1 Derivada de una función en un punto

(1)

R

esuelve

Página 239

Función derivada

■Continúa escribiendo las razones por las cuales g (x) es una función cuyo comportamiento

respon-de al respon-de la respon-derivada respon-de f (x).

• En el intervalo (a, b ), f (x) es decreciente. Por tanto, su derivada es negativa. Es lo que le pasa a g (x) en (a, b ).

• La derivada de f en b es 0: f ' (b ) = 0. Y también es g (b ) = 0.

• En general:

g (x) = f ' (x) = 0 donde f (x) tiene tangente horizontal.

g (x) = f ' (x) > 0 donde f (x) es creciente. g (x) = f ' (x) < 0 donde f (x) es decreciente.

y = f (x)

y = g(x) = f'(x) a

b

a

b

■Las tres gráficas de abajo, A, B y C, son las funciones derivadas de las gráficas de arriba, 1, 2 y 3,

pero en otro orden. Explica razonadamente cuál es la de cada una.

1) B 2) A 3) C

La derivada se anula en los puntos de tan-gente horizontal, es positiva donde la función es creciente, y es negativa donde la función decrece.

A 1

B 2

(2)

1 Derivada de una función en un punto

Página 241

1 Halla, paso a paso, las derivadas siguientes:

a) 4x – x 2_{en x} 0 = 3

b) x 3_{en x} 0 = 2

c)

x

1 en x₀ = 2

d) (x – 3)2_{en x} 0 = 1

a) (f 3+h –_h) f( )3 = 4 3( +h –) (_h3+h –)2 3 12 4= + h – – h – h –9 6_h 2 3 =–h –2

f ' (3) = l mí

80 h

( ) ( )

f 3 f 3 h h –

+ _{= l m}_í

80

h (–h – 2) = –2

b) f(2+h –_h) f( ) (2 = 2+h –_h)3 8 8 12 6= + h+ _hh2+h –3 8 =h2+6h+12

f ' (2) = l mí₈

0 h

( ) ( )

f 2 f 2 h h –

+ _{= l m}_í

80 h (h

2_{+ 6h + 12) = 12}

c) f(2 ) f( )2 2 – ₍ ₎ 1

2 1

2 12 h

h –

h h

h–

+ _{= +} ₌

+

f ' (2) = l mí₈

0 h

( ) ( )

f 2 f 2 h h –

+ _{= l m}_í

80

h 2(h1+2) =– 41

d) f(1+h –_h) f( ) (1 = 1+h –_h3)2–4 = (h –2_h)2–4 =h –4

f ' (1) = l mí₈

0 h

( ) ( )

f 1 f 1 h h –

+ _{= l m}_í

80

h (h – 4) = – 4

2 Halla, paso a paso, la derivada lateral f ' (0+_{) de f (x) = x y justifica la respuesta.}

Si h > 0, f(0 h –_h) f( )0 h_h 0 1 h –

+ ₌ ₌

l mí₈

0 h

( ) ( )

f 0 f 0 h h –

+ _{= l m}_í

80

h 1_h = + ∞ → No existe f ' (0+).

3 ¿Qué condición debe cumplir una función, f, para ser derivable en el intervalo [1, 5)?

(3)

Página 243

4 Estudia la derivabilidad en x₀ = 3 de la función:

f (x) = ,

,

x x x

x x

3 3

3 9 3

– ≤

– >

2 *

• Continuidad en x₀ = 3: ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

l m f x l m

l m f x l m l m f x f x x

x

3 0

3 9 0 3 0

– –

í í

í í í

8 8

8 8 8

x x

x x x 3

3 3 3 3 2 – = = = = = = + _ ` a bb b

Por tanto, f (x) es continua en x0 = 3. • Derivabilidad en x₀ = 3:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

' '

l m f x l m x f l m f x l m f

2 3 3 3 3 3 3 – í í í í 8 8 8 8 x x x x 3 3 3 3 – – = – = = = = = +

+ +

4

Las derivadas laterales existen y coinciden.

Por tanto, f (x) es derivable en x₀ = 3. Además, f ' (3) = 3.

5 Estudia la derivabilidad en x₀ = 0 de la función:

f (x) = *_–x_x2₂₊–5₂x_x₊+₃3_,, _xx_>≤₀0

• Continuidad en x₀ = 0: ( ) (

( ) ( ( )

) )

l m f x l m

l m f x l m l m f x x x

x x

5 3 3

2 3 3 3

– –

í í

í í í

8 8

8 8 8

x x

x x x

0 0

0 0 0

2 2 – = – = = + = + + = + + _ ` a bb

b . Además, f (0) = 3.

Por tanto, f (x) es continua en x₀ = 0. • Derivabilidad en x₀ = 0:

f ' (x) =

( ) ( ) '( ) ( ) ( ) '( ) ' ' 8 x x x x

l m f x l m x f

l m f x l m x f

2 5 0

2 2 0

2 5 5 0

2 2 2 0 – si – si – – – í í í í < > 8 8 8 8 x x x x 0 0 0 0 – – – + = = = = + = = + + + Z [ \ ]] ]

*

Las derivadas laterales son finitas pero no coinciden. Por tanto, no es derivable en x₀ = 0.

6 Estudia la derivabilidad de la siguiente función en x = 0:

f (x) = *– –_x_,x, x_x≤_>0₀

• Continuidad en x₀ = 0: ( ) ( )

( ) ( ) ( )

l m f x l m

l m f x l m l m f x x x 0 0 0 – – í í í í í 8 8

8 8 8

x x

x x x

0 0

0 0 0

– = – = = = = + + _ ` a bb

b . Además, f (0) = 0.

Por tanto, f (x) es continua en x₀ = 0.

