Sistema de Números Reales

Sistema de Números Reales

Mag. José L. Estrada P.

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Departamento Académico de Ciencias Básicas y Humanidades

Indice

Introducción

Sistema de Números Reales

Intervalos, Operaciones con Intervalos

El conjunto de las expresiones decimales: a₀,a₁a₂...an, donde a₀ es un entero y a₁,a₂, ...,an son dígitos que pertenecen al conjunto 0,1, ...,9. Tal expresión decimal

representa un número racional si y sólo si es periódica (o exacta). Sin embargo, existen muchas expresiones decimales que no son periódicas.

Por ejemplo: 0,101001000100001...; 0,434334333433334...

A este tipo de expresiones decimales corresponden los valores de las constantes π, e y

las raíces de números enteros.

Todas las expresiones decimales no periódicas, forman el conjunto de los números Irracionales que lo denotaremos porI, es decir:

I={x/x no es racional}

Sistema de Números Reales

El sistema de los números reales es el conjuntoR, provisto de dos operaciones de adición

y multiplicación (leyes de composición interna) y una relación de orden denotado por <, es decir:

1◦ _{Ley de composición interna} + :R×R−→R

(a,b)7−→+(a,b) =a+b

Además, debe cumplirse los siguientes axiomas:

A₀ Cerradura:∀(a,b)∈R ⇒a+b∈R

A₁ Conmutatividad:a+b =b+a, ∀(a,b)∈R

A₂ Asociatividad: (a+b) +c =a+ (b+c), ∀(a,b,c)∈R A₃ Identidad aditiva: ∀a∈R,∃0∈R/a+0=0+a=a

2◦ _{Ley de composición interna} •:R×R−→R

(a,b)7−→ •(a,b) =a.b

Además, debe cumplirse los siguientes axiomas:

A₀ Cerradura:∀(a,b)∈R ⇒a.b ∈R A₁ Conmutatividad:a.b=b.a, ∀(a,b)∈R A₂ Asociatividad: (a.b).c =a.(b.c), ∀(a,b,c)∈R

A₃ Identidad multiplicativa: ∀a∈R,∃16=0,1∈R/1.a=a

Sistema de Números Reales

2◦ _{Ley de composición interna}

O₁ ∀(a,b)∈R una y solamente una de las relaciones se cumplea<b,a=b,b<a

(ley de la tricotomía)

O₂ Sia<b yb <c, entonces;a<c (propiedad transitiva) O₃ Sia<b −→a+c <b+c,∀(a,b,c)∈R

Teorema (1)

Sia∈R y a6=0, entoncesa2 >0 Teorema (2)

Sia∈R y a>0, entoncesa−1 >0

Sia∈R y a<0, entoncesa−1 <0

Teorema (3)

Paraa,b∈R/(a>0∧b >0) ó (a<0∧b <0)

Propiedades importantes de Números Reales

Teorema (1)

Sia∈R y a6=0, entoncesa2 >0

Teorema (2)

Sia∈R y a>0, entoncesa−1 >0

Sia∈R y a<0, entoncesa−1 <0 Teorema (3)

Paraa,b∈R/(a>0∧b >0) ó (a<0∧b <0)

Teorema (1)

Sia∈R y a6=0, entoncesa2 >0

Teorema (2)

Sia∈R y a>0, entoncesa−1 >0

Sia∈R y a<0, entoncesa−1 <0

Teorema (3)

Paraa,b∈R/(a>0∧b >0) ó (a<0∧b <0)

Propiedades importantes de Números Reales

Teorema (4)

Paraa,b∈R:

a) a·b >0⇔(a>0∧b>0)∨(a<0∧b<0) b) a·b <0⇔(a>0∧b<0)∨(a<0∧b>0)

c) a

b >0,b6=0⇔(a>0∧b>0)∨(a<0∧b<0) d) a

Corolario (1)

Paraa,b∈R:

a) a·b ≥0⇔(a≥0∧b≥0)∨(a≤0∧b≤0) b) a·b ≤0⇔(a≥0∧b≤0)∨(a≤0∧b≥0)

c) a

b ≥0,b6=0⇔(a≥0∧b>0)∨(a≤0∧b<0)

d) a

Propiedades importantes de Números Reales

Teorema (5)

Sia,b ∈R,b >0:

a) a2 <b ⇔ −√b<a<√b b) a2 >b ⇔a>√b∨a<−√b

Corolario (2) Sia,b ∈R,b >0:

a) a2 ≤b ⇔ −√b≤a≤√b

Teorema (5) Sia,b ∈R,b >0:

a) a2 <b ⇔ −√b<a<√b

b) a2 >b ⇔a>√b∨a<−√b

Corolario (2)

Sia,b ∈R,b >0:

Propiedades importantes de Números Reales

Intervalos

Interpretación geométrica de los números reales: La recta numérica:

Axioma de Cantor

Este axioma relaciona la Geometría con la Aritmética y estable una bisección entre el conjunto P de todos los puntos de la recta y el conjunto R de todos los números reales. Así A cada punto de la recta corresponde un único número real, y recíprocamente, a cada número real corresponde un único punto de la recta.

Intervalos, Operaciones con Intervalos

Sub conjuntos de números reales:Intervalos

Un intervalo viene a ser un conjunto de números reales cuyos elementos satisfacen ciertas desigualdades.

Seana,b∈R, tales quea<b. Se dene:

a) Intervalo abierto de extremos ay b, y se denota ha,bi, al conjunto de números

reales comprendidos entre los valoresa y b, matemáticamente esta expresado de la

siguiente forma:

ha,bi={x∈R/a<x<b} (1) b) Intervalo cerrado de extremosa y b, y se denota.[a,b], al conjunto de números

reales comprendidos entre los valores ay b inclusive, matemáticamente se expresa

de la siguiente forma:

Grácamente se tiene:

Intervalos, Operaciones con Intervalos

Propiedades:

1 ha,bi ⊂ ha,b]

2 ha,ai=φ

3 ha,b]⊂[a,b]⊂[a,+∞i

4 ha,bi ⊂[a,bi

Propiedades:

1 ha,bi ⊂ ha,b]

2 ha,ai=φ

3 ha,b]⊂[a,b]⊂[a,+∞i

4 ha,bi ⊂[a,bi

Intervalos, Operaciones con Intervalos

Propiedades:

1 ha,bi ⊂ ha,b]

2 ha,ai=φ

3 ha,b]⊂[a,b]⊂[a,+∞i

4 ha,bi ⊂[a,bi

Propiedades:

1 ha,bi ⊂ ha,b]

2 ha,ai=φ

3 ha,b]⊂[a,b]⊂[a,+∞i

4 ha,bi ⊂[a,bi

Intervalos, Operaciones con Intervalos

Propiedades:

1 ha,bi ⊂ ha,b]

2 ha,ai=φ

3 ha,b]⊂[a,b]⊂[a,+∞i

4 ha,bi ⊂[a,bi

Gracar los siguientes intervalos:

Ejemplos

Operaciones con intervalos: Son operaciones que se realizan utilizando el mismo criterio que para los conjuntos:

Gracar los siguientes conjuntos:

a) h1,3i ∩ h2,5i b) h−∞,3]∩ h−5,6i

c) h−∞,−1]∪[−4,+∞i

d) Si, A= [−3,+∞i,B =h−∞,4i, y C = [5,+∞i; Hallar: {(A∪C)∩B−[0,2]}0 e) Utilizando los mismos intervalos del ejemplo anterior resolver los siguientes

problemas:

1 Efectuar las siguientes operaciones con intervalos, analíticamente y grácamente:

a) h−∞,8]− {[−10,3i ∩[0,20i}

b)

−1₃,1₂

∩ {h0,2i ∪ h−4,8i}

c) {h2,9i − h3,7]} ∪ {h−∞,2i ∩ h−8,−3i}

d) h−∞,10i ∪ h−5,0]− {[−10,3i ∩ h−4,2i}

2 Sean a yb elementos de la recta real, entonces demostrar que entre estos

elementos se encuentra el promedio de dichos valores.

3 Si, x ∈[2,3], entonces(2x+3)∈[7,11]

4 Si, x ∈ h−3,0i, entonces√−x+1∈ h1,2i

5 Dados los conjuntos:A={x ∈R/x ∈[−5,4]∨x ∈[2,7]},

Ejercicios propuestos

a) (A∪B)4C b) (A4C)0∪C

c) (A−C)0∪(B4C) d) (A4C)0∪C