2.6. Cambio de variables en integrales triples.

6. Cambio de variables en integrales triples.

El teorema del cambio de variables para integrales triples es análogo al de integrales dobles. El re-sultado correspondiente es

TEOREMA (CAMBIO DE VARIABLES PARA INTEGRALES TRIPLES). Sea

3 3

: ( , , )u v w U ( , , )u v w

Φ ∈ ⊆\ → Φ ∈\

una función inyectiva, con derivadas parciales continuas en U tal que detDΦ( , , )u v w ≠0, para todo ( , , )u v w ∈U. Sea 3

: ( , , ) ( ) ( , , )

f x y z ∈ΦU ⊆\ → f x y z ∈\ una función continua. Entonces

(

)

( )

( , , ) ( , , ) det ( , , ) .

U U

f x y z dxdydz f u v w D u v w dudvdw

Φ = Φ ⋅ Φ

∫∫

∫∫

La conclusión de este teorema también es válida si detDΦ( , , )u v w se anula sólo en los puntos de una superficie S⊂U.

OBSERVACIÓN. 1) Recuerda que decimos que ( , , )x y z = Φ( , , )u v w es un cambio de variables y de-notamos por ( , , ): det ( , , )

( , , )

x y z

D u v w u v w

∂ _{= Φ}

∂ al determinante jacobiano de dicho cambio de variables. La igualdad del teorema anterior se conoce como fórmula del cambio de variables para integrales triples.

2) En el caso particular que ( , , )f x y z =1 obtenemos

(

)

( )

( , , )

volumen ( ) : 1 .

( , , )

U U

x y z

U dxdydz dudvdw

u v w

Φ

∂

Φ = ⋅ =

∂

∫∫

∫∫

Esto indica que el determinante jacobiano actúa como factor de dilatación o de compresión del área al pasar de U a Φ( )U mediante el cambio de variables ( , , )x y z = Φ( , , ).u v w

3) Como en el caso de integrales dobles, el teorema del cambio de variable para integrales triples permiten, en general, simplificar la función integrando o, lo que en otros casos es más importante: el recinto de integración.

Ejemplos habituales de cambios de variables. Vamos a describir los cambios de variables más importantes en \3 indicando a qué tipo de recintos de integración están asociados.

(1) Cambios lineales. Dada una matriz invertible A de orden 3, el cambio de variables

x u

y A v

z w

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥₌ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

tiene determinante jacobiano igual a det( ).A Los cambios lineales de variables son apropiados para pasar de integrar en un recinto limitado por seis planos paralelos dos a dos a integrar en un recinto limitado por planos paralelos a los planos coordenados.

Va-mos a calcular la integral ( ) .

V

x+ +y z dxdydz

∫∫∫

Consideramos el cambio

,

,

.

u x y z

v x y

w x

= + + ⎧

⎪ = + ⎨

⎪ = ⎩

En las

nuevas coordenadas ( , , ),u v w el sólido V se transforma en el prisma U:=

[ ] [ ] [ ]

1, 2 × 0, 2 × 0,1 . En la

notación del teorema tenemos que V = Φ( ),U donde hemos puesto Φ( , , )u v w =( , , ).x y z Además,

se tiene que ( , , ) 1 1 1.

( , , ) 1 1 1 ( , , )

( , , ) _{det 1 1 0}

1 0 0

x y z

u v w u v w

x y z

∂ _{= = = −}

∂

∂ ⎡ ⎤

⎢ ⎥

∂

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

De esta forma, la integral queda

[ ] [ ] [ ]1,2 0,2 0,1

( ) 3.

V

x y z dxdydz ududvdw

× ×

+ + = =

∫∫∫

∫∫∫

(2) Coordenadas cilíndricas. Recordemos que este cambio consiste simplemente en hacer el cambio a coordenadas polares en el plano OXY y mantener la variable z como variable independiente, es decir, x=rcos ,θ y=rsen ,θ y z=z, donde r≥0, θ∈

[

0, 2π

]

y z∈\. Su determinante jacobia-no es igual a r y es útil para integrar en sólidos que presentan simetría axial.

EJEMPLO. Vamos a hallar el volumen del sólido V que está acotado por el paraboloide de ecuación

2 2

2( )

z= x +y y el plano z=4, es decir, V =

{

( , , )x y z ∈\3: 2(x2+y2)≤ ≤z 4 .

}

En coordenadas cilíndricas, las dos desigualdades que aparecen en la anterior descripción de V se transforman en

2 2 2

2r =2(x +y )≤ ≤z 4. La descripción del sólido en coordenadas cilíndricas es: 0≤r, 0≤ ≤θ 2π

y 2r2 =2(x2 +y2)≤ ≤z 4. En este caso tenemos que V = Φ( ),U donde Φ( , , )r θ z =( , , )x y z y

{

2

}

: ( , , ) : 0 2, 0 2 , 2 4 .

