Una introducción a las funciones simétricas

Pontificia Universidad Javeriana.

Facultad de Ciencias.

Departamento de Matem´ aticas.

Una introducci´ on a las funciones sim´ etricas

Diego Avenda˜no

Directora: Eddy Pariguan

Bogot´a - Colombia

´ Indice general

1. Preliminares 7

1.1. Modulo de Permutaci´on . . . 7

1.2. M´odulos Specht . . . 10

1.3. Algoritmo Robinson-Schensted . . . 13

2. Funciones sim´etricas y multisim´etricas 19 2.1. Anillo de funciones sim´etricas . . . 19

2.2. Funciones sim´etricas homog´eneas . . . 21

2.3. Funciones sim´etricas de potencias . . . 23

2.4. Funciones sim´etricas elementales . . . 24

2.5. Funciones multisim´etricas . . . 28

Introducci´ on

Dentro de las matem´aticas muchas ramas est´an entrelazadas y sus avances vienen de la mano, la teor´ıa combinatoria ha formado parte del desarrollo de estructuras algebraicas espec´ıficas como las funciones sim´etricas.

La relaci´on entre las ra´ıces y los coeficientes de una ecuaci´on ha sido bastante trabajada, dando paso a nuevas ´areas con objetos propios de ´estas, una estructura derivada de la teor´ıa de ecuaciones, son las funciones sim´etricas. En matem´aticas la simetr´ıa entrelaza la similitud entre figuras geom´etricas, y algebraicamente las invarianzas de alg´un tipo. Una funci´on es sim´etrica respecto a cualquier cantidad de variables, si un intercambio de ´estas variables no cambia la funci´on, este concepto se ver´a m´as a profundidad en el cap´ıtulo 2.

Cualquier ecuaci´on polin´omica est´a determinada por sus coeficientes, por ende sus ra´ıces tambi´en, y el intentar establecer f´ormulas que permitan determinar dichas ra´ıces fue en su momento un problema matem´atico de importancia [16]. Un punto de partida en el desarrollo de dicho problema se da en mitad del siglo XVI con el matem´atico italiano Girolano Cardano (1501-1576), cuyo nombre tiene una conexi´on directa con la primera soluci´on para una ecuaci´on c´ubica, su trabajo Ars Magna fue publicado en 1545, en este,

´

el da la ecuaci´on x³+ 72 = x², con las ra´ıces√

40 − 4,√

40 + 4, 3, aunque las correctas son

−√

40+4,√

40+4, 3, este peque˜no error no opaca el trabajo realizado por Girolano, quien tambi´en dice que la diferencia entre la suma las ra´ıces con t´erminos positivos y la suma de ra´ıces con t´erminos negativos es siempre igual al coeficiente del segundo t´ermino, bajo esta idea sumo √

40 + 4 con 3, y le resto √

40 − 4, para obtener 11, que es el coeficiente de x² en la ecuaci´on, y en concordancia con esta idea el tambi´en mostr´o que cuando el

segundo t´ermino no existe, la sumas de las ra´ıces negativas y positivas es igual. Trece a˜nos despu´es Jacques Peletier (1517-1582), da un m´etodo para encontrar las ra´ıces de una ecuaci´on entre los divisores del t´ermino absoluto, cuando la ra´ız es racional [10], por ejemplo 3 es divisor de 72, y ra´ız de la ecuaci´on x³+ 72 = x².

El matem´atico franc´es Vieta (1540) (Fran¸cois Vi`ete) [4], aport´o resultados importantes que relacionan coeficientes con ra´ıces de ecuaciones, el primer teorema de Vieta establece que si (a + b)x − x² = ab, entonces x = a o b, para la ecuaci´on c´ubica, bicuadr´atica, y qu´ıntica se dan de una forma similar, lo que muestra el gran conocimiento de Vieta en el

´

area, que llevo a otros a lograr avances aun m´as importantes, como Albert Girard (1595- 1632), quien dijo: “Si los coeficientes de los t´erminos segundo, tercer, cuarto, ect. . . , son A, B, C, etc. . . , entonces en cualquier ecuaci´on de grado,

A

A²− 2B

A³− 3AB + 3C

A⁴− 4A²B + 4AC + 2B² − 4D

ser´an la suma de las soluciones cuadr´aticas, cubicas, bicuadr´aticas, etc. . . ”.

Charles Hutton (1737-1823) [5], aclam´o a Girard por ser la primera persona quien com- prendi´o la doctrina general de coeficientes y sumas de ra´ıces y los productos. Por varias d´ecadas posteriores, muy poco se consigui´o en cuanto a funciones sim´etricas, pero Tho- mas Harriot, William Oughtred, Jhon Wallis, y Rene Descartes re-evaluaron las ideas de Hutton. El Dr Edwar Waring, profesor Lucasiano en Cambridge desde 1760 hasta 1798, fue el responsable de desarrollar tres teoremas importantes sobre funciones sim´etricas, su primer teorema es una f´ormula para encontrar en funci´on de los coeficientes la suma de las n-´esimas potencias de las ra´ıces. La primera presentaci´on de las funciones sim´etri- cas de forma moderna, es gracias a Meyer Hirsch (1765-1851), ´el construy´o las primeras tablas de funciones sim´etricas que se convirtieron en una generalizaci´on y han seguido siendo usadas, las form´o a partir de las funciones como potencias de las ra´ıces, dando la demostraci´on de su m´etodo en su trabajo [13].

Las simetr´ıas ocurren a lo largo de las matem´aticas y las ciencias. La teor´ıa represen- taciones busca comprender todas las formas posibles en que puede surgir una colecci´on abstracta de simetr´ıas. La teor´ıa de representaciones del siglo XIX ayud´o a explicar la estructura de los orbitales de electrones, y en la d´ecada de 1920 est´a fue el coraz´on de la cromodin´amica cu´antica [18]. En t´erminos generales, la teor´ıa de representaciones inves- tiga c´omo los sistemas algebraicos pueden actuar sobre los espacios vectoriales. Cuando los espacios vectoriales son finitos-dimensionales, esto permite expresar expl´ıcitamente los elementos del sistema algebraico mediante matrices, por lo tanto, se puede explotar el

´

algebra lineal para estudiar sistemas algebraicos “abstractos”. De esta manera se puede estudiar la simetr´ıa, a trav´es de acciones grupales. Tambi´en se pueden estudiar procesos irreversibles. Las ´algebras y sus representaciones proporcionan un marco natural para esto [23].

