Campo Gravitatorio pdf

(1)

Interacción Gravitatoria

Aristóteles Tolomeo Copernico Galileo Brahe Kepler Newton

(2)

yCAMPO: Región del espacio en cuyos puntos está definida una magnitud física, de forma que su valor depende sólo del punto en cuestión y del tiempo.

yCAMPO VECTORIAL: Si la magnitud física es un vector, como son los campos gravitatorio y electromagnético.

yCAMPO ESCALAR: Si la magnitud física es un escalar, como son los campos de temperaturas y presiones.

yLa existencia de un campo determinado se pone de manifiesto al situar en él una partícula dotada de la propiedad necesaria para interactuar con dicho campo.

yPara que una partícula interactúe con un campo gravitatorio debe tener masa.

yPara que una partícula interactúe con un campo electromagnético debe tener carga eléctrica.

yLa interacción del campo con la partícula se manifiesta por la existencia de una

fuerza que actúa sobre ella. Campo de presiones

►Principio de superposición

►Energía potencial gravitatoria

►Potencial gravitatorio

►Representación gráfica del campo

►Movimiento de cuerpos en campos gravit.

►Campo

gravitatorio

►Campo

(3)

Región del espacio que rodea a una masa (M) donde ésta ejerce influencia (fuerzas) sobre otras masas (m) colocadas dentro de él.

M

m

Campo gravitatorio Creado por la masa M

F

Magnitudes que definen el campo

yIntensidad del campo en un punto, desde el punto de vista dinámico.

yPotencial del campo en un punto, desde el punto de vista energético.

Magnitudes que miden la interacción del campo con una

partícula

yFuerza que actúa sobre la

partícula, desde el punto de vista dinámico.

yEnergía potencial que adquiere la partícula, desde el punto de vista energético.

F

m

Límite teórico del campo en r = ∞

►Movimiento de cuerpos en campos gravit. gravitatorio

►Campo

(4)

yEs una magnitud vectorial, dirigida radialmente hacia la masa que crea el campo.

yDepende directamente con la masa que crea el campo e inversamente al cuadrado de la distancia que separa la masa del punto

considerado.

yEs independiente de la masa m, que al penetrar en el campo, siente su influencia.

yCoincide con la aceleración que adquiere una masa colocada en dicho punto.

M

m

g =F / m

g

m

La intensidad del campo gravitatorio en un punto es la fuerza que actúa sobre la unidad de masa colocada en dicho punto. Su unidad en el S.I. es el N/kg o m/s2_.

m

F

g

r

₌

r

2

u

r

GM

g

r

=

−

r

Límite teórico del campo en r = ∞

►Campo

(5)

yUna corteza esférica (hueca por dentro) se puede considerar como un conjunto de anillos de anchura infinitesimal.

yPor simetría, el campo gravitatorio resultante creado por un anillo en un punto exterior P va dirigido hacia su centro.

yExtendiendo el resultado a todos los anillos de la corteza, se concluye que el campo

gravitatorio creado por una corteza está dirigido hacia su centro.

yEl valor de dicho campo es el mismo que se obtendría si toda la masa de la corteza

estuviese concentrada en su centro.

Campo gravitatorio en el exterior de una corteza esférica

Campo gravitatorio en el exterior de una esfera sólida

yUna esfera sólida se puede considerar como un conjunto concéntrico de

cortezas esféricas.

yEl campo creado por ella va dirigido hacia su centro y es el mismo que se obtendría si toda la masa estuviese concentrada en el centro.

2

r

Gm

g

=

►Campo

(6)

' gr gr

yConsideremos un punto S situado en el interior de una corteza esférica.

ySi el punto S coincide con el centro C, es lógico que, por simetría el campo gravitatorio en el sea nulo.

ySi S está en un punto cualquiera se puede

demostrar que el campo total también es nulo: dA’ al tener más masa que dA crearía un campo

mayor pero, en cambio, está más lejos de S y se compensa, creando dA’ y dA un campo total nulo.

Campo gravitatorio en el interior de una corteza esférica

El campo neto en el interior de una corteza esférica es nulo

Variación del campo gravitatorio en el interior y en el exterior de una corteza esférica

y En el interior es nulo.

y En su superficie es el equivalente a considerar toda su masa

concentrada en el centro. y A partir de la superficie

disminuye con el inverso de r2_.

►Representación gráfica del campo gravitatorio

►Campo

grav. terrestre

(7)

yLa parte de esfera sólida exterior al punto P no crea campo gravitatorio ya que se trataría de una corteza esférica y su campo en el interior sería nulo.

ySólo crea campo la esfera interior al punto P y su valor sería:

Campo gravitatorio en el interior de una esfera sólida homogénea

2

)

'

r

(

'

Gm

g

=

ySi la esfera es de densidad homogénea tendremos que:

⇒

=

⇒

π

=

ρ

π

=

ρ

₃3

3

r

)

'

r

(

m

'

m

)

'

r

(

3

4 '

m

'

V

'

m

;

r

3

4 m

V

m

_r

_'

r

Gm

g

=

₃

⋅

yEl campo en el centro es nulo.

yEl campo en el interior aumenta linealmente conforme a r ‘.

yEn el exterior disminuye conforme a r2_.

