Libro de Texto Agosto 2021 Enero 2022 Álgebra

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Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Campeche

Libro de Texto

Agosto 2021 – Enero 2022

Plantel: ___________________________________________

Nombre del Alumno: __________________________________

_________________________________________________

Carrera: __________________________________________

Semestre: _ Grupo:

Álgebra

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Eje: (Del pensamiento aritmético al lenguaje algebraico)

Componentes: Patrones, simbolización y generalización: elementos del álgebra Básica.

Contenido central:

 Uso de las variables y las expresiones algebraicas.

 De los patrones numéricos a la simbolización algebraica.

 Valor numérico de expresiones algebraicas

 Operaciones con polinomios (suma, resta, multiplicación y división)

Contenido específico:

 La variable como numero generalizado, incógnita y relación de dependencia funcional: ¿Cuándo y porque son diferentes?, ¿Qué caracteriza

a cada una? Ejemplos Concretos y creación de ejemplos.

 Tratamiento algebraico de enunciados verbales – “los problemas en palabras”:

¿cómo expreso matemáticamente un problema?,

¿Qué tipo de simbolización es pertinente para pasar de la aritmética al álgebra?

 Interpretación de las expresiones algebraicas y de su evaluación numérica.

Operaciones algebraicas. ¿Por qué la simbolización algebraica es útil en situaciones contextuales?

Aprendizajes esperados:

1. Transitan del pensamiento aritmético al lenguaje algebraico.

2. Desarrollan un lenguaje algebraico, un sistema simbólico para la generalización y la representación.

3. Interpreta y expresan algebraicamente propiedades de fenómenos de su entorno cotidiano.

4. Expresan de forma coloquial y escrita fenómenos de su vida cotidiana con base en prácticas como: simplificar, sintetizar, expresar, verbalizar, relacionar magnitudes, generalizar patrones, representar mediante símbolos, comunicar ideas, entre otras.

5. Evalúa expresiones algebraicas en diversos contextos numéricos.

6. Opera polinomios de grado pequeño.

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CONVERTIR EXPRESIONES VERBALES EN EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Convertir expresiones verbales en expresiones algebraicas

Una de las principales habilidades requeridas en las matemáticas aplicadas es la habilidad para convertir una expresión verbal en una expresión algebraica. Eso requiere reconocer las frases verbales que se convierten en operaciones matemáticas. La siguiente es una lista parcial de las frases utilizadas para indicar las diferentes operaciones matemáticas.

1. Traducción de frases a expresiones matemáticas

Operación Palabra o frase Enunciado Forma

algebraica

Suma

Sumado a 7 sumado a un número x + 7

Más que 5 más que un número x + 5

Incrementado en Un número

incrementado en 3

x + 3

La suma de La suma de un número y 4

x + 4

Resta

Restado de 6 restado de un número x - 6 Disminuido en Un número disminuido

en 5

x - 5

La diferencia entre La diferencia entre un número y 9

x - 9

Multiplicación

Multiplicado por Un número multiplicado por 6

6x El producto de El producto de 4 y un

número

4x El doble de un

número, 3 veces un número, etc

El doble de un número 2x

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Es frecuente que un enunciado contenga más de una operación. La tabla que sigue proporciona algunos ejemplos:

Enunciado Forma algebraica

 Cuatro más que el doble de un numero 2x + 4

 Cinco menos que el triple de un número 3x - 5

 Tres veces la suma de un número y 8 3(x + 8)

 Dos veces la diferencia entre un número y 4 2(x – 4)

Para obtener más práctica con los términos matemáticos, convertiremos algunas expresiones algebraicas en enunciados. Con frecuencia, una expresión algebraica puede escribirse de diferentes maneras. A continuación damos una lista de algunos de los enunciados posibles que utilizamos para representar algunas expresiones algebraicas dadas.

División

Dividido entre Un número dividido entre 8

𝑥 8 El cociente de El cociente de un

número y 6

𝑥 6 La mitad de un

número, un tercio, etcétera

Un séptimo de un número

𝑥 7

El doble de un número

El triple de un número

La suma de un número y ocho

La diferencia entre un número y cuatro

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Algebraica Enunciados

2x + 3

 Tres más que el doble de un número

 La suma del doble de un número y 3

 El doble de un número, incrementado en 3

 Tres sumado al doble de un número

Algebraica Enunciados

3x - 4

 Cuatro menos que el triple de un número

 El triple de un número, disminuido en 4

 La diferencia entre el triple de un número y 4

 Cuatro restado del triple de un número

Exprese cada enunciado como expresión algebraica

a) La distancia, d, incrementada en 12 millas

b) Ocho menos que el doble del área, a

c) Cuatro libras más que 5 veces el peso, w

d) El doble de la suma de la altura, h, y tres pies Para que practiques

Con la finalidad de que pongas en práctica tus aprendizajes, se te proporcionan los siguientes ejemplos y al final se dan las respuestas para que lo compares y corrijas tus errores.

