Turbinas Axiales. Contenido. Marzo Generalidades. Triangulo de Velocidades y Etapa Normal. Trabajo de una Etapa. Diagrama de Mollier

Turbinas Axiales

Prof. Miguel ASUAJE Prof. Miguel ASUAJE

Marzo 2012

Contenido

–

Generalidades

A áli i d l d bi i l

–

Análisis de la etapa de una turbina axial

–

Triangulo de Velocidades y Etapa Normal

–

Trabajo de una Etapa

–

Diagrama de Mollier

–

Grado de Reacción

–

Rendimiento y Pérdidas de una etapa

–

Análisis de los componentes de pérdidas

–

Diseño

–

Funcionamiento fuera del punto de Operación

Una Turbina a Gas es un motor diseñado para convertir la energía de un combustible en

Generalidades

Recordemos que……..

Una Turbina a Gas es un motor diseñado para convertir la energía de un combustible en energía mecánica útil en un eje y/o en impulso en un chorro.

Sus componentes principales:

Compresor

Cámara de Combustión Turbina

Turbinas  a Gas

Generalidades

y además, son empleadas ……

• Para generación de energía (plantas térmicas)

• Para propulsión aérea

• Para abastecimiento de calor

• Para turbocompresores

http://www.taringa.net/posts/celular es/1833096/new‐ringtone‐el‐avion‐

para‐movil.html

Turbina de avión

• Para aeromodelismo (nanoturbinas)

p

Análisis de la Etapa de la Turbina Axial

Veamos entonces cómo funciona la turbina de tipo Veamos entonces cómo funciona la turbina de tipo axial dentro de todo el conjunto de la Turbina a Gas. Es decir, se hablará de la ”turbina de la turbina”

¿¿¿¿¿Rejilla, álabes rotor cámara de

Combustible

TAG: Ciclo Abierto

álabes, rotor, estator…..???

cámara de combustión

Aire Productos

combustión Compresor Turbina

WC WT

QC

WN

Etapa de una Turbina Axial

En una turbina axial el flujo entra a una corona de álabes fijos (estator)

tú t b t l id d di i l

Estator

que actúan como toberas que aumentan su velocidad y direccionan el flujo para pasar al Rotor. De esta forma se establece que la etapa de una turbina axial esta conformada por una etapa de un Estator y una etapa de un Rotor, que corresponden al paso desde el

1

hasta

3.

1

El estatoracelera el flujo y lo direcciona hacia la entrada del rotor

Estator

Rotor

ω

2

3

entrada del rotor.

El rotor aprovecha la velocidad del flujo y lo redirecciona para generar sustentación en cada alabe y transmitir potencia a un eje.

Análisis de la etapa de la turbina

á á

Tanto el rotor como el estator, están compuestos por álabes dispuestos uno al lado del otro de manera circular.

Si extendemos el conjunto conjunto Se vería como muestra la figura

Rejilla de álabes

Nomenclatura

Álabes en rejillas

b = cuerda axial

l ^d

l ^{= cuerda}

α

1

’ = ángulo tangente línea de centros en la entrada α

2

’ = ángulo tangente línea de centros en la salida α

¹

= ángulo del fluido en la entrada

α

2

= ángulo del fluido en la salida

s α₁´

θ

α1 c1 α1´

i

b Flujo de Entrada c1

l

l

salida

i= α

¹

- α

¹

’ Incidencia s = Paso (distancia entre dos alabes)

ε= α

1

- α

2

Deflexión θ = α

1

’ - α

2

’ Curvatura δ = α

²

- α

²

’ Desviación

α2´

c2 α2´ α2

δ

Flujo de salida c2 (promedio)

Premisas en el estudio de una Turbina Axial

–

Análisis bidimensional o “quasi-2D”. La velocidad en la dirección radial es igual g a cero. i.e: flujo paralelo al eje

