Funciones lineales y cuadráticas

(1)

Cap´ıtulo 4

Funciones lineales y cuadr´

aticas

4.1. La funci´

on lineal

Una funci´on se llamalineal si tiene la forma (o puede ser llevada a la forma):

y =f(x) =ax+b, con a6= 0, a, b∈_R

(2)

Cap´ıtulo 4: Funciones lineales y cuadr´aticas Resumen de contenidos -6 y x s s −b a b y=f(x) = ax+b

Su gr´afico intersecta al eje X en el punto de abscisax=−b

a y al eje Y en el punto de ordenada y=b.

Cuando a >0, la funci´on lineal es creciente, es decir, su gr´afico es una recta que sube de izquierda a derecha.

Cuandoa <0, la funci´on lineal es decreciente, es decir, su gr´afico es una recta quebaja de izquierda a derecha.

El Dominio y Recorrido de una funci´on lineal es _R. Es biyectiva, por lo tanto, tiene inversa. Su inversa viene definida por f−1_{(x) = 1}

a x− ab.

Observación: El coeficientea, que aparece en la fórmula de la función lineal, es justamente la pendiente de la recta correspondiente a su gráfico.

Gr´afico de y= 3x+ 1 (a >0) Gr´afico dey= x−₃1 (inversa de y= 3x+ 1)

(3)

Cap´ıtulo 4: Funciones lineales y cuadr´aticas Resumen de contenidos

4.1.1. La funci´

on constante

La funci´on constante tiene la forma y=f(x) =c, c∈_R. El dominio es_R y el recorrido es

{c}. Su gr´afica es una recta paralela (o coincidente) al ejeX.

-6 y x r c y=f(x) =c

4.1.2. La funci´

on valor absoluto

La funci´on valor absoluto tiene la forma y = f(x) = |x|. Su dominio es _R, el recorrido es

R>0 -6 y x @ @ @ @ @ @ @ f(x) = |x|

(4)

4.2. La funci´

on cuadr´

atica

Movimientos parabólicos Unafunción cuadrática tiene la forma

y=f(x) =ax2+bx+c, cona6= 0, a, b, c∈_R -6 y x f(x) =ax2 +bx+c r r V(− b 2a, f(− b 2a)) c

Intersecta al eje Y en el punto (0, c).

Intersecta al eje X cuando ∆ = b2₋_4ac _> _{0. En tal caso, los puntos de intersecci´}_on

(5)

Su gráfica es una parabóla con vérticeV = − b 2a, f − b 2a = − b 2a,− ∆ 4a . La recta vertical x=− b

2a es una recta de simetr´ıa de su gr´afico.

Si a >0 la parábola se abre hacia arriba, y si a <0 se abre hacia abajo. La fórmula de la función cuadrática se puede presentar de varias maneras:

1. y =f(x) = ax2 +bx+c= a(x−x1)(x−x2), donde x1 y x2 son las ra´ıces de la

ecuaci´onax2₊_bx₊_c_{= 0.} 2. y=f(x) = ax2+bx+c=a x+ b 2a 2 −b 2₋_4ac 4a

Gráficos de la función cuadrática y=ax2₊_bx₊_c

a >0, ∆<0 a >0, ∆ = 0 a >0, ∆>0

(6)

4.3. Listado de funciones b´

asicas

En el trabajo con funciones hay algunas de frecuente aparici´on y cuyos gr´aficos es conveniente recordarlos para ahorrar tiempo. Ellas son:

y=f(x) = x y=f(x) = x2

y=f(x) =x3 y=f(x) =√x

(7)

4.4. Gr´

aficos provenientes de datos experimentales

Cuando se realiza un experimento con el objetivo de estudiar un determinado fen´omeno de la realidad, regularmente la persona que realiza el estudio, define y mide algunas variables, que seg´un su parecer podr´ıan estar relacionadas. Producto de este trabajo, se tienen tablas de valores de las variables medidas.