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RESPUESTAS

a) d + 12 b) 2a – 8 c) 4 + 5w d) 2(h + 3)

2. Expresar las relaciones entre dos cantidades relacionadas

En ocasiones, en un problema los números se relacionan de cierta forma. Con frecuencia, representamos al número más sencillo, o más básico, como una variable, y el otro como una expresión que contiene a dicha variable. A continuación damos algunos ejemplos.

Enunciado Un número Segundo

número La edad de maría ahora y dentro de ocho años x x + 8

Dos números difieren en cinco x x + 5

Un número es seis veces otro número x 6x

Observe que a menudo se pueden utilizar diversas parejas de expresiones para representar los dos números. Por ejemplo, “dos números difieren en 5” también se expresa como x y x - 5. Ahora veremos dos enunciados más.

Enunciado Un número Segundo

número

La suma de dos números es igual a 10 x 10 - x

Una pieza de madera de 25 pies de longitud se corta en dos pedazos

x 25 - x

Tal vez no es obvio por qué en “la suma de dos números es igual a 10”, los dos números se representan como x y 10 - x. Suponga que un número es 2; ¿cuál es el otro número?

Como la suma es 10, el segundo número debe ser 10 - 2, u 8. Suponga que un número fuera 6, el segundo número debería ser 10 - 6, o 4.

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En general, si el primer número es x, el segundo debe ser 10 - x. Observe que la suma de x y 10 - x es 10 (figura 1).

Considere el enunciado una pieza de madera de 25 pies de longitud se corta en dos piezas. Si se llama x a una longitud, entonces la otra longitud debe ser 25 - x.

Por ejemplo, si una longitud es de 6 pies, la otra debe ser de 25 - 6, o 19 pies (figura 2).

Ejemplo 2.

Para cada una de las relaciones siguientes, seleccionemos una variable que represente una cantidad y definamos lo que representa. Después, expresemos la segunda cantidad en términos de la variable seleccionada

a) En un partido de basquetbol, los bucaneros obtuvieron 12 puntos más que los guerreros. ¿Cuál es la expresión algebraica que representa los puntos de los bucaneros?

Solución:

Necesitamos decidir cuál letra emplear como variable. Aunque para ello se emplea la x con frecuencia, es posible usar otras letras

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Sea c el número de puntos que obtuvieron los Guerreros. Entonces los que lograron los Bucaneros son: c + 12.

Si en lugar de c hubiésemos escogido la letra x para expresar el número de puntos que obtuvieron los guerreros, entonces la expresión que representa los puntos de los bucaneros es: x + 12

b) Sheila caminaba 1.4 veces más rápido que Juan. ¿Cuál es la expresión que representa la velocidad de Sheila?

Solución:

Sea x la velocidad de Juan. Entonces, la de Sheila es de 1.4x.

a) Luis tiene 7 más que el quíntuplo de la cantidad que tiene Silvia. ¿Cuál expresión algebraica representa la cantidad que tiene Luis?

b) La longitud de un rectángulo es 3 pies menos que el cuádruplo de su ancho. Escribe la expresión algebraica que representa la longitud del rectángulo

c) Oscar tiene 5 años más que la edad de su hermano menor. Escriba una expresión para la edad de óscar.

Para que practiques

Con la finalidad de que pongas en práctica tus aprendizajes se te proporcionan los siguientes ejemplos y se dan las respuestas para que lo compares y corrijas tus errores.

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RESPUESTAS a) 5x + 7

b) 4x – 3 c) x + 5

CONVERTIR EXPRESIONES ALGEBRAICAS EN EXPRESIONES VERBALES

A continuación se enlistan tres enunciados diferentes para representar las siguientes expresiones.

a) 5x – 2 Solución:

1. Dos menos que 5 veces un número 2. Cinco veces un número, disminuido en 2

3. La diferencia entre el quíntuplo de un número y 2

b) 2x + 7 Solución:

1. Siete más el doble de un número

2. Dos veces un número, incrementado en 7 3. La suma del doble de un número y 7

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EVALUAR EXPRESIONES QUE CONTENGAN VARIABLES

El remplazo de la variable o variables en una expresión algebraica con números y después la simplificación de la expresión numérica resultante se llama evaluación de la expresión algebraica.

