PROPUESTA CURRICULAR PARA POTENCIAR LAS COMPETENCIAS MATEMÁTICAS Y CIUDADANAS
EDGAR FERNANDO HENAO MUÑOZ EDUARDO JOSÉ OYOLA CORTÉS
Trabajo de grado presentado como requisito parcial para optar al Título de Magíster en Educación
Director
CARLOS ARTURO MIRQUEZ NUÑEZ Magíster en Educación
UNIVERSIDAD DEL TOLIMA
FACULTAD CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN MAESTRÍA EN EDUCACIÓN
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DEDICATORIA
A Dios por ayudarnos siempre, a nuestras familias por su apoyo, colaboración y animarnos a seguir adelante.
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AGRADECIMIENTOS
7 CONTENIDO
Pág.
INTRODUCCIÓN 16
1. MARCO TEÓRICO 17
1.1 CURRÍCULO Y CURRÍCULO DE MATEMÁTICAS 18
1.1.1 Dimensiones del Currículo 19
1.1.2 Niveles de Reflexión Curricular 23
1.2 PROPUESTA CURRICULAR 25
1.2.1 Enseñar para Resolver Problemas 26
1.2.2 Enseñar sobre la Resolución de Problemas 26
1.2.3 Enseñar vía la resolución de problemas 26
1.3 COMPETENCIA 26
1.3.1 Tipos de Competencias 28
1.3.2 Competencias en Matemáticas 32
1.3.3 Sobre la Prueba Estandarizada Nacional – Icfes 11º 35
1.3.3.1 Razonamiento Cuantitativo 35
1.3.3.2 Contextos 36
1.3.3.3 Conocimientos 37
1.3.3.4 Competencias 37
1.4 COMPETENCIAS CIUDADANAS 39
1.4.1 Grupos de Competencias Ciudadanas 40
1.4.2 Tipos de Competencias Ciudadanas 41
1.4.2.1 Cognitivas 41
1.4.2.2 Emocionales 41
1.4.2.3 Comunicativas 41
1.4.2.4 Conocimientos 42
8
Pág.
1.5 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 42
1.6 PROBLEMA 44
1.7 EL PROCESO DE RESOLUCIÓN DE UN PROBLEMA 47 1.7.1 Modelo de Polya, (1945) para la Resolución de Problemas 48 1.7.2 Modelo de Schoenfeld para la Resolución de Problemas 49 1.7.3 Modelo De Jungk para la Resolución de Problemas 51 1.7.4 Modelo de Miguel de Guzmán para la Resolución de Problemas 52
2. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 55
2.1 PREGUNTA DE INVESTIGACIÓN 57
3. OBJETIVOS DE LA INVESTIGACIÓN 58
3.1 OBJETIVO GENERAL 58
3.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS 58
4. ANTECEDENTES 59
5. JUSTIFICACIÓN 64
6. METODOLOGÍA 67
6.1 TIPO DE INVESTIGACIÓN 66
6.2 INSTRUMENTOS Y TÉCNICAS DE RECOLECCIÓN DE INFORMACIÓN
66
6.3 POBLACIÓN Y MUESTRA 67
7. ANÁLISIS DE RESULTADOS 69
9
Pág.
9. IMPACTO ESPERADO 91
10. CONCLUSIONES 92
RECOMENDACIONES 94
10
LISTA DE TABLAS
Pág. Tabla 1. Componentes del currículo según los niveles y dimensiones de
reflexión 25
Tabla 2. Conocimientos evaluados por el Icfes 11º 37
Tabla 3. Las Competencias Ciudadanas 40
Tabla 4. Clasificación de problemas 46
Tabla 5. Habilidades y Competencias Matemáticas 62
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LISTA DE FIGURAS
Pág. Figura 1. Conocimiento del plan de estudios de matemáticas de la institución
educativa
69
Figura 2. Uso del Plan de Estudios de Matemáticas para Planear las Clases 70 Figura 3. Pertinencia del Plan de Estudios de Matemáticas de la Institución para el Desarrollo de las Clases
70
Figura 4. El Plan de Estudios de Matemáticas de la Institución debe ser Mejorado
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Figura 5. Coherencia entre el Plan de Estudios de Matemáticas de la Institución y los Estándares exigidos por el Ministerio de Educación Nacional de Colombia
71
Figura 6. Nivel de Conocimiento del docente sobre el Plan de Estudios de Matemáticas en la Institución
72
Figura 7. Uso del Plan de Estudios de Matemáticas para Planear las Clases 73 Figura 8. Conocimiento sobre las Competencias Matemáticas y Ciudadanas 75 Figura 9. Uso de una Metodología que Permita Potenciar las Competencias Matemáticas y Ciudadanas, al Planear las Clases de Matemáticas
76
Figura 10. Capacitación del docente para Potenciar las Competencias Matemáticas y Ciudadanas
76
Figura 11. Nivel de Conocimiento del docente sobre las Competencias Matemáticas y Ciudadanas
77
Figura 12. Importancia de las Competencias Matemáticas y Ciudadanas en el Plan de Estudios de Matemáticas de la Institución
78
Figura 13. Uso de una Metodología que Permita Potenciar las Competencias Matemáticas y Ciudadanas, al Planear las Clases de Matemáticas
78
Figura 14. Capacitación del docente para Potenciar las Competencias Matemáticas y Ciudadanas
12
Pág. Figura 15. Conocimiento sobre la Competencia Matemática Resolución de
Problemas
82
Figura 16. Uso de la Competencia Resolución de Problemas en la Clase de Matemáticas
82
Figura 17. Pertinencia de la Resolución de Problemas para Potenciar las Competencias Matemáticas y Ciudadanas
83
Figura 18. Nivel de Conocimiento del docente sobre la Competencia Matemática Resolución de Problemas
84
Figura 19. Nivel de Pertinencia de la Resolución de Problemas para Potenciar las Competencias Matemáticas y Ciudadanas
84
Figura 20. Uso de la Competencia Resolución de Problemas en la Clase de Matemáticas
85
Figura 21. Sendero Ecológico 113
Figura 22. Jugando con el Frisbee 114
13
LISTA DE ANEXOS
Pág.
Anexo A. Estructura de la Unidad didáctica 101
Anexo B. Unidad didáctica “Afianzado mis Conocimientos sobre Ángulo e Identificándolo mediante la Resolución de Problemas a partir de mi entorno”
105
Anexo C. Guía del Trabajo para el Estudiante 108
Anexo D. Ejemplos de Problemas que se pueden abordar a través de la Estrategia didáctica propuesta
113
Anexo E. Evaluación Integral de la Unidad Didáctica 116
Anexo F. Encuesta de Sondeo 119
Anexo G. Resultados Encuesta de Sondeo 122
Anexo H. Encuesta con escala de Likert 123
Anexo I. Resultados Encuesta con escala de Likert 127
Anexo J. Entrevista al Rector 128
Anexo K. Entrevista al Coordinador 131
14 RESUMEN
La presente investigación es el resultado de un análisis en torno al desarrollo de las competencias matemáticas y ciudadanas, y a su fortalecimiento mediante la resolución de problemas. Metodológicamente se recurre a la investigación cualitativa con un enfoque etnográfico. El proyecto de investigación tiene dos momentos: primero, determinar los factores curriculares que intervienen en el desempeño de los estudiantes en las competencias matemáticas y ciudadanas. Así mismo, se analiza la necesidad y aceptación por parte de los docentes y administrativos por implementar una propuesta que fortalezca las competencias ya mencionadas.
Durante la primera fase, los resultados ponen en evidencia que el principal inconveniente es la poca capacitación de los docentes y administrativos en las competencias matemáticas y ciudadanas, y la resolución de problemas. También se observa el interés de los docentes y administrativos por capacitarse e implementar una propuesta que minimice estas debilidades.
