2-11 Elnúmero de elementos en un conjunto...

(1)

r

ÍNDICE ANALÍTICO

CAPÍTUI,O 1. SISTEMAS DE NÚMEROS REAI,ES y COMPI,EJOS

-~

1-2 Introducción. Propiedades aritméticas de los números reales .

.

1-3 Propiedades de ordenación de los números reales... . . . 1-4 Representación geométrica de los números reales. . . . 1-5 Representación decimal de los números reales . . . . 1-6 Números racionales.

. . . .

1-7 Algunos números irracionales . . . . 1-8 Algunas desigualdades fundamentales. . . . 1-9 Extremos superior e inferior . . . . 1-10 Números complejos...

1-11 Representación geométrica de los números complejos.. . . . 1-12 La unidad imaginaria

. . . .

1-13 Valor absoluto de un número complejo. _{. . . '. . . .} 1-14 Imposibilidad de una ordenación de los números complejos. . . . 1-15 Exponenciales complejas.. . . . 1-16 Argumento de un número complejo . . . . 1-17 Potencias enteras y raices de números complejos . . . . .. . . . 1-18 Logaritmos complejos . . . .. . . . 1-19 Potencias complejas. . . . 1-20 Senos y cosenos complejos.. . . .

CAPÍTUI,O 2. NOCIONES FUNDAMENTAI,ES DE I,A TEORÍA DE CONJUNTOS

2-1 Primeras ideas de la teoria de conjuntos . . . . 2-2 Notaciones. . . . 2-3 Pares ordenados . . . . 2-4 Producto cartesiano de dos conjuntos. . . . 2-5 Relaciones y funciones en el plano . . . . 2-6 Definición general de relación.. . . . 2-7 Definición general de Ílmción . . . . 2-8 Funciones « uno a uno » e inversas. . . . 2-9 Funciones compuestas. . . . 2-10 Sucesiones...

2-11

El

número de elementos en un conjunto...

2-12 Álgebra de conjuntos . . . . CAPÍTUI,O 3. EI,EMENTOS DE I,A TEORÍA DE CONJUNTOS DE PUNTOS

,r".,

3-1 Introducción. . . . 3-2 Intervalos y conjuntos abiertos en

El""" . . . . 3-3 Estructura de los conjuntos abiertos _{en El" . . . .} 3-4 Puntos de acumulación y teorema de Bolzano-Weierstrass _{en El' . . . . .} 3-5 Conjunto cerrado en

El""'" . . . . 3-6 Generalizaciones a varias dimensiones.. . . . 3-7 El teorema de recubrimiento de Reine-Borel. . .. . . . 3-8 Compacidad. . . . 3-9 El infinito en el campo de los números reales. . . . 3-10 El infinito en el plano complejo . . . . ..,.., 3 3 4 4 4 5 6 7 9 10 12 13 14 14 15 16 17 18 19 20 25 25 25 26 26 27 28 29 30 31 32 32 34 41 41 41 43 44 45 46 53 56 58 58

(2)

530 CAPÍTULO 4. 4-1 4-2 4-3 4-4 4-5 4-6 4-7 4-8 4-9 4-10 4-11 4-12 4-13 4-14 CAPÍTULO 5. CAPÍTULO 6.

Los CONCEPTOS DE LÍMITE Y CONTINUIDAD

Definición de límite . . . .

Algunos teoremas fundamentales sobre límites. . . .

::

.

::::::::::

~a condición de Cauchy.. . . ., . , . . . . Algebra de límites, , . . . , . . . , . . . , , . . . . Continuidad. . . , , . . . ., . . . , . . . . Ejemplos de funciones continuas . . . ., . . . , , , . . . . .

Funciones continuas en conjuntos abiertos o cerrados ,... . . .

Funciones continuas en conjuntos compactos...

Aplicaciones topológicas... , . , . . . , . . . , . . . . Propiedades de las funciones reales continuas, . . . ., . Continuidad uniforme. . . ., , . . . . Discontinuidades de funciones reales. ., . . . , . . . . Funciones monótonas . . . ., , . , , . . . , . .

Condiciones necesarias y suficientes para la continuidad ", , . . . , DIFERENCIACIÓN DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL

~:~

~;~fJ~~ió%~ 'd~;i~~'ci~,','.'.::

:::::: ::::::: :::::::::::::::::::::::::

5-3 Álgebra de derivadas. ., . . , . . . . , , , . . . , . . . , , . . . . 5-4 La regla de la cadena... . . ., . . . . , . . . , . , . . . . , , . , , . . . .