En la siguiente tabla se indica algunos ejemplos de como encontrar el valor numerico de una expresion algebraica, primeramente se te da la expresion algebraica y el valor que debe tomar la variable que por lo general es la letra (x), seguidamente se hace la sustitucion de la literal por el numero asignado y finalmente se desarrollan las operaciones indicadas.

Expresion algebraica

Valor asignado a la

variable o letra

Reemplaza cada variable en la expresión con el número que representa

Utiliza el orden de las operaciones para simplificar

la expresión numérica resultante.

2x - 4x + 5 x = - 4 2( -4 ) – 4( -4 ) + 5 2( -4 ) – 4( -4 ) + 5 = -8 + 16 + 5 = - 8 + 21 = 13

3x² – 2x + 5 x = 5 3( 5 )² – 2( 5 ) + 5 3( 5 )² – 2( 5 ) + 5 = 3(25) - 10 + 5 = 75 - 10 + 5 = 80 - 10 = 70

ab – b² a = 2 y b = -3 ( 2 )( -3) – (-3)² ( 2 )( -3) – (-3)²

= - 6 - ( 9 ) = - 6 – 9 = - 15

–x² – 3x – 5 x = -2 -( -2 )² – 3 ( -2 ) - 5 -( -2 )² – 3 ( -2 ) – 5

= - ( 4 ) + 6 – 5

= - 4 + 6 - 5

= - 9 + 6

= - 3

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Ejemplos de aplicación de valor numérico

1. Luis decidió cercar un área rectangular del patio trasero de su oficina. La sección que va a cercar tendrá 40 pies de largo y 23 de ancho. ¿Qué cantidad de cerca necesita? Si se sabe que la fórmula de perímetro es P = 2l + 2a

Solución: l = 40 y a = 23, seguidamente remplazamos o sustituimos las letras por los números en la formula.

P = 2(40) + 2(23) desarrollamos las operaciones indicadas

P = 80 + 46 P = 126 pies

2. Una pelota de voleibol tiene un diámetro de aproximadamente 8.6 pulgadas. Calcule el volumen de aire que hay dentro de la pelota. Si se sabe que la fórmula de volumen es:

𝑉 = 4𝜋𝑟

³

3

Solución. Considerando π = 3.14 y r = 4.3 pulgadas, remplazamos o sustituimos las letras por los números en la formula.

V =

4(3.14)( 4.3)³

3

desarrollamos las operaciones indicadas

V

=

4(3.14)( 4.3)³

3

=

4(3.14)(79.507)

3

=

^998.61

3

= 332.87

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Evalúe cada expresión para el valor que se da para la variable

1. 4x² - 2x + 1; x = 3

2. 3p² - 6p - 4; p = -2

3. Volumen de un cilindro V = 𝜋r²h, obtener V, si 𝜋 = 3.14 , r = 6 y h =20

RESPUESTAS

1) 31 2) 20 3) 2260.8 Para que practiques

Con la finalidad de que pongas en práctica tus aprendizajes se te proporcionan los siguientes ejemplos y se dan las respuestas para que lo compares y corrijas tus errores.

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REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES

I. Identificar términos semejantes

Los términos semejantes son aquellos que tienen las mismas variables con los mismos exponentes. Los siguientes son ejemplos de términos semejantes y términos no semejantes. Observe que si dos términos son semejantes, sólo difieren en sus coeficientes numéricos.

Identificar términos semejantes Términos

semejantes

Términos no semejantes

3x , - 4x 3x, 2 (Un término tiene una variable, el otro es una constante.)

4y , 6y 3x, 4y (Las variables difieren.)

5 , - 6 x , 3 (Un término tiene una variable, el otro es una constante.)

2xy , -3xy 2x²y, -3xy²(Los exponentes difieren.)