La fase dos consiste en el diseño de una propuesta didáctica que fortalezca las competencias matemáticas y ciudadanas, la cual se sustenta a partir de diferentes autores e investigaciones en competencias matemáticas y la resolución de problemas. Consiste en una unidad didáctica que se elaboró teniendo en cuenta el contexto social de la región, abordando temas del grado décimo relacionados con los pensamientos numérico, espacial y métrico.
La presente investigación se llevó a cabo en la Institución Educativa Técnica Nicolás Ramírez, ubicada en el municipio de Ortega, Tolima.
15 ABSTRACT
The present investigation is the result of an analysis on the development of mathematical skills and citizens, and strengthening it through the resolution of problems. Methodologically it resorts to the qualitative research with an ethnographic approach. The research project has two moments: first, determine the curricular factors involved in the performance of students in the mathematical skills and citizens. Also, analyzes the need and acceptance on the part of the teachers and administrative to implement a proposal to strengthen the skills already mentioned.
During the first phase, the results are evidence that the main drawback is a little training of the teaching and administrative skills in the mathematics and citizens, and the resolution of problems. It is also noted the interest of the faculty and administrative training and implement a proposal that would strengthen these weaknesses.
The phase two involves the design of a curriculum proposal to strengthen the mathematical skills and citizens, which is based from different authors and research in mathematical skills and the resolution of problems. Consists of a teaching unit that had been prepared taking into account the social context of the region, addressing topics of the tenth grades specifically numerical, spatial and metric thinking..
This research was conducted at the Institución Educativa Técnica Nicolás Ramírez, located in the municipality of Ortega, Tolima.
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INTRODUCCIÓN
Este trabajo de investigación se realizó con el fin de indagar sobre una problemática latente en la institución Educativa Técnica Nicolás Ramírez relacionada con la manera como los docentes del área de matemáticas de básica secundaria y media, planean, mejoran y ejecutan su práctica pedagógica, teniendo como referente el currículo de matemáticas.
Es importante para nosotros los aspectos antes mencionados ya que nos permitirán proponer estrategias didácticas que conlleven a potenciar las competencias matemáticas y ciudadanas desde la resolución de problemas. Nuestro interés es fortalecer las competencias matemáticas a partir de la resolución de problemas, desde allí se puede mejorar las demás competencias, debemos repensar un desarrollo curricular desde la resolución de problemas, que incluya las demás competencias, esto se debe tal vez a que no se le ha prestado suficiente atención y se ha venido trabajando sin tener en cuenta todas las bondades que la resolución de problemas, brinda.
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1. MARCO TEÓRICO
En Colombia, el currículo de matemáticas en los niveles de básica primaria, básica secundaria y educación media requiere apropiación urgente por parte de las y los profesores, teniendo en cuenta los últimos resultados de las pruebas PISA y las pruebas Saber, donde se observa un notorio e inquietante descenso en las competencias básicas y qué decir de las competencias específicas. Nuestros educandos no muestran ser competentes en hechos de la vida cotidiana, se les dificulta aplicar las matemáticas para resolver problemas cotidianos, como por ejemplo, fijar el sitio de los invitados en una mesa de forma que algunos coincidan y otros no, optimizar la utilización de un lector MP3, comprar en una máquina distribuidora de boletas para el servicio de transporte al mejor precio o consultar un catálogo de muebles, con diferentes marcas y precios, y elegir los modelos más baratos para amoblar una habitación. En la prueba PISA, denominada "Resolución creativa de problemas y habilidades de los alumnos para enfrentar situaciones de la vida real", los jóvenes Colombianos "sólo pueden resolver problemas muy simples en situaciones conocidas, utilizando ensayo y error para elegir la mejor alternativa de un grupo de opciones predeterminada”, señaló el informe de la Organización para la Cooperación y el Desarrollo Económico - OCDE.
La propuesta didáctica que sugerimos para la Institución Educativa Técnica Nicolás Ramírez, de Ortega - Tolima, se apoya en la resolución de problemas, para potenciar las competencias matemáticas y ciudadanas en el aula de clase. Con el ánimo de aportar a la enseñanza - aprendizaje del área, mediante la inclusión de estrategias y herramientas que el docente pueda implementar durante el desarrollo de los temas.
Nuestra propuesta se apoya en los siguientes sustentos teóricos.
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En el contexto educativo se han discutido conceptos de currículo que generan un amplio conocimiento, como el planteado por Sthenhouse, (1984). “Un currículo es una propuesta de actuación educativa” (p. 33). En un currículo de concretan una serie de principios ideológicos, pedagógicos, psicopedagógicos que, en su conjunto, muestran la orientación general del sistema educativo. El currículo se sitúa entre la declaración de principios generales y su traducción práctica, entre lo que se prescribe y lo que realmente sucede en el aula.
Los sistemas educativos planean y gestionan la educación matemática de las personas mediante el diseño y puesta en práctica de planes de formación que consideran la variedad de conocimientos y la complejidad de los procesos de enseñanza y aprendizaje de esta disciplina, las necesidades formativas de los ciudadanos y las demandas sociales de conocimiento matemático. Elaborar un diseño curricular en matemáticas consiste en traducir esos principios a normas de acción, con el fin de elaborar un instrumento útil y eficaz para la práctica educativa.
Teniendo en cuenta lo anterior, se puede concluir que el "currículo de matemáticas se entiende como el plan de formación en matemáticas para los niños, jóvenes y adultos que tiene lugar en un sistema educativo de un país” (Rico & Lupiáñez, 2008). Además, el currículo de educación obligatoria es un plan de formación que, en su diseño y desarrollo, tiene que dar respuesta concreta a las siguientes preguntas: ¿Qué formación?, ¿Con cuál conocimiento?, la formación, ¿para qué?, ¿Qué aprendizaje se persigue?, ¿Cómo llevar a cabo la formación?, ¿Cuánta fue la formación?, ¿Cuáles resultados se obtuvieron?
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Como resultado de esos análisis previos, cada currículo selecciona y propone en cada caso una alternativa específica fundada, un plan de formación, que responda a las necesidades individuales y demandas sociales del momento.
Cuando tratamos el marco curricular, consideramos un marco interpretativo que permite entender la variedad de dimensiones y niveles de reflexión implicados en los planes de formación, en particular, en los planes que organizan y desarrollan la educación mediante las matemáticas.
1.1.1 Dimensiones del Currículo. Las cuatro cuestiones prioritarias marcan dimensiones para organizar la reflexión curricular, pero no señalan un contenido explicito determinado (Rico, 1997).
La primera cuestión, qué formación y con cuál conocimiento; sirve de referencia para otras cuestiones como:
¿Qué Transmitir? ¿Cuáles matemáticas?
¿Qué es el conocimiento? ¿Qué es, en qué consiste el conocimiento matemático?
¿Qué características relevantes diferencian este conocimiento de otros?
¿Por qué es importante este conocimiento para la educación?
¿Qué relaciones sostiene el conocimiento matemático con las determinaciones
culturales de nuestra sociedad?
La discusión sobre qué es el conocimiento matemático, no es trivial, ya que afecta profundamente el diseño y desarrollo del currículo de matemáticas.
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aplicadas, las de plantear y resolver problemas para encontrar soluciones. Cada propuesta curricular adopta una posición matizada respecto de esta disyuntiva, donde la posición sobre el tipo de conocimiento al que corresponde el conocimiento matemático es determinante para el modelo curricular que se propugne.
La segunda cuestión para qué formación o qué aprendizaje se pretende, interviene en el diseño y desarrollo del currículo. También se tiene en cuenta:
¿En qué consiste el aprendizaje?
