matematica ii apunte 1

Parte I

Clase 1

Clase 1

´Indice

I

Clase 1

1

1. Vectores y combinaciones lineales 1

1.1. Operaciones con vectores . . . 1 1.2. Combinaciones lineales . . . 2 1.3. Vectores de tres dimensiones . . . 3

2. Longitud y producto punto 7

2.1. Producto punto . . . 7 2.2. Longitud y vector unitario . . . 9 2.3. Angulo entre dos vectores´ . . . 11

1.

Vectores y combinaciones lineales

1.1.

Operaciones con vectores

Operaciones con vectores ¿Qu´e es un vector? Tenemos dos n´umeros separadosv1yv2.

Este par produce unvector de dos dimensionesv. Vector columna

v=

v1 v2

v1=primera componente v2=segunda componente

Escribimosvcomo unacolumna, no como una fila.

Lo importante es que necesitamos una sola letravpara indicar este par de n´ume-rosv1yv2.

Operaciones con vectores Suma de vectores Podemossumar dos vectoresvyw.

La primeras componentes devywno se mezclannuncacon las segundas com-ponentes.

Suma de vectores

v=

v1 v2

y w=

w1 w2

suman v+w=

v1+w1 v2+w2

La resta de vectores sigue la misma idea, las componentes dev−wsonv1−w1 yv2−w2.

Operaciones con vectores Multiplicaci´on por un escalar La otra operaci´on b´asica es lamultiplicaci´on escalar.

Los vectores pueden ser multiplicados por 2, por−1, o por cualquier otro n´umero c.

Hay dos maneras de duplicar un vector: sumarv+vo (m´as f´acil) multiplicar cada componete por 2.

Multiplicaci´on escalar 2v=

2v1 2v2

y −v=

−v1

−v2

Las componentes decvsoncv1ycv2. El n´umeroces llamadoescalar.

Operaciones con vectores Comentarios sobre la suma y la multiplicaci´on escalar Hay que notar que la suma de−vyves el vector cero.

¡Esto es el vector0, que es distinto del n´umero 0!

Toda las ideas del´algebra linealse basan en operacionesv+wycv(suma de vectores y multiplicaci´on por escalares).

El orden de la suma no altera el resultado:v+wes igual aw+v.

v+w=

1 5

+

3 3

=

4 8

w+v=

3 3

+

1 5

=

4 8

1.2.

Combinaciones lineales

Combinaciones lineales ¿Qu´e es una combinaci´on lineal?

Combinando la suma vectorial y la multiplicaci´on por un escalar se forman com-binaciones lineales devyw.

Esto se hace multiplicandovpor c, multiplicandow pord, y luego sumando cv+dw.

Definici´on 1. La suma decvydwes unacombinaci´on linealdevyw. Hay cuatro combinaciones lineales especiales: suma, resta, cero y m´ultiplo esca-lar.

1v+ 1w=suma de vectores

1v−1w=resta de vectores

0v+ 0w=vector cero

Combinaciones lineales Comentarios sobre las combinaciones lineales El vector cero siempre es un resultado posible de una combinaci´on lineal. Cada vez que hablemos de unespacio de vectores, el vector cero estar´a incluido. En gran medida, el algebra lineal consiste justamente en trabajar sobretodaslas posibles combinaciones lineales devyw.

Combinaciones lineales Representaci´on de vectores como flechas o como puntos del planoxy

v= 4 2 w= −1 2

-1

1 2 3 4

1

2

3

4

v

v

+

w

w

x

y

-1

1 2 3 4

1

2

3

4

v

=(4;2)

v

+

w

=(3;4)

w

=(

−

1;2)

x

y

v+w=

4 2 + −1 2 = 3 4

-1

1 2 3 4 5

-2

-1

1

2

3

v

v

₋

w

w

−

w

x

y

-1

1 2 3 4 5

-2

-1

1

2

3

v

=(4;2)

v

−

w

=(5;0)

w

−

w

=(1;

−

2)

x

y

v−w=

4 2 − −1 2 = 5 0

1.3.

