Cajón de Ciencias
Ejercicios resueltos de vectores
1) Sean a(2,-1,3), b(3,0,-2) y c(-2,-2,1), realiza las siguientes operaciones con vectores: a) 3a + b - c
b) a -2b c) a·c
2) Utilizando los vectores del ejercicio 1, comprueba si se cumplen las propiedades conmutativa y distributiva para el producto escalar de vectores.
3) Halla k para que los vectores a(-3,k,-2) y b(k,9,6) sean a) perpendiculares b) paralelos.
4) Halla el ángulo que forman entre sí los vectores a(2,3,1) y b(0,2,-3).
5) Comprueba si los vectores (-2,1,0), (-1,3,1) y (3,3,0) son linealmente independientes.
6) Comprueba si los vectores a(1,0,0), b(0,3,0) y c(0,0,-2) forman a) una base ortogonal b) una base ortonormal. Si no forman una base ortonormal, ¿qué tendrías que hacer para que sí la formaran?
7) Halla k para que los vectores a(-3,k,2), b(4,1,0) y c(-1,2,-1) sean coplanarios.
8) Calcula el producto mixto a·(bxc) con los vectores del ejercicio anterior, siendo k =1.
9) Calcula el volumen del prisma cuyas aristas definitorias coinciden con los vectores (4,1,1), (2,1,2) y (3,1,1).
10) Comprueba con los vectores (-2,-2,1) y (-1,2,1) si el producto vectorial cumple la propiedad conmutativa. Interpreta el resultado.
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Soluciones
1) Sean a(2,-1,3), b(3,0,-2) y c(-2,-2,1), realiza las siguientes operaciones con vectores:
a) 3a + b - c b) a -2b c) a·c
a) 3·(2,-1,3) + (3,0,2) - (-2,-2,1) = (6,-3,9) + (3,0,2) - (-2,-2,1) = (11,-1,10) b) (2,-1,3) - 2(3,0,2) = (2,-1,3) - (6,0,4) = (-4,-1,-1)
c) (2,-1,3)·(-2,-2,1) = 2·(-2) + (-1)·(-2) + 3·1 = 1
2) Utilizando los vectores del ejercicio 1, comprueba si se cumplen las propiedades conmutativa y distributiva para el producto escalar de vectores.
Si se cumple la propiedad conmutativa, a·c = c·a (para aprovechar que ya hemos hecho ese producto escalar en el apartado c del ejercicio anterior)
c·a = (-2,-2,1)· (2,-1,3) = (-2)·2 + (-2)·(-1) + 1·3 = 1 Por lo tanto, sí se cumple la propiedad conmutativa. Si se cumple la propiedad distributiva
a·b + a·c = a·(b+c) a·b + a·c = 0 + 1 = 1
a·(b+c) = (2,-1,3)·(1,-2,-1) = 2 + 2 -3 = 1 También se cumple la propiedad distributiva.
3) Halla k para que los vectores a(-3,k,-2) y b(k,9,6) sean a) perpendiculares b) paralelos.
Si son perpendiculares, el producto escalar de ambos vectores debe valer cero: (-3,k,-2)·(k,9,6) = -3k + 9k - 12 = 0 --> k = 2
Si son perpendiculares, el cociente entre las coordenadas x es igual al cociente de sus coordenadas y
y z:
-3/k = k/9 = -2/6
Pero no existe una k que cumpla a la vez todas las igualdades, por lo que es imposible, valga lo que valga k, que los dos vectores sean paralelos.
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4) Halla el ángulo que forman entre sí los vectores a(2,3,1) y b(0,2,-3).
Para calcular ángulos entre vectores, utilizamos la fórmula del producto escalar: a·b = |a|·|b|·cosA
(2,3,1)·(0,2,-3) = √17·√13·cosA 3 = √221·cos A
cos A = 3/14,87 = 0,20 A = 78,36º
5)Comprueba si los vectores (-2,1,0), (-1,3,1) y (3,3,0) son linealmente independientes.
Si son linealmente independientes, el determinante formado por los tres vectores debe tener rango 3 (ninguna fila es combinación lineal de las otras).
| -2 1 0 |
| -1 3 1 | = (0 + 3 + 0) - (0 -6 + 0) = 9 | 3 3 0 |
Por lo tanto, los tres vectores son linealmente independientes.
