La distribución normal
Estadística 2
Introducción
Una de las herramientas de mayor uso en las empresas es la utilización de la curva normal para describir situaciones donde podemos recopilar datos. Esto nos permite tomar decisiones que vayan a la par con las metas y objetivos de la organización.
En este módulo se describe la relación de la Distribución normal con la Distribución normal estándar. Se utilizan ejemplos y ejercicios donde se enseña sobre la determinación de probabilidades y sus aplicaciones.
Glosario de términos
• Asintótica – Línea que se acerca indefinidamente a un
eje sin llegar a encontrarlo.
• Aleatorias – Que son al azar.
• Tipificada – Que tiene un arreglo uniforme o estándar.
Utilidad
• Se utiliza muy a menudo porque hay muchas variables
asociadas a fenómenos naturales que siguen el modelo de
la norma. Distribución normal.
•
Caracteres morfológicos
de individuos (personas,
animales, plantas,...) de una especie, por ejemplo: tallas,
pesos, diámetros, distancias, perímetros,...
Utilidad
•
Caracteres sociológicos
, por ejemplo: consumo de cierto
producto por un mismo grupo de individuos, puntuaciones
de examen.
•
Caracteres psicológicos
, por ejemplo: cociente intelectual,
grado de adaptación a un medio,...
•
Errores
cometidos al medir ciertas magnitudes.
La función de distribución
• Puede tomar cualquier valor (-, +).
• Hay más probabilidad para los valores cercanos a la media
.
• Conforme nos separamos de , la probabilidad va
decreciendo de igual forma a derecha e izquierda (es
simétrica).
Forma de la Distribución Normal o
conocida como campana de Gauss
Propiedades de la distribución normal
La forma de la campana de Gauss depende de los
parámetros μ y σ.
Tiene una única moda que coincide con su media y su
mediana.
La curva normal es asintótica al eje de X.
Resumen
• Podemos concluir que hay una familia de distribuciones con una forma común, diferenciadas por los valores de su media y su varianza.
• La desviación estándar (σ ) determina el grado de apuntamiento de la curva. Cuanto mayor sea el valor de σ, más se dispersarán los datos en torno a la media y la curva será más plana.
La distribución normal estándar
• Z se la denomina
variable tipificada de X, y a la curva de
su función de densidad se le conoce como la curva
normal estándar.
• Es una distribución normal con promedio 0 y una
desviación estándar de 1.
La función F(z)
Resumen
• Podemos decir que el valor de Z es la cantidad
de desviaciones estándar a la que está
distanciada la variable X del promedio.
Características de la
distribución normal estándar
.
•
No depende de ningún parámetro.
•
Su media es 0, su varianza es 1 y su desviación estándar es 1.
•
La curva
f(x)
es simétrica respecto del eje de
Y
.
•
Tiene un máximo en el eje de
Y
.
Área bajo la curva normal estándar
El área bajo la curva normal estándar es útil para
asignar probabilidades de ocurrencia de la
variable X.
Pasos para determinar el área bajo
la curva normal estándar
Paso 1 -
Interpretar gráficamente el área de interés.
Paso 2 -
Determinar el valor Z.
Paso 3 -
Buscar en la tabla de probabilidades.
Ejemplos y ejercicios
Ejemplo 1
Determine la probabilidad de que una persona tenga un peso
menor o igual a 150 libras.
Paso 1 -
Interpretar gráficamente el área de interés.
Ejemplo 1
Determine la probabilidad de que una persona tenga un peso
menor o igual a 150 libras
Paso 2 - Determinar el valor Z:
Paso 3 - Buscar en la tabla de probabilidades.
Buscamos en la Tabla 1 el valor Z=0.50 y obtenemos el área de 0.1915
Paso 4 - Hacer la suma o resta de áreas para encontrar la probabilidad deseada.
En este ejemplo lo que debemos de realizar es sumar el 0,50 de la cola izquierda lo que nos dará un 69,15%.
50 . 0 20
140 150
Ejemplo 2
Si deseamos la probabilidad de que una persona, elegida al
azar, tenga un peso mayor o igual a 150 libras
Paso 1 - Interpretar gráficamente el área de interés.
