GENERALIZACIONES DE UNA DEFINICI ´ON ITERATIVA
DE ´ALGEBRA BOOLEANA
OSCAR FABI ´AN CAVIEDES BARRIOS
LEIDY GEOVANA LOZANO REND ´ON
UNIVERSIDAD DEL TOLIMA FACULTAD DE CIENCIAS B ´ASICAS
PROGRAMA DE MATEM ´ATICAS CON ´ENFASIS EN ESTAD´ISTICA IBAGU´E
GENERALIZACIONES DE UNA DEFINICI ´ON ITERATIVA
DE ´ALGEBRA BOOLEANA
OSCAR FABI ´AN CAVIEDES BARRIOS C´odigo 0702-00242008
LEIDY GEOVANA LOZANO REND ´ON
C´odigo 0702-00262008
Trabajo de grado para optar al t´ıtulo de Profesional en Matem´aticas con ´enfasis en Estad´ıstica
Director
ARNOLD OOSTRA
Profesor del Departamento de Matem´aticas y Estad´ıstica
UNIVERSIDAD DEL TOLIMA FACULTAD DE CIENCIAS B ´ASICAS
PROGRAMA DE MATEM ´ATICAS CON ´ENFASIS EN ESTAD´ISTICA IBAGU´E
U N I V E R S I D A D D E L T O L I M A
F A C U L T A D D E C I E N C I A S
P R O G R A M A D E M A T E M Á T I C A S C O N ÉNFASIS E N E S T A D Í S T I C A
A C T A D E S U S T E N T A C I Ó N T R A B A J O DE G R A D O
TTTULO: G E N E R A L I Z A C I O N E S D E U N A D E F I N I C I O N I T E R A T I V A D E Á L G E B R A B O O L E A N A
AUTORES: OSCAR F A B I Á N C A V I E D E S , C Ó D I G O 070200242008 L E I D Y G E O V A N A L O Z A N O , C Ó D I G O 070200262008
D I R E C T O R : A R N O L D OOSTRA
JURADOS: C A R L O S J U L I O L U Q U E A R I A S
L E O N A R D O S O L A N I L L A C H A V A R R O
C A L I F I C A C I O N : 5.0 ( C I N C O PUNTO CERO)
X A P R O B O
O B S E R V A C I O N E S : T R A B A J O L A U R E A D O
REPROBO
FIRMAS
C A R L O S JULie-rnut'JE A R I A S Jurado I
LEONARDO SOLANILLA jurado 2 /
ARNOLD OOSTRA
Director del Trabajo HORACIO MOLANO Director del Programa
Tabla de Contenido
Introducci´on 4
1 Las estructuras 6
1.1 Semirret´ıculos . . . 6
1.2 Ret´ıculos . . . 10
1.3 Algebras booleanas . . . .´ 20
1.4 Algebras de Heyting . . . .´ 23
1.5 Algebras de Hilbert . . . .´ 30
1.6 Semirret´ıculos de Hilbert . . . 36
2 Definiciones iterativas 40 2.1 Ret´ıculos distributivos . . . 40
2.2 Algebras booleanas . . . .´ 41
2.3 Semirret´ıculos de Hilbert . . . 47
2.4 Algebras de Heyting . . . .´ 50
Conclusiones 55
Introducci´
on
Las ´algebras booleanas son el resultado de los aportes a la L´ogica de George Boole, matem´atico y l´ogico ingl´es (1815-1864). Estas estructuras tienen mucha utilidad tanto en la parte te´orica de la Matem´atica como en sus aplicaciones. De manera m´as sencilla, un ´algebra booleana se define como un conjunto ordenado, con m´as exactitud como un ret´ıculo distributivo complementado. Esta visi´on de lugar a las operaciones de m´axima cota inferior, m´ınima cota superior y complemento, que de manera natural corresponden a la conjunci´on, la disyunci´on y la negaci´on de la L´ogica. Por esta y otras razones, existe un v´ınculo muy estrecho entre las ´algebras booleanas y la l´ogica proposicional cl´asica. Una de las muchas maneras de estudiar la l´ogica proposicional es mediante los gr´aficos existenciales Alfa introducidos por Charles S. Peirce, cient´ıfico, fil´osofo, matem´atico e importante pionero de la L´ogica matem´atica (1839-1914). En un trabajo anterior, realizado en la Universidad del Tolima [13], se demostr´o la equivalencia de la l´ogica proposicional tradicional con los gr´aficos Alfa empleando las ´algebras booleanas. En esa investigaci´on surgi´o una definici´on nueva de la estructura de ´algebra booleana, en la cual la regla de iteraci´on de los gr´aficos se traduce en una identidad que se puede llamar iterativa.
Todo este panorama sugiere la posibilidad de generalizar la definici´on iterativa de las ´algebras booleanas a otras estructuras, en especial a las ´algebras de Heyting y a los semirret´ıculos de Hilbert. Ese es el objetivo central del trabajo presente, y para lo-grar tal meta en primer lugar es necesario conocer a fondo las estructuras involucradas: ´algebras booleanas, ´algebras de Heyting, semirret´ıculos de Hilbert y ´algebras de Hilbert. Luego se precisa estudiar con mucho detalle la equivalencia de las definiciones tradi-cionales de ´algebra booleana con la definici´on iterativa. Por fin, ser´a posible proponer definiciones nuevas, basadas en la iteraci´on, para las ´algebras de Heyting y los semi-rret´ıculos de Hilbert y demostrar su equivalencia con las definiciones usuales.
El informe final de esta investigaci´on consta de dos cap´ıtulos. En el primero se hace el re-cuento jer´arquico de todas las ´algebras involucradas, partiendo de sus definiciones tradi-cionales. Estas estructuras son los semirret´ıculos, los ret´ıculos, las ´algebras booleanas, las ´algebras de Heyting, las ´algebras de Hilbert y los semirret´ıculos de Hilbert. En cada caso se estudia una gran cantidad de propiedades, que luego ser´an muy ´utiles en las generalizaciones. En el segundo cap´ıtulo se presentan todas las definiciones alternativas, cada una expresada en un teorema que establece su equivalencia con la correspondiente definici´on usual estudiada en el primer cap´ıtulo.
Cap´ıtulo 1
Las estructuras
En este cap´ıtulo se realiza un recuento detallado de las estructuras cuyas definiciones novedosas se introducen en este trabajo: las ´algebras booleanas, los semirret´ıculos de Hilbert y las ´algebras de Heyting. Dado que entre ellas existe una jerarqu´ıa natural, se seguir´a ese orden y se complementar´a el espectro con otras estructuras afines.
1.1
Semirret´ıculos
Las ´algebras que se estudian en este trabajo se pueden ver todas como clases especiales de semirret´ıculos. Por esta raz´on, en esta primera secci´on se repasan las nociones b´asicas de esa estructura y se fija la nomenclatura que se emplear´a a lo largo de todo el documento.
Un conjunto ordenado es una pareja (X,≤) donde ≤ es una relaci´on reflexiva, an-tisim´etrica y transitiva. La noci´on siguiente es fundamental en el desarrollo de este trabajo.
Definici´on 1.1. En un conjunto ordenado, la m´axima cota inferior de dos elementos
a, b es un elemento c tal que: i) c≤a;
ii) c≤b;
Si existe, este elemento es ´unico para a yb (esto se sigue de inmediato de la definici´on) y por lo tanto se denota a∧b. Las tres condiciones anteriores se pueden resumir en una sola:
x≤a∧b si y solo si x≤a y x≤b.
Gr´aficamente, la situaci´on se representa as´ı:
•
a • b
•
a∧b
Ejemplos 1.2.
• En P(X) con la contenencia, siempre existe A∧B =A∩B.
• En Z+
con la divisibilidad, siempre existe m∧n =M CD(m, n).
• En un conjunto ordenado lineal (o total), siempre existe x∧y = min{x, y}.
• La m´axima cota inferior no siempre existe: en el siguiente ejemplo, a y b no tienen cota inferior.
•
•
a • b
• •
Definici´on 1.3. Un semirret´ıculo (inferior) es un conjunto ordenado en el cual cada par de elementos tiene m´axima cota inferior.
Ejemplos 1.4. (P(X),⊆), (Z+
,|), (lineal,≤) son semirret´ıculos inferiores.
Afirmaci´on 1.5. En un semirret´ıculo, la operaci´on∧ tiene las propiedades siguientes. 1. Asociativa: a∧(b∧c) = (a∧b)∧c
2. Conmutativa: a∧b=b∧a
3. Idempotente: a∧a =a
Demostraci´on.
