1.
La temperatura T, en grados centígrados, que adquiere una pieza sometida a un proceso viene dada en función del tiempo t, en horas, por la expresión:2
( )
40
10
0
4
T t
=
t
−
t con
≤ ≤
t
a) Represente gráficamente la función T y determine la temperatura máxima que alcanza la pieza.
b) ¿Qué temperatura tendrá la pieza transcurrida 1 hora? ¿Volverá a tener esa misma temperatura en algún otro instante?
2.
Halle la ecuación de la recta tangente a la curva en su punto de inflexión.3
4
2
y
= −
x
x
+
3.
Dada la curva, se pide:2
1
x
y
x
=
−
(a) Cortes con los ejes.
(b) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. (c) Máximos y mínimos, si los hay.
4.
Dada la curva, se pide:2
2
1
1
x
y
x
−
=
+
(a) Cortes con los ejes.
(b) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. (c) Máximos y mínimos, si los hay.
5.
Se dispone de un hilo metálico de longitud 140 metros. Se quiere dividir dicho hilo en tres trozos de forma que uno de ellos tenga longitud doble de otro y tal que al construir con cada uno de ellos un cuadrado, la suma de las áreas de los tres cuadrados sea mínima. Encontrar la longitud de cada trozo.6.
La concentración de ozono contaminante, en microgramos por metro cúbico, en una ciudad viene dada por la función, donde x es el tiempo transcurrido desde 1 de enero de 1990 contado en años.( )
2
90 15
0.6
C x
=
+
x
−
x
a) ¿Hasta qué año está creciendo la concentración de ozono?
b) ¿Cuál es la concentración máxima de ozono que se alcanza en esa ciudad?
7.
Sabemos que la función tiene un máximo en el punto (3,8).( )
2
f x
=
ax
+
bx
a) Halla los valores de “a” y “b”.
b) Para dichos valores, calcula la ecuación de la recta tangente a f(x) en el punto de abscisa 0.
8.
Sea la función. Determínese a, b y c de modo que f(x) tenga un extremo relativo en x = 0, la recta tangente a la gráfica de f(x) en x = 1 sea paralela a la recta y-4x=0, y el área comprendida por la gráfica de f(x), el eje OX y las rectas x = 0, x = 1, sea igual a 1.( )
3
2
f x
= +
x
ax
+ +
bx c
9.
Calcular la base y la altura del triangulo isósceles de perímetro 8 y área máxima.10.
Dada la función, se pide:( )
2
1
f x
= −
x
a) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto ( , ( ))
P a f a , donde 0<a<1.
b) Hallar los puntos A y B en los que la recta hallada en el apartado a) corta a los ejes vertical y horizontal respectivamente.
c) Determinar el valor de a∈(0,1) para el cual la distancia entre el punto A y el punto P a f a( , ( )) es el doble de la distancia entre el punto B y el punto P a f a( , ( ))
11.
Del polinomio se sabe que su recta tangente en el punto x = 1 es paralela a la recta y = 7x-3 y también se sabe que tiene un punto extremo en x = -1. Con estos datos hallar A y B y razonar si con dichos valores P(x) tiene algún otro extremo además del correspondiente al punto x = -1.( )
3
2
f x
= +
x
Ax
+
Bx
12.
Sea la función: 2(
1)(
2)
( )
x
x
f x
x
−
−
=
a) Calcula la ecuación de la recta tangente a la curva en x = -3. b) Calcula sus máximos, mínimos y puntos de inflexión.
13.
Sea la función, con a un parámetro real.( )
ax
f x
=
xe
−
a) Calcular los valores del parámetro a para que f(x) tenga un máximo o un mínimo en x = 3. Para esos valores del parámetro decir si x = 3 es máximo o mínimo.
b) Para a = -2 escribir los intervalos de crecimiento, decrecimiento, concavidad y convexidad de f(x).
14.
Tenemos que hacer dos chapas cuadradas de dos distintos materiales. Los dos materiales tienen precios respectivamente de 2 y 3 euros por centímetro cuadrado. ¿Cómo hemos de elegir los lados de los cuadrados si queremos que el coste total sea mínimo y si además nos piden que la suma de los perímetros de los dos cuadrados ha de ser de un metro?15.
Descomponer el número 81 en dos sumandos de forma que el producto del primer sumando por el cuadrado del segundo sea máximo.16.
Determinar el punto de inflexión de abscisa positiva de la curva de ecuación.2
1
1
y
x
=
+
17.
Se dispone de una barra de hierro de 10 metros para construir una portería, de manera que la portería tenga la máxima superficie interior posible.a) ¿Qué longitud deben tener los postes y el larguero? b) ¿Qué superficie máxima interior tiene la portería?
18.
Hallar las dimensiones de un depósito abierto superiormente, en forma de prisma recto de base cuadrada, de 50 m3 de volumen, que tenga superficie mínima.19.
Se considera la función. Se pide:3
2
3
2
2
y
= −
x
x
+
x
+
a) Calcular la ecuación de la recta tangente a la gráfica f(x) en el punto de abscisa x = 3
b) Existe alguna otra recta tangente a la gráfica f(x) que sea paralela a la que hemos hallado. Razona la respuesta y, en caso afirmativo, halla la ecuación.
20.
Consideramos la función donde a es un parámetro.2
6
1
a
y
x
x
= + +
a) Calcula el valor del parámetro a sabiendo que f(x) tiene un extremo relativo en el punto de abscisa x = 3.
b) ¿Se trata de un mínimo o un máximo? Razona la respuesta.
21.
La función de coste total de producción de x unidades de un determinado producto es.( )
( )
3
8
20,
100
C x
x
y
x
Q x
x
=
+
+
=
a) Se define la función de coste medio por unidad como Q(x), ¿cuántas unidades xo son necesarias producir para que sea mínimo el coste
medio por unidad?
b) ¿Qué relación existe entre Q(xo) y C’(xo)?
22.
La función pasa por el punto (-1,0) y tiene un máximo en el punto (0,4).3
2
y
=
x
+
ax
− +
bx
c
Halla: a) La función. b) El mínimo. c) El punto de inflexión.23.
Demuestra que la función corta al eje OX en el intervalo (-1,1) y tiene un máximo relativo en ese mismo intervalo.2 2
x
y
= +
x e
−
24.
Halla las derivadas de las siguientes funciones y simplifica el resultado:)
( )
)
( )
2
ln
ln sin
x
i
x
ii y
=
x
25.
Una multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos en euros vienen dados por la función I(x), mientras que sus gastos (también en euros) pueden calcularse mediante la función G(x) donde x representa la cantidad de unidades vendidas. Determinar:( )
( )
2
2
28
36000
44
12000
700000
I x
x
x
G x
x
x
=
+
=
+
+
a) La función que define el beneficio anual en euros.
b) La cantidad de unidades que deben ser vendidas para que el beneficio sea máximo. Justificar que es máximo.
c) El beneficio máximo.
26.
Encontrar razonadamente el punto de la curva en el que la tangente a la curva tiene pendiente máxima y calcular el valor de esta pendiente.2
1
1
y
x
=
+
27.
En un plano el trazado de una carretera discurre según la función, siendo un río el eje OX. En el terreno entre el río y la carretera hay un pinar. Si expresamos las distancias en kilómetros, ¿cuánto vale el pinar si la hectárea se paga a 60 euros?2
4
x
y
=
−
x
28.
Sea la función. Determinar:2
1
x
y
x
+
=
a) Cortes con los ejes.
b) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. c) Máximos y mínimos, si los hay.
29.
La suma de tres números positivos es 60. El primero más el doble del segundo más el triple del tercero suman 120. Hallar: Los números que verifican estas condiciones y cuyo producto es máximo.30.
Sea la función:( )
3
2
5
f x
=
x
+
ax
+
a) Calcula el valor de a para que f tenga un extremo relativo (máximo o mínimo) cuando x= 2.
b) Para ese valor de a, calcula todos los extremos relativos, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, y los puntos de inflexión de f. Dibuja la gráfica de la función.
c) ¿Es posible encontrar algún valor a tal que sea creciente en todo su dominio? Justifica tu respuesta.
31.
En los estudios epidemiológicos realizados en determinada población se ha descubierto que el número de personas afectadas por cierta enfermedad viene dado por la función:( )
2
3
72
243
f x
= −
x
+
x
+
Siendo x el número de días transcurridos desde que se detectó la enfermedad.
Determinar:
a) El número de días que han de transcurrir hasta que desaparezca la enfermedad.
b) El número máximo de personas afectadas.
c) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la enfermedad.