¿Cómo se produce? ¿Cómo aprenden niños y jóvenes?
El aprendizaje ¿es el resultado de una evolución, efecto de la instrucción o de ambas?
¿Qué función tiene una teoría del aprendizaje?
¿Cómo se caracteriza al aprendizaje de las matemáticas?
Todo currículo de matemáticas necesita estar basado en alguna teoría o esquema conceptual que permita dar respuesta fundada a cuestiones generales como las siguientes:
¿Cómo son las personas en el trabajo con las matemáticas?
¿Cómo se desarrolla la comprensión de los conceptos matemáticos?
¿En qué consiste la competencia matemática?
¿Qué expectativas son razonables sobre el aprendizaje de los escolares?
¿Cómo articular el aprendizaje matemático de los estudiantes?
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pregunta sobre cuál conocimiento debe formar parte del currículo matemático. Sobre la base de estas consideraciones un currículo debe plantear expectativas razonables acerca del aprendizaje de los escolares, en realidad, sobre un modo determinado de entender las matemáticas. El qué y el para qué delimitan el marco de las matemáticas escolares.
Puesto que el motivo de la educación consiste en promover el crecimiento de las personas, las expectativas sobre el aprendizaje de los estudiantes se enmarca en alguna teoría cognitiva coherente. El crecimiento educativo se reconoce, por un lado, como resultado de un proceso de desarrollo interno o, como resultado de un proceso de aprendizaje, externo a la persona. Estos dos enfoques básicos se denominan cognitivo - evolutivo y de aprendizajes específicos, respectivamente (Coll, 1987)
Objetivos y habilidades, destrezas y estrategias, estándares, capacidades y competencias son distintas alternativas para enunciar las expectativas que se pueden establecer sobre el aprendizaje de las escolares, expectativas que requieren diferentes niveles de complejidad cognitiva y que proceden de marcos teóricos distintos.
La tercera cuestión, ¿cómo llevar a cabo la formación? O ¿cómo llevar a cabo la enseñanza de las matemáticas?, da también lugar a una diversidad de cuestiones específicas. Entre estas cuestiones encontramos las siguientes:
¿En qué consiste educar?, ¿En qué consiste la educación matemática?, ¿Cómo puede llevarse a cabo la formación de niños y jóvenes en un campo específico del conocimiento?, ¿En qué consiste la instrucción?
De modo más preciso se plantean cuestiones como las siguientes: ¿Cuáles métodos resultan adecuados? ¿Qué opción metodológica y qué sistemática favorece las expectativas de aprendizaje sobre unos determinados conocimientos?
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Finalmente, la cuarta cuestión, ¿Cuántos logros se alcanzaron?, ¿Cuáles resultados?, está conectada con otros interrogantes más amplios: ¿Qué valorar? Y ¿Cómo valorar el aprendizaje? A su vez, admite cuestiones más precisas:
¿Cómo valorar la formación matemática?
¿Cómo establecer su cuantía y calidad?
¿Cuándo un individuo dispone de conocimiento útil?
¿Qué tareas muestran los aprendizajes alcanzados?
¿Qué criterios determinan la competencia matemática de una persona?
¿Mediante qué instrumentos se valora esa competencia matemática?
¿Cuáles mecanismos sociales sostienen esa valoración?
¿Mediante qué criterios se valora la eficacia de un currículo?
¿Cómo y con cuáles criterios se valora la competencia de un profesor o de unos materiales curriculares?
¿Qué mecanismos modifican un currículo, cómo se ponen en práctica?
¿Quiénes tienen la responsabilidad de la valoración y de los cambios?
23 Esas cuatro dimensiones son:
Dimensión cultural / conceptual Dimensión cognitiva
Dimensión ética o formativa
Dimensión social.
Las dimensiones del currículo no son independientes, sino que se encuentran frecuentemente interconectadas. Resulta difícil pensar separadamente en una de las cuatro dimensiones del currículo sin que aparezcan de una u otra manera las restantes. Sólo a los efectos analíticos de la reflexión curricular diferenciamos las cuatro dimensiones, que se encuentran entrelazadas.
1.1.2 Niveles de Reflexión Curricular. Las cuatro dimensiones del currículo anteriormente enunciadas proporcionan un marco para el estudio del currículo y permiten abordar niveles muy diversos de análisis y reflexión. Esos niveles de reflexión diferentes surgen al enfocar el estudio del currículo desde una determinada prioridad o perspectiva. Así, cuando se asume el currículo como plan de acción, como plan de trabajo para el profesor, la actuación en el aula es el nivel considerado. Cuando contemplamos el currículo como instrumento de planificación para la administración educativa, el nivel de actuación es el sistema educativo. Cuando se acepta el currículo como objeto de estudio, estamos en un nivel de reflexión académico o bien, cuando damos prioridad a los fines generales de la educación, situamos el currículo en una perspectiva teleológica.
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Los cuatro niveles considerados no agotan la reflexión sobre el currículo, si bien ayudan a entender su complejidad.
Gómez, (2007) ha trabajado sobre un plan de formación inicial del profesorado de matemáticas centrado en el diseño y planificación de unidades didácticas. En el marco de este estudio se conceptualiza un nuevo nivel de reflexión curricular, denominado análisis didáctico. El estudio se centra en la problemática de tomar temas matemáticos particulares y estudiar las implicaciones que se generan al tener en cuenta esta especificidad en su diseño y desarrollo. El análisis didáctico es un procedimiento que los profesores de matemáticas pueden utilizar en el diseño, práctica y evaluación de unidades didácticas. Mediante este método el profesor debe dar respuesta a las cuestiones: qué conocimientos, para qué, cómo y cuáles se logran, en cada unidad diseñada. Los cuatro componentes del análisis didáctico, en conformidad con las cuatro dimensiones del currículo, son: análisis de contenido, análisis cognitivo, análisis de instrucción y análisis de resultados.
La reflexión sobre los niveles que se resume en la Tabla 1, pone de manifiesto que, en las diferentes aproximaciones al estudio del currículo, hay cuatro órdenes de ideas o dimensiones a partir de las cuales se puede estructurar la noción de currículo. Las cuatro dimensiones se localizan en los diferentes niveles de reflexión considerados.
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Situar un trabajo educativo en una perspectiva curricular consiste en abordar su estudio dentro de este marco teórico que considera la variedad de dimensiones y niveles de reflexión implicados en los planes de formación. Entendemos que la perspectiva curricular para la educación matemática consiste en estudiar y trabajar sobre los planes que organizan y desarrollan la educación mediante las matemáticas, a partir del esquema de niveles y dimensiones establecido para el concepto de currículo.
Tabla 1. Componentes del currículo según los niveles y dimensiones de reflexión
DIMENSIONES NIVELES
CULTURAL /
CONCEPTUAL COGNITIVA ÉTICA SOCIAL
Planificación para los
profesores Contenidos Objetivos Metodología Evaluación
Sistema educativo Conocimiento Alumno Profesor Aula
Disciplinas académicas
Matemática, epistemología,
Historia
Teorías del
aprendizaje Pedagogía Sociología
Teleológico o de finalidades
Fines culturales y formales Fines formativos y de desarrollo Fines éticos y políticos Fines sociales y utilitarios Fuente: Rico y Lupiáñez, (2008)
1.2 PROPUESTA CURRICULAR
The National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) propuso para la década de los pasados ochenta la resolución de problemas como eslogan educativo de la matemática escolar. El currículo de las matemáticas escolares se debe enfocar en la resolución de problemas. En cuanto a la forma, cabe nombrar al menos tres interpretaciones:
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Proponer a los alumnos más problemas
Emplear aplicaciones de los problemas a la vida diaria y a las ciencias
No proponer solo ejercicios sino también problemas genuinos que promuevan la
búsqueda, la investigación por los alumnos.
1.2.2 Enseñar sobre la Resolución de Problemas
Enseñanza de la heurística, el objetivo es que los alumnos lleguen a aprender y a utilizar estrategias para la resolución de problemas
1.2.3 Enseñar vía la resolución de problemas
Enseñar la matemática a través de problemas
Desarrollo de la capacidad de pensamiento
Aplicación de la teoría previamente expuesta Resolución de cuestiones de la vida diaria.
1.3 COMPETENCIA
En este apartado trataremos de hacer una aproximación a la noción de competencia,
que en la actualidad tiene un uso cada día más amplio y, sin embargo, al mismo tiempo es un término sobre el que no existe un consenso entre los expertos y que pocas veces somos capaces de definirlo con precisión a pesar de conocer su significado.
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eficiencia. Según algunas acepciones del Diccionario de la Lengua Española que más nos acercan a la noción de competente son:
Dícese de la persona a quien compete o incumbe alguna cosa.
Buen conocedor de una técnica, de una disciplina, de un arte. (Real Academia
Española, 2002, p.369)
En cuanto a los organismos internacionales como es el Parlamento Europeo y el Consejo de la Unión Europea establecen “las competencias como una combinación de conocimientos, capacidades y actitudes adecuadas para una determinada situación”. Dice que “las competencias claves son aquellas en las que se sustentan la realización personal, la inclusión social, la ciudadanía activa y el empleo”. (Comisión Comunidades Europeas, 2005, p. 3)
En el Proyecto DESECO encontramos “la noción de competencia como algo más que conocimientos y destrezas. También como la habilidad de enfrentar demandas complejas, apoyándose en y movilizando recursos psicosociales (incluyendo destrezas y actitudes) en un contexto particular”. (Organización para la Cooperación y el Desarrollo Económico, 2005, p. 3).
A su vez, la Evaluación PISA destaca el concepto de competencia como “la preocupación por la capacidad de los estudiantes para analizar, razonar y comunicarse efectivamente, conforme se presentan, resuelven e interpretan problemas en una variedad de áreas”. (Organización para la Cooperación y el Desarrollo Económico, 2005, p.2).
Haciendo una revisión al concepto de competencias tomamos los siguientes conceptos basados en reflexiones de distintos autores y entidades:
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La competencia se entiende como un sistema más o menos especializado de conocimientos, capacidades o habilidades que son necesarias para alcanzar un objetivo específico (Weinert, 200)
En la normativa para las nuevas titulaciones universitarias se utiliza el término competencia para referirse a la “combinación de conocimientos y habilidades (intelectuales, manuales, sociales, etc.), actitudes y valores que capacitarán a un titulado para afrontar con garantías las resolución de problemas o la intervención en un asunto en un contexto académico, profesional o social determinado”. (Ministerio de Educación y Ciencia, 2005, p.14).
Para el Ministerio de Educación Nacional, competencia es “… la interacción de disposiciones (valores, actitudes, motivaciones, intereses, rasgos de personalidad, etc.), conocimientos y habilidades, interiorizados en cada persona”, que le permiten abordar y solucionar situaciones concretas.” (MEN, 2008, p. 13.)
1.3.1 Tipos de Competencias. En la revisión de la literatura nos encontramos con la existencia de diferentes tipos de competencias: competencias clave o básicas, transversales, específicas o disciplinarias, entre otros. Cada uno de estos tipos de competencias abarca diferentes capacidades o habilidades aunque no siempre con suficiente precisión.
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En el documento de recomendaciones del Parlamento y del Consejo Europeo, (2006) las competencias clave se definen como aquellas que todas las personas precisan para su realización y desarrollo personales, así como para la ciudadanía activa, la inclusión social y el empleo, y se establecen ocho competencias clave siguientes:
Comunicación en la lengua materna
Comunicación en lenguas extranjeras
Competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología Competencia digital
Aprender a aprender
Competencias sociales y cívicas
Sentido de la iniciativa y espíritu de empresa
Conciencia y expresión culturales.
Se ha partido del consenso de que el dominio de las nociones de lectura, escritura y cálculo es indispensable para el aprendizaje de calidad, sin embargo, no es suficiente para llevar una vida adulta con éxito. Hoy día, con la introducción de las tecnologías en los modos de la comunicación, en administración pública, educación u hogar, los ciudadanos han de contar con el uso de las TIC; en un planeta multicultural y plurilingüe es indispensable el dominio de lenguas extranjeras. Al elaborar la lista de las competencias clave se ha tenido en cuenta tanto las competencias genéricas o transversales que se caracterizan por su transferibilidad y flexibilidad (aprender a aprender, resolución de problemas, la creatividad) como las competencias personales
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El término competencias transversales se refiere a las competencias que se movilizan en situaciones problemáticas a partir de las diferentes prácticas en sociedad y tienen características universales de la acción humana: leer, escribir, contar, calcular, planificar, comunicar, argumentar, evaluar, entre otras. En un nivel de abstracción, las competencias transversales se pueden precisar autónomamente de su contenido y de su contexto (Perrenoud, 2006). Así por ejemplo, se puede argumentar un hecho histórico, una proposición matemática, un texto literario, una experimentación química o fuera del ámbito de las materias escolares, argumentar un juicio, disculparse, etc. En todos estos casos se emplean argumentos, se razona con el propósito de aprobar o refutar una proposición. Para Rey, (1999) la transversalidad “no es algo común a varias disciplinas, sino lo que sobrepasa a cada una de ellas y que podría servir más allá de los muros de la escuela” (p. 43).
Desde el punto de vista de la educación básica, no es una tarea fácil la identificación de las competencias transversales, precisamente debido a esa abstracción y generalización, ya que como nos recuerda Perrenoud, (2006) sacándolas del contenido y del contexto, éstas presentan problemas éticos o ideológicos difíciles.
Inscribir saber argumentar en un referencial de competencias en una escuela básica -dice Los autores- sólo molesta a aquellos que piensan que es mejor no formar mayor número de alumnos en la argumentación (sin duda una minoría hoy). Por el contrario, si se especifican las situaciones y las prácticas argumentativas de referencia, se está ante innumerables dilemas políticos y éticos (p.7).
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en un área de contenido particular (p.ej. solucionar problemas matemáticos, tocar piano, nadar, etc.). Estas competencias se definen en un campo especifico (p.ej. la competencia de tocar guitarra) o más amplio (p.ej. resolución de problemas matemáticos). Son el resultado de un aprendizaje a largo plazo, precisan experiencia, conocimiento profundo y procedimientos de acción automática que se controlan en un nivel de conciencia alto (Weinert, 2004).
Hay que destacar que la continuidad o la adquisición a largo plazo es una de las características principales de la competencia, fuese cual fuera su tipo. Debido a que una competencia siempre puede mejorar, perfeccionarse y presentar diferentes niveles de realización, en ningún momento se puede afirmar que “esta competencia ya se logró” (Barriga, 2006, p.22), sino que se reconoce por el grado de logro alcanzado. “Ser competente, afirman Zabala y Arnau, (2007):
No es una cuestión de todo o nada. Dentro de un continuo entre la actuación menos competente y la más competente (entendida como la que consigue la óptima eficacia ante la situación problema), las diferentes actuaciones que realicen las personas se situarán en esta línea, dentro de esta gama de opciones competenciales (p. 48).