1) Para cualquier xse tiene:
x≤a∧(b∧c) ssi x≤a y x≤b∧c
ssi x≤a y x≤b y x≤c ssi x≤(a∧b) y x≤c ssi x≤(a∧b)∧c
En particular, al tomar x = a ∧ (b ∧ c), como a ∧ (b ∧ c) ≤ a ∧ (b ∧ c) se tiene
a∧(b∧c)≤(a∧b)∧c; y tomando x= (a∧b)∧c, como (a∧b)∧c≤(a∧b)∧cresulta (a∧b)∧c≤a∧(b∧c). Por lo tanto
a∧(b∧c) = (a∧b)∧c.
2) Para cualquier xse tiene:
x≤a∧b ssi x≤a y x≤b ssi x ≤b y x≤a ssi x ≤(b∧a) Como arriba, de aqu´ı se sigue a∧b =b∧a.
3) Para cualquier xse tiene:
x≤a∧a ssi x≤a y x≤a ssi x ≤a
Luego a∧a=a.
Teorema 1.6. Un semirret´ıculo puede definirse como una estructura algebraica (S,∧)
Demostraci´on. Sea ≪ la relacion definida como sigue.
a≪b si a∧b =a
En primer lugar, se verifica que esta es una relaci´on de orden.
• Reflexiva: a≪a
Esto se tiene si y solo si a∧a=a, que es la propiedad (3).
• Antisim´etrica: Si a≪b y b ≪a entoncesa =b
Sia≪byb ≪aentoncesa∧b=ayb∧a=b, peroa∧b=b∧a por la propiedad (2) luego a=b.
• Transitiva: Si a ≪b y b≪c entonces a≪c
Si a ≪ b y b ≪ c entonces a ∧ b = a y b ∧ c = b. Sustituyendo, se tiene
a∧c = (a∧b)∧c pero (a∧b)∧c= a∧(b∧c) por la propiedad (1). Adem´as
a∧(b∧c) =a∧b y a∧b =a. Luego finalmente a∧c=a, es decir, a≪c. En segundo lugar, a∧b es la m´axima cota inferior de a y b para este orden, es decir,
x≪a∧b si y solo si x≪a y x≪b para cualquier x.
Pues sup´ongase que x ≪ a∧b. Ahora (a∧b)∧a = a∧(b∧a) = a∧(a∧b) = (a∧a)∧b =a∧b, es decir,a∧b≪a y por la transitividadx≪a. De la misma maneraa∧b≪b, as´ı que x≪b.
Ahora sup´ongase que x ≪ a y x ≪ b, es decir, x∧a = x, x∧b = x. Entonces
x∧(a∧b) = (x∧a)∧b=x∧b=x, de manera que x≪a∧b. En resumen, con la relaci´on ≪ definida se obtiene un semirret´ıculo.
No es dif´ıcil verificar que esta correspondencia entre semirret´ıculos y estructuras alge-braicas es biyectiva.
La propiedad siguiente se utilizar´a con frecuencia en este trabajo. Afirmaci´on 1.7. En un semirret´ıculo se tiene:
2. Si a≤b y c≤d entonces a∧c≤b∧d.
Se nota que (1) es un caso particular de (2), tomando c=d.
Demostraci´on.
1) Si a ≤ b entonces de a∧c≤ a se sigue a∧c ≤ b por transitividad; por otro lado,
a∧c≤c. En consecuencia, a∧c≤b∧c.
2) Si a ≤ b y c ≤ d, por (i) se tiene a∧c ≤ b∧c y c∧b ≤ d∧b; por la propiedad conmutativa la segunda desigualdad esb∧c≤b∧d. Por transitividada∧c≤b∧d.
1.2
Ret´ıculos
Definici´on 1.8. En un conjunto ordenado, la m´ınima cota superior de dos elementos
a, b es un elemento d tal que: i) a≤d;
ii) b≤d;
iii) Si a ≤y y b≤y entonces d≤y.
Si tal elemento existe, es ´unico para a y b y por lo tanto se denota a∨b. En estos t´erminos se tiene
a∨b ≤y si y solo si a≤y y b≤y.
Gr´aficamente:
•
a∨b
•
a • b
De esta manera, en un ret´ıculo para cada par de elementos a, b se tiene el cuadrado siguiente.
•
a • b
•
a∧b
•
a∨b
Ejemplos 1.10.
• P(X) con la contenencia es un ret´ıculo, pues
A∧B =A∩B,
A∨B =A∪B.
• Z+
con la divisibilidad es un ret´ıculo, donde
m∧n=M CD(m, n),
m∨n=M CM(m, n).
• Todo conjunto ordenado lineal es un ret´ıculo, con
x∧y= min{x, y},
x∨y= max{x, y}.
• El conjunto {1} ∪ {primos} ordenado por la divisibilidad es un semirret´ıculo (in-ferior) que no es un ret´ıculo. Sigue un diagrama:
•
1
•
2
•
3
•
5
•
7
•
11
•
13
•
• El conjunto de los divisores positivos de 12 con la divisiblidad es un ret´ıculo.
•
4 • 6
•
2
•
12
•
1
• 3
• Los subgrupos del grupo producto Z2 ×Z2,ordenados por la contenencia,
consti-tuyen un ret´ıculo.
•
(0,0),(1,0) •
(0,0),(1,1)
•
(0,0)
•
Z2 ×Z2
•
(0,0),(0,1)
Como la de semirret´ıculo, la estructura de ret´ıculo tambi´en se puede definir de manera algebraica. En este caso, las operaciones son ∧y ∨.
Afirmaci´on 1.11. En un ret´ıculo, las operaciones ∧ y ∨ tienen las propiedades si-guientes.
Asociativas: i) a∧(b∧c) = (a∧b)∧c ii) a∨(b∨c) = (a∨b)∨c
Conmutativas: iii) a∧b=b∧a iv) a∨b=b∨a
Idempotentes: v) a∧a=a vi) a∨a=a
Cabe anotar que las propiedades absorbentes (vii) y (viii), que relacionan las dos ope-raciones, no equivalen a alguna propiedad distributiva. Esto se ver´a en detalle en el apartado siguiente.
Demostraci´on.
i), iii) y v) Ya se probaron en la afirmaci´on 1.5.
ii),iv) yvi) Se prueban de la misma manera.
vii) Por un lado, a∧(a∨b)≤a pues siemprea∧c≤a; por el otro a≤a y a≤a∨b
luego, por definici´on, a ≤a∧(a∨b). De esta manera a∧(a∨b) =a.
viii) Por un lado a≤a∨(a∧b) pues siempre a≤a∨c; por el otro a≤a y a∧b ≤a
luego a∨(a∧b)≤a. As´ı que a∨(a∧b) = a.
Teorema 1.12. Un ret´ıculo puede definirse como una estructura algebraica (R,∧,∨)
donde ∧, ∨ son operaciones binarias que satisfacen las condiciones de la afirmaci´on 1.11.
Demostraci´on. Por el teorema correspondiente para semirret´ıculos (teorema 1.6), la relaci´on a ≪b definida comoa∧b =a es un orden y a∧b es la m´axima cota inferior dea y b para este orden. Por simetr´ıa, la relaci´ona≪b definida como a∨b =b es un
orden y a∨b es la m´ınima cota superior de a y b para el mismo.
Ahora se verifica que estas dos relaciones son iguales. Si a≪b, por definici´on se tiene
a∧b =a y entonces por la propiedad (viii) se tiene:
b=b∨(b∧a) =b∨(a∧b) = b∨a=a∨b.
Es decir, a ≪ b. Al rev´es, si a ≪ b entonces se tiene a∨ b = b de donde por la
propiedad (vii) es:
a=a∧(a∨b) = a∧b.
De manera que a ≪b.
Por lo tanto se tiene una sola relaci´on de orden, y para ella la operaci´on ∧ es la m´axima cota inferior y la operaci´on∨ es la m´ınima cota superior. Es decir, se tiene un ret´ıculo.
Afirmaci´on 1.13. En un ret´ıculo se tiene: 1. Si a≤b entonces a∧c≤b∧c; 2. Si a≤b entonces a∨c≤b∨c;
3. Si a≤b y c≤d entonces a∧c≤b∧d; 4. Si a≤b y c≤d entonces a∨c≤b∨d.
Ret´ıculos distributivos
Seg´un el teorema 1.12, un ret´ıculo puede verse como una estructura algebraica con dos operaciones binarias. En algunas estructuras como los anillos, una operaci´on binaria es distributiva respecto a la otra. En los ret´ıculos, sin embargo, en general no se cumple ninguna de las propiedades distributivas. Sigue un ejemplo que ilustra la situaci´on. Ejemplo 1.14. Se considera el ret´ıculo dado por el diagrama siguiente.
