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MATEMATICA
REPARTIDO Nº10
(AÑO: 2018) LICEO: “I.B.O” 3ºCA-CB OPCION: Ciencias Agrar.y BiológicasLa Distribución Normal.
La Campana de Gauss, Curva de Gauss o Curva Normal, es una función de probabilidad (de densidad)
CARACTERÍSTICAS:
Su dominio son los Reales Es simétrica respecto a su media Posee un máximo absoluto que se sitúa en la
media
El área delimitada por la curva y los extremos es 0,6826; entre es de 0,9544 y entre es prácticamente la unidad.
El nombre de Normal se debe a que esta distribución aparece en muchas situaciones comunes en la sociedad. Ejemplo de esto son:
Estudio de formas y estructura de individuos de una misma raza: peso, talla, … ,etc.
Efecto de una misma dosis de fármacos en distintos individuos.
Consumo de cierto producto de los individuos de una misma especie.
Resistencia de la rotura de cierta pieza.
Estudio de los errores que se producen al medir reiteradamente una cierta magnitud.
Talla de los niños recién nacidos.
Para cada valor de
y
hay una curva normal a la que la indicaremos con:N
,
A pesar de variar la curva, la distribución de probabilidad es idéntica en cada una de ellas.
Si variamos la desviación estándar
se produce un estiramiento o achatamiento de la curva .Prof. A. Lepratte- A. Pérez Página 2 También se pueden producir ambos procesos a la vez, obteniéndose resultados como el siguiente:
Cálculo del área bajo la curva de una distribución normal
N
0,1
A la curva normal
N
0,1
le llamaremos curva normal estandarizada. En este caso a la variable la representaremos con la letra Z, para distinguirla de una distribución cualquiera en la que usamos la X. Recuerda que el área bajo la curva en un cierto intervalo, la hallamos para obtener la probabilidad en dicho intervalo.El área y por ende la probabilidad de todo valor donde k es un real mayor o igual a cero se representa por y se calcula usando la tabla llamada de Probabilidad de Distribución Normal Estandarizada en la que están calculadas las áreas bajo la curva en los intervalos
,
k
donde k varía entre 0 y 4 y varía de centésima en centésima.
Ejercicio 1: Halla las siguientes probabilidades usando la tabla de distribución normal estandarizada:
a) P(Z 0,84) b) P(Z<2) c) P(Z<2,35) d) P(Z<4) e) P(Z
Las distribuciones normales que tenemos que manejar en la práctica no suelen ser estándar, por lo que sigue vigente el problema de calcular las probabilidades de variables X.
Se establece una relación adecuada, llamada tipificación de la variable, es decir, si X es una variable de distribución
N
,
, para calcular la probabilidad en el intervalo
a b, se halla realizando lasiguiente transformación:
Obteniéndose una nueva distribución donde la media aritmética pasa a valer 0 y el desvío estándar 1, por lo que la nueva distribución es normal estandarizada
N
0,1
El proceso de tipificación se puede explicar gráficamente con la ayuda de la figura
El área coloreada de la variable X, N(8, 2), que mide la probabilidad P(8<X<10), es la misma que la señalada en la N(0, 1) que cuantifica la probabilidad P(0<Z<1), siendo y la misma que mide la probabilidad P(15<X<20) en la normal N(15, 5)
k) P(-1,96<Z<-1,3)
l) P(-1,3<z<1,96)
m) P(-1,96<Z<1,96)
n) P(Z=2,1) a) P(Z=1)
g) P(Z>1,3)
h) P(Z<-1,3)
i) P(Z>-1,3)
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Ejemplo
El peso de los sujetos de una determinada población sigue una distribución aproximadamente normal, con una media de 80 kg y una desviación estándar de 10 kg.
¿Cuál es la probabilidad de que una persona, elegida al azar, tenga un peso superior a 100 kg?
=
Ejercicio 2: en una distribución normal N(173, 6), halla las siguientes probabilidades:
a) P(X b) P(X
c) P(174
Problema
La media de los pesos de 500 estudiantes de un colegio es 70 kg y la desviación típica de 3 kg. Suponiendo que los pesos se distribuyen normalmente, hallar cuántos estudiantes pesan:
a) Entre 60 kg y 65 kg. b) Más de 90 kg. c) Menos de 64 kg. d) 64 kg.
e) 64 kg o menos.
Problemas:
1) En una ciudad se estima que la temperatura máxima en el mes de Marzo se distribuye según una distribución normal, con media 23° y desviación típica 5°. Calcular el número de días del mes en los que se espera alcanzar máximas entre 21° y 27°.
2) Se supone que los resultados de un examen siguen una distribución normal con media 78 y varianza 36. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona que se presenta el examen obtenga una calificación superior a 72?
3) Varios test de inteligencia dieron una puntuación que sigue una ley normal con media 100 y desviación típica 15.
a)
Determinar el porcentaje de población que obtendría un coeficiente entre 95 y 110.
b) En una población de 2500 individuos ¿cuántos individuos se esperan que tengan un coeficiente superior a 125?.
4) La duración media de un lavavajillas es de 15 años con una desviación típica igual a 0,5 años. Si la vida útil del electrodoméstico se distribuye normalmente, halla la probabilidad de que al comprar un lavavajillas éste dure más de 16 años.
5) La distribución de puntos obtenidos por los participantes en un concurso es dado por una distribución normal de media 110 puntos y desviación típica de 15 puntos.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un concursante obtenga más de 125 puntos?.
b) Para aprobar el concurso es necesario obtener 100 puntos o más. ¿Qué porcentaje de concursantes aprueba?.
c) ¿Cuántos puntos como mínimo, debe obtener un concursante para estar entre el 25% de los mejores?.
d) P(161
e) P(X>191)
Prof. A. Lepratte- A. Pérez Página 4 6) Las tallas de 800 recién nacidos se distribuyen normalmente con una media de 66 cm y una desviación típica de 5. Calcular cuántos recién nacidos se espera que nazcan con tallas comprendidas entre 65 y 70 cm.
7) El tiempo necesario para que una ambulancia llegue a un centro deportivo se distribuye según una distribución normal de media 17minutos y desviación típica 3min. Calcula la probabilidad de que el tiempo de llegada esté comprendido entre 13 min y 21 min.
8) El nivel de colesterol en una persona adulta sana sigue una distribución normal N(192, 12). Calcula la probabilidad de que una persona adulta sana tenga un nivel de colesterol:
a) Superior a 200 unidades. b) Entre 180 y 220 unidades.
9) De examen
En una casa de salud para personas de la tercera edad se hace un estudio y se obtienen estos datos:
i) 3 de cada 10 personas que viven en esa casa no tienen hijos
ii) Las edades se distribuyen según la normal con media de 68 años y desviación de 3,5 años a- Si se eligen 15 de las personas al azar cual es la probabilidad de que exactamente 4 no tengan
hijos
b- Si se eligen 15 personas al azar cual es la probabilidad de que por lo menos 2 no tengan hijos c- Calcula la probabilidad de que una de las personas del hogar tenga una edad menor de 60
años
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Tabla de Probabilidad de Distribución Normal Estandarizada N(0,1)
Puedes usar la tabla de abajo para saber el área bajo la curva desde
hasta cualquier líneavertical de valores de k de 0 a 4, de centésima en centésima.
Los incrementos están de 0.1 hacia abajo, y de 0.01 de lado. Por ejemplo, para saber el área
debajo de la curva entre
y 0,45, ve a la fila de 0,4, y sigue de lado hasta 0,05, allí pone0,6736
K 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