U = rθ z ≤ ≤r ≤ ≤θ π r ≤ ≤z

Por consiguiente, el volumen es

2

2 2 4 2 2

2

0 0 2 0 0

2 2

2 4

0 ₀

volumen( ) (4 2 )

1

2 4 .

2

V r

V dxdydz rdz dr d r rdr d

r r d

π π

π

θ θ

θ π

⎡ ⎡ ⎤ ⎤ ⎡ ⎤

= = _{⎢ ⎢ ⎥ ⎥} = _⎢ − _⎥

⎣ ⎦

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎛ ⎤

= _⎜ − _⎥ =

⎝ ⎦

∫∫∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫

∫

EJEMPLO. Vamos a hallar el volumen del sólido situado en el primer octante que está limitado por el

cilindro de ecuación x2+y2 =2 ,y el cono x2+y2 =z y el plano OXY. Concretamente, el sólido

es

{

3 2 2 2 2

}

( , , ) \ : 0, 2 , 0 .

V = x y z ∈ x≥ x +y ≤ y x +y ≥ ≥z En coordenadas cilíndricas las tres de-sigualdades que aparecen en la descripción anterior de V son: en primer lugar x≥0 si, y sólo si,

, ; 2 2

π π

θ∈ −⎡_⎢ ⎤_⎥

⎣ ⎦ en segundo

2 2

2

x +y ≤ y si, y sólo si, r≤2 senθ (observemos que, en particular,

coor-denadas cilíndricas, el sólido V es : ( , , ) 3: 0, , 0 2sen , 0 , 2

U =⎨⎧ r θ z ∈ θ∈_⎢⎡ π_⎥⎤ ≤ ≤r θ ≤ ≤z r⎬⎫

⎣ ⎦

⎩ \ ⎭ es

decir, V = Φ( ),U donde Φ denota el cambio a coordenadas cilíndricas. En la práctica no se suele detallar tanto la relación entre U y Φ( )U y se pasa automáticamente de unas coordenadas a otras. El volumen que queremos calcular, tras aplicar el teorema del cambio de variables y el teorema de Fubini, es

2sen 2sen

2 2 2 2 3

0 0 0 0 0 0

2

2 2 3

0 ₀

8

volumen( ) sen

3

8 8 1 16

(1 cos ) sen cos cos .

3 3 3 9

r

V rdz dr d r dr d d

d

π _θ π _θ π

π π

θ θ θ θ

θ θ θ θ θ

⎡ ⎡ ⎤ ⎤ ⎡ ⎤

= _{⎢ ⎢ ⎥ ⎥} = _{⎢ ⎥} =

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎣ ⎦

⎛ ⎤

= − = _⎜− + _⎥ =

⎝ ⎦

∫ ∫ ∫

∫ ∫

∫

∫

(3) Coordenadas esféricas. Las coordenadas esféricas de un punto P=( , , )x y z ∈\3 son los tres va-lores ( , , )ρ ϕ θ definidos por las relaciones x=ρcos sen ,ϕ θ sen seny=ρ ϕ θ y z=ρcos ,θ don-de ρ≥0, ϕ∈

[

0, 2π

]

y θ∈

[ ]

0,π . Su determinante jacobiano es igual a −ρ2senθ y resulta apro-piado cuando integramos en conjuntos que tienen simetría esférica.

EJEMPLO. Sea B la bola de radio R y centro (0, 0, 0) en 3

.

\ Vamos a hallar su volumen; es decir,

volumen( ) .

B

B =

∫∫∫

dxdydz Haremos un cambio de variables a coordenadas esféricas. El conjunto

{

3 2 2 2 2

}

( , , ) : .

B= x y z ∈\ x +y +z ≤R En coordenadas polares se describe por 0≤ ≤ρ R. Sobre las otras dos variables no tenemos nuevas restricciones. Por tanto, ϕ∈

[

0, 2π

]

y θ∈

[ ]

0,π . Podemos ya aplicar el teorema del cambio de variables:

3 3

2 2

2

0 0 0 0 0

4

sen sen .

3 3

R V

R R

dxdydz d d d d d

π π π π _π

ρ θ ρ ϕ θ θ ϕ θ

⎡ ⎡ ⎤ ⎤ ⎡ ⎤

= _{⎢ ⎢ ⎥ ⎥} = _{⎢ ⎥} =

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎣ ⎦

∫∫∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫

EJEMPLO. Vamos a hallar el volumen del sólido V acotado por abajo por la hoja superior del cono

2 2 2

x +y =z y, por arriba, por la esfera x2+y2+z2 =9. En coordenadas esféricas las dos desigual-dades que aparecen en la descripción anterior de V son x2+y2+z2 ≤9, que equivale a ρ ≤3 y también x2+y2 ≤z, que es equivalente a senθ ≤cos .θ Puesto que θ∈

[ ]

0,π , obtenemos que

senθ =senθ y senθ ≤cosθ se verifica si, y sólo si, 0, . 4

π

θ_{∈ ⎢}⎡ ⎤_⎥

⎣ ⎦ De esta forma, el volumen, tras aplicar el teorema del cambio de variables, es

(

)

2 3 2

4 2 4

0 0 0 0 0

volumen( )V sen d d d 9 sen d d 9 2 2 .