–

Se estudian en el plano medio del álabe (representativo de la etapa)

o Si la relación de envergadura respecto a la cuerda no es grande

–

Infinitos álabes

–

Régimen permanente

–

Flujo Incompresible

Triángulos de Velocidades

C r

1

α

Si se considera una etapa normal, se X

Y+

α1

W r

2

r

²

C r

β2

α2

Estator

pueden Solapar los triángulos a la entrada y salida del rotor:

β

2

α

2

W r

2

C r

²

W r

3

C r

3

β

3

α

3

^{C r}

^X

X +

C r

3

W r

3

r

α3

β3

Rotor U

β

2

U r

Etapa Normal

Las Velocidades absolutas de entrada y de salida son iguales en magnitud y en

dirección

Por continuidad

1 3

α α

⇒ =

ρ ≈ ctte

3

1 C

C r r

=

1 1 2 2 3 3

1 2 3

X X X

X X X

A C A C A C

C C C

ρ ≈ ρ ≈ ρ

≈ ≈

Considerando ctte

A ctte ρ

≈

^{Es cierto?}

Etapa Normal

Como C ₁ = C ₃ en todas las

etapas, la ALTURA de los

álabes en cada etapa debe

aumentar gradualmente

para compensar la

disminución de densidad y

compensar la ecuación de

continuidad!!!

Transferencia de Energía

ROTOR…

Ecuación de Euler ω

3

1 2

Estator Rotor

3 3 2

2

C

θ

U C

θ

U

w = ⋅ − ⋅ Δ

En su forma más general tenemos que:

En una turbina Axial U

₂

= U

₃

= U. Basándonos en el triangulo de velocidad a la salida del rotor, nos queda:

( )

3

0

C

y

<

C r

3

W r

3

U r

α

3

β

3

X+

Y+

En esta última expresión , por lo tanto:

( C

y2

C

y3

)

U w = − Δ

( C

y2

C

y3

)

U w = + Δ

Cx Triángulos de Velocidades

Adimensionales o Unitarios

Factor de Flujo

U

= Cx φ

U r U W r

₃

U c r

₃

α

3

β

3

U W r

₂

U

c r

₂

U Cx

2

)

2

( U

w ND

h

_s

Δ Δ ≈

= Ψ

Factor de Potencia

U C C

_y2

+

_y3

=

U Ψ

U

U c

y 2

U c

_{y 3}

Ψ Δ w = U ( C

y2

+ C

y3

)

) (

Potencia de Euler

Trabajo de una Etapa Normal

Por otra parte sabemos que el trabajo también puede ser estimado como:

ser estimado como:

01 03

W h h

Δ = −

02

01

h

h =

Pero en el estator (tobera) ocurre que:

C

r

3

W r

3

U r

X+

Y+

3

C

r

y

C

r

X

(

2 3

)

03

02

h U c

y

c

y

h

W = − = +

Δ

∴

( ) ( ) (

2 3

)

2 3 2

3 3

2 2 2

2

2

2

1 2

1

y y y

x y

x

C h C C U C C

C

h = +

⎥⎦ ⎤

⎢⎣ ⎡ + +

⎥⎦ −

⎢⎣ ⎤

⎡ + +

(

2 3

)

2 3 3 2 2

2

2

1 2

1

y

y

C

C U C h C

h ⎟ = +

⎠

⎜ ⎞

⎝ ⎛ +

⎟ −

⎠

⎜ ⎞

⎝ ⎛ +

Trabajo de una Etapa Normal

ω

x x

x

C C

C r r r

=

=

₃

Recordemos que:

2

3

1 2

Estator Rotor

( ) ( )

( )( ) ( ) ⁰

1 2 1

3 2 2

3 2

2 3

2

= +

− +

− +

−

+

=

− +

−

C C U C C C C h

h

C C U C C h

h

_{y y y y}

r r r

r r r

r r r

r

Por lo tanto…

( )( ) ( )

