REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN SUPERIOR UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA EXPERIMENTAL LIBERTADOR
EXTENSION ACADÉMICA VALERA
MINUTA DE LA UNIDAD I
Magda Moreno
C.I. 12044791
2 Un espacio vectorial es una algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y otro conjunto, con estructura de cuerpo ), con 8 propiedades
fundamentales.
A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los elementos del
cuerpo, escalares.
Estructura de Espacio Vectorial.
Sea K un cuerpo conmutativo (normalmente el cuerpo R de los números
reales), cuyos elementos l, m, ... llamaremos “escalares”.
Un conjunto E se llama Espacio Vectorial sobre K, y sus
elementos “vectores” si se verifican las condiciones:
a) Existe en E una ley de composición interna (+) que le confiere la estructura de
grupo abeliano.
b) Existe sobre E una ley
de composición externa
(nada), cuyo dominio es K,
con las siguientes
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(por "1" denotamos
al elemento neutro
del cuerpo K, en
caso del cuerpo R
éste es el número 1).
EJEMPLOS:
- El conjunto E de los vectores libres del espacio euclídeo (o del plano) de la
geometría elemental, donde K=R, está provisto de las operaciones:
, cumpliendo todas las condiciones arriba indicadas por lo que E es un espacio
vectorial (de ahí precisamente proviene el nombre de "vectorial").
- El conjunto (x) de polinomios con coeficientes reales (grado cualquiera) posee dos operaciones: p(x) + q(x) y a p(x) que cumplen las condiciones arriba indicadas, por lo que es un espacio vectorial sobre R.
* Propiedades inmediatas:
Es muy obvio que para un espacio vectorial se cumplen las siguientes propiedades:
* Otras propiedades:
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Sistemas de vectores. Dependencia e independencia lineal de vectores. * Sistema de vectores
Supongamos un espacio vectorial, E, y un conjunto finito de vectores de E , , diremos que constituyen un sistema de vectores de E ( también
llamado familia de vectores).
* Combinación lineal de un sistema de vectores
Un vector decimos que es combinación lineal del sistema si
existen escalares (llamados coeficientes) tales que:
Observaciones sobre la combinación lineal de vectores:
- El elemento de E es combinación lineal de cualquier familia de vectores de E.
(Sin más que elegir todos los coeficientes nulos).
- Todo vector es combinación lineal de sí mismo, y en general, de cualquier familia
que lo contenga, pues (y para el resto de los vectores de la familia se les
5 - Si es combinación lineal de y cada uno de ellos es combinación
lineal de otros , entonces el vector es combinación lineal de
los .
Sistemas libres y sistemas ligados.
- Un sistema de vectores { } se dice que es libre (o que los vectores
son linealmente independientes) cuando la relación:
se cumple sólo si:
Observaciones:
* Un sistema { } es libre si todo subsistema que podamos formar a
partir suyo es libre.
* Un sistema { } que no es libre se llama ligado.
- Un sistema de vectores { } se dice que es ligado (o que los vectores
son linealmente dependientes) cuando en la anterior relación:
existan algunos li que no sean nulos.
6 Sistemas libres:
a) Un sistema formado por un solo vector no-nulo es libre.
b) Todos los vectores de un sistema libre son distintos de .
c) Todos los vectores de un sistema libre son distintos.
d) Toda parte de un sistema libre es libre.
Sistemas ligados:
a) Si en un sistema uno (al menos) de sus vectores es combinación lineal del
resto, se trata de un sistema ligado.
b) Todo sistema en el que figure el es ligado.
c) Si a un sistema ligado le añadimos varios vectores resulta otro sistema también
ligado
1 Subespacios vectoriales
Sea E un espacio vectorial (sobre K), y sea , decimos que E' es un
subespacio vectorial (sobre K) en el caso de que E' tenga estructura de espacio
vectorial para las operaciones inducidas por las de E.
Es decir, se deben cumplir las dos condiciones:
a) E’ es subgrupo del grupo aditivo E:
b) Se conserva la ley de composición externa:
7 * La CONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE para que E’ sea subespacio
vectorial es que: E’ sea no vacío, y además:
EJEMPLOS:
- En el espacio vectorial E sobre R de los vectores libres en el espacio (que se
utiliza en geometría, física,) el conjunto de los vectores libres paralelos a una recta
(respecto a un plano) es un subespacio de E.
- El conjunto de los polinomios en x con coeficientes reales de grado inferior o igual a n (incluido el polinomio cero), Pn(x), es un subespacio del espacio vectorial de los polinomios en x, (x).
Intersección de subespacios vectoriales
Sea E un espacio vectorial, la intersección de dos subespacios no es nunca
vacía (pues por lo menos contiene al ).
Si tenemos una cantidad finita de subespacios de E, el conjunto
intersección, , es también subespacio vectorial de E.. Esto puede
extenderse a una cantidad infinita de subespacios de E.
Consideremos una parte no vacía A de E (supongamos que A no sea subespacio de
E) , existen subespacios de E que contienen a A. Consideremos la intersección de
todos estos subespacios conteniendo a A -que como queda dicho arriba es un
subespacio vectorial de E-, y es el menor posible (para la inclusión), se le
8 Por ejemplo, el subespacio vectorial F engendrado por la familia A={ }
de vectores de E viene dado por el conjunto de todas las combinaciones lineales de la
forma:
También se dice que la familia A={ } es una parte generatriz del espacio
vectorial F.