•
a • c
•
0
•
1
• b
Para sus elementos se observa lo siguiente: (
a∧(b∨c) = a∧1 = a
(a∧b)∨(a∧c) = 0∨0 = 0 Luego a∧(b∨c)6= (a∧b)∨(a∧c). Por otro lado:
(
a∨(b∧c) = a∨0 = a
Ejemplo 1.15. Ahora se considera el siguiente ret´ıculo.
•
1
•
c
•
0
•
b
•
a
En este caso se tiene: (
a∧(b∨c) = a∧1 = a
(a∧b)∨(a∧c) = b∨0 = b
De nuevo a∧(b∨c)6= (a∧b)∨(a∧c). Por otro lado: (
b∨(a∧c) = b∨0 = b
(b∨a)∧(b∨c) = a∧1 = a
De manera que b∨(a∧c)6= (b∨a)∧(b∨c).
Afirmaci´on 1.16. En cualquier ret´ıculo se tienen siempre las desigualdades siguientes.
a∧(b∨c)≥(a∧b)∨(a∧c)
a∨(b∧c)≤(a∨b)∧(a∨c)
Demostraci´on. Por un lado se tiene b ≤ b∨c luego a∧b ≤ a∧(b∨c) y de la misma manerac≤b∨cluegoa∧c≤a∧(b∨c). En consecuencia (a∧b)∨(a∧c)≤a∧(b∨c). Por otra parte a≤a∨b y a≤a∨c de dondea ≤(a∨b)∧(a∨c), adem´as b≤a∨b y
c≤a∨cluegob∧c≤(a∨b)∧(a∨c). En conclusi´ona∨(b∧c)≤(a∨b)∧(a∨c). Afirmaci´on 1.17. En un ret´ıculo se tiene
a∧(b∨c) = (a∧b)∨(a∧c)
para cada a, b, c si y solo si se cumple
a∨(b∧c) = (a∨b)∧(a∨c)
Demostraci´on.
⇒) Suponiendo la primera identidad se tiene:
(a∨b)∧(a∨c) = ((a∨b)∧a)∨((a∨b)∧c) por hip´otesis; = (a∧(a∨b))∨(c∧(a∨b)) conmutativa; =a∨(c∧(a∨b)) absorbente; =a∨((c∧a)∨(c∧b)) por hip´otesis; = (a∨(c∧a))∨(c∧b) asociativa; = (a∨(a∧c))∨(b∧c) conmutativa;
=a∨(b∧c). absorbente.
⇐) Esta direcci´on se demuestra de la misma manera.
Definici´on 1.18. Un ret´ıculo distributivoes aquel en el cual para cadaa, b, cse tiene:
(
a∧(b∨c) = (a∧b)∨(a∧c)
a∨(b∧c) = (a∨b)∧(a∨c)
En realidad, por la afirmaci´on 1.17 basta verificar que se cumpla una de las dos identi-dades, pues la validez de cualquiera de ellas implica la de la otra.
Combinando esta definici´on con el teorema 1.12, de inmediato se obtiene una caracte-rizaci´on de los ret´ıculos distributivos como estructuras algebraicas.
Ejemplos 1.19.
• P(X) con la contenencia es un ret´ıculo distributivo. Esta es una propiedad ele-mental de Teor´ıa de Conjuntos.
• Z+
con la divisibilidad es un ret´ıculo distributivo. Esta es una propiedad elemental de Teor´ıa de N´umeros.
• Todo conjunto ordenado lineal es un ret´ıculo distributivo. Esto se verifica con facilidad considerando los diferentes casos posibles.
Ret´ıculos complementados
Se nota que en un ret´ıculo (o en un semirret´ıculo inferior), el m´aximo corresponde al elemento neutro de la operaci´on ∧, ya que
a∧1 = a
para cada elemento a; de la misma manera, el m´ınimo corresponde al elemento neutro de la operaci´on ∨pues para cada elemento a satisface
a∨0 =a.
Si se combina esta caracterizaci´on del m´ınimo y el m´aximo con el teorema 1.12 resulta una descripci´on de los ret´ıculos acotados como estructuras algebraicas.
Ejemplos 1.21.
• El ret´ıculo P(X) es acotado, con m´ınimo∅ y m´aximo X.
• Z+
con la divisibilidad tiene minimo 1 pero no tiene m´aximo, luego no es acotado.
• Hay conjuntos ordenados lineales no acotados como N, Q, R con el orden usual y tambi´en hay acotados como el segmento real [0,1] con el orden usual.
• Todo ret´ıculo finito es acotado. En efecto, en cualquier ret´ıculo todo subconjunto finito tiene m´axima cota inferior y m´ınima cota superior (por ejemplo, la m´axima cota inferior de {a, b, c} es el elemento a ∧(b ∧c) = (a ∧b)∧ c). As´ı, en un ret´ıculo finito la m´axima cota inferior de todo el conjunto existe y es su m´ınimo, y la m´ınima cota superior de todo el conjunto existe y es su m´aximo.
Afirmaci´on 1.22. En un semirret´ıculo inferior con m´aximo 1 se tiene:
a∧b= 1 si y solo si a = 1 y b= 1.
Demostraci´on. Si a∧b = 1, como a∧b ≤ a se tiene 1 ≤ a pero, al ser 1 el m´aximo, esto es a= 1. De la misma manera b= 1.
En el otro sentido, si a=b= 1 entonces por 1.5 se tiene a∧b= 1∧1 = 1.
Definici´on 1.23. En un ret´ıculo acotado, un complemento de un elemento a es un elemento c que cumple las dos condiciones:
(
a∧c = 0
Ejemplos 1.24.
• En el ret´ıculo P(X), un complemento de A ⊆X es su complemento conjuntista
Ac
=X−A porque:
A∧Ac
=A∩Ac
=∅=m´ınimo,
A∨Ac
=A∪Ac
=X =m´aximo.
• En cualquier ret´ıculo acotado, 1 es complemento de 0 y viceversa, pues:
0∧1 = 0 0∨1 = 1
• En el segmento real [0,1] con el orden usual, los ´unicos elementos que tienen complemento son 0 y 1. Pues sea a ∈ (0,1) y sea c∈ [0,1] cualquiera. Si a ≤c
entonces a∧c= a 6= 0; en cambio si a ≥ c entonces a∨c =a 6= 1. En ning´un caso se pueden cumplir las dos condiciones, luego a no tiene complemento.
• En el ret´ıculo siguiente todos los elementos tienen complemento.
•
a • c
•
0
•
1
• b
En efecto:
• En el ret´ıculo siguiente no todos los elementos tienen complemento.
•
a • b
•
c
•
1
•
0
• d
En efecto:
– d es complemento dea; – a es complemento de d; – 1 es complemento de 0; – 0 es complemento de 1.
Sin embargo los elementos b y c no tienen complemento. Por ejemplo, los ´unicos elementos xcon b∨x= 1 son x=a y x= 1, pero b∧a =c6= 0 yb∧1 =b6= 0. Afirmaci´on 1.25. En un ret´ıculo distributivo, si alg´un elemento tiene complemento entonces este complemento es ´unico para ese elemento.
Demostraci´on. Sup´ongase que c, d son complementos de un elemento a en un ret´ıculo distributivo. Entonces a∧c= 0 y a∨d= 1, de donde
c=c∧1 =c∧(a∨d) = (c∧a)∨(c∧d) = 0∨(c∧d) =c∧d≤d
as´ı que c≤d. Por otro lado a∧d= 0 ya∨c= 1, luego
d=d∧1 =d∧(a∨c) = (d∧a)∨(d∧c) = 0∨(d∧c) =d∧c≤c
por lo cual d ≤c. En consecuencia, c=d y el complemento de a es ´unico.
Ejemplos 1.27.
• P(X) es un ret´ıculo complementado.
• El siguiente ret´ıculo finito es complementado:
•
a • c
•
0
•
1
• b
1.3
Algebras booleanas
´
Como todas las estructuras matem´aticas, las ´algebras booleanas se pueden definir de diversas maneras. De hecho, en el pr´oximo cap´ıtulo de este trabajo se proponen al-gunas definiciones novedosas. Para comenzar, se toma como referencia una definici´on geom´etrica en la cual el ´algebra booleana es un ret´ıculo especial.
Definici´on 1.28. Un ´algebra booleana es un ret´ıculo distributivo complementado.
La afirmaci´on 1.25 tiene la consecuencia siguiente en el caso de estas estructuras. Corolario 1.29. En un ´algebra booleana, cada elemento tiene un ´unico complemento.
Este car´acter ´unico permite una nomenclatura especial.
Notaci´on 1.30. En general, el complemento de un elemento a de un ´algebra booleana se denota a′.
