ESTE MODELO SUSTITUYE AL ANTERIOR. FECHA: MODELO DE RESPUESTAS Objetivos 01 al 08.

(1)

Elaborado por: Chanel Chacón Evaluador: Florymar Robles

Universidad Nacional Abierta _{Matemáticas III (Cód. 733)}

Vicerrectorado Académico _{Cód. Carrera: 236 - 280}

Área de Matemática _{Fecha: 01-02-2014}

MODELO DE RESPUESTAS Objetivos 01 al 08. OBJ 1 PTA 1 Calcula





d x

b a b a x x x x



 2 . Solución:







_   _



dx b a b b a a x d b a b a x x x x x x x x x x 2 2 2 2 C x Lnb Lna a b Lnb Lna b a x x                  2 Por lo tanto,













x C Lnb Lna a b Lnb Lna b a x d b a b a x x x x x x x x       



2 2

OBJ 2 PTA 2 Determina los valores de “p” para los cuales converge la integral



Lnx



dx x p



   2 1 . Solución:

Calculemos la integral I considerando p  1:

Por definición de integral impropia en un intervalo infinito (pág. 93 del libro Matemática III (Cód. 733) de la UNA) se tiene que,





x



Lnx



dx lím x d x Ln x b b p p



     2 2 1 1

Al hacer el cambio de variable u = Ln x , du = x x d y cuando x = b  u = Ln b ; x = 2  u = Ln 2. Entonces,











   



     Lnb Ln p b b b _u u d lím x d x Ln x lím x d x Ln x p 2 p 2 2 1 1                   ₁ ) 2 ( 1 ) ( 1 1 p Ln p b Ln lím p p b Si p > 1 , p < 0





0 1 1       _p b Ln lím p

b . Por lo tanto, la integral I converge al valor ₁ ) 2 ( 1   p Ln p y diverge para p < 1. ¿Por qué?

(2)

Si p = 1 se tiene la integral.   



   Lnb Ln b b b _u u d lím x Ln x x d lím x Ln x x d 2 2 2 







               ( ) ( 2) 2 Ln Ln b Ln Ln lím u Ln lím b b Ln Ln b Luego, para p = 1 la integral I diverge. Por lo tanto, la integral I converge para p > 1.

OBJ 3 PTA 3 Encuentre el área de la superficie generada por la rotación de la curva de ecuación y =1 x1 ,  x  2; alrededor de la recta y = 1.

Por la simetría de la curva con respecto a la recta x = 1, podemos calcular el área de la superficie del lado izquierdo y luego multiplicar por 2 para obtener el área total.

Entonces,











   2 2 2 2 4 1 2 4 1 1 1 2 2 1 0 2 1 0 1 0 _            



x dx



x dx x x A Por lo tanto, 2 2  unidades de área  A

OBJ 4 PTA 4 Calcula el área encerrada por la curva dada por las ecuaciones paramétricas

     t y t sen x cos 2 Solución:

La gráfica de la curva es: Por la simetría de la curva con respecto al eje x y al origen podemos calcular el área de la región limitada por la curva en el primer cuadrante y multiplicar por 4 para obtener el área total.

Hallemos la variación del parámetro t : para (1 ,0 ) se tiene las ecuaciones:

1 = sent y 0 = 2 cost ,

Por tanto t = ¡Verifícalo!. Y para (0, 2) se tiene las ecuaciones: 0 = sent y 2 = 2 cost , luego t = 0 ¡Verifícalo! y x 1 1 2 2 y 2 1 -2 -1 0 1 2 3 x y = 2  x y =  y = x

(3)

Elaborado por: Chanel Chacón Evaluador: Florymar Robles   

_

t tdt

_

tdt A 2 2 0 2

0 2cos cos 8 cos

4      2 2 2 4 2 2 0 0          sen t t Por lo tanto, A2

OBJ 5 PTA 5 Calcula el centro de masa de una curva C determinada por la unión de una semicircunferencia con dos segmentos de recta como se muestra en la figura:

Solución: La curva es simétrica respecto de la recta y = x, luego el centro de masa está sobre dicha recta. Por lo tanto, es suficiente hallar x .