Debido a estas consideraciones, la competencia se entiende además como el grado o nivel de capacidad que se evalúa en la realización de una actividad o una tarea. En este caso se ve la necesidad de realizar una valoración de la competencia con algún indicador de excelencia y se implanta ese nivel para todos los ámbitos de actividad en los que se necesita un criterio a valorar sobre la competencia. Esta noción ha sido difundida ampliamente con los estudios y evaluaciones internacionales (Rico & Lupiáñez, 2008).
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El Parlamento Europeo y del Consejo recomienda ocho competencias clave para el aprendizaje matemático, entre estas se encuentra la competencia matemática formando parte del marco de prioridades sobre la formación y el aprendizaje de los ciudadanos de la unión. Define la competencia matemática como: “la habilidad para utilizar sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y fracciones en el cálculo mental o escrito con el fin de resolver diversos problemas en situaciones cotidianas”. El énfasis se sitúa en el proceso y la actividad, aunque también en los conocimientos. La competencia matemática entraña en distintos grados la capacidad y voluntad de utilizar modos matemáticos de pensamiento (pensamiento lógico y espacial) y representación (fórmulas, modelos, construcciones, gráficos y diagramas).
Conocimientos, capacidades y actitudes esenciales relacionados con esta competencia:
Las capacidades necesarias en el ámbito de las matemáticas incluyen un buen conocimiento de los números, las medidas y las estructuras, así de cómo las operaciones básicas y las representaciones matemáticas básicas en situaciones cotidianas de la vida privada y profesional, así como para seguir y evaluar cadenas argumentales. Deberían ser capaces de razonar matemáticamente, comprender una demostración matemática y comunicarse en el lenguaje matemático, así como de utilizar las herramientas de ayuda adecuadas.
Una actitud positiva en matemáticas se basa en el respeto de la verdad y en la voluntad de encontrar argumentos y evaluar su validez. (Comisión de las Comunidades Europeas, 2005, p.17)
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competencia son el razonamiento, la argumentación y el uso de sistemas de representación diversos; estas capacidades se vinculan con una actitud positiva hacia el valor de las matemáticas. La contextualización destaca la aplicación a las situaciones de la vida cotidiana, pero también la propia lógica interna y el dominio de las técnicas de razonamiento y de argumentación matemáticos.
El ministerio de educación proporciona la siguiente descripción normativa sobre la competencia matemática.
Consiste en la habilidad para utilizar y relacionar los números, sus operaciones básicas, los símbolos y las formas de expresión y razonamiento matemático, tanto para producir e interpretar distintos tipos de información como para ampliar el conocimiento sobre aspectos cuantitativos y espaciales de la realidad, y para resolver problemas relacionados con la vida cotidiana y con el mundo laboral.
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La competencia matemática implica una disposición favorable y de progresiva seguridad y confianza hacia la información y las situaciones (problemas, incógnitas, etc.) que contienen elementos o soportes matemáticos, así como su utilización cuando la situación lo aconseja, basadas en el respeto y el gusto por la certeza y en su búsqueda a través del razonamiento.
Esta competencia cobra realidad y sentido en la medida que los elementos y razonamientos matemáticos son utilizados para enfrentarse a aquellas situaciones cotidianas que lo precisan. Por tanto, la identificación de tales situaciones, la aplicación de estrategias de resolución de problemas, y la selección de las técnicas adecuadas para calcular, representar e interpretar la realidad a partir de la información disponible están incluidas en ella. En definitiva, la posibilidad real de utilizar la actividad matemática en contextos tan variados como sea posible. Por ello, su desarrollo en la educación obligatoria se alcanzará en la medida en que los conocimientos matemáticos se apliquen de manera espontánea a una amplia variedad de situaciones, provenientes de otros campos de conocimiento y de la vida cotidiana.
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De la anterior noción de competencia matemática surgen las siguientes ideas principales, primero señala que la competencia consiste en la habilidad para utilizar y relacionar los diversos conceptos y procedimientos matemáticos, con el fin de producir, interpretar, y expresar información en términos matemáticos, ampliar el conocimiento de la realidad, y abordar y resolver problemas. También, la competencia matemática incluye conocimientos matemáticos básicos y procesos de razonamiento, desde algoritmos de cálculo a elementos de lógica para establecer la validez de los razonamientos. Además la competencia matemática supone la capacidad de aplicar los conocimientos matemáticos a una variedad de situaciones y contextos. Y por último, incluye actitudes positivas, basadas en el rigor y la certeza que aportan los razonamientos bien hechos.
1.3.3 Sobre la Prueba Estandarizada Nacional – Icfes 11º
1.3.3.1 Razonamiento Cuantitativo. <Con la expresión “razonamiento cuantitativo” se designan “aquellas habilidades matemáticas con las que todo ciudadano debería contar, independientemente de su profesión u oficio, para poder desempeñarse adecuadamente en contextos cotidianos (…) Al hablar de razonamiento cuantitativo se hace referencia a un conjunto de competencias que resultan de un entrenamiento en algunas áreas de las matemáticas, y a la manera de aplicar esas matemáticas en contextos prácticos” (ICFES 2013).
En la prueba de Matemáticas que se ha aplicado desde la reforma de 2000 hasta la actualidad, una parte importante de las preguntas evalúa el razonamiento cuantitativo. Sin embargo, para consolidar el Sistema Nacional de Evaluación Estandarizada de la Educación, es crítico producir mediciones específicas del nivel de desarrollo del razonamiento cuantitativo en particular. Solo así se pueden obtener resultados directamente comparables con los del examen SABER PRO (que evalúa a los estudiantes próximos a terminar un pregrado) y establecer medidas de cuánto progresan los estudiantes gracias a la educación superior.
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razonamiento cuantitativo se enmarcan en situaciones propias de la vida cotidiana. Estas situaciones son usualmente de los siguientes tipos:
Financieras: Involucran el manejo de cifras relacionadas con dinero. Abarcan, entre otras, las siguientes categorías: flujos de caja, rentabilidad, rendimientos financieros, programas de ahorro, créditos, intereses, evaluación de riesgos y conversión de monedas.
De divulgación científica: Involucran información o resultados de tipo científico que son de interés general y no requieren de un conocimiento disciplinar avanzado. Comprenden, por ejemplo, fenómenos ambientales, climáticos, astronómicos, de salud, dinámicas de poblaciones, desarrollos tecnológicos, telecomunicaciones e informática.
Sociales: Involucran situaciones que enfrenta un individuo en su calidad de ciudadano. Por ejemplo, lo relacionado con: resultados electorales, impacto de programas políticos, indicadores económicos, flujos demográficos y eventos culturales.
Ocupacionales: Involucran actividades propias de un oficio determinado, que no requieran para su realización de conocimientos técnicos específicos. Se incluyen, en particular, situaciones propias del ámbito escolar o universitario.
1.3.3.3 Conocimientos. Los conocimientos que involucraría la prueba corresponden a los conocimientos matemáticos establecidos en los Estándares. En la siguiente tabla se presentan los conocimientos que serían evaluados sistemáticamente en la prueba de Matemáticas propuesta, clasificados como genéricos o no-genéricos.
Tabla 2. Conocimientos evaluados por el Icfes 11o
Tipo Conocimientos Genéricos Conocimientos No Genéricos
Numérico
Orden de números e intervalos Sucesiones y límites. Números racionales (representados como
fracciones, razones, números con
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variacional
Operaciones aritméticas (suma, resta, multiplicación, división y potenciación), composición de operaciones y uso de sus propiedades básicas.
Funciones polinomiales, racionales, radicales, exponenciales y logarítmicas.
Geométrico – métrico
Figuras geométricas básicas (triángulos, cuadrados, rectángulos, rombos, círculos, esferas, cubos). Relaciones de paralelismo y ortogonalidad entre rectas.
Figuras geométricas simples (polígonos, pirámides, elipses). Construcciones geométricas complejas. Métrico Magnitudes y unidades físicas (tiempo, peso, temperatura) Notación científica.
Aproximación y orden de magnitud
Métrico – variacional
Sistemas de coordenadas cartesianas bidimensionales.
Sistemas de coordenadas cartesianas tridimensionales y polares
Relaciones lineales. Representación gráfica del cambio. Razones de magnitudes: velocidad, aceleración, tasas de cambio,
tasas de interés, densidades.
Proporcionalidad directa e inversa.
Crecimiento polinomial y exponencial. Periodicidad
Numérico – aleatorio
Intersección, unión y contenencia entre
conjuntos Combinaciones y
permutaciones Conteos que utilizan principios de suma y
multiplicación.
Métrico – aleatorio
Promedio, rango estadístico. Medidas de tendencia central y dispersión. Azar y relaciones probabilísticas entre
eventos complementarios o
independientes.
Muestreo e inferencias muestrales.
Fuente: ICFES – 2014
1.3.3.4 Competencias. Para cada uno de los tipos de pensamiento presentados se evaluarían las competencias o acciones de la actividad matemática que se presentan a continuación. Estas involucrarían conocimientos tanto genéricos como no-genéricos.
o Interpretación y representación. Consiste en la capacidad de comprender y manipular
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adecuada); la representación gráfica y tabular de funciones y relaciones. Pueden requerirse cálculos o estimaciones simples.
o Formulación y ejecución. Consiste en la capacidad de establecer, ejecutar y evaluar
estrategias para analizar o resolver problemas que involucren información cuantitativa y objetos matemáticos. Incluye, entre otras cosas, modelar de forma abstracta situaciones reales; analizar los supuestos de un modelo y evaluar su utilidad; escoger y realizar procedimientos (entre los que se incluyen manipulaciones algebraicas y cálculos); evaluar el resultado de un procedimiento.
o Razonamiento y argumentación. Consiste en la capacidad de justificar juicios sobre
situaciones que involucren datos cuantitativos u objetos matemáticos (los juicios pueden referirse a representaciones, modelos, procedimientos, resultados, etc.) a partir de consideraciones o conceptualizaciones matemáticas. Incluye, entre otras cosas, construir o identificar argumentaciones válidas; usar adecuadamente ejemplos y contraejemplos; distinguir hechos de supuestos; reconocer falacias.
Estas competencias recogen los procesos propios de la actividad matemática planteados en los Lineamientos y los Estándares y son transversales tanto a las categorías de genérico y no-genérico como a los tipos de pensamiento matemático. En esta medida, en el examen se plantearían preguntas de Interpretación y Representación, Formulación y Ejecución, y Razonamiento y Argumentación, que involucrarían los conocimientos tanto genéricos como no-genéricos presentados en la tabla anterior.
1.4 COMPETENCIAS CIUDADANAS
La formación de competencias ciudadanas es un deber que se debe cumplir en las instituciones educativas como lo indica la Constitución Colombiana:
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y valores de la participación ciudadana. El estado divulgará la constitución. (Constitución Política de Colombia, 1991, Articulo 41).
Además el Artículo 1. Objeto de la ley. “La educación es un proceso de formación permanente, personal cultural y social que se fundamenta en una concepción integral de la persona humana, de su dignidad, de sus derechos y sus deberes”. (Ministerio de Educación Nacional. República de Colombia. Ley 115 de 1994, Articulo 1).
El país necesita formar personas, capaces de pensar bien, sensibles hacia los demás, justos, libres, autónomos, y con sentido de pertenencia a una comunidad, capaces de solucionar conflictos por vías pacíficas para construir una sociedad participativa y democrática. Las instituciones educativas deben ser el espacio idóneo para construir una cultura democrática y de convivencia. Las instituciones educativas son lugares privilegiados para practicar en ambientes reales las competencias ciudadanas. Las relaciones que se dan en la escuela pueden modelar un sistema social en el que todos aprenden a participar en la toma de decisiones e ir creando una verdadera cultura democrática y de convivencia. Las competencias ciudadanas brindan las herramientas básicas para que las personas puedan respetar, defender y promover los Derechos Humanos.
El desarrollo de las competencias ciudadanas le compete a todas las instancias de la institución escolar, a sus directivas y docentes. Todos los docentes deben contribuir a la formación ciudadana integrándola con la enseñanza de sus áreas académicas, mediante diversas dinámicas en el aula que generen actividades, reflexiones y discusiones valiosas para el desarrollo y practica de las competencias ciudadanas.
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Las competencias ciudadanas se pueden tipificar en cognitivas, emocionales, comunicativas, conocimientos e integradoras, y se pueden agrupar en convivencia y paz, participación y responsabilidad democrática, y pluralidad, identidad y respeto a la diferencia, todas giran en torno a los derechos humano como se representa el siguiente tabla.
Tabla 3. Las Competencias Ciudadanas GRUPOS TIPOS DE COMPETENCIAS CONVIVENCIA Y PAZ PARITICIPACIÓN Y RESPONSABILIDAD DEMOCRÁTICA PLURALIDAD, IDENTIDAD Y RESPETO A LA
DIFERENCIA COGNITIVAS
EMOCIONALES
COMUNICATIVAS DERECHOS HUMANOS
CONOCIMIENTOS INTEGRADORAS
Fuente. Ministerio de Educación Nacional y Asociación Colombiana de Facultades de Educación, (2005)
1.4.1 Grupos de Competencias Ciudadanas. Las competencias ciudadanas se pueden agrupar según su temática o campo de acción en convivencia y paz, participación y responsabilidad democrática; y pluralidad, identidad y respeto a la diferencia.
Convivencia y paz. Capacidad de las personas de establecer relaciones sociales y humanas de calidad, fundamentadas en el cariño, la empatía, la tolerancia, la solidaridad y el respeto por los demás.
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Pluralidad, identidad y respeto a la diferencia. Reconocimiento de una igual dignidad en todas las personas partiendo de la valoración de sus características de género, etnia, religión, cultura, grupo social, entre otros. Legitimar las particularidades y diversas formas de ser, vivir, creer y garantizar la igualdad de derechos.
1.4.2 Tipos de Competencias Ciudadanas. Las competencias ciudadanas se pueden tipificar en cognitivas, emocionales, comunicativas, de conocimientos e integradoras.
1.4.2.1 Cognitivas. Capacidad para realizar diversos procesos mentales, fundamentales en el ejercicio ciudadano, tales como la identificación de las consecuencias de una decisión, la descentración, la coordinación de perspectivas, la argumentación, la reflexión y el análisis crítico.
1.4.2.2 Emocionales. Habilidades necesarias para la identificación y respuesta constructiva ante las emociones propias y las de los demás. Como por ejemplo: la empatía, los sentimientos morales, y el juicio moral.
1.4.2.3 Comunicativas. Habilidades necesarias para establecer un diálogo constructivo con las otras personas. Se trata de establecer relaciones interpersonales recíprocas y equitativas por medio de la escucha activa y la expresión argumentada a través de diversos sistemas simbólicos (lengua, pintura, danza, etc.). También consiste en poder transformar nuestros propios puntos de vista ante argumentos más sólidos.
1.4.2.4 Conocimientos. Se refiere a la formación –teórica y práctica- que las personas deben saber comprender acerca del ejercicio de la ciudadanía. Tener conocimientos no implica participación, pero carecer de ellos limita e impiden el ejercicio de la ciudadanía. Conocimientos tales como los Derechos Humanos, la estructura del estado, son necesarios entre otros, para el ejercicio de la ciudadanía.
42 1.5 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Las organizaciones -y entre ellas los sistemas educativos- se han desarrollado durante décadas en una cultura que trató de forma muy particular los problemas que surgían en su administración. Encontrar una solución a los problemas consistía muchas veces en normalizarlos, es decir, tratarlos según las normas y la lógica que predominaba en el resto de la administración. Dicho en otros términos, dentro de esa cultura, los problemas eran un contratiempo para el funcionamiento normal. Sin embargo, la experiencia ha demostrado desde hace tiempo que esta paradoja de “normalidad” y de “irresolución” termina por atrapar y paralizar. La mayoría de las organizaciones educativas parece no aceptar las soluciones tradicionalmente implementadas. En un somero recorrido por los estilos más comunes para resolver las anomalías que se presentan, pueden identificarse algunos esquemas esenciales, entre ellos:
Confundir los síntomas con los problemas. Un problema no es generalmente lo que se manifiesta, así como la enfermedad no es la alta temperatura. Al confundir el problema con el síntoma, se contribuye a una simplificación de la situación. Esta lógica sintomática de tratamiento generalmente desemboca en soluciones apropiadas pero que operan entre falsos problemas, soluciones que terminan reaccionando muy negativamente sobre el problema subyacente.
Una metodología apropiada de resolución tendría que partir de trabajar en etapas que le permitan al equipo gestor comprender el problema: seleccionar los indicadores que lo registran objetivamente, delimitar su manifestación, estudiar su “historia”, analizar y sintetizar sus causas. La comprensión del problema permitirá abrir nuevas posibilidades de tratamiento, de innovación de procesos, de mejoramiento de los resultados y de aprendizaje organizacional. Sintéticamente, comprender un problema supone aprender sobre el problema.
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comprensión del problema, la administración termina sobre utilizando y descontextualizando una misma solución.
La falta de etapas que permitan crear una estrategia de intervención termina por tener un alto costo en términos de funcionamiento del sistema. Una solución que no esté relacionada con las causas puede generar nuevos problemas, es decir, reaccionar negativamente sobre el sistema en su situación inicial. De aquí que, incluso disponiendo de soluciones probadas, termine por desgastar y desacreditar buenas ideas de solución que son aplicadas a problemas que requieren otras estrategias.
Aplicar a todo tipo de problemas la misma solución. En muchos casos, da la impresión de que las organizaciones tienden a restringir la gestión de problemas a la búsqueda de una solución única, prediseñada. Este es un enfoque que ha intentado sobrevivir a los problemas. El presupuesto que fundamenta esta actitud es que las soluciones a un problema ya están creadas y que constituyen un conjunto finito, cerrado, archivable de instrumentos.
El mejoramiento continuo requiere posicionarse para innovar partiendo de los problemas, es decir, de las pérdidas de calidad, de los déficits, de las disfuncionalidades. El equipo gestor que busca el mejoramiento continuo transitará por etapas que le permitan idear alternativas de solución, combinar ideas en estrategias, decidir evaluando la eficacia y eficiencia de cada propuesta de solución para tratar el problema surgido.
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La mayor parte de las veces, por la propia naturaleza de los problemas educativos, es imprescindible construir estrategias interrelacionadas de resolución de problemas, que involucren en la decisión al equipo de gestión para asegurar una mayor parte de la compenetración en él y así mayor compromiso en implementar su resolución.
1.6 PROBLEMA
¿Qué es un problema? Como lo expresa el diccionario de la Real Academia Española, es un término de origen latino que proviene a su vez del griego y significa lanzar hacia adelante. Presenta además las siguientes acepciones: cuestión que se trata de aclarar, proposición o dificultad de solución dudosa; conjunto de hechos y circunstancias que dificultan la consecución de algún fin; proposición dirigida a averiguar el modo de obtener un resultado cuando ciertos datos son conocidos.
Los problemas nacen de un malestar, de la identificación de una dificultad o del entorpecimiento de una aspiración o necesidad. En la expresión de Fustier, (1989) todo problema humano nace de necesidades humanas; existe una estrecha relación entre necesidad y los problemas, porque estos no son evidentes en sí mismos. Ellos pueden presentarse en los resultados, en los procesos para obtener tales logros; pueden asimismo ser problemas de instrumentos, de organización, de estructuras, o estar relacionados con la formación, información, motivación o las competencias de las personas. Unos y otros son problemas que obstaculizan los logros de las acciones o propósitos (p. 14)
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Krulik y Rudnik, (1980) definen el problema como “una situación, cuantitativa o de otra clase, a la que se enfrente un individuo o un grupo que requiere solución, y para la cual no se vislumbra un medio o camino aparente y obvio que conduzca a la misma” (p. 2).
De las definiciones se infiere que un problema debe satisfacer los siguientes requisitos:
Aceptación. El individuo o grupo deben aceptar el problema, debe existir un
compromiso formal, que puede ser una motivación externa y/o interna.
Bloqueo. Los intentos iníciales no dan fruto, las técnicas habituales de abordar el problema no funcionan.
Exploración. El compromiso fuerza la exploración de nuevos métodos para abordar el problema.
También existe cierta polémica sobre la diferencia que hay entre ejercicio y un auténtico problema. Lo que para algunos es un problema, por falta de conocimientos específicos sobre el método o algoritmos de solución, para los que si los tienen es un ejercicio. Esta cuestión aunque ha sido planteada en varias ocasiones, no parece un buen camino para profundizar sobre la resolución de problemas.
Borasi, (1986), en uno de los primeros intentos en clarificar la noción de problema originada por su interés de mejorarla enseñanza de la resolución de problemas, utiliza los siguientes elementos estructurales para una tipología de problemas:
El contexto del problema, la situación en la cual se enmarca el problema mismo
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El conjunto de soluciones que pueden considerarse como aceptables para el problema
El método de aproximación que podría usarse para alcanzar la solución (p. 9).
Tales elementos estructurales pueden dar origen a la siguiente clasificación: Tabla 4. Clasificación de problemas
Tipo Contexto Formulación Soluciones Método Ejercicio Inexistente Única y
explícita Única y exacta Combinación de algoritmos conocidos Problema con texto
Explícito en el texto Única y explícita Única y exacta Combinación de algoritmos conocidos Puzzle Explícito en el
texto
Única y explícita
Única y exacta
Elaboración de un nuevo algoritmo Prueba de
una conjetura
En el texto y solo de forma
parcial Única y explícita Por lo general única, pero no necesariam ente Exploración del contexto, reformulación, elaboración de nuevos algoritmos. Problemas de la vida real
En el texto y solo de forma
parcial Parcialmente dada. Algunas alternativas posibles. Muchas posibles, de forma aproximada. Exploración del contexto, reformulación, creación de un
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Tipo Contexto Formulación Soluciones Método Situación
problemática
En el texto y solo de forma
parcial Implícita, se sugieren varias, problemática. Varias, puede darse una de forma explícita. Exploración del contexto, reformulación, platear el problema.
Situación En el texto y solo de forma
parcial Inexistente, ni siquiera implícita Creación del problema. Formulación del problema.
Fuente. García, (s.f.)
1.7 EL PROCESO DE RESOLUCIÓN DE UN PROBLEMA
Por parte de matemáticos, profesores de Matemática y de psicólogos se han hecho investigaciones que han estudiado desde distintos ángulos la resolución de problemas, en la búsqueda de un modelo que ayude a las personas en dicho proceso de solución. Desde el punto de vista de Psicología, se han realizado significativos aportes con relación a las operaciones y procesos de pensamiento que intervienen en la resolución y que requieren de atención por los docentes. El trabajo de los matemáticos y los profesores se ha centrado en la búsqueda de modelos que ayuden a encontrar los medios y la vía a seguir en la resolución de problemas.
En la enseñanza de la Matemática, dentro de los trabajos más relevantes se encuentran los realizados por Polya, Schoenfeld, de Guzmán, Jungk, entre otros. A continuación se muestran dichos modelos.
1.7.1 Modelo de Polya, (1945) para la Resolución de Problemas. Para Polya, (1945), la resolución de un problema consiste, a grandes rasgos, en cuatro fases bien definidas:
Comprender el problema
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¿Se ha encontrado con un problema semejante?
¿Conoce un problema relacionado con este?
¿Podría enunciar el problema de otra forma?
¿Ha empleado todos los datos?
Ejecutar el plan
¿Son correctos los pasos dados?
Examinar la solución obtenida
¿Puede verificar el resultado? ¿Puede verificar el razonamiento?
Las fases anteriores caracterizan claramente al resolutor ideal, competente. Cada fase se acompaña de una serie de preguntas, cuya intención clara es actuar como guía para la acción (p. 12).
1.7.2 Modelo de Schoenfeld para la Resolución de Problemas. Schoenfeld, (1985) inspirado en las ideas de Polya, diseña uno de los modelos más completos, sobre todo en estrategias heurísticas. En este modelo distingue también cuatro fases: análisis, exploración, ejecución y comprobación.
Las acciones a realizar en la fase de análisis son:
Trazar un diagrama si es posible.
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- Elegir valores especiales que sirvan para ejemplificar el problema.
- Examinar casos límites para explorar la gama de posibilidades.
- Asignar a los parámetros enteros que puedan figurar la secuencia de valores 0, 1, 2... y busca una pauta inductiva.
- Probar o simplificar el problema:
- Sacando partida de posibles simetrías o mediante razonamientos.
En la fase de exploración se debe:
- Examinar problemas esencialmente equivalentes:
- Por sustitución de las condiciones por otras equivalentes.
- Por recombinación de los elementos del problema de distintos modos. Introduciendo elementos auxiliares.
- Replanteando el problema mediante:
- Cambio de perspectiva o de notación.
- Considerando el razonamiento por contradicción o el contra - recíproco.
- Suponiendo que se dispone de una solución y determinando cuáles serían sus propiedades.
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- Elegir sub-objetivos (satisfacción parcial de las condiciones)
- Relajar una condición y tratar de volver a imponerla.
- Descomponer el problema por caso y estudiar caso por caso.
- Examinar problemas ampliamente modificados:
- Construir problemas análogos con menos variables.
- Mantener fijas todas las variables menos una para determinar qué efecto tiene esa variable.
- Tratar de sacar partido de problemas afines respecto a la forma, los datos o las conclusiones.
- Recordar que al manejar problemas afines más fáciles se debería sacar partido, tanto del resultado, como del método de resolución.
En la comprobación de la solución obtenida se indica: - ¿Verifica la solución obtenida los criterios específicos siguientes? - ¿Utiliza todos los datos pertinentes? - ¿Está acorde con predicciones o estimaciones razonables? - ¿Resiste a ensayos de simetría, análisis dimensional o cambio de escala? - ¿Verifica los criterios generales siguientes?
- ¿Es posible obtener la misma solución por otro método? - ¿Puede quedar concretada en casos particulares? - ¿Es posible reducirla a resultados conocidos? - ¿Es posible utilizarla para generar algo ya conocido?
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Zillmer y Horst Müller; consta de las siguientes etapas: Orientación hacia el problema, Trabajo en el problema, Solución del problema y Evaluación de la solución y la vía”. (Jungk, 1981, p.111). Por su importancia en el proceso de resolución de problemas, consideremos un breve análisis de las acciones principales de cada etapa.
Orientación hacia el problema. Esta etapa comprende la motivación del problema,
el planteamiento del problema y comprensión del enunciado del problema. El alumno comprende el enunciado del problema cuando es capaz de reproducirlo con sus propias palabras y analizar cuáles son sus componentes esenciales. Para comprender el enunciado del problema es necesario responder una serie de preguntas: ¿Determinan los datos la solución del problema?, ¿No son suficientes?, ¿Sobran?¿De qué se trata en el problema?, ¿Qué datos nos dan?, ¿Qué se busca?¿ Determinan los datos la solución del problema?, ¿Podría proponerse el problema de otra manera?, ¿Puede hacerse un esbozo o gráfico que esclarezca la situación?.
Trabajo en el problema. En esta etapa se precisa el problema, se analizan los
medios, y se busca una idea de solución. El encontrar una vía de solución un proceso de análisis para el cual se pueden sugerir algunas actividades como: - Formular las relaciones entre los datos y la incógnita. - Tratar de relacionar el problema con otro conocido y cuya solución sea más simple o inmediata. - Transformar o introducir una nueva incógnita, acercándola a los datos. - Transformar los datos, obtener (o deducir) nuevos elementos más próximos a la incógnita. - Recordar la solución de ejercicios análogos. - Analizar si se han tenido en cuenta todos los datos. Generalizar el problema, si es posible. - Analizar casos particulares. - Resolver problemas parciales (considerar solo una parte de las condiciones). - Hacer gráficos que ilustren las relaciones encontradas. Como se puede apreciar esta es la etapa principal para la solución de problemas, donde los alumnos deben poner en juego todos los conocimientos y habilidades adquiridos para resolver el problema.
Solución del problema. En esta etapa se ejecuta el plan de solución obtenido en la
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y se debe fundamentar la corrección de cada paso, realizar los cálculos necesarios, resolver ecuaciones, simplificar, transformar expresiones, etc.
Evaluación de la solución y la vía. Esta etapa comprende la comprobación de la
solución, la determinación del número de soluciones, se señalan casos especiales, posibilidad de transferir la vía de solución a otros ejercicios. En esta etapa es necesario plantearse preguntas como las siguientes: ¿Es lógico el resultado?, ¿Por qué?, ¿Es posible comprobar la solución?, ¿Cómo?, ¿Es posible resolver el problema por una vía más corta?, ¿Qué otro resultado se puede obtener por esta vía? Estas ideas constituyen una sucesión de indicaciones que ayudan a reflexionar, a buscar los medios matemáticos y la idea de solución.
1.7.4 Modelo de Miguel de Guzmán para la Resolución de Problemas. El modelo de de Guzmán, (1991), sobre las cuatro fases de Polya, orienta y anima al resolutor en los siguientes aspectos:
FAMILIARÍZATE CON EL PROBLEMA
- Trata de entender a fondo la situación
- Con paz, con tranquilidad, a tu ritmo
- Juega con la situación, enmárcala, trata de determinar el aire del problema, piérdele el miedo.
BÚSQUEDA DE ESTRATEGIAS
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- Experimenta
Hazte un esquema, una figura, un diagrama
- Escoge un lenguaje adecuado, una notación apropiada
- Busca un problema semejante
- Inducción
- Supongamos el problema resuelto
- Supongamos que no
LLEVA ADELANTE TU ESTRATEGIA
- Selecciona y lleva adelante las mejores ideas que se te hayan ocurrido en la fase anterior
- Actúa con flexibilidad.
- No te arrugues fácilmente.
- No te emperres en una idea.
- Si las cosas se complican demasiado, probablemente hay otra vía ¿Salió? ¿Seguro? Mira a fondo tu solución
REVISA EL PROCESO Y SACA CONSECUENCIAS DE ÉL
- Examina a fondo el camino que has seguido. ¿Cómo has llegado a la solución?
- O bien ¿por qué no llegaste?
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- Mira si encuentras un camino más simple.
- Mira hasta donde llega el método.
- Reflexiona sobre tu propio proceso de pensamiento y saca consecuencias para el futuro.