5-5 Derivadas laterales y derivadas infinitas" ,,., ,.

5-6 Funciones con derivada no nula. . . ., , . . . , , . . . . 5-7 Funciones con derivada nula,.. , , , . . . , . . . . 5-8 Teorema de Rolle... , . . , , . . . , . . . , . . . , . . . , . . . , . . . .

5-9 El Teorema del Valor Medio del Cálculo Diferencial" ,, . . . .

5-10 Teorema del valor intermedio para las derivadas . . . ., , . . . .

5-11 Fórmula de Taylor con resto . . . ., . '. . . , . . . , , . . . , . . DIFERENCIACIÓN DE FUNCIONES DE v ARIAS VARIABLES

6-1 6-2 6-3 6-4 6-5 6-6 6-7 6-8 6-9 6-10 6-11 6-12 6-13 ~~tr~~;:~~~~l'di;e~~i~~~i.'. " "

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

Diferenciales de funciones de una variable real.. , , , . . , . . . , , , . . . Diferenciales de las funciones de varias variables.. , , . . . , . . . , . . El vedor gradiente.. , . . , . , . . . , . . . , , . . . . .

Diferenciales de las funciones compuestas y regla de la cadena, , . . . . .

Regla invariante de Cauchy . . . . ., . . . , . . . .

El Teorema del Valor Medio para funciones de varias variables. ., . . .

Una condición suficiente para la existencia de la diferencial.." . .

Derivadas parciales de orden superior ,, . . . , , . , . . . , , .

Fórmula de Taylor para funciones de varias variables . . . ., . . . .

Diferenciación de funciones de una variable compleja ,.. ., . . , . . .

Las ecuaciones de Cauchy-Riemann,." . . . . ., , . . . , , . , . . . , , .

CAPÍTULO 7. API,ICACIONES DE I,ADIFERENCIACIÓN PARCIAL

7-1 7-2 7-3 7-4 7-3 7-6 7-7 7-8 Introducción. . . , . , . . , , . . . , . . . , . . . , . . . , . , . . . , . ., . . . , . ]acobianos . , , . . ., . . . , , . . . . , . . . , . , . . . . Funciones con ]acobiano no nulo..",. . . ., , , , . . . .. . . . , Teorema de la función inversa. . ., . . . , . . , . . . , . . . .

Teorema de la función implícita , ,, , , . . . , . . . . . Problemas de extremos... . . ., . . , . . . , . . . , . , . , , . . . . Condiciones suficientes para un extremo local, , . , , . , . . . . Problemas de extremos condicionados.., . . . ., , , , . , , . . . , ,

62 CAPÍTULO 8. 62 65 66 68 68 70 70 72 73 73 75 77 79 80 8-1 Introducción..; 8-2 Propied?>des 8-3 Funciones de 8-4 Variación 8-5 Funciones 8-6 Curvas. ., . , , . 8-7 Equivalencia 8-8 Caminos" 8-9 Curvas rectifi 8-10 Propiedades de. 8-11 Conexión.,.., j 8-12 Componentes 8-13 Regiones..,. ,,' 8-14 Teorema de la 87 87 87 89 89 90 91 92 93 94 95 96 135 Introducción." , Notaciones.,." . Definición de la. Propiedades lin Integración por Cambio de varia Reducción a una Funciones escal Integradores cr Condición deRi Integradores de Condiciones sufici Stieltjes. . . . ,'. . 9-13 Condiciones n Stieltjes.. , . ,'.

9-14 Teoremas del Val

9-15 La integral como

9-16 Cambio de varia

9-17 Segundo Teorema

9-18 Integrales de Ri

9-19 Diferenciación bajoj

9-20 Inversión del orden,:

9-21 Oscilación de una fI

9-22 Contenido ]ordan di

9-23 Una condición neces

ción del contenie

9-24 Medida exterior de

9-25 Una condición neces

ción de la medie Integrales compleja! Integrales de cont01

El número de giros

Orientación de las 4

Otros teoremas rela

.... 9-1 9-2 9-3 9-4 9-1> 9-6 9-7 9-8 9-9 9-10 9-11 9-12 103 103 104 105 107 110 111 114 116 117 119 122 123 125 135 136 138 141 143 145 146 148 ,;, ,. 9-26 9c27 9-28 9-29 9-30

(3)

CAPÍTUI,O 8.

CAPÍTUI,O 9.

IN DICE ANALITICO

FUNCIONES DE VARIACIÓN ACOTADA, CURVAS RECTIFICABI,ES y CONJUNTOS CONExoS 8-1 8-2 8-3 8-4 8-5 8-6 8-7 8-8 8-9 8-10 8-ll 8-12 8-13 8-14 Introducción. . . . Propiedades de las funciones monótonas . . .. .

" . . . ." . . . . Funciones de variación acotada . . . . Variación total. . . . Funciones continuas de variación acotada. . . . Curvas. . . . Equivalencia de funciones vectoriales continuas.. . . . Caminos dirigidos. . . . Curvas rectificables . . . . Propiedades de la longitud de un arco . . . . Conexión. . . . Componentes de un conjunto. . . . Regiones. . . . Teorema de la curva de Jordan y resultados con él relacionados... . .

TEORÍA DE I,A INTEGRACIÓN DE RIEMANN-STIEI,TJES

9-1 9-2 9-3 9-4 9-b 9-6 9-7 9-8 9-9 9-10 9-ll 9-12 Introducción. . . . Notaciones. . . . Definición de la integral de Riemann-Stieltjes . . . . Propiedades lineales. . . .

Integración por partes. . . .

.

. . . .

Cambio de variable en una integral de Riemann-Stieltjes.. . . . Reducción a una integral de Riemann. . . . Funciones escalonadas como integradores. . . . Integradores crecientes con monotonía. Integrales superior e inferior.. Condición de Riemann. ...

Integradores de variación acotada...

Condiciones suficientes para la existencia de las integrales de Riemann-Stieltjes. . . . 9-13 Condiciones necesarias para la existencia de las integrales de

Riemann-Stieltjes. . . . 9-14 Teoremas del Valor Medio para las integrales de Riemann-Stieltjes. . . 9-15 La integral como función del intervalo... . . . 9-16 Cambio de variable en una integral de Riemann

. . . .

9-17 Segundo Teorema del Valor Medio para integrales de Riemann. . . . 9-18 Integrales de Riemann-Stieltjes dependientes de un parámetro . 9-19 Diferenciación bajo el signo integral. . . . 9-20 Inversión del orden de derivación . . . . 9-21 Oscilación de una función . . . . 9-22

Contenido Jordan de conjuntos acotados en

El" . . . .. . . ... . . . .

9-23 Una condición necesaria y suficiente de integrabilidad expresada en fun-ción del contenido . . . . 9-24 Medida exterior de Lebesgue de subconjuntos de

El' . . . . 9-25 Una condición necesaria y suficiente de integrabilidad expresada en fun-ción de la medida . . . . Integrales complejas de Riemann-Stieltjes... . . . Integrales de contorno . . . . El número de giros. . . . Orientación de las curvas rectificables de Jordan.. . . . Otros teoremas relativos a la medida exterior de Lebesgue. . . .

9-26 9c27 9-28 9-29 9-30 531 157 157 157 158 160 163 164 165 168 169 171 172 176 177 178 185 185 186 186 187 189 190 191 192 196 199 200 204 205 205 207 208 209 210 212 213 215 217 219 220 222 223 224 229 232 234

(4)

12-9 Parte real y par

12-10 Criterios de con~

12-11 Criterios del coci

12-12 Criterios de Dirit 12-13 Reordenación de 12-14 Sucesiones doble 12-15 Series dobles.... 12-16 Multiplicaciónd~ 12-17 Sumabilidad de ' 12-18 Productos infinit CAPÍTULO 13. SUCESIONEI 13-1 Introducción.... 13-2 Ejemplos de suc, 13-3 Definici?m de cp1 13-4 Una aplicación ~13-5 Convergencia un: 13-6 La condición de 13-7 Convergencia un

13-8 Curva que lleu.a

13-9 Aplicación a las 13-10 Convergencia un 13-ll Convergencia un 13-12 Condiciones sufi< 13-13 Convergencia ac( 13-14 Convergencia en , ,"'" 13-15 Series de potenc 13-16 Multiplicación dI 13-17 El teorema de s 13-18 Series reales de ] 3-19 Teorema de Ber: 13-20 La serie bínómi< 13-21 Teorema de Ab€ 13-22 Teorema de Tau CAPÍTULO 14. INTEGRALE 14-1 Introducción.... 14-2 Integrales infinit 14-3 Criterios de con' 14-4 Series e integral< 14-5 Integrales impro 14-6 Convergencia un 14-7 Propiedades de : 14-8 Integrales impro 14-9 Integración de s CAPÍTULO 15. SERIES DE . /- 15-1 Introducción. . . . 15-2 Sistemas de fun<

15-3 Serie de, Fourier

15-4 Aproximación n

15-5 Series trigonomé

,."" 15-6_15-7 Lema_Funcionesde Riema_absob

15-8 Integrales de Di 532 CAPÍTULO 10. 10-1 10-2 10-3 10-4 10-5 10-6 10-7 10-8 10-9 10-10 10-ll 10-12 10-13 10-14 10-16 CAPÍTULO 11. ll-l ll-2 ll-3 11-4 ll-5 ll-6 ll-7 ll-8 11-9 ll-10 ll-l1 ll-12 ll-13 ll-14 ll-15 ll-16 11-17 11-18 ll-19 11-20 11-21 11-22 11-23 11-24 CAPÍTULO 12. ll"¡DICE ANALlTICO

INTEGRALES MÚLTIPLES E INTEGRALES DE LÍNEA

Introducción. . . . La medida (o contenido) de conjuntos elementales en En.' . . . . Integración de Riemann de funciones acotadas definidas e.n intervalos

de

En""""""""""""""""""""""""""'"

Contenido de

J

ordan de conjuntos acotados en En' . . . .

Condiciones necesarias y suficientes para la existencia de las integrales

múltiples. . . .I. . . .

Cálculo de una integral múltiple por integración reiterada. . . . Integración múltiple sobre conjuntos más generales... . . . Teorema del Valor Medio en las integrales múltiples. . . .

Cambio de variable en una integral múltiple . . . .

Integrales de línea. . . .

Integrales de línea con respecto a la longitud de arco . . . .

La integral de línea de un gradiente... . . . "

. . . . . Teorema de Green para rectángulos . . . .

Teorema de Green para regiones limitadas por curvas rectificables de

J

ordan ...

Independencia del camino . . . . ANÁLISIS VECTORIAI,

Introducción. . . . Independencia lineal y bases en En... . . . . Representación geométrica de vectores en E3" . . . . Representación geométrica del producto interior en E3' . . . . El producto exterior de vectores en E3' . . . . Producto escalar triple. . . . Derivadas de las funciones vectoriales . . . . Geometría diferencial elemental de curvas alabeadas . . . . Vector tangente de una curva...

Valores normales, curvatura, torsión. . . . Campos vectoriales.. . . . El campo gradiente en En. . . . El rotacional de un campo vectorial en E3" . . . . La divergencia de un campo vectorial en En' . . . . El operador laplaciana . . . . Superficies. . . . J).epresentación explícita de una superficie paramétrica. . . . Area de una superficie paramétrica. . . . Suma de superficies paramétricas.. . . . Integrales de superficie. . . . Teorema de Stokes. . . . Orientación de superficies. . . . Teorema de Gauss (teorema de la divergencia) . . . . Transformaciones de coordenadas...

SERIES y PRODUCTOS INFINITOS

12-1 12-2 12-3 12-4 12-5 12-6 12-7 12-8 Introducción. . . . Sucesiones convergentes y divergentes . . . . Límite superior y límite inferior de una sucesión real. . . . Sucesiones monótonas de números reales. . . . Series. . . . Introducción y supresión de paréntesis... . . . Series alternadas... . . . Convergencia absoluta y condicional.. . . .

242 242 242 243 246 249 251 257 260 261 266 270 270 273 275 282 292 292 292 294 295 296 297 301 302 302 303 306 306 307 309 311 312 315 316 317 319 320 323 325 327 337 337 337 337 339 339 340 342 342

(5)

-CAPÍTULO 13. 13-1 13-2 13-3 13-4 13-5 13-6 13-7 13-8 13-9 13-10 13-11 13-12 13-13 13-14 13-15 13-16 13-17 13-18 J 3-19 13-20 13-21 . 13-22 CAPÍTULO 14. 14-1 14-2 14-3 14-4 14-5 14-6 14-7 14-8 14-9 CAPÍTULO 15. ~t-I

~

_I

I

I 15-1 15-2 15-3 15-4 15-5 15-6 15-7 15-8 iNDICE

ANALiTICO

12-9 12-10 12-11 12-12 12-13 12-14 12-15 12-16 12-17 12-18

Parte real y parte imaginaria de una serie compleja. . . . Criterios de convergencia para series de términos positivos . . . . . Criterios del cociente y de la raiz. . . . Criterios de Dirichlet y Abe!.. . . . Reordenación de series . . . . Sucesiones dobles. . . . Series dobles . .

.

. . . . Multiplicación de series. . . . Sumabilidad de Cesaro . . . . Productos infinitos. . . . SUCESIONES DE FUNCIONES Introducción. . . . Ejemplos de sucesiones de funciones reales. . . . Definición de cpnvergencia uniforme. . . . Una aplicación a las sucesiones dobles.. . . . Convergencia unif9rme y continuidad. . . . La condición de Cauchy para la convergencia uniforme. . . . Convergencia uniforme de series... . . . Curva que lleRa un espacio. . . . Aplicación a las series de series. . . . Convergencia uniforme e integración de Riemann-Stieltjes . . . . . Convergencia uniforme y derivación . . . . Condiciones suficientes para la convergencia uniforme de una serie. . Convergencia acotada. Teorema de Arzela.. . . . Convergencia en media. . . . Series de potencias.. . . . Multiplicación de series de potencias... . . . El teorema de sustitución. . . . Series reales de potencias.. . . . Teorema de Bemstein . . . . La serie binómica . . . . Teorema de Abe! . . . . Teorema de Tauber. . . .

INTEGRALES IMPROPIAS DE RIEMANN-STIELTJES

Introducción. . . . Integrales infinitas de Riemann-Stieltjes . . . . Criterios de convergencia de integrales infinitas. . . . Series e integrales infinitas . . . . Integrales impropias de segunda especie.. . . . Convergencia uniforme de integrales impropias. . . . Propiedades de las funciones definidas mediante integrales impropias.

Integrales impropias reiteradas. . . .

Integración de series cuando se consideran integrales impropias. . . . .

SERIES DE FOURlER E INTEGRALES DE FOURIER

Introducción. . . .

Sistemas de funciones ortogonales

. . . .

Serie de. Fourier de una función relativa a un sistema ortonormal. . . .

Aproximación media cuadrática

. . . .

Series trigonométricas

de Fourier.. . . .

Lema de Riemann-Lebesgue.. . . .

Funciones absolutamente integrables. . . .

Integrales de Dirichlet

. . . .

533 343 344 347 348 350 354 355 359 361 363 372 372 373 374 376 376 377 377 378 380 381 383 385 386 388 390 394 395 397 399 401 402 404 409 409 409 411 414 415 417 420 426 430 438 438 438 442 442 445 447 448 450

(6)

453 454 455

..

456 458 459 460 463 . . 465 467 470; 471 476 485 485 486 487 488 489 490 491 492 494 495 495 498 500 501 502 503 505 507 509 519 523 534 15-9. 15-10 15-11 15-12 15-13 15-14 15-15 15-16 15-17 15-1S 15-19 15-20 15-21 CAPÍTULO 16.

Representación de las sumas parciales de una serie de Fourier por medio

de integrales. . . . Teorema de localización de Riemann.. . . .

Condiciones suficientes para la convergencia de una serie de Fourier. .

Sumabilidad Cesaro de las series de Fourier ;..

Consecuencias del teorema de Fejér . . . . Otras formas de series de Fourier. . . . Teorema de la integral de Fourier.. . . . Forma expotrencial del teorema de la integral de Fourier. . . . Tránsformadas integrales. . . .. Convolutiohes . . . .

Teoremá :de convolución para transformadas de Fourier. . . ..

Transformada de Laplace.. . . . Fórmula de inversión para transformadas de T,aplace. . . .

TEOREMA DE CAUCHY y CÁLCUI.O DE RESIDUOS

Funciones analiticas. ...

Teorema de la integral de Cauchy. . . . Deformación del contorno . . . . Fórmula de la integral de Cauchy... . . .

Valor medio de una función analitica de un círculo . . . .

Fórmula integral de Cauchy para la derivada de una función analitica

Existencia de .lqs derivadas superiores de una función analítica. ....

. Desarrollos en series de potencias para funciones analiticas .

Ceros de las fum;:iones analiticas . . . .

Teorema de identidad para funciones analiticas . . . .

Desarrollo de Laurent para funciones analiticas en un anillo . . . .

Singularidades aisladas . . . .

Residuo de lma función en un punto singular aislado. . . . Teorema del residuo (Cauchy)...

Diferencia entre el número de ceros y el número de polos en el interior de un contorno cerrado . . . . 16-16 Cálculo de integrales reales mediante los residuos. . . .

16-17 Aplicación del teorema del residuo a la fónnula de inversión para

trans-formadas de Laplace. . . .

16-18 Funciones analiticas uno a uno . . . .,..., .:. ...

16-19 Aplicaciones conformes '. . . . íNDICE DE SÍMBOLOS ESPECIAI,ES. r : . . . . .

~

., . . . .

íNDICE ALFABÉTICO . . . ... ... 16-1 16-2 16-3 16-4 16-5 16c6 16-7 16-8 16-9 16-10 16-11 16-12 16-13 16-14 16-15 , -~. - ~-I ..~