UNIDAD II: ESTÁTICA LOS FLUIDOS
Objetivos de aprendizaje
Aplicar las ecuaciones básicas de la estática de los fluidos al igual que las ecuaciones de la Atmosfera Standard.
2.1 Estática de Fluidos
Mecánica de los fluidos, que no tienen movimiento, esto es, las partículas de fluido que no experimentan ninguna deformación, ya que no hay movimiento de una capa fluida relativa a una capa adyacente, no hay fuerzas cortantes en el fluido. Por tanto, todos los cuerpos libres en la estática de los fluidos tienen solo fuerzas de presión normal que actúan en sus superficies.
Presión en un Punto
Definición de Presión: Cantidad de fuerza ejercida sobre una unidad de área de alguna sustancia.
= ; Donde: = Fuerza; = Área
Unidades:
; ( ) ; = (
.
=.) =
Nota: aunque la unidad de longitud del sistema ingles es el pie, convine llevarlos a pulgadas quedando expresada en libras por pulgadas cuadradas (psi).
Leyes de Pascal:
1. La presión actúa en todas las direcciones de forma uniforme de un volumen pequeño de fluido.
Superficie del Fluido
Dirección de presión sobre las fronteras
Ejemplo
Un cilindro cerrado soporta una carga que pesa 500 N, sobre su embolo cuya área es de 2500 mm2. Calcule la magnitud de la presión del liquido bajo el embolo.
Diagrama conceptual: Según al definición:
= = 2500 ##500 ! $(10(1 #)& ##) = 0,20 $ 10( ! #⁄
= 0,20 *
Amplié esta información resolviendo:
o Calcule la masa de esta carga.
o Resuelva para una carga de 200 lb y un embolo de 25 pulg de diámetro.
2.2 Unidades y Escala de Medición de Presión
Datos para Medir la Presión: la medición de presión se debe hacer en relación con alguna presión de referencia.
Manométrica o Relativa: con la atmósfera como referencia.
Absoluta: cero absoluto, (vacio perfecto).
Una ecuación sencilla que relaciona ambos sistemas es:
+,-. = +/,0+ +,2/
345 =Presión Absoluta 63 =Presión Manométrica 376 = Presión Atmosférica
Para Comprender w=500 N
1. Un vacio perfecto es la presión más baja posible. Por tanto una presión absoluta siempre será positiva.
2. PMAN > PATM; siempre será positiva (+).
3. PMAN < PATM; siempre será negativa (-), y también se llama vacio. 4. PMAN se expresa en unidades Pa (man) ó psig.
5. PABS se expresa en unidades Pa (abs) ó psia.
6. La magnitud de la presión atmosférica varía con la ubicación y condiciones climáticas. La presión barométrica, como la que se emite en los reportes del clima, es un indicador de la variación continua de la presión atmosférica.
Diagrama: presiones, absolutas, manométricas, y de vacío.
2.3 Presión Atmosférica Estándar
Rango variación normal de PATM cerca de la tierra entre
95 kPa(abs) a 105 kPa (abs)
13,8 psia 15,3 psia
A nivel del mar
SI S. Ingles
101,3kPa(abs)
ó 14,69kPa (psia)
101kpa (abs) 14,7 psia
PVacio
PABS
PATM PATM
PMAN
PABS
PATM
Cero Absoluto
(Vacio completo) PABS = 0 14,7 psi 101,32 kPa 2.116 lb/pie2
29.92 inHg 33,91 ft.H2O
2.4 Variación de presión con la altura
Dentro de un tanque:
1. La presión en una superficie plan horizontal es constante debido a que la altura es constante también.
2. En las paredes la presión es creciente junto a la altura desplazada.
superficie de la sustancia
Por definición:
] = ^. _ = ^. `. a ] = ^. `. a
Si aplicamos el principio de la estática, que define que la sumatoria de fuerzas en un plano debe ser cero para que un cuerpo se encuentre equilibrio o reposo.
∑c = 0 Entonces:
Diagrama de cuerpo libre
Por definición:
∑c = − e− ]c = 0 donde:
] = sin f → ]]c c = ]. sin f y si,
= ` → = . `
e= e. ` h = . ` Entonces:
∑c = . ` – e. ` − ]. sin f = . ` – e. ` − (^. `. a). sin f ∑c = j(– e) − (^. a). sin fk`
∑c = j(– e) − (^. a). sin fk = 0
Se puede resumir que:
∆+ = (+r– +s) = tu. (v. wxy z)
De la ecuación anterior se puede extraer lo siguiente:
sin f = {|a = ℎ− ℎa e
Entonces el término:
a. sin f = a.ℎ− ℎa e = ℎ − ℎe
(+r– +s) = tu. (ℎ− ℎe) (+r– +s) = tuℎ− tuℎe Entonces:
(+r) = tuℎ → + = t
u . ~ (+s) = tuℎe
El cambio de presión depende solamente del cambio de elevación y el tipo de fluido. No del tamaño o forma del contenedor donde se encuentra el fluido.
Ejemplo: una columna de agua (H2O) tiene una altura de 42 m. ¿Qué presión genera en el fondo?
Según la definición
h2
θ
w ww w
θ h2 –h1
h1
2.5 FUERZAS DE UN FLUIDO EN REPOSO SOBRE SUPERFICIES PLANAS
En esta sección consideramos los efectos de la presión de un fluido, que actúa sobre superficies planas (lisas), en aplicaciones como las ilustradas. En cada caso, el fluido ejerce una fuerza que actúa en forma perpendicular a la superficie de interés. Según la definición fundamental:
= ; y la forma correspondiente = .
2.5.1 Superficies planas horizontales bajo fluidos
La figura muestra un tambor cilíndrico que contiene aceite y agua. En el fondo del tambor la presión del agua es uniforme en toda el área porque esta es una plano horizontal en un fluido en reposo. De nuevo para calcular la fuerza en el fondo utilizamos la formula = .
Ejemplo: Calcule la fuerza que actúa sobre el fondo del tambor.
= ^ . ℎ + 3 . ^ . ℎ3 + 376 = 9806 ! #⁄ &. j1,5 # + 0,9 . 2,4 #k + 0
= 35,8899
Entonces:
= → = . = (35,8899 ). . (3 #)
4
= r, 0
Siendo = la fuerza distribuida en el fondo del tambor, y entonces podemos decir que:
= ^. ℎ donde = ℎ =
= . = ^. ℎ . ` = ^. ℎ . `
` = ^. ℎ . `
2 = t. ~ . ,2
Y el área se corresponden a:
, = ,2 = ,-. - h
A B
C Po = γ.h
H2O Aceite Sg = 0,9
2,4 m
1, 5 m
2.5.2 Superficies planas verticales (Paredes Rectangulares)
El muro de contención de la figura es un ejemplo clásico de pared rectangular expuesta a una presión que varía desde cero, en la superficie del fluido, a un máximo en el fondo de la pared.
La fuerza real se distribuye sobre toda la pared, pero para el propósito del análisis es deseable determinar la fuerza resultante y el lugar en que actúa, el cual se denomina Centro de Presión. Es decir, Si toda la fuerza se concentra en un solo punto ¿Dónde estaría este punto y el cual sería la magnitud de la fuerza?
Esta figura muestra la distribución de la presión sobre el muro de contención vertical. Como lo indica;
= ^. ℎ
La presión varia de forma lineal (a manera de una línea recta) con la profundidad del fluido. Entonces la fuerza resultante () se calcula por medio de
= .
=Presión promedio = Área total del muro
Pero la presión promedio es la que se ejerce en la mitad del muro, y se calcula por medio de:
= ^. ℎ2 Entonces:
= tu.~r . ,
Triángulo de distribución de presión
El centro de presión está ubicado en el centroide del triángulo de distribución de presión a un tercio
de la distancia desde el fondo de la pared. En este punto se presume actúa la fuerza resultante. Centro de presión
h
h/3
h/2
FR
Ejemplo:
En la figura anterior el fluido es gasolina (sg = 0,68) y su profundidad total es de 12 pies. La pared tiene 40 pies de ancho. Calcule la magnitud de la fuerza resultante sobre la pared y la ubicación del centro de presión.
= . = ^. ℎ2 . = (0,68). 62,43 & . 12 2 . (12 . 40 )
= srr. ¡¡¡ ¢£
Centro de presión (Cp):
{ = ℎ3 = 12 3 = 4
Centro de presión 12
4 ft
6 ft
FR
2.5.3 Áreas planas sumergidas - En general
Estudiaremos un procedimiento que se aplica a problemas que tienen que ver con áreas planas, verticales e inclinadas, sumergidas por completo en el fluido.
Dimensiones y símbolos estándar manejados en el procedimiento.
Fuerza resultante sobre el área debido a la presión del fluido.
− El centro de presión del área es el punto en el que se considera que actúa la fuerza resultante.
− El centroide del área es el punto en donde el área estaría equilibrada si fuera suspendida desde el; es equivalente al centro de gravedad de un cuerpo solido.
f Angulo de inclinación del área.
ℎ¤ Profundidad del fluido desde la superficie libre al centroide del área.
a¤ Distancia del nivel de la superficie libre del fluido al centroide del área, medida a lo largo del ángulo de inclinación de esta.
a Distancia del nivel de la superficie libre del fluido al centro de presión del área, medida a lo largo del ángulo de inclinación de esta.
2.5.4 Desarrollo de relaciones
Fuerza resultante
= . = ^. ℎ.
` = ^. ℎ. (`)
Puesto que el área esta inclinada en ángulo f; es conveniente trabajar en su plano y podemos escribir:
~ = §. u¨ z
Donde § se mide a partir del nivel de la superficie libre de fluido, a lo largo del ángulo de inclinación del área. Entonces
` = ^. (h. ©f)(`)
Para obtener la suma de todas las fuerzas (`) en la superficie debemos integrar.
= ` = ^. (h. ©f)(`) = ^. ©f. h`
3 3
3
Por definición se sabe que ª h `3 es el producto del area total por la distancia al centroide desde el eje de referencia, es decir:
h. `
3 = a.
Por tanto,
= ^. (©f. a). (`)
Y podemos hacer la siguiente sustitución
θ
= t. (~). , Centro de presión
Es el punto donde se supone actúa la fuerza resultante (), en forma tal que tiene el mismo efecto que la fuerza distribuida en todo el área debido a la presión del fluido. Este efecto se expresa en términos del momento de una fuerza con respecto a un eje (S, perpendicular a la hoja)
Por definición, el momento de una fuerza equivale a:
* = . h
Si se aplica un diferencial de momento, queda:
`* = ` h
Donde se puede extraer del desarrollo de la fuerza resultante que:
` = ^. (h. ©f)(`)
Entonces al sustituir en la ecuación de momento:
`* = j^. (h. ©f). (`)k . h = ^. (©f). (h. `)
integrando, encontramos el momento de todas la fuerzas (`) sobre el área total;
`* = ^. (©f). (h. `) = ^. (©f) h. `
Por definición, momento de inercia(I) de toda un área con respecto al eje desde el punto que se mide, se define como ª h. `
¬ = h. `
/ = t. (u¨z).
Siendo esta última expresión el momento resultante, de la fuerza
* = . a® Entonces
a® = γ. (senθ). IF
° → = ^. (©f. a). (`)
a® = ^. (©f. aγ. (senθ). I ). (`)
v+ =(v . ,)
Según el teorema de transferencia del momento
¬ = ¬¤ + a¤
Donde ¬¤, es el momento de inercia del área de interés con respecto a su eje centroidal (depende la fig, geométrica)
a® = a® = a¬ ¤ =
¬¤+ a¤ a¤
a® =a¬¤ ¤ + a¤
A veces es conveniente conocer
a+ a¤ = a® = a¬¤ ¤
Continuando el desarrollo al crear una expresión para la profundidad vertical del centro de presión ℎ:
Observamos la relación siguiente.
ℎ = a.©f
ℎ¤ = a¤.©f
a¤ =©fℎ¤
ℎ
ℎ
= ©f ±a¬¤
¤3+ a¤² = ³ ¬¤ ℎ¤ ©f .
+©f´ ℎ¤
= ©f ±©f. ¬¬ ¤ ¤. +
ℎ =©f. ¬¤ ℎ¤. +
©f. ℎ¤ ©f
~µ= ~¶+¶. u¨ rz ~¶. ,
Ubicación o coordenadas del centro de presión
{= ·ℎ, a¸
Carga Piezométrica
En todos los casos presentados hasta el momento, la superficie libre del fluido a estado expuesta a la presión ambiental, en la que p=0 (manométrica). Por tanto, nuestros cálculos de la presión dentro del fluido también han sido presiones manométricas. Debido a que la presión ambiental también actúa fuera del área, resulto apropiado utilizar presiones manométricas para calcular la magnitud de la fuerza neta sobre las áreas de interés.
Si la presión arriba de la superficie libre del fluido es diferente de la presión ambiental fuera del área, es necesario hacer un cambio en nuestro procedimiento. Un método conveniente maneja el concepto carga piezometrica, donde la presión real sobre el fluido ¹se convierte en una profundidad equivalente de dicho fluido ℎ¹, lo cual crearía la misma presión.
ℎ¹ = ¹/^
Esta profundidad se agrega a cualquier profundidad ℎ por debajo de la superficie libre, a fin de obtener una profundidad equivalenteℎº.es decir,
ℎº = ℎ + ℎ¹
Entonces ℎºse maneja en cualquier cálculo que requiere una profundidad para determinar la presión, por ejemplo la presión equivalente al centroide es:
2.6 FUERZA DE UN FLUIDO EN REPOSO SOBRE UNA SUPERFICIE CURVA SUMERGIDA
Una manera de visualizar el sistema de fuerza total involucrada es aislar el volumen de fluido que está directamente arriba de la superficie de interés.
Diagrama de cuerpo libre de un volumen de fluido
Componente Horizontal () → =∑ dirección horizontal
e; es la fuerza resultante sobre la parte vertical izquierda y se analiza igual que las paredes verticales medida hasta una profundidad h.
¹; es la fuerza resultante sobre la pared vertical derecha y se analiza igual que las paredes verticales medidas hasta una profundidad h.
En este sistema e= ¹; por tanto no hacen ningún efecto (se contra restan).
La magnitud de ½; se encuentra bajo el mismo procedimiento desarrollado para superficies planas.
r = t. ~¶. , = ¾
ℎ¤; es la profundidad del centroide del área proyectada, para nuestro análisis el área proyectada es un rectángulo.
ℎ¤ = ℎ + 2⁄ ;
= = ] Donde: = es la altura de la proyección de la superficie curva
] = es la profundidad o ángulo del área proyectada
Entonces
= ^. (ℎ + 2)⁄ = ½ → ¾= t. u¿(~ + u r⁄ )
Ubicación de fuerza horizontal (): según las relaciones vistas
ℎ− ℎ¤ = ¦¬¤
¤ ; sin embargo para el área proyectada.
Para un rectángulo, el momento de inercia es
¬¤ = ]() & 12
y el área viene dada por
= . ]
ℎ− ℎ¤ = ÀÁ
e ℎ¤. ] =
]. & 12ℎ¤. ].
Componente vertical (FÂ)
à © `Ä© Å
↓ Hacia abajo solo actúa el peso del fluido.
↑ Solo actúa la componente vertical (È)
È = ÉÊËÌÍ → donde É = ^. _ É = _ = Volumen del fluido peso del fluido
Donde: el volumen es el producto del área de la sección transversal del volumen por la longitud o ancho de interés (])
Î = t. ,. ¿ Actúa en la línea del centroide del volumen
Fuerza resultante ()
= Ͼr+ Îr
La fuerza resultante actúa en un ángulo ∅ en relación con la horizontal en dirección tal que su línea de acción pasa por el centro de curvatura de la superficie
∅ = tanÑeÈ
FH
FV
Problema modelo: Para el tanque de la figura considere las siguientes dimensiones
he = 3.00m; h = 4.50m; w = 2.5m; γ = 9.806 kN m⁄ &(HO)
Calcule, È, , muestre en un diagrama estos vectores de fuerza.
1. Muestre el volumen sobre la superficie curva (Ò#. #)
2. Calculemos el peso del volumen aislado sobre la superficie curva.
É = È = ^. . ] = ^. _
Área total = 7 = e+ = ℎe. Ó +e
ÔÓ. . = (3 #)(1.5#)+ e
Ô(1.5).
7 = 6.267#
_ = 7. ] = (6.267#)(2.5#)
_ = 15.67#&
È Actúa hacia arriba a través del centroide del volumen
3. La ubicación del centroide se hace por medio de la técnica de Área Compuesta
Ö = e. Öe + .Ö
e + ; donde Öe = |. 75# h Ö = 0.424Ó
Ö → proviene del apéndice a: (para un cuadrante de circunferencia)
Ö = 0.424Ó = 0.424(1,50#) = 0.636#
Ö =(4.50#)(0,75#4.50#) + (1.767#+ 1.767#)(0.636#)→ × = ¡. ÕsØÙ
4. Profundidad al centroide del área proyectada es
ℎ¤ = ℎe+ 2 = 3# +1.5#2 → ℎ¤ = 3,75#
5. Magnitud de la fuerza
= ^. ℎ¤. = 9.806Á. (3.75#). (1,5#)(2.5#)
¾ = sØ. ¡ 0
6. La profundidad a la línea de acción de la componente horizontal
ℎ = ℎ¤ +
12 ℎ¤ = 3.75# +
(1.5#) (12)3.75# ~µ = . ØÙ
7. La fuerza resultante se calcula con.
= ÏÈ+ = Ú(153.7!)+ (138.0!)
= r¡. 0
8. El ángulo de inclinación de la fuerza resultante en relación con la horizontal
f = tanÑeÈ
= tanÑe153.7
9. Diagrama.
2.7 Fuerza sobre una superficie curva con fluido debajo de ella.
ÝÞ = t. u. ¿·~ + u r ¸
Î = t. (ßà¢áÙ¨) = t. ,. ¿
2.8 Fuerza sobre superficies curvas con fluido arriba y abajo
