Examen Final Finanzas a Largo Plazo Pauta de Corrección 2° Sem 2017

(1)

1. (5 puntos) Mayores niveles de aversión al riesgo dan lugar a menores proporciones de los activos libres de riesgo.

a) Verdadero b) Falso

2. (5 puntos) La disponibilidad a aceptar mayores niveles de riesgo a cambio de mayores niveles de rentabilidad dará lugar a combinaciones apalancadas.

3. (5 puntos) La mayor tolerancia al riesgo implica una menor aversión al riesgo (A), lo que da lugar a una caída de las primas por riesgo.

4. (5 puntos)

Un portafolio por encima de la línea de mercado de capitales (LMC) tiene un ratio

de

Sharpe

mayor al asociado al portafolio de mercado. Luego, los inversionistas

más aversos

al riesgo lo escogerán. Grafique y comente al respecto si la afirmación es verdadera o falsa.

Respuesta:

El ratio de Sharpe se define como:

𝑆

_𝑖

=

𝐸(𝑟

𝑖

) − 𝑟

𝑓

𝜎(𝑟

_𝑖

)

Nombre y Apellido: _____________________________________ Firma del/la alumno/a: _____________________

Asignatura: Finanzas a Largo Plazo Carrera: Ingeniería Comercial

Semestre: 7mo Turno: Noche Sección: Grupo 30 Periodo: 2017-2

Profesor: Carlos Marcos Fecha: 14.12.2017

1ºP.: 2ºP.: 3ºP.: E.F.: E.E.:

(2)

Este ratio está directamente relacionado a la pendiente de la línea que se forma entre el activo libre de riesgo y el activo que se está analizando (en el caso del portafolio de mercado, esta línea es la LMC), por lo que si un activo está por encima de la LMC, la línea que se forma tiene una mayor pendiente (m´ > m) y, por lo tanto, tiene un ratio de Sharpe mayor (por lo que la primera parte es verdadera).

Gráficamente:

Sin embargo, los inversionistas no podrán escoger este activo, debido a que, dada una tasa libre de riesgo, el portafolio de mercado es el activo riesgoso con el que se puede alcanzar el mayor ratio de Sharpe. Si este activo de mayor ratio (E) se pudiera alcanzar, estaría incluido dentro de la frontera eficiente. Si fuera así, necesariamente el portafolio de mercado debería tener un ratio de Sharpe mayor o igual. Luego, este activo no es factible de conseguir, por lo que la afirmación es falsa.

5. (20 puntos) Suponga que el exceso de retorno de mercado,

𝐸(𝑟

_𝑀

) − 𝑟

_𝑓es 8%, la desviación estándar del mercado es 20%, la desviación estándar del activo A es 25%, y el coeficiente de correlación entre el activo A y el mercado es −0, 8. Calcule el beta y el nivel de riesgo diversificable de A.

Respuesta:

Primero, obtenemos la beta de A:

𝛽

_𝐴

=

𝐶𝑜𝑣(𝑟

𝐴

, 𝑟

𝑀

)

𝜎2

𝑀

=

𝜌

𝐴,𝑀𝜎𝐴𝜎𝑀

𝜎2 𝑀

=

𝜌

𝐴,𝑀𝜎𝐴

𝜎

_𝑀

=

−0,8 ∗ 0,25

0,20

= −1

Considerando el riesgo total:

𝜎2

(3)

Ahora despejamos el riesgo diversificable del activo A:

𝜎2(𝑒𝑖) = 𝜎2𝐴− 𝛽2𝐴𝜎2𝑀

Por lo tanto, el riesgo diversificable de A es 0, 0225:

𝜎2(𝑒𝑖) = 0,252− (−1)2∗ (0,20)2= 0,0225

6. (30 puntos) Considere la siguiente información de dos fondos mutuos accionarios (A y B) y del activo libre de riesgo (rf):

El coeficiente de correlación () entre los fondos accionarios es -0,2. Se pide:

a) (10 puntos) Calcule la matriz de varianza y covarianza y el portafolio de mínima varianza.

Respuesta:

𝑊

_𝐴𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑧𝑎

=

𝜎

2

𝐵

− 𝐶𝑜𝑣

𝐴,𝐵

𝜎

2

𝐴

+ 𝜎

2𝐵

− 2𝐶𝑜𝑣

𝐴,𝐵

𝑊

=

60

2

_{− (−0,2 ∗ 20 ∗ 60)}

20

2

_{+ 60}

2

_{− 2(−0,2 ∗ 20 ∗ 60)}

= 0,8571(85,71%)

Reemplazando en:

𝑊

_𝐵𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑧𝑎

= 1 − 𝑊

𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑧𝑎

A B

A 0,04 -0,024

(4)

b) (10 puntos) Encuentre el portafolio óptimo formado por ambos fondos mutuos accionarios.

Respuesta:

Dado que este es el caso de dos activos, es posible encontrar una solución cerrada a este problema de portafolio.