As´ı, dado un elemento a, por definici´ona′ es el ´unico elemento tal que: (
a∧a′ = 0
a∨a′ = 1
Ejemplo 1.31. P(X) con la relaci´on de contenencia es un ´algebra booleana. El complemento algebraico de un subconjunto A ⊆ X es su complemento conjuntista
A′ =Ac
Teorema 1.32. Un ´algebra booleana puede definirse como una estructura algebraica
(B,∧,∨,′,0,1) que satisface las condiciones siguientes.
Asociativas: i) a∧(b∧c) = (a∧b)∧c ii) a∨(b∨c) = (a∨b)∨c
Conmutativas: iii) a∧b=b∧a iv) a∨b=b∨a
Idempotentes: v) a∧a=a vi) a∨a=a
Absorbentes: vii) a∧(a∨b) = a viii) a∨(a∧b) = a
Distributivas: ix) a∧(b∨c) = (a∧b)∨(a∧c) x) a∨(b∧c) = (a∨b)∧(a∨c)
Neutros: xi) a∧1 =a xii) a∨0 =a
Complementos: xiii) a∧a′ = 0 xiv) a∨a′ = 1
Demostraci´on. Por el teorema 1.11, las propiedades (i) hasta (viii) corresponden a un ret´ıculo; las propiedades a˜nadidas (ix) y (x) determinan un ret´ıculo distributivo; las propiedades (xi) y (xii) describen el m´ınimo y el m´aximo; por fin, la conjunci´on con las propiedades (xiii) y (xiv) corresponden a un ret´ıculo distributivo complementado. Siguen algunas propiedades algebraicas en esta estructura, que ser´an significativas m´as adelante.
Afirmaci´on 1.33. En un ´algebra booleana se cumple: 1. a′′ =a;
2. a= 0 si y solo si a′ = 1;
3. a= 1 si y solo si a′ = 0;
4. a≤b′ si y solo si a∧b = 0;
5. Si a≤b entonces b′ ≤a′;
6. a≤b si y solo si b′ ≤a′;
7. a≤b′ si y solo si b≤a′;
8. a′ ≤b si y solo si b′ ≤a;
10. (a∨b)′ =a′ ∧b′;
11. a≤b si y solo si a′∨b = 1;
12. a∧b′ =a∧(a∧b)′.
Las propiedades (9) y (10) reciben el nombre deleyes de De Morgan, en honor al l´ogico y matem´atico brit´anico Augustus De Morgan (1806–1871). Por otra parte, la propiedad (12) esiterativa en la medida en que el elemento a se itera o repite dentro del alcance de la operaci´on ′ de complemento.
Demostraci´on.
1) Por definici´on,a′′ es el complemento dea. Por otro lado, las identidades que definen el complemento de a se pueden escribir como sigue.
a′ ∧a = 0 a′∨a = 1
Esto significa queaes un complemento dea′. Puesto que el complemento dea′ es ´unico (afirmaci´on 1.25), se obtiene a′′=a.
2) Si a= 0 entonces a′ = 0′ = 1; si a′ = 1 entonces por (1) se tiene a=a′′ = 1′ = 0.
3) Si a= 1 entonces a′ = 1′ = 0; si a′ = 0 entonces por (1) se tiene a=a′′ = 0′ = 1.
4) Sia≤b′ entoncesa∧b≤b′∧b= 0 luego a∧b= 0. En sentido contrario, sia∧b = 0 entonces
a=a∧1 =a∧(b∨b′) = (a∧b)∨(a∧b′) = 0∨(a∧b′) = a∧b′ de donde a=a∧b′ ≤b′.
5) Si a≤b entonces b′ ∧a≤b′∧b = 0, luego b′∧a = 0 y por (4) se sigue b′ ≤a′.
6) Una direcci´on es (5). En el otro sentido, si b′ ≤a′ entonces por (5) se tiene a′′ ≤b′′ lo cual por (1) equivale a a≤b.
7) Por (6) se tiene a≤b′ si y solo sib′′≤a′, lo cual por (1) equivale ab ≤a′.
8) Por (6) se tiene a′ ≤b si y solo sib′ ≤a′′, lo cual por (1) equivale ab′ ≤a.
Para cualquier elemento y se tiene
(a∧b)′ ≤y si y solo si y′ ≤a∧b si y solo si y′ ≤a y y′ ≤b si y solo si a′ ≤y y b′ ≤y si y solo si a′∨b′ ≤y
luego, como en la prueba de la afirmaci´on 1.5, esto implica (a∧b)′ =a′∨b′.
10) Para cualquier elemento x se tiene
x≤(a∨b)′ si y solo si a∨b≤x′
si y solo si a ≤x′ y b ≤x′ si y solo si x≤a′ y x≤b′ si y solo si x≤a′ ∧b′ de donde (a∨b)′ =a′∧b′.
11) Aplicando las propiedades probadas se tiene:
a≤b si y solo si a≤b′′ por (1); si y solo si a∧b′ = 0 por (4); si y solo si (a∧b′)′ = 1 por (2); si y solo si a′∨b′′ = 1 por (9); si y solo si a′∨b= 1 por (1).
12) Basta observar que
a∧(a∧b)′ =a∧(a′∨b′) = (a∧a′)∨(a∧b′) = 0∨(a∧b′) =a∧b′ donde se aplica la ley de De Morgan (9) en la primera igualdad.
1.4
Algebras de Heyting
´
Definici´on 1.34. Un ´algebra de Heyting es un ret´ıculo con m´ınimo 0 y una operaci´on binaria → que satisface:
a≤b →c si y solo si a∧b≤c
para cada a, b, c del conjunto.
Nota 1.35. Por la propiedad conmutativa de la operaci´on ∧, es evidente que en un ´algebra de Heyting tambi´en se tiene
a≤b→c si y solo si b∧a≤c.
Ejemplos 1.36.
• Sea T cualquier conjunto ordenado lineal (o total) con m´ınimo 0 y m´aximo 1. como se observ´o en los ejemplos 1.10, esto determina un ret´ıculo con a ∧b = min{a, b} y a∨b= max{a, b}. En T se define la operacion → como sigue:
a →b =
1 si a ≤b b si a > b
Con esto se tiene un ´algebra de Heyting.
Pues cuandoa≤b, como x∧a≤a se tiene x∧a≤b para cualquier x∈T, y as´ı es necesario definir a → b = 1 para que x ≤ a → b para cada x ∈ T; y cuando
a > b, para x > bse tiene x∧a > b luego en este casox∧a≤b si y solo si x≤b
de donde es necesario definir a→b=b.
• Como un caso particular del anterior se tiene el ´algebra de Heyting con tres ele-mentos, la operaci´on → est´a dada por la tabla adjunta.
•
1
•
a
•
0
→ 0 a 1
0 1 1 1
a 0 1 1
1 0 a 1
• Toda ´algebra booleana es un ´algebra de Heyting. Basta definir la operaci´on como
a→b=a′∨b. En efecto, si x≤a′ ∨b entonces
x∧a≤(a′∨b)∧a= (a′∧a)∨(b∧a) = 0∨(b∧a) = b∧a≤b; al rev´es, si x∧a ≤b entonces
x=x∧1 =x∧(a′∨a) = (x∧a′)∨(x∧a)≤a′∨b.
• Si X es un espacio topol´ogico entonces el conjunto Ab(X) de todos los subcon-juntos abiertos de X, ordenados por la contenencia, constituyen un ´algebra de Heyting. Pues evidentemente este es un ret´ıculo con la intersecci´on y la uni´on, el m´ınimo es ∅ y la operaci´on → se define como sigue.
A →B = (Ac
∪B)◦ =Ext(A−B)
Pues para un abierto arbitrario U de X se tiene U ⊆ A → B si y solo si U ⊆
(Ac
∪B)◦, si y solo siU ⊆Ac
∪B puesU es abierto, si y solo siU∩A⊆B como en el ejemplo anterior pues P(X) es un ´algebra booleana.
Seg´un estos ejemplos, la relaci´on entre las ´algebras booleanas y las ´algebras de Heyting se puede ilustrar mediante el siguiente diagrama de Venn.
´algebras booleanas •
•• •
´algebras de Heyting
• • •
Demostraci´on. Se tienea∧b≤(a∧b)∨(a∧c) y de igual maneraa∧c≤(a∧b)∨(a∧c). Por las propiedades de ´algebra de Heyting (ver nota 1.35), estas desigualdades equivalen a las siguientes:
b ≤a→((a∧b)∨(a∧c))
c≤a→((a∧b)∨(a∧c))
Pero entonces b∨c≤a→((a∧b)∨(a∧c)) y de nuevo por la definicion de ´algebra de Heyting resulta
a∧(b∨c)≤(a∧b)∨(a∧c).