Una manera adecuada de ordenar esta informaci´on, y analizar eventuales interdependencias entre las variables en estudio, es graficar los datos obtenidos. De esta manera se obtiene un gr´afico con una serie de puntos (aislados).

Luego, por inspección cuidadosa del gráfico, se analiza si la manera como se distribuyen los puntos graficados del experimento se parecen o no al gráfico de alguna función conocida. En caso que tal función exista, ella recibe el nombre de modelo del fenómeno estudiado.

Una vez obtenido el modelo (función), se dispone de una función que permite, junto con tener una visión gráfica de la situación en estudio, conocer (aproximadamente) nuevos valores de las variables en estudio. Cuando el nuevo dato a calcular se escapa del rango de valores medidos, se habla de extrapolación; en caso contrario de interpolación.

En el siguiente ejemplo, se ilustran estas ideas.

1. Definici´on del problema

En un estudio sobre un tipo especial de langosta (Homarus gammarus), se establecieron 3 variables de inter´es:

(8)

t: Temperatura del medio ambiente (medida en ◦C). R: Raz´on de consumo de ox´ıgeno (medida en ml/h). C: Concentraci´on de ox´ıgeno (medida en ml/L)

Como solamente se pueden graficar situaciones en dos variables, se debe fijar (dejar constante) una de ellas. En este caso, se hizo el estudio a una temperatura ambiental (controlada) de 15◦C. Luego, la temperatura, al ser constante, deja de ser una variable. Con esta informaci´on el problema a resolver es:

Determinar si existe una dependencia funcional entre la raz´on de consumo de ox´ıgeno y la concentraci´on de ox´ıgeno.

2. Recopilaci´on de datos

Luego, se midieron algunos valores de las variablesR y C. Los datos obtenidos, vienen dados en la siguiente tabla:

R C 0,0125 0,80 0,0190 1,30 0,0275 2,00 0,0410 2,90 0,0530 4,00 0,0680 5,10 3. Gr´afico de datos obtenidos

Eligiendo como variable independiente a C, se tiene:

(9)

4. Buscar un modelo

En este caso es claro que los datos graficados, presentan un comportamiento lineal. Determinemos la ecuaci´on de esta funci´on lineal.

Para ello, se eligen dos puntos de la recta buscada. Elijamos, por ejemplo, los puntos (1,30, 0,0190) y (5,10, 0,0680).

C´alculo de la pendiente: 0,0190−0,0680

1,30−5,10 ≈0,013

Ecuación de la recta buscada:R−0,0190 = 0,013(C−1,30), luego el fenómeno estudiado viene modelado por la ecuación

R = 0,013C+ 0,021 cuyo gr´afico es:

Gráfico de la función lineal que modela la situación

5. Interpolaci´on

Supongamos que ahora se desea calcularR para el valor de C = 2,5 (que no está en la tabla de valores calculados, pero si está entre el m´ınimo y máximo valor calculado):

R= 0,013·2,5 + 0,0021≈0,035

es decir, se tiene que cuando la concentración de ox´ıgeno es de 2,5ml/L, la razón de concentración del ox´ıgeno es de 0,0035ml/h.

(10)

6. Extrapolaci´on

Supongamos que ahora se desea calcular R para el valor de C = 7,2 (que no aparece en la tabla de valores calculados, est´a fuera del rango):

R = 0,013·7,2 + 0,0021≈0,096

es decir, se tiene que cuando la concentración de ox´ıgeno es de 7,2ml/L, la razón de concentración del ox´ıgeno es de 0,096ml/h.

(11)

Cap´ıtulo 4: Funciones lineales y cuadr´aticas Ejemplos

4.5. Ejemplos

1. Sabiendo que una funci´on lineal y=f(x) satisface que f(−1) = 7 y f(1)=3: a) Determinar la funci´on lineal y=f(x).

b) Encontrar las intersecciones del gr´afico de esta funci´on lineal con los ejes coorde-nados.

c) Graficar la funci´on lineal y=f(x). Soluci´on:

a) Como f es lineal tiene la forma f(x) =ax+b. Como f(−1) = 7: 7 =a·(−1) +b =−a+b Como f(1) = 3: 3 =a·(1) +b =a+b Resolviendo el sistema:

−a+b = 7 a+b = 3

se obtiene que: a = −2 y b = 5. Por lo tanto, la funci´on lineal buscada es y = f(x) = −2x+ 5

b) Intersecci´on eje Y (x= 0): y =−2·0 + 5 = 5. Luego, el gr´afico de la recta corta al eje Y en el punto (0,5).

Intersecci´on eje X (y = 0): 0 =−2x+ 5 =⇒ x= 5

2. Luego, el gr´afico de la recta corta al eje X en el punto (5/2,0).

c) El gr´afico es:

Gr´afico dey=−2x+ 5

2. Sea:f :_R−→_Rtal quex−→y =f(x) = 2x−3 5 Notar que f(x) = 2

5x− 3

(12)

a) Encontrar el valor de f(0) + 5f(9) b) Calcular f(a+b)−f(a)−f(b)

c) Determinar (en caso que exista) un elemento del dominio tal que su imagen sea

−3 4

d) Graficar f

e) Decidir sif es inyectiva f) Establecer sif es sobre

g) En caso que f sea biyectiva, encontrar f−1

h) Decidir sif es par o impar

i) Establecer sif es creciente o decreciente Soluci´on: a) f(0) + 5f(9) = 2·0−3 5 + 5· 2·9−3 5 =− 3 5 + 5·3 = 72 5 b) Calcular f(a+b)−f(a)−f(b) = 2(a+b)−3

5 − 2a−3 5 − b−3 5 = 3 5 c) Seax∈Dom(f) tal que f(x) =−3

4: f(x) =−3 4 =⇒ 2x−3 5 =− 3 4 =⇒ x=− 3 8 Por lo tanto, f −3 8 =−3 4. d) El gr´afico de esta funci´on lineal es:

e) La funci´on f es inyectiva, pues:

f(n) =f(m) =⇒ 2n−3

9 =

2m−3

(13)

f) La funci´onf es sobreyectiva. En efecto: Seay ∈_R(Codominio). Veamos si existe un x∈_R (Dominio) que sea preimagen de y, es decir.

f(x) = y o sea

2x−3

9 = y de donde

x = 9y+ 3 2

Por lo tanto, para cada y en el codominio, siempre existe un x en el dominio (igual a 9y₂+3) tal que f(x) = y ´o x = f−1(y) . De donde se deduce que f es sobreyectiva.

g) De (e) y (f), f es biyectiva. Adem´as, como f−1(y) = 9y₂+3 se tiene que f−1(x) =

9x+3

2 es la f´ormula para la funci´on inversa de f.

h) Para quef sea par, debe cumplirse que f(x) =f(−x), parax∈_R. Veamos si esta condición se cumple: f(x) = 2x−₉ 3 y f(−x) = −2x−₉ 3 de donde, f(x) = f(−x) sólo cuando x= 0 . Por lo tanto f no es par. Este resultado también se obtiene ”mirando.el_gr´_{afico de}_{f, pues en general, cuando}_f _{es par, su gr´}_{afico es una curva}

simétrica respecto al ejeY, situación que no acontece en este caso. Análogamente se verifica que f tampoco es impar.

i) Recordar que f es creciente en un conjunto A cuando x, y ∈A x < y ⇒f(x)< f(y) . En este casof es creciente en todo_R. En efecto, sean, x, y ∈_Rcon x < y , entonces: x < y =⇒ 2x <2y =⇒ 2x−3<2y−3 =⇒ 2x−3 9 < 2y−3 9 =⇒ f(x)< f(y)

3. Determinar el (o los) punto(s) donde la par´abola 2x2+y = 8 se intersecta con la recta x−y=−5.

Soluci´on:

Para encontrar los puntos pedidos se debe resolver el sistema de ecuaciones:

2x2₊_y ₌ ₈

x−y = −5

(14)

2(y−5)2+y= 8, de donde y= 6 o y= 7/2

Sustituyendo estos valores en la expresi´on dexse obtiene que: siy = 6, entonces x= 1 y cuando y= 7/2, x=−3/2. Luego, los puntos de intersecci´on son (−3

2, 7

2) y (1,6).

4. Determinar el valor de k de modo que la funci´ony =f(x) =kx2₊_x₊_k _{intersecte al}

eje X en un solo punto.

Soluci´on: Los puntos donde y=f(x) intersecta al ejeX cumplen la condici´ony= 0, luego:

kx2+x+k= 0

esta ecuación debe tener una única solución, para ello su discriminante debe anularse: D= 12−4k2 = 0

Luego, los valores de k que satisfacen la condici´on son ±1

2.

5. La suma de los n primeros enteros positivos es n(n+ 1)

2 , es decir,

1 + 2 + 3 +· · ·+n = n(n+ 1) 2 a) Verificar la f´ormula propuesta, para n = 2, 3 y 4. b) Calcular 1 + 2 + 3 +· · ·+ 1000

c) ¿Cu´antos enteros consecutivos, empezando por el 1, se deben sumar para obtener 595?.

Soluci´on:

a) Observemos la siguiente tabla:

n 1 + 2 + 3 +· · ·+n n(n+ 1) 2 2 1 + 2 = 3 2(2 + 1) 2 = 3 3 1 + 2 + 3 = 6 3(3 + 1) 2 = 6 4 1 + 2 + 3 + 4 = 10 4(4 + 1) 2 = 10

(15)

b) 1 + 2 + 3 +· · ·+ 1000 = 1000·1001

2 = 500500 c) Se debe determinar n de modo que:

n(n+ 1)

2 = 595 es decir

n2+n−1190 = 0

Resolviendo esta ecuaci´on cuadr´atica se obtiene quen =−35 o n = 34. Luego, n= 34.

6. El siguiente es unaporción del gráfico de la función y=f(x) =x2, para valores de x entre −5 y 5:

Usando los gr´aficos de funciones relacionadas, obtener los gr´aficos de: a) y=−x2 b) y=x2+ 10 c) y= (x−2)2

d) y=−(x+ 4)2₋₁₀ _e) _y_{= 3x}2 _d) _y₌_y₌_|_(x₋₂₎2₋₁₀_|

Soluci´on:

(16)

(c) (d)

(e) (f)

7. Dentro de ciertos l´ımites, la deformaci´on de un resorte var´ıa linealmente con la fuerza aplicada. Si un resorte, cuya longitud natural es de 15cm, se estira 2,0cmcuando se le aplica una fuerza de 3,0N.

a) Hallar la ecuación que relaciona la longitud del resorte y la fuerza aplicada. b) ¿En cuántos cent´ımetros se estira el resorte si se aplica una fuerza de 3,45N?. c) ¿Qué fuerza hay que aplicar para que el resorte se estire 4cm?.

Soluci´on:

a) Se debe encontrarL=f(F) =aF +b, donde F es la fuerza aplicada (en N) y L su longitud (en cm).

De acuerdo a la informaci´on entregada: f(0) = 15 yf(3) = 17. De f(0) = 15: b= 15

De f(3) = 17: 3a+ 15 = 17. De donde, a= 0,67.

Por lo tanto, la funci´on lineal buscada es L=f(F) = 0,67F + 15

b) L = 0,67·3,45 + 15 = 17. Por lo tanto, el resorte se estira 2cm, si se aplica una fuerza de 3,45N.