El semicírculo C1 de radio 2 lo podemos expresar en término de las ecuaciones paramétricas:

4 3 4 , 2 cos 2 x              sen y .

(ver págs. 221 y 222 del texto Matemática III de Ingeniería de la UNA).

y =

C1: x2 + y2 = 2

C2

(4)

Sabemos que la longitud de un semicírculo es r , donde r es el radio del círculo. Así que, en nuestro caso, la longitud es 2 y si consideramos que la densidad de masa del semicírculo es constante, entonces tendremos que m = 2 (masa del semicírculo).

Ahora, calculemos el momento con respecto al eje OY (My):

    

_

  4 3 4 4 3 4 cos 4 ) cos ( 4 cos 2 2 2    









xds sen d d M b a y





4 2 2 2 2 2 4 4 4 3 4 4 4 3 4                                            sen sen sen Luego, y m M x  y        2 2 2 2 4

Para los segmentos de rectas C2 y C3: si la densidad es constante, el centro de masa de cada segmento

se localiza en su punto medio, entonces

Para C2:          2 3 2 , 2 3 2 ) , (x y y la longitud de C2 es L2 = 22. Para C3:           2 3 2 , 2 3 2 ) , (x y y la longitud de C3 es L3 = 22.

Luego, el centro de masa de la curva C = C1  C2 C3 es la suma de los momentos:

y x            _       _ _         22 2 2 22 3 2 4 22 2 2 2 3 2 22 2 3 2 22 2 2 2     . Por lo tanto,





_           22 2 2 22 3 2 4 , 22 2 2 22 3 2 4 ,   y x .

OBJ 6 PTA 6 Sea V el espacio vectorial de los polinomios en x con coeficientes reales. a) Escribe el polinomio P(x) = x2 + 4x – 3 como combinación lineal de los polinomios:

P1(x)= x2 2x + 5 , P2(x)= 2 x2 3x , P3(x)= x + 3

b) Determina si los polinomios P1 , P2 , P3 son linealmente independientes.

Nota: Para el logro de este objetivo debes responder correctamente ambas partes. Solución:

a) Sean 1, 2 y 3 escalares tales que,

P(x) = 1P1(x)+ 2 P2 (x)+3 P3 (x)

Entonces, x2 + 4x – 3 = 1 (x2 2x + 5) + 2(2 x2 3x ) +3(x + 3)

x2 + 4x – 3 = (1 + 22)x2 + ( 21 32 + 3)x+ (51 + 33)

Al Igualar los coeficientes se obtiene el sistema de ecuaciones:

Ver pg. 411 del texto Mat. III de Ingeniería .UNA.

(5)

Elaborado por: Chanel Chacón Evaluador: Florymar Robles                      3 3 5 4 3 2 1 2 3 1 3 2 1 2 1

Una manera de resolver este sistema es por el método de sustitución.

Despejando 1 de la primera ecuación: 1 = 1  22 y sustituyendo en la segunda y tercera ecuación: 

 de donde 2 + 3 = 6



de éstas dos últimas ecuaciones, despejamos 2 de la primera: 2 = 6 - 3 y sustituyendo en la

segunda, tenemos:  de donde 3= 4 13 52 _ , luego 2 = 4 y  Así que, (x). P3 4 (x) P2 2 3P1(x) -P(x)   

b) Supongamos que existen escalares 1, 2 y 3 , tales que, 1P1(x)+ 2 P2 (x)+3 P3 (x) = 0

1 (x2 2x + 5) + 2(2 x2 3x ) +3(x + 3) = 0

(1 + 22)x2 + ( 21 32 + 3)x+ (51 + 33) = 0

de donde se obtiene el sistema de ecuaciones:

            0 3 5 0 3 2 0 2 3 1 3 2 1 2 1        , resolviendo el sistema por el método de eliminación.