( ) [ ]

( )( [ ) ( ) ] ⁰

2 1

0 2 2

1 2 0

3 2

3 2 3

2

3 2 3 2 3

2

3 2 3

2 3 2 3

2

= +

−

− +

+

−

=

−

− +

+

−

= + +

+

U C U C C C h

h

U C C C C h

h

C C U C C C C h

h

y y

y y

y y y y

y y y

y y y

r r r r r r

r

r

r

r

Trabajo de una Etapa Normal

Regresando a los triángulos de velocidades en 2 y 3:

Wr2

Ur Cr2

Estator

Rotor

2

W

r

y

C

r

X ^{3 3}

2 2

y y

y y

W U C

W U C r r

r r

= +

=

−

3 2 3

2 y y y

y

C W W

C r r r r +

= +

Sustituyendo en la expresión anterior:

( )( [ ) ( ) ] ⁰

1

3 2

3 2 3

2

− h + C + C C − U − C + U =

h r

_y

r

_y

r

_y

r

_y

C

r

3

Wr3

Ur Rotor

3

C

r

y

C

r

X

( )( )

( ) ⁰

2 1 2 0 1

2 3 2

2 3

2

3 2 3 2 3

2

=

− +

−

=

− +

+

−

y y

y y y y

W W h

h

W W W W h

h

r r

r r r r

( )( [ ) ( ) ] ⁰

2

^{2 3 2 3}

3

2

h + C + C C U C + U

h

_{y y y y}

Trabajo de una Etapa Normal

Sumando y restando por

²

:

2 1

W r

X

Wr2

Ur Cr2

Estator

Rotor W

r

^y2 C

r

X

2 ( ) ⁰

2 1 2

1 2

1

_{2 2 2}

3 2

2 3

2

− h + W

_y

− W

_y

+ W

_X

− W

_X

=

h r r r r

( ) ( )

[ ] ⁰

2

1

_{2 2}

3 2 2

2 3

2

− h + W

_y

+ W

_X

− W

_y

+ W

_X

=

h r r r r

2 0 1 2

1

₂

3 2 2 3

2

− h + W − W =

h r r

C

r

3

Wr3

Ur Rotor

3

C

r

y

C

r

X

2 2

2 3 3 2 2

2

2

1 2

1 W h W

h r r

+

= +

Finalmente:

rel rel

h

h ₀₂ = ₀₃

Proceso de Expansión.

Diagrama de Mollier

P01

P02

h

En el Diagrama de Mollier se pueden

representar las transformaciones energéticas del fluido a su paso par la turbina Estos cambios P1

P2

01

1

P³

02 P02rel

02r el 03 rel

P03rel

2

P03

2

2

c1

2

2

c2

2

2

W3

2

2

W2

A través de la tobera, el gas se mueve del punto 1 al 2 y la presión estática decrece de P1 a P²

.

En el rotor, la presión estática absoluta se reduce de P2 a P3

fluido a su paso par la turbina. Estos cambios están asociados a la forma de los álabes

2s

3ss 3s

3 2

03ss 03s

s

03 2

2

c3

Flujo Flujo

1 2 3

Estator Rotor

Grado de Reacción (R)

rotor el en estática entalpía

de Caída

1

etapa la en estática entalpía

de Caída

rotor el en estática entalpía

de Caída

=

Estator R

Rotor

ω

2

3 1 3

3 2

h h

h R h

−

= −

Dentro de las turbinas axiales tenemos los tres casos característicos siguientes:

• Turbinas de acción con presión constante en el rotor R<0

• Turbina de acción con entalpía constante en el rotor R=0

• Turbina de reacción, con R=0,5

• Turbina de reacción pura, con R=1,0

Grado de Reacción

A partir de las ecuaciones

fundamentales y los triángulos: α² _C^r₂ Wr₃

r ³

β CrX

1

( )