• Derivabilidad en x₀ = 0:

( ) ∞

'

8

x x l m f x l m x

21– si <0 x8í 0– =x8í 0–21– = +

(4)

7 Calcula m y n para que f (x) sea derivable en :

f (x) = ,

,

x mx

x n

x x

5 0

0 –

–

≤ >

2

2₊ +

*

• Si x ≠ 0, la función es continua y derivable, pues está formada por dos polinomios. • Continuidad en x = 0:

( ) ( )

( )

l m f x l m x mx l m l m

f

5 5

0 5

–

í í

8 8

x x

0 0 2

– = + =

=

+ f x( )= (–x + =n n) _

`

a b bb b b

Para que f (x) sea continua en x = 0, ha de ser: n = 5. • Derivabilidad en x = 0:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

' '

l m f x l m x m m f l m f x l m x f

2 0

2 0 0 – – –

í í

8 8

x x

0 0

–

– = – = =

= = = +

+ +

4

(5)

3 Reglas de derivación

Página 247

1 Utiliza las reglas de derivación para calcular la derivada de cada una de las siguientes funciones:

a) f (x) =

x x

1 1 –

+ b) f (x) = 1 –1+xx

c) f (x) = ln

xx

1 1 –

+ d) f (x) = tg x

tg x

1 1 –

+

e) f (x) =

tg x tg x

1 1 –

+ f) f (x) = ln etg x

g) f (x) = 3x+1_h)_f_{(x) =}_log₍_{sen x}_·_cos_x₎2

i) f (x) = tg 2_{x + sen}2_{x j)}_f_{(x) =}_{sen x}₊₁_·_cos _x_–₁

k) f (x) = arc sen x l) f (x) = sen x(3 5–2 x₊32x)

m) f (x) = sen x x₊ 2_{+ n)}1 _f_{(x) =}_cos23_x₊₍_{3 –}_x₎2

a) f ' (x) =

( ) ·( ) ( )· ( ) ( ) x x x x x x x 1

1 1 1 1

1 1 1

1 2

– – – _{– – –} _–

2 2 2

+

+ ₌

+ + = + b) Utilizamos el resultado obtenido en a):

f ' (x) = ·

( ) ( )( )

xx x x x

2 11 1

1 2 1 1

1

– – 2 _– – 3

+ +

=

+

c) Utilizamos el resultado obtenido en a):

f ' (x) = ·

( ) ( )( ) ( )

xx x x x

x

1

11– ₁–2 2 ₁_––2 1₁ 2 ₁–_–22

+ +

=

+ + ₌

De otra forma: Si tomamos logaritmos previamente: f (x) = ln (1 – x) – ln (1 + x). Derivamos:

f ' (x) = _x _x

x x x

x

1––1 – 1₊1 = – – –1 ₁_– 12+ = ₁–_–22

d) f ' (x) =

( )

( )( ) ( )·( )

tg x

tg x tg x tg x tg x

1

1 1 1 1

– – – 2 2 2 + + + + ₌ = ( ) ( )[ ] ( ) ( ) tg x

tg x tg x tg x

tg x tg x

1

1 1 1

1 2 1 – – – – 2 2 2 2 + + + ₌ + +

De otra forma: Si tenemos en cuenta el resultado obtenido en a):

f ' (x) =

( ) · [ ] ( ) ·( ) ( )

( )

tg x D tg x tg x tg x tg x tg x

1 2 1 2 1 1

2 1

– – –

2 2 2 2

2

+ = + + = +

+

e) Teniendo en cuenta el resultado obtenido en d):

f ' (x) =

( )

( )( )

( )

tg x

tg x tg x tg x

(6)

f ) f (x) = ln etg x=lne(tg x 2)/ = tg x₂

f ' (x) = 1+tg x₂2

g) f (x) = 3x+1=3(x+1 2)/

f ' (x) = 3(x + 1)/2_{· ·}_ln ln _· 2

1 ₃

23 3x 1

= +

h) f (x) = log(sen x·cosx)2=2[log(sen x+log cos( x)]

f ' (x) = 2<_{sen x}cosx · _ln1₁₀ + –_cossen x_x · _ln1₁₀F= _ln2₁₀· cos_{sen x}2x sen x–_·_cos2_x =

= _ln4₁₀· cos₂_{sen x}2x sen x–_·_cos2_x = _ln4₁₀ · cos_{sen x}2₂x = _ln₁₀4_·_{tg x}₂

De otra forma:

f (x) = log(sen x·cosx)2=2logdsen x₂2 n

f ' (x) = 2· _ln1₁₀ · ₍_{sen x}cos_{2 2}2x_)/ = _ln₁₀4_·_{tg x}₂

i) f ' (x) = 2tg x D tg x· [ ]+2sen x D sen x· [ ]=2tg x·(1+tg x2 )+2sen x·cosx=2(tg x tg x+ )+2sen x·cosx

j) f ' (x) = cos ·cos ·( )

x x

x sen x

2 1 1

1 1

–

– – –

+

+ ₊ + ₌

= cos ·cos ·

x x

x sen x

2 1 1

1 _– 1

–

– –

+

+ +

k) f ' (x) = ·

x x _{x x}

11– 21 = ₂ 1_– 2

l) f ' (x) = cos x( x x)· x

x _x

3 2 2 15 1

3 2

– –

5 3 4

2 3 3

+

f

+

p

m) f ' (x) = ·(cos ) cos

sen x x x x sen x x x x

2 1

1 ₂

2 1

2

2 2

+ + + = + +

+

n) f ' (x) = ( ) · ( ) ·

( ( )) ( )·( )

cos x x sen x x

x x x

2 3 3

3 1 2 3 1

– – –

– – – 2

3 3 2

2 2 3

+ +

+

+ ₌

: D

=

( ) )

( ) ( ) ( )

( ( ) ) ( ) ( ( ) )

cos

x x

x x sen x x x

x x x sen x x

3 3

2 3 3 2 5

3 3

5 2 2 3

–

– – – · –

–

– · –

2 2 3

2

3 3 2

2 2 3

2 3

+

+ + ₌

+ +

2 Halla las derivadas primera, segunda y tercera de las siguientes funciones:

a) y = x 5_{b) y = x cos x c) y = sen}3_{x + cos}2_{x + x}

a) y = x 5_→_{y' = 5x}4_{; y'' = 20x}3_{; y''' = 60x}2

b) y = x cos x → y' = cos x – x sen x

(7)

c) f ' (x) = 3sen x D sen x2 · [ ]+2cosx D· [cosx]+ =1 3sen x2 ·cosx–2cosx sen x· +1

f '' (x) = 6sen x·cosx–3sen x sen x2 · +2sen x2 –2cos2x=6sen x·cos2x–3sen x3 +2sen x

f ''' (x) = 6cosx·cos2x+6sen x·2cosx D· [cosx]–9sen x D sen x2 · [ ]+4sen x D sen x· [ ]–4cosx= =6cos3x–12sen x2 ·cosx–9sen x2 ·cosx+4sen x·cosx+4cosx sen x· =