Al multiplicar la primera ecuación por 2 y luego sumando con la segunda ecuación: 2142 0

2132 3 0

0 + 2 + 3 = 0 [4]

Al multiplicar la primera ecuación por – 5 y luego sumando con la tercera ecuación:

0 10 5 ₁ ₂     0 3 5₁  ₃  10 2 + 33 = 0 [5]

(6)

Al multiplicar la ecuación [4] por – 10 y luego sumando con la ecuación [5]:





 de donde 3 = 0,

sustituyendo 3 en [5], se obtiene 2 = 0 y por lo tanto 1 = 0.

Luego, los polinomios

P1(x)= x2 2x + 5 , P2(x)= 2 x2 3x , P3(x)= x + 3,

son linealmente independientes. (ver pg. 412 del texto Mat.III de Ingeniería . UNA).

OBJ 7 PTA 7 Considera las funciones, 

                    t arctg t t t t g t t t t tg t f( ) 2 , 1 , , ( ) cos , , 2 2 Calcula , ( ) 0 f g t lím t   . Solución:

Realizamos el producto escalar de f y g: (ver pg. 430 del texto Mat. III de Ingeniería. UNA)

                         t arctg t t t t t t t tg t g t f( ), ( ) 2 , 1 , , cos , , 2 2           t arctg t t t t t tg 2 1 cos 2 ₂ Ahora,                     _t t tarctg _t t t tg lím t g f lím t t 2 1 cos 2 ) ( , 2 0 0                 _t t tarctg _t t sen lím t 2 1 2 2 0 Como, 2 2 2 0 0     _t t sen lím t t sen lím t t , límt011 , 0 2 0   t lím t y 2 2 2 que ya 0 2 0   _                 tarctg _t arctg _t lím t . Entonces,                      _t t tarctg _t t sen lím t g f lím t t 2 1 2 ) ( , 2 0 0 3 2 1 2 0 2 0 0 0              _t lím límt límtarctg _t t sen lím t t t t . Por lo tanto, , ( ) 3 0    f g t lím t .

(7)

Elaborado por: Chanel Chacón Evaluador: Florymar Robles

OBJ 8 PTA 8 Considera la función vectorial 

      sen t t t t F( ) 4 , 3 ,cos4  , calcula su curvatura en el punto (0 , 3 , 1). Solución:

Hallamos el número t0 para el cual F(t0) = (0, 3, 1), entonces        0 ₀ 0 0 ,cos4 3 , 4 ) (t sen t t t F  = (0, 3, 1) de donde sen 4t0 = 0 ; 0 3t = 3 y cos 4t0 = 1. De la ecuación 0 3t = 3 se obtiene t0 = , y es el

único valor que satisface a las tres ecuaciones simultáneamente.

Ahora, determinemos el vector curvatura de dicha curva en el punto F(), dado por

) ( ) ( ) (    F T k    , donde ) ( ) ( ) (    F F T   

 .(ver págs. 568 y 569 del texto Mat. III de Ingeniería. UNA). Como        sen t t t t F( ) 4 , 3 ,cos4  entonces      _   t t sen t F() 4cos4 , 3, 4 4  . Al evaluar en t =  se obtiene: ) 1 , 3 , 0 ( 4 cos , 3 , 4 ) (             sen F , ) 0 , 3 , 4 ( 1 0 , 3 , 4 4 4 , 3 , 4 cos 4 ) (                     _   sen F . 9 16 1 ) 9 16 ( 1 ) (  ₂ 2   2        F . Luego, (4 ,3,0) 9 16 1 ) ( ) ( ) ( 2            F F T y ) 0 , 3 , 4 ( 9 16 9 16 1 ) 0 , 3 , 4 ( 9 16 1 ) ( ) ( ) ( ₂ 2 2                   F T k . (Vector curvatura)

Hallamos la norma del vector curvatura para encontrar la curvatura de F en el punto t0 = , entonces





2 2 2 ₂ ( ) . 16 9 16 9 ₁₆ ₉ k      _    _ _       .

Por lo tanto, la curvatura de F en el punto F() es

9 16 ) ( 2     k