►Campo

(8)

y Su valor varía ligeramente ya que la Tierra no es una esfera perfecto.

y Es mayor en los Polos y menor en el Ecuador.

y Su valor medio es de 9,8 m/s2_. Campo gravitatorio terrestre en la superficie

g

₀

R

_T 2T

T 0

R

GM

g

=

Campo gravitatorio terrestre: Variación con la altura

ISS

h

2 T

T h

)

h

R

(

GM

g

+

=

ySu valor disminuye al elevarnos sobre la superficie terrestre. A una altura h valdrá:

⇒

⋅

=

2

T 0

T

g

R

GM

2 T

2 T 0

h

)

h

R

(

R

g

+

⋅

=

►Principio de

superposición

►Campo

(9)

h = 8,66 m r = 2/3 h

El campo gravitatorio resultante en un punto, debido a una distribución de masas, es la suma de los campos gravitatorios individuales producidos por cada una de las masas

∑

= =

⋅

−

=

n 1 i r 2 i i n 1 i i

u

r

m

G

g

r

kg

/

N

j

10

2 i

10

4 ,

3 )

j

º

30 sen

i

º

30 cos

(

r

Gm

g

r

₁

=

₂ 1

−

r

−

r

=

−

⋅

−12

r

−

⋅

−12

r

kg

/

N

j

10

3 ,

0 i

10

5 ,

0 )

j

º

30 sen

i

º

30 (cos

r

Gm

g

r

₃

=

₂3

r

−

r

=

⋅

−12

r

−

⋅

−12

r

kg

/

N

j

10

8 j

r

Gm

g

r

₂

=

₂ 2

r

=

⋅

−12

r

kg

/

N

j

10

7 ,

5 i

10

9 ,

2 g

g

r

=

r

₁

+

r

₂

+

r

₃

=

−

⋅

−12

r

+

⋅

−12

r

►Principio de

superposición ►Energía potencial gravitatoria ►Potencial gravitatorio ►Representación gráfica del campo

►Campo

(10)

y El trabajo que realiza la fuerza gravitatoria cuando una masa “m” se desplaza, dentro del campo gravitatorio creado por una masa “M”, desde un punto “r” hasta el infinito será:

Dado que la fuerza gravitatoria es conservativa se puede definir una energía potencial gravitatoria asociada a la

posición que ocupa un cuerpo en un campo gravitatorio grav g

Ep

)

F

(

W

=

−

Δ

Fijaremos como valor cero de energía potencial gravitatoria aquel en el que la fuerza gravitatoria es nula, es decir, en el infinito.

0 )

r

(

Ep

_g

=

∞

=

M

m

r

r =

∞

F

_g

r

Gmm

r

1

1 Gmm

r

1 GMm

r

dr

GMm

dr

r

GMn

r

d

u

r

GMm

r

d

F

W

r r 2 r 2 r r 2 r g

−

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

₋

∞

−

=

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡−

−

=

−

=

−

=

• −

=

• =

∫

∞ ∞ ∞ ∞ ∞

r

(

∞

−

) (

=

−

)

=

⇒

−

=

Δ

−

=

Ep

(

)

Ep

(

r

)

0 Ep

(

r

)

Ep

(

r

)

W

_g _g _g _g _g

r

GMm

)

r

(

Ep

_g

=

−

►Principio de superposición ►Energía potencial gravitatoria ►Potencial gravitatorio ►Representación gráfica del campo

►Campo

(11)

yEl término “mgh” como expresión de la energía potencial gravitatoria para un cuerpo a una altura h de la superficie terrestre es una aproximación y considera nivel cero para la energía potencial el suelo de la Tierra.

▪ La energía potencial en un punto es negativa debido a la elección como nivel cero en el infinito.

▪ Si una masa se acerca al cuerpo que genera el campo, el trabajo lo realiza la fuerza gravitatoria y, por lo tanto, la energía potencial

disminuye y viceversa.

T T T g

R

m

GM

)

R

r

,

suelo

(

Ep

=

−

h

R

m

GM

)

h

R

r

,

h

(

Ep

T T T g

+

−

=

+

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

−

=

−

+

−

=

−

h

R

h

m

GM

h

R

1 R

1 m

GM

R

m

GM

h

R

m

GM

)

suelo

(

Ep

)

h

(

Ep

T 2 T T T T T T T T T g g

⇒

>>>

⇒

<<<

=

0 ;

Si

h

R

h

)

suelo

(

Ep

Si

_g _T 2_T _T

Ep

_g

(

h

)

=

mgh

►Principio de superposición ►Energía potencial gravitatoria ►Potencial gravitatorio ►Representación gráfica del campo

►Campo

(12)

▪ La energía potencial total del sistema es la suma de las energías potenciales llevada a cabo sobre todos los pares de partículas.

23 13

12

g

(

Total

)

Ep

=

+

▪ Representa el trabajo que habría que realizar para separar el sistema hasta hacer infinita la distancia entre ellas.

▪ El Potencial gravitatorio en un punto, V, es la energía potencial que adquiriría la unidad de masa colocada en dicho punto.

Unidad J/kg

r

GM

m

Ep

V

=

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

−

=

n n

3 3

2 2

1 1 Total

r

m

...

r

m

r

m

r

m

G

V

►Campo

(13)

yTodos los puntos situados a la misma distancia r de la masa que crea el campo tienen el mismo valor del potencial. La superficie que une dichos puntos se le llama superficie equipotencial.

yEn el caso de masas puntuales, las superficies equipotenciales son esferas concéntricas a la masa.

yLas líneas de fuerza son perpendiculares a las superficies equipotenciales.

yLa fuerza gravitatorio no realiza trabajo cuando una masa se mueve a través de una superficie equipotencial.

yLas líneas de fuerza del campo gravitatorio son tangentes en cada punto al vector intensidad de campo.

ySu sentido es siempre entrante hacia la masa que crea el campo.

yLas líneas de fuerza nunca pueden cruzarse ya que ello implicaría que en un punto el campo gravitatorio tiene dos sentidos diferentes.

yEl número de líneas de fuerzas que atraviesan una unidad de superficie es proporcional al valor del campo.

Líneas de Fuerza

Superficies equipotenciales

►Campo

(14)

y La energía mecánica de un cuerpo en

órbita se mantiene constante al ser la fuerza gravitatoria conservativa.

y En el perihelio disminuye la Ep al

acercarse el cuerpo, pero aumenta su Ec al aumentar la velocidad, y viceversa.

y En la órbitas elípticas la fuerza gravitatoria presenta dos componentes:

y Una normal o centrípeta, que no realiza trabajo, causante del campo en la dirección y sentido de la velocidad.

y Otra componente tangencial, que realiza trabajo, produciendo un aumento de la velocidad o disminución de ella, en función de su sentido.

►Campo

(15)

yLa velocidad orbital no depende de la masa del cuerpo que orbita, sino de la masa M que crea el campo.

yCuanto mayor es el radio de la órbita menor es la velocidad orbital necesaria.

▪ Es la velocidad que debe llevar un cuerpo, inmerso en un campo gravitatorio, para orbitar alrededor de la masa que crea el campo.

F_g = F_c

r

m

v

_orb

M

⇒

=

⇒

=

r

mv

r

GMm

F

2

2 c

g

r

GM

v

_orb

=

⇒

⋅

+

−

=

+

−

=

+

=

r

GM

m

2

1 r

GMm

mv

2

1 r

Gmm

Ec

Ep

E

_Total _g 2_orb

r

GMm

2

1 E

_Total

=

−

▪ La energía total de un cuerpo que orbita alrededor de otro es negativa.

►Campo

(16)

yUn cuerpo en órbita y, por tanto, ligado al campo gravitatorio tiene una energía mecánica negativa.

ySi queremos que escape del campo gravitatorio habrá que comunicarle la energía necesaria para que el cuerpo alcance el infinito y deje de estar ligado al campo gravitatorio.

yLa mínima energía que hay que comunicarle se le llama energía de amarre, ligadura o enlace ya que por debajo de este valor el cuerpo quedará amarrado o ligado al campo.

yEsta energía mínima será cuando el cuerpo alcanza el infinito con velocidad cero. En este caso, su Ep(∞)=0 y Ec(∞)=0, luego su Energía mecánica=0. Luego, la energía que tendremos que comunicarle para que escape debe ser tal que la E mecánica alcance el valor cero, luego:

⇒

−

=

⇒

=

+

_Enlace _Enlace _Total

Total

E

0 E

E

_Enlace

=

E

_Total

▪ Si el cuerpo está en reposo en la superficie de un planeta su energía de enlace será:

p p Enlace

r

m

M

G

E

=

▪ Si el cuerpo está orbitando alrededor del planeta su energía de enlace será:

p p Enlace

r

m

GM

2

1 E

=

►Representación gráfica del campo gravitatorio

►Campo

grav. terrestre

(17)

▪ Es la velocidad que debe alcanzar un cuerpo para que abandone el campo gravitatorio y deje de estar ligado a él.

▪ Para dejar de estar ligado al campo su energía total debe ser, como mínimo cero, luego:

⇒

=

⇒

=

+

−

=

+

=

2

escp 2

escp g

Total

mv

2

1 r

GMm

0 mv

2

1 r

GMm

Ec

Ep

E

r

GM

2 v

_escp

=

▪ La velocidad de escape no depende de la masa del cuerpo, sino del cuerpo que crea el campo. En el caso de los planetas, es un dato característico de ellos.

▪ Si la velocidad de un cuerpo es superior a la velocidad de escape (E_total > 0) abandonará el campo y no quedará ligado a él.

▪ Si la velocidad de un cuerpo es inferior a la velocidad de escape (E_Total < 0) el cuerpo quedará ligado al campo y no podrá abandonarlo..

►Campo

(18)

▪ Las órbitas correspondientes a una energía negativa son cerradas, circulares o elípticas.

▪ Las órbitas correspondientes a una energía total igual a cero son parábolas.

▪ Las órbitas correspondientes a una energía total mayor que cero son hipérbolas.

►Campo