EJEMPLO: Identifique los términos semejantes

a) 2x + 3x + 4 Solución: 2x y 3x son semejante b) 2x + 3y + 2 Solución: No hay términos semejantes c) x + 3 + y – ½ Solución: 3 y -1/2

d) x + 3x² – 4x² Solución: 3x² y – 4x²

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II. Reducir términos semejantes

Regla de reducción de términos semejantes

R1. Reducción de dos o más términos semejantes del mismo signo

Se suman los coeficientes, poniendo delante de esta suma el mismo signo que tienen todos y a continuación se escribe la parte literal. (Signos iguales se conservan los signos)

Ejemplos:

1. 5x + x + 3x = + (5 + 1 + 3)x = +9x

= 9x

2. -3x – 2x – 6x = - (3 + 2 + 6)x = - 11x

R2. Reducción de dos términos semejantes de distinto signo

Se restan los coeficientes numéricos, escribiendo delante de esta diferencia el signo del número de mayor valor absoluto, y después se escribe la parte literal.

Ejemplos.

1. – 5x + 3x = - (5 – 3)x

= -2x

2. - 6x +16 x= + (16 – 6)x = 10x

R3. Reducción de más de dos términos semejantes de signos distintos

Se reducen a un solo termino todos los positivos y después todos los negativos y al resultado obtenido se le aplica la regla anterior.

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A continuación se explica un ejemplo Reducir: 5a – 8a + a – 6a +21a Solución:

Reduciendo los positivos aplicando R1: 5a + a + 21a = 27a Reduciendo los negativos aplicando R1: -8a – 6a = - 14a

Finalmente aplicando a estos resultados obtenidos, 27a y - 14a, la regla 2, se tiene:

27a - 14a = 13a.

Reducción de un polinomio con términos semejantes de diversas clases

Ejemplo: Reducir el polinomio 5a – 6b + 8c + 9a - 20c – b + 6b – c Se reducen por separado los de cada clase:

5a + 9a = 14a – 6b – b = -7b 8c - 20c – c = -13 c

R = 14a – 7b – 13c

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SUMA DE POLINOMIOS

Para sumar dos o más polinomios se requiere reducir términos semejantes de los polinomios que se suman.

Ejemplo 1. Sumar (4x² + 6x + 3) + (2x² + 5x – 1) Solución:

Utilizamos la propiedad distributiva para eliminar los paréntesis como se muestra a continuación, recuerda que los signos del segundo polinomio no cambia

(4x² + 6x + 3) + (2x² + 5x – 1)

= 4x² + 6x + 3 + 2x² + 5x – 1 Utilizar la propiedad distributiva.

= 4x² + 2x² + 6x + 5x – 1 + 3 Reacomodar los términos semejantes

^{= 6x}²+ 11x + 2 Finalmente reducimos los términos Semejantes

Ejemplo 2. Sumar (5a² + 3a - 15) + (a² – 7a + 3)

Solución:

(5a² + 3a - 15) + (a² – 7a + 3)

= 5a² + 3a - 15 + a² – 7a + 3 Utilizar la propiedad distributiva

= 5a² + a² + 3a – 7a – 15 + 3 Reacomodar los términos semejantes

= 6a² – 4a – 8 Finalmente reducimos los términos Semejantes

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Ejemplo 3. Sumar (3x²y – 4xy + y) + (x²y + 2xy + 3y)

Solución:

(3x²y – 4xy + y) + (x²y + 2xy + 3y)

= 3x²y – 4xy + y + x²y + 2xy + 3y Utilizar la propiedad distributiva

= 3x²y + x²y – 4xy + 2xy + y + 3y Reacomodar los términos semejantes

= 4x²y – 2xy + 4y Finalmente reducimos los términos Semejantes

Para sumar polinomios en columnas

1. Arreglar los polinomios en orden descendente, uno bajo el otro con los términos Semejantes en las mismas columnas.

2. Sumar los términos de cada columna.

Ejemplo 4. Sumar (6x² - 2x + 2) + (-2x² - x + 7) por medio de columnas Solución:



6x² - 2x + 2 -2x² - x + 7

4x² – 3x + 9 finalmente reducimos términos Semejantes

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Sumar los siguientes polinomios

1. (-9x² + x + 2) + (-2x² – x - 7)

2. (x² – 3x + 5) + (-9x² + 6x – 8)

3. (5a² - 13a - 15) + (-9a² – 7a + 3)

RESPUESTAS

1) -11x² – 5 2) -8x² + 3x – 3

3) -4a² -20a - 12

Con la finalidad de que pongas en práctica tus aprendizajes se te proporcionan los siguientes ejemplos, y se dan las respuestas para que lo compares y corrijas tus errores.