Por 1.16 y 1.17, esta desigualdad garantiza que el ret´ıculo es distributivo. Afirmaci´on 1.38. En un ´algebra de Heyting se tiene:
1. a≤b →a; 2. a∧(a→b)≤b; 3. a∧(a→b) =a∧b;
4. a→(b→c)≤(a →b)→(a→c); 5. Si a≤b entonces b→c≤a→c; 6. Si a≤b entonces c→a≤c→b; 7. a→b =a→(a∧b);
8. a∧(b→c) =a∧((a∧b)→c); 9. (a∨b)→c= (a→c)∧(b →c). Demostraci´on.
1) Comoa∧b ≤a, por la definici´on se siguea≤b →a.
2) Comoa→b ≤a →b, por la nota 1.35 se tiene a∧(a→b)≤b.
3) Por un lado, como a∧(a → b) ≤ a y adem´as a∧(a → b) ≤ b por (2), se tiene
a∧(a → b) ≤ a∧b; por otra parte, a∧b ≤ a y adem´as a∧b ≤ b y por (1) se tiene
4) Aplicando algunas propiedades de semirret´ıculos y luego la propiedad (2) se tiene:
a∧(a→b)∧(a→(b→c)) =
a∧(a →b)
∧
a∧(a→(b→c))
≤b∧(b →c)
≤c
Luego por la nota 1.35 se sigue (a → b)∧(a → (b → c)) ≤ a → c y, por lo tanto, tambi´en a→(b→c)≤(a →b)→(a →c).
5) Si a ≤b entonces a∧(b → c) ≤ b∧(b →c); por (2) se tiene b∧(b →c)≤ c y as´ı
a∧(b →c)≤c, de donde por la definici´on b →c≤a→c.
6) Por (2) se tienec∧(c→a)≤a. Si a≤b entoncesc∧(c→a)≤b de donde, por la definici´on, c→a ≤c→b.
7) Como a∧(a →b)≤ a∧b por (3), se tiene a → b ≤ a → (a∧b) por la definici´on; por otro lado, como a∧b≤b, por (6) resulta a→(a∧b)≤a→b.
8) Puesto que a ∧b ≤ b, por (5) es b → c ≤ (a∧b) → c de donde a ∧(b → c) ≤
a∧((a∧b)→c). En el otro sentido, claramentea∧((a∧b)→c)≤a y adem´as por (2) se tiene (a∧((a∧b)→c))∧b = (a∧b)∧((a∧b)→c)≤cde donde, por la definici´on,
a∧((a∧b)→c)≤b→c. As´ı que a∧((a∧b)→c)≤a∧(b →c).
9) Como a ≤ a ∨ b, por (5) se tiene (a ∨b) → c ≤ a → c; de la misma manera (a∨b) → c ≤ b → c y por lo tanto (a∨b) → c ≤ (a → c)∧(b → c). En el otro sentido, por (2) se tienea∧(a→c)∧(b→c)≤a∧(a→c)≤cy de la misma manera
b∧(a →c)∧(b→c)≤b∧(b→c)≤c, as´ı que
(a∨b)∧(a→c)∧(b →c) = a∧(a→c)∧(b →c)
∨ b∧(a →c)∧(b→c)
≤c
de donde, por la definici´on, (a→c)∧(b →c)≤(a∨b)→c.
Afirmaci´on 1.39. Toda ´algebra de Heyting posee elemento m´aximo.
Demostraci´on. Seaaun elemento dado del ´algebra de Heyting (por ejemplo, el m´ınimo) y se considera el elemento a →a. Para cualquier elemento x se tiene x∧a≤ a luego, por definici´on, x≤a→a. Comox es arbitrario, a→a es el m´aximo.
Afirmaci´on 1.40. En un ´algebra de Heyting se tiene: 1. 1→a=a;
2. a≤b si y solo si a→b = 1. Demostraci´on.
1) Por (3) de la afirmaci´on 1.38 se tiene 1→a= 1∧(1→a) = 1∧a=a.
2) Si a ≤ b entonces para cualquier elemento x se tiene x∧a ≤ a ≤ b de donde, por definici´on, x ≤ a → b. Como x es arbitrario, a → b es el elemento m´aximo, es decir,
a→b = 1.
En el otro sentido, si a → b = 1 entonces por (2) de la afirmaci´on 1.38 resulta a =
a∧1 = a∧(a→b)≤b, as´ı que a≤b.
Como se observ´o en los ejemplos, un ´algebra de Heyting en general no es un ret´ıculo complementado. Sin embargo, en esta estructura se define una operaci´on similar al complemento y que comparte algunas propiedades con ella.
Definici´on 1.41. En un ´algebra de Heyting, el seudocomplemento de un elemento a, denotado ¬a, se define como sigue.
¬a=a→0
A continuaci´on se establecen algunas propiedades del seudocomplemento, que con-trastan con los de la afirmaci´on 1.33.
Afirmaci´on 1.42. En un ´algebra de Heyting se cumple: 1. a∧ ¬a= 0;
2. a∨ ¬a≤1, pero no siempre se tiene la igualdad; 3. a≤ ¬¬a, pero no siempre se tiene la igualdad; 4. a≤ ¬b si y solo si a∧b = 0;
7. ¬a≤b no siempre implica ¬b≤a;
8. ¬(a∧b)≥ ¬a∨ ¬b, pero no siempre se tiene la igualdad. 9. ¬(a∨b) = ¬a∧ ¬b;
10. a∧ ¬b =a∧ ¬(a∧b). Demostraci´on.
1) Por (3) de la afirmaci´on 1.38 se tiene a∧(a →0) = a∧0 = 0. Por definici´on esto significa a∧ ¬a= 0.
2) Como 1 es el elemento m´aximo se tienea∨ ¬a≤1. En el ´algebra de Heyting lineal con tres elementos 0< a < 1 (v´eanse los ejemplos 1.36) se tiene¬a=a →0 = 0, luego all´ıa∨ ¬a=a∨0 = a y como a6= 1, en general es a∨ ¬a6= 1.
3) Por la propiedad (1) se tiene a∧ ¬a≤0, luego a≤ ¬a→0 es decir, a≤ ¬¬a. Por otra parte, de nuevo en el ´algebra de Heyting lineal con tres elementos 0 < a < 1 se tiene ¬¬a= (a→0)→0 = 0→0 = 1 y a 6= 1 =¬¬a. As´ı, en general, ¬¬a6=a.
4) Por definici´on a ≤ ¬b si y solo si a ≤b → 0, si y solo si a∧b ≤ 0. Pero como 0 es el elemento m´ınimo, a∧b≤0 si y solo si a∧b= 0.
5) Por (5) de 1.38, a ≤ b implica b → 0 ≤ a → 0, es decir, ¬b ≤ ¬a. En el ´algebra de Heyting lineal con tres elementos 0 < a <1 se tiene ¬a ≤ ¬1 (pues ¬a =¬1 = 0), pero 1a. As´ı que no siempre se tiene la rec´ıproca.
6) Por (4) se tiene a≤ ¬b si y solo sia∧b = 0, si y solo sib∧a= 0, si y solo sib ≤ ¬a
de nuevo por la misma propiedad (4).
7) Una vez m´as, en el ´algebra de Heyting lineal con tres elementos 0 < a <1 se tiene
¬a≤0 (pues ¬a= 0) pero ¬0a (pues ¬0 = 1).
8) Por (3) se tienea∧b ≤a≤ ¬¬a luego por (6) se tiene ¬a≤ ¬(a∧b). De la misma manera se obtiene ¬b≤ ¬(a∧b), y as´ı¬a∨ ¬b≤ ¬(a∧b).
Heyting, a la derecha se muestra la tabla del seudocomplemento.
•
a • b
•
0
•c
•
1
x ¬x a b b a c 0
0 1
1 0
Este ret´ıculo es un ´algebra de Heyting porque corresponde a los abiertos de un espacio topol´ogico, por ejemplo la recta real Rcon la topolog´ıa τ ={∅,[0,1],(1,2],[0,2],R}. Ahora
¬a∨ ¬b =b∨a=c6= 1
¬(a∧b) = ¬0 = 1 luego ¬a∨ ¬b6=¬(a∧b).
9) Esto es consecuencia directa de (9) de la afirmaci´on 1.38, pues
¬(a∨b) = (a∨b)→0 = (a →0)∧(b→0) = ¬a∧ ¬b.
10) De igual manera, esto es consecuencia de (8) de la afirmaci´on 1.38 ya que
a∧ ¬b=a∧(b→0) =a∧((a∧b)→0) = a∧ ¬(a∧b).
1.5
Algebras de Hilbert
´
Siguiendo la escala de generalizaci´on, las ´algebras de Hilbert son estructuras que corres-ponden a la l´ogica implicativa [5].