En cuanto a las aplicaciones de las funciones sim´etricas, muchos problemas combinato- rios tienen funciones sim´etricas como punto central, por ejemplo Y

i<j

(1 + x_ix_j) cuenta la cantidad de grafos por los grados de los v´ertices, tambi´en son ´utiles para contar particio- nes planas, est´an ligadas a la representaci´on de grupos sim´etricos y lineales, se utilizan tambi´en en teor´ıa de George P´olya [14], quien fue un matem´atico h´ungaro que realiz´o contribuciones fundamentales en teor´ıa de n´umeros, combinatoria, sistemas de votaci´on y probabilidad [7].

Actualmente se trabajan las funciones sim´etricas en diversos campos y se usan como herramienta en el estudio de otras estructuras y an´alisis de problemas. Art´ıculos como el de Ali Boussayoud [2], muestran usos m´as puntuales de las funciones sim´etricas, en este espec´ıficamente se propone un enfoque alternativo para la determinaci´on de los N´umeros de Fibonacci y algunos resultados de Foata, Ramanujan, sobre Polinomios de Chebychev.

Darij Grinberg profesor asistente en la Universidad de Drexel hasta el 2019 [21], en su tra- bajo Petrie symmetric functions [15], presentado en el 2021, realiz´o estudios con funciones sim´etricas de Petrie, G(m, k), en honor a Flinders Petrie, que son sumas de monomios, concepto que se ver´a en el cap´ıtulo 2, con grado m un entero no negativo, y con coeficientes

menores que k.

Los coeficientes de Kronecker son definidos como la expansi´on de coeficientes S^λ⊗ S^µ = P g_λµ^ν S^ν, donde S^λ es un m´odulo Specht, concepto explicado en el cap´ıtulo 1, del grupo sim´etrico y λ, µ, ν ⊢ n. Ruoyu Wang, estudiante de doctorado en el departamento de matem´aticas de la Universidad de Uppsala ubicada en Suecia, quien se ha enfocado en el ´area de teor´ıa de probabilidad y combinatoria [22], en 2021 tambi´en mostr´o en su texto Symmetric Functions and Kronecker Coefficients [25], un an´alisis de coeficientes de Kronecker por medio de funciones sim´etricas.

El presente trabajo se centra en presentar las funciones sim´etricas de manera que si el lector no est´a demasiado familiarizado con ´estas, le sea confortable la lectura y de com- presi´on sencilla; el cap´ıtulo 1 aborda el grupo sim´etrico, las permutaciones y estructuras algebraicas, con resultados tomados de Bruce E. Sagan [19], siendo el principal el algo- ritmo Robinson-Schensted, el lector puede encontrar las pruebas de estos resultados en el mismo documento de donde fueron tomados. El cap´ıtulo 2, muestra como se construye el anillo de funciones simetricas en n variables, familias de funciones que lo componen y pueden generar, relaciones entre estas familias, y resultados vistos principalmente en Ber- geron [1], los cuales relacionan dichas familias de funciones sim´etricas. El cap´ıtulo finaliza con una generalizaci´on de dichas funciones, la cual se basada en los textos de Emmanuel Briand [3] e Ian Mcdonald [17] que trabajan las funciones multisim´etricas a profundidad.

Cap´ıtulo 1 Preliminares

En primera instancia se introducir´an algunos conceptos y resultados de inter´es para el desarrollo de la lectura, entre ellos se destacan las tablas de Young basadas en las par- ticiones de un n´umero natural n cualquiera, con el objetivo de formar un modulo M^λ relacionado a una partici´on fija λ, luego se presentar´an otras estructuras y propiedades similares.

1.1. Modulo de Permutaci´ on

Un n´umero entero positivo n puede entender como el resultado de sumar diferentes com- binaciones de n´umeros que son al igual que n enteros positivos.

Definici´on 1. Dado un n´umero natural n, una partici´on de n es un k-tupla λ = (λ1, λ2, . . . , λk) con 1 ≤ k ≤ n y

k

X

i=1

λi = n. Denotaremos por λ ⊢ n, y aunque no tan com´unmente, tambi´en se escribe λ = n^αn(n − 1)^αn−1· · · 1^α1, donde α_i es la cantidad de veces que aparece i en la partici´on.

Ejemplo 2. Tomemos n = 11, algunas particiones son (4, 3, 2, 2), (10, 1), (9, 1, 1), (4, 3, 3, 2, 2, 2, 1).

Si n = 17 las siguientes son particiones de n, (10, 5, 1, 1), (8, 5, 3, 1), (17), (13, 4).

Definici´on 3. Sea λ = (λ₁, λ₂, . . . , λ_k) ⊢ n una partici´on de n ∈ N. Un diagrama de Ferrer para λ es un arreglo de n puntos escalonado a izquierda en k filas, donde la fila i tiene λ_i puntos.

Para ilustrarlo, considere n = 9 con la partici´on λ = (3, 3, 2, 1), su diagrama de Ferrer es dado por

• • •

• • •

• •

•

Generalmente se representa de tal forma que entre m´as puntos tenga la fila, m´as arriba se encuentra en el arreglo.

Se asocia una partici´on λ ⊢ n con un subgrupo del grupo sim´etrico S_n, de acuerdo con la definici´on 4.

Definici´on 4. Sea λ = (λ₁, λ₂, . . . , λ_k) ⊢ n, el subgrupo de Young asociado a λ esta dado por

S_λ = S_{{1,2,...,λ1}}× S_{{λ1+1,λ1+2,...,λ1+λ2}}× · · · × S_{{n−λk+1,n+λk+2,...,n}},

teniendo en cuenta que S_X representa el grupo de permutaciones asociado a un conjunto X.