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RESTA DE POLINOMIOS

Para la resta de dos polinomios se recomienda que se aplique el metodo por columnas, a continuacion se detalla el procedimiento para realizar dicha resta:

Restar los siguientes polinomios

Ejemplo 1: (3x² – 2x + 5) – (x² – 3x + 4)

 Primeramente deveras de escribir el polinomio que representa el minuendo pero sin cambiar el signo de sus terminos.

3x² – 2x + 5

 Seguidamente debajo del polinomio anterior escribir el polinomio que representa el sustraendo pero cambiándole el signo a cada termino.

3x² – 2x + 5 -x² + 3x – 4

Ejemplo 2: (x³ + 2x + 6) – ( -3x³ – 5x + 3)

x³ + 2x + 6

3x³ + 5x - 3 Minuendo Sustraendo

Finalmente reducimos los términos semejantes

= 2x² + 1x + 1

= 4x³ +7x + 3

Finalmente reducimos los términos semejantes

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Restar los siguientes polinomios

1. (x² + 2x + 6) - (-3x² – 5x + 3)

2. (4x² + 5x + 7) – (x² – 4x + 6)

3. (5x² – x – 1) – (-3x² – 2x – 5)

RESPUESTAS

1) 4x² + 7x + 3

2) 3x² + 9x + 1

3) 8x² + x + 4

Con la finalidad de que pongas en práctica tus aprendizajes, se te proporcionan los siguientes ejemplos y l se dan las respuestas para que lo compares y corrijas tus errores.

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MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS

Al multiplicar dos números, se utilizan las siguientes reglas para determinar el signo del producto.

Signo del producto de dos números reales

1. El producto de dos números con signos iguales es un número positivo.

2. El producto de dos números con signos diferentes es un número negativo

Según esta regla, el producto de dos números positivos o de dos número negativos será positivo. El producto de un número positivo y uno negativo será un número negativo.

Ley de los signos

(+) (+) = +

(-) (-) = +

(+) ( -) = -

(- ) (+) = -

Regla del producto para los exponentes

Al multiplicar potencias que tengan la misma base, ésta se conserva y sumamos los exponentes

a

^m

. a

ⁿ

= a

^m+n

a

³

. a

⁴

= a

³⁺⁴

= a

⁷

Signos iguales dan productos positivos

Signos diferentes dan productos negativos

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I. Multiplicación de monomios

Para multiplicar dos monomios, primeramente aplicamos la ley de los signos, multiplicamos sus coeficientes y empleamos la regla del producto para exponentes, para determinar los exponentes de las variables

A continuación se explican 2 ejemplos para que entiendas como realizar la multiplicación de dos monomios, y esto te sirva cuando multipliques dos polinomios.

Ejemplo 1. Multiplicar

(4x

²

) (5x

⁵

)

Solución:

o Primeramente aplica la ley de los signos en la multiplicación, como ambos factores tienen signos iguales (+4x²) (+5x⁵), el producto será positivo.

(4x

²

) (5x

⁵

)

= +

o Enseguida multiplica los coeficientes numéricos (4)(5) = 20

o Finalmente aplica la regla del producto para exponentes de la misma base. x². x⁵ = x⁷

Por lo tanto el resultado de la multiplicación es: (

4x

²

) (5x

⁵

) = 20x

⁷

Es importante mencionar que el signo positivo se omite cuando es el primer término de la expresión algebraica.

Ya que se te explicó el procedimiento para la multiplicación de dos monomios, lo siguientes ejemplos se resolverán de una forma más directa.

Ejemplo 2. Multiplicar (-6y⁴) (8y⁷) Solución:

(-6y⁴) (8y⁷) = - (6)(8) y⁴y⁷ = - 48y¹¹

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Ejemplo 3. Multiplicar (-4a²b c²) (-a b²) Solución:

(-4a²b³ c²) (-a b²) = (-)(-) (4)(1) (a².a)(b³.b²)(c²)

= 4 a³ b⁵ c²

II. Multiplicación de polinomios

Al multiplicar dos polinomios, debemos multiplicar cada término de un polinomio por cada término del otro, para un mejor entendimiento se propone que se aplique la multiplicación vertical de los polinomios.

A continuación se explican 3 ejemplos.

Ejemplo 1. Multiplicar (3x – 2)(5x² + 6x – 4)

Solución: Por conveniencia, colocamos el polinomio más corto en la parte inferior

5x² + 6x – 4 3x – 2

15x³ + 18 x² – 12x

-10x² – 12x + 8

15x³ + 8x2 – 24x + 8

Multiplicamos 3x (5x² + 6x – 4)

Multiplicamos -2 (5x² + 6x – 4) y ordenamos por términos semejantes

Reducimos términos semejantes por columnas

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Ejemplo 2. Multiplicar x² – 3x + 2 por 2x² - 3

Solución:

x² – 3x + 2 2x² – 3

2x⁴ – 6x³ + 4x²

- 3x² + 9x - 6

2x⁴ – 6x³ + x² + 9x - 6

Ejemplo 3. Multiplicar 3x³ – 2x² + 4x + 6 por x² – 5x Solución:

3x³ – 2x² + 4x + 6 x² – 5x

3x⁵ – 2x⁴ + 4x³ + 6x²

-15x⁴ + 10x³ - 20x² – 30x

3x⁵ - 17x⁴ + 14x³ – 14x² - 30x

Multiplicamos 2x² ( x² - 3x + 2 )

Multiplicamos -3 (x² - 3x + 2) y ordenamos por términos semejantes

Multiplicamos x² ( 3x³ - 2x² + 4x + 6 )

Multiplicamos -5x (3x³ - 2x² + 4x + 6) y ordenamos por términos semejantes

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1. 3x³ – 2x² + x – 3 por 2x + 5

2. x²– 4x + 5 por x – 3

3. x² – 2x + 7 por x - 2

RESPUESTAS

1) 6x⁴ + 11x³ – 8x² – x – 15

2) x³ – 7x² + 17x – 15

3) x³ – 4x² + 11x – 14

Con la finalidad de que pongas en práctica tus aprendizajes, se te proporcionan los siguientes ejemplos de multiplicación de polinomios, y se te dan las respuestas para que lo compares y corrijas tus errores.

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DIVIDIR UN POLINOMIO ENTRE UN MONOMIO

Al dividir dos números reales, se utilizan las siguientes reglas para determinar el signo del cociente.

Signo del cociente de dos números reales

1. Al dividir dos números con signos iguales es un número positivo.

−10

−2

= 5,

⁺¹⁰

+2

= 5

2. Al dividir dos números con signos diferentes es un número negativo

−10

+2

= −5,

⁺¹⁰

−2

= −5

Según esta regla, al dividir dos números positivos o dos número negativos será positivo.

Al dividir un número positivo y uno negativo será un número negativo.

En resumen podemos mencionar la siguiente ley de los signos

+ += +

Signos iguales el cociente es positivo

−

−= +

+

−= −

Signos diferentes el cociente es negativo

− += −

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Ley de los exponentes al dividir potencias de la misma base

Para dividir potencias de la misma base se deja la misma base y se le pone de exponente la diferencia entre el exponente del dividendo y el exponente del divisor.

𝑎^𝑚

𝑎^𝑛

= 𝑎

^𝑚−𝑛

^𝑎⁸

𝑎³

= 𝑎

⁸⁻³

= a

⁵

I. División de monomios

Para dividir dos monomios, primeramente aplicamos la ley de los signos, dividimos sus coeficientes y aplicamos la ley de los exponentes para determinar los exponentes de las variables

A continuación se explican 2 ejemplos para que entiendas como realizar la división de dos monomios, y esto te sirva cuando realices la división de un polinomio entre un monomio.

Ejemplo 1. Dividir: 4a³b² entre -2ab Solución:

4𝑎³𝑏²

−2𝑎𝑏 = −2𝑎²𝑏

Primero aplicamos la ley de los signos: ⁺

−= −

Seguidamente dividimos los coeficientes numéricos: ⁴

2= 2 Finalmente aplicamos la ley de los exponentes: ^𝑎

3

𝑎 = 𝑎² , ^𝑏²

𝑏 = 𝑏

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Ejemplo 2. Dividir: -5a⁴b³c entre -a²b Solución:

−5𝑎⁴𝑏³𝑐

−𝑎²𝑏 = 5𝑎²𝑏²𝑐

Obsérvese que cuando en el dividendo hay una letra que no existe en el divisor, en este caso c, dicha letra aparece en el cociente.

Ejemplo 3. Dividir: -20mx²y³ entre 4xy³ Solución:

−20𝑚𝑥²𝑦³

4𝑥𝑦³ = −5𝑚𝑥

Obsérvese que letras iguales en el dividendo y divisor se cancelan porque su cociente es 1. Así, en este caso, y³ del dividendo se cancela con y³ del divisor.

