UNIDAD 2 RELACIONES Y FUNCIONES

UNIDAD 2

RELACIONES Y FUNCIONES

◆

Concepto de par ordenado.

◆

Definición de Producto Cartesiano de dos conjuntos.

◆

Definición de Relación entre conjuntos

◆

Funciones:

1) Definición.

2) Dominio, Codominio, Recorrido, Imágenes y Preimágenes

3) Representación

Par ordenado

Ejercicio:

Hallar x



R, e y



R de modo que se cumplan las igualdades entre los siguientes pares ordenados de números reales:

a) (x + y , 3) =(3, 2x –y) b) (y + x , 7) = (1, 2x +4y) c) (y + 2x , 16) = (8, 4x + 2y) d) (4x + 2y , 16) = ( 32, 2x - y)

En el sistema de ejes coordenados cartesianos adjunto, aparecen representados algunos puntos.

 la abscisa de A es: ...  la ordenada de B es: ...  el punto de abscisa 1 es: ...  las coordenadas de D son: ...  las coordenadas de E son: ...  las coordenadas de C son: ...

Busca el punto de coordenadas (1,2), ¿coincide con A?

Llamamos par ordenado a un conjunto de dos elementos dados en un cierto orden.

Y para distinguirlo de un conjunto binario cualquiera lo anotamos usando paréntesis.

Nota: (a,b)  {a,b}

Dos pares ordenados (a,b) y (c,d) son iguales sí y sólo sí a=c y b=d.

(a,b)=(c,d)  a=c  b=d

MATEMÁTICA 5 H- B

Liceo Nº 3 Nocturno

Producto cartesiano

Dados los conjuntos: A={1,2,3} y B={3,4} , escribe como pares ordenados todos los puntos con abscisa en el conjunto A y ordenada en el conjunto B. ¿Cuántos son?

Aplicaciones:

1) a) Dados los conjuntos A y B tales que: A={1,2} , B={ w,y,z}, escribe los conjuntos AxB, BxA y AxA por extensión.

b) Representa AxB y BxA de dos formas diferentes. ¿Se verifica : AxB= BxA? ¿Por qué?

2) Un alumno dice haber hallado el siguiente producto cartesiano CxD tal que : CxD={(a,1),(a,2),(b,1),(c,1),(c,2)}, ¿tiene razón?

Ejercicio:

Sea los conjuntos A y B /

A



 

1

,

5

,

B



 

2

,

3

,

a) representa el conjunto AxB en un sistema de ejes coordenados cartesianos, ¿qué figura es? b) sean A’ y B’ tales que A’ =A N , B’ =B N , escribe por extensión A’ x B’.

Ejercicio introductorio:

Dados los conjuntos A ={2,4,14,16} y B ={1,2,5,7},determinar por extensión:

 AxB =

 R1/R1 ={(a,b) AxB :a=2b}

 R2/R2 ={(a,b) AxB :a=b}

 R3/R3 ={(a,b) AxB :a+b=9}

 R4/R4 ={(a,b) AxB :a es múltiplo de b}

 R5/R5 ={(a,b) AxB :ab}

Observa que R1,R2,R3,R4,R5 son ………. de AxB.

Relación

Dados dos conjuntos A y B, llamamos relación

R

/

R

: AB , a todo subconjunto del producto cartesiano AxB.

Llamamos producto cartesiano de dos conjuntos A y B, y lo anotamos AxB al conjunto cuyos elementos son todos los pares ordenados con primera componente perteneciente al conjunto A y segunda componente perteneciente al conjunto B .

Continuando con el ejercicio introductorio, ¿qué puedes afirmar acerca de los conjuntos R1,R2,R3,R4,R5 a partir del concepto de Relación?

Ejercicios:

Dados los conjuntos: A, B / A={a,b,c} , B={2,5},

1) indica si los siguientes conjuntos definen relaciones de A en B, fundamenta en cada caso tu respuesta,

R

1={(a,b),(a,5),(b,5),(b,c)}

……….

R

2={(a,2),(b,2),(c,5)}

……….

R

3={(a,2),(c,5)}

……….

R

4={(a,2),(b,2),(c,2)}

……….

R

5={(a,b),(b,5),(5,c)}

……….

R

6={(a,2),(a,5),(c,2),(b,5)}

………. 2) indica en cuáles de las relaciones anteriores:

a) Todos los elementos de A tienen correspondiente,

……….

b) Todos los elementos de A tienen un único correspondiente.

……….

NOTA : Aquellas relaciones que cumplen "b" se llaman funciones.

Función

3) Investiga cuales de las relaciones anteriores son funciones, representa mediante diagramas de Venn, aquellas que sean funciones.

Dominio, Codominio, Recorrido, Imagen, Preimagen

Dado el diagrama de una función f / f: A B como muestra la figura adjunta:

A = {1; 2; 3; 4}

B = {1; 3; 5; 7; 9}

Observaciones:

 A se dice dominio de la función y se anota D(f)=A.

 B se dice conjunto codominio de la función f y se anota Cod(f) = B

 (2,3) f, decimos que "3 es la imagen de 2" por la función f y lo escribimos f(2)= 3.

 (4,9) f, decimos que "4 es la preimagen de 9" por la función f y lo escribimos f(4)= 9.

 El conjunto dominio también recibe el nombre de

conjunto de preimágenes y el conjunto de sus correspondientes se llama conjunto imagen: Im(f) o recorrido de f.

Im (f) = {1,3,7,9} , obsérvese que Im(f)  B .

1) Escribe f por extensión: f = { ………. }

Una posible definición de f por comprensión, es la siguiente:







  

    

2 x 1 2x

2 x 1 2x f(x) / B A : f

2) Representa f en el sistema de ejes coordenados cartesianos de la figura 1.

3) Si ahora cambiamos el dominio y codominio de f y consideramos f / f:RR, representa f en el sistema de ejes coordenados cartesianos fe la figura 2.

 1 2

 3  4

 1  5  3

7  9

CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES

Ejemplos:

Nota: Si (x,y)f entonces decimos que " x es la preimágen de y por f " " y es la imagen de x por f " y lo anotamos: y= f(x) .

Obsérvese que: (x,y) es equivalente a decir (x,f(x)) f.

Sea f: A



B una función, tenemos las siguientes definiciones:

f es inyectiva si y sólo sí para todo par x1 , x2 de elementos distintos de A, sus imágenes

f(x1), f(x2) también son distintas.

f es sobreyectiva si y sólo sí todo elemento del codominio es una imagen por f.

Obsérvese que: esto último implica que el recorrido de f es igual al codominio.

f es biyectiva si y sólo sí es inyectiva y sobreyectiva.

Obsérvese que esto último implica que:

1) todo elemento del codominio es imagen de un único elemento del dominio. 2) Los cardinales del dominio y recorrido son iguales.

g

º 4

º 8

º 16

º 2

º 4

º 8 k

f :A



B , es una función inyectiva.

A B

ºA

º B

º C

ºJ

ºK

º Q

g :C



D , es una función no inyectiva.

g :C



D , es una función no sobryectiva.

C D

º 1

º 2

º 3

º 5

º 7 h

h :A



E , es una función sobreyectiva.

A E

k :G



H , es una función biyectiva.

G H

f

º 1

º 2

º 3

º 7

º  º 2

APLICACIONES

1. i) Dadas las siguientes relaciones indica cuales corresponden a funciones. Justifica tu respuesta.

ii) Para aquellas que correspondan a funciones, realiza su clasificación.

a) b)

c) d)

2. a) Indica si los siguientes gráficos corresponden a funciones de dominio real:

R

1: AR,

R

1= {(0,2),(1,4),(2,6),(-1,0),(-2,-2)}

con A={-2,-1,0,1,2}

R

2 AxA con A= {a,b,c,d}

R

2={(a,a),(a,d),(b,a),(c,c),(d,b)}

B

4

0

9

A

B

2 - 2

0 3 -3

R

3

10 30

20 1

2

4

b) Para aquellas que son funciones: 1) realiza su clasificación, indicando dominio y codominio. 2) escribe la expresión de f(x).

3. Sea f : A



B/ f (x)=x+2 con A=





_Z

,

x.

 

x

2





x

2











y

_B







1,1,2,3,4,

5,7,8



0

6

1

/

x

x

x

,

a) ¿ f es función?

b) realiza el diagrama de f y su RG, b) determina el Rec(f ),

c) realiza la clasificación de f ,

d) representa f en un sistema de ejes coordenados cartesianos, e) restringe el codominio para que f resulte biyectiva.

f) Sea g :





3

,

2





R / g (x)=x+2 , realiza la representación gráfica de g en un sistema de ejes coordenados cartesianos.

g) Compara las RG realizadas en las partes e) y g), ¿son iguales?. ¿Por qué?

4. Sea f : A



N / f (x)=x2+4 , siendo A/A=





1

,



2

,

0

,

1

,

2

,

3

,

4



, a) ¿ f es función?

b) Realiza el diagrama de f y su RG en un sistema de ejes coordenados cartesianos. c) Determina D(f ) y Rec(f ).

d) Clasifícala.

5. Se considera la función f : Z



N / f (x)=x2, indica si son verdaderas (V ) o falsas (F), las siguientes afirmaciones:

a. f es inyectiva.

b. La única preimagen de 4 es 2.

Practico 2 – Relaciones y funciones

1) Dado el conjunto

A





6

,

7

,

8

,

9



definimos la relación

R

:

A



A

/

R





(

x

,

y

)

/

x



A

,

y



A



y



x



i) Determinar

R

por extensión.

ii) Efectuar un diagrama de Venn

2) Sea

R





(

x

,

y

)

/

(

x

,

y

)



N



N



x



y



5



i) Determinar

R

por extensión.

ii) Indicar para cada una de las siguientes proposiciones verdadero o falso:

(

4

,

1

)



R

,

(



2

,

7

)



R

,

(

2

,

3

)



R

,

R







1

,

4

)

(

,  

(

1

,

4

)



R

y 

(

2

,

3

)





R

.

3) Dados los conjuntos

A





0

,

1

,

2



y

B



 

3

,

4

: i) Escribir por extensión el conjunto

A



B

.

ii) Escribir por extensión las relaciones

R

₁,

R

₂ y R₃ sabiendo que:

a

b

R

b

a

B

A

R

₁

:



/

(

,

)



₁





4

)

,

(

/

:

2

2

A



B

a

b



R



a



b



R

a b R b a B A

R₃:  /( , ) ₃   

4) Sean A



xN/x3  x9



,

B





2

,

4

,

6



y las relaciones



(

,

)

/

(

,

)

1



1



b

a

b

a



B



A



a



b



R

,

R

₂





(

x

,

y

)

/

(

x

,

y

)



B



B



x



y



y



xy x y A B x y



R3  ( . )/( , )    :

i) Representar por diagramas

R

1,

R

2 y R3. ii) Expresar cada relación por extensión. iii) Indicar en cada caso dominio y recorrido.

5) Dados

A





a

,

b

,

c



y

B



 

1

,

2

,

3

y los siguientes conjuntos:



(

a

,

1

);

(

b

,

2

);

(

c

,

3

)



L



,

M





(

a

,

1

);

(

b

,

1

)

;

(

c

,

1

)



,

N





(

a

,

1

);

(

c

,

4

)



,

O





(

a

,

2

);

(

a

,

3

);

(

b

,

2

);

(

b

,

3

)



,



(

a

,

1

);

(

b

,

2

);

(

b

,

1

);

(

c

,

3

)



P



y

Q





(

a

,

1

);

(

a

,

2

);

(

a

,

3

);

(

b

,

1

)



i) Indicar cuáles corresponden a relaciones de A en B

ii) Indicar cuáles corresponden a funciones de A en B y en caso afirmativo clasificarlas.

6) Dados los conjuntos

A



 

1

,

3

,

5

y

B





2

,

4

,

6

,

8



y las relaciones:



(

1

,

2

);

(

3

,

4

)

;

(

1

,

8

);

(

5

,

6

)



1



R

,

R

₂





(

1

,

8

);

(

5

,

2

)



, R₃ 



(1,4);(3,6);(5,8)



y



(

1

,

8

);

(

3

,

8

);

(

5

,

8

)



4



R

.

i) Indicar cuáles de las relaciones anteriores corresponden a funciones de A en B. Justificar. ii) Representarlas mediante diagramas de Venn

7) Dados

A





0

,

2

,

4

,

6

,

8

,

10



y

B





a

,

e

,

i

,

o

,

u



. i) Definir una relación de A en B que no sea función.

ii) Definir una función de A en B que no sea inyectiva ni sobreyectiva. iii) Definir una función de A en B sobreyectiva.

8) Primera Prueba – 5° H – Julio 2010









 





     





1 1 2 2 1 1 2

A) Dados los conjuntos A= 1, 2, 3, 4 3, 4, 5, 6, 7 . Sean las relaciones: A B/ = , / 2 ,

B / = 3, 4 , 4,1 , 5, 3 a) Expresar por extensión.

b) Diagramar y .

y B

x y y x

A               1 2

c) Indicar si o son función. En caso afirmativo clasificar.

B) Indica si son verdaderas o falsas las siguientes proposiciones: a) Si f : A B es función biyectiv

 







a, entonces #A = #B b) Si A B = B A, entonces A B

c) Si A B # # A B

  

      

2

1 1 1

2 2 2

1

C) Dados dos conjuntos: A= 1, 2, 3 1, 2, 7,5

a) Hallar AxB

b) Dadas las siguientes relaciones:

R / , / 2

/ 1, 1 , 2, 1 , 3, 5

) Expresar R por ext

y B

R A B y R x y y x

R R A B y R

i ensión y diagramar ambas relaciones. ii) ¿Alguna de ellas es función? En caso afirmativo clasificar









 





 

   

D) Sea A= 0,1,2,3 1,2, 3, 5, 6, 7,1 y

una relación incluida en A×B/R= , / 2 1

) Expresar por extensión y diagramar. b) ¿R es función? En caso afirmativo clasificar.

y B

R x y A B y x