Primero note que la covarianza, cov(A; B) es igual a:

𝐶𝑜𝑣(𝐴; 𝐵) = 𝜌𝐴,𝐵𝜎𝐴𝜎𝐵 = (−0,2)(20)(60) = −240

Luego el monto invertido en el fondo mutuo accionario A es:

𝑊

₁𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒

=

(𝑟

1

− 𝑟

𝑓

)𝜎

2

− (𝑟

2

− 𝑟

𝑓

)𝜌

1,2

𝜎

1

𝜎

2

(𝑟

₂

− 𝑟

_𝑓

)𝜎

2

1

− (𝑟

1

− 𝑟

𝑓

+ 𝑟

2

− 𝑟

𝑓

)𝜌

1,2

𝜎

1

𝜎

2

+ (𝑟

1

− 𝑟

𝑓

)𝜎

22

𝑊

1𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒

=

(10 − 5)60

2

− (30 − 5)(−240)

(30 − 5)20

2

_{− (10 − 5 + 30 − 5)(−240) + (10 − 5)60}

2

= 0,6818

𝑊

₂𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒

= 1 − 𝑊

𝑊

₂𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒

= 1 − 0,6818 = 0,3182

c) (5 puntos) Encuentre el retorno esperado (E(rp)) y la desviación estándar (p) de este portafolio óptimo.

Respuesta:

𝐸(𝑟𝑝) = 𝑊𝐴𝑟𝐴+ 𝑊𝐵𝑟𝐵

𝐸(𝑟𝑝) = (0,6818)(10) + (0,3182)(30) = 16,36%

𝜎2𝑝= 𝑊2𝐴𝜎2𝐴+ 𝑊2𝐵𝜎2𝐵+ 2𝑊𝐴𝑊𝐵𝐶𝑜𝑣(𝑟𝐴, 𝑟𝐵)

(5)

d) (5 puntos) Si el nivel de aversión al riesgo es A = 5 ¿Cuánto se invierte en A, B y en el activo libre de riesgo?

Respuesta:

La proporción invertida en el portafolio riesgo es:

𝑦

∗

=

𝐸(𝑟

𝑝

) − 𝑟

𝑓

𝐴𝜎

2

𝑝

=

0,1636 − 0,05

5(0,2113

2

₎

= 0,5089

Así, se invierte:

(0,5089)*(68,18%) = 34,70% en el fondo mutuo A, (0,5089)*(31,82%)= 16,19% en el fondo mutuo B, y 49,11% en el activo libre de riesgo.

Ejemplo: Portafolio con 2 Acciones

7. (30 puntos) Considere la siguiente función de utilidad:

𝑈 = 𝐸(𝑟

_𝑝

) −

1

3 𝜎

𝑝

2

Donde E(rp) es el retorno esperado del portafolio y pes su desviación estándar. La línea de mercado de capitales (CAL) es la siguiente:

Portafolio de 2 Acciones

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25

0.15 0.17 0.19 0.21 0.23 0.25 0.27 0.29

(6)

Donde , es la prima por riesgo de mercado

𝐸(𝑟

_𝑀

) − 𝑟

𝑓 , y rf es la tasa del activo libre de riesgo. Usted sabe además que actualmente  es 0, 12 y rf es igual a 0,07. Se le pide:

a) (15 puntos) Encuentre una expresión para el retorno del portafolio óptimo, su varianza y el nivel de utilidad asociado a éste.

Respuesta:

Sustituyendo la expresión de la CAL (Capital Allocation Line) en la función de utilidad, podemos derivar directamente con respecto a p:

𝑈 = 𝐸(𝑟

𝑝

) −

1

3 𝜎

𝑝

2

𝑈 = 𝑟

_𝑓

+ 𝜎

_𝑝

𝛾 −

1

3 𝜎

𝑝

2

Derivamos la función de utilidad respecto a

𝜎

𝑝 e igualamos a cero:

𝜕𝑈

𝜕𝜎

_𝑝

= 𝛾 −

2

3 𝜎

𝑝

= 0

𝜎

_𝑝

=

3

2 𝛾

Reemplazando el valor de :

𝜎

_𝑝

=

3

2 ∗ 0,12 = 0,18

Luego, reemplazando en la CAL podemos encontrar el retorno del portafolio óptimo:

𝐸(𝑟

𝑝

) = 𝑟

𝑓

+ 𝜎

𝑝

𝛾

𝐸(𝑟

_𝑝

) = 0,07 + 0,18 ∗ 0,12 = 0,0916 (9,16%)

Por último, reemplazando en la función de utilidad podemos encontrar el nivel de utilidad asociado al portafolio óptimo:

𝑈 = 𝐸(𝑟

𝑝

) −

1

3 𝜎

𝑝

2

𝑈 = 0,0916 −

1

3 0,18

2

_{= 0,0808}

b) (15 puntos) Considere ahora la siguiente función de utilidad alternativa:

(7)

Repita el análisis hecho en (a) con la nueva función de utilidad. ¿Cómo este nuevo equilibrio se compara con el resultado en (a)?

