R
esuelve
Página 239
Función derivada
■Continúa escribiendo las razones por las cuales g (x) es una función cuyo comportamiento
respon-de al respon-de la respon-derivada respon-de f (x).
• En el intervalo (a, b ), f (x) es decreciente. Por tanto, su derivada es negativa. Es lo que le pasa a g (x) en (a, b ).
• La derivada de f en b es 0: f ' (b ) = 0. Y también es g (b ) = 0.
• En general:
g (x) = f ' (x) = 0 donde f (x) tiene tangente horizontal.
g (x) = f ' (x) > 0 donde f (x) es creciente. g (x) = f ' (x) < 0 donde f (x) es decreciente.
y = f (x)
y = g(x) = f'(x) a
b
a
b
■Las tres gráficas de abajo, A, B y C, son las funciones derivadas de las gráficas de arriba, 1, 2 y 3,
pero en otro orden. Explica razonadamente cuál es la de cada una.
1) B 2) A 3) C
La derivada se anula en los puntos de tan-gente horizontal, es positiva donde la función es creciente, y es negativa donde la función decrece.
A 1
B 2
1
Derivada de una función en un punto
Página 241
1 Halla, paso a paso, las derivadas siguientes:
a) 4x – x 2 en x 0 = 3
b) x 3 en x 0 = 2
c)
x
1 en x0 = 2
d) (x – 3)2 en x 0 = 1
a) (f 3+h –h) f( )3 = 4 3( +h –) (h3+h –)2 3 12 4= + h – – h – h –9 6h 2 3 =–h –2
f ' (3) = l mí
80 h
( ) ( )
f 3 f 3 h h –
+ = l mí
80
h (–h – 2) = –2
b) f(2+h –h) f( ) (2 = 2+h –h)3 8 8 12 6= + h+ hh2+h –3 8 =h2+6h+12
f ' (2) = l mí8
0 h
( ) ( )
f 2 f 2 h h –
+ = l mí
80 h (h
2 + 6h + 12) = 12
c) f(2 ) f( )2 2 – ( ) 1
2 1
2 12 h
h –
h h
h–
+ = + =
+
f ' (2) = l mí8
0 h
( ) ( )
f 2 f 2 h h –
+ = l mí
80
h 2(h1+2) =– 41
d) f(1+h –h) f( ) (1 = 1+h –h3)2–4 = (h –2h)2–4 =h –4
f ' (1) = l mí8
0 h
( ) ( )
f 1 f 1 h h –
+ = l mí
80
h (h – 4) = – 4
2 Halla, paso a paso, la derivada lateral f ' (0+) de f (x) = x y justifica la respuesta.
Si h > 0, f(0 h –h) f( )0 hh 0 1 h –
+ = =
l mí8
0 h
( ) ( )
f 0 f 0 h h –
+ = l mí
80
h 1h = + ∞ → No existe f ' (0+).
3 ¿Qué condición debe cumplir una función, f, para ser derivable en el intervalo [1, 5)?
Página 243
4 Estudia la derivabilidad en x0 = 3 de la función:
f (x) = ,
,
x x x
x x
3 3
3 9 3
– ≤
– >
2 *
• Continuidad en x0 = 3: ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
l m f x l m
l m f x l m l m f x f x x
x
3 0
3 9 0 3 0
– –
í í
í í í
8 8
8 8 8
x x
x x x 3
3 3 3 3 2 – = = = = = = + _ ` a bb b
Por tanto, f (x) es continua en x0 = 3. • Derivabilidad en x0 = 3:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
' '
' '
l m f x l m x f l m f x l m f
2 3 3 3 3 3 3 – í í í í 8 8 8 8 x x x x 3 3 3 3 – – = – = = = = = +
+ +
4
Las derivadas laterales existen y coinciden.
Por tanto, f (x) es derivable en x0 = 3. Además, f ' (3) = 3.
5 Estudia la derivabilidad en x0 = 0 de la función:
f (x) = *–xx22+–52xx++33,, xx>≤00
• Continuidad en x0 = 0: ( ) (
( ) ( ( )
) )
l m f x l m
l m f x l m l m f x x x
x x
5 3 3
2 3 3 3
– –
í í
í í í
8 8
8 8 8
x x
x x x
0 0
0 0 0
2 2 – = – = = + = + + = + + _ ` a bb
b . Además, f (0) = 3.
Por tanto, f (x) es continua en x0 = 0. • Derivabilidad en x0 = 0:
f ' (x) =
( ) ( ) '( ) ( ) ( ) '( ) ' ' 8 x x x x
l m f x l m x f
l m f x l m x f
2 5 0
2 2 0
2 5 5 0
2 2 2 0 – si – si – – – í í í í < > 8 8 8 8 x x x x 0 0 0 0 – – – + = = = = + = = + + + Z [ \ ]] ]
*
Las derivadas laterales son finitas pero no coinciden. Por tanto, no es derivable en x0 = 0.
6 Estudia la derivabilidad de la siguiente función en x = 0:
f (x) = *– –x,x, xx≤>00
• Continuidad en x0 = 0: ( ) ( )
( ) ( ) ( )
l m f x l m
l m f x l m l m f x x x 0 0 0 – – í í í í í 8 8
8 8 8
x x
x x x
0 0
0 0 0
– = – = = = = + + _ ` a bb
b . Además, f (0) = 0.
Por tanto, f (x) es continua en x0 = 0.
• Derivabilidad en x0 = 0:
( ) ∞
'
8
x x l m f x l m x
21– si <0 x8í 0– =x8í 0–21– = +
7 Calcula m y n para que f (x) sea derivable en :
f (x) = ,
,
x mx
x n
x x
5 0
0 –
–
≤ >
2
2+ +
*
• Si x ≠ 0, la función es continua y derivable, pues está formada por dos polinomios. • Continuidad en x = 0:
( ) ( )
( )
l m f x l m x mx l m l m
f
5 5
0 5
–
í í
í í
8 8
8 8
x x
x x
0 0 2
0 0 2
– = + =
=
+ f x( )= (–x + =n n) _
`
a b bb b b
Para que f (x) sea continua en x = 0, ha de ser: n = 5. • Derivabilidad en x = 0:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
' '
' '
l m f x l m x m m f l m f x l m x f
2 0
2 0 0 – – –
í í
í í
8 8
8 8
x x
x x
0 0
0 0
–
– = – = =
= = = +
+ +
4
3
Reglas de derivación
Página 247
1 Utiliza las reglas de derivación para calcular la derivada de cada una de las siguientes funciones:
a) f (x) =
x x
1 1 –
+ b) f (x) = 1 –1+xx
c) f (x) = ln
xx
1 1 –
+ d) f (x) = tg x
tg x
1 1 –
+
e) f (x) =
tg x tg x
1 1 –
+ f) f (x) = ln etg x
g) f (x) = 3x+1 h) f (x) = log(sen x·cosx)2
i) f (x) = tg 2 x + sen 2 x j) f (x) = sen x+1·cos x–1
k) f (x) = arc sen x l) f (x) = sen x(3 5–2 x+32x)
m) f (x) = sen x x+ 2+ n) 1 f (x) = cos23x+(3 –x)2
a) f ' (x) =
( ) ·( ) ( )· ( ) ( ) x x x x x x x 1
1 1 1 1
1 1 1
1 2
– – – – – – –
2 2 2
+
+ =
+ + = + b) Utilizamos el resultado obtenido en a):
f ' (x) = ·
( ) ( )( )
xx x x x
2 11 1
1 2 1 1
1
– – 2 – – 3
+ +
=
+
c) Utilizamos el resultado obtenido en a):
f ' (x) = ·
( ) ( )( ) ( )
xx x x x
x
x
1
11– 1–2 2 1––2 11 2 1––22
+ +
=
+ + =
De otra forma: Si tomamos logaritmos previamente: f (x) = ln (1 – x) – ln (1 + x). Derivamos:
f ' (x) = x x
x x x
x
1––1 – 1+1 = – – –1 1– 12+ = 1––22
d) f ' (x) =
( )
( )( ) ( )·( )
tg x
tg x tg x tg x tg x
1
1 1 1 1
– – – 2 2 2 + + + + = = ( ) ( )[ ] ( ) ( ) tg x
tg x tg x tg x
tg x tg x
1
1 1 1
1 2 1 – – – – 2 2 2 2 + + + = + +
De otra forma: Si tenemos en cuenta el resultado obtenido en a):
f ' (x) =
( ) · [ ] ( ) ·( ) ( )
( )
tg x D tg x tg x tg x tg x tg x
1 2 1 2 1 1
2 1
– – –
2 2 2 2
2
+ = + + = +
+
e) Teniendo en cuenta el resultado obtenido en d):
f ' (x) =
( )
( )
( )( )
( )
tg x
tg x tg x tg x
tg x tg x tg x
f ) f (x) = ln etg x=lne(tg x 2)/ = tg x2
f ' (x) = 1+tg x22
g) f (x) = 3x+1=3(x+1 2)/
f ' (x) = 3(x + 1)/2 · ·ln ln · 2
1 3
23 3x 1
= +
h) f (x) = log(sen x·cosx)2=2[log(sen x+log cos( x)]
f ' (x) = 2<sen xcosx · ln110 + –cossen xx · ln110F= ln210· cossen x2x sen x–·cos2x =
= ln410· cos2sen x2x sen x–·cos2x = ln410 · cossen x22x = ln104·tg x2
De otra forma:
f (x) = log(sen x·cosx)2=2logdsen x22 n
f ' (x) = 2· ln110 · (sen xcos2 22x)/ = ln104·tg x2
i) f ' (x) = 2tg x D tg x· [ ]+2sen x D sen x· [ ]=2tg x·(1+tg x2 )+2sen x·cosx=2(tg x tg x+ )+2sen x·cosx
j) f ' (x) = cos ·cos ·( )
x x
x sen x
x sen x
2 1 1
2 1 1
1 1
–
– – –
+
+ + + =
= cos ·cos ·
x x
x sen x
x sen x
2 1 1
2 1 1
1 – 1
–
– –
+
+ +
k) f ' (x) = ·
x x x x
11– 21 = 2 1– 2
l) f ' (x) = cos x( x x)· x
x x
3 2 2 15 1
3 2
– –
5 3 4
2 3 3
+
f
+p
m) f ' (x) = ·(cos ) cos
sen x x x x sen x x x x
2 1
1 2
2 1
2
2 2
+ + + = + +
+
n) f ' (x) = ( ) · ( ) ·
( ( )) ( )·( )
cos x x sen x x
x x x
2 3 3
3 1 2 3 1
– – –
– – – 2
3 3 2
2 2 3
+ +
+
+ =
: D
=
( ) )
( ) ( ) ( )
( ( ) ) ( ) ( ( ) )
cos
x x
x x sen x x x
x x x sen x x
3 3
2 3 3 2 5
3 3
5 2 2 3
–
– – – · –
–
– · –
2 2 3
2
3 3 2
2 2 3
2 3
+
+ + =
+ +
2 Halla las derivadas primera, segunda y tercera de las siguientes funciones:
a) y = x 5 b) y = x cos x c) y = sen 3 x + cos 2 x + x
a) y = x 5 → y' = 5x 4; y'' = 20x 3; y''' = 60x 2
b) y = x cos x → y' = cos x – x sen x
c) f ' (x) = 3sen x D sen x2 · [ ]+2cosx D· [cosx]+ =1 3sen x2 ·cosx–2cosx sen x· +1
f '' (x) = 6sen x·cosx–3sen x sen x2 · +2sen x2 –2cos2x=6sen x·cos2x–3sen x3 +2sen x
f ''' (x) = 6cosx·cos2x+6sen x·2cosx D· [cosx]–9sen x D sen x2 · [ ]+4sen x D sen x· [ ]–4cosx= =6cos3x–12sen x2 ·cosx–9sen x2 ·cosx+4sen x·cosx+4cosx sen x· =
=6cos3x–21cosx sen x· 2 +8cosx sen x·
3 Calcula f ' (1) siendo:
f (x) =
x x x e
2 35 3 ·2 3
4
f (x) = ·
· ·
· · · · · · ·
x x e
x
x x e e x x
x e
2 3 2 3
3
2 3
2 9 3
/ /
/ / / / / /
2
5 4 1 5 2 5
1 2 1 3 1 3 4 2 15 4 13 30 15 13 30
3 4
= = =
f ' (x) = 1593·e4 · 3013 x–17 30/ = 13 91560·e4 30x17
Por tanto: f ' (1) = 13 91560· e4
4 Calcula f ' b lπ6 siendo:
f (x) = (cos 2 3x – sen 2 3x) · sen 6x
f (x) = (cos23x sen x sen x– 23 )· 6 =cos6x sen x sen x· 6 = 212
f ' (x) = 12 cos212x =6 12cos x
Por tanto: f ' c m6π =6·cos 126π =6·cos( )2π =6 1 6· =
5 Calcula f ' (0) siendo:
f (x) = ln x x 1 arc tg x
3 1
3
2 1
– ·
2+ + +
f (x) = ln x x 1 arc tg x ln(x x ) arc tg x
3 1
3 2 1
2
1 1
3 1
3 2 1
– –
2+ + + = 2+ + +
f ' (x) =
x xx x
2 1
1 2 1
3 1
1 3 2 1
3 2
· 2 – · 2
+ ++
+ + =
e o
·
x x x x x
2 2 21 2 32 1
3 4 4 1
1 –
2++ + 2
+ + + =
= ·
x x x x x x x x x x
2 2 21 2 32 3 4 4 1 3
2 2 21 2 4 24 4
– –
2++ + + 2+ + = 2++ + 2+ + =
=
x x x x x x xx x xx
4
Derivada de una función conociendo la de su inversa
Página 249
1 Halla ( f –1)' (x) a partir de f ' (x):
a) f (x) = x 2 – 1, x ∈ [1, 3] b) f (x) = x 3
a) y = x2–1 8 x y= 2–1 8 y= x+1 8 f –1( )x = x+1
[ ( )] ï ( ) 8 · [ ] 8 [ ]
f f x x x x x D x D x
x
1 1 2 1 1 1 1
2 1 1 –
1 2
– = + = + + = + =
+ b) f –1( )x =3x
[ ( )] ( ) ( ) [ ] [ ]
( )
ï 8 8
f f x x x x x D x D x
x x
3 1
3 1 3 1
1 3 3 3 2 3 3
3 2 3 2
– = = = = =
2 f (x) = tg x, x ∈ π π, 2 2 –
b l. Halla ( f –1)' ( 3) de dos formas:
a) Obteniendo, previamente, ( f –1)' (x). b) Directamente.
a) f –1 (x) = arc tg x
[ ( )] ï ( ) 8 [ ( )] [ ] 8
f f–1 x =x tg arc tg x =1 1+tg arc tg x D arc tg x2 · =1 → ( x ) D arc tg x[ ] 8 D arc tg x[ ]
x
1 1
1 1 ·
2
2
+ = =
+ ( f –1)' ( )3
1 31 2 41 =
+ =
b) f –1( )3 =arc tg( )3 = π3
( ) ( )'
' π π
f
f tg
3 41
3 1
1 3
1 1
2
– = = =
+
c m c m
5
Derivada de una función implícita
Página 250
1 Halla la tangente (o las tangentes) a las curvas siguientes en el punto que se indica: a) 3x 2 – 5xy + 2y 2x – y 3 – 27 = 0, en x
0 = 3
b) sen (x 2 y) – y 2 + x = 2 – π
16
2
, en ,2 π 4
b l
c) (x – 2)2 + (y + 1)2 = 25, en x 0 = 5
a) Calculamos las ordenadas de los puntos de abscisa x0 = 3.
3x 2 – 5xy + 2y 2x – y 3 – 27 = 0 → 27 – 15y + 6y 2 – y 3 – 27 = 0 →
→ –15y + 6y 2 – y 3 = 0 → y (–15 + 6y – y 2) = 0 → y = 0
Derivamos:
6x – 5y – 5xy' + 4xyy' + 2y 2 – 3y 2y' = 0 → y' =
x xy y x y y
5 4 3 6 5 2
– –
– –
2 2
+
+ → x = 3, y = 0 → y' = 15 18
5 6 – – =
La recta tangente es:
y = 0+ 56(x–3)
b) Como sabemos las dos coordenadas del punto, ,c2 π4m, derivamos:
sen x y( 2 )– y2+ =x 2– 16π 82 cos(x y xy x y2 )(2 + 2 ')–2yy'+ =1 0 8
→ x=2, y= π 84 cosπ π·( +4y')– π2y'+ =1 0 8 π– –4y' – 2πy'+ =1 0 8
→ y' = – –4π–( / )π12 = 2 2π–+8π
La ecuación de la recta tangente es:
y = π4 + 2 2π–+8π(x –2)
c) Calculamos las ordenadas de los puntos de abscisa x0 = 5.
(x – 2)2 + (y + 1)2 = 25 → 9 + (y + 1)2 = 25 → y = –5, y = 3
Derivamos:
2(x – 2) + 2(y + 1)y' = 0 → y' = 2 –y+1x → , ,
'
'
8
8
x y y
x y y
5 5 2 55 1 43
5 3 2 53 1 43
– – –
– –
= = = + =
= = = + =
*
En este caso hay dos rectas tangentes:
6
Derivación logarítmica
Página 251
1 Halla la función derivada de las funciones siguientes:
a) f (x) = (cos x + 1)x2 – 1 b) g (x) =
x2x–1 sen x
3 2
c) h (x) = (cos x)ex 2 + 1
a) ln f (x) = (x 2 – 1) ln (cos x + 1) →
( )( ) ( ) ( )·
' ln cos 8
cos f x
f x x x x
x sen x
2 1 2–1 – 1
= + + +
→ f ' (x) = (cosx+1)x2–1=2xln cos( x+1) (– x2cos–1x)+sen x1 G
b) ln g (x) = ln [ ln ln( ) ln( )]
xx sen x x x sen x
2 1
1 21 3 1 2
– – –
2
3 2 2
= +
f p
( )
( ) ( )
' cos 8 ' cos
g x g x
x x x sen xx g x xx sen x x x x sen xx
2 1 3
1 2 2
2 1
1 3 2 1 2 –
– – – –
2 2
3
2
= e + o = e + o
c) lnh x e( )= x2+1ln cos( x) 8 h xh x'( )( ) =ex2+1·2x· (ln cosx e)+ x2+1· –cossen xx 8
8
Diferencial de una función
Página 257
1 Calcula Δy, dy, Δy – dy : a) y = x 2 – x para x
0 = 3, dx0 = 0,01
b) y = x2–1 para x
0 = 2, dx0 = 0,1
c) y = x3 para x0 = 125, dx0 = 1
a) Δy = y (3,01) – y (3) = 6,0501 – 6 = 0,0501
dy = y' · dx = (2x – 1) · dx, que evaluado en x0 = 3 y dx0 = 0,01 es:
5 · 0,01 = 0,05 Δy – dy = 0,0001
b) Δy = y(2,1) – y (2) = 1,8466 – 1,7321 = 0,1145
dy = y' · dx =
x x
1 –
2 · dx, que evaluado en x0 = 2 y dx0 = 0,1 es:
· , , 3
2 0 1 0 1155=
Δy – dy = –0,001
c) Δy = y (126) – y (125) = 5,01330 – 5 = 0,01330
dy = y' · dx =
x
3 1
2
3 · dx, que evaluado en x0 = 125 y dx0 = 1 es:
751 1 0 01333· = ,
Δy – dy = –0,00003
2 A una bola de bronce de 7 cm de radio se le da un baño de plata de 0,2 mm de grosor. Calcula la cantidad de plata empleada (aproximadamente, a partir de la diferencial).
V = 34 π r 3
dV = 4π r 2 · h = 4π · 72 · 0,02 = 12,3088
Se emplean, aproximadamente, 12,3 cm3 de plata.
3 Calcula una aproximación de 1263 dando los siguientes pasos: • Llama f (x) = x3 .
• Obtén df para x0 = 125 y dx0 = 1.
• Obtén f (126) ≈ f (125) + df (125) para dx0 = 1.
f (x) = x3
df = f ' (x) · dx = ·
x dx
3 1
2
4 Procediendo como en el ejercicio anterior, halla, aproximadamente:
a) 1,014
b) 15 8,
c) 663
a) f (x) = x 4; x
0 = 1; dx0 = 0,01
df = f ' (x) · dx = 4x 3 · dx = 4 · 13 · 0,01 = 0,04
f (1,01) ≈ f (1) + df (1) = 1 + 0,04 = 1,04
b) f (x) = x ; x0 = 16; dx0 = –0,2
df = f ' (x) · dx = · ·( , ) ,
x dx
21 = 2 161 –0 2 =–0 025
f (15,8) ≈ f (16) + df (16) = 16 – 0,025 = 3,975
c) f (x) = x3 ; x0 = 64; dx0 = 2
df = f ' (x) · dx = · · ,
x dx
3 1
3 64
1 2 0 0417 2
3 = 3 2 =
E
jercicios y problemas resueltos
Página 258
1.
Definición de función derivada
Hazlo tú. Halla la función derivada de f (x) = x2–4 utilizando la definición.
f ' (x) = l mí8
0 h
( ) ( )
f x f x
h h –
+ = l mí
80 h (
)
x 4 x
0 0 4 h
h – –2 2–
+ = (Indeterminación)
Multiplicamos numerador y denominador por (x+h –)2 4+ x2–4 para poder simplificar la fracción:
l mí8
0
h ( ( ) ( ( ) ) ) ( ) x x x x 4 4 4 4 h h –
h – – – – 2 2 2
2 2 2
+ +
+ = l mhí80 ( ( )
( ) ( ) ) x x x x 4 4 4 4 h h –
h – – – – 2 2 2 2 + + + =
= l mí8
0
h ( ( ) ( ) ) x x x x x x x 4 2 2 4 2 4 4
h h – h h
– –
–
2 2 2 2
+
+ = =
+
2.
Estudio de la derivabilidad de una función definida a trozos
Hazlo tú. Estudia la derivabilidad de la siguiente función:
f (x) =
x x x x x x x 4 2 3 1 1 1 1 si –
si – ≤ ≤ si
<
>
2
3+ +
*
Representa las gráficas de f y f '.
f (x) está definida por funciones polinómicas en los intervalos (– ∞, –1), (–1, 1) y (1, + ∞). Por tanto, es
continua y derivable en ellos.
En x = –1 es continua porque l mx8í –1 f (x) = f (–1) = –1. En x = 1 no lo es porque no existe l mí8
x 1 f (x) ya que los límites laterales son distintos:
ílm x l m x
1 3 3 í 8 8 x x 1 3 1 – = = +
*
No puede ser derivable en x = 1 por no ser continua.
f ' (x) = ( )
( )
' '
8
x
x x x
x f f 2 4 3 3 1 1 1 1 1 2 1 3 si – si – si – – < < < <
2+ – =
+ =
*
*
→ No es derivable en x = –1Gráfica de f (x): Gráfica de f ' (x)
Página 259
3.
Valor de un parámetro para que
f
sea derivable
Hazlo tú. Halla el valor que ha de tener a para que la siguiente función f (x) sea derivable en todo
Á
:f (x) = ax x
x
x x
2 2
2
0 0
– –
–
si ≤ si >
4 2
2 *
f (x) está definida por funciones polinómicas en los intervalos (– ∞, 0) y (0, + ∞). Por tanto, es continua
y derivable en ellos. Continuidad en x = 0:
l mí8
x 0 f (x) = f (0) = –2 → La función es continua para cualquier valor de a. Derivabilidad en x = 0:
f ' (x) = ( )
( )
' '
8 8
ax x x
x f
x f
4 4 2
0 0 0
0 0 0
– si si
< >
3 – =
= +
*
→ f (x) es derivable para cualquier valor de a.Por tanto, la función es derivable en
Á
para cualquier valor de a.4.
Función derivada
Hazlo tú. Calcula la función derivada de esta función y representa f y f '.
f (x) = | 2 – x | + | x + 1 |
| 2 – x | = )2–2–+xx sisi xx≥<22
| x + 1 | = )– –xx+11 sisi xx≥<––11
f (x) = ≤ ≤
x
x x
x x
1 2 3
1 2
1 1 2 2
–
–
si – si – si
< < +
*
→ Es una función continua por ser suma de funciones continuas.f ' (x) =
x x x
2 0 2
1 1 2 2
– si – si – si
< < < <
*
f ' (–1–) = –2, f ' (–1+) = 0 → No es derivable en x = 1.
f ' (2–) = 0, f ' (2+) = 2 → No es derivable en x = 2.
Gráfica de f (x): Gráfica de f ' (x):
2 4
–4 –2 4 6
2
–2
Y
X –4 –2–2 2 4
4 2
–4
Y
Página 260
5.
Reglas de derivación
Hazlo tú. Halla la función derivada de estas funciones:
a) y = arc sen
x x
1 1 – +
c m b) y = ln
x
x 1
2 2+
e o
a) y' = ·
( ) ( ) ( ) ·
( )
( ) ( ) ·
( ) ( )
x
x D x x
x x
x
x
x x
x x
x x x
1 11 1
11 1 1 1 1 1 1 2 1 21 1 1 – –
–
– –
– –
2 2 2
2
2 2
+
+ = + + + + = + + = +
d n
< F
b) y = ln ln( ) ln x
x 1 x 1 2– x 2
2+ 2
= +
f p
y' =
x22+x1 – x2
Página 261
7.
Obtención de (
f
–1
)
'
(
x
) conociendo
f '
(
x
)
Hazlo tú. Sabemos que:
f (x) = ln (ln x)2 y que f ' (x) = ln x 2 x
Calcula ( f –1)' (x).
( f –1)' (x) =
[ ( )]
( )· ( ( ))
'
ln f f
f x f x
1 1
2 1
1 1
–
– –
=
y = (ln lnx)2 8 x=ln ln( y)2 8 x=2 ln ln( y) 8 2x =ln ln( y) 8 ex/2=ln y 8 y e= (ex/2)
Por tanto,
( f –1)' (x) = f ( )· (x ln f ( ))x e ·lne e ·e e
2 2 2 2
(e ) (e ) (e ) ( )x/ (e x/ )
1 1 2 2
– – x/2 x/2 x/2 x/2
= = = +
8.
Obtención de (
f
–1
)
'
(
x
0
) sin calcular (
f
–1
)
'
(
x
)
Hazlo tú. Dada la función del Hazlo tú del ejercicio anterior, calcula ( f –1)' (0) sin utilizar la
fun-ción derivada de la inversa ( f –1)' (x).
( f –1)' (0) =
[ ( )]
'f f1–1 0
Calculamos f –1(0) = e (e0/2) = e:
E
jercicios y problemas guiados
Página 262
1.
Obtención de los valores de dos parámetros para que la función sea
deriva-ble
Calcula los parámetros a y b para que la siguiente función sea derivable en x = 1:
f (x) = x xa b e x
si x si x 1
2
1 1
· ≤
>
x
2+ + –1
+
*
Como queremos que la función sea derivable en x = 1, primero debe ser continua en dicho punto.
l mí8
x 1 f (x) =
· ( )
( )
l m l m x xa b e
l m l m x
f x a b
f x 21 1
1
í í
í í
8 8
8 8
x x
x
x x
1 1
2 1
1 1
–
– – + +
+ =
= = + +
=
+ +
c m
*
→ 1 + a + b = 1 → a + b = 0Además, como f (1) = 1 + a + b, la relación anterior garantiza la continuidad en x = 1.
Por otra parte, para que sea derivable en x = 1, las derivadas laterales en dicho punto deben ser iguales.
f ' (x) =
( )
( )
( )
'
'
8
8
x
xa b e
x
x f a b
f x
2
1 2
1 1 2
1 21 1
– ·
–
si –
si –
<
>
x
2 1
2
– –
+
+
= +
= +
*
→ 2 – a + b = – 21 Resolvemos el sistema y se obtienen los valores buscados:,
8
a b
a b a b
0
2
5 45 45
– – –
+ =
+ =
4
= =2.
Derivación implícita
Halla los puntos de la circunferencia x 2 + y 2 + 6x – 2y – 15 = 0 en los que su tangente tiene pendiente
–
43 . Represéntala.
Derivamos en forma implícita: 2x + 2yy' + 6 – 2y' = 0
Como y' = – 43 , se obtiene x2 – 32y + + = 6 23 0 → 4x – 3y + 15 = 0.
Resolvemos el sistema formado por la ecuación de la circunferencia y la condición anterior:
x y x y x y
6 2 15 0 4 3 15 0
– – –
2+ 2+ = + =
4
y = 4x+315 8 x2+d4x+315n2+6x– ·2 4x+315 15 0– = 8 x=–6, x=0
x = – 6 → y = ·( )4 –36 15+ =–3
x = 0 → y = 5
(0, 5)
3.
Derivación logarítmica
Utiliza la derivación logarítmica y las propiedades de los logaritmos para calcular las funciones deri-vadas de las siguientes funciones:
a) y = logx tg x b) y = (x + 1) tg x c) y = x2 – ·1 4x+1
a) y = logxtg x 8 xy=tg x 8 ylnx=lntg x 8 y= lnlntg xx
y' =
ln
ln x
x
· · –
ln cos ln
ln
cos ln
ln lncos ln x
x tg x tg x x
x
sen x x tg xx
x sen x x x x tg x
1 1
1
· – ·
· – 2
2
2 2
= = e o
b) ln y = · (ln ) 8 ' ( )
cos ln tg x x yy
x
x tg x x
1 2 1 · 11
+ = + + +
y' = ( ) ( )
cos ln x
x x
xtg x
1 tg x 2 1 1 + > + + + H
c) ln y = ( ) ( ) ( )
( )
' '
8 8
ln x ln x yy
x x x y
y x
x
2
1 1
4
1 1
1 4 1 1 4 1
5 1 –
– –
– 2
2 2
+ + = + + =
y' = · ·
( )
x x
xx
1 1
45 11 –
– – 2 4
E
jercicios y problemas propuestos
Página 263
P
ara practicar
Definición de derivada
1 Halla con calculadora el cociente incremental Df
h para x0 = 2 y h = 0,1 de:
a) f (x) = x b) f (x) = x 2 – 5x + 1 c) f (x) =
x
1 Compara resultados con las derivadas de estas funciones en el punto de abscisa 2.
a) Dhf = f( , )2 10 1,– f( )2 = 2 1,0 1,– 2 =0 349,
f ' (x) = 8 '( ) ,
x f
21 2 = 2 21 =0 354
b) Dhf = f( , )2 10 1,– f( )2 = 2 1, 2–5 2 1 1· ,0 1, + – –( )5 =–0 9,
f ' (x) = 2x – 5 → f ' (2) = 2 · 2 – 5 = –1
c) Dhf = f( , )2 10 1, f( )2 2 1,0 1,– , 1
2 1
0 238
– = =–
f ' (x) = 8 '( ) ,
x1 f 2 21 0 25
– – –
2 = 2 =
2 Halla con calculadora el cociente incremental Df
h para x0 = π/3 y h = 0,01 de: a) f (x) = sen x
b) f (x) = cos x c) f (x) = tg x
Compara resultados con las derivadas de estas funciones en el punto de abscisa π/3.
a) Dhf = f +0 01,, – f sen +0 01,, –sen ,
π π π π
0 01 3
0 01
3 0 496
3 = 3 =
c m c m c m
f ' (x) = cos x → f ' c mπ3 =cos π3 =0 5,
b) Dhf = = f +0 01,, – f cos +0 01,, –cos ,
π π π π
3 3
0 01 = 3 0 01 3 =–0 869
c m c m c m
f ' (x) = –sen x → f ' c mπ3 =–sen π3 =–0 866,
c) Dhf = f +0 01,, – f +0 01,, – ,
π π tg π tg π
0 01
3 3
0 01
3 3 4 07
= =
c m c m c m
f ' (x) = 8 ' π π ,
3 Sabemos que l m f x( ) f x( )
h h –
í 80
0 0
h
+
= f ' (x0).
A partir de esta expresión, justifica la validez de esta otra:
( ) ( )
l m8í f xx x––f x
x x0 0 0 = f ' (x0)
Si expresamos la diferencia entre x y x0 usando la letra h, es decir, h = x – x0, obtenemos que
x = x0 + h. Además, cuando x → x0, la diferencia x – x0→ 0, es decir, h → 0. Sustituyendo: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
í '
l m f xx x–– f x l mí f x h –h f x f x
h
8 8
x x0 0 0 = 0 0 0 0
+ =
4 Escribe la expresión de los siguientes límites (se supone que las funciones que intervienen son derivables):
a) l m ( ) ( ) x a g x g a
– –
í8
x a b) hl mí80
( ) ( )
f f 0
h h –
c) l mxí80 f( ) f( ) x x
2+ – 2 d) l mí
8
x 0
( ) ( )
x f 5 – f 5+x
a) xílm8a g x( )x a––g a( ) = g ' (a)
b) l mí8
0 h
( ) ( )
f f 0
h
h – = f ' (0)
c) l mx8í 0 (f 2+xx)–f( )2 = ϕ'(2)
d) l mxí80 ( )f 5 –xf(5+ = l mx) xí80e– f(5+xx)– f( )5 o = –f ' (5)
5 El límite l mí8 0 h
(π ) π
sen sen
h h –
+ es la derivada de la función seno en el punto de abscisa π, es
decir, sen' (π). Por tanto, el límite es:
sen' (π) = cos (π) = –1
Calcula análogamente, es decir, a partir de las reglas de derivación que ya conoces, los siguientes límites:
a) l mí 80
h 4
2 hh –
+ b) l mí
80
h e h e
–
2+h 2
c) l mxí83 (x2–x3x–+31 1)– d) l mí8
x 4 x x
4 64 – –
3
a) l mí8
0 h 4
2 hh – + =
2 41 = 41
b) l mí8
0
h e h–e 2+h 2
= e 2
6 Utiliza la definición de derivada para hallar f ' (2) en los siguientes casos: a) f (x) =
x x
11 –
+ b) f (x) = x 2+
a) f ' (2) = l mí
80 h
( ) ( )
f 2 f 2 h h –
+ = l mí
80 h – 2 1 2 1 3 1 h h h – + + +
= l mí
80 h – 3 1 3 1 h h h
++ = l mí
80
h 3h +2 9 = 92
b) f ' (2) = l mí8
0 h
( ) ( )
f 2 f 2 h h –
+ = l mí
80 h h
4 h – 2+ = l mí
80
h h( 4 h ( 4 h
2) ) – 22 2 + +
+ = l mhí80 4 h+1 +2 = 41
7 Aplica la definición de derivada para hallar f ' (x) en cada caso: a) f (x) = x +
x
1 b) f (x) = x2+1
a) f ' (x) = l mí8
0 h
( ) ( )
f x f x
h h –
+ = l mí
80 h
x x1 x x1
h h h – – + + + d n
= l mí8
0 h
h+ x1 – x1 hh
+ =
= l mí8
0
h ( )
( ) ( )
x x x x x x
h h
h h – h
+
+ + + = l mí
80
h ( )
( ) x x x x x x x
1 1 1 1
h h
h 2 h – – – 2 2
2 +
+ = =
b) f ' (x) = l mí8
0 h
( ) ( )
f x f x
h h –
+ = l mí
80 h (
)
x 1 x 1 h
h 2 – 2
+ + + = l mí
80
h ( ( ) )
( ( ) ) ( )
x x
x h x
1 1
1 1
h h
–
2 2
2 2 2 2
+ + + +
+ + +
= l mí8
0
h ( ( )
( ) ( ) ) x x x x 1 1 1 1 h h h – 2 2 2 2 + + + + +
+ + = l mhí80 ( ( ) ) ( ) x x x x x x x 1 1 2 2 1 2 1 h h h h
2 2 2 2
+ + + +
+ =
+ = +
Reglas de derivación
Calcula las derivadas de las siguientes funciones:
8 a) y =
x x 33 – 2 2
+ b) y = 3x2
3
a) y' =
( ) ( ) ( )
( ) ( )
x
x x x x
x
x x x x
x x
3
2 3 3 2
3 2 6 2 6
3 12 – – – 2 2 2 2 2 2 3 3 2 2 + + = + + + = + b) y' =
x
9 2 3
9 a) y =
xx
1 1 – 2 3/
+
c m b) y =
x x
2 2
2
+
a) y' = ·
( )
·( ) ( ) ·
( )
xx xx x xx x x x
3 2
1 1
1 1 1 1
3 2
11 1 1 1
– – – – – – – – / / 1 3 2 1 3 2 – – + ++ = + + + =
d n d n
=
( x) ·( x) ( x)( x) 3
2
1 21 3 1 1
4
– – –
–
/ /
1 3 + 5 3 = 3 + 5
b) y' = · ·
x x x x
2 e– 12o+ 21 2 =– 22 +
10 a) y = ln
xx b) y = 7e –x
a) y' = ( / )· ln ln
x x x x
x x
1 – 1–
11 a) y =
eex–ee x
x x
– –
+ b) y = sen x cos x
a) y' =
( )
( ) ( )
( ) ( )
e e e e e e
e e
e e e
e e
3 2 2 4
–
– –
–
– – – –
––
x x
x x x x
x x
x x x x
x x
2
2 2
2
2 2 2 2
2 –
– –
–
– –
–
+ = + =
b) y' = cosx·cosx+(–sen x sen x)· =cos2x sen x– 2 =cos2x
12 a) y = sen x1 b) y = ln (x 2 + 1)
a) y' = cos
sen xx
–
2 b) y' = x22x+1
13 a) y = arc tg x3 b) y = cos 2 (2x – π)
a) y' =
( / ) ( / ) /
x x x
1 13 31 1 9 1 3
9 3 ·
2 2 2
+ = + = +
b) y' = 2 cos(2x–π)·(–sen x(2 –π))·2=–4 cos(2x–π)·sen x(2 –π)=–2 cos(4x–4π)
14 a) y = sen 2 x b) y = tg x
a) y' = 2sen x· cos x sen x= 2 b) y' = ·( )
tg x tg x tg x tg x
2 1 1 2
1
2 2
+ = +
15 a) y = sen x 2 b) y = arc tg (x 2 + 1)
a) y' = cosx2·2x=2xcosx2 b) y' =
(x ) · x x xx
1+ 12+1 2 2 = 4+22 2+2
16 a) y = (2 x–3)7 b) y = log x
2
a) y' = ( x ) · · ( )
x x x
7 2 3 2
21 7 2 3
– 6 = – 6 b) y' = · ln · ln
x x x
1 2 1
21 = 2 1 2
17 a) y = sen 2 x 2 b) y = arc tg
x
1
a) y' = 2sen x2·cosx2·2x=4x sen x· 2·cosx2=2x sen x· (2 2)
b) y' =
( / ) ( / ) ( / )
x x x x
x
1 11 1 1 1 1 1 1
· – – –
2 2 2 2
2
+ e o= + = +
18 a) y = cos 5 (7x 2) b) y = 3x + 1
a) y' = 5 cos4(7x2)·(–sen x(7 2))·14x=–70xcos4(7x sen x2) (7 2) b) y' = 3x ln 3
19 a) y = (3 5x–3)2 b) y = arc sen x
3
2
a) y' = ( x ) ·
x
3
2 5 3 5
3 510 3 –
– /
1 3
3
– = b) y' =
1 –
·
x
x
x x
x x
3 1
3 2
3 9
3 2
9 2
– –
2 2 = 4 = 4
e o
20 a) y = ln (2x – 1) b) y = tg x
2
21 a) y = ln (x 2 – 1) b) y = arc cos x2
a) y' =
x22x–1 b) y' = 1 ( 2x) · x x· x x x
1
2 22 2 11 2 2 14 –
– – –
–
– 2
2 = =
22 a) y = ln 1 – b) x y = (arc tg x)2
a) y = ln 1–x=ln(1–x)1 2/ = 21 ln(1–x) b) y' = (arc tg x)·
x x
arc tg x
2
1 1 1 2
2 2
+ = + y' = ·21 (1––1x) = 2 2––1x
23 a) y = log3 (7x + 2) b) y = ln tg
x
3
c m
a) y' = ln13 · (7x7+2) (= 7x+72)ln3 b) y' = /
( / ) ( ( / ))
tg x13 · 1 tg2 3x · – x32 –3 1x tg2 tg 33xx 2
+ = +
d n e o
24 a) y = e 4x b) y = ln ln
x
1
c m
a) y' = 4e 4x b) y' =
/ ( / )
( / )
ln 11x · 11x · –e x12o=– xln11x
25 a) y = 2x b) y = arc sen
xx+–11
c m a) y' = 2x · ln 2
b) y' = ·
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) · ( ) xx x x x x
x x x
1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 – – – – – – – – ––
2 2 2 2
2 + + = + = d n =
(x ) (x ) ( ) ( )
x
x x x x x x x
1 1
1 2
1 1 2 1 2
2
12 4 –
– – –
– – – – – – – –
2 + 2 = 2+ 2 =
26 a) y = 5tg 3 (3x 2 + 1) b) y = x+ x
a) y' = 15tg2(3 1 1x+ )·[ +tg2(3x2+1 6)]· x=90x tg[ 2(3x2+ +1) tg4(3x2+1)]
b) y' =
x x x x x x
x
x x x x
2 1 1 21 4
2 1 4 2 1 2 + + = + + = + + e o
27 a) y = tg x2 b) y =
x x 22 – 3 +
a) y' = ( )· ( )
tg x tg x x tg x x tg x
2
1 1 2 1
2
2 2
2 2 2
+ = +
b) y' = ·
( ) ( ) · ( ) x x x x x x x x 3 1
22 2 2 2
3 22 1 2 4 – – – – / 2 3 2 2 3 2 – + + + = - + = d d n n = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x
x x x x x
3 2
2 2 4
3 2 2
4
3 2 2
4
· + 2· 3 – 2 3/2 4 3/ ·3 – 2 3 4 – 2 +
=
+ = + =
Página 264
Otras técnicas de derivación
28 Calcula la derivada de las siguientes funciones, aplicando previamente las propiedades de los logaritmos:
a) y = ln
xx
1 1 –
+ b) y = ln (x tg x)2
c) y = ln
x x –1
2 2 3
f p d) y = ln (2x · sen 2 x)
a) y = ln 11–+xx = 21[ (ln 1– –x) ln(1+x)]
y' = x x
x x x
x
2 1
1––1 – 1+1 = 12 – – –1 1– 21+ = 1––12
< F = G
b) y = (ln x tg x)2=2[lnx+ln(tg x)]
y' = 2 1
>
x + 1+tg xtg x2H
=2 1=x + tg x2 +tg xG= 2x + 2 cotg x + 2tg xc) y = ln ln ln ln( ) ln x
x 1 x 1 x x x
3
1 1 2
– – – – –
2 2 3
2
3 2 2
= =
f
p
y' = ·
(x x ) · x (x x ) x 3
1
1
2 2 1
3 2 1 2
– – – –
2 = 2
d) y = (ln 2xsen x2 )=ln2x+lnsen x x2 = ln2 2+ lnsen x
y' = ln2 2+ · cossen xx =ln2+ tg x2
29 Calcula la derivada de estas funciones implícitas:
a) x 2 + y 2 = 9 b) x 2 + y 2 – 4x – 6y = –9
c) x y
16 9 1
2 2
+ = d) (x ) (y )
81 14
3 1
– 2 – + 2
=
e) x 3 + y 3 = –2xy f ) xy 2 = x 2 + y
g) x y
9 – 25 1
2 2
= h) 4x 2 + 4y 2 + 8x + 3 = 0
i) x 2 + xy + y 2 = 0 j) yx – x 2 – y = 0
a) 2x + 2y · y' = 0
y' = –22yx = –yx
b) 2x + 2yy' – 4 – 6y' = 0 y' (2y – 6) = 4 – 2x y' = 4 22y––6x = 2y––x3
c) 162x + 2yy9' =0
' yy
d) (2 x8–1) – 2(y14+3) 'y =0 ( ) '
x y y
41 7 3 0 – – + =
y' = 74((xy+–31))
e) 3x 2 + 3y 2y' + 2y + 2xy' = 0 y' (3y 2 + 2x) = –3x 2 – 2y
y' =
y x x y
3 2 3 2 – –
2 2
+ f ) xy 2 = x 2 + y
y 2 + x · 2yy' = 2x + y' 2xyy' – y' = 2x – y 2 y' (2xy – 1) = 2x – y 2
y' = 22x yxy––12
g) 29x – 225yy' = 0 → 25yy' = 9x → 'y= 259yx
h) 8x + 8yy' + 8 = 0 → yy' = –x – 1 → y' = – –x 1y
i) 2x + y + xy' + 2yy' = 0 → y' (x + 2y) = –2x – y → y' = – –x2x y+2y
j) y'x + y – 2x – y' = 0 → y' (x – 1) = 2x – y → y' = 2xx y––1
30 Aplica la derivación logarítmica para derivar:
a) y = x 3x b) y = x x + 1 c) y = x e x
d) y = (ln x)x + 1 e) y =
x sen x x
b l f ) y = x tg x
a) Tomamos logaritmos en los dos miembros y aplicamos que el logaritmo de una potencia es
ln x n = n ln x :
y = x 3x → ln y = 3x ln x Derivamos como función implícita:
yy' =3lnx+3x· x1 3= lnx+3 Despejamos y':
y' = x 3x (3ln x + 3)
b) Tomamos logaritmos en los dos miembros y aplicamos que el logaritmo de una potencia es
ln x n = n ln x :
y = x x + 1 → ln y = (x + 1) ln x
Derivamos como función implícita:
yy' = ln x + (x + 1) · x1 =lnx+ +1 1x Despejamos y' :