(17)

c) 19 = 0,67F + 15, de donde F = 6,0. Por lo tanto, para que el resorte se estire 4cmhay que aplicar una fuerza de 6,0N.

8. Se deja caer una piedra en un estanque en calma y se forman ondas circulares conc´ entri-cas. El radio (en cm) de la onda exterior esr(t) = 0,6t, siendot el tiempo en segundos transcurrido desde la ca´ıda de la piedra. El ´area de un c´ırculo es A(r) =πr2_.

a) Calcular el ´area del circulo para t= 1,5seg b) Interpretar (A◦r)(t)

c) ¿En qu´e momento el ´area del circulo es de 27,5cm2_?

Soluci´on:

a) En t = 1,5seg, r= 0,6·1,5≈0,9. Luego, el ´area del circulo es π(0,9)2 _≈_2,5cm2

b) (A◦r)(t) = A(r(t)) = A(r(t)) = A(0,6t) = π(0,6t)2 ≈ 1,1t2. Luego, (A◦r)(t) representa el ´area del circulo en el instante t.

c) Si A = 27,5, se tiene 1,1t2 _{= 27,5. De aqu´ı,} _t ₌ _±_{5. Por lo tanto, 5 segundos}

despu´es de la ca´ıda de la piedra, el ´area es 27,5cm2 _.

Gr´aficos de r=r(t) = 0,6t y A =A(t) = 1,1t2

9. La capacidad calórica (en Joules por kilogramo) de un l´ıquido orgánico está relacionada con la temperatura (en grados Celsius) mediante la ecuación lineal

Cp = 2320 + 4,73·T,

considerando para la temperatura un rango de variaci´on de −40◦C a 120◦C. a) Completar la siguiente tabla de valores:

Cp 3030 3350

(18)

b) Dibujar la gr´afica de la ecuaci´on.

c) Verificar gráficamente que esta ecuación no satisface los datos experimentales que estén por encima de 3000 Joules por kilogramo.

Soluci´on:

a) Sustituyendo en la ecuaci´on propuesta, se obtiene:

Cp 3030 3076.8 3350

T 150.1 160 217.8

b) Una gr´afica de la ecuaci´on es:

c) Observando el siguiente gráfico, se deduce que el rango de valores que recorre la capacidad calórica Cp va desde 2130,8 a 2887,6. Luego, la ecuación propuesta no

satisface datos experimentales que est´en por encima de 3000 Joules por kilogramo.

(19)

10. La altura s (en metros y medida desde el suelo) de un objeto lanzado verticalmente hacia arriba, desde el centro de la cima de un edificio de 100 metros de altura, viene dada por

s=s(t) =−16t2+ 96t+ 100 donde t es el tiempo expresado en segundos.

a) ¿En qu´e instante el objeto est´a a 100m de la cima del edificio?

b) ¿Cuál es la máxima altura que alcanza el objeto?, ¿en qué instante la alcanza? c) ¿En qué intervalo de tiempo el objeto se mueve hacia arriba? ¿y hacia abajo? d) Determinar la distancia total recorrida por el objeto.

Soluci´on:

a) Para que el objeto esté a 100m de la cima del edificio, su distancia al suelo debe ser 200m, es decir s(t) = 200. Resolviendo esta ecuación se obtiene t ≈ 1,34 y t≈4,66. Por lo tanto, el objeto está a 100mde la cima del edificio a los 1,34segy 4,66segdespués de haber sido lanzado. En el primer instante el objeto va subiendo y en el segundo, bajando.

b) La máxima altura alcanzada por el objeto se encuentra en la ordenada del vértice de la parábola que describe su posición,s=s(t). Usando la fórmula del vértice se encuentra que éste es (3,244). Luego, la máxima altura alcanzada (medida desde el suelo) es 244m.

c) Como el vértice de la parábola es (3,244) se tiene que en los primeros 3 segundos el objeto está subiendo. Para encontrar el tiempo que el objeto esta cayendo, veamos cuando (de nuevo) s(t) = 100. Resolviendo esta ecuación se obtienet= 0 y t = 6. En t = 0 el objeto se lanza, luego el objeto vuelve a la cima a los 6seg. Por lo tanto, el objeto se mueve hacia abajo entre los 3 y 6 segundos.

d) Como la m´axima altura alcanzada por el objeto es de 244m, se tiene que la distancia total recorrida por el objeto es de 2·244m= 488m.

11. Cuando se lanza un proyectil desde el origen de coordenadas, con velocidad v0 y en la

dirección de la recta y = mx, la trayectoria que sigue su movimiento viene modelada por la siguiente función cuadrática

y =mx− g

2v2 0

(1 +m2)x2 (∗)

donde y representa la altura del proyectil (en metros), x representa el desplazamiento horizontal del proyectil (en metros) y g la aceleraci´on de gravedad (considerar g ≈

10m/seg2_).

(20)

a) Verificar que la ecuaci´on de la trayectoria puede ser escrita en la forma:

y =−1 +m 2 320 x x− 320m 1 +m2

b) Si el proyectil se lanza en la direcci´on de la recta y=x: i) Determinar la ecuaci´on de la trayectoria.

ii) Calcular la m´axima altura alcanzada por el proyectil

c) Dibujar las trayectorias correspondientes adiversas rectas de lanzamiento. Soluci´on:

a) Sustituyendo los valores de g y v0 = 40 en (∗):

y = mx− 10 2·402(1 +m 2_)x2 = mx− 1 320(1 +m 2_)x2 = −1 +m 2 320 x x− 320m 1 +m2

b) . i) En este caso m= 1, luego

y = −1 + 1 2 320 x x−320·1 1 + 12 = − 1 160x(x−160)

ii) Calculando la ordenada del vértice de la parábola encontrada se obtiene que y = 40. Por lo tanto, la máxima altura alcanzada por este proyectil es de 40m.

c) En el siguiente esquema se muestran los gr´aficos para m = 0,5, m = 1, m = 2, m= 3 y m= 4.

(21)

12. Al lanzar un proyectil verticalmente hacia arriba, se mide la altura del proyectil (en me-tros) en diferentes instantes (en segundos) despu´es de lanzado, obteniendo la siguiente tabla de valores:

t 0 1 3 5 7 8,4 10 d 4 6 8 9 8 6 3 a) Graficar los datos de la tabla de valores obtenidos.

b) En base a la distribución de puntos obtenidos, ¿qué tipo de función podr´ıa modelar razonablemente la situación planteada?

c) Obtener una expresi´on de la funci´on propuesta.

d) Graficar la funci´on encontrada, en el mismo sistema usado para (a).

e) Interpolación: ¿A que altura se encuentra el proyectil a los 9seg de ser lanzado? f) Extrapolación: ¿En qué momento el proyectil vuelve al suelo?

Soluci´on:

a) Graficando los datos dados, se obtiene:

b) La función que podr´ıa modelar razonablemente la situación planteada es una función cuadrática.

c) La funci´on cuadr´atica buscada es de la forma: d=f(t) =at2+bt+c

Para determinar los coeficientes a, b y c de esta funci´on, elijamos 3 puntos de la tabla dada. Se trabaja con los puntos (0,4), (5,9) y (10,3):

Como f(0) = 4, se tiene que c= 4.

Considerando que f(5) = 9 y f(10) = 3, se obtiene el siguientes sistema de ecuaciones.

(22)

25a+ 5b = 5 100a+ 10b = −1

Resolviendo este sistema se obtiene a=−0,22 yb = 2,1. Por lo tanto, la función cuadrática que modela la situación es:

d=f(t) = 0,22t2+ 2,1t+ 4

d) El gr´afico que modela la situaci´on es:

e) A los 9seg. de ser lanzado, el proyectil se encuentra a f(9) = 5,1m de altura. f) El proyectil vuelve al suelo aproximadamente a los 11,2seg.

(23)

Cap´ıtulo 4: Funciones lineales y cuadr´aticas Ejercicios

4.6. Ejercicios

1. El per´ımetro de un campo de 50 m de anchura yl metros de longitud es p= 100 + 2l. ¿Para qu´e valor de l es el per´ımetro igual a 450 m?

2. La resistencia el´ectrica de cierto resistor se incrementa en 0,005Ω por cada incremento de 1◦C. Dado que su resistencia es de 2,000Ω a 0◦C, hallar

a) la ecuaci´on que relaciona la resistencia (R) y la temperatura (t). b) la resistencia cuando la temperatura es de 50◦C

3. Un art´ıculo que cuesta $9 se vende en $52 y otro que cuesta $99 se vende en $142. Si la pol´ıtica general de precios viene dada por una funci´on lineal.

a) Encontrar una funci´on que represente el precio,p, de venta en t´erminos del costo c.

b) Determinar el costo de un art´ıculo que se vende en $80. c) Encontrar el precio de venta de un art´ıculo que cuesta $35.

4. En pruebas de dietas experimentales para ciertos animales, se determinó que el peso promedio de ellos era una función lineal del número de d´ıas posteriores al inicio de la dieta; la dieta tuvo una duración máxima de 100 d´ıas. Si el peso de un animal al comienzo de la dieta (d= 0) era de 20Kg y después subió 6,6Kg cada 10 d´ıas.

a) Determinar el peso P como funci´on del n´umero de d´ıas d posteriores al inicio de la dieta.

b) Calcular el peso de un animal 50 d´ıas después de haber comenzado la dieta. c) Determinar el peso que registrará un animal al final del máximo per´ıodo de dieta.

5. Dada la siguiente funci´on cuadr´atica g(x) = −2x2 _{+ 3x}_{+ 2, se pide determinar,}

res-ponder o encontrar:

a) Su dominio y codominio. b) Pre-im´agenes del 2. c) Pre-im´agenes del 4. d) Su recorrido.

e) Sus intersecciones con el eje X.

f) Algebraicamente, los puntos de intersección de los gráficos dey =g(x) y la función y=h(x) =−x2+ 1

(24)

g) Su gr´afico.

6. La suma de los cubos de los n primeros enteros positivos es n(n+ 1) 2 2 , es decir, 13+ 23+ 33+· · ·+n3 = n(n+ 1) 2 2

a) Verificar la f´ormula propuesta, para n = 2, 3 y 4. b) Calcular 13+ 23+ 33+· · ·+ 103

c) ¿Cu´antos cubos de enteros consecutivos, empezando por el 1, se deben sumar para obtener 76176?.

7. Un cohete es disparado, desde la base de una colina, hacia lo alto de ella (ver figura). La colina que tiene una pendiente igual 1₅ (con respecto a la horizontal del suelo) y la trayectoria del cohete viene dada por

y=−0,016x2+ 16x x e y en metros.

a) ¿A qué distancia de la horizontal del suelo toca la colina el cohete? b) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza el cohete (sobre el suelo)?

8. El ozono se presenta en todos los niveles de la atmósfera terrestre y su densidad var´ıa según la estación del año y la latitud. En cierta ciudad la densidadD en función de la altitud h (en km), viene dada por

D=D(h) =−0,058h2+ 2,867h−24,239 determinar la altitud a la cual la densidad del ozono es m´axima.

(25)

9. Al lanzar un objeto horizontalmente desde el techo de un edificio, dicho objeto describe una trayectoria parabólica según la ecuación:

y=− g

2v2x 2

donde g ≈ 10_segm2 (aceleraci´on de gravedad); v denota la velocidad de lanzamiento horizontal en _segm. Tantox como y se suponen dados en metros.

a) Si v = 2_segm y la altura del edificio es de 40m. ¿a qu´e distancia del pie del edificio el objeto golpea al suelo?.

b) Para el mismo edificio anterior se desea que el objeto golpee al suelo a 10m del pie del edificio, ¿con qu´e velocidad debe ser lanzado?

