Tema 06 - Medidas de dispersion

BLOQUE TEMÁTICO II: La estadística nos ayuda

Tema 4:

Definición y conceptos básicos de estadística.

Tema 5:

Medidas de tendencia central.

Tema 6:

Medidas de dispersión.

Tema 7:

Medidas de posición y otras.

Medidas de dispersión

TEMA 6

Necesidad de las medidas de dispersión Medidas de dispersión absolutas

Aún siendo la Media aritmética el promedio más utilizado en la práctica, muchas veces puede dar lugar a falsas interpretaciones. Esto ocurrirá cuando no tenga suficiente grado de representatividad, es decir, cuando los valores de la variable estén poco concentrados o, lo que es lo mismo, muy dispersos a su alrededor; entonces, poco podrá decirnos la media sobre el colectivo en estudio.

En general, con una medida de tendencia central, tratábamos de sintetizar mediante un sólo número, toda la información suministrada por una tabla de distribución de frecuencias. Ahora bien, este número no nos daba la idea de cual era la "variabilidad" o "esparcimiento", de los valores de la distribución. Es necesario, acompañar a las medidas de tendencia central de otra medida del grado de dispersión de los valores de la variable a su alrededor. Así por ejemplo, si consideramos la media aritmética dada su importancia como promedio más representativo de una distribución, debemos indicar que cuanto mayor sea esta medida de dispersión, menor será el grado de representatividad de la media y viceversa.

Necesidad de las medidas de dispersión

Las medidas de dispersión se pueden clasificar en dos grandes bloques: absolutas y relativas. Estas últimas permiten establecer comparaciones entre distribuciones heterogéneas, con las medidas absolutas no es posible realizar este tipo de comparaciones.

Las medidas de dispersión que analizaremos serán las siguientes: a) Absolutas

- Recorrido o Rango

- Recorrido Intercuartílico

- Desviación absoluta media

- Varianza

- Desviación Típica

b) Relativas

- Coeficiente de apertura

- Recorrido relativo

-Recorrido Semiintercualtílico - Coeficiente de Variación

MEDIDAS DE DISPERSIÓN

Cualquier parámetro o estadístico que mida la proximidad o alejamiento existente entre los datos.

Estas medidas aprecian la separación absoluta entre los datos de una distribución.

Cuando es necesario comparar la dispersión de varias distribuciones, se utiliza un estadístico de dispersión relativa, llamado Cociente de Variación o se

recurre a Tipificar la Variable. Recorrido

Desviación media Varianza

Desviación típica Más

utilizadas Menos _frecuentes

Desviación cuartílica

Medidas de dispersión absolutas

Rango o recorrido: de todas las medidas de dispersión esta es la más sencilla de calcular, pero también la más imperfecta. Se define como la diferencia entre los dos valores extremos de una variable bajo el supuesto de que los valores de la variable estén ordenados en sentido creciente; su expresión matemática sería:

R = x

_n

– x

₁

Ejem. Sea la distribución Xi = 7, 8, 15, 20, 25. Entonces R = 25-7 = 18.

Esta medida tiene el inconveniente de que viene determinada por sólo dos valores de la variable, siendo por lo tanto, muy sensible a la

fluctuación de estos valores extremos.

Medidas de dispersión absolutas

Recorrido Intercuartílico: se define como la diferencia entre el tercer y el primer cuartil; su expresión matemática es la siguiente:

RECORRIDO INTERCUARTÍLICO

RI=Q3-Q1

Ejem. Sea la distribución

xi ni Ni ¿ Q1 ?

18 10 10 N/4 = 100/4 = 25

19 30 40 1º Ni / Ni > N/4 ----> 40 > 25 ----> Q1=19

20 35 75 (xi se corresponde a Ni >N/4).

21 15 90 ¿ Q3 ? 3N/4 = 300/4 = 75

22 10 100 1º Ni / Ni > 3N/4 ----> 75 = 75 ---->

100 Q3 = 20 + 21 / 2 = 20,5.

RI = 20,5 - 19 = 1,5.