Cabe resaltar que en general S_{(λ1,λ2,...,λk)} ∼= Sλ1 × S_λ2 × · · · × S_λk. Ejemplo 5. Dada λ = (3, 3, 2, 1) partici´on de 9, entonces se tiene

S_(3,3,2,1)= S{1,2,3}× S{4,5,6}× S{7,8}× S{9}

∼= S3× S3× S2× S1.

Retomando los diagramas de Ferrer, a partir de estos se definen unos arreglos similares, con los cual se construye un S_n-m´odulo.

Definici´on 6. Dada la partici´on λ ⊢ n, una tabla de Young es un arreglo obtenido al reemplazar los puntos en los diagramas de Ferrer por los n´umeros de 1 hasta n si

repetir ninguno. Se denota por t^λ, y tambi´en suele denotarse la forma de una tabla t, por sh(t) = λ.

Ejemplo 7. Sea λ = (2, 1) =• •

•

una partici´on de 3, todas las posibles tablas de Young con dicha partici´on son

t ∈

( 1 2

3 ,

2 1 3 ,

1 3 2 ,

3 1 2 ,

2 3 1 ,

3 2 1

) . Observe que sh(t) = (2, 1).

Definici´on 8. Dos λ-tablas t₁, t₂, es decir sh(t₁) = sh(t₂), son equivalentes por fila, (t₁ ∼ t₂), si su correspondientes filas tienen los mismos elementos. Se puede comprobar que esta es una relaci´on de equivalencia.

Bajo la relaci´on de la definici´on 8, las clases de equivalencia para el ejemplo 7 , tambi´en llamadas tabloides son





 1 2 3

, 2 1

3





 ,





 1 3 2

, 3 3

2





 ,





 2 3 1

, 3 2

1







.

La acci´on S_n sobre t^λ : λ ⊢ n , se establece para σ ∈ Sn, y t = ((t_i,j)), entonces σ · t = (σ(t_i,j)), es decir se permutan los n´umeros de 1 a n bajo σ.

Veamos un ejemplo con t = 3 2

1 , y σ = (3 2 1), σ act´ua sobre cada entrada de t dando paso a la acci´on sobre t

(3 2 1) 3 2 1

= ^{σ(2) σ(1)}

σ(3)

= 2 1

3

.

Est´a acci´on induce otra sobre los tabloides donde σ {t} = {σt}, la cual est´a bien definida.

Usando los tabloides, se genera un S_n-m´odulo a partir de estos.

Definici´on 9. Sea λ = (λ₁, λ₁, . . . , λ_k) ⊢ n, y considere M^λ =C {{t1} , {t₂} , . . . , {t_l}} .

El M^λ se llama m´odulo de permutaci´on correspondiente a λ, siendo l = _λ ^n!

1!λ2!···λk el n´umero de clases de equivalencia o tabloides y la dimensi´on de dicho m´odulo. Cada {t_i}, con 1 ≤ i ≤ l, es una clase de equivalencia dentro de todas las tablas con forma λ.

Ejemplo 10. Si λ = (n − 1, 1), su correspondiente m´odulo de permutaci´on M^λ tiene como base













n . . . 3 2 1





 ,







n . . . 3 1 2





 ,







n−1 . . . 2 1 n













= {{t₁} , {t₂} , . . . , {t_n}} ,

con n clases de equivalencia, donde cada una est´a determinada solamente por la segunda fila, as´ı con σ ∈ S_n la acci´on de σ sobre alg´un tabloide {t_i} es σ {t_i} = {σt_i} = t_σ(i) para todo i = 1, 2, . . . , n. Definiendo luego

1 →^η t₁ ... 2 →^η t₂ n →^η t_n

la aplicaci´on η se extiende por linealidad a un S_n-isomorfismo de C {1, 2, . . . , n} en C {{t1} , {t₂} , . . . , {t_l}}, con lo cual M^(n−1,1) ∼=C {1, 2, . . . , n}.

1.2. M´ odulos Specht

A continuaci´on se presentan m´as a detalle los m´odulos irreducibles en S_n, los cuales se denotan por S^λ.

Definici´on 11. Sea t una tabla de Young, con R₁, R₂, . . . , R_k sus filas y C₁, C₂, . . . , C_p sus columnas, entonces a

R_t= S_R1 × S_R2 × · · · S_Rk

y

C_t = S_C1 × S_C2 × · · · × S_Cp se les conoce como estabilizadores fila y columna de t.

Cada clase de equivalencia o tabloide {t} se puede expresar como R_tt={πt : πϵR_t}, la forma de actuar de los elementos de R_t y C_t sobre t se ilustra en el ejemplo 12.

Ejemplo 12. Considere t =

4 1 2

3 5 , sus estabilizadores fila y columna son R_t = S{4,2,1}× S_{5,3} y C_t= S_{4,3}× S_{5,1}× S_{2}.

Si π = (π₁, π₂) = ((1, 2), (3)) ∈ R_t, entonces

((1 2), (3)) 4 1 2

3 5

= ^{π1(4) π1(1) π1(2)}

π2(3) π2(5)

= 4 2 1

3 5

e igualmente con α = (α₁, α₂, α₃) = ((3 4), (1), (2)) ∈ C_t

((3 4), (1), (2)) 4 1 2

3 5

= ^{α1(4) α2(1) α3(2)}

α1(3) α2(5)

= 3 1 2

4 5

Es posible relacionar estos grupos a elementos en C [Sn], en general para un subconjunto W ⊆ S_n se le relaciona con

W⁺= X

w∈W

w y W⁻= X

w∈W

sgn(w)w.

De forma particular C_t⁻ se denotara como k_t, es decir kt= X

π∈Ct

sgn(π)π,

cabe resaltar que si las columnas de t son C₁,C₂,. . . ,C_p, entonces k_t factoriza como k_t = k_C1k_C2· · · k_Cp,

con k_Ci = X

π∈S_Ci

sgn(π)π, para 1 ≤ i ≤ p.

Ejemplo 13. Usando la tabla t del ejemplo 12, se tiene que

S_C1 = {(3 4), (3)}, S_C2 = {(1 5), (1)}, S_C3 = {(2)}.

Luego

Ct = {(3 4), (3)} × {(1 5), (1)} × {(2)} , de donde

k_t= −(3 4) − (1 5) + (3 4)(1 5) + id el cual se puede expresar como

= (−(3 4) + id)(−(1 5) + id)(id).