Respuesta:

Reemplazamos E(rp) en la función de utilidad:

𝑈 = 𝑟

_𝑓

+ 𝜎

_𝑝

𝛾 − 4𝜎

_𝑝2

Ahora, derivamos con respecto a p:

𝜕𝑈

𝜕𝜎

_𝑝

= 𝛾 − 4 ∗ 2𝜎

𝑝

= 0

𝜎

_𝑝∗

₌

𝛾

8

Reemplazando el valor de :

𝜎

_𝑝∗

₌

0,12

8 = 0,015

Luego, reemplazando en la CAL podemos encontrar el retorno del portafolio óptimo:

𝐸(𝑟

_𝑝

) = 𝑟

_𝑓

+ 𝜎

_𝑝∗

_𝛾

𝐸(𝑟

_𝑝

) = 0,07 + 0,015 ∗ 0,12 = 0,0718 (7,18%)

Por último, reemplazando en la función de utilidad podemos encontrar el nivel de utilidad asociado al portafolio óptimo:

𝑈 = 𝐸(𝑟

𝑝

) − 4𝜎

𝑝2

𝑈 = 0,0718 − 4 ∗ 0,015

2

_{= 0,0709}

(8)

Fórmulas:

 Covarianza de los retornos de 2 valores:

𝐶𝑜𝑣(𝑟1, 𝑟2) = 𝜌1,2𝜎1𝜎2

 Retorno esperado de un portafolio con 2 valores:

𝐸(𝑟𝑝) = 𝑊1𝑟1+ 𝑊2𝑟2

 Varianza de un portafolio con 2 valores:

𝜎2𝑝= 𝑊21𝜎21+ 𝑊22𝜎22+ 2𝑊1𝑊2𝐶𝑜𝑣(𝑟1, 𝑟2)

 Desviación estándar de un portafolio con 2 valores:

𝜎𝑝= √𝑊21𝜎21+ 𝑊22𝜎22+ 2𝑊1𝑊2𝐶𝑜𝑣(𝑟1, 𝑟2)

 Portafolio de Mínima Varianza:

𝑊

1∗

=

𝜎

2₂

− 𝜌

_1,2

𝜎

₁

𝜎

₂

𝜎

2

1

+ 𝜎

22

− 2𝜌

1,2

∗ 𝜎

1

𝜎

2

𝑊

2∗

= 1 − 𝑊

1∗

 Portafolio Óptimo (Tangente):

𝑊

=

(𝑟

1

− 𝑟

𝑓

)𝜎

2

− (𝑟

2

− 𝑟

𝑓

)𝜌

1,2

𝜎

1

𝜎

2

(𝑟

₂

− 𝑟

_𝑓

)𝜎

2

1

− (𝑟

1

− 𝑟

𝑓

+ 𝑟

2

− 𝑟

𝑓

)𝜌

1,2

𝜎

1

𝜎

2

+ (𝑟

1

− 𝑟

𝑓

)𝜎

22

𝑊

= 1 − 𝑊

 Proporción a invertir en el activo riesgoso:

𝑦

∗

₌

𝐸(𝑟

𝑝

) − 𝑟

𝑓

𝐴𝜎

2

𝑝

 Beta de la acción:

𝛽

_𝑖

=

𝐶𝑜𝑣(𝑟

𝑖

, 𝑟

𝑀

)

𝜎2

𝑀

=

𝜌

𝑖,𝑀𝜎𝑖𝜎𝑀

𝜎2 𝑀

 Ratio de Sharpe:

𝑆

𝑖

=

(9)

 Varianza total (Riesgo total):

𝜎𝑖2 = 𝛽𝑖2𝜎2𝑀+ 𝜎2(𝑒𝑖)

Donde,

𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚á𝑡𝑖𝑐𝑎 (𝑟𝑖𝑒𝑠𝑔𝑜 𝑛𝑜 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑠𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑏𝑙𝑒) = 𝛽𝑖2𝜎2𝑀

𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 𝑛𝑜 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚á𝑡𝑖𝑐𝑎 (𝑟𝑖𝑒𝑠𝑔𝑜 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑠𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑏𝑙𝑒) = 𝜎2(𝑒𝑖)

 Riesgo Total = riesgo sistemático + riesgo no sistemático

Riesgo Sistemático Riesgo Total = 𝝆

𝟐₌ 𝛽𝑖

2_𝜎2 𝑀 𝛽𝑖2𝜎2𝑀+ 𝜎2(𝑒𝑖)

 Prima de riesgo:

𝐸(𝑟

𝑝

) − 𝑟

𝑓

=

1

2 𝐴𝜎

2 𝑝

Donde A, es el coeficiente de aversión al riesgo.

 Función de utilidad de un inversor: