¨
¨
Nombre: Michelle y Marco Orozco Cornejo.
Grado: 11mo C
Profesor: Roberto Arcia.
ACTIVIDAD #5 DE MATEMATICA
Actualmente, las secciones cónicas pueden definirse de varias maneras;
estas definiciones provienen de las diversas ramas de la matemática como la geometría analítica, la geometría proyectiva, etc.
En función de la relación existente entre el ángulo de conicidad (α) y la
inclinación del plano respecto del eje del cono (β), pueden obtenerse diferentes secciones cónicas, a saber:
β < α : Hipérbola (naranja) β = α : Parábola (azul)
β > α : Elipse (verde)
β = 90°: Circunferencia (un caso particular de elipse) (rojo)
β = 180° : Triangular
La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante y menor que la distancia entre los focos.
Tiene dos asíntotas (rectas cuyas distancias a la curva tienden a cero cuando la curva se aleja hacia el infinito).
Las hipérbolas cuyas asíntotas son perpendiculares se llaman hipérbolas equiláteras.
La ecuación de una hipérbola horizontal con centro (h,k) es:
A su vez, la de una hipérbola vertical es:
1. Hallar la ecuación de la hipérbola concentro en el origen, eje real paralelo al eje 0x, uno de cuyos vértices está en (−3, 0) y uno de sus focos en (5, 0). Determinar, además, las
coordenadas de los extremos del eje imaginario y las ecuaciones de sus asíntotas.
Para comenzar, al observar la figura, la distancia CV1 = 3 y es igual al valor de a, y la distancia CF2 = 5, que equivale al valor de c. haciendo uso de la relación entre a, b y c se tiene:
Dado que los vértices y los focos están sobre el eje X, el eje real es horizontal y la ecuación correspondiente:
Sustituyendo los valores de a y b:
La ecuación pedida es, por tanto:
Para los extremos del eje imaginario, es necesario avanzar desde el centro y de manera perpendicular al eje real, una distancia igual a b, tanto en un sentido como en otro, con lo cual se llega a los puntos B1(0, −4) y B2(0, 4). Las ecuaciones de las asíntotas se obtienen a partir de las ecuaciones correspondientes al eje real horizontal, esto es:
La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco, y de una recta llamada directriz.
Además del foco (F) y de la directriz de una parábola, se destacan los siguientes elementos:
Aplicaciones practicas:
Una consecuencia de gran importancia es que la tangente refleja los rayos paralelos al eje de la parábola en dirección al foco. Las aplicaciones prácticas son muchas: las antenas satelitales y radiotelescopios aprovechan el principio concentrando señales recibidas desde un emisor lejano en un receptor colocado en la posición del foco.
La concentración de la radiación solar en un punto, mediante un reflector parabólico tiene su aplicación en pequeñas cocinas solares y grandes centrales captadoras de energía solar.
La parábola refleja sobre el foco los rayos
paralelos al eje. Análogamente, un emisor
situado en el foco, enviará un haz de rayos
paralelos al eje.
Una elipse es una curva plana, simple y cerrada con dos ejes de simetría que resulta al cortar la superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetría con ángulo mayor que el de la generatriz respecto del eje de revolución. Una elipse que gira alrededor de su eje menor genera un esferoide achatado, mientras que una elipse que gira alrededor de su eje principal genera un esferoide alargado.
La elipse es también la imagen afín de una circunferencia.
La elipse es un lugar geométrico que se puede observar constantemente en la vida cotidiana, como en las obras de arte.
Referente al arte se puede observar en las cúpulas y en los portales.
En la vida cotidiana se puede observar en los vasos de agua cuando los inclinamos para beber que se forma una elipse. En las
estaciones de metro alguna vez te habrás preguntado por qué se oye la conversación de algunas personas que están en el otro andén
como si estuviesen al lado tuyo, eso es por el efecto de la elipse y significa que las personas integrantes de esa conversación estáis cerca de los focos de la elipse. Esto ocurre porque las palabras se transmiten por al aire mediante ondas y llegan a algún lugar. Hay
una propiedad de la elipse que dice que una línea secante a una elipse rebota en uno de los puntos de corte conte ella y pasa por uno de sus dos focos y eso es lo que pasa en las estaciones de metro
ya que tienen forma de elipse.