Ahora bajo la acci´on ya establecida de S_n sobre tabloides, se define un m´odulo para una partici´on λ.

Definici´on 14. Sea λ una partici´on, el correspondiente m´odulo Specht, S^λ, es el subm´odu- lo de M^λ generado por los elementos {k_t{t}}, con t una tabla de forma λ.

Ejemplo 15. Si λ = (n − 1, 1), usando el isomorfismo del ejemplo 10 cada tabloide se puede identificar como

{t} =







i . . . j m







−→ m,

para este tabloide el elemento k_t{t} es equivalente a m − i y el espacio generado por todos los elementos de esta forma es

S^(n−1,1)= {c₁1 + c₂2 + · · · + c_nn : c₁+ c₂+ · · · + c₃ = 0}

de dimensi´on n − 1, el conjunto

A = {2 − 1, 3 − 1, . . . , n − 1} . es base para este mismo espacio S^(n−1,1).

En general se puede determinar una base para estos m´odulos.

Definici´on 16. Una tabla t es est´andar si sus filas y columnas est´an ordenadas de forma creciente en sentido de izquierda a derecha, y de arriba hacia abajo. Si t es est´andar, se dice tambi´en que su correspondiente tabloide es est´andar.

Ejemplo 17. La tabla t₁ =

1 2 3 5 4

6 es est´andar, pero t₂ =

1 2 3 4 6

5 no lo es.

La importancia de estas tablas est´andar se refleja en el teorema 18.

Teorema 18. El conjunto

{k_t{t} : t es una λ−tabla est´andar}

es una base para S^λ.

1.3. Algoritmo Robinson-Schensted

Al trabajar con el grupo sim´etrico S_n, muchas veces los resultados obtenidos para m´odulos basados en este, se consiguen utilizando teor´ıa combinatoria.

En esta secci´on se hablar´a sobre el algoritmo Robinson-Schensted [19], el cual da paso a la igualdad

X

λ⊢n

(f^λ)² = n! (1.1)

siendo f^λ el n´umero de tablas est´andar para la partici´on λ.

Dicha igualdad permite ver que existe una biyecci´on

σ ^R−S−→ (P, Q), donde σ ∈ S_n, y P ,Q son λ-tablas est´andar, λ ⊢ n.

Primero dada σ ∈ S_n, al escribirla como





1 2 . . . n

σ(1) σ(2) . . . σ(n)



, se genera una suce- si´on de pares ordenados de tablas (∅, ∅) = (P₀, Q₀), (P₁, Q₁),(P₂, Q₂),. . . ,(P_n, Q_n), don- de σ(1),σ(2),. . . ,σ(n) se agregan a las P^′s, y 1,2,. . . ,n a las Q^′s, de tal manera que sh(P_k) = sh(Q_k), para todo k.

A continuaci´on se describe el algoritmo a detalle.

Sea P una tabla parcial, es decir un arreglo con entradas distintas, donde sus elementos van en incremento, como por ejemplo t =

1 4

3 ,(por lo tanto una tabla parcial es tambi´en est´andar, si en sus entradas est´an todos los elementos desde 1 hasta n), y con x un elemento que no esta en P , se procede con lo siguiente.

Entrada: x,P (elemento x y una tabla parcial), Salida: P^∗ (tabla con x adicionado),

1. in: x,P ,

2. R := R₁ (R se define inicialmente como la primera fila de P ), 3. Mientras que x < b para alg´un b ∈ R:

i. y := min {a ∈ R : a > x},

ii. y ⇋ x (y toma el valor de x en R y x guarda como nuevo valor el de y, es decir que intercambian valores),

iii. R := R+1 (R pasa a ser la siguiente fila respecto a a la actual), 4. Ahora x > a ∀a ∈ R, y se agrega al extremo derecho de R,

5. out: P^∗.

Al final se obtiene una tabla parcial P^∗ con el elemento original x insertado, lo que lleva a la notaci´on r_x(P ) = P^∗.

Ejemplo 19. Se considera x = 3, P =

1 2 5 8 4 7 6

9 , luego la inserci´on de x en P es

1 2 5←3 8

4 7

6 9

⇒ 1 2 3 8

4 7←5

6 9

⇒ 1 2 3 8

4 5

6 ^←7 9

⇒ 1 2 3 8

4 5

6 7

9

Un procedimiento m´as simple que la inserci´on es la colocaci´on de un elemento x en una tabla parcial.

Si Q es una tabla parcial con sh(Q) = µ, e (i, j) es la ubicaci´on correspondiente a la derecha de una esquina de µ. Siempre y cuando x sea mayor que cada elemento de Q, este se posicionara en dicha ubicaci´on, manteniendo a Q como una tabla parcial.

Ejemplo 20. Sea la posici´on (2, 3), el elemento x = 9 y

Q = 1 2 5

4 7

6 8

entonces la colocaci´on de x = 9 se puede efectuar y su resultado es

1 2 5

4 7 ←9

6 8

⇒ 1 2 5

4 7 9

6 8

Con esto dada una σ ∈ S_n, se genera la sucesi´on {(P_k, Q_k)}k∈{0,1,...,n}, definiendo (P_k, Q_k) a partir de (Pk−1, Qk−1) para 1 ≤ k ≤ n, de la siguiente manera

P_k:= r_σ(k)(P_k−1) Qk := c_k,(i,j)(Qk−1)

con c_k,(i,j)(Q_k−1) la colocaci´on del elemento k dentro de Q_k−1 en la posici´on (i, j), que corresponde a la misma que tiene σ(k) en Pk. Esta forma de generar la sucesi´on asegura que sh(P_k) = sh(Q_k). Definiendo as´ı la asignaci´on σ −→ (P, Q), para la cual P = P^R−S _n y Q = Qn.

Ejemplo 21. Considere σ =





1 2 3 4 5 6 7 4 2 3 6 5 1 7



en S₇, y aplicando el procedimiento descrito se tiene

P_k= ∅, ⁴ , ²

4

, ^{2 3}

4

, ^{2 3 6}

4

, ^{2 3 5}

4 6

, ^{1 3 5}

2 6 4

, ^{1 3 5 7}

2 6

4

Q_k= ∅, ¹ , ¹

2

, ^{1 3}

2

, ^{1 3 4}

2

, ^{1 3 4}

2 5

, ^{1 3 4}

2 5

6

, ^{1 3 4 7}

2 5

6

Por lo tanto





1 2 3 4 5 6 7 4 2 3 6 5 1 7





−→R−S













1 3 5 7

2 6

4

, 1 3 4 7

2 5

6











 .

Teorema 22. La correspondencia σ ^R−S−→ (P, Q) es una biyecci´on entre el grupo S_n y el conjunto de pares de tablas est´andar con igual forma, sh P = sh(Q).

Demostraci´on:

Para probar la biyectividad basta con encontrar una inversa de R−S. Dado un par (P, Q) se establece (P, Q) = (P_n, Q_n), luego se aplica el algoritmo que sigue, para 1 ≤ k ≤ n, empezando por k = n, para obtener la misma sucesi´on con orden contrario y hallando los σ(k)^′s.

Entrada: (P_k, Q_k) (par de tablas parciales del paso k), Salida: σ(k), (P_k−1, Q_k−1),

1. in: (P_k, Q_k),

2. (i, j) := posici´on donde se encuentra k en Q_k,

3. x := Pk(i, j) (x guarda el valor de la casilla (i, j) de Pk), 4. Se elimina la entrada (i, j) de P_k,

5. Se elimina la entrada (i, j) de Q_k,

6. R := Ri−1 (R se define como la i − 1-´esima fila de Pk, que sera vac´ıa cuando est´a sea R₀),

7. Mientras que R ̸= R0:

i. y := max {a ∈ R : a < x},

ii. y ⇋ x (y toma el valor de x en R y x guarda como nuevo valor el de y, es decir que intercambian valores),

iii. R :=Siguiente fila hacia arriba de la actual (R pasa a ser la fila que esta arriba respecto a a la actual, y en alg´un punto sera R₀ = ∅),

8. Finalmente se tiene σ(k) = x, la tabla Q_k−1 sin k, y P_k−1 sin x, 9. out: σ(k), (Pk−1, Qk−1).

Realizando el proceso completo





(P_n, Q_n) σ(n)



⇒





(P_n−1, Q_n−1) σ(n − 1)



⇒ · · · ⇒





(P₁, Q₁) σ(1)



,

es como llegan a ser conocidos los valores de cada σ(k) con k ∈ {1, 2, . . . , n}, y as´ı poder formar σ =





1 2 . . . n

σ(1) σ(2) . . . σ(n)



. ■

Ejemplo 23. Para ejemplificar el procedimiento presentado en la demostraci´on anterior, se considera 2 3 5

4 6 ,

1 3 4 2 5

!

, donde es claro que k = 5, y aplicando el algoritmo descrito, se tiene

2 3 5

4 6

⇒ 2 3 5

4

, x = 6 ⇒ 2 3 6 4

, x = 5

1 3 4

2 5

⇒ 1 3 4

2

,

por lo que σ(5) = 5, y (P₄, Q₄) = 2 3 6

4 ,

1 3 4 2

! .

Cap´ıtulo 2

Funciones sim´ etricas y multisim´ etricas

En este cap´ıtulo se expone como construir funciones sim´etricas en n variables, algunas relaciones que existen entre ellas, y propiedades del anillo que dichas funciones componen y se finalizara con una generalizaci´on de este.

2.1. Anillo de funciones sim´ etricas

El grupo sim´etrico act´ua sobre diversos elementos algebraicos, como es el caso de los monomios, elementos de la forma x^a= x^a₁¹x^a₂²· · · x^a_nⁿ, donde para cada i con 1 ≤ i ≤ n, a_i es un n´umero natural, y a = (a₁, . . . , a_n) en Nⁿ, x = (x₁, . . . , x_n); Se define la acci´on del grupo sim´etrico, S_n, sobre el conjunto de monomios con n variables, dado un σ ∈ S_n como

σ · x^a := (σ · x)^a,

siendo σ · x = σ · (x₁, x₂, . . . , x_n) = (x_σ(1), x_σ(2), . . . , x_σ(n)); Es decir que operar σ · x^a = σ · (x^a₁¹x^a₂²· · · x^a_nⁿ), tiene como resultado x^a_σ(1)¹ x^a_σ(2)² · · · x^a_σ(n)ⁿ .

La acci´on es simplemente el intercambio de x_i por x_σ(i) para todo i ∈ {1, 2, . . . , n}.

Comprobar que esta es en efecto una acci´on es sencillo.

1. Si e es el elemento identidad de S_n, entonces e · x^a = (e · x)^a = x^a_e(1)¹ x^a_e(2)² · · · x^a_e(n)ⁿ = x^a₁¹x^a₂²· · · x^a_nⁿ = x^a.

2. Sean τ , σ en S_n, luego (τ σ) · x^a= x^a_{τ σ(1)}¹ x^a_{τ σ(2)}² · · · x^a_{τ σ(n)}ⁿ = x^a_{τ (σ(1))}¹ x^a_{τ (σ(2))}² · · · x^a_{τ (σ(n))}ⁿ = τ · (x^a_σ(1)¹ x^a_{τ (2)}² · · · x^a_σ(n)ⁿ ) = τ · (σ · x^a).

Mostrando que cumple los dos axiomas debidos.

Continuando con esta notaci´on se considera el anillo de polinomios con n variables, y coeficientes reales, R [x], donde sus elementos son de la forma p(x) = p(x1, x₂, . . . , x_n) =

X

a∈Nⁿ

c_ax^a, para la cual se debe cumplir que el conjunto de coeficientes {c_a: a ∈Nⁿ y c_a̸= 0}

es finito, y si el grado de un monomio x^acualquiera es deg(x^a) =

n

X

i=1

a_i, entonces el de un polinomio p(x) es deg(p) = m´ax {deg(x^a) : c_a ̸= 0}. Algunos ejemplos de estos polinomios son p(x₁, x₂, x₃) = x₁+ 3x⁵₃, p(x₁) = x₁, p(x₁, x₂, x₃, x₄, x₅) = x³₁x²₂+ x²₃+ x³₄x₅.

La acci´on presentada para monomios se ampl´ıa para polinomios, en la cual si se toma un σ ∈ S_n y un p ∈R [x], se tiene

σ · p(x) = X

a∈Nⁿ

c_a(σ · x^a) = X

a∈Nⁿ

c_a((σ · x)^a) = p(σ · x), es decir σ · p(x₁, . . . , x_n) = p(x_σ(1), . . . , x_σ(n)).

Se puede verificar f´acilmente que es una acci´on tal y como se hizo para la versi´on de monomios.

Definici´on 24. Un polinomio p ∈ R [x] se dice que es sim´etrico, si para toda σ ∈ Sn se cumple

σ · p(x₁, . . . , x_n) = p(x_σ(1), . . . , x_σ(n)) = p(x₁, . . . , x_n).

Ejemplo 25. Los siguientes polinomios son sim´etricos.

p(x₁, x₂, x₃, x₄, x₅) = x₁x₂x₃+x₁x₂x₄+x₁x₂x₅+x₁x₃x₄+x₁x₃x₅+x₁x₄x₅+x₂x₃x₄+ x2x3x5+ x2x4x5+ x3x4x5.

p(x₁, x₂) = x⁴₁+ x³₁x₂+ x²₁x²₂+ x₁x³₂+ x⁴₂.

p(x₁, x₂, x₃) = x₁+ x₂+ x₃.

p(x1, x2, x3) = x²₁+ x1x2+ x1x3 + x²₂+ x2x3+ x²₃.

p(x₁, x₂, x₃, x₄, x₅) = x²₁ + x₁x₂+ x₁x₃ + x₁x₄+ x₁x₅+ x²₂ + x₂x₃+ x₂x₄ + x₂x₅ + x²₃+ x3x4+ x3x5 + x²₄+ x4x5+ x²₅.

El conjunto de todas estas funciones sim´etricas con n variables forma un anillo conocido precisamente de esta manera, denotado por Λn, el cual es graduado, es decir que

Λ_n =M

d≥0

Λ^d_n,

donde Λ^d_n consiste del polinomio 0, junto con todos los polinomios sim´etricos homog´eneos de grado d, a los cuales m´as adelante conoceremos con el nombre de polinomios ho- mog´eneos completos [17].

Definici´on 26. Un polinomio q ∈R [x] de grado deg(q) = k, se dice que es homog´eneo si para todo n´umero real c, se cumple que q(cx) = q(cx₁, cx_2,..., cx_n) = c^kq(x₁, x₂, . . . , x_n) = c^kq(x). Equivalente a decir que cada monomio x^a que conforma a q, es de grado k.[8]

Ejemplo 27. Polinomios homog´eneos son

q(x1, x2, x3) = x³₁x3+ x⁴₂− x²₂x²₃, de grado 4.

q(x₁, x₂) = 3x³₁+ x³₂, de grado 3.

q(x₁, x₂, x₃, x₄) = x₁x₃x₄+ 2x²₂x₃+ x³₄, de grado 3.

2.2. Funciones sim´ etricas homog´ eneas

Existen varias formas de construir familias de polinomios sim´etricos capaces de generar a Λn, una de ellas es mediante d un n´umero natural, y una partici´on λ ⊢ d, a dicha λ

se le puede asociar un polinomio sim´etrico conocido como polinomio monomial, de la siguiente manera

m_λ(x) =X

a∈D

x^a,

con D el conjunto de vectores en Nⁿ que son un reordenamiento del vector (λ1, λ2, ..., λk, 0, ..., 0) de longitud n; Por ejemplo

m31 = x³₁x2 + x³₁x3+ x1x³₂+ x³₂x3+ x1x³₃+ x2x³₃, para la partici´on (3, 1), y n = 3.

Cabe aclarar que si la longitud de la permutaci´on (l(λ)) es mayor que n, su correspondiente polinomio construido de est´a forma es m_λ = 0.

Un hecho importante es que el conjunto B_d = {m_λ : λ ⊢ d} es linealmente indepen- diente, esto como consecuencia de que si se considera el vector de variables ordenado x = (x₁, . . . , x_n), entonces x^a es ´unico para cada a ∈Nⁿ, y adem´as el conjunto genera a Λ^d_n, con lo cu´al B_d es base para este, luego por como construido Λ_n el conjunto [

d≥0

B_d es un generador de Λ_n, teniendo en cuenta que B₀ = {1}.

Ahora si tomamos todos los elementos en B_d y los sumamos, se consigue formar un nuevo polinomio homog´eneo de grado d, que se conoce con el nombre de polinomio homog´eneo completo, formalmente definido como

hd= hd(x) = X

|a|=d

x^a,

donde |a| =

n

X

i=1

a_i. Desarrollando un poco esta expresi´on, se llega a que es equivalente con

h_d=X

λ⊢d

m_λ, siendo esta misma su representaci´on en la base Bd.

Estos polinomios tambi´en se pueden encontrar mediante su funci´on generatriz, dada para d ≥ 0 por la la expresi´on

H(ζ) :=X

d≥0

h_dζ^d=

n

Y

i=1

 1

1 − xiζ

 .

La idea de polinomio homog´eneo completo se extiende a las particiones; A una partici´on λ = (λ₁, λ₂, . . . , λ_r) ⊢ d, se le asocia el polinomio h_λ := h_λ1h_λ2· · · h_λr, el cual es homog´eneo desde que cada h_λi, con i ∈ {1, 2, . . . , r}, lo es, y su grado claramente es d.

Ejemplo 28. Como polinomios homog´eneos completos dada una partici´on de 5, se tienen h₃₁₁ = m₅+ 3m₄₁+ 4m₃₂+ 7m₃₁₁+ 8m₂₂₁+ 13m₂₁₁₁+ 20m₁₁₁₁₁.

h41= m5 + 2m41+ 2m32+ 3m311+ 3m221+ 4m2111+ 5m11111.

h₁₁₁₁₁= m₅ + 5m₄₁+ 10m₃₂+ 20m₃₁₁+ 30m₂₂₁+ 60m₂₁₁₁+ 120m₁₁₁₁₁. h₃₂= (m₁₁+ m_m2) (m₃+ m₂₁+ m₂₁).

m₅ = m₅+ m₄₁+ m₃₂+ m₃₁₁+ m₂₁₁₁+ m₁₁₁₁₁.