Definici´on 1.43. Un ´algebra de Hilbert es una estructura algebraica que consiste en un conjunto no vac´ıo I junto con una operaci´on binaria → y un elemento constante 1 que satisface:
ii) (a→(b→c))→((a→b)→(a→c)) = 1; iii) a→1 = 1;
iv) Sia →b= 1 yb →a= 1 entonces a=b.
Si la igualdad con el m´aximo 1 se interpreta como “lo verdadero”, entonces la propiedad siguiente corresponde a la regla Modus Ponens.
Afirmaci´on 1.44. En un ´algebra de Hilbert, si a → b = 1 y a = 1 entonces tambi´en
b = 1.
Demostraci´on. Reemplazando a = 1 en a → b = 1 resulta 1 → b = 1; por otro lado,
b →1 = 1 por (iii) de la definici´on. Luego por (iv) de la misma definici´on, deb →1 = 1 y 1→b= 1 se tiene b = 1.
Aunque las ´algebras de Hilbert en principio no se definen como estructuras ordenadas, en cualquiera de ellas se tiene una relaci´on de orden natural.
Definici´on 1.45. En un ´algebra de Hilbert, se define la relaci´on ≤ como sigue.
a ≤b si a→b= 1
Afirmaci´on 1.46. La relaci´on ≤ definida arriba es de orden en el ´algebra de Hilbert, y adem´as 1 es el m´aximo para este orden.
Demostraci´on.
Reflexiva. Por (ii) de la definici´on se tiene
(a→(1→a))→((a→1)→(a→a)) = 1 y por (i) es a→(1→a) = 1, luego por la afirmaci´on 1.44 resulta
(a→1)→(a→a) = 1.
Ahora por (iii) de la definici´on se tiene a → 1 = 1, luego de nuevo por la afirmaci´on 1.44 resulta a→a= 1, es decir, a≤a.
Antisim´etrica. Dados elementosa,b tales quea≤b y b ≤a, esto significa a→b = 1 y
Transitiva. Sean a, b, c tales que a ≤ b y b ≤ c, esto es, a → b = 1 y b → c= 1. Por (ii) de la definici´on se tiene
(a→(b →c))→((a→b)→(a→c)) = 1
y por (iii) es a→(b→c) =a→1 = 1, luego por la afirmaci´on 1.44 resulta (a→b)→(a→c).
De nuevo por la misma afirmaci´on, esta igualdad junto cona→b = 1 implica a→c= 1, es decir, a≤c.
M´aximo. Por (iii) de la definici´on se tiene a →1 = 1, es decir, a≤1 para cualquier a. Por lo tanto, 1 es el elemento m´aximo.
La consecuencia que sigue es inmediata y resulta ´util m´as adelante.
Corolario 1.47. En t´erminos de la relaci´on de orden ≤, los axiomas de ´algebra de Hilbert se pueden expresar como sigue
i’) a≤b →a;
ii’) a→(b →c)≤(a→b)→(a→c); iii’) a≤1;
iv’) Si a≤b yb ≤a entonces a=b.
Ejemplos 1.48.
• Todo conjunto ordenado con m´aximo 1 es un ´algebra de Hilbert, definiendo la operaci´on → como sigue.
a→b =
1 si a≤b
b en caso contrario
Se nota que en esta definicion se cumple a ≤b si y solo si a → b = 1. Luego el orden inducido por la operaci´on es el mismo que posee originalmente el conjunto ordenado.
i’) Pues b→a = 1 ob →a=a, y en ambos casos a≤b→a.
ii’) Se nota quea→(b→c) =co bien a→(b→c) = 1, y de la misma manera (a → b) → (a → c) = c o bien (a → b) → (a → c) = 1. Por lo tanto, el ´
unico caso en el cual podr´ıa fallar esta propiedad (ii’) es si a→(b→c) = 1 y (a → b) → (a → c) = c. Por ello, a continuaci´on se demuestra que
a→(b→c) = 1 implica (a→b)→(a→c) = 1, con lo cual se garantiza la condici´on.
Si a → (b → c) = 1 entonces a ≤ b → c y se consideran dos posibilidades, dadas por el elementob →c.
– Si b → c = 1 entonces b ≤ c de donde a → b ≤ a → c. En efecto: si a → b = b entonces como b ≤ c y c ≤ a → c por (i’), luego por transitividad a→ b ≤a →c; y si a →b = 1 entonces a ≤b y de b ≤c
se sigue a ≤ c, es decir, a → c = 1 que es el m´aximo, luego tambi´en
a→b≤a→c. En consecuencia (a→b)→(a →c) = 1.
– Si b → c = c entonces a ≤ c, de donde a → c = 1 que es el m´aximo luego de nuevoa→b ≤a →c, es decir, (a→b)→(a→c) = 1.
iii’) Evidente pues 1 es el elemento m´aximo.
iv’) Evidente pues la relaci´on de orden ≤ es antisim´etrica.
• Como caso particular, cualquier conjunto ordenado lineal con m´aximo 1 es un ´algebra de Hilbert, definiendo la operacion → como sigue.
a →b =
1 si a ≤b b si a > b
• Toda ´algebra de Heyting es un ´algebra de Hilbert.
De nuevo, se verifican las condiciones del corolario 1.47. Las primeras dos son (1) y (4) de la afirmaci´on 1.38. Las otras dos son evidentes pues el ´algebra de Heyting es un conjunto ordenado con m´aximo 1.
´algebra de Heyting es un ret´ıculo distributivo, y se acaba de mostrar que todo ret´ıculo con m´aximo es, en particular, un ´algebra de Hilbert. As´ı, por ejemplo, el ret´ıculo del ejemplo 1.14 es otra ´algebra de Hilbert que no es de Heyting.
La relaci´on entre las ´algebras booleanas, las de Heyting y las de Hilbert se puede ilustrar mediante el siguiente diagrama de Venn.
´algebras booleanas •
•• •
´algebras de Heyting
• • •
´algebras de Hilbert
•
•
• • •
La afirmaci´on 1.44 se puede generalizar como sigue.
Afirmaci´on 1.49. En un ´algebra de Hilbert, si x≤a→b y x≤a entonces x≤b. Demostraci´on. Por (ii) de la definici´on se tiene
(x→(a→b))→((x→a)→(x→b)) = 1.
Ahora la hip´otesis x ≤ a → b significa x → (a → b) = 1 luego por la afirmaci´on 1.44 resulta
(x→a)→(x→b) = 1.
De nuevo, la hip´otesis x ≤a significa x →a = 1 luego por 1.44 se obtiene x→b = 1, es decir, x≤b.
Siguen algunas propiedades adicionales
Afirmaci´on 1.50. En un ´algebra de Hilbert se cumple:
1. 1→a=a;
3. Si a≤b entonces c→a≤c→b; 4. a→(b→c) =b →(a→c); 5. a→b =a→(a→b)
Demostraci´on.
1) Por (ii) de la definici´on se tiene
((1 →a)→(1→a))→(((1→a)→1)→((1 →a)→a)) = 1
y por la propiedad reflexiva es (1→a)→(1→a) = 1, luego por la afirmaci´on 1.44 se obtiene
((1→a)→1)→((1→a)→a) = 1.
Ahora (1→a)→1 = 1 por (iii) de la definici´on, luego aplicando de nuevo la afirmaci´on resulta (1 →a) → a= 1, es decir, 1 →a ≤ a. Como tambi´en a ≤ 1→ a por (i’) del corolario 1.47, al final queda 1→a=a.
2) Por (i’) es b → c≤ a →(b → c) y por (ii’) es a →(b →c)≤ (a →b)→ (a → c) luego, por transitividad, b→c≤(a→b)→(a →c). Pero sia≤b, se tienea→b = 1 luego por (1) de esta afirmaci´on se recibe
(a→b)→(a →c) = 1→(a→c) =a→c.
As´ı que b→c≤a →c.
3) Por (ii) de la definici´on se tiene
(c→(a→b))→((c→a)→(c→b)) = 1.
Pero a≤b luego a→b = 1 de dondec≤a→b, es decir, c→(a→b) = 1. Luego por la afirmaci´on 1.44 resulta
(c→a)→(c→b) = 1,
es decir, c→a≤c→b.
Pero por (ii’) es a→ (b→ c)≤ (a→b)→(a →c) luego por transitividad se obtiene
a → (b → c) ≤ b → (a → c). Por simetr´ıa tambi´en b → (a → c) ≤ a → (b → c) de donde resulta la igualdad.