π π

π π

ρ θ ρ θ ϕ θ θ ϕ π

⎡ _{⎡ ⎤} ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

= _{⎢ ⎥} = = −

⎣ ⎦

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∫ ∫ ∫

∫ ∫

EJEMPLO. Calcula, pasando a coordenadas esféricas, _{2 2 2} ,

V

xyz

dxdydz x +y +z

Eje OX

Eje OY Eje OZ

{

3 2 2 2

}

( , , ) : 0, 0, 0, 4 .

V = x y z ∈\ x≥ y≥ z≥ x +y +z ≤ La restricción x2+y2+z2 ≤4 equivale en coordenadas esféricas a ρ≤2. Además, puesto que z≥0 y θ∈

[ ]

0,π obtenemos que 0, .

2

π

θ_{∈ ⎢}⎡ ⎤_⎥

⎣ ⎦

Por otro lado, x≥0 e y≥0, junto con que 0, , 2

π

θ_{∈ ⎢}⎡ ⎤_⎥

⎣ ⎦ implican que cosϕ≥0 y senϕ≥0. Por tanto, 0, .

2

π

ϕ_{∈ ⎢}⎡ ⎤_⎥

⎣ ⎦ Podemos ya hacer el cambio a coordenadas esféricas:

3 2

2

2 2 2

2 2 2 2

0 0 0

2

2 2

3 3

0 0 0

cos sen sen cos

sen

1

cos sen sen cos .

2

V

xyz

dxdydz d d d

x y z

d d d

π π

π π

ρ ϕ θ ϕ _{θ ρ θ θ ϕ ρ}

ρ

ρ ρ ϕ ϕ ϕ θ θ θ

⎡ ⎡ ⎤ ⎤

⎢ ⎢ ⎥ ⎥

=

+ + ⎢_⎣ ⎢_⎣ ⎥_⎦ ⎥_⎦

= =

∫∫∫

∫ ∫ ∫

∫

∫

∫

EJERCICIO 1. Calcula la integral triple

3 4 1

2

0 0 2

2

2 3

y y

x y z

dx dy dz

+

⎡ ⎡ _{⎛ − ⎞} ⎤ ⎤

⎢ ⎢ _⎜ + _⎟ ⎥ ⎥

⎢ ⎢_⎣ ⎝ ⎠ ⎥_⎦ ⎥

⎣ ⎦

∫ ∫ ∫

con un cambio de

va-riables lineal adecuado. Dibuja el recinto de integración.

EJERCICIO 2. Calcula la integral triple

2

1 1

2 2

1 0 0

( )

y x

x y dz dx dy

−

−

⎡ _{⎡ ⎤} ⎤

+

⎢ _{⎢ ⎥} ⎥

⎣ ⎦

⎢ ⎥

⎣ ⎦

∫ ∫ ∫

cambiando a coordenadas

cilíndricas. Dibuja el recinto de integración.

EJERCICIO 3. Halla el volumen del sólido V formado por los puntos ( , , )x y z ∈\3 que verifican las desigualdades x2+y2 ≤2y y x2+y2+z2 ≤4.

EJERCICIO 5. Calcula el volumen de la pirámide formada por los planos coordenados y el plano 3x+ +y 2z=4.

EJERCICIO 6. Calcula el volumen del sólido limitado por los paraboloides x2+2y2− =z 0 y

2 2

2x +y + =z 12.

EJERCICIO 7. Calcula 2 2 2 3/ 2

( ) ,

V

x +y +z dxdydz

∫∫∫

siendo V el sólido acotado por el cono

2 2 2

x +y =z y el plano z=2.

EJERCICIO 8. Considera el conjunto U:=

{

( , , )x y z ∈\3:x2+z2≤1, 0≤ ≤y x z, ≥0 .

}

Escribe la in-tegral triple

U

dxdydz

∫∫∫

como tres integrales reiteradas sin calcularla. Calcula dicha integral triple mediante un cambio adecuado a coordenadas cilíndricas.

EJERCICIO 9. Considera el conjunto U:=

{

( , , )x y z ∈\3:1≤ ≤x 2, 0≤xy≤2, 0≤ ≤z 1 .

}

Calcula la integral triple ( 2 3 )

U

x y+ xyz dxdydz

∫∫∫

con cambio de variables adecuado.

EJERCICIO 10. Calcula la integral ,

U

xyz dxdydz

∫∫∫

donde

2 2 2

3

2 2 2

: ( , , ) : x y z 1 ,

U x y z

a b c

⎧ ⎫

=_⎨ ∈ + + ≤ _⎬

⎩ \ ⎭