10. Desde la ventana de su casa, Jorge arroja una piedra verticalmente hacia arriba. Sa-bemos, por lo aprendido en F´ısica, que la funci´on que describe la altura de la piedra (expresada en metros) en funci´on del tiempo (expresado en segundos) es: y = h(t) =

−5t2+ 10t+ 28. El siguiente es un esquema de la situación, acompañado por un gráfico de la funcióny=h(t):

a) ¿Para qué valores de t es válida la funcióny=h(t), es decir, representa la altura de la piedra?

b) ¿A qué altura está la ventana desde donde se arroja la piedra?, ¿Qué valor de t permite calcular la altura?

c) Indicar en el gr´afico los puntos correspondientes a las posiciones de la piedra marcadas del (1) al (4). Para cada una, indicar la altura y el tiempo que tard´o, desde que fue arrojada, en llegar a esa altura.

(26)

d) La velocidad de la piedra (expresada en m/seg) se puede determinar en cada instante por la función v = v(t) = 10−10t, donde t es el tiempo en segundos, desde que se la arrojó. Graficar esta función, para el intervalo de tiempo desde que se arroja la piedra hasta que llega al suelo. Tomar en cuenta el esquema anterior, y relacionar el signo dev y el sentido en que se mueve la piedra. ¿A qué velocidad llega la piedra al suelo?

11. De entre todos los rectángulos de per´ımetro 28cm, determinar el que tiene área máxima.

12. Se dispone de una hoja triángular de cartulina como en la figura. De ella se quiere sacar un rectángulo, cortando como se indica en la siguiente figura. Determinar las longitudes del rectángulo de mayor área que se puede obtener de esta manera.

13. Al hacer un estudio entre dos variables x e y, se ha obtenido la siguiente tabla de valores:

x 2 5 7,5 9 11 y 2 3 4 5 5,5

a) Graficar los datos de la tabla de valores obtenidos.

b) En base a la distribución de puntos obtenidos, ¿qué tipo de función podr´ıa modelar razonablemente la situación planteada?

c) Obtener una expresi´on de la funci´on propuesta.

d) Graficar la función encontrada, en el mismo sistema usado para (a). e) Interpolación: ¿cuál es el valor dey cuando x= 4?

(27)

4.7. Respuestas a los ejercicios

1. l = 175m 2. a) R= 0,005t+ 2,000 b)R = 2,25Ω 3. a) p=c+ 43 b) c= 37 c) p= 78 4. a) P = 0,66d+ 20 b) P = 53Kg c) P = 86Kg 5. a) Dom(g) =_R, Rec(g) =]− ∞,25/8] c) El 4 no tiene preimagen e) (−1/2,0) y (2,0) g) Gr´afico: Gr´afico dey=g(x) =−2x2+ 3x+ 2 6. b) 3025 c) 23 7. a) 197,5m b) 4000m 8. 24,72km 9. a) 4√2m b) 5 √ 2 2 m/seg

(28)

10. a) [0,1 +√165/5]≈[0, 3,57]

c) Punto (1): Altura = 32,6875m, tiempo = 0,75seg Punto (3): Altura = 14m, tiempo = 2,95seg

11. Cuadrado de lado 7cm. 12. Rect´angulo de 3×4

13. a) Grafico de los datos dados:

b) La función que podr´ıa modelar razonablemente la situación planteada es una función lineal.

c) Tomando de referencia los puntos (2,2) y (11; 5,5) la funci´on lineal buscada es y=f(x) = 0,39x+ 1,22

d) El gr´afico que modela la situaci´on es:

e) y= 2,78 f) y= 6,29