Ejercicios Resueltos Cónicas

Las cónicas responden a la ecuación general del tipo F( x , y ) = 0 La ecuación general de una cónica es:

 0

min min

cos min

2

2 _{+ + + + + =}

nte independie o tér lineales os tér cuadráti

oc tér

F Ey

Dx Cy

Bxy

Ax_{    }

 (I)

Bxy término rectangular, cuando aparece este término significa la cónica esta rotada, en esta guía sólo vamos a ver B=0(sin termino rectangular)

CIRCUNFERENCIA:

• Definición: Es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto llamado Centro y esa distancia es el radio.

• Ecuación Canónica: (x− α )2 + (y− β )2 = r2

• Centro: (α ,β )

• Radio: r

• En (I) A=B

• Cuando en (I) aparece A=B es del tipo Circunferencia, pero puede degenerar en un punto o en no existe lugar geométrico.

1) 1.1 Halle y grafique el lugar geométrico de los puntos P(x,y)que distan 3 unidades de C(-2,3).

1.2 Traslade los ejes coordenados de forma tal que el nuevo origen de coordenadas sea C(-2,3).¿Cuáles son las coordenadas de C en el sistema trasladado?

1.3 Exprese la ecuación de la cónica que obtuvo en 1 tomando como referencia el sistema (Ci,j)

1.1 C(-2.3) r=3

Reemplazamos directamente en la ecuación canónica de la Circunferencia: 2

2

2 _{( )}

)

(x−α + y− β = r

(_x+ 2)2 ₊ (_y− 3)2 ₌ 9

1.2 Traslade los ejes coordenados de forma tal que el nuevo origen de coordenadas sea C(-2,3).¿Cuáles son las coordenadas de C en el sistema trasladado?

Las ecuaciones de traslación son:

  

− =

− =

β α

y y

x x

' '

donde (α ,β ) es el centro de la circunferencia

  

− =

+ =

3 '

2 '

y y

x x

1.3 Exprese la ecuación de la cónica que obtuvo en 1 tomando como referencia el sistema (Ci,j)

Reemplazando las ecuaciones de traslación en la ecuación canónica obtenemos: 9

' '2_{+ y}2₌ x

Directamente reemplazamos el centro y el radio en la ecuación canónica de la circunferencia: 2

2

2 _{( )}

)

(x−α + y− β = r

(_x− 3)2 ₊ (_y+ 4)2 ₌ 25 2.2 C(2,-1), pasa por el origen

En la ecuación canónica de la circunferencia reemplazamos el centro: 2

2

2 _{( )}

)

(x− α + y− β = r 2 2 2 _{( 1)} )

2

(x− + y+ = r

Como el origen pertenece a la circunferencia verifica la ecuación: 2

2 2 _{(0 1)} )

2 0

( − + + = r

2 1

4+ = r _r2 ₌ 5

5 ) 1 ( ) 2

(_x− 2 _{+ y+} 2 ₌

2.3 Su centro esta sobre el eje “Y”; que pasa por A(-1,1) y B(2,3) 2

2

2 _{( )}

)

(x− α + y− β = r

Como el centro esta sobre el eje “y”, cualquier punto del eje la componente x vale cero, reemplazando en la ecuación:

2 2

2 _{( )}

) 0

(x− + y− β = r (I) El punto A verifica la ecuación, reemplazamos en (I)

2 2 2 _{(1 )} )

0 1

(− − + − β = r

Lo mismo el punto B:_{(2− 0)}2 _{+ (3− β )}2 _{= r}2

   

= + − +

= + − +

) ( 6

9 4

) ( 2

1 1

2 2

2 2

II r

I r

β β

β β

Igualando (I) y (II)

2 2 _{13 6} 2

2− β + β = − β + β ⇒ 6β − 2β = 13− 2 ⇒ 4β = 11 ⇒

4 11

= β

Reemplazando el valor de 4 11

=

β en _{(−1− 0)}2 _{+ (1− β )}2 _{= r}2 2 2 ) 4 11 1 (

1+ − = r

2 16 49

1+ = r ⇒

16 65 2 ₌ r

Reemplazamos en (I) : _{(x− 0)}2 _{+ (y− β )}2 _{= r}2

16 65 ) 4 11

( 2

2.4 Su centro esta sobre la recta –2x + y = 0, que pasa por el origen y su radio es 5. Si el centro (α ,β )esta sobre la recta verifica la ecuación de la recta: y=2x ⇒ β = 2α Reemplazamos en la ecuación canónica de la circunferencia ⇒ β = 2α y r = 5

2 2

2 _{( )}

)

(x− α + y− β = r 5 ) 2 ( )

(_{x− α} 2 _{+ y− α} 2 _{= *}

Pasa por el origen (0,0) pertenece a la circunferencia: 5

) 2 0 ( ) 0

( _{− α} 2 _{+ − α} 2 ₌ 5

4 2

2_{+ α =}

α

5 5_α 2₌

1 2₌

α ⇒ α = 1 ∨ α = −1

Reemplazamos en *:

5 ) 2 ( ) 1

(_x− 2 _{+ y−} 2 _{= o (x+ 1)}2 _{+ (y+ 2)}2 _{= 5}

3) Analice si las siguientes ecuaciones representan circunferencias e indique, cuando sea posible, las coordenadas del centro y el valor del radio:

12 6 4 1

.

3 _x2 _{+ y}2 _{+ x− y=}

Completamos cuadrados, asociamos los términos en x e y: 12

) 6 ( ) 4

(_x2 _{+ x+ + y}2 _{− y+ =}

• Dividimos el coeficiente del término lineal por 2(ese valor va a ser el segundo término del binomio) y lo elevamos al cuadrado

• Ese término lo sumamos a ambos miembros para que no altere la expresión 9

4 12 ) 9 6 ( ) 4 4

(_x2 _{+ x+ + y}2 _{− y+ = + +} 25 ) 3 ( ) 2

(_x+ 2 _{+ y−} 2 ₌

Es una circunferencia de centro (-2,3) y radio 5 0

10 2 4 2

.

3 _x2 _{+ y}2 _{− x+ y+ =}

10 ) 2 ( ) 4

(_x2 _{− x+ + y}2 _{+ y+ = −}

1 4 10 ) 1 2 ( ) 4 4

(_x2 _{− x+ + y}2 _{+ y+ = − + +} 5

) 1 ( ) 2

(_x− 2 _{+ y+} 2 _{= −}

Si observamos tenemos dos términos elevados al cuadrado sumando, nunca nos puede dar un número negativo⇒ no existe lugar geométrico

0 10 6 2 3

.

3 _x2 _{+ y}2 _{− x+ y+ =} 10 ) 6 ( ) 2

(_x2 _{− x+ + y}2 _{+ y+ = −}

1 9 10 ) 9 6 ( ) 1 2

(_x2 _{− x+ + y}2 _{+ y+ = − + +} 0

) 3 ( ) 1

(_x− 2 _{+ y+} 2 ₌

El valor de x que hace cero el primer término es 1 y el valor de y que hace cero el segundo término es -3⇒ Es el punto (1,-3)

Como podemos observar en estas tres ecuaciones, los coeficientes de los términos cuadráticos son iguales, eran del tipo circunferencia, pero vimos que podían degenerar en un punto o no existe lugar geométrico.

4) ¿Para qué valores reales de k las siguientes ecuaciones representan: i) circunferencias

ii) puntos (escríbalos)

iii) ningún lugar geométrico real

0 2 1

.

4 _x2 _{+ y}2 _{+ kx+ =} Completamos cuadrados.

2 )

(_x2 _{+ kx+ + y}2 _{= −}

4 2 )

4 (

2 2

2

2 _kx k _y k

x + + + = − +

4 8 )

2 (

2 2

2 _{+ =} −

+ k y k

x

Circunferencia:

4 8 2 ₋ k

>0 ⇒ _k2 _> 8 ⇒ _k > ₈ ⇒ _k > _{2 2}

Punto: 4

8 2 ₋ k

= 0⇒ _k2 ₌ 8 ⇒ _k = ₈ ⇒ _k = _{2 2}

k =2 2 ⇒ P(- 2,0)

k = -2 2 ⇒ P( ₂,0)

No existe lugar geométrico: 4

8 2 ₋ k

<0 ⇒ k > 2 2

0 13 4 6 2

.

4 _x2 _{+ y}2 _{+ kx− y+ k =}

k y

y kx

x 6 ) ( 4 ) 13

( 2 _{+ + +} 2 _{− + = −}

4 9 13 ) 4 4 ( ) 9 6

(_x2 _{+ kx+ k}2 _{+ y}2 _{− y+ = − k+ k}2 ₊ 4

13 9

) 2 ( ) 3

(_{x+ k} 2 _{+ y−} 2 _{= k}2 _{− k + (*)} 4

13

9_k2 _{− k+ =0}

18 5 13 18

25

13± ₌ ±

=

k k = 1 k =

- _{Cualquier valor entre 9}4 y 1 que reemplace en (*) no da por resultado un valor negativo, los demás valores dan positivo.

k>1 ó k> 94 circunferencia k = 1 ó k = 94 Punto

k<1 y k> 94 no existe lugar geométrico

4.3 4_x2 ₊ 4_y2 ₋ 4_x+ 6_ky+ 4_k+ 1₌ 0

Asociamos los términos en x e y y en ambos casos sacamos factor común 4

1 4 ) 4

6 ( 4 ) (

4 _x2 _{− x+ + y}2 _{+ ky+ = − k−}

2 2

2 2

4 9 1 1 4 ) 16

9 2

3 ( 4 ) 4 1 (

4 x − x+ + y + ky+ k = − k− + + k

Tengamos en cuenta que al sumar 4 1

en el 1º miembro esta afectado por el 4, entonces en el 2º tengo que sumar

4 1

por 4. Lo mismo que el 16

9 k2

k k k

y

x 4

4 9 ) 4 3 ( 4 ) 2 1 (

4 ₋ 2 _{+ +} 2 ₌ 2 ₋

0 ) 4 4 9

( k− =

k

   

= =

9 16 0 k k

Puntos

    

− ⇒

= ⇒ =

) 3 4 , 2 1 ( 9

16

) 0 , 2 1 ( 0

k k

k>0 y k< 9 16

no existe lugar geométrico

k<0 o k> 9 16

circunferencia

5) Halle y grafique la ecuación de la circunferencia con centro en el punto O’=(2,3) y tangente:

5. 1 al eje de abscisas 5.2 al eje de ordenadas 5.3 a la recta t:-3x + y – 3 = 0

Reemplazamos el centro en la ecuación de la circunferencia 2

2

2 _{( )}

)

(x−α + y− β = r ⇒ _{(x− 2)}2 _{+ (y+ 3)}2 _{= r}2 El eje de abscisas es el eje x y su ecuación es y = 0

La intersección de la circunferencia con el eje x nos da por resultado un punto, planteamos el sistema:    = = + + − 0 ) 3 ( ) 2

( 2 2 2

y

r y

x

Reemplazamos en la ecuación de la circunferencia y = 0 2

2 2 _{(0 3)} )

2

(x− + + = r

Ten gamos en cuenta que la incógnita es x 2 2 _{4x 4 9 r} x − + + =

0 ) 13 (

4 2

2 _{− x+ − r =} x

Es una ecuación cuadrática, cuando la resolvemos aplicando la fórmula el discriminante ac

b2 ₋ 4

=

∆ nos puede dar positivo, negativo o cero 0

>

∆ son dos puntos

0 =

∆ un punto

∆ < 0 ningún punto

En nuestro ejercicio queremos que el eje sea tangente a la circunferencia, significa que hay un solo punto en común ⇒ ∆ = 0

0 ) 13 ( 4

16_{− −} 2 ₌

=

∆ r

0 36

4_r2 _{− = 4r}2 _{= 36 r}2 _{= 9}

9 ) 3 ( ) 2

(_x− 2 _{+ y+} 2 ₌ 5.2 al eje de ordenadas

Es exactamente igual que el ejercicio anterior pero teniendo en cuenta que el eje de ordenadas es el eje y y cuya ecuación es x = 0

   = = + + − 0 ) 3 ( ) 2

( 2 2 2

x r y x 2 2 2 _{( 3)} )

2 0

( − + y+ = r

2

2 _{6 9}

4+ y + y+ = r 0 ) 13 (

6 2

2 _{+ y+ − r =} y

⇒ ∆ = 0

0 ) 13 ( 4

36_{− −} 2 ₌

=

∆ r

0 16

4_r2 _{− = 4r}2 _{= 16}

4 2 ₌ r 4 ) 3 ( ) 2

(_x− 2 _{+ y+} 2 ₌ 5.3 a la recta t:-3x + y – 3 = 0

Despejamos de la ecuación de la recta y ⇒ y = 3x+3

Hallamos la intersección de la recta y la circunferencia, teniendo en cuenta que la intersección tiene que dar un solo punto

   + = = + + − 3 3 ) 3 ( ) 2

( 2 2 2

x y

r y

2 2 2 _{(3 3 3)} )

2

(x− + x+ + = r

2 2 2 _{(3 6)} )

2

(x− + x+ = r

_x2 ₋ 4_x+ 4₊ 9_x2 ₊ 36_x+ 36_{− r}2 ₌ 0 0

) 40 ( 32

10_x2 _{+ x+ − r}2 ₌

⇒ ∆ = 0 ⇒ 322 ₋ 4.10(40_{− r}2)₌ 0

0 40 1600

1024_{− + r}2 ₌ ⇒ _40r2 _{= 576} ⇒

5 72 2 ₌ r

5 72 ) 3 ( ) 2

(_x− 2 _{+ y+} 2 ₌ PARÁBOLA:

• DEFINICIÓN: Es el lugar geométrico de los puntos P(x, y) que equidistan de una recta fija llamada directriz y un punto fijo llamado foco.

• Vértice(α ,β )

• En la ecuación general de una cónica:_Ax2 _{+ Cy}2 _{+ Dx+ Ey+ F =} 0_{, para que sea del tipo} parábola A ó C tiene que ser cero

• Tengamos en cuenta que una parábola puede degenerar en un par de rectas, 1 recta o no existe lugar geométrico

• Eje focal paralelo al eje x  Vértice : (α ,β )

 Foco: , )

2 (p+ α β

 Directriz:

2 p y= −

 Lado recto: 2p  Eje focal: y = β

 Ecuación: (_{y− β} )2 ₌ 2_p(_{x− α} ) Eje focal paralelo al eje y:

 Vértice : (α ,β )

 Foco: )

2 , (α p+ β  Directriz:

2 p x= −

 Lado recto: 2p  Eje focal: x= β

 Ecuación :(_{x− α} )2 ₌ 2_p(_{y− β} )

6) Halle y grafique el lugar geométrico de los puntos P( x , y ) que equidistan: 6.1 del punto F(1,0) y de la recta x = -1

) ( 2 )

(_{y− β} 2 _{= p x− α}

y2 ₌ 2px _{por ser V(α ,β )= (0,0)}

F(1,0) ⇒ 1

2 =

p _⇒

p=2 ⇒ 2p=4

Reemplazamos en la ecuación ⇒ y2 = 4x 6.2 del punto F(0,-5) y de la recta y = 5.

Si analizamos como en el ejercicio anterior , concluimos que eje focal es coincidente con el eje y y que también el vértice es el origen

) ( 2 )

(_{x− α} 2 _{= p y− β} x2 ₌ 2py

F(0,-5) ⇒ 5

2 = −

p _⇒

p = -10 ⇒ 2p = -20

y x2 _{= −}20

7) Obtenga las ecuaciones de las siguientes parábolas: 7.1 V(0,0) , F(-2,0)

El foco esta sobre el eje x ⇒ eje focal x Como el vértice es el origen⇒ ecuación : y2 ₌ 2px

Foco(-2,0) ⇒ 2

2 = −

p _⇒

p = -4 ⇒ 2p = -8 ⇒ ⇒ ⇒

x y2 _{= −}8

7.2 V(0,0)pasa por P0(2,3) y su eje focal es el eje “x” px

y2 ₌ 2

Si pasa por el punto P0(2,3) verifica la ecuación ⇒ 32 = 2p.2 ⇒

2 9 2p=

⇒ y x

2 9 2 ₌

7.3V(-4,3)F(-4,1)

Si marcamos estos puntos concluimos que la parábola es de eje paralelo al eje y

⇒ (_{x− α} )2 ₌ 2_p(_{y− β} )

reemplazamos las componentes del vértice )

3 ( 2 ) 4

(_x+ 2 _{= p y−}

El foco es )

2 ,

(α p+ β =(-4,1)

Si a este par ordenado le restamos las componentes del vértice nos da p/2⇒ 2 2 = p _⇒

p = 4

⇒ 2p = 8

) 3 ( 8 ) 4

(_x+ 2 _{= y−}

7.4 Eje paralelo al eje x, V(1,3), que pasa por (-1,-1) Eje paralelo al eje x ⇒ (_{y− β} )2 ₌ 2_p(_{x− α} ) Vértice =(1,3) ⇒ (_y− 3)2 ₌ 2_p(_x− 1)

pasa por (-1,-1) verifica la ecuación: (₋1₋ 3)2 ₌ 2_p(₋1₋ 1)

16 = 2p(-2) ⇒ 2p = -8

⇒ (_y− 3)2 _{= −}8(_x−1)

8) Para cada una de las siguientes ecuaciones 8.1 2_x2 ₊ 5_y− 3_x+ 4₌ 0

8.2 _{y= x}2 ₋ 2_x+ 3 8.3 _{x= − y}2 ₊ 2_y− 7 se pide:

a) Completando cuadrados obtenga una ecuación del tipo )

( 2 ) ( ) ( 2 )

(_x−α 2 _{= p y− β ó y− β} 2 _{= p x− α}

b) Efectué una traslación conveniente para que el nuevo origen de coordenadas coincide con el vértice de la parábola.

c) Obtenga las coordenadas del foco y del vértice, la longitud del lado recto y las ecuaciones de la directriz y del eje focal(sugerencia: use las ecuaciones que caracterizan la traslación) .

d) Grafique

8.1 2_x2 ₊ 5_y− 3_x+ 4₌ 0

Completamos cuadrados, asociamos los términos en x y sacamos factor común 2 4

5 ) 2 3 (

2 _x2 _{− x+ = − y−}

8 9 4 5 ) 16

9 2 3 (

2 _x2 _{− x+ = − y− +}

8 23 5 ) 4 3 (

2 _x− 2 _{= − y−} ) 40 23 ( 5 ) 4 3 (

2 _x− 2 _{= − y+}

respuesta: a) )

40 23 ( 2 5 )

4 3

(_x− 2 _{= − y+}

Vértice : )

40 23 , 4 3

ecuaciones de traslación:

     

+ =

− =

40 23 '

4 3 '

y y

x x

reemplazando en la ecuación obtenida en a)

' 2 5

'2 _y

x = − respuesta b)

2p = 2 5

− p =

4 5

−

8 5 2 = − p

S(O’,x’,y’) S(O,x,y)

Vértice (0,0) ₎

40 23 , 4 3

( −

Foco

(0,- 8 5

) (34,− 2340− 58) Eje focal X’=0

x-4 3

=0 Directriz

Y’= 8 5

− Y+

40 23

= 8 5

−

Lado recto 2

5 ₂5 8.2 _{y= x}2 ₋ 2_x+ 3

a)

1 3 )

1 2

(_x2 _{− x+ = y− +} 2 )

1

(_x− 2 _{= y−}

b) ecuaciones de traslación que reemplazamos en la ecuación

  

− =

− =

2 '

1 '

y y

x x

' '2 _y x =

2p = 1 ⇒ p =

2 1

4 1 2 = p

S(O’,x’,y’) S(O,x,y) Vértice (0,0) (1,2) Foco

(0, 4 1

) (1,2+ 4 1 ) Eje focal X’=0

x-4 3

=0 Directriz

Y’= -4 1

Y-2= - 4 1

Lado recto 1 1

8.3 _{x= − y}2 ₊ 2_y− 7 7

2

1 7 )

1 2

(_y2 _{− y+ = − x− +} 6 )

1

(_y− 2 _{= − x−} a)(_y− 1)2 _{= −}(_x+ 6) b)

  

− =

+ =

1 '

6 '

y y

x x

⇒ _y'2_{= − x}'

2p = -1 ⇒ p =

-2

1 _⇒

4 1 2 = − p

S(O’,x’,y’) S(O,x,y) Vértice (0,0) (-6,1) Foco

(-4 1

,0) ( 4 25

− ,1)

Eje focal Y’=0 y-1=0

Directriz

x’= 4 1

x+6= 4 1

Lado recto 1 1

9) Halle la ecuación del arco parabólico de base b y altura h representado en la figura.

Como observamos en la figura de la guía es una parábola de eje paralelo al eje y, cuya ecuación es: (_x−α )2 ₌ 2_p(_{y− β} )_(I)

(0,0) pertenece a la parábola ⇒ (0_{− α} )2 ₌ 2_p(0_{− β} ) Vértice: (

2 b

,h) ⇒ ) 2 (0 )

2 0

( ₋ b 2 _{= p − h}

) ( 2 4

2

h p b

− =

2p = -h b 4 2

Reemplazando 2p y el vértice en (I)

) ( 4 )

2

( 2 2 _{y h}

h b b

x− = − −

ELIPSE:

• Definición: Es el lugar geométrico de los puntos P(x,y) tales que la suma a dos puntos fijos llamados focos es constante e igual a 2.a

• Semieje mayor: a , eje mayor: 2a

• Semieje menor: b , eje menor 2b

• Distancia focal: 2c

• Lado recto a b2 2

=

• Excentricidad a c

= (en la elipse <1)

• En la elipse siempre a > b

• _Ax2 _{+ Cy}2 _{+ Dx+ Ey+ F =} 0

Para que sea del tipo elipse el signo de A debe ser igual al signo de C

• Tengamos en cuenta que una elipse puede degenerar exactamente igual que una circunferencia, en un punto y no existe lugar geométrico

• Centro en el origen (0,0), Eje focal x  Vértices: (± a,0)

 Focos: (± c,0)

 Vértices secundarios:(0,±b)  Ecuación eje focal y = 0  Directrices

e a x= ±

 Ecuación canónica ₂ 1 2 2 2

= +

b y a x

• Centro en el origen (0,0), eje focal y  Vértices: (0,±a)

 Focos: (0,± c)

 Vértices secundarios:(±b,0)  Ecuación eje focal x = 0  Directrices

e a y= ±

 Ecuación canónica ₂2 + ₂2 = 1 a y b x

• Centro (α ,β ),eje paralelo al eje x  Vértices: (α ± a,β )

 Focos: (α ± c,β )

 Vértices secundarios:(α ,β ± b)  Ecuación eje focal y= β

 Directrices

e a x− α = ±

 Ecuación canónica ( ) ( ₂ ) 1 2 2

2

= − + −

b y a

x α β

• Centro (α ,β ), eje paralelo al eje y  Vértices: (α ,β ± a)

 Focos: (α ,β ± c)

 Directrices

e a y− β = ±

 Ecuación canónica( ) ( ₂ ) 1 2 2

2

= − + −

a y b

x α β

10) Para cada una de las siguientes elipses, halle los semiejes mayor y menor, las coordenadas de vértices y focos, y la excentricidad. Grafique.

10.1 9_x2 ₊ 16_y2 ₌ 144 10.2 3_x2 ₊ 2_y2 ₌ 6 10.32_x2 ₊ 3_y2 ₌ 11 10.1 9_x2 ₊ 16_y2 ₌ 144

Dividimos ambos miembros por 144 144 9

16 2 2

=

+ y

x

El denominador con mayor valor es _a2 2

a =16 ⇒ a = 4 semieje mayor

2

b = 9 ⇒ b = 3 semieje menor

2 2

2 _{b c}

a = + ⇒ _c2 _{= a}2 _{− b}2 ⇒ _c2_=16-9 ⇒ _{c = 7} Como a esta en el termino x , la elipse es de eje focal x

Vértices: (±4,0) Focos (± 7,0) excentricidad = 4

7

10.2 3_x2 ₊ 2_y2 ₌ 6

1 3 2

2 2

=

+ y

x

2

a =3 ⇒ a = 3 semieje mayor

2

b = 2 ⇒ b = 2 semieje menor

2 2

2 _{b c}

a = + ⇒ _c2 _{= a}2 _{− b}2 ⇒ _c2_=3-2 ⇒ _{c = 1}

Como a esta en el termino y , la elipse es de eje focal y

10.32_x2 ₊ 3_y2 ₌ 11

1 3 11 2 11

2 2

=

+ y

x

2 a =

2

11 _⇒

a = 2 11

semieje mayor

2 b =

3

11 _⇒

b = 3 11

semieje menor

2 2

2 _{b c}

a = + ⇒ _c2 _{= a}2 _{− b}2 ⇒ _c2₌

3 11 2 11

− ⇒ c =

6 11

Como a esta en el termino x , la elipse es de eje focal x

Vértices: ,0) 2 11

(± Focos ,0)

6 11 (±

excentricidad = 6 11

: 2 11

e =

11 2 . 6 11

e = 3 1

11) En cada caso halle la ecuación de la elipse que satisface las condiciones dadas: 11.1 V1,2(

±

±

11.2 Vértices(0,

±

11.3 Focos (0,

±

11.4 Ejes coincidentes con los ejes coordenados y pasa por (4,3) y (-1,4) 11.5 Focos(

±

11.1 V1,2(

±

±

Si marcamos estos elementos concluimos que la elipse tiene centro en el origen y eje focal x

⇒ ecuación: ₂ 1

2 2 2

= +

b y a x

a =5 y c = 4 que nos dan los vértices y los focos, que son datos Nos falta calcular b: _a2 _{= b}2 _{+ c}2

2 2

2 _{a c}

b = −

16 25 2 _{= −} b

1 9 25

2 2

=

+ y

x

11.2 Vértices(0,

±

Si ubicamos los vértices vemos que en el punto medio esta el centro (0,0) y el eje focal es el eje

y⇒ ₂ 1

2 2 2

= +

a y b x

La componente del vértice es a = 10

Por otro lado nos dan como dato la excentricidad ⇒

5 4

=

e ⇒

5 4

=

a c

Un error muy común es suponer que c=4 y a=5 ESTA MAL 5

4

=

a c

y a=10 ⇒ c a

5 4

= ⇒ 10

5 4

=

c ⇒ c=8

nos falta calcular el valor de b ⇒ _a2 _{= b}2 _{+ c}2 2

2

2 _{a c}

b = −

64 100 2 _{= −} b

b2₌₃₆

Reemplazamos los valores obtenidos en la ecuación: ₂2 + ₂2 = 1 a y b

x

1 100 36

2 2

=

+ y

x

11.3 Focos (0,

±

Con los focos deducimos que el centro esta en el origen y el eje focal y 1

2 2 2 2

= +

a y b

x

c = 4 dato del foco 5 4

=

e ⇒

5 4

=

a

c _⇒

a c

5 4

= ⇒ a c

4 5

= 4

4 5

=

a a = 5 Nos falta el valor de b ⇒ _a2 _{= b}2 _{+ c}2

2 2

2 _{a c}

b = −

16 25 2 _{= −} b

b2₌₉ 1 25 9

2 2

=

+ y

x

Con los ejes coincidentes con los ejes coordenados sabemos que el centro es el origen, pero dándonos dos puntos no sabemos si es de eje focal x o y

Suponemos que es de la forma ₂ 1 2 2 2 = + b y a x

y después vemos que pasa con la solución

Los puntos pertenecen a la elipse entonces verifican la ecuación:

(4,3) 4 3₂ 1

2 2 2 = + b

a ⇒ 1

9 16

2 2 + =

b

a ⇒ 1

9 16 2 2 2 2 = + b a a

b _⇒ 2 2

9

16b + a = 2 2

b a (I) (-1,4) (−1₂)2 + 4₂2 = 1

b

a ⇒ 1

16 1

2 2 + _b =

a ⇒ 1

16 1 2 2 2 2 = + b a a

b _{⇒ 1b}2 _{+ 16a}2_{= a}2_b2 _(II)

Igualamos (I) y (II): _16b2 _{+ 9a}2_=1b2 _{+ 16a}2 _15b2 _{= 7a}2 2 2

7 15

b a =

Reemplazamos en (II) 2 2 2 2 7 15 7 15 .

16 b b b

b + = sacamos factor común _b2 _{y dividimos por b}2

2 7 15 7 240

1+ = b

2 7 15 7 247 b = 15 7 . 7 247 2 ₌ b 15 247 2 ₌ b 2 2 7 15 b a = 15 247 7 15 2 ₌ a 7 247 2 ₌ a

Reemplazamos los valores obtenidos en ₂2 + ₂2 = 1 b y a x 1 15 247 7 247 2 2 = + y x

11.5Focos(

±

Con los focos deducimos que el centro es el origen y el eje focal es el x, también que c=3

1 2 2 2 2 = + b y a x 2 2

2 _{b c}

a = + _a2 _{= b}2 ₊ 9 _*

(4,1) verifica la ecuación : 16₂ + 1₂ = 1 a b 2 2 2 2

16b + a = a b reemplazando * 2

2 2

2 _{9 ( 9)}

0 9 8 2 4 _{− b − =} b

2 9 . 4 64 8

2 ₌ ± +

b

2 10 8 2 ₌ ± b

b2_{= -1 que no puede ser o b}2₌₉ Reemplazando el valor en _a2 _{= b}2 ₊ 9

18 2 ₌ a

Por último reemplazamos en la ecuación:

1 9 18

2 2

=

+ y

x

12) Para cada una de las siguientes elipses: 12.1_x2 ₊ 2_y2 ₋ 8_x+ 4_y= 0

12.2 9_x2 ₊ 8_y2 ₋ 54_x− 16_y+17₌ 0 se pide:

a) Completando cuadrados obtenga una ecuación del tipo 1

) ( ) (

2 2 2

2

= − + −

b y a

x α β

b) Efectué una traslación conveniente para que O’ coincida con el centro de la elipse. c) Obtenga las coordenadas de focos , vértices, la longitud del lado recto y las ecuaciones

de las directrices y del eje focal. 12.1_x2 ₊ 2_y2 ₋ 8_x+ 4_y= 0

Completamos cuadrados:

0 ) 2 ( 2 ) 8

(_x2 _{− x+ + y}2 _{+ y+ =}

2 16 0 ) 1 2 ( 2 ) 16 8

(_x2 _{− x+ + y}2 _{+ y+ = + +}

18 ) 1 ( 2 ) 4

(_x− 2 _{+ y+} 2 _{= dividimos por 18}

a) 1

9 ) 1 ( 18

) 4

( 2 2

= + +

− y

x

b)

  

+ =

− =

1 '

4 '

y y

x x

c) 1

9 ' 18

'2 2

=

+ y

x

18 2 ₌

a ⇒ a= 18 = 3 2 9

2 ₌

b ⇒ b = 3

2 2

2 _{b c}

2 1 2 3

3 ₌

=

e _{lado recto =} 4,24

2 3

9 . 2 2 2

≅ =

a b

S(O’,x’,y’) S(O,x,y)

Centro (0,0) (4,-1)

Vértices _{(±3 2,0) (4± 3 2,−1)}

Focos (± 3,0) (4± 3,-1)

Vértices Secundarios

(0,± 3) (4,± 3-1)

Eje focal Y’=0 Y = -1

Directrices x'= ±6 x− 4= ±6

12.2 9_x2 ₊ 8_y2 ₋ 54_x−16_y+17₌ 0 17 ) 2 ( 8 ) 6 (

9 _x2 _{− x+ + y}2 _{− y+ = −}

8 81 17 ) 1 2 ( 8 ) 9 6 (

9 _x2 _{− x+ + y}2 _{− y+ = − + +}

72 ) 1 ( 8 ) 3 (

9 _x− 2 _{+ y−} 2 ₌ 1 9

) 1 ( 8

) 3

( 2 2

= − +

− y

x

b)

  

− =

− =

1 '

3 '

y y

x x

c) 1

9 ' 8

'2 2

=

+ y

x

9 2 ₌

a ⇒ a = 3

8 2 ₌

b ⇒ b= 8= 2 2 2

2

2 _{b c}

a = + _c2 _{= a}2 _{− b}2 _c2 _{= 9− 8 c = 1}

3 1

=

e lado recto =

3 16 2 2

=

a b

S(O’,x’,y’) S(O,x,y)

Centro (0,0) (3,1)

Vértices (0,±3) (3,1± 3)

Focos (0,± 1) (3,1± 1)

Vértices

Secundarios (± 2 2 ,0) (3± 2 2 ,1)

Eje focal X’=0 X=3

13) Determine el lugar geométrico de los puntos que verifican: 0

) 32 4

9 )( 1

(_x2_{+ y}2_{− x}2 _{+ y}2_{− <}

) 0 32 4

9 0 1 (

) 0 32 4

9 0 1

(_x2 _{+ y}2 _{− > ∧ x}2 _{+ y}2 _{− < ∨ x}2 _{+ y}2 _{− < ∧ x}2 _{+ y}2 _{− >}

14) Determine los valores reales de A, B y C , para que la elipse 0

4_x2 _{+ y}2 _{+ Ax+ By+ C = sea tangente al eje de abscisas en el origen de coordenadas y pase} por el punto:

14.1 (-1,2) 14.2 (2,-1) 14.1 (-1,2)

0 4_x2 _{+ y}2 _{+ Ax+ By+ C =}

La elipse es tangente en el origen, significa que este pertenece.

(0,0) 4.0+0+A.0+B.0+C=0 ⇒ C=0

(-1,2) 4+4-A+2B=0 ⇒ A=2B+8

el eje de abscisas ⇒ y = 0

La intersección entre la elipse y el eje x, al ser tangente, nos da por resultado sólo un punto (igual que el ejercicio 5)

  

=

= + + + +

0

0

4 2 2

y

C By Ax y x

⇒ 4_x2 _{+ Ax=} 0

0 0

0 4

0 _⇒ 2 _{− = ⇒} 2 _{= ⇒ =}

=

∆ b ac A A

A=2B+8 ⇒ B = -4

Rta: A=C=0, B=-4

14.2 (2,-1)

0 4_x2 _{+ y}2 _{+ Ax+ By+ C =}

(0,0) 4.0+0+A.0+B.0+C=0 ⇒ C=0

(2,-1) 16+1+2.A-B=0 ⇒ B=2.A+17

  

=

= + + + +

0

0

4 2 2

y

C By Ax y x

⇒ 4_x2 _{+ Ax=} 0

0 0

0 4

0 _⇒ 2 _{− = ⇒} 2 _{= ⇒ =}

=

∆ b ac A A

B=2.A+17 B = 17

Rta: A=C=0, B=17

HIPÉRBOLA:

• Semieje transverso: a , eje transverso: 2a

• Semieje conjugado o imaginario: b , eje conjugado 2b

• Distancia focal: 2c

• Relación pitagórica de la Hipérbola : _c2 _{= a}2 _{+ b}2

• Lado recto a b2 2

=

• Excentricidad a c

= (en la hipérbola >1)

• En la hipérbola no siempre a > b

• _Ax2 _{+ Cy}2 _{+ Dx+ Ey+ F =} 0

Para que sea del tipo hipérbola el signo de A debe ser distinto al signo de C

• Tengamos en cuenta que la hipérbola puede degenerar en dos rectas concurrentes (que serían sus asíntotas)

• Centro en el origen (0,0), Eje focal x  Vértices: (± a,0)

 Focos: (± c,0)

 Vértices secundarios:(0,±b)  Ecuación eje focal y = 0  Directrices

e a x= ±

 Asíntotas x

a b y= ±

 Ecuación canónica ₂ 1 2 2 2

= −

b y a x

(término negativo relacionado con b)

• Centro en el origen (0,0), eje focal y  Vértices: (0,±a)

 Focos: (0,± c)

 Vértices secundarios:(±b,0)  Ecuación eje focal x = 0  Directrices

e a y= ±

 Asíntotas x

b a y= ±

 Ecuación canónica ₂ 1

2 2 2

= + −

a y b x

• Centro (α ,β ),eje paralelo al eje x  Vértices: (α ± a,β )

 Focos: (α ± c,β )

 Vértices secundarios:(α ,β ± b)  Ecuación eje focal y= β

 Directrices

 Asíntotas − β = ± (x− α ) a

b y

 Ecuación canónica ( ) ( ₂ ) 1 2 2

2

= − − −

b y a

x α β

• Centro (α ,β ), eje paralelo al eje y  Vértices: (α ,β ± a)

 Focos: (α ,β ± c)

 Vértices secundarios:(α ± b,β )  Ecuación eje focal x= α

 Directrices

e a y− β = ±

 Asíntotas − β = ± (x− α ) b

a y

 Ecuación canónica− ( − ₂ )2 + ( − ₂ )2 = 1 a

y b

x α β

15) Para cada una de las siguientes hipérbolas, halle las longitudes de los semiejes

transverso y conjugado, las coordenadas de vértice y focos, la excentricidad y las ecuaciones del eje focal, las directrices y las asíntotas. Grafique.

15.1 16_x2 ₋ 9_y2 ₌ 144

15.2 25_x2 ₋144_y2 ₊ 3600₌ 0 15.3 2_x2 ₋ 3_y2 ₋ 6₌ 0

15.1 16_x2 ₋ 9_y2 ₌ 144 1 16 9

2 2

= − y

x

eje focal x, con centro en el origen 3

9 2 _{= a=}

a semieje transverso 16

2 ₌

b b = 4 semieje conjugado 2

2

2 _{a b}

c = + _c2_{= 9+16 c = 5}

Vértices: (± 3,0) Focos: (± 5,0) A1,2(0,± 4) Excentricidad e =

3 5

eje focal y = 0 directrices x = ± 5 9

Asíntotas y =± 3 4

x

15.2 25_x2 ₋144_y2 ₊ 3600₌ 0 3600 144

25_x2 _{− y}2 _{= −} 1 25 144

2 2

= +

− x y hipérbola con centro en el origen y eje focal y 5

25 2 _{= a=}

144 2 ₌

b b = 12 semieje conjugado 2

2

2 _{a b}

c = + _c2_{= 144+25 c = 13}

Vértices: (0,± 5) Focos: (0,± 13) A1,2(± 12,0) Excentricidad e =

5 13

eje focal x = 0 directrices y = ± 13 25

Asíntotas y=± 12

5 x

15.3 2_x2 ₋ 3_y2 ₋ 6₌ 0 6

3 2_x2 _{− y}2 ₌

1 2 3

2 2

= − y

x

Hipérbola con centro en el origen y eje focal x 3

3 2 _{= a =}

a semieje transverso

2 2 ₌

b b = 2 semieje conjugado 2

2

2 _{a b}

c = + _c2_{= 3+2 c = 5}

Vértices: (± 3 ,0) Focos: (± 5 ,0) A1,2(0,± 2 ) Excentricidad e =

3 5

eje focal y = 0 directrices x = ±

5 3

Asíntotas y =±

3 2

x

16) En cada uno de los casos, obtenga la ecuación de la hipérbola que satisfacen las condiciones dadas:

16.1 Vértices(± 5,0) Focos (± 7,0) 16.2 Vértices(0, ± 7) e =

3 4

16.3 e = 5 , focos en el eje x, centro en el origen y pasa por (3,2) 16.4 Vértices(± 2,0) Asíntotas y =± 2x

16.5 Centro en (-1,4), F1(-1,2) V1(-1,3)

16.6 Asíntotas (2x-y = 0) y (2x + y = 0) y pasa por (3,2)

16.1Vértices(± 5,0) Focos (± 7,0)

A partir de los vértices y focos deducimos: hipérbola con eje focal x, centro en el origen , a = 5 y c = 7

Ecuación: ₂ 1

2 2 2

= −

b y a x

nos falta el valor de b 2

2

2 _{a b}

1 24 25

2 2

= − y

x

16.2Vértices(0, ± 7) e = 3 4

Con el vértice deducimos que es de eje focal y, con centro en el origen y a =7 1

2 2 2 2

= + −

a y b x

nos falta b

e= 3 4

a c

= 3 4

c= 3 4

a c=

3 4

7 c =

3 28

2 2

2 _{a b}

c = + _b2 _{= c}2 _{− a}2 _b2 _{= 49} 9 784₋

=

2 b

9 343

1 49 9 343

2 2

= +

− x y

16.3e = 5 , focos en el eje x, centro en el origen y pasa por (3,2) La ecuación tiene la forma: ₂ 1

2 2 2

= −

b y a x

e = 5

a c

= 5 c = 5 a

2 2

2 _{a b}

c = + _5a2 _{= a}2 _{+ b}2 _b2 _{= 4a}2

Reemplazando en la ecuación : 1

4 2 2 2 2

= −

a y a x

Y por último el punto (3,2) 1

4 4 9

2 2 − _a =

a 1

8 2 = a

2 a =8

2 2 _4a

b = _b2 ₌ 32

1 32 8

2 2

=

− y

x

16.4Vértices(± 2,0) Asíntotas y =± 2x

Al ubicar los vértices en los ejes deducimos que tiene eje focal x, centro en el origen y el valor de a = 2, la ecuación tiene la forma ₂2 − ₂2 = 1

b y a

x

Por otro lado la asíntota es y =± 2x donde 2 = a b

b= 2a b=4 reemplazando en la ecuación:

1 16 4

2 2

=

− y

16.5Centro en (-1,4), F1(-1,2) V1(-1,3)

En este ejemplo el centro no esta en el origen, y al ubicar el vértice y el foco vemos que es de eje focal paralelo al eje y, cuya ecuación es de la forma: ( ) ( ₂ ) 1

2 2

2

= − + − −

a y b

x α β

Centro (α ,β )=(-1,4) ( 1) ( ₂4) 1

2 2

2

= − + + −

a y b

x

Vértices: (α ,β ± a)=(-1,3) si al vértice le restamos el centro nos da el valor de a: a=1 Focos: (α ,β ± c)=(-1,2) si al foco le restamos el centro nos da c: c =2

Nos falta el valor de b: _c2 _{= a}2 _{+ b}2 _b2 _{= c}2 _{− a}2 _b2 _{= 4-1 b}2 _{= 3} 1

1 ) 4 ( 3

) 1

( 2 2

= − + +

− x y

16.6Asíntotas (2x-y = 0) y (2x + y = 0) y pasa por (3,2)

Si dibujamos las asíntotas deducimos que el centro es el origen, pero no sabemos si es de eje focal x o y , pero al marcar el punto que pertenece a la hipérbola deducimos que es de eje focal x

1 2 2 2 2

= −

b y a x

De la asíntota se deduce que: 2 = a b

b= 2.a, reemplazando en la ecuación 1 4 2

2 2 2

= −

a y a x

y por último el punto (3,2): 1

4 4 9

2 2 − _a =

a 1

8 2 = a

2 a =8

2 2 _4a

b = _b2 ₌ 32

1 32 8

2 2

=

− y

x

17) Para cada una de las siguientes ecuaciones que corresponden a hipérbolas: 17.1 2_x2 _{− y}2 ₋ 8_x− 2_y+ 3₌ 0

17.2 9_y2 ₋ 4_x2 ₋ 24_x− 36_y− 36₌ 0 se pide:

a) Completando cuadrados obtenga una ecuación del tipo 1

) ( ) (

2 2 2

2

± = − − −

b y a

x α β

b) Efectué una traslación conveniente para que O’ coincida con el centro de la hipérbola. c) Obtenga las longitudes de los semiejes transverso y conjugado, las coordenadas de

focos , vértices, la excentricidad las ecuaciones del eje focal y de las asíntotas. d) Grafique

Completamos cuadrados 3 ) 2 ( ) 4 (

2 _x2 _{− x+ − y}2 _{+ y+ = −} 1 8 3 ) 1 2 ( ) 4 4 (

2 _x2 _{− x+ − y}2 _{+ y+ = − + −} 4 ) 1 ( ) 2 (

2 _x− 2 _{− y+} 2 ₌

1 4 ) 1 ( 2 ) 2

( 2 2

= + − − y x    + = − = 1 ' 2 ' y y x x 1 4 ' 2

'2 2

= − y

x

=

2

a 2 ⇒ a = 2 semieje transverso 2

b =4 ⇒ b = 2 semieje conjugado 2

2

2 _{a b}

c = + _c2 ₌ 2₊ 4 _{c = 6}

excentricidad e = a c = 3 2 6 =

lado recto = 4 2

2 4 . 2 2 2 = = a b S(o’,x’y’) S(o,x,y)

Centro (0,0) (2,-1)

Vértices (± _{2 ,0)} (2± _{2 ,-1)}

Focos ₍± _{6 ,0)} (2± _{6 ,-1)}

A1,2 (0,± 2) (2,-1± 2)

Eje focal Y’=0 Y+1=0

asíntotas Y’=± _{2 x Y+1=}± _{2 (x-2)}

17.2 9_y2 ₋ 4_x2 ₋ 24_x− 36_y− 36₌ 0 36 ) 4 ( 9 ) 6 (

4 2 _{+ + +} 2 _{− + =}

− x x y y

₋ 4(_x2 ₊ 6_x+ 9)₊ 9(_y2 ₋ 4_y+ 4)₌ 36₋ 36₊ 36 ₋ 4(_x+ 3)2 ₊ 9(_y− 2)2 ₌ 36

1 4 ) 2 ( 9 ) 3

( 2 2

= − + +

− x y

   − = + = 2 ' 3 ' y y x x 1 4 ' 9

'2 2

= +

− x y

=

2

a 4 ⇒ a =2 semieje transverso 2

b =9 ⇒ b = 3 semieje conjugado 2

2

2 _{a b}

c = + _c2 ₌ 4₊ 9 _{c = 13}

excentricidad e = a c

= 2 13

lado recto = 9

S(o’,x’y’) S(o,x,y)

Centro (0,0) (-3,2)

Vértices (0,± 2) (-3,2± 2) Focos _(0,± _{13 ) (-3,2}± _{13 )}

A1,2 (± 3,0) (-3± 3,2)

Eje focal X’=0 X+3=0

asíntotas

Y’=±

3 2

x Y-2=±

3 2

(x+3)

18) Obtenga la ecuación canónica, identifique y grafique las siguientes cónicas: 18.1 4_x2 ₊ 9_y2 ₋ 16_x+ 72_y+ 124₌ 0

18.2 4_x2 ₋ 16_x+ 15₌ 0

18.3 4_x2 ₋ 4_y2 ₊16_x− 20_y− 9₌ 0 18.4 25_x2 ₋ 4_y2 ₊ 150_x− 8_y+129₌ 0 18.5 _x2 _{− y}2 ₋ 2_x− 4_y− 3₌ 0

18.6 _x2 _{+ y}2 ₊ 4_y+ 4₌ 0

18.1 4_x2 ₊ 9_y2 ₋ 16_x+ 72_y+ 124₌ 0 4(_x2 ₋ 4_x+ )₊ 9(_y2 ₊ 8_y+ )_{= −}124

4(_x2 ₋ 4_x+ 4)₊ 9(_y2 ₊ 8_y+ 16)_{= −}124₊ 16₊ 144 4(_x− 2)2 ₊ 9(_y+ 4)2 ₌ 36

1 4

) 4 ( 9

) 2

( 2 2

= + +

− y

x

Elipse con Centro (-2,4),eje focal // al eje x

18.2 4_x2 ₋ 16_x+ 15₌ 0

8

15 . 4 . 4 16

16_± 2 ₋

=

x

8 4 16± =

x

     

= =

2 3 2 5

x x

2 rectas //

18.3 4_x2 ₋ 4_y2 ₊16_x− 20_y− 9₌ 0 9 ) 5 ( 4 ) 4 (

25 16 9 ) 4 25 5 ( 4 ) 4 4 (

4 _x2 _{+ x+ − y}2 _{+ y+ = + −}

0 ) 2 5 ( 4 ) 2 (

4 _x+ 2 _{− y+} 2 ₌ 0

) 2 5 ( ) 2

(_x+ 2 _{− y+} 2 ₌

2 5

2 = +

+ y

x

x+2=y+ 2 5

ó

x+2=-y-2 5

2 1

− = x y

2 9

− −

= x

y 2 rectas concurrentes

18.4 25_x2 ₋ 4_y2 ₊ 150_x− 8_y+129₌ 0

129 )

2 ( 4 ) 6 (

25 _x2 _{+ x+ − y}2 _{+ y+ = −}

25(_x2 ₊ 6_x+ 9)₋ 4(_y2 ₊ 2_y+ 1)_{= −}129₊ 225₋ 4

25(_x+ 3)2 ₋ 4(_y+ 1)2 ₌ 92

₂₃ 1 ) 1 ( 25 92 ) 3

( 2 2

= + −

+ y

x

Hipérbola de eje transverso // al eje x con centro (-3,-1)

18.5 _x2 _{− y}2 ₋ 2_x− 4_y− 3₌ 0 3 ) 4 ( ) 2

(_x2 _{− x+ − y}2 _{+ y+ =}

4 1 3 ) 4 4 ( ) 1 2

(_x2 _{− x+ − y}2 _{+ y+ = + −} 0 ) 2 ( ) 1

(_x− 2 _{− y+} 2 ₌ 2

1 = +

− y

x

x-1 = y + 2 ó x-1= -y + 2

y = x-3 y = -x-1

2 rectas concurrentes

18.6 _x2 _{+ y}2 ₊ 4_y+ 4₌ 0 4 ) 4 ( 2

2 _{+ y + y+ = −} x

4 4 ) 4 4 ( 2

2 _{+ y + y+ = − +} x

0 ) 2

( 2

2 _{+ y+ =} x

19) 19.1 Para cada p>0 , la ecuación: p p y p

px2 ₊ ( ₊ 2) 2 ₌ 2 ₊ 2

representa una elipse. Determine (en función de p) la excentricidad y las coordenadas de los focos.

19.2 deduzca la ecuación cartesiana de la hipérbola que tiene los mismos focos que la elipse de la parte a), y que tiene excentricidad 3.

19.1 Para cada p>0 , la ecuación:

p p y p

px2 ₊ ( ₊ 2) 2 ₌ 2 ₊ 2

representa una elipse. Determine (en función de p) la excentricidad y las coordenadas de los focos.

) 2 ( )

2

( 2

2 _{+ p+ y = p p+} px

como p>0 podemos asegurar que p(p+2)≠ 0, podemos dividir por esta expresión 1

) 2 (

) 2 ( ) 2 (

2 2

= + + +

+ p p

y p p

p px

1 )

2 (

2 2

= +

+ p

y p

x

el mayor de los dos denominadores es p+2⇒ es de eje focal x, centro en el origen de coordenadas

=

2 a p+2

2 b =p

Para poder calcular el foco necesitamos el valor de c 2

2

2 _{a b}

c = − _c2 = _{p+2-p c}2 _{= 2}

2

=

c

Foco (± 2,0) excentricidad e =

2 2 2

2

+ = + =

p p

a c

19.2 deduzca la ecuación cartesiana de la hipérbola que tiene los mismos focos que la elipse de la parte a), y que tiene excentricidad 3.

Foco (± 2,0) e = 3

La hipérbola tiene centro en el origen y el eje focal es x, c= 2

e = 3 e= = 2 = 3

a a c

3 2 3 2 ₌

=

a

3 2 2 ₌ a

En la hipérbola _c2 _{= a}2 _{+ b}2 _b2 _{= c}2 _{− a}2 _b2 ₌

2-3 2

=

2 b

3 4

Reemplazando los valores obtenidos en la ecuación ₂ 1 2 2 2

= −

b y a x