2.3. Funciones sim´ etricas de potencias

Otra familia de funciones sim´etricas es la de funciones sim´etricas de potencias, defi- nidas como polinomios de la forma

p_k(x) = x^k₁+ · · · + x^k_n=

n

X

i=1

x^k_i,

con k ≥ 0, y as´ı como se ha hecho antes se extienden a las particiones mediante p_λ = p_λ1p_λ2· · · p_λr, para λ = (λ₁, . . . , λ_r), partici´on de un n´umero cualquiera.

Ejemplo 29. Presentamos funciones sim´etricas de potencias escritas como sumas de polinomios monomiales.

p5 = m5.

p₄₁= m₅+ m₄₁.

p₂₁₁₁ = m₄+ 3m₄₁+ 4m₃₂+ 6m₃₁₁+ 6m₂₂₁+ 6m₂₁₁₁ .

Las funciones sim´etricas de potencias se generan mediante la serie generatriz P (ζ) :=

X

k≥1

ζ^k

k p_k, al relacionarla con la funci´on generadora H(ζ).

P (ζ) = X

k≥1

ζ^k k

n

X

i=1

x^k_i

=

n

X

i=1

X

k≥1

ζ^k k x^k_i

=

n

X

i=1

− log(1 − ζx_i)

=

n

X

i=1

log

 1

1 − ζx_i



= log

n

Y

i=1

1 1 − ζx_i

!

= log(H(ζ)), con lo cual

H(ζ) = exp(P (ζ)) (2.1)

Trabajando de forma rigurosa la expresi´on como serie de ζ, se obtiene que

hd=X

µ⊢d

1

z_µpµ (2.2)

donde z_µ= d^αdα_n!(d − 1)^αd−1α_d−1! · · · 2^α2α₂!1^α1α₁!, si se escribe µ en la notaci´on alterna- tiva mencionada al inicio del cap´ıtulo 1, λ = d^αd(d − 1)^αd−1· · · 1^α1.

2.4. Funciones sim´ etricas elementales

La serie generatriz

E(ζ) :=X

k≥0

e_kζ^k=

n

Y

i=1

(1 + x_iζ),

permite deducir los polinomios e_k(x) de grado k, a los que se les llama polinomios elementales; La noci´on se ampl´ıa para permutaciones dada una λ = (λ₁, λ₂, . . . , λ_r) ⊢ t,

partici´on de un n´umero cualquiera, entonces e_λ = e_λ1e_λ2· · · e_λr, y si alg´un λ_i > n se tendr´ıa que e_λ = 0.

Ejemplo 30. Con n = 2, algunos polinomios elementales son e₀ = 1.

e₁ = x₁+ x₂. e3 = x1x2.

Para n = 5, los siguientes son polinomios elementales e₅ = x₁x₂x₃x₄x₅.

e₄ = x₁x₂x₃x₄+ x₁x₂x₃x₅+ x₁x₂x₄x₅+ x₁x₃x₄x₅+ x₂x₃x₄x₅.

e₃ = x₁x₂x₃ + x₁x₂x₄ + x₁x₂x₅ + x₁x₃x₄ + x₁x₃x₅ + x₁x₄x₅ + x₂x₃x₄ + x₂x₃x₅ + x₂x₄x₅+ x₃x₄x₅.

e2 = x1x2+ x1x3+ x1x4+ x1x5+ x2x3+ x2x4+ x2x5 + x3x4+ x3x5+ x4x5. e₁ = x₁+ x₂ + x₃+ x₄+ x₅.

e₀ = 1.

Pero construir estos polinomios elementales es m´as sencillo al definir primero Cmb_(n,k), como el conjunto formado por todas las posibles combinaciones para el producto de k ele- mentos tomados de {x₁, x₂, ..., x_n}, el cual tendr´ıa cardinal ⁿ_k
, entonces e_k = X

s∈Cmb(n,k)

s, para k ≥ 1, pues e₀ siempre es 1.

Como dato relevante, los polinomios elementales permiten escribir cualquier otra funci´on sim´etrica como un polinomio en funci´on de e = (e₁, e₂, . . . , e_n).

Teorema 31 (Teorema fundamental de las funciones sim´etricas). Toda funci´on sim´etrica puede ser escrita como un polinomio en t´erminos de las funciones sim´etricas elementales de e_k, con k ≥ 0 [1].

Un ejemplo sencillo del teorema 31 es que

p(x₁, x₂, x₃) = x⁴₁x²₂ + x⁴₁x²₃+ x²₁x⁴₂ + 4x²₁x²₂x²₃ + x²₁x⁴₃ − x²₁ − x²₂ − x²₃− 2x₁x₂ − 2x₁x₃ − 2x₂x₃+ x⁴₂x²₃+ x²₂x⁴₃,

se puede escribir como

q(e₁, e₂, e₃) = e²₁e²₂− 2e³₁e₃− 2e³₂+ 4e₁e₂e₃+ e²₃− e²₁, donde e_i est´a en funci´on de (x₁, x₂, x₃), para i = 1, 2, 3.

Y cada polinomio en t´erminos de las funciones elementales e^′_ks es ´unico para un corres- pondiente polinomio sim´etrico.

Proposici´on 32. El anillo Λ_n de polinomios sim´etricos en n variables, es isomorfo al anillo R[e1, ..., e_n] de polinomios en e_k con k = 1, 2, . . . , n.

Ahora tal y como se hizo en la secci´on 2.3 con las funciones sim´etricas de potencias y homog´eneas, la serie generatriz de las funciones elementales se relaciona con la serie generatriz de las funciones sim´etricas de potencias y homog´eneas.

− log(E(−ζ)) = − log

n

Y

i=1

(1 + (−ζ)x_i

!

= −

n

X

i=1

log(1 + (−ζ)x_i)

=

n

X

i=1

− log(1 + (−ζ)xi)

=

n

X

i=1

log

 1

1 + (−ζ)x_i



= log

n

Y

i=1

 1

1 − ζx_i

!

= log(H(ζ)), luego por la ecuaci´on (2.1) tenemos

− log(E(−ζ)) = log(exp(P (ζ)))

= P (ζ).

As´ı

E(ζ) = exp(−P (−ζ)) (2.3)

Y mediante un an´alisis de la serie, se llega a que un polinomio elemental puede ser escrito como funciones sim´etricas de potencias

e_d =X

µ⊢d

(−1)^d−l(µ) zµ

p_µ (2.4)

Adem´as teniendo en cuenta que P^′(ζ) = X

k≥1

ζ^k−1p_k, y derivando ambas ecuaciones con- seguidas en (2.1), y (2.3) de ´esta secci´on para H y E, obtenemos las relaciones

ζE^′(−ζ)

E(−ζ) = ζ exp(−P (ζ))(−1)(−1)(P^′(ζ)) exp(−P (ζ))

= ζP^′(ζ)

= P (ζ)

(2.5)

y

ζH^′(ζ)

H(ζ) = ζ exp(P (ζ))(P^′(ζ)) exp(P (ζ))

= ζP^′(ζ)

= P (ζ)

(2.6)

Es f´acil notar que H(ζ)E(−ζ) = H(−ζ)E(ζ) = 1, con lo cual

ζ²E^′(−ζ)H^′(ζ) = P²(ζ) (2.7)

Estas relaciones implican que una funci´on sim´etrica se puede escribir de diferentes mane- ras.

Ejemplo 33. La siguiente tabla muestra en sus filas un mismo polinomio.

m₂₁ e₁e₂ − 3e₃ −2h³₁+ 5h₁h₂− 3h₃ p₁p₂− p₃

m111 e3 h³₁− 2h2h2 1

6(p³₁− 3p1p2+ 2p3)

m₃+ 3m₂₁+ 6m₁₁₁ e³₁ h³₁ p³₁

m₃+ 2m₂₁+ 3m₁₁₁ e³₁− e₁e₂ h₁h₂ ¹₂(p³₁+ p₁p₂) m₂₁+ 3m₁₁₁ e₁e₂ h³₁− h₁h₂ ¹₂(p³₁− p₁p₂)

Y como conjuntos cada familia genera al anillo completo de funciones simetricas Λ_n. Teorema 34. Los siguientes conjuntos son bases para Λ^d_n

{p_λ : λ ⊢ d}.

{h_λ : λ ⊢ d}.

{e_λ : λ ⊢ d}.

2.5. Funciones multisim´ etricas

Dado R un anillo conmutativo, n y m dos n´umeros enteros positivos, se conforma F_n^m(R), el anillo de polinomios con coeficientes en R, definido en las variables x^j_i con i = 1, 2, . . . , n y j = 1, 2, . . . , m, o en terminos de los vectores de variables x_i = (x¹_i, x²_i, . . . , x^m_i ) para 1 ≤ i ≤ n. El grupo sim´etrico S_n act´ua sobre F_n^m(R) de forma que si σ ∈ S_n, la acci´on de este es sobre x^j_i como σ · (x^j_i) = x^j_σ(i) [24].

Definici´on 35. Se dice que T ∈ F_n^m(R) es Sn-invariante, si para todo σ ∈ Sn, se cumple que

σ · T (x₁, . . . x_n)= σ · T ((x¹₁, x²₁, . . . , x^m₁ ), . . . , x^m₂ ), . . . , (x¹_n, x²_n, . . . , x^m_n))

= T ((x¹_σ(1), x²_σ(1), . . . , x^m_σ(1)), . . . , x^m_σ(2)), . . . , (x¹_σ(n), x²_σ(n), . . . , x^m_σ(n)))

= T ((x¹₁, x²₁, . . . , x^m₁ ), . . . , (x¹_n, x²_n, . . . , x^m_n))

= T (x₁, . . . x_n).

Ejemplo 36. Con n = m = 2, las funciones S_n-invariantes son todas aquellas funciones T ∈ F₂²(R), tales que

T (x¹₁, x²₁, x¹₂, x²₂) = T (x¹₂, x²₂, x¹₁, x²₁).

El conjunto de todos los elementos invariantes bajo la acci´on de S_n, forma el anillo Λ_n,m(R) := F_n^m(R)^Sn que es com´unmente llamado anillo de funciones multisim´etri- cas, tambi´en es una generalizaci´on de las funciones sim´etricas con coeficientes en R, donde m = 1, y as´ı mismo admite conjuntos que hacen de base para ´el.

Definici´on 37. Un µ ∈ F_n^m(R) es un monomio, si µ = x^v₁¹x^v₂²· · · x^v_nⁿ, donde v₁, v₂, . . . , v_n son vectores en N^m de exponentes, con v_j = (v_j¹, v_j², . . . , v^m_j ), para j = 1, 2, . . . , n.

Se forma la matriz de tama˜no n × m, usando los vectores exponente de un monomio µ.

V =

















v¹₁ v²₁ · · · v₁^m v¹₂ v²₂ · · · v₂^m ... ... . .. ... v_n¹ v_n² · · · v_n^m

















La matriz V ∈ M_n×m(N), y Sn actua sobre M_n×m(N) por la permutaci´on de las filas seg´un una σ ∈ Sn, es decir

σ · V = σ ·

















v_σ(1)¹ v_σ(1)² · · · v^m_σ(1) v_σ(2)¹ v_σ(2)² · · · v^m_σ(2)

... ... . .. ... v_σ(n)¹ v²_σ(n) · · · v_σ(n)^m

















=















 v_σ(1) v_σ(2)

... v_σ(n)

















Y de igual manera se escribe la matriz de n × m variables

X =

















x¹₁ x²₁ · · · x^m₁ x¹₂ x²₂ · · · x^m₂ ... ... . .. ... x¹_n x²_n · · · x^m_n

















=















 x₁ x₂ ... x_n

















dando paso a una nueva notaci´on para el monomio µ = X^V.

Observaci´on 38. Estos monomios tienen como multigrado la suma de las filas de su matriz de exponentes V, denotado mdeg(µ) =

n

X

i=1

v_i, que es un vector en N^m.