2 tg β

³

tg β

²

U

R = Cx −

U C tg W

U tg

R Cx

^{y y}

2 2 ) 1 2 (

2

1

3 2

2 3

+ −

=

− +

= β α

2

( )

3

Cx

β2 Wr₂

Ur

Cr3

α

3 ^X

(

_{3 2}

)

1 2 tg α tg α U

R = + Cx −

3

Pero atención: 1, 2, 3 son

linealmente dependientes!!! ^{01 03}

3 2 3 1

3 2

h h

h h h h

h R h

−

= −

−

= −

Grado de Reacción

Turbina axial de acción con

presión constante

en el rotor

R<0

Estator C

2

>>C

1

expansión en el estator

Rotor

P

2

= P

3

presión constante en el rotor.

W

3

< W

2

no hay expansión. La disminución de la velocidad es

h

01 1

03 02

Rotor

debida a la fricción.

h

3

> h

2

No hay expansión. El aumento de entalpía es debido a la fricción.

Ligeramente negativo

s

2 3

03

2^s

Grado de Reacción (R)

R=0 Etapas de acción: La caída de h

2

= h

3

entalpía en el rotor es igual a cero entalpía en el rotor es igual a cero

2 3 2

3 2

3

) 0

2 ( β − β = ⇒ β = β ⇒ β = β

= tg tg tg tg

U R Cx

3

2

W

W =

Así mismo…

^{Como h02rel=h03rel y h2=h3entonces}

W2=W3

1 02rel 03rel

h C2

C3

W²

W3

U β2

β3

1

2 3

2s

3s

3^ss

s

Grado de Reacción=0

Transformaciones Energéticas

Turbina axial de acción con entalpía constante en el rotor La variaciones de presión velocidad absoluta velocidad relativa y R=0

La variaciones de presión, velocidad absoluta, velocidad relativa y entalpía en el estator y rotor para

R=0, están representadas en la

siguiente figura:

P

1

h

1

P

C

2

W

2

W

3

Estator Rotor

C

1

h C

W

2

P

2

h

2

W

3

P

3

C

3

h

3

h

Grado de Reacción

Turbina axial de reacción 0<R<1

h

₀₁

1

2 02

Estator C

2

>>C

1

expansión en el estator

Rotor

h2>> h3disminución de entalpía en el rotor debido a la expansión.

W3>> W2 aumento de la velocidad

s

3

Rotor

en el rotor debido a la expansión. 03 P2>> P3disminución de la presión en el rotor debido a la expansión

Frecuentemente R=0.5

Grado de Reacción

Turbina axial de reacción

Cuando

R=0.5, implica:

(

^{3 2}

)

2 2 1 2

1 = + tg β − tg α ⇒ U

Cx Cuando

R 0.5, implica:

• Triángulo de velocidades es simétrico

• h

1

-h

2

=h

2

-h

3

• α

2

=β

3

• α

3

=β

2

= h

1

W3

2

C2

β

2

α

3

2 3 2

3

)

2 (

0 = tg β − tg α ⇒ β = α U

Cx

2

3 y

y

C

W =

=

s 3

U W3

W2

C2

C3

β

3

α

2

Triángulo de velocidades y diagrama de Mollier para R=0.5

Cuando

R=1, implica:

Grado de Reacción

Turbina axial de reacción (

3 2

)

1 2

1 = + tg α − tg α U

Cx

Cuando

R 1, implica:

• α

2

=α

3

• El trabajo es realizado por el rotor

• La caída de entalpía en el estator es igual a cero:

C2 W3

2 3 2

3

α 0 α α

α − = ⇒ =

⇒ tg tg

2

3 y

y

C

C =

h

2

1

h

h =

W2

U

C3

α

²

α

3

s

Grado de Reacción (R)

