3 PROGRAMACIÓN LINEAL (RESUELTOS)

PROGRAMACIÓN LINEAL

3

UNIDAD

11. Un autobús Madrid-París ofrece plazas para fumadores al precio de 100 euros y para no fumadores al precio de 60 euros. Al no fumador se le deja llevar 50 kg de peso y al fumador 20 kg. Si el autobús tiene 90 plazas y admite un equipaje de hasta 3000 kg, ¿cuál debe ser la oferta de plazas de la compañía para optimizar el beneficio?

12.El jefe de seguridad de un museo estudia combinar 2 nuevos sistemas antirrobo: cámaras de vigilancia en las salas y alarmas en puntos estratégicos del edificio. Se quiere utilizar un mínimo de 6 cámaras para cubrir con ellas las salas más importantes y un máximo de 15 cámaras, con las que quedarían todas las salas cubiertas. Igualmente, se necesitan al menos 6 alarmas para cubrir las más importantes entradas y salidas del edificio. Finalmente, se tiene un presupuesto máximo de 36000 euros, y cada cámara cuesta 1000 euros mientras que cada alarma cuesta 500 euros.

a) ¿Qué combinaciones de unidades de cada sistema se pueden instalar cumpliendo los requerimientos anteriores? Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones. ¿Podría instalar 7 cámaras y 59 alarmas?

b) Si el objetivo es colocar el mayor número de dispositivos entre cámaras y alarmas, ¿cuántos ha de colocar de cada modalidad? En ese caso ¿cuál será el coste total?

13.Un fabricante de abanicos dispone de dos modelos, Ay B. El modelo Arequiere, para su elaboración, 20 cm2de papel, 120 cm2 de lámina de madera y 1 enganche metálico. El modelo Brequiere: 60 cm2de papel, 80 cm2de lámina de madera y 1 enganche metálico. El coste de producción de cada modelo es 1,20 euros el Ay 1,30 euros el B. El precio de venta es de 1,80 euros cada uno, independientemente del modelo. Teniendo en cuenta que las existencias son de 3000 cm2de papel, 7200 cm2de lámina de madera y 70 enganches:

a) Representa la región factible.

b) Determina el número de abanicos de cada modelo que ha de fabricar para obtener un beneficio máximo. c) Calcula cuál es ese beneficio.

14.En la preparación de dos paquetes de café, C1y C2, se usa café brasileño y café colombiano. Cada paquete del tipo C1contiene 300 g. de café brasileño y 200 g. de café colombiano, y cada paquete del tipo C2contiene 100 g. de café brasileño y 400 g. de café colombiano. Con cada paquete del tipo C1se obtiene un beneficio de 0,90 euros y con cada paquete del tipo C2se obtiene un beneficio de 1,20 euros. Se dispone de 900 g de café brasileño y 1600 g. de café colombiano.

a) ¿Cuántos paquetes de cada tipo se han de preparar para obtener un beneficio máximo? b) ¿Cuál es este beneficio máximo?

15.Sea S la región del plano de coordenadas de valor mayor o igual que cero y tal que sus puntos cumplen que: (i) La media aritmética de las coordenadas es menor o igual que 5.

(ii) El doble de la abscisa más la ordenada es mayor o igual que 5. a) Representa gráficamente el conjunto S.

b) Determina en qué puntos de S la función f(x, y)= 2x + y toma el valor máximo.

16.Un banco dispone de 18 millones de euros para ofrecer préstamos de riesgo alto y medio, con rendimientos del 14% y 7%, respectivamente. Sabiendo que se debe dedicar al menos 4 millones de euros a préstamos de riesgo medio y que el dinero invertido en alto y medio riesgo debe estar a lo sumo a razón de 4 a 5, determinar cuánto debe dedicarse a cada uno de los tipos de préstamos para maximizar el beneficio y calcular éste.

17.Un tren de mercancías puede arrastrar, como máximo, 27 vagones. En cierto viaje transporta coches y motocicletas. Para coches debe dedicar un mínimo de 12 vagones y para motocicletas no menos de la mitad de los vagones que dedica a los coches. Si los ingresos de la compañía ferroviaria son 540 euros por vagón de coches y 360 euros por vagón de motocicletas, calcular cómo se deben distribuir los vagones para que el beneficio de un transporte de coches y motocicletas sea máximo y cuánto vale dicho beneficio.

18.Un fabricante de coches lanza una oferta especial en dos de sus modelos, ofreciendo el modelo Aa un precio de 9000 euros y el modelo Bun tercio más caro. La oferta está limitada por las existencias, que son 20 coches del modelo Ay 10 del By por el deseo de vender al menos tantas unidades del modelo Acomo del modelo B. Por otra parte, para cubrir gastos de esta campaña, los ingresos obtenidos con ella deben ser al menos de 36000 euros.

a) ¿Cuántos coches de cada modelo deberá vender para maximizar sus ingresos? b) ¿Cuál es el importe de la venta?

A c t i v i d a d e s

13 (a)

Sean x e yel número de plazas de fumadores y no fumadores que se ofertan.

Las plazas están sometidas a las restricciones siguientes:

Se representa la región factible:

Se calculan los vértices.

Los vértices A(0, 60) y C(90, 0) son inmediatos.

El vértice Bes la solución del sistema

Solución: B(50, 40)

Se trata de optimizar la función F(x,y) = 100x+ 60y

FA(0, 60) = 0·100 + 60·60 = 3600 euros.

FB(50, 40) = 50·100 + 40·60 = 7400 euros.

FC(90, 0) = 90·100 + 0·60 = 9000 euros.

El beneficio máximo se obtiene ofertando las 90 plazas a los fumadores.

Actividad 12

a) Sea xel número de cámaras e y el de alarmas que debe instalar para cumplir los objetivos.

Están sometidos a las restricciones:

El número de cámaras xque puede instalar será: 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 o 14.

El mínimo gasto en cámaras será si instala 7; por un importe de 7000 euros. Para instalar alarmas le quedan

36000 – 7000 = 29000 euros; que le permiten instalar hasta alarmas. Por tanto, no puede instalar 7 cámaras y 59 alarmas.

El máximo número de cámaras que puede colocar será 14, con un gasto de 14000 euros; lo que permite colocar

A partir de la figura que es un trapecio de área

La función objetivo que se desea maximizar es F(x, y) = x+y.

b)El máximo se encuentra en los vértices:

F(7, 45) = 7 + 58 = 65 ; F(14, 44) = 14 + 44 = 58.

Por tanto, se pueden colocar 65 dispositivos como máximo; de los que 7 deben ser cámaras y el resto 58 alarmas.

El coste total es: 7·1000 + 58·500 = 36000 euros.

A=(52 38 8+ ) =

2 360 posibilidades. 36000 14000

500 44

− _{= alarmas.}

29000 500 ≈58

6 15

6

1000 500 36000

< < <

+ ≤

⎧ ⎨ ⎪

⎩⎪

x y

x y

x y

x y

+ =

+ =

⎧ ⎨ ⎩

90

2 5 300

x y

x y

x y

x y

x y

x y

+ ≤

+ ≤

≥ ≥

⎧ ⎨ ⎪

⎩⎪

⇔

+ ≤

+ ≤

≥ ≥

⎧ ⎨ ⎪

⎩⎪

90

20 50 3000

0 0

90

2 5 300

0 0

; ;

A(0,60)

O(0,0)

C(90,0) B(50,40) 100

50

-50

-50 50 100 150

70

60

50

40

30

20

10

-10

Sean xlos abanicos del modelo Ae y los abanicos del modelo Bque se pueden fabricar.

Los abanicos se someten a las siguientes restricciones

a)Se calculan los vértices:

x= 70 – 40 = 30. Vértice B(30, 40)

y= 70 – 40 = 30. Vértice C(40, 30)

b) La función objetivo (beneficio = precio de venta menos el de producción) a maximizar será:

F(x, y) = (1,8x+ 1,8y) – (1,2x+ 1,3y) = 0,6x + 0,5y.

Se sustituyen los vértices en la función objetivo para ver cómo se logra el beneficio máximo

FA(0, 50) = 0,6·0 + 0,5·50 = 25 euros; FB(30, 40) = 0,6·30 + 0,5·40 = 38 euros;

FC(40, 30) = 0,6·40 + 0,5·30 = 39 euros; FD(60, 0) = 0,6·60 + 0,5·0 = 36 euros.

Se deben fabricar 40 abanicos del modelo A y 30 abanicos del modelo B.

c) El beneficio máximo es de 39 euros.

Actividad 14

Sea xel número de paquetes de C1e yel de C2que se pueden preparar.

Los paquetes están sometidos a las restricciones siguientes:

Se representa la región factible.

Se calculan los vértices:

Se sustituye en la primera ecuación: 6 +y= 9; y = 3. Vértice B(2, 3)

a)Se trata de optimizar la función objetivo F(x, y) = 0,9x+ 1,2y.

FA(0, 4) = 0,9·0 + 1,2·4= 4,8 euros; FB(2, 3) = 0,9·2 + 1,2·3 = 5,4 euros;

FC(3, 0) = 3·0,9 + 1,2·0 = 2,7 euros.

El máximo beneficio se obtiene fabricando 2 paquetes del tipo C y 3 del C.

3 9

2 4 16

x y

x y

+ =

+ =

⎧ ⎨

⎩ ⇒multiplicar por menos cuatro la primera y summar

− − = −

+ =

⎧ ⎨

⎩ ⇒ − = − =

12 4 36

2 4 16 10 20 2

x y

x y x ; x

300 100 900

200 400 1600

0

0

3 9

2 4 16

0

x y

x y

x

y

x y

x y

x

+ ≤

+ ≤

≥ ≥ ⎧

⎨ ⎪⎪

⎩ ⎪ ⎪

⇒

+ ≤

+ ≤

≥ yy≥ ⎧

⎨ ⎪⎪

⎩ ⎪

⎪ 0

3 2 180

70 40

x y

x y x

+ =

+ = ⎧

⎨

⎩ ⇒primera menos dos por segunda; =

x y

x y y y

+ =

+ = ⎧

⎨

⎩ ⇒ = =

3 150

70 primera menos segunda; 2 80; 40

20 60 3000

120 80 7200

70

0

0

2 6 300

12

x y

x y

x y

x

y

x y

+ ≤

+ ≤

+ ≤ ≥ ≥ ⎧

⎨ ⎪ ⎪⎪

⎩ ⎪ ⎪ ⎪

⇒

+ ≤

xx y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

+ ≤

+ ≤ ≥ ≥ ⎧

⎨ ⎪ ⎪⎪

⎩ ⎪ ⎪ ⎪

⇒

+ ≤

+ ≤

+ ≤ ≥

8 720

70

0 0

3 150

3 2 180

70

0

≥≥ ⎧

⎨ ⎪ ⎪⎪

⎩ ⎪ ⎪

⎪ 0

B(30,40)

C(40,30) A(0,50)

100

80

60

40

20

-20 D(60,0)

-20 20 40 60 80 100

10

8

6

4

2

-2

C(3,0)

4 -2 2 4 6 B(2,3)

A(0,4)

D(0,0)

Sean x e ylas coordenadas de la región S.

Estas coordenadas están sometidas a las restricciones siguientes:

Se representa la región factible.

Los vértices son inmediatos: A(0,5); B(0,10); C(10,0) y D(2,5,0)

Veamos donde la función f(x, y) = 2x+ytoma el valor máximo:

fA(x, y) = 2·0 + 5 = 5; fB(x, y) = 2·0 +10 = 10;

fC(10, 0) = 2·10 + 0 = 20; fD(2,5,0) = 2·2,5 + 0 = 5.

El máximo de la función fse encuentra en C(10,0) y su valor es 20.

Actividad 16

Sea x el dinero para préstamos de riesgo alto e ypara préstamos de riesgo medio.

Los riesgos están sometidos a las restricciones siguientes:

La gráfica de la región factible es:

Los vértices de la región factible son: A(0, 4) y B(0, 18); inmediatos.

Vértice C:

La función objetivo a maximizar es F(x, y) = 0,14x+ 0,07yy el valor

máxi-mo se encuentra en los vértices.

FA(0,4) = 0,14·0 + 0,07·4 = 0,28 millones de euros. FB(0,18) = 0,14·0 + 0,07·18 = 1,26 millones de euros.

FC(8,10) = 0,14·8 + 0,07·10 = 1,82 millones de euros. FD(3,2, 4) = 0,14·3,2 + 0,07·4 = 0,728 millones de euros.

Luego el máximo está en C(8, 10) y el valor máximo es 1.820.000 euros.

x y

x y x x x x

y C

+ =

− =

⎧ ⎨

⎩ ⇒ − − = ⇒ − = = =

= − =

18

5 4 0 5 4 18 0 9 72 0

72

9 8

18 8 10

( ) ; ;

; (88 10

4

5 4 0 5 16 0 3 2 3 2 4

, )

; , ; ( , , )

y

x y x x D

=

− =

⎧ ⎨

⎩ ⇒ − = =

x

y

x y

x y

x

y

x y

x y

≥ ≥ + ≤

≤ ⎧

⎨ ⎪ ⎪⎪

⎩ ⎪ ⎪ ⎪

⇒ ≥ ≥ + ≤

≤ ⎧

⎨ ⎪⎪

⎩ ⎪ ⎪

0

4

18 4 5

0

4 18

5 4

x

y

x y

x y

x

y

x y

x y

≥ ≥ + ≤

+ ≥ ⎧

⎨ ⎪ ⎪

⎩ ⎪ ⎪

⇒ ≥ ≥ + ≤

+ ≥ ⎧

⎨ ⎪⎪

⎩ ⎪ ⎪

0

0

2 5

2 5

0

0

10

2 5

B(0,10)

a(0,5)

C(10,0)

D(2,5, 0) -6 -4 -2 2 4 6 8 10 12

+

+ D(3,2, 4) C(8,10)

A(0,4) B(18,0)

20

15

10

5

-5

Sea xel número de vagones para transportar coches e yel número de vagones para transportar motocicletas.

Estos valores están sometidos a las restricciones siguientes:

La grafica de la región factible es:

Los vértices de la región factible son:

La función objetivo que se desea maximizar es F(x, y) = 540x+ 360y ;

el valor máximo se encuentra en los vértices de la región factible:

FA(12, 6) = 540·12 + 360·6 = 8160 euros.

FB(12, 15) = 540·12 + 360·15 = 11880 euros. FC(18, 9) = 540·18 + 360·9 = 12960 euros.

El beneficio máximo se presenta en C18 vagones para transportar coches y 9 vagones para transportar motocicletas;

el beneficio máximo será de 12.960 euros.

Actividad 18

Sea xlos modelos de coches del tipo Ae ylos del tipo Bque deben venderse para cumplir los objetivos.

Los modelo están sujetos a las restricciones siguientes:

La gráfica de la región factible será:

Los vértices de la región factible son; D(20, 0) y E(4, 0) son inmediatos.

Vértice A:

Vértice B: Vértice C:

Precio del modelo B= 9000 + 1/3·9000= 12000 euros.

La función objetivo que se desea maximizar es F(x, y) = 9000x+ 12000y.

FA(1,71, 1,71) = 9000·1,71 + 12000·1,71 = 35910 euros;

F_B(10, 10) = 9000·10 + 12000·10 = 2100000 euros F_C(20, 10) = 9000·20 + 12000·10 = 300000 euros;

FD(20, 0) = 9000·20 + 12000· 0 = 180000 euros FE(4, 0) = 9000·4 + 12000·0 = 36000 euros.

a) Para maximizar beneficios se deben vender 20 coches del modelo Ay 10 coches del modelo B.

y

x y B

= − = ⎧ ⎨

⎩ ⇒

10

0 ( ,10 10)

x

y C

= = ⎧ ⎨

⎩ ⇒

20

10 ( ,20 10)

x y

x y x x A

− =

+ =

⎧ ⎨

⎩ ⇒ = = ≈

⎛

⎝⎜ ⎞⎠⎟

0

9 12 36 21 36

36 21 1 71

36 21

36 21

; , ; ,

0 20

0 10

9000 12000 36000

0 20

0 10

0

≤ ≤ ≤ ≤ ≥

+ ≥

⎧

⎨ ⎪⎪

⎩ ⎪ ⎪

⇒

≤ ≤ ≤ ≤ − ≥ x

y

x y

x y

x

y

x y

99x+12y≥36

⎧

⎨ ⎪⎪

⎩ ⎪ ⎪ x

y x A

x

x y y y B

x y

= = ⎧ ⎨

⎩ ⇒

= + = ⎧ ⎨

⎩ ⇒

{

+

12

2 12 6

12

27 12 27 15 12 15

( , )

; ; ( , )

== = ⎧ ⎨

⎩ ⇒

{

27

2y x 2y y 27 y 9; x 18; C( , )18 9

x y

x

y x

x

x y

x

y x

x + ≤

≥ ≥ ≥ ⎧

⎨ ⎪ ⎪

⎩ ⎪ ⎪

⇒

+ ≤ ≥

≥ ≥ ⎧

⎨ ⎪⎪

⎩ ⎪ ⎪

27 12

2 0

27 12

2

0

B(12,15)

C(18,9) A(12,6)

30

20

10

-10

-5 5 10 15 20 25 30

C(20,10) D(20,0) E(4,0) A(36/21,·36/21)

B(10,10) 20 15 10 5 -5 -10