Suma de subespacios. Suma Directa. * Subespacio suma:
Sea un espacio vectorial E, y sea un número finito de subespacios de
E: , el conjunto de vectores de la forma:
formado por la suma de un elemento de E1, otro de E2, ... , etc., es un subespacio
llamado subespacio suma. Se designa por:
E1 + E2 + ... + Ek
(ATENCIÓN: No debe confundirse este subespacio suma con la unión de
subespacios )
* Suma directa:
Sea un espacio vectorial E, y sea un número finito de subespacios de
9 en general, esta suma no es única, es decir, puede haber vectores que tengan dos o
más sumas coincidentes:
En el caso de que cada vector tenga una única
descomposición , se habla de suma directa de subespacios de E
y se expresa:
Teorema 1:
La condición necesaria y suficiente para que una suma E1 + E2 + ... + Ek sea suma
directa de subespacios es que:
Teorema 2:
La condición necesaria y suficiente para una suma de dos subespacios, E1 + E2 ,
sea una suma directa es que:
Subespacio engendrado
Sea una familia de vectores de un espacio vectorial E. Como ya
10 de vectores es un subespacio vectorial. Vamos ahora a demostrar que efectivamente
esto es así:
Llamemos E' al conjunto de las combinaciones lineales de los vectores de S.
Al cumplirse la condición necesaria y suficiente E` es un subespacio vectorial.
* Propiedades:
a) Una familia de vectores S y otra S’ (formada al añadir a S un número
cualquiera de combinaciones lineales de S) engendran el mismo espacio
vectorial.
b) Sea una familia de vectores S, y sea E’ el subespacio engendrado, este
susbespacio E’ no cambia (es el mismo) si modificamos los vectores de S por
alguna de estas operaciones:
- Multiplicación de algún vector de S por un escalar (no nulo).
- Suma de un múltiplo de un vector de S a otro vector de S.
11 Sea un sistema formado por n vectores, , pertenecientes a un espacio vectorial E sobre un cuerpo K. Se dice que S engendra el espacio E, (o que S es un
sistema de generadores de E), cuando todo vector de E se puede expresar como
combinación lineal de los vectores de S.
Es decir,
* Teorema:
De todo sistema de generadores de un espacio vectorial formado por los
vectores , se puede siempre extraer un sistema libre que también
engendre a E.
Demostración:
Ahora tomemos el siguiente, es un sistema libre continuamos
añadiendo el siguiente, , pero si es ligado tenemos : , y en este caso los
dos primeros términos de:
quedan reducidos a: , con lo que podríamos prescindir de .
Etcétera, si es un sistema libre continuaríamos con , pero si es ligado
tendríamos: , y en este caso los tres primeros términos de la
expresión de arriba quedarían reducidos a: , con lo cual podríamos
12 Siguiendo este procedimiento se concluye que para todo , puede llegar a
expresarse como una combinación lineal de un sistema libre de vectores extraído de
S.
Base de un espacio vectorial.
Se dice que un espacio vectorial, E, es de dimensión finita, cuando existe un
sistema finito, S, que engendra a E. (Nosotros consideraremos sólo espacios
vectoriales de dimensión finita)
Si un espacio vectorial E admite un sistema libre de generadores, S, se dice que S
es una base de E.
* Propiedades de la base.
- Todo espacio vectorial de dimensión finita posee al menos una
base.
- Si una base de E posee n elementos, todo conjunto de p elementos (p > n)
está formado por elementos linealmente dependientes.
- Si un espacio vectorial E posee una base de n elementos, y sabemos
que p elemento de E son linealmente independientes, entonces p£ n.
- Si un espacio vectorial E posee una base B formada por n vectores,
cualquier otra base de E, B’, posee también vectores. Se dice que la dimensión
del espacio vectorial E es n.
13 Dada una base de un espacio vectorial E, todo vector viene
expresado en una única manera como combinación lineal de los elementos de esta
base:
La demostración es muy simple, pues si hubiera otra forma de
expresarlo: , podríamos restar las dos expresiones y
tendríamos:
lo que significaría que todos los coeficientes son nulos:
es decir, las componentes xs e ys serían idénticas.
Subespacios suplementarios.
Dos subespacios E’ y E”, de E, se llaman suplementarios si se tiene que:
E = E' E”
En este caso, resulta que cualquier vector puede ser descompuesto de manera
única como:
14 * Teorema:
Sea un espacio vectorial E (dimensión n), todo subespacio E’ (dimensión m) admite
al menos un subespacio suplementario (dimensión n-m).
* Teorema de las dimensiones. (fórmula de Grassmann).
Sea un espacio vectorial E, y sean E’ y E” dos de sus subespacios, entonces se
tiene:
dim(E’) + dim(E”) = dim(E’ + E”) + dim(E’ E”)
Cambio de base. Matriz de cambio de base.
Sea un espacio vectorial E (dimensión n), y sea una base de E.
Entonces, como ya sabemos, todo vector de E puede expresarse de forma única :
{1}
Pero supongamos ahora otra base de E, , en la que todo vector puede
expresarse:
{2}
Ahora vamos a ver la relación existente entre estas componentes en una y otra base.
15 De una forma expandida tenemos:
f1 = a11e1 + a12e2 + .... + a1nen
f2 = a21e1 + a22e2 + .... + a2nen
...
fn = an1e1 + an2e2 + .... + annen Por lo tanto sustituyendo en {2} tenemos:
que si lo comparamos con {1} llegamos a la relación deseada para la relación entre
las coordenadas en una y otra base:
ATENCIÓN: Hay que observar arriba cómo para cada componente xj, es i el índice que va recorriendo desde 1 hasta n (o sea, el índice primero y no el segundo como
antes). O sea, desarrollándolo queda:
x1 = a11y1 + a21y2 + .... + an1yn
x2 = a12y1 + a22y2 + .... + an2yn
...
xn = a1ny1 + a2ny2 + .... + annyn
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tal que X = P.Y, y también Y = P-1 . X
que como puede apreciarse es la transpuesta de la matriz que relaciona la Base de
las f base de las e.