Vectores de tres dimensiones

Vectores de tres dimensiones Extensi´on de la idea de vector a m´as dimensiones Podemos pensar tambi´en en vectores que tengan tres componentes(v1;v2, v3). El planoxyes reemplazado por el espacioxyz.

Una combinaci´on lineal de tres vectores en tres dimensiones

  1 0 3  + 4

  1 2 1  −2

v = (4; 2) ow = (1; 0; 3)son vectores columnarepresentadoscomo puntos para simplificar la notaci´on y hacer gr´aficos.¡No son vectores fila!

Vectores de tres dimensiones Representaci´on de vectores como flechas o como puntos del espacioxyz

v=   1 3,5 2,5 

 w=   0,8 −0,5 3,3 

 v+w=   1,8 3 5,8  

1 2 3

1

2

3

4

x

y

z

1 2 3

1

2

3

4

x

y

z

v

w

1 2 3

1

2

3

4

x

y

z

v

w

v

+

w

1 2 3

1

2

3

4

x

y

z

1 2 3

1

2

3

4

x

y

z

v

w

1 2 3

1

2

3

4

x

y

z

v

w

v

+

w

Vectores de tres dimensiones Preguntas importantes sobre combinaciones de vec-tores en tres dimensiones

1. ¿Qu´e aspecto tienentodaslas combinaciones linealescu? 2. ¿Qu´e aspecto tienentodaslas combinaciones linealescu+dv? 3. ¿Qu´e aspecto tienentodaslas combinaciones linealescu+dv+ew?

Siu=v =w =0(el vector cero), todas las combinaciones lineales posibles son0.

En general se comprueba que:

1. las combinaciones linealescullenan unarecta

2. las combinaciones linealescu+dvllenan unplano

u

cu

=

−

u

₂

cu

u

v

cu

+

dv

El vector cero est´a en la recta porquecpuede ser 0.

El vector cero tambi´en est´a en el plano, porquecydpueden ser 0. La recta de vectorescues infinita.

El plano de vectorescu+dves infinito.

Si ocurre quewes una combinaci´oncu+dv, este tercer vector estar´a sobre el planouv.

Entoncesningunacombinaci´on deu,vywsaldr´a del planouv. Entonces no se podr´a llenar el espacio tridimensional.

Repaso de ideas clave

1. Un vectorven el espacio bidimensional tiene dos componentesv1yv2. 2. v+w= (v1+w1;v2+w2)ycv= (cv1;cv2).

3. Una combinaci´on lineal de tres vectoresu,vywescu+dv+ew.

4. Pensemos entodaslas combinaciones lineales deu, deuyv, y deu,vyw. En tres dimensiones esas combinaciones llenan una recta, un plano o todo el espacio xyz.

Problema 1

Ejemplo2. Las combinaciones lineales dev = (1; 1; 0)y w = (0; 1; 1)llenan un plano.Describir este plano. Encontrar un vector queno seauna combinaci´on lineal de

vyw. Soluci´on:

Los puntos del planovwcorresponden a todas las combinaciones posibles de la forma

cv+dw=c

 

1 1 0

 +d

 

0 1 1

 =

 

c c+d

d

 

para n´umeros cualesquieracyd.

Cuatro vectores particulares de este plano son(0; 0; 0),(2; 3; 1),(5; 7; 2)y(π; 2π;π). La segunda componentec+des siempre la suma de la primera y la tercera. El vector(1; 2,3)no es una combinaci´on lineal devyw, debido a que26= 1+3. Problema 2

Ejemplo3. Dadosv= (1; 0)yw= (0; 1)describir todos los puntoscvcon a) n´umeros enteros c (c∈_Z);

b) n´umeros no negativos (c≥0,c∈R).

Luego sumar todos los vectoresdwy describircv+dw. Soluci´on:

a) Los vectorescv, conc∈ Z, sonpuntos equiespaciadosa lo largo del ejex(la

direcci´on dev). Incluyen el(−2,0),(−1; 0),(0; 0),(1; 0),(2; 0), . . .

b) Los vectorescv, conc≥0, llenan unasemirecta. Esto es el ejexpositivo. Esta recta empieza en(0; 0)dondec= 0. Incluye(π; 0)pero no(−π; 0).

a) Sumando todos los vectoresdwresulta en pasar una recta vertical por cada punto cv. Entonces tenemos infinitasrectas paralelas.

b) Sumando todos los vectoresdwresulta en pasar una recta vertical por cadacv

de la semirecta. Entonces se forma unsemiplano. Esto es la mitad derecha del planoxy.