5) Por (ii’) se tienea→(a→b)≤(a→a)→(a→b), pero por la propiedad reflexiva
a→a= 1 y por (1) de esta afirmaci´on se tiene
(a→a)→(a →b) = 1→(a→b) =a→b,
as´ı que a → (a → b)≤ a → b. Por otro lado, por (i’) es a → b ≤ a → (a → b), y de esta manera resulta la igualdad.
1.6
Semirret´ıculos de Hilbert
Toda ´algebra de Hilbert es un conjunto ordenado, y cualquier conjunto ordenado puede ser o no un semirret´ıculo. Si cierta ´algebra de Hilbert es un semirret´ıculo para el orden inducido, se cumplen las propiedades siguientes.
Afirmaci´on 1.51. Sea H un ´algebra de Hilbert en la cual, respecto al orden inducido, cada par de elementos a, b posee m´axima cota inferior a∧b. En tales condiciones:
1. Si a≤b→c entonces a∧b ≤c; 2. a∧(a→b) =a∧b.
Demostraci´on.
1) Comoa∧b ≤a, la hip´otesisa≤b→cimplicaa∧b≤b→c; por otro ladoa∧b ≤b. Luego por la afirmaci´on 1.49 se tiene a∧b≤c.
Ejemplo 1.52. En el ret´ıculo siguiente, considerado como ´algebra de Hilbert seg´un se explic´o en 1.48, se tiene a∧b≤c pero b→c=c porque bc. De donde ab→c.
•
a • c
•
0
•
1
• b
Definici´on 1.53. Un semirret´ıculo de Hilbert es un ´algebra de Hilbert en la cual, para el orden inducido, cada par de elementos posee m´axima cota inferior y que adem´as satisface las condiciones siguientes.
i) a≤b→c si y solo si a∧b≤c; ii) (a∧b)→c=a→(b →c); iii) a→(b∧c) = (a→b)∧(a→c);
iv) a→b=a→(a∧b).
En realidad, estas cuatro condiciones son equivalentes entre s´ı, tal como sucede, por ejemplo, con la definici´on de ret´ıculo distributivo (1.18). Para una demostraci´on deta-llada de este hecho puede consultarse el trabajo de grado [5] o el art´ıculo [6]. En estos escritos tambi´en se muestra, con toda claridad, que los semirret´ıculos de Hilbert corresponden al segmento de la l´ogica intuicionista determinado por la conjunci´on y la implicaci´on, segmento llamado all´ıl´ogica implicativa con conjunci´on.
Ejemplos 1.54.
• Toda ´algebra de Heyting es un semirret´ıculo de Hilbert.
• Todo conjunto ordenado lineal con m´aximo es un semirrret´ıculo de Hilbert.
Pues es un ´algebra de Hilbert cuyo orden inducido coincide con el original (1.48). Para este orden es un semirret´ıculo (1.4), y adem´as satisface la condici´on (i) de 1.53. En efecto, si a ∧b ≤ c se consideran dos casos: cuando b ≤ c entonces
b→c= 1 y evidentementea≤b→c; cuandob > centoncesb→c=cy si fuera
a > c entonces (por ser un orden lineal) tambi´en a∧b > c, lo cual es absurdo as´ı que de nuevo a ≤b →c.
Afirmaci´on 1.55. En un semirret´ıculo de Hilbert se cumple la igualdad siguiente.
a∧(b→c) =a∧((a∧b)→c)
Demostraci´on. Por (ii) de la definici´on 1.53 se tiene (a∧b)→c=a→(b →c), luego tambi´en a∧ ((a ∧b) → c) = a ∧(a → (b → c)). Ahora por el numeral (ii) de la afirmaci´on 1.51 es a∧(a→(b→c)) = a∧(b→c).
Ahora bien, puede demostrarse que en la definicion 1.53 las condiciones que definen el ´algebra de Hilbert (o las condiciones (i’) hasta (iv’) de la definicion 1.47) son conse-cuencias de la equivalencia exigida. Es decir, basta pedir que el semirret´ıculo tenga una operacion →que satisfaga la equivalencia (i).
Teorema 1.56. Un semirret´ıculo de Hilbert puede definirse como un semirret´ıculo
(S,∧) con una operaci´on binaria → que satisface:
a≤b→c si y solo si a∧b≤c.
La demostraci´on es similar a la prueba de que toda ´algebra de Heyting es un ´algebra de Hilbert. Para mayores detalles, se puede consultar el trabajo [5] o el art´ıculo [6]. El hecho siguiente, aunque obvio, parece no haber sido se˜nalado antes en la literatura matem´atica.
En el siguiente diagrama de Venn se ilustran las relaciones de contenencia que existen entre las principales estructuras estudiadas en este cap´ıtulo.
´algebras booleanas •
•• •
´algebras de Heyting
• • •
semirret´ıculos de Hilbert
•
´algebras de Hilbert
• •
Cap´ıtulo 2
Definiciones iterativas
Las reglas de transformaci´on de los gr´aficos existenciales Alfa, propuestas por C. S. Peirce, determinan un sistema del todo gr´afico para el c´alculo proposicional cl´asico. En esa presentaci´on las reglas de iteraci´on y desiteraci´on, que permiten copiar o borrar informaci´on a trav´es de l´ımites de la negaci´on, juegan un papel muy importante. En el trabajo [13] se propuso una traducci´on de los gr´aficos Alfa al c´alculo proposicional mediante ´algebras booleanas, y all´ı surgi´o una definici´on alternativa de estas estructuras en la cual la propiedad iterativa (la propiedad (12) de la afirmaci´on 1.33 arriba) ocupa un lugar central. En este cap´ıtulo se revisa y perfecciona esa definici´on, pero adem´as se proponen definiciones similares para otras estructuras m´as generales.
2.1
Ret´ıculos distributivos
Si se aplica la propiedad iterativa (la propiedad (12) de 1.33) a la disyunci´on se obtiene una identidad que, de manera sorprendente, caracteriza el car´acter distributivo de un ret´ıculo.
Teorema 2.1. Un ret´ıculo es distributivo si y solo si se cumple la condici´on siguiente.
Demostraci´on.
⇒) En un ret´ıculo distributivo se tiene:
a∧((a∧b)∨c) = (a∧(a∧b))∨(a∧c) distributiva; = ((a∧a)∧b)∨(a∧c) asociativa; = (a∧b)∨(a∧c) idempotente;
=a∧(b∨c) distributiva.
⇐) Si en un ret´ıculo se cumple la propiedad indicada entonces
a∧(b∨c) = a∧((a∧b)∨c) por hip´otesis; =a∧(c∨(a∧b)) conmutativa; =a∧((a∧c)∨(a∧b)) por hip´otesis; =a∧((a∧b)∨(a∧c)) conmutativa.
Luego a∧(b∨c) ≤ (a∧b)∨(a∧c) lo cual, por las afirmaciones 1.16 y 1.17, implica que el ret´ıculo es distributivo.
2.2
Algebras booleanas
´
En esta secci´on se estudia a definici´on alternativa presentada en [13] y ella se enriquece con otras dos muy similares. En un principio, las reglas de transformaci´on conducen de manera natural a la estructura siguiente.
Convenci´on 2.2. En un semirret´ıculo inferior con m´aximo (S,∧,1) se considera una operaci´on S −→S :a7→a′ que satisface las siguientes condiciones.
B11. a∧b′ =a∧(a∧b)′;
B12. a′′=a;
B13. Si a≤b entonces b′ ≤a′.
Siguen algunas consecuencias de esta combinaci´on de propiedades.
Afirmaci´on 2.3. En un semirret´ıculo con m´aximo (S,∧,1) con una operaci´on ′ que
1. a≤b si y solo si b′ ≤a′;
2. a≤b′ si y solo si b≤a′;
3. a′ ≤b si y solo si b′ ≤a;
4. 1′ es el elemento m´ınimo de S.
Por supuesto, las demostraciones son iguales a las de la afirmaci´on 1.33.
Demostraci´on.
1) Una direcci´on esB13. En el otro sentido, si b′ ≤a′ entonces porB13se tienea′′ ≤b′′ lo cual por B12 equivale a a≤b.
2) Por (1) se tiene a≤b′ si y solo sib′′≤a′, lo cual por B
12 equivale a b≤a′.
3) Por (1) se tiene a′ ≤b si y solo sib′ ≤a′′, lo cual por B12 equivale a b′ ≤a.
4) Para cadaa∈S se tienea′ ≤1 luego por (3) es 1′ ≤a. As´ı que 1′ es el m´ınimo. Definici´on 2.4. En un semirret´ıculo con m´aximo (S,∧,1) con una operaci´on ′ que
satisface las condiciones de la convenci´on 2.2 se define la operaci´on binaria ∨ como sigue.
a∨b = (a′∧b′)′
Afirmaci´on 2.5. En un semirret´ıculo con m´aximo (S,∧,1) con una operaci´on ′ que
satisface B12 y B13, para cada elemento y∈S se tiene:
a∨b≤y si y solo si a≤y y b≤y.
Demostraci´on. En efecto,
a∨b≤y si y solo si (a′∧b′)′ ≤y por definici´on; si y solo si y′ ≤a′∧b′ por (3) de 2.3; si y solo si y′ ≤a′ y y′ ≤b′ por definici´on; si y solo si a≤y y b ≤y por (2) de 2.3.
Corolario 2.6. Un semirret´ıculo con m´aximo(S,∧,1)con una operaci´on′ que satisface
Demostraci´on. La afirmaci´on 2.5 establece quea∨b es la m´ınima cota superior de a y
b, de manera que S es un ret´ıculo; el numeral (4) de la afirmaci´on 2.3 muestra que S
es un ret´ıculo acotado porque tambi´en posee elemento m´ınimo.
Los ejemplos siguientes muestran que las condicionesB12 yB13no son suficientes para garantizar que se trata de un ret´ıculo distributivo ni de un ret´ıculo complementado. Ejemplos 2.7.
• El semirret´ıculo siguiente con la operaci´on indicada en la tabla adjunta, satisface las condiciones B12 y B13.
•
1
•
a b• •c •d
•
0
x x′
a b b a c d d c
0 1
1 0
De manera similar al ejemplo 1.14 se verifica que este ret´ıculo no es distributivo.
• El semirret´ıculo siguiente tambi´en verifica B12 y B13.
•
1
•a
•
0
x x′
a a
0 1
1 0
Afirmaci´on 2.8. En un semirret´ıculo con m´aximo (S,∧,1) con una operaci´on ′ que
satisface B11, B12 y B13 se tiene:
1. a∧a′ = 1′;
2. a∨a′ = 1;
3. a∧(b∨c)≤(a∧b)∨(a∧c). Demostraci´on.
1) En efecto:
a∧a′ =a∧(a∧1)′ pues a∧1 =a;
=a∧1′ porB
11;
= 1′ ya que 1′ es el m´ınimo.
2) Ahora
a∨a′ = (a′∧a′′)′ por definici´on;
= 1′′ por (1) aplicado aa′;
= 1 por B12.
3) Pues
a∧(b∨c) =a∧(b′ ∧c′)′ por definici´on; =a∧(a∧(b′ ∧c′))′ por B
11;
=a∧((a∧b′)∧(a∧c′))′ propiedades de semirret´ıculo; =a∧((a∧(a∧b)′)∧(a∧(a∧c)′))′ por B
11;
=a∧(a∧((a∧b)′∧(a∧c)′))′ propiedades de semirret´ıculo; =a∧((a∧b)′∧(a∧c)′)′ por B
11;
≤((a∧b)′ ∧(a∧c)′)′ evidente; = (a∧b)∨(a∧c) por definici´on.
Teorema 2.9. Un ´algebra booleana puede definirse como un semirret´ıculo inferior con m´aximo (S,∧,1) con una operaci´on S −→ S : a 7→ a′ que satisface las siguientes
condiciones.
B11. a∧b′ =a∧(a∧b)′;
B12. a′′=a;
B13. Si a≤b entonces b′ ≤a′.
Demostraci´on. En toda ´algebra booleana se cumplen las propiedades B11, B12 y B13, que corresponden en ese orden a los numerales (12), (1) y (5) de la afirmaci´on 1.33. En el otro sentido, un semirret´ıculo con una operaci´on ′ que satisface las condiciones
B11, B12 y B13 es un ret´ıculo acotado por el corolario 2.6. Puesto que en cualquier ret´ıculo se tiene siempre la desigualdad a∧(b∨c)≥(a∧b)∨(a∧c) (afirmaci´on 1.16), el numeral (3) de 2.8 significa la identidad a∧(b∨c) = (a∧b)∨(a∧c) y con ello se garantiza que la estructura es un ret´ıculo distributivo (afirmaci´on 1.17). Por fin, en la afirmaci´on 2.3 se estableci´o que 1′ es el elemento m´ınimo de S, as´ı que las igualdades (1) y (2) de 2.8 aseguran que el ret´ıculo es complementado. En resumen, S es un ´algebra booleana.
Como se trata del mismo conjunto y las mismas operaciones, es claro que la correspon-dencia entre las dos presentaciones de la estructura es biyectiva.
La siguiente presentaci´on alternativa es la que aparece, aparentemente por primera vez, en el trabajo de grado [13]. Se nota que la ´unica diferencia con la precedente es la tercera propiedad. A partir del teorema 2.9, es f´acil establecer la equivalencia requerida. Teorema 2.10. Un ´algebra booleana puede definirse como un semirret´ıculo inferior con m´aximo (S,∧,1) con una operaci´on S −→ S : a 7→ a′ que satisface las siguientes
identidades.
B21. a∧b′ =a∧(a∧b)′;
B22. a′′=a;
Demostraci´on. Basta probar la equivalencia de las condiciones B1 con las B2 y, puesto que las primeras dos coinciden, es suficiente mirar las condiciones B13 y B23.
En una direcci´on, en un semirret´ıculo con una operaci´on ′ que satisface las condiciones
B1 se cumple la propiedad B23, a saber a∧a′ = 1′, como se demostr´o en (1) de la afirmaci´on 2.8.
En el otro sentido, consid´erese un semirret´ıculo con m´aximo (S,∧,1) dotado de una operaci´on ′ que valida las propiedades B
21, B22y B23. Si a ≤b entonces, emulando la propiedad (4) de la afirmaci´on 1.33, se tiene
a∧b′ =a∧(a∧b)′ porB 21;
=a∧a′ pues a∧b=a ya que a≤b;
= 1′ porB
23. En consecuencia
b′ =b′∧1 pues 1 es el elemento m´aximo;
=b′∧1′′ por B
22;
=b′∧(a∧b′)′ por la igualdad obtenida arriba; =b′∧(b′∧a)′ propiedad conmutativa;
=b′∧a′ por B
21.
Perob′∧a′ ≤a′ y as´ı se obtieneb′ ≤a′, con lo cual se ha probado la condici´on B 13. La siguiente definici´on iterativa de las ´algebras booleanas fue sugerida al Director de este trabajo por el Profesor Xavier Caicedo, a partir de la anterior. Lo interesante es que en esta nueva presentaci´on no se exige, en principio, que haya elemento m´aximo. Teorema 2.11. Un ´algebra booleana puede definirse como un semirret´ıculo inferior
(S,∧) con una operaci´on S −→S :a7→a′ que satisface las siguientes identidades.
B31. a∧b′ =a∧(a∧b)′;
B32. a′′=a;
Demostraci´on. De nuevo, basta probar la equivalencia de las condicionesB2 con lasB3. Como las primeras dos coinciden, es suficiente mirar las propiedades B23 y B33. En los t´erminos del teorema 2.10 se tiene a∧a′ = 1′ y tambi´en b∧b′ = 1′ para todos los elementos a, b luego, en particular, a∧a′ =b∧b′. As´ı se cumpleB
33.
En el otro sentido, se considera un semirret´ıculo (S,∧) dotado de una operaci´on ′ que valida las propiedades B31, B32 y B33. La condici´on B33 significa que para cualquier elemento x∈S la combinaci´on x∧x′ es el mismo elemento constante, que en adelante se denota 0.
Se observa de inmediato que 0 es el elemento m´ınimo, dado que para cualquier elemento
a se tiene 0 =a∧a′ ≤a. Por otro lado, 0′ es el elemento m´aximo:
a∧0′ =a∧(a∧a′)′ definici´on de 0;
=a∧a′′ por B
31;
=a∧a por B32;
=a propiedad idempotente.
Es decir,a=a∧0′ ≤0′ para cualquier elementoa y as´ı 0′ es el m´aximo. Esto es, (S,∧) es un semirret´ıculo con m´aximo.
Denotando 1 el elemento m´aximo deS, se tiene 1 = 0′ por definici´on y en consecuencia 1′ = 0′′= 0 por B
32. De esta manera, a∧a′ = 1′ y se demuestra la propiedad B23.
2.3
Semirret´ıculos de Hilbert
En el trabajo de grado [7] se introduce un sistema de gr´aficos existenciales para la l´ogica implicativa con conjunci´on. Como se observ´o en el cap´ıtulo anterior, las estruc-turas algebraicas correspondientes a esa l´ogica son los semirret´ıculos de Hilbert. Puede esperarse que as´ı como las reglas Alfa de Peirce inducen una definici´on, alternativa e iterativa, de las ´algebras booleanas, de la misma manera las reglas para este novedoso sistema gr´afico conducen a una expresi´on para los semirret´ıculos de Hilbert.