II. Dividir un polinomio entre un monomio

Para dividir un polinomio entre un monomio dividimos cada termino del polinomio entre el monomio

Ejemplo 1. Dividir ^10x

2 −4x 2x

Solución:

10x²− 4x

2x = 10𝑥² 2𝑥 − 4𝑥

2𝑥

= 𝟓𝒙 − 𝟐

 Divide cada uno de los términos del polinomio 10x²- 4x entre el monomio 2x.

 Simplifica la expresión

(31)

Ejemplo 2. Dividir ^4𝑡

5−6𝑡⁴+8𝑡³−3𝑡² 2𝑡²

Solución:

4𝑡⁵ − 6𝑡⁴ + 8𝑡³− 3𝑡²

2𝑡² = 4𝑡⁵

2𝑡²− 6𝑡⁴

2𝑡²+ 8𝑡³ 2𝑡² −3𝑡²

2𝑡²

= 𝟐𝒕^𝟑− 𝟑𝒕^𝟐+ 𝟒𝒕 − ^𝟑

𝟐

Ejemplo 3. Dividir: 3𝑥³− 6𝑥² + 4𝑥 − 1

− 3𝑥

Solución:

3𝑥³− 6𝑥²+ 4𝑥 − 1

− 3𝑥 = 3𝑥³

− 3𝑥− 6𝑥²

− 3𝑥+ 4𝑥

− 3𝑥− 1

− 3𝑥

3𝑥³− 6𝑥²+ 4𝑥 − 1

− 3𝑥 = −3𝑥³

3𝑥 + 6𝑥² 3𝑥 − 4𝑥

3𝑥 + 1 3𝑥

= −𝒙^𝟐+ 𝟐𝒙 − ^𝟒

𝟑+ ^𝟏

𝟑𝒙

 Divide cada uno de los términos del polinomio 4𝑡⁵− 6𝑡⁴+ 8𝑡³− 3𝑡² entre el monomio 2𝑡².

 Simplifica la expresión

 Divide cada uno de los términos del polinomio 3𝑥³− 6𝑥²+ 4𝑥 − 1 entre el monomio − 3𝑥 .

 Simplifica la expresión

(32)

1. Dividir 3𝑥³+ 6𝑥²− 9𝑥 3𝑥

2. Dividir −4𝑥⁵ + 6𝑥² + 8 2𝑥²

3. Dividir 6𝑡² + 3𝑡 + 8

− 4

Respuestas:

1. 𝑥²+ 2𝑥 − 3

2. −2𝑥³+ 3 + 4 𝑥²

3. − 3𝑡² 2 − 3𝑡

𝑡 − 2

Con la finalidad de que pongas en práctica tus aprendizajes, se te proporcionan los siguientes ejemplos de división de polinomio entre monomio, y se te dan las respuestas para que lo compares y corrijas tus errores.

(33)

EVIDENCIAS PRIMER PARCIAL Semestre: Agosto 2021 – Enero 2022

EVIDENCIA # 1

Nombre del alumno: _____________________________________________________

Especialidad: ___________________________________Grupo:__________________

Propósito: Que el estudiante aprenda a identificar, analizar y comprender el uso del lenguaje algebraico y las operaciones con polinomios en una diversidad de contextos; es decir, que logre significarlo mediante su uso.

Instrucciones para el alumno: De manera individual el alumno resolverá los siguientes ejercicios propuestos y lo enviara al docente como evidencia para ser calificado, en total son 10 puntos y el alumno deberá anexar en hojas blancas los procedimientos correctos que justifiquen cada ejercicio.

Escribir su nombre, especialidad y grupo utilizando solo pluma negra y lápiz para la solución del ejercicio. No deberá contener tachones o rayones. Deberá entregar sus evidencias en Tiempo y Forma.

Aprendizaje esperado

 Transitan del pensamiento aritmético al lenguaje algebraico.

 Desarrollan un lenguaje algebraico, un sistema simbólico para la generalización y la representación

 Interpreta y expresan algebraicamente propiedades de fenómenos de su entorno cotidiano

Producto esperado: Ejercicios resueltos correctamente

(34)

I. Escribe una expresión algebraica que represente cada uno de los enunciados siguientes

1. Un estudiante compro 10 libros iguales por un monto total de x pesos. ¿Qué expresión representa el precio de cada uno?

2. En una empresa, el número de empleadas mujeres es de 6 menos que dos tercios de los hombres. Escriba una expresión para el número de mujeres empleadas.

3. Las calorías en una porción de mezcla de nueces es de 280 calorías menos que el doble del número de calorías de una castaña. Escriba una expresión para el número de calorías en una porción de mezcla de nueces.

II. Escribe el enunciado verbal de la siguiente expresión algebraica

4. 2x – 5

III. Evalúe cada expresión para el valor que se da para la variable

5. 3p² - 6p - 4; p = -10

6. Calcular el volumen de una esfera que tiene un radio de 3 cm. Considere 𝜋 = 3.14 Aprendizaje esperado

 Evalúa expresiones algebraicas en diversos contextos numéricos

(35)

7. Sumar los siguientes polinomios: (-7x³ – 3x² + 4) + (4x²+ 5x³ – 7)

8. Restar los siguientes polinomios: (-x² + 3x + 10) – (13x² – 5x + 31)

9. Multiplicar: (2x – 1) (x³ + 3x² + 5x + 6)

10. Divide: 12x²y − 6xy + 4x² 2xy

Aprendizaje esperado

 Opera polinomios de grado pequeño

(36)

1. Transitan del pensamiento aritmético al lenguaje algebraicoy viceversa.

5. Evalúa expresiones algebraicas en diversos contextos numéricos

6. Opera polinomios de grado pequeño Ejercicios resueltos correctamente sobre lenguaje común a lenguaje

algebraico, valor numéricos y operaciones con polinomios

CRITERIOS A VALORAR SI NO OBSERVACIONES

1. Escribe correctamente la expresión algebraica (lenguaje común a lenguaje algebraico) 3 ejercicios 2. Escribe correctamente el texto algebraico ( expresión algebraica a lenguaje común) 1 ejercicio 3. Resuelve ejercicios de manera correcta sobre valor numérico de expresiones algebraicas. 2 ejercicios 4. Resuelve de manera correcta ejercicios sobre suma de polinomios, 1ejercicio

5. Resuelve de manera correcta ejercicios sobre resta de polinomios. 1ejercicio

6. Resuelve de manera correcta ejercicios sobre multiplicación de polinomios. 1ejercicio

7. Resuelve de manera correcta ejercicios sobre división de polinomio entre monomio. 1ejercicio

TOTAL DE PUNTOS

NOMBRE Y FIRMA DEL DOCENTE

(37)

BIBLIOGRAFÍA

Álgebra Elemental. Allen R. Angel

Álgebra. Baldor, Aurelio. Grupo Editorial Patria, 2da Edición.

Álgebra Elemental. Richard N. Aufman / Joanne S. Lockwood

Álgebra. Contreras Riquelme, Teresa Edda, Gafra Editores, 2da Edición.

Aritmética y Álgebra, Fuenlabrada de la Vega Trucíos, Samuel; Fuellabrada Velázquez, Irma Rosa. (2014). México. Editorial Mc Graw-Hill. 4ta Edición.

Matemáticas I. Cuéllar Carvajal, Juan Antonio. Editorial McGraw-Hill, 3ra Edición.

Libro de Texto Agosto 2021 Enero 2022 Álgebra

Libro de Texto

Agosto 2021 – Enero 2022

Plantel: ___________________________________________

Nombre del Alumno: __________________________________

_________________________________________________

Carrera: __________________________________________

Semestre: _______ Grupo: ______

Álgebra

CONVERTIR EXPRESIONES VERBALES EN EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Convertir expresiones verbales en expresiones algebraicas

1. Traducción de frases a expresiones matemáticas

2. Expresar las relaciones entre dos cantidades relacionadas

CONVERTIR EXPRESIONES ALGEBRAICAS EN EXPRESIONES VERBALES

EVALUAR EXPRESIONES QUE CONTENGAN VARIABLES

𝑉 = 4𝜋𝑟

3

V =

=

=

=

= 332.87

REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES

SUMA DE POLINOMIOS

RESTA DE POLINOMIOS

MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS

Ley de los signos

(+) (+) = +

(-) (-) = +

(+) ( -) = -

(- ) (+) = -

a

. a

= a

a

. a

= a

= a

(4x

) (5x

)

(4x

) (5x

)

4x

) (5x

) = 20x

DIVIDIR UN POLINOMIO ENTRE UN MONOMIO

= 5,

= 5

= −5,

= −5

= 𝑎

= 𝑎

= a

Semestre: _ Grupo: