde el vértice A.

A

B C

F E

K

L

P

H

Q C1

C2

b b

b

M N

1.6.1. Problemas

Problema 1.62 En la siguiente figura est´an trazadas una secante y una tan-gente que intersectan la circunferencia en los puntos A, B yM. Demuestra que

P M2

=P A_·P B.

B

A

P

M

(58)

traza-da una tangente, la cual tiene una longitud igual al doble del lado del cuadrado. Encuentra el radio de la circunferencia en funci´on del lado del cuadrado.

x

x 2_x

Problema 1.64 En la siguiente figura AB = AD = 5, BC = 9 y AC = 7. Encuentra BD

DC.

B D C A

5 5 ₇

9

Problema 1.65 Demuestra que el eje radical de dos circunferencias, donde ninguna de ellas contiene a la otra, es la recta que pasa por los puntos medios de las tangentes comunes.

Problema 1.66 Demuestra que el eje radical de dos circunferencias es perpen-dicular a la l´ınea de los centros 11

.

Problema 1.67 Por un punto sobre el eje radical de dos circunferencias dibu-jamos secantes a cada una de ´estas. Estas secantes determinan cuatro puntos sobre las circunferencias. Demuestra que esos puntos forman un cuadril´atero c´ıclico.

11

(59)

Problema 1.68 Sea BD la bisectriz de ángulo ∡_B _{del triángulo} _△_ABC_{. El} circunc´ırculo del triángulo _△BDC intersecta AB en E y el circunc´ırculo del triángulo _△ABD intersecta BC en F. Demuestra queAE =CF.

Problema 1.69 Sea_△ABC un tri´angulo arbitrario y seaP un punto fijo en el plano. Las l´ıneas AP,BP y CP intersectan por segunda vez a la circunferencia circunscrita del tri´angulo _△ABC en los puntos A1, B1 y C1, respectivamente. Consideremos dos circunferencias, una que pasa por Ay A1 y otra que pasa por

B yB1. SeanD yD1 los extremos de la cuerda com´un de estas circunferencias. Demuestra que C, C1, Dy D1 se hallan en una misma circunferencia.

Problema 1.70 Sea C un punto sobre un semic´ırculo de di´ametro AB y sea

D el punto medio del arco dAC. Sea E la proyecci´on del punto D sobre la l´ınea

BC y sea F la intersecci´on de la l´ınea AE con el semic´ırculo. Demuestra que

BF bisecta al segmento DE.

Problema 1.71 Sea ABCD un cuadril´atero inscrito en un semic´ırculo Γ de di´ametro AB. Las l´ıneas AC y BD se intersectan en E y las l´ıneas AD y BC

en F. La l´ınea EF intersecta al semic´ırculo Γ en G y a la l´ınea AB en H. Demuestra que E es el punto medio del segmento GH si y s´olo si Ges el punto medio del segmento F H.

Problema 1.72 SeaP al punto de intersecci´on de las diagonalesAC yBDde un cuadril´atero ABCD inscrito en una circunferencia, y sea M el punto medio de CD. La circunferencia que pasa porP y que es tangente a CD en M, corta a BD y aAC en los puntosQyR, respectivamente. Se toma un puntoS sobre el segmento BD, de tal manera que BS =DQ. Por S se traza una paralela a

AB que corta aAC en un punto T. Demuestra que AT =RC.

Problema 1.73 Demuestra que si una circunferencia intersecta los ladosBC,

CA, AB del tri´angulo _△ABC en los puntos D, D′_; _E_, _E′_; _F_, _F′_;

respectiva-mente, entonces

AF F B ·

BD DC ·

CE EA ·

AF′

F′_B ·

BD′

D′_C ·

CE′