6) Comprueba si los vectores a(1,0,0), b(0,3,0) y c(0,0,-2) forman a) una base ortogonal b) una base ortonormal. Si no forman una base ortonormal, ¿qué tendrías que hacer para que sí la formaran?
Para que formen una base, a secas, los tres vectores deben ser linealmente independientes. Si haces el determinante como en el ejercicio anterior, verás que vale distinto de cero (de hecho, sale -6). Para que la base sea ortogonal, los tres vectores deben ser perpendiculares entre sí. Esto lo podemos comprobar multiplicando escalarmente los vectores por parejas:
(1,0,0)·(0,3,0) = 0 (1,0,0)·(0,0,-2) = 0 (0,3,0)·(0,0,-2) = 0
Por lo tanto, forman una base ortogonal.
Para que la base sea ortonormal, además de ortogonal los vectores de la base deben tener módulo igual a uno (deben ser vectores unitarios). En este caso, esa condición no se cumple para b y c, por lo tanto, no forman base ortonormal.
Para convertir en unitario un vector que no lo es, se divide cada una de sus coordenadas entre su módulo.
a (1,0,0) (ya es unitario)
|b| = 3 --> b(0,3/3,0) --> b(0,1,0) |c| = 2 --> c(0,0,-2/2) --> c (0,0,-1)
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7) Halla k para que los vectores a(-3,k,2), b(4,1,0) y c(-1,2,-1) sean coplanarios.
Para que sean coplanarios, el determinante formado por los tres vectores debe valer cero (que sean coplanarios significa lo mismo que "no forman una base")
| -3 k 2 |
| 4 1 0 | = (3 + 8 + 0) - (-2 -4k + 0) = 11 + 2 + 4k = 13 + 4k | -1 2 -1 |
13 + 4k = 0 --> k = -13/4
8) Calcula el producto mixto a·(bxc) con los vectores del ejercicio anterior siendo k =1.
Hacemos primero el producto vectorial (la k que aparece en la primera fila no es la incógnita del ejercicio anterior, sino la referencia vectorial de uno de los ejes)
| i j k |
| 4 1 0 | = (-i + 8k) - (-k -4j) = - i + 8k + k + 4j = - i + 4j + 9k = (-1,4,9) | -1 2 -1 |
Y ahora, el producto escalar: (-3,1,2)·(-1,4,9) = 3 + 4 + 18 = 25
9) Calcula el volumen del prisma cuyas aristas definitorias coinciden con los vectores (4,1,1), (2,1,2) y (3,1,1).
Para calcular el volumen que nos piden, tenemos que hacer el producto mixto de los tres vectores. Ya hemos visto en el ejercicio anterior cómo se hace. En este caso tenemos que indicar en el resultado que se trata de unidades cúbicas, y, en el caso de que nos salga negativo, tomarlo en valor absoluto, porque se trata de un volumen.
| i j k |
| 2 1 2 | = (i + 2k + 6j) - (3k + 2i +2j) = - i - k + 4j = (-1,-1,4) | 3 1 1 |
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10) Comprueba con los vectores (-2,-2,1) y (-1,2,1) si el producto vectorial cumple la propiedad conmutativa. Interpreta el resultado.
Ya sabemos hacer el producto vectorial, así que a ello: | i j k |
| -2 -2 1 | = (-2i - 4k - j) - (2k + 2i -2j) = -4i -6k + j = (-4,-6,1) | -1 2 1 |
| i j k |
| -1 2 1 | = (2i + 2k + -2j) - (-4k - 2i - j) = 4i + 6k - j = (4,6,-1) | -2 -2 1 |
No se cumple la propiedad conmutativa, pero fíjate en un detalle curioso: si cambiamos el orden, obtenemos vectores opuestos. ¿Qué significa esto? Recuerda que la interpretación gráfica del producto escalar es un vector que es a la vez perpendicular a los dos que estamos multiplicando. Pero hay dos posibilidades para este vector perpendicular, como puedes ver en este esquema:
Un apunte más, relacionado con el ejercicio anterior: si cogemos en otro orden las aristas del poliedro, lo más que nos puede pasar es que el resultado salga negativo en vez de positivo, pero como al final aplicamos el valor absoluto, al final queda igual.