RI=Q3-Q1

Ejem. Sea la distribución

xi ni Ni

18 10 10

19 30 40

20 35 75

21 15 90

22 10 100

Medidas de dispersión absolutas

RECORRIDO INTERCUARTÍLICO

En esta medida se atenúa considerablemente el inconveniente señalado para el recorrido, puesto que es la diferencia entre los valores de la

Medidas de dispersión absolutas

RECORRIDO INTERCUARTÍLICO

Desviación absoluta media: se define como la media aritmética de las desviaciones, en valor absoluto, entre los valores de la variable y la

media aritmética. Es decir:

Ejemplo:

xi ni xini Ixi-xI Ixi-xIni

2 1 2 8 8

9 2 18 1 2

11 4 44 1 4

12 3 36 2 6

10 100

D

_m

=

i=1

n

Ix

_i

-xI n

_i

N

Ejemplo:

xi ni xini

2 1 2

9 2 18

11 4 44

12 3 36

10 100 20

X =

100

10

= 10

D

_m

=

20

Esta medida presenta el inconveniente de que no se puede someter a manipulaciones algebraicas.

Medidas de dispersión absolutas

Medidas de dispersión absolutas

VARIANZA

Se define como la media aritmética de los cuadrados de las desviaciones de los valores de la variable con respecto a la media aritmética.

S

2

₌

i=1

n

Ejemplo: Dada la siguiente distribución, calcular la varianza. xi ni xini (xi-x) (xi-x)

2 (x

i-x) 2n

i

100 20

300 40

500 60

700 50

900 30

200

Ejemplo: Dada la siguiente distribución, calcular la varianza. xi ni xini (xi-x) (xi-x)

2 (x

i-x) 2n

i

100 20 2.000 -430 184.900 3.698.000

300 40 12.000 -230 52.900 2.116.000

500 60 30.000 -30 900 54.000

700 50 35.000 170 28.900 1.445.000

900 30 27.000 370 136.900 4.107.000

200 106.000 11.420.000

Medidas de dispersión absolutas

VARIANZA

X = 530

_S

2

₌

i=1

n

(x

_i

-x)

2

_n

i

N

=

11.420.000

Medidas de dispersión absolutas

VARIANZA

La varianza goza de unas propiedades deseables análogas a las señaladas para la media aritmética. Únicamente tiene el inconveniente de que su

dimensión no es la misma que la de la variable, ya que las diferencias de los valores de la variable respecto a su media, aparecen elevados al

Medidas de dispersión absolutas

DESVIACIÓN TÍPICA

Desviación Típica: La desviación se define como la raíz cuadrada de la varianza; tomando únicamente su valor positivo.

S = + S2

Ejemplo. Con los datos de la distribución anterior, la desviación típica es:

S = + 57100 = 238,95

Medidas de dispersión relativas

COEFICIENTE DE APERTURA

Coeficiente de Apertura: El coeficiente de apertura se define como el cociente entre los dos valores extremos de una distribución (tras ordenar los datos).

C

_A

=

x

_n

x

₁

Xi = 100, 300, 500, 700, 900

C

_A

=

900

Medidas de dispersión relativas

RECORRIDO RELATIVO

Recorrido Relativo: El recorrido relativo se define como el cociente entre el rango o recorrido y la media aritmética. Por tanto:

Ejemplo:

xi = 8, 10, 12, 20, 25.

R

_R

=

R

x

R = 25-8 = 17 x = 15

Recorrido semiintercuartílico: se define de la siguiente forma:

Medidas de dispersión relativas

RECORRIDO SEMIINTERCUARTÍLICO

R

_SI

=

Q

3

-Q

1

Q

₃

+Q

₁

siendo Q3 y Q1 los cuartiles 1º y 3º, respectivamente.

Ejemplo:

xi ni Ni

18 10 10

19 30 40

20 35 75

21 15 90

22 10 100

100

Medidas de dispersión relativas

RECORRIDO SEMIINTERCUARTÍLICO

Q1 = 19 / N/4 = 25 ----> 1ª xi/Ni >N/4 --->19.

Q3 = 20,5/ 3N/4 = 75 ----> 1ª xi/Ni>3N/4 ;

como Ni = 3N/4 ---->20+21/2 = 20,5.

R

_SI

=

20,5-19

Coeficiente de Variación: El cociente de Variación se define como el cociente entre la desviación típica y la media aritmética. Es decir:

Medidas de dispersión relativas

COEFICIENTE DE VARIACIÓN

Ejemplo:

xi ni xini (xi-x) (xi-x)

2 (x

i-x) 2n

i

100 20

300 40

500 60

700 50

900 30

200

Medidas de dispersión relativas

COEFICIENTE DE VARIACIÓN

X = 620

_S

2

₌

13.040.000

200 = 65.200

S = + 65200 = 255,34

C

_V

=

255,34

620

= 0,41

Ejemplo: Dada la siguiente distribución, calcular la varianza. xi ni xini (xi-x) (xi-x)

2 (x

i-x) 2n

i

100 20

300 40

500 60

700 50

900 30

200

Ejemplo: Dada la siguiente distribución, calcular la varianza. xi ni xini (xi-x) (xi-x)

2 (x

i-x) 2n

i

100 20 20.000 -520 270.400 5.408.000

300 40 12.000 -320 102.400 4.096.000

500 60 30.000 -120 14.400 864.000

700 50 35.000 80 6.400 320.000

900 30 27.000 280 78.400 2.352.000

Es la más utilizada de todas las medidas de dispersión relativas, ya que para comparar las dispersiones de dos o más distribuciones no podemos confrontar simplemente las varianzas o las desviaciones típicas respectivas, puesto que estos coeficientes de dispersión vienen afectados por la escala de medida de la respectiva variable. Es necesario, por tanto, eliminar esta influencia convirtiendo dichas medidas en números abstractos.

El coeficiente de Variación, debido a Pearson, definido como acabamos de ver, cumple perfectamente este cometido, puesto que al dividir la desviación típica por la media aritmética se elimina la influencia de la escala de medida, convirtiéndose en una medida susceptible de

comparación por ser abstracta (magnitud adimensional).

Medidas de dispersión relativas

Momentos

Se define el momento de orden r de la variable x con respecto al origen de la siguiente forma.

a

_r

=

i=1

n

X

_ir

_n

i

N

a

₂

=

i=1

n

X

_i2

_n

i

N

a

₁

=

i=1

n

X

_i

n

_i

Análogamente, el momento de orden r de la variable x con respecto a la media aritmética (o simplemente con respecto a la media) se define así:

Momentos

m

_r

=

i=1

n

(x

_i

-x)

r

_n

i

N

m

₁

=

i=1

n

(x

_i

-x)n

_i

N

= 0

(Por una propiedad de la media)

m

₂

=

i=1

n

(x

_i

-x)

2

_n

i

N

= S

Momentos

Los momentos respecto a la media se pueden expresar en función de los momentos respecto al origen de igual o inferior orden. Así, por ejemplo, tomando m₂, se comprueba que:

m

₂

=

i=1

n

(x

_i

-x)

2

_n

i

N

=

i=1 n

(x

_i2

_+x

2

_-2x

i

x)n

i

N

=

x

_i2

_n

i

N

i=1 n

+

x

2

_n

i

N

i=1 n

-+

2xx

_i

n

_i

N

i=1 n

=

n

_i

N

i=1 n

x

2

-x

_i

n

_i

N

i=1 n

=

- 2x

_a

₂

_{+ a}

₁2

_{–2 a}

12

=

x

_i2

_n

i

N

i=1 n

+

1

a

₁

a

₂

x

Momentos

Ejem.

a)Cálculo de la varianza y desviación típica en función de los momentos respecto al origen:

xi ni xini xi

2n i

100 20 2000 200.000

300 40 12.000 3.600.000

500 60 30.000 15.000.000

700 50 35.000 24.500.000

900 30 27.000 24.300.000

200 106.000 67.600.000

106000

200

x =

= 530 = a

₁

a

₂

=

67600000

200

= 338000

m

₂

= a

₂

– a

₁2

= S

2

2

10 90

90 10

P

P

D

_P

=

−

−

2

1 3

Q

Q

D

c

−

=

•Desviación Típica raiz cuadrada, con signo positivo, de la varianza

Es la medida de dispersión más utilizada. Una distribución estadística se suele caracterizar de modo abreviado indicando los valores de su media y su desviación típica.

•Desviación Cuartílica mitad de la diferencia entre los cuartiles tercero y primero.

•Desviación Percentílica 10-90 mitad de la diferencia entre los percentiles 10-90

•Coeficiente de Variación número abstracto, representa la desviación típica medida en unidades de la media aritmética; también se expresa en % y se utiliza para comparar el grado de dispersión de dos distribuciones. Se debe a Karl Pearson

100

⋅

=

X

ANÁLISIS COMPARATIVO DE LOS PROMEDIOS

MEDIDA VENTAJAS INCONVENIENTES UTILIZACIÓN ÓPTIMA

Centro de gravedad de la distribución

•Utiliza todas las observaciones •Definición matemática •Única •Manejable matemáticamente

•Afectada por valores extremos

•Distribuciones campaniformes

Valor de la variable que deja a su izquierda y derecha el 50% de las observaciones

•No afectada por valores extremos •Única

•No utiliza todas las observaciones

•Su definición es un artificio

•No manejable

•Distribuciones

fuertemente asimétricas

Valor de la variable que se presenta con mayor frecuencia

•No afectada por valores extremos

•No utiliza todas las observaciones

•Su definición es un artificio

MEDIDAS DE

DISPERSIÓN Necesidad

Promedio + Medida grado de dispersión

Conocer la Representatividad

de un promedio Variabilidad

Alta Baja Pequeña Grande Clases Absolutas Relativas 1

x

x

R

n

−

=

R_I =Q3 −Q1

N n x x D k i i i x

∑

= ⋅ − = 1 N n M x D k i i e i M e

∑

= ⋅ − = 1

(

)

N n x x S k i i i

∑

= ⋅ − = 1 2

2

S

=

+

S

2

X S CV ₌ 1 3 1 3 Q Q Q Q RSI + − =

X

R

R

_R

=

i n A

x

x

C

₌

Coeficiente Apertura Recorrido Relativo

Recorrido Semi-Intercuartílico Coeficiente Variación

(

)

N n X x m k i i h i h

∑

= ⋅ − = 1

N

n

x

a

k i i h i h

∑

=

⋅

=

1 Momentos Origen Media

Recorrido Recorrido Intercuartílico

Desviación Absoluta Media Desviación Absoluta Mediana

Medidas de dipersión

EJERCICIOS TEMA 6

Introducción

Medidas de tendencia central

1) Dadas las siguientes distribuciones estadísticas.

a) 1,1; – 0,9; – 2,2; – 1; – 3,3; – 0,8; – 4,4; – 0,7; – 0,6; – 0,5; – 0,4

3 5

4 7

6 1

8 2

11 5

12 4

Calcular sus recorridos.

i

x

i

n

i

n

c)

De 300 a 500 24

De 500 a 800 30

De 800 a 1200 40

De 1200 a 1500 17

De 1500 a 1600 9

De 1600 a 2000 12

i i

L

L

₋₁

−

Re = 1,1 – (- 4,4) = 5,5 1)

Re = 12 – 3 = 9

2) Realizando una prueba de acceso a los 205 aspirantes a ingresar en un centro universitario, se obtuvieron las siguientes puntuaciones:

Puntuación Aspirantes

De 50 a 55 1 De 55 a 60 2 De 60 a 65 3 De 65 a 70 5 De 70 a 75 14 De 75 a 80 23 De 80 a 85 51 De 85a 90 35 De 90 a 95 19 De 95 a 100 16 De 100 a 105 15 De 105 a 110 10 De 110 a 115 9 De 115 a 120 2

50-55 52,5 1 1 52,5 -35 -33 35 33 55-60 57,5 2 3 115 -30 -28 60 56 60-65 62,5 3 6 187,5 -25 -23 75 69 65-70 67,5 5 11 337,5 -20 -18 100 90 70-75 72,5 14 25 101,5 -15 -13 210 182 75-80 77,5 23 48 1782,5 -10 -8 230 184 80-85 82,5 51 99 4207,5 -5 -3 255 153 85-90 87,5 35 134 3062,5 0 2 0 70 90-95 92,5 19 153 1757,5 5 7 95 133 95-100 97,5 16 169 1560 10 12 160 192 100-105 102,5 15 184 1537,5 15 17 225 255 105-110 107,5 10 194 1075 20 22 200 220

110-115 112,5 9 203 1012,5 25 27 225 243 115-120 117,5 2 205 235 30 32 60 64

205 17937,5 1930 1944

i e

i

M

n

x

₋

_⋅

i i

X

n

x

₋

_⋅

e

i

M

x

−

X x

i −

i i

n

x

_⋅

i

N

i

n

i

x

i

i L L−1−

483

,

9

205

1944

=

=

Me

D

415

,

9

205

1930

=

=

X

D

5 , 85 5 35 99 5 , 102

85₊ − _{⋅ =}

= e M

5

,

87

205

5

,

17937

=

=

X

70

50

120

₋

₌

=

e

R

2)

4) Si al investigar el fenómeno deportivo en Europa se conociese el número de deportistas en los años que a continuación se indican:

Año Nº de

deportistas

1976 25.873.689 1977 29.502.726 1978 34.741.561 1979 33.628.250 1980 33.164.323 1981 34.621.644 1982 35.821.886 1983 35.049.954 1984 36.153.866 1985 36.404.964 1986 40.780.959 1987 43.364.861

Para calcular la media efectuamos la suma total de deportistas a lo largo de los doce años.

4)

Para calcular la desviación típica redondeamos a miles.

5) Se dispone de la siguiente distribución de frecuencias de la talla de pie de los hombres observados para efectuar un estudio de biomecánica:

Talla Nº de

pares

37 3

38 4

39 55

40 234

41 366

42 229

43 57

44 6

45 2

37 3 111 4107

38 4 152 5776

39 55 2145 83655 40 234 9360 374400 41 366 15006 615246 42 229 9618 403956 43 57 2451 105393

44 6 264 11616

45 2 90 4050

956 39197 1608169

i

x

i

n

i i

n

6) Construir una tabla estadística o distribución de frecuencias con la información siguiente:

Variable Nº de

repeticiones

De 0 a 2500 4

De 2500 a 5000 10

De 5000 a 7500 2

De 7500 a 10000 1

22450 1

50-55 52,5 1 1 52,5 55-60 57,5 2 3 115,0 60-65 62,5 3 6 187,5 65-70 67,5 5 11 337,5 70-75 72,5 14 25 101,5 75-80 77,5 23 48 1782,5

i i

n

x

⋅

i

n

i

x

i i

L

L

−1

−

i i

n

x

2

_⋅

6)

4493

=

S

82

,

20186972

22

121200

22

1111815000

2

2

_

=











−

=

S

09

,

5509

22

121200

=

=

7) De los ocho empleados de una instalación deportiva, se han considerado las distribuciones de sus edades y sus años de antigüedad en la empresa:

Edad 40 22 19 30 62 32 45 51

Antigüedad 13 3 1 8 39 13 17 24

7) El recorrido no indica nada sobre el grado de dispersión.

Calculemos el Coeficiente de Variación:

%

6

,

76

100

15

50

,

11

=

⋅













=

a

Cv

50

,

11

19

,

132

₌

=

a

S

19

,

132

15

8

2798

₂ 2

=

−

=

a

S

años N x X k i i

a 14,75

8 118 1 = = =

∑

= % 7 , 36 100 6 , 37 38 , 13

100 ⋅ =

     = ⋅ = e e e X S Cv

8

,

13

23

,

189

₌

=

e

S

23

,

189

2

=

e

S

2 2 1 1 2 2 8 301 8 12839       − =             − =

∑

∑

= = N x N x S k i i k i i e años N x X k i i

e 37,6 8 301 1 = = =

∑

=

(antigüedad)

=

39

−

1

=

38

e

R

43

19

62

)

(edades

=

−

=

e

R

8) Con los datos que se ofrecen a continuación:

Valores variable

Nº de repeticiones

10830 5

12460 3

13375 14

14380 17

17200 10

18128 7

8)

%

71

,

14

100

14681

85

,

2158

=

⋅













=

Cv

85

,

2158

4660623

₌

=

S

4660623 56 73136 56 356510538 2

2 _{ =}

     − = S 14681 56 71136 13375_{+ =}

=

X

10830 5 -2545 -12725 32385125

12460 3 -915 -2745 2511675

13375 14 0 0 0

14380 17 1005 17085 17170425

17200 10 3825 38250 146306250

18128 7 4753 33271 158137063

56 71136 356510538

9)

Una investigación ha requerido la observación de una variable de la que se han obtenido unos datos con valores muy elevados y se procedió a separarlos en intervalos, siendo los casos de cada uno los que se dan a continuación:

Valores Nº de Casos

De 70000 a 10000 21

De 100000 a 110000 27

De 110000 a 130000 34

De 130000 a 150000 14

De 150000 a 180000 8

De 180000 a 200000 11

De 200000 a 210000 10

5000

=

a

140000

=

x

O

a) Obtener la media, el valor más frecuente y el valor que se sitúa en mitad de la distribución.

70000-10000 85000 -11 21 21 0,70 -231 2541

100000-110000 105000 -7 27 48 2,70 -189 1323

110000-130000 120000 -4 34 82 1,70 -136 544

130000-150000 140000 0 14 96 0,70 0 0

150000-180000 165000 5 8 104 0,27 40 200

180000-200000 190000 10 11 115 0,55 110 1100

200000-210000 205000 13 10 125 1,00 130 1690

125 -276 7398

9) i x i n a O x ⋅     

 − 2

i x i n a O x ⋅       − i

h

i

N

i

n

a O x x i − i i

L

L

−

x

i

9) a)

mes

ptas

M

o

10000

107083

10

7

,

0

10

7

,

1

10

7

,

1

100000

_{3 3}

3

=

⋅

⋅

+

⋅

⋅

+

=

_{− −} −

Moda: intervalo de mayor altura 100000-110000

128969

5000

125

276

140000

₊

−

_⋅

₌

=

X

% 58 , 28 100 128960 32 ,

36847 _{⋅ =}

      = Cv

32

,

36847

1357725000

₌

=

S

(

59

,

184

4

,

875

)

1357725000

25000000

125

276

125

7398

5000

2 2

2

=

⋅

−

=



























 −

−

⋅

=

S

mes

ptas

M

e

20000

118529

34

48

5

,

62

110000

₊

−

_⋅

₌

=

→ =62,5 2

N

Intervalo mediano [110000-130000)

10) La información obtenida tras una observación es la siguiente:

Horas Taxistas

De 170 a 174 7

De 174 a 178 8

De 178 a 182 10

De 182 a 186 16

De 186 a 190 15

De 190 a 194 13

De 194 a 198 12

De 198 a 202 9

De 202 a 206 4

De 206 a 210 6

10) i

N

i

n

i i

L

L

−

x

i

170-174 172 7 7

174-178 176 8 15

178-182 180 10 25

182-186 184 16 41

186-190 188 15 56

190-194 192 13 69

194-198 196 12 81

198-202 200 9 90

202-206 204 4 94

206-210 208 6 100

100

178

174

10

100

10

10

→

−

→

=

P

N

7

2

182

196

=

−

=

Dc

196

4

12

69

75

194

3

⋅

=

−

+

=

Q

75

4

3

=

N

182

4

10

15

25

178

1

⋅

=

−

+

=

Q

4 , 188 4 15 41 50

186₊ − _{⋅ =}

= e M

→

=

50

2

N

25

,

13

2

5

,

175

202

90 10

=

−

=

− P

D

202

4

9

81

90

198

90

⋅

=

−

+

=

P

202

198

90

100

90

90

→

−

→

=

P

N

5

,

175

4

8

7

10

174

10

⋅

=

11)

Un compañero nos facilitó los datos de la siguiente distribución de frecuencias, ya que los valores que obtenía tras los cálculos de los promedios eran raros:

x

i ni

137900 1

147900 3

219900 2

229900 2

261000 1

288000 2

296000 3

469000 2

1780000 1

2730000 3

No se puede mostrar la imagen en este momento.

261000

=

x

O

100

=

a

11)

x

i ni Xi ni

137900 1 137900

147900 3 443700

219900 2 439800

229900 2 459800

261000 1 261000

288000 2 564000

296000 3 888000

469000 2 938000

1780000 1 1780000

2730000 3 8190000

20 14102200

705110

20

14102200

=

=

X

137900 1 1 -1231 -1231 1515361

147900 3 4 -1131 -3393 3837483

219900 2 6 -411 -822 337842

229900 2 8 -311 -622 193442

261000 1 9 0 0 0

288000 2 11 210 420 88200

296000 3 14 350 1050 367500

469000 2 16 2080 4160 8652800

1780000 1 17 15190 15190 230736100

2730000 3 20 24690 74070 1828788300

20 88822 2074517028

i

x

i

n

i

N

a

O

x

x i

−

i x i

n

a

O

x

⋅













−

i x i

n

a

O

x

⋅













−

2

11)

%

130

100

705110

68

,

916528

=

⋅

=

Cv

68

,

916528

00

8400248220

₌

=

S

00

8400248220

2

=

S

(

103725851

,

4

19723369

,

21

)

100000

20

88822

20

2074517028

100

2 2

2

₌

_⋅

₋





























−

⋅

=

S

Los datos presentan una dispersión muy elevada respecto a la media, por lo que este promedio no es adecuado.

Dado que la distribución carece de una única oda, hemos de calcular la mediana:

→

=

→

=

10

282000

2

e

M

N

12) _{En la tabla tipo III siguiente:}

108 – 112 17

112 – 116 29

116 – 120 7

120 – 124 41

124 – 128 96

128 – 132 59

132 - 136 1

Calcular la media y estudiar su representatividad.

L

108 – 112 110 17 17 1870 222,36 2908,47

112 – 116 114 29 46 3306 263,32 2309,95

116 – 120 118 7 53 826 35,56 180,64

120 – 124 122 41 94 5002 44,28 47,82

124 – 128 126 96 190 12096 280,32 818,53

128 – 132 130 59 249 7670 408,28 2825,29

132 - 136 134 1 250 134 10,92 119,24

250 30770 1265,04 9290,96

12)

i

i

L

L

−1

−

i

x

i

n

i

N

x

_i

n

_i

tividad

representa

dispersión

⇒↓

↑

%

95

,

4

100

08

,

123

09

,

6

100

₌

_⋅

₌

⋅

=

X

S

Cv

09

,

6

16

,

37

₌

=

S

(

)

16

,

37

250

96

,

9290

1 2 2

=

=

⋅

−

=

∑

=

N

n

X

x

S

k i i i

06

,

5

250

04

,

1265

1

=

=

⋅

−

=

∑

=

N

n

X

x

D

k i i i X

28

108

136

₋

₌