=6cos3x–21cosx sen x· 2 +8cosx sen x·

3 Calcula f ' (1) siendo:

f (x) =

x x _{x e}

2 35 3 ·2 3

4

f (x) = ·

· ·

· · · · _· · _·

x x _e

x

x x e _{e x} _x

x e

2 3 2 3

3

2 3

2 9 3

/ /

/ / / / _/ _/

2

5 4 1 5 2 5

1 2 1 3 1 3 4 2 15 4 _{13 30} 15 _{13 30}

3 4

= = =

f ' (x) = 159₃·e4 · ₃₀13 x–17 30/ = 13 915₆₀·e4 30x17

Por tanto: f ' (1) = 13 915₆₀· e4

4 Calcula f ' b lπ₆ siendo:

f (x) = (cos 2_{3x – sen}2_{3x) · sen 6x}

f (x) = (cos23x sen x sen x– 23 )· 6 =cos6x sen x sen x· 6 = ₂12

f ' (x) = 12 cos₂12x =6 12cos x

Por tanto: f ' c m₆π =6·cos 12₆π =6·cos( )2π =6 1 6· =

5 Calcula f ' (0) siendo:

f (x) = ln x x 1 arc tg x

3 1

3

2 1

– ·

2_{+ +} +

f (x) = ln x x 1 arc tg x ln(x x ) arc tg x

3 1

3 2 1

2

1 ₁

3 1

3 2 1

– –

2_{+ +} + = 2_{+ +} +

f ' (x) =

x xx _x

2 1

1 2 1

3 1

1 3 2 1

3 2

· ₂ – · ₂

+ ++

+ + =

e o

·

x x x x x

2 2 21 2 32 ₁

3 4 4 1

1 –

2₊+ ₊ 2

+ + + =

= ·

x x x x x x x x x x

2 2 21 2 32 3 4 4 1 3

2 2 21 2 4 24 4

– –

2₊+ ₊ ₊ 2₊ ₊ = 2₊+ ₊ 2₊ ₊ =

=

x x x x x x xx x xx

(8)

4 Derivada de una función conociendo la de su inversa

Página 249

1 Halla ( f –1_{)' (x) a partir de f ' (x):}

a) f (x) = x 2_{– 1, x}_∈_{[1, 3]} _{b) f (x) = x}3

a) y = x2–1 8 x y= 2–1 8 y= x+1 8 f –1( )x = x+1

[ ( )] ï ( ) 8 · [ ] 8 [ ]

f f x x x x x D x D x

x

1 1 2 1 1 1 1

2 1 1 –

1 2

– ₌ ₊ ₌ ₊ _{+ =} _{+ =}

+ b) f –1( )x =3x

[ ( )] ( ) ( ) [ ] [ ]

( )

ï 8 8

f f x x x x x D x D x

x x

3 1

3 1 3 1

1 3 3 3 2 3 3

3 2 3 2

– ₌ ₌ ₌ ₌ ₌

2 f (x) = tg x, x ∈ π π, 2 2 –

b l. Halla ( f –1_{)' ( 3) de dos formas:}

a) Obteniendo, previamente, ( f –1_{)' (x).} _{b) Directamente.}

a) f –1_{(x) = arc tg x}

[ ( )] ï ( ) 8 [ ( )] [ ] 8

f f–1 x =x tg arc tg x =1 1+tg arc tg x D arc tg x2 · =1 → ( x ) D arc tg x[ ] 8 D arc tg x[ ]

x

1 1

1 1 ·

2

+ = =

+ ( f –1_{)' ( )}₃

1 31 2 41 =

+ =

b) f –1( )3 =arc tg( )3 = π₃

( ) ( )'

' π π

f

f tg

3 ₄1

3 1

1 ₃

1 1

2

– ₌ ₌ ₌

+

c m c m

(9)

5 Derivada de una función implícita

Página 250

1 Halla la tangente (o las tangentes) a las curvas siguientes en el punto que se indica: a) 3x 2_{– 5xy + 2y}2_x_{– y}3_{– 27 = 0, en x}

0 = 3

b) sen (x 2_{y) – y}2_{+ x = 2 –}π

16

2

, en ,2 π 4

b l

c) (x – 2)2_{+ (y + 1)}2_{= 25, en x} 0 = 5

a) Calculamos las ordenadas de los puntos de abscisa x₀ = 3.

3x 2_{– 5xy + 2y}2_{x – y}3_{– 27 = 0}_→_{27 – 15y + 6y}2_{– y}3_{– 27 = 0}_→

→ –15y + 6y 2_{– y}3_{= 0}_→_{y (–15 + 6y – y}2_{) = 0}_→_{y = 0}

Derivamos:

6x – 5y – 5xy' + 4xyy' + 2y 2_{– 3y}2_{y' = 0}_→_{y' =}

x xy y x y y

5 4 3 6 5 2

– –

2 2

+

+ _→_{x = 3, y = 0}_→_{y' =} 15 18

5 6 – – ₌

La recta tangente es:

y = 0+ ₅6(x–3)

b) Como sabemos las dos coordenadas del punto, ,c2 π₄m, derivamos:

sen x y( 2 )– y2+ =x 2– ₁₆π 82 cos(x y xy x y2 )(2 + 2 ')–2yy'+ =1 0 8

→ x=2, y= π 8₄ cosπ π·( +4y')– π₂y'+ =1 0 8 π– –4y' – ₂πy'+ =1 0 8

→ y' = _{– –}₄π–_{( / )}_π1₂ = 2 2_π–₊₈π

La ecuación de la recta tangente es:

y = π₄ + 2 2_π–₊₈π(x –2)

c) Calculamos las ordenadas de los puntos de abscisa x₀ = 5.