Problema 3

Ejemplo4. Encontrar dos ecuaciones para las inc´ognitascydtales que la combinaci´on linealcv+dwsea igual al vectorb

v=

2

−1

w=

−1 2

b=

1 0

en matem´aticas muchos problemas tienen dos partes

Modelado que consiste en expresar el problema como un conjunto de ecuacio-nes.

C´omputo que consiste en resolver esas ecuaciones con un m´etodo r´apido y exacto.

Aqu´ı solo se pide resolver la primera parte (encontrar las ecuaciones). este problema se ajusta a un problema fundamental del ´algebra lineal

encontrarc1, . . . , cntales quec1v1+· · ·+cnvn=b

Paran= 2podemos encontrar una f´ormula para losc.

Paran= 100o mayor podemos aplicar el m´etodo deeliminaci´on de inc´ognitas

Paranmayor que un mill´on existen otros m´etodos especiales. En este ejemplon= 2.

Laecuaci´on vectorialdel problema es c

2

−1

+d

−1 2

=

1 0

Las dos ecuaciones buscadas paracydson 2c−d= 1

−c+ 2d= 0

2.

Longitud y producto punto

2.1.

Producto punto

Producto punto Una nueva operaci´on con vectores

En la secci´on anterior no hablamos de multiplicaci´on de vectores. Ahora definiremos unproducto puntoentrevyw.

Esta multiplicaci´on implica calcular los n´umerosv1w1yv2w2, pero no solo eso. Estos dos n´umeros deben sumarse para obtener un ´unico n´umerov·w.

El producto punto brinda informaci´ongeom´etrica(longitud y ´angulo entre vec-tores).

Producto punto Definici´on de producto punto o producto interno entre vectores Definici´on 5. El producto puntooproducto interno de dos vectoresv = (v1;v2)y

w= (w1;w2)es el n´umerov·w

v·w=v1w1+v2w2

Producto punto Verificando la perpendicularidad (ortogonalidad) entre dos vec-tores

Ejemplo6. Los vectoresv= (4; 2)yw= (−1; 2)tienen producto punto cero

4 2

·

−1 2

=−4 + 4 = 0

En matem´aticas, el cero suele tener un significado especial.

Osea que el ´angulo entre ellos es de90◦.

-1

1 2 3 4

1

2

3

4

v

w

x

y

θ

=90

El ejemplo m´as evidente de vectores⊥es i = (1; 0), a lo largo del eje x, y

j= (0; 1), a lo largo del ejey.

Nuevamente el productoi·j= 0 + 0 = 0. Estos vectores forman evidentemente un ´angulo recto.

El producto punto dev = (1; 2)yw = (3; 1)es 5. Veremos comov·wnos permite calcular el ´angulo entrevyw(que ser´a6= 90◦).

El orden devywno hace ninguna diferencia:v·w=w·v. Producto punto Aplicaci´on del producto punto a un problema f´ısico

Ejemplo7. Se coloca un peso de 4 kg en el puntox = −1 y un peso de 2 kg en el puntox= 2. El ejexquedabalanceadoalrededor de su centro (como un sube y baja).

-2

4 kg

1

2 kg

x

El vector de pesos esw = (4; 2)y el de posiciones respecto del centro esv= (−1; 2).

Los pesos por las distancias,w1v1yw2v2, son losmomentosotorques. La ecuaci´on del sube y baja balanceado esw·v=w1v1+w2v2= (4)(−1) + (2)(2) = 0.

Producto punto Aplicaci´on del producto punto a un problema econ´omico

Ejemplo8. Compramos y vendemos tres tipos de productos. Sus precios por unidad son(p1;p2;p3). Las cantidades que compramos o vendemos son(q1;q2;q3), positivas si vendemos y negativas si compramos.

Vendiendoq1unidades ap1ganamosq1p1.

El balance total es elproducto puntoq·pen tres dimensiones

Un supermercado con miles de productos necesita vectoresv= (v1;v2;v3;. . .;vn)

de mucho mayores dimensiones.

Para calcularv·w hay que multiplicar cadavipor el correspondientewi, y al

final sumar todo

v·w=v1w1+v2w2+· · ·+vnwn = n

X

i=1 viwi

2.2.

Longitud y vector unitario

Longitud y vector unitario Producto punto de un vector con s´ı mismo

Un caso importante es el producto punto de un vector con s´ı mismo. En este caso

vywson iguales.

Si tenemosv= (1; 2; 3), el producto con s´ı mismo esv·v=kvk2_{= 14.} Longitud al cuadrado

kvk2=

 

1 2 3

 ·

 

1 2 3



= 1 + 4 + 9 = 14

En vez de90◦, entre los vectores tenemos 0◦. El producto punto es 14 6= 0 porquevno es⊥a s´ı mismo.

El producto puntov·vda lalongitud al cuadrado dev. Longitud y vector unitario Definici´on de longitud de un vector

Definici´on 9. Lalongitudonormakvkde un vectorves la ra´ız cuadrada dev·v

longitud =kvk=√v·v

En dos dimensiones la longitud espv2 1+v22. En tres dimensiones espv2

1+v22+v23.

En el ejemplo la longitud dev= (1; 2; 3)eskvk=√14.

Lakvk = √v·v es simplemente la longitud de la flecha que representa al vector.

F´ormula de Pit´agoras

a2+b2=c2

(1;2)

c

=

p

5

a

=1

b

=2

v·v=v₁2+v₂2 5 = 12+ 22

a

₌

5

c

=

p

14

(1;0;0)

(0;2;0)

(0;0;3)

(1;2;0)

(1;2;3)

b

=3

v·v=v21+v 2 2+v

2 3 14 = 12+ 22+ 32

Longitud y vector unitario Definici´on de vector unitario

Definici´on 10. Un vector unitarioues un vector cuya longitud es igual a 1. Entonces

u·u= 1.

Un ejemplo en cuatro dimensiones esu= 1₂;1₂;1₂;1₂

. Tenemos queu·ues 1₄+1₄+1₄+1₄ = 1.

Para obtenerupodemos dividir al vectorv= (1; 1; 1; 1)por su longitudkvk=

√

12_{+ 1}2_{+ 1}2_{+ 1}2₌√_{4 = 2.}

Longitud y vector unitario Vectores unitarios en el planoxy

Ejemplo11. Los vectores unitarios a lo largo de los ejesxeyse escribeniyj. En el planoxy, el vector unitariouque forma un ´anguloθcon el ejexes(cosθ; sinθ).

i=

1 0

j=

0 1

u=

cosθ sinθ

Siθ= 0◦el vector horizontaluesi. Siθ= 90◦_(oseaπ

2 radianes), el vector verticaluesj.

A cualquier ´angulo, las componentescosθysinθhacen queu·u= 1, porque sin2θ+ cos2_{θ= 1.}

Longitud y vector unitario Representaci´on geom´etrica de vectores unitarios en el planoxy

i

j

u

cos

θ

si

n

θ

θ

k

u

=

1

j

=(0;1)

i

=(1;0)

u

=

p

2

;

p

2

´

=

kvk

v

=(1;1)

−

i

−

j

u

=1

Vector unitario

u= v

kvk es un vector unitario en la misma direcci´on quev.

2.3.

Angulo entre dos vectores

´

´

Angulo entre dos vectores ´Angulos rectos

Teorema 12. El producto puntov·w= 0cuandoves perpendicular aw.

Prueba:

1. Siv ⊥w, entoncesvywforman dos catetos de un tri´angulo rect´angulo, y la hipotenusa esv−w.

-1

1 2 3 4

1

v

w

p

₂₀

5

p

25

v

−

w

v=

4 2

w=

−1 2

v−w=

5 0

kvk2_{= 20 kwk}2_{= 5 kv−wk}2_{= 25} 2. La f´ormula de Pit´agoras esa2_+b2_=c2_{, entonces}

kvk2+kwk2=kv−wk2

v₁2+v2₂

+ w2₁+w2₂

= (v1−w1)2+ (v2−w2)2

v2₁+v2₂+w2₁+w2₂=v₁2−2v1w1+w12+v

2

2−2v2w2+w22 0 =−2v1w1−2v2w2

0 =v1w1+v2w2

´

Angulo entre dos vectores ´Angulo entre vectores unitarios Tomemosi= (1; 0)yu= (cosθ; sinθ).

i

u

θ

v

w

θ

α

β

El producto punto esi·u= cosθ.

Si los rotamos un ´anguloαobtenemosv= (cosα; sinα)yw= (cosβ; sinβ), conθ=β−α.vywsonunitarios.

v·w= cosαcosβ+ sinαsinβ= cos (β−α) = cosθ. ´

Angulo entre dos vectores ´Angulo entre vectores arbitrarios ´

Angulo entre vectores unitarios Sivywson vectores unitarios

v·w= cosθ

¿Y qu´e sucede cuandovywno sonvectores unitarios? F´ormula del coseno

Sivywson un par de vectores no nulos cualesquiera

v·w

kvkkwk = cosθ

debido a que _kv_vky _kw_wk siempreson unitarios. ´

Angulo entre dos vectores Desigualdades ´utiles Dado cualquier ´anguloθ, siempre−1≤cosθ≤1. Aplicando la f´ormula del coseno encontramos

−1≤ v·w

kvkkwk ≤1 de donde

Desigualdad de Schwarz

|v·w| ≤ kvkkwk

Desigualdad triangular (sin demostraci´on aqu´ı)

kv+wk ≤ kvk+kwk

´

Angulo entre dos vectores Comprobando las desigualdades de Schwarz y triangu-lar

Ejemplo13. Encontrarcosθ parav = (2; 1) yw = (1; 2)y comprobar ambas de-sigualdades.

Soluci´on:

El producto puntov·w= 4. Tantovcomowtienen longitud√5. El coseno es4₅

cosθ= v·w

kvkkwk =

4

√

5√5 = 4 5

La desigualdad de Schwarz se comprueba, ya quev·w = 4 es menor que

kvkkwk=√5√5 = 5.

Por otra partev+w= (3; 3), de donde la desigualdad triangular se comprueba, ya quekv+wk=√18es menor quekvk+kwk=√5 +√5 = 2√5 =√20. Repaso de ideas clave

1. El producto puntov·wmultiplica cadaviporwiy luego suma todos losviwi.

2. La longitudkvkde un vector es la ra´ız cuadrada dev·v. 3. u= _kv_vk es unvector unitario. Su longitud es 1.

4. El producto puntov·w= 0cuando los vectoresvywson perpendiculares. 5. El coseno deθ(el ´angulo entre dos vectoresvywno nulos) nunca excede±1

cosθ= v·w

kvkkwk

Problema 4

Ejemplo14. Probar, para los vectoresv = (3; 4)y w = (4; 3), la desigualdad de Schwarz sobrev·wy la desigualdad triangular sobrekv+wk. Encontrar elcosθpara el ´angulo entrevyw.

Soluci´on:

El producto punto esv·w= (3)(4) + (4)(3) = 24.

|v·w| ≤ kvkkwk es 24<25

kv+wk ≤ kvk+kwk es 7√2<5 + 5 cosθ=24

25

Problema 5

Ejemplo 15. Encontrar un vector unitario uen la direcci´on de v = (3; 4). Luego, encontrar un vector unitarioU⊥u. ¿Cu´antos posiblesUexisten?

Soluci´on:

Para encontraru, dividimosvpor su longitudkvk= 5.

Para un vector perpendicular elegimosV = (−4; 3), ya que el producto punto

v·V= (3)(−4) + (−4)(3) = 0.

Para encontrarUdividimosVpor su longitudkVk= 5.

u= v

kvk =

₃

5; 4 5

U= V

kVk =

−4

5; 3 5

u·U= 0 La ´unica otra posibilidad es−U= 4₅;−3

5