Gráficamente si decimos que a=150 libras, el área de la curva
que nos interesa es la siguiente:
Ejemplo 2
Si deseamos la probabilidad de que una persona, elegida al
azar, tenga un peso mayor o igual a 150 libras
Paso 2 - Determinar el valor Z:
Paso 3 - Buscar en la tabla de probabilidades.
Buscamos en la Tabla el valor Z=0.50 y obtenemos el área de 0.1915 Paso 4 - Hacer la suma o resta de áreas para encontrar la probabilidad deseada.
En este ejemplo el área de 0.1915 no representa el área que nos interesa sino la contraria. En este caso debemos restarle 0.50 a la probabilidad
encontrada. 0.50 - 0.1915 = 0.3085
Ejemplo 3
Determine la probabilidad de que una persona, elegida al azar,
tenga un peso menor o igual a 115 libras
Paso 1 Interpretar gráficamente el área de interés.
Gráficamente si decimos que a=115 libras, el área de la curva que nos interesa es la siguiente:
Ejemplo 3
Determine la probabilidad de que una persona, elegida al azar,
tenga un peso menor o igual a 115 libras
Paso 2 - Determinar el valor Z:
Paso 3 - Buscar en la tabla de probabilidades.
Buscamos en la Tabla el valor Z=1.25 y obtenemos el área de 0.39435
Paso 4 - Hacer la suma o resta de áreas para encontrar la probabilidad deseada.
En este ejemplo el área de 0.39435 le vamos a restar 0.50 0.50 - 0.3944 = 0.1056
25 . 1 20
140
Ejemplo 4
Si deseamos la probabilidad de que una persona, elegida al
azar, tenga un peso entre 115 y 150 libras.
Paso 1 - Interpretar gráficamente el área de interés.
Ejemplo 4
Si deseamos la probabilidad de que una persona, elegida al
azar, tenga un peso entre 115 y 150 libras.
Paso 2 - Determinar el valor Z
Cuando X=115
Cuando X=150 Paso 3 - Buscar en la tabla de probabilidades.
Buscamos en la Tabla el valor Z=-1.25 y obtenemos el área de 0.39435 Buscamos en la Tabla el valor Z=0.50 y obtenemos el área de 0.19146
25 . 1 20
140
115
X Z 50 . 0 20 140 150
Ejemplo 4
Si deseamos la probabilidad de que una persona, elegida al
azar, tenga un peso entre 115 y 150 libras.
Paso 4 - Hacer la suma o resta de áreas para encontrar la probabilidad deseada.
En este caso debemos de sumar las dos áreas obtenidas. 0.39435 + 0.19146 = 0.58581
Ejemplo 5
Determine la probabilidad de que una persona tenga un peso
entre 150 y 160 libras
Paso 1 Interpretar gráficamente el área de interés.
Paso 2 - Determinar el valor Z
Paso 3 - Buscar en la tabla de probabilidades.
Buscamos en la Tabla el valor Z = 0.50 y obtenemos el área de 0.19146 Z = 1.0 el área es de 0.34134
Ejemplo 5
Determine la probabilidad de que una persona tenga un peso
entre 150 y 160 libras
Cuando X=150
Cuando X=160 1.0
Paso 4 - Hacer la suma o resta de áreas para encontrar la probabilidad deseada.
En este ejemplo se resta el área mayor menos el área menor como se interpreto en el paso 1.
0.34134 - 0.19146 = 0.14988
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Determine la probabilidad de elegir a una persona que pese
entre 115 y 130 libras.
Paso 1 Interpretar gráficamente el área de interés.
Gráficamente si decimos que a=115 libras y b= 130 libras, el área de la curva que nos interesa es la siguiente:
Paso 2 - Determinar el valor Z
Cuando X=115
para X=130
Paso 3 - Buscar en la tabla de probabilidades.
Buscamos en la Tabla 1 el valor Z = 1.25 y obtenemos el área de 0.39435 Para Z = 0.50 el área es de 0.19146
Ejemplo 6
Determine la probabilidad de elegir a una persona que pese
entre 115 y 130 libras.
Paso 4 - Hacer la suma o resta de áreas para encontrar la probabilidad deseada.
En este ejemplo el área será la diferencia de 0.39435 - 0.19146 = 0.20289