(x – 2)2_{+ (y + 1)}2_{= 25}_→_{9 + (y + 1)}2_{= 25}_→_{y = –5, y = 3}

Derivamos:

2(x – 2) + 2(y + 1)y' = 0 → y' = 2 –_y₊₁x → , ,

'

8

x y y

5 5 2 5_{5 1} ₄3

5 3 2 5_{3 1} ₄3

– _– –

– _–

= = = ₊ =

*

En este caso hay dos rectas tangentes:

(10)

6 Derivación logarítmica

Página 251

1 Halla la función derivada de las funciones siguientes:

a) f (x) = (cos x + 1)x2 – 1_{b) g (x) =}

x2x–1 sen x

3 ₂

c) h (x) = (cos x)ex 2 + 1

a) ln f (x) = (x 2_{– 1) ln (cos x + 1)}_→

( )( ) ( ) ( )·

' _{ln cos} ₈

cos f x

f x _x _x _x

x sen x

2 1 2–1 – ₁

= + + ₊

→ f ' (x) = (cosx+1)x2–1=2xln cos( x+1) (– x2_cos–1_x)₊sen x₁ G

b) ln g (x) = ln [ ln ln( ) ln( )]

xx sen x x x sen x

2 1

1 21 3 1 2

– – –

2

3 ₂ ₂

= +

f p

( )

( ) _{( )}

' _cos ₈ _' _cos

g x g x

x _x x sen xx g x _xx sen x x _x x sen xx

2 1 3

1 2 2

2 1

1 3 2 1 2 –

– – – –

2 2

3

2

= e + o = e + o

c) lnh x e( )= x2+1ln cos( x) 8 h x_{h x}'_{( )}( ) =ex2+1·2x· (ln cosx e)+ x2+1· –_cossen x_x 8

(11)

8 Diferencial de una función

Página 257

1 Calcula Δy, dy, Δy – dy : a) y = x 2_{– x para x}

0 = 3, dx0 = 0,01

b) y = x2–1_{para x}

0 = 2, dx0 = 0,1

c) y = x3 para x₀ = 125, dx₀ = 1

a) Δy = y (3,01) – y (3) = 6,0501 – 6 = 0,0501

dy = y' · dx = (2x – 1) · dx, que evaluado en x₀ = 3 y dx₀ = 0,01 es:

5 · 0,01 = 0,05 Δy – dy = 0,0001

b) Δy = y(2,1) – y (2) = 1,8466 – 1,7321 = 0,1145

dy = y' · dx =

x x

1 –

2 · dx, que evaluado en x0 = 2 y dx0 = 0,1 es:

· , , 3

2 0 1 0 1155=

Δy – dy = –0,001

c) Δy = y (126) – y (125) = 5,01330 – 5 = 0,01330

dy = y' · dx =

x

3 1

2

3 · dx, que evaluado en x0 = 125 y dx0 = 1 es:

₇₅1 1 0 01333· = ,

Δy – dy = –0,00003

2 A una bola de bronce de 7 cm de radio se le da un baño de plata de 0,2 mm de grosor. Calcula la cantidad de plata empleada (aproximadamente, a partir de la diferencial).

V = ₃4 π r 3

dV = 4π r 2_{· h = 4}_π_{· 7}2_{· 0,02 = 12,3088}

Se emplean, aproximadamente, 12,3 cm3_{de plata.}

3 Calcula una aproximación de 1263 dando los siguientes pasos: • Llama f (x) = x3 .

• Obtén df para x₀ = 125 y dx₀ = 1.

• Obtén f (126) ≈ f (125) + df (125) para dx₀ = 1.

f (x) = x3

df = f ' (x) · dx = ·

x dx

3 1

2

(12)

4 Procediendo como en el ejercicio anterior, halla, aproximadamente:

a) 1,014

b) 15 8,

c) 663

a) f (x) = x 4_{; x}

0 = 1; dx0 = 0,01

df = f ' (x) · dx = 4x 3_{· dx = 4 · 1}3_{· 0,01 = 0,04}

f (1,01) ≈ f (1) + df (1) = 1 + 0,04 = 1,04

b) f (x) = x ; x0 = 16; dx0 = –0,2

df = f ' (x) · dx = · ·( , ) ,

x dx

21 = 2 161 –0 2 =–0 025

f (15,8) ≈ f (16) + df (16) = 16 – 0,025 = 3,975

c) f (x) = x3 ; x₀ = 64; dx₀ = 2

df = f ' (x) · dx = · · ,

x dx

3 1

3 64

1 _{2 0 0417} 2

3 = 3 2 =

(13)

E

jercicios y problemas resueltos

Página 258

1. Definición de función derivada

Hazlo tú. Halla la función derivada de f (x) = x2–4_{utilizando la definición.}

f ' (x) = l mí₈

0 h

( ) ( )

f x f x

h h –

+ _{= l m}_í

80 h (

)

x 4 x

0 0 4 h

h – –2 2–

+ _{= (Indeterminación)}

Multiplicamos numerador y denominador por (x+h –)2 4+ x2–4 para poder simplificar la fracción:

l mí₈

0

h _{( (} ₎ ( ( ) ) ) ( ) x x x x 4 4 4 4 h h –

h – – – – 2 2 2

2 2 2

+ +

+ = l mhí80 _{( (} ₎

( ) ( ) ) x x x x 4 4 4 4 h h –

h – – – – 2 2 2 2 + + + =

= l mí₈

0

h _{( (} ₎ ( ) ) x x x x x x x 4 2 2 4 2 4 4

h h – h h

– –

–

2 2 2 2

+

+ ₌ ₌

+

2. Estudio de la derivabilidad de una función definida a trozos

Hazlo tú. Estudia la derivabilidad de la siguiente función:

f (x) =

x x x x x x x 4 2 3 1 1 1 1 si –

si – ≤ ≤ si

<

>

2

3+ +

*

Representa las gráficas de f y f '.

f (x) está definida por funciones polinómicas en los intervalos (– ∞, –1), (–1, 1) y (1, + ∞). Por tanto, es

continua y derivable en ellos.

En x = –1 es continua porque l m_x₈í _–₁ f (x) = f (–1) = –1. En x = 1 no lo es porque no existe l mí₈

x 1 f (x) ya que los límites laterales son distintos:

ílm x l m x

1 3 3 í 8 8 x x 1 3 1 – = = +

*

No puede ser derivable en x = 1 por no ser continua.

f ' (x) = ( )

( )

' '

8

x

x x x

x f f 2 4 3 3 1 1 1 1 1 2 1 3 si – si – si – – < < < <

2+ – =

+ =

*

→ No es derivable en x = –1

Gráfica de f (x): Gráfica de f ' (x)

(14)

Página 259

3. Valor de un parámetro para que

f

sea derivable

Hazlo tú. Halla el valor que ha de tener a para que la siguiente función f (x) sea derivable en todo

Á

:

f (x) = ax x

x

x x

2 2

2

0 0

– –

–

si ≤ si >

4 2

2 *

f (x) está definida por funciones polinómicas en los intervalos (– ∞, 0) y (0, + ∞). Por tanto, es continua

y derivable en ellos. Continuidad en x = 0:

l mí₈

x 0 f (x) = f (0) = –2 → La función es continua para cualquier valor de a. Derivabilidad en x = 0:

f ' (x) = ( )

( )

' '

8 8

ax x x

x f

4 4 2

0 0 0

– si si

< >

3 – ₌

= +

*

→ f (x) es derivable para cualquier valor de a.

Por tanto, la función es derivable en

Á

para cualquier valor de a.

4. Función derivada

Hazlo tú. Calcula la función derivada de esta función y representa f y f '.

f (x) = | 2 – x | + | x + 1 |

| 2 – x | = )2_–₂–₊x_x si_si x_x_≥<₂2

| x + 1 | = )– –_xx₊₁1 si_si x_x_≥<–_–1₁

f (x) = ≤ ≤

x

x x

1 2 3

1 2

1 1 2 2

–

si – si – si

< < +

*

→ Es una función continua por ser suma de funciones continuas.

f ' (x) =

x x x

2 0 2

1 1 2 2

– si – si – si

< < < <

*

f ' (–1–_{) = –2, f ' (–1}+_{) = 0}_→_{No es derivable en x = 1.}

f ' (2–_{) = 0, f ' (2}+_{) = 2}_→_{No es derivable en x = 2.}

Gráfica de f (x): Gráfica de f ' (x):

2 4

–4 –2 4 6

2

–2

Y

X –4 –2_–2 2 4

4 2

–4

Y

(15)

Página 260

5. Reglas de derivación

Hazlo tú. Halla la función derivada de estas funciones:

a) y = arc sen

x x

1 1 – +

c m b) y = ln

x

x 1

2 2₊

e o

a) y' = ·

( ) ( ) ( ) _·

( )

( ) ( ) _·

( ) ( )

x

x D x x

x x

x

x x

x x x

1 ₁1 1

11 ₁ 1 ₁ 1 ₁ 1 ₂ 1 2₁ 1 ₁ – –

–

– –

2 2 2

2

2 2

+

+ = ₊ + + ₊ = + ₊ = ₊

d n

< F

b) y = ln ln( ) ln x

x 1 _x _{1 2}_– _x 2

2₊ ₂

= +

f p

y' =

x22+x1 – x2

Página 261

7. Obtención de (

f

–1

₎

_'

₍

_x

_{) conociendo}

_{f '}

₍

_x

₎

Hazlo tú. Sabemos que:

f (x) = ln (ln x)2_{y que f ' (x) =} ln x 2 x

Calcula ( f –1_{)' (x).}

( f –1_{)' (x) =}

[ ( )]

( )· ( ( ))

'

ln f f

f x f x

1 1

2 1

1 1

–

– –

=

y = (ln lnx)2 8 x=ln ln( y)2 8 x=2 ln ln( y) 8 ₂x =ln ln( y) 8 ex/2=ln y 8 y e= (ex/2)

Por tanto,

( f –1_{)' (x) =} f ( )· (x ln f ( ))x e ·lne e ·e e

2 2 2 2

(e ) (e ) (e ) ( )x/ (e x/ )

1 1 ₂ ₂

– – x/2 x/2 x/2 x/2

= = = +

8. Obtención de (

f

–1

₎

_'

₍

_x

0

) sin calcular (

f

–1

)

'

(

x

)

Hazlo tú. Dada la función del Hazlo tú del ejercicio anterior, calcula ( f –1_{)' (0) sin utilizar la}

fun-ción derivada de la inversa ( f –1_{)' (x).}

( f –1_{)' (0) =}

[ ( )]

'f f1–1 0

Calculamos f –1_{(0) = e}(e0/2₎_{= e:}

(16)

E

jercicios y problemas guiados

Página 262

1. Obtención de los valores de dos parámetros para que la función sea

deriva-ble

Calcula los parámetros a y b para que la siguiente función sea derivable en x = 1:

f (x) = x xa b e x

si x si x 1

2

1 1

· ≤

>

x

2₊ ₊ –1

+

*

Como queremos que la función sea derivable en x = 1, primero debe ser continua en dicho punto.

l mí₈

x 1 f (x) =

· ( )

( )

l m l m x _xa b e

l m l m _x

f x a b

f x 2₁ 1

1

í í

8 8

x x

x

x x

1 1

2 1

1 1

–

– – + +

+ =

= = + +

=

+ +

c m

*

→ 1 + a + b = 1 → a + b = 0

Además, como f (1) = 1 + a + b, la relación anterior garantiza la continuidad en x = 1.

Por otra parte, para que sea derivable en x = 1, las derivadas laterales en dicho punto deben ser iguales.

f ' (x) =

( )

'

8

x

xa b e

x

x f a b

f x

2

1 2

1 1 2

1 ₂1 1

– ·

–

si –

<

>

x

2 1

2

– –

+

= +

*

→ 2 – a + b = – ₂1 Resolvemos el sistema y se obtienen los valores buscados:

,

8

a b

a b a b

0

2

5 ₄5 ₄5

– – –

+ =

4

= =

2. Derivación implícita

Halla los puntos de la circunferencia x 2_{+ y}2_{+ 6x – 2y – 15 = 0 en los que su tangente tiene pendiente}

–

43 . Represéntala.

Derivamos en forma implícita: 2x + 2yy' + 6 – 2y' = 0

Como y' = – ₄3 , se obtiene x2 – 3₂y + + = 6 ₂3 0 → 4x – 3y + 15 = 0.

Resolvemos el sistema formado por la ecuación de la circunferencia y la condición anterior:

x y x y x y

6 2 15 0 4 3 15 0

– – –

2₊ 2₊ ₌ + =

4

y = 4x+₃15 8 x2+d4x+₃15n2+6x– ·2 4x+₃15 15 0– = 8 x=–6, x=0

x = – 6 → y = ·( )4 –₃6 15+ =–3

x = 0 → y = 5

(0, 5)

(17)

3. Derivación logarítmica

Utiliza la derivación logarítmica y las propiedades de los logaritmos para calcular las funciones deri-vadas de las siguientes funciones:

a) y = log_x tg x b) y = (x + 1) tg x c) y = x2 – ·1 4x₊1

a) y = log_xtg x 8 xy=tg x 8 ylnx=lntg x 8 y= ln_lntg x_x

y' =

ln

ln x

x

· _· _–

ln cos ln

ln

cos ln

ln lncos ln x

x tg x tg x x

x

sen x x tg xx

x sen x x x x tg x

1 ₁

1

· – _·

· – 2

2

2 2

= = e o

b) ln y = · (ln ) 8 ' ( )

cos ln tg x x y_y

x

x _{tg x} x

1 ₂ 1 · 1₁

+ = + + ₊

y' = ( ) ( )

cos ln x

x x

xtg x

1 tg x ₂ 1 ₁ + > + + ₊ H

c) ln y = ( ) ( ) ₍ ₎

( )

' '

8 8

ln x ln x y_y

x x x y

y x

x

2

1 ₁

4

1 ₁

1 4 1 1 4 1

5 1 –

– –

– 2

2 2

+ + = + ₊ =

y' = · ·

( )

x x

xx

1 1

45 11 –

– – 2 4

(18)

E

jercicios y problemas propuestos

Página 263

P

ara practicar

Definición de derivada

1 Halla con calculadora el cociente incremental Df

h para x0 = 2 y h = 0,1 de:

a) f (x) = x b) f (x) = x 2_{– 5x + 1} _{c) f (x) =}

x

1 Compara resultados con las derivadas de estas funciones en el punto de abscisa 2.

a) D_hf = f( , )2 1_{0 1}_,– f( )2 = 2 1,_{0 1}_,– 2 =0 349,

f ' (x) = 8 '( ) ,

x f

21 2 = 2 21 =0 354

b) D_hf = f( , )2 1_{0 1}_,– f( )2 = 2 1, 2–5 2 1 1· ,_{0 1}_, + – –( )5 =–0 9,

f ' (x) = 2x – 5 → f ' (2) = 2 · 2 – 5 = –1

c) D_hf = f( , )2 1_{0 1}_, f( )2 2 1,_{0 1}_,– , 1

2 1

0 238

– ₌ ₌_–

f ' (x) = 8 '( ) ,

x1 f 2 21 0 25

– – _–

2 = 2 =

2 Halla con calculadora el cociente incremental Df

h para x0 = π/3 y h = 0,01 de: a) f (x) = sen x

b) f (x) = cos x c) f (x) = tg x

Compara resultados con las derivadas de estas funciones en el punto de abscisa π/3.

a) D_hf = f +0 01,_, – f sen +0 01,_, –sen ,

π π π π

0 01 3

0 01

3 _{0 496}

3 ₌ 3 ₌

c m c m c m

f ' (x) = cos x → f ' c mπ₃ =cos π₃ =0 5,

b) D_hf = = f +0 01,_, – f cos +0 01,_, –cos ,

π π π π

3 3

0 01 = 3 0 01 3 =–0 869

c m c m c m

f ' (x) = –sen x → f ' c mπ₃ =–sen π₃ =–0 866,

c) D_hf = f +0 01,_, – f +0 01,_, – ,

π π _tg π _tg π

0 01

3 3

0 01

3 _{3 4 07}

= =

c m c m c m

f ' (x) = 8 ' π _π ,

(19)

3 Sabemos que l m f x( ) f x( )

h h –

í 80

0 0

h

+

= f ' (x₀).

A partir de esta expresión, justifica la validez de esta otra:

( ) ( )

l m₈í f x_{x x}–_–f x

x x₀ ₀ 0 = f ' (x0)

Si expresamos la diferencia entre x y x₀ usando la letra h, es decir, h = x – x₀, obtenemos que

x = x₀ + h. Además, cuando x → x₀, la diferencia x – x₀→ 0, es decir, h → 0. Sustituyendo: ( ) ( ) ( ) ( ) _{( )}

í '

l m f x_{x x}–_– f x l mí f x h –_h f x f x

h

8 8

x x0 ₀ 0 = 0 0 0 0

+ ₌

4 Escribe la expresión de los siguientes límites (se supone que las funciones que intervienen son derivables):

a) l m ( ) ( ) x a g x g a

– –

í₈

x a b) hl mí80

( ) ( )

f f 0

h h –

c) l m_xí₈₀ f( ) f( ) x x

2+ – 2 _d)_{l m}_í

8

x 0

( ) ( )

x f 5 – f 5+x

a) _xílm₈_a g x( )_{x a}–_–g a( ) = g ' (a)

b) l mí₈

0 h

( ) ( )

f f 0

h

h – _{= f ' (0)}

c) l m_x₈í ₀ (f 2+x_x)–f( )2 = ϕ'(2)

d) l m_xí₈₀ ( )f 5 –_xf(5+ = l mx) _xí₈₀e– f(5+x_x)– f( )5 o = –f ' (5)

5 El límite l mí₈ 0 h

(π ) π

sen sen

h h –

+ _{es la derivada de la función seno en el punto de abscisa}_π_{, es}

decir, sen' (π). Por tanto, el límite es:

sen' (π) = cos (π) = –1

Calcula análogamente, es decir, a partir de las reglas de derivación que ya conoces, los siguientes límites:

a) l mí 80

h 4

2 hh –

+ _b)_{l m}_í

80

h e h e

–

2+h 2

c) l m_xí₈₃ (x2–_x3x_–+₃1 1)– d) l mí₈

x 4 x x

4 64 – –

3

a) l mí₈

0 h 4

2 hh – + ₌

2 41 = 41

b) l mí₈

0

h e h–e 2+h 2

= e 2

(20)

6 Utiliza la definición de derivada para hallar f ' (2) en los siguientes casos: a) f (x) =

x x

11 –

+ b) f (x) = x 2+

a) f ' (2) = l mí

80 h

( ) ( )

f 2 f 2 h h –

+ _{= l m}_í

80 h – 2 1 2 1 3 1 h h h – + + +

= l mí

80 h – 3 1 3 1 h h h

++ _{= l m}_í

80

h 3h +2 9 = 92

b) f ' (2) = l mí₈

0 h

( ) ( )

f 2 f 2 h h –

+ _{= l m}_í

80 h h

4 h – 2+ _{= l m}_í

80

h _{h( 4 h} ( 4 h

2) ) – 22 2 + +

+ = l mhí80 _{4 h}₊1 ₊₂ = 41

7 Aplica la definición de derivada para hallar f ' (x) en cada caso: a) f (x) = x +

x

1 b) f (x) = x2₊1

a) f ' (x) = l mí₈

0 h

( ) ( )

f x f x

h h –

+ _{= l m}_í

80 h

x _x1 x _x1

h h _h – – + + ₊ d n

= l mí₈

0 h

h+ _x1 – _x1 hh

+ ₌

= l mí₈

0

h ( )

( ) ( )

x x x x x x

h h

h h – h

+

+ + + _{= l m}_í

80

h ( )

( ) x x x x x x x

1 _{1 1 1}

h h

h 2 h – – _– 2 2

2 +

+ ₌ ₌

b) f ' (x) = l mí₈

0 h

( ) ( )

f x f x

h h –

+ _{= l m}_í

80 h (

)

x 1 x 1 h

h 2 – 2

+ + _{+ = l m}_í

80

h _{( (} ₎ ₎

( ( ) ) ( )

x x

x h x

1 1

h h

–

2 2

2 2 2 2

+ + + +

+ + +

= l mí₈

0

h _{( (} ₎

( ) ( ) ) x x x x 1 1 1 1 h h h – 2 2 2 2 + + + + +

+ + = l mhí80 _{( (} ₎ ₎ ( ) x x x x x x x 1 1 2 2 1 2 1 h h h h

2 2 2 2

+ + + +

+ ₌

+ = +

Reglas de derivación

Calcula las derivadas de las siguientes funciones:

8 a) y =

x x 33 – 2 2

+ b) y = 3x2

3

a) y' =

( ) ( ) ( )

( ) ( )

x

x x x x

x

x x x x

x x

3

2 3 3 2

3 2 6 2 6

3 12 – – – 2 2 2 2 2 2 3 3 2 2 + + ₌ + + + ₌ + b) y' =

x

9 2 3

9 a) y =

xx

1 1 – 2 3/

+

c m b) y =

x x

2 2

2

+

a) y' = ·

( )

·( ) ( ) _·

( )

xx x_x x xx x _x x

3 2

1 1

1 1 1 1

3 2

11 1 ₁ 1

– – – – – – – – / / 1 3 2 1 3 2 – – + +₊ = + ₊ + =

d n d n

=

( x) ·( x) ( x)( x) 3

2

1 21 3 1 1

4

– – –

–

/ /

1 3 ₊ 5 3 = 3 ₊ 5

b) y' = · ·

x x x x

2 e– 1₂o+ ₂1 2 =– 2₂ +

10 a) y = ln

xx b) y = 7e –x

a) y' = ( / )· ln ln

x x x x

x x

1 – 1–

(21)

11 a) y =

eex–ee x

x x

– –

+ _b)_y_{= sen x cos x}

a) y' =

( )

( ) ( )

e e e e e e

e e

e e e

e e

3 2 2 4

–

– –

–

– – – –

––

x x

x x x x

x x

x x x x

x x

2

2 2

2

2 2 2 2

2 –

– –

–

– –

–

+ ₌ + ₌

b) y' = cosx·cosx+(–sen x sen x)· =cos2x sen x– 2 =cos2x

12 a) y = _{sen x}1 b) y = ln (x 2_{+ 1)}

a) y' = cos

sen xx

–

2 b) y' = _x22x₊₁

13 a) y = arc tg x₃ b) y = cos 2_{(2x –}_π₎

a) y' =

( / ) ( / ) /

x x x

1 13 31 1 9 1 3

9 3 ·

2 2 2

+ = + = +

b) y' = 2 cos(2x–π)·(–sen x(2 –π))·2=–4 cos(2x–π)·sen x(2 –π)=–2 cos(4x–4π)

14 a) y = sen 2_{x b)}_y_{= tg x}

a) y' = 2sen x· cos x sen x= 2 b) y' = ·( )

tg x tg x tg x tg x

2 1 1 2

1

2 2

+ = +

15 a) y = sen x 2 b) y = arc tg (x 2 + 1)

a) y' = cosx2·2x=2xcosx2 b) y' =

(x ) · x x xx

1+ 12+1 2 2 = 4+22 2+2

16 a) y = (2 x–3)7_b)_y_{= log x}

2

a) y' = ( x ) · · ( )

x x x

7 2 3 2

21 7 2 3

– 6 = – 6 b) y' = · _ln · _ln

x x x

1 2 1

21 = 2 1 2

17 a) y = sen 2_x2_b)_y_{= arc tg}

x

1

a) y' = 2sen x2·cosx2·2x=4x sen x· 2·cosx2=2x sen x· (2 2)

b) y' =

( / ) ( / ) ( / )

x x x x

x

1 11 1 1 1 1 1 1

· – – –

2 2 2 2

2

+ e o= + = +

18 a) y = cos 5_(7x2_{) b)}_y_{= 3}x_{+ 1}

a) y' = 5 cos4(7x2)·(–sen x(7 2))·14x=–70xcos4(7x sen x2) (7 2) b) y' = 3x_{ln 3}

19 a) y = (3 5x–3)2_b)_y_{= arc sen x}

3

2

a) y' = ( x ) ·

x

3

2 5 3 5

3 510 3 –

– /

1 3

3

– ₌ _{b) y' =}

1 –

·

x

x x

3 1

3 2

3 9

3 2

9 2

– –

2 2 = 4 = 4

e o

20 a) y = ln (2x – 1) b) y = tg x

2

(22)

21 a) y = ln (x 2_{– 1)} _{b) y = arc cos x}₂

a) y' =

x22x–1 b) y' = 1 ( 2x) · x x· x x x

1

2 22 2 11 2 ₂ 1₄ –

– – _–

–

– 2

2 = =

22 a) y = ln 1 – b) x y = (arc tg x)2

a) y = ln 1–x=ln(1–x)1 2/ = ₂1 ln(1–x) b) y' = (arc tg x)·

x x

arc tg x

2

1 1 1 2

2 2

+ = + y' = ·₂1 ₍₁–_–1_x₎ = _{2 2}_––1_x

23 a) y = log₃ (7x + 2) b) y = ln tg

x

3

c m

a) y' = _ln1₃ · ₍₇_x7₊₂_{) (}= ₇_x₊7₂₎_ln₃ b) y' = _/

( / ) ( ( / ))

tg x13 · 1 tg2 3x · – _x32 –3 1_{x tg}2 tg ₃3_xx 2

+ = +

d n e o

24 a) y = e 4x_b)_y_{= ln ln}

x

1

c m

a) y' = 4e 4x _{b) y' =}

/ ( / )

( / )

ln 11x · 11x · –e _x12o=– xln11x

25 a) y = 2x_b)_y_{= arc sen}

xx+–11

c m a) y' = 2x_{· ln 2}

b) y' = ·

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) · ( ) xx x x x x

x x x

1 1₁ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 – _– – – – – – – ––

2 2 2 2

2 + + ₌ + = d n =

(x ) (x ) ( ) ( )

x

x x x x x x x

1 1

1 2

1 1 2 1 2

2

12 4 –

– – –

– – – – – – – –

2 ₊ 2 = 2₊ 2 =

26 a) y = 5tg 3_(3x2_{+ 1)} _{b) y = x}₊ _x

a) y' = 15tg2(3 1 1x+ )·[ +tg2(3x2+1 6)]· x=90x tg[ 2(3x2+ +1) tg4(3x2+1)]

b) y' =

x x x x x x

x

x x x x

2 1 1 21 4

2 1 4 2 1 2 + + = + + ₌ + + e o

27 a) y = tg x2_b)_y₌

x x 22 – 3 +

a) y' = ( )· ( )

tg x tg x x tg x x tg x

2

1 ₁ ₂ 1

2

2 2

2 2 2

+ = +

b) y' = ·

( ) ( ) _· ( ) x x x x x x x x 3 1

22 2 ₂ 2

3 ₂2 1 2 4 – – – – / 2 3 2 2 3 2 – + + ₊ = - + = d d n n = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x

x x x x x

3 2

2 2 4

3 2 2

4

3 2 2

4

· + 2· 3 – _{2 3}_/2 4 3/ ·3 – 2 3 4 – 2 +

=

+ = + =

(23)

Página 264

Otras técnicas de derivación

28 Calcula la derivada de las siguientes funciones, aplicando previamente las propiedades de los logaritmos:

a) y = ln

xx

1 1 –

+ b) y = ln (x tg x)2

c) y = ln

x x –1

2 2 3

f p d) y = ln (2x_{· sen}2_x)

a) y = ln 1₁–₊_xx = ₂1[ (ln 1– –x) ln(1+x)]

y' = _x _x

x x x

x

2 1

1––1 – 1₊1 = 12 – – –1 ₁_– 21+ = ₁_––12

< F = _G

b) y = (ln x tg x)2=2[lnx+ln(tg x)]

y' = 2 1

>

_x + 1+_{tg x}tg x2

H

=2 1=_x + _{tg x}2 +tg xG= 2_x + 2 cotg x + 2tg x

c) y = ln ln ln ln( ) ln x

x 1 _x ₁ _x _x _x

3

1 _{1 2}

– _{– –} _{– –}

2 2 3

2

3 2 2

= =

f

p

y' = ·

(x x ) · x (x x ) x 3

1

2 _{2 1}

3 2 1 2

– – – –

2 = 2

d) y = (ln 2xsen x2 )=ln2x+lnsen x x2 = ln2 2+ lnsen x

y' = ln2 2+ · cos_{sen x}x =ln2+ _{tg x}2

29 Calcula la derivada de estas funciones implícitas:

a) x 2_{+ y}2_{= 9} _{b) x}2_{+ y}2_{– 4x – 6y = –9}

c) x y

16 9 1

2 2

+ = d) (x ) (y )

81 14

3 1

– 2 _– ₊ 2

=

e) x 3_{+ y}3_{= –2xy} _{f ) xy}2_{= x}2_{+ y}

g) x y

9 – 25 1

2 2

= h) 4x 2_{+ 4y}2_{+ 8x + 3 = 0}

i) x 2_{+ xy + y}2_{= 0} _{j) yx – x}2_{– y = 0}

a) 2x + 2y · y' = 0

y' = –₂2_yx = –_yx

b) 2x + 2yy' – 4 – 6y' = 0 y' (2y – 6) = 4 – 2x y' = 4 2₂_y–_–₆x = 2_y–_–x₃

c) ₁₆2x + 2yy₉' =0

' yy

(24)

d) (2 x₈–1) – 2(y₁₄+3) 'y =0 ( ) '

x y y

41 7 3 ₀ – – + =

y' = 7₄(₍x_y₊–₃1₎)

e) 3x 2_{+ 3y}2_{y' + 2y + 2xy' = 0} y' (3y 2_{+ 2x) = –3x}2_{– 2y}

y' =

y x x y

3 2 3 2 – –

2 2

+ f ) xy 2_{= x}2_{+ y}

y 2_{+ x · 2yy' = 2x + y'} 2xyy' – y' = 2x – y 2 y' (2xy – 1) = 2x – y 2

y' = 2₂x y_xy–_–₁2

g) 2₉x – 2₂₅yy' = 0 → ₂₅yy' = ₉x → 'y= 25₉_yx

h) 8x + 8yy' + 8 = 0 → yy' = –x – 1 → y' = – –x 1_y

i) 2x + y + xy' + 2yy' = 0 → y' (x + 2y) = –2x – y → y' = – –_x2x y₊₂_y

j) y'x + y – 2x – y' = 0 → y' (x – 1) = 2x – y → y' = 2_xx y_––₁

30 Aplica la derivación logarítmica para derivar:

a) y = x 3x_b)_y_{= x}x + 1_c)_y_{= x}e x

d) y = (ln x)x + 1_e)_y₌

x sen x x

b l f ) y = x tg x

a) Tomamos logaritmos en los dos miembros y aplicamos que el logaritmo de una potencia es

ln x n_{= n ln x :}

y = x 3x_→_{ln y = 3x ln x} Derivamos como función implícita:

y_y' =3lnx+3x· _x1 3= lnx+3 Despejamos y':

y' = x 3x_{(3ln x + 3)}

b) Tomamos logaritmos en los dos miembros y aplicamos que el logaritmo de una potencia es

ln x n_{= n ln x :}

y = x x + 1_→_{ln y = (x + 1) ln x}

Derivamos como función implícita:

y_y' = ln x + (x + 1) · _x1 =lnx+ +1 1_x Despejamos y' :