Una diferencia de presiones considerable entre la entrada y la salida de los álabes móviles relacionada directamente con el grado de de los álabes móviles, relacionada directamente con el grado de reacción, genera una fuerza sobre el disco de la turbina paralela a su eje que es transmitida a los rodamientos. Se considera entonces:

R Æ 20 a 30 %

Etapas de media presión

R Æ 4 a 5 %

Etapas de alta presión

Generalmente para turbinas de alta capacidad: R Æ 45 a 60 % p p

R=50%

Etapas Parson

U W r

₃

U c r

β33

α

³

U

W r

₂

U c r

₂

Etapas con R=0,5, tienen Igual perfil aerodinámico, álabes fijos y móviles

Grado de Reacción (R)

Diagrama de Etapa Turbina Axial para R=0 y R=0,5

R=0.5 R=0

Los Triángulos de Velocidades y Grado de Reacción

ψ β

Analizando los factores que

d i l f d l

W

_y2

/U W

_y3

/U C

_y3

/U

^Cy1/U

1

W

₂

/U

C

₂

/U W

₃

/U

C

₁

/U β

3

α

₁

β

2

α

₂

ε

_R

ε

_N

ϕ

h

h h h h h Δ h ψ U

²

determinan la forma del triangulo de velocidades se puede ver que su forma es definida por C

_x

, C

_θ

y U y Considerando la definición de ψ y ϕ se tiene que:

U W W U

C C U

W W W

R W

^{y y y y y y y y}

2 ) (

2 ) 1 (

2

) )(

(

_{3 2 3 2}

2

2 3 2

3

−

− = +

− =

= +

ψ

Por Definición:

3 1

3 2

h h

h R h

−

= − h

⁰¹

− h

⁰³

= h

¹

− h

³

= Δ h

⁰

= ψ U ) 2 (

1

2 2

2 3 3

2

h W

y

W

y

h − = −

De manera similar C

_y

R +1

2

ψ

W

_y

R

+

3

ψ

W

_{y 2}

ψ R

Los Triángulos de Velocidades y Grado de Reacción

De manera similar R

U

y

= + 1 −

2

ψ R

U

y

= +

2 ψ

La velocidad de salida en el estator

y el rotor

2 2

2 2 2

2

2

1 )

( 2 R

U C U

C U

C

x y

⎟⎟ ⎠ = + + −

⎜⎜ ⎞

⎝ + ⎛

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ φ ψ

2 2

2 3 2

2

3

)

( 2 R U

W U

C U

W

x y

⎟⎟ ⎠ = + +

⎜⎜ ⎞

⎝ + ⎛

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ φ ψ

U R

y

= −

2 ψ

2 U

U

U ⎠ ⎝ ⎠ ⎜ ⎝ ⎟ ⎠

⎝

⎥ ⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ + + − + + +

+

=

R N

TT

R

R ξ φ ψ ξ

φ ψ ψ η

2 2

2

2

)

( 2 )

2 1 2 (

1 1

La eficiencia se transforma en: 1

El resto de los elementos de los triángulos de velocidades también pueden ser expresados en términos de ϕ ψ y R

Los Triángulos de Velocidades y Grado de Reacción

pueden ser expresados en términos de ϕ, ψ y R

⎟ ⎟

⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎜ ⎜

⎝

⎛ ⎟ + −

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

= φ

ψ α

2 1

1

R arctg

⎟ ⎟

⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎜ ⎜

⎝

⎛ ⎟ − +

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

= φ

ψ

α

2

^{2 1}

R arctg

⎟ ⎟

⎟ ⎞

⎜ ⎜

⎜ ⎛ ⎟ −

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

=

ψ

β R

arctg 2 ⎟ ⎟ ⎞

⎜ ⎜

⎛ ⎟ +

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ ψ β

R arctg 2

⎟ ⎟

⎟

⎜ ⎠

⎜ ⎜

⎝

= φ

β

₂

arctg

⎟ ⎟

⎟

⎜ ⎠

⎜ ⎜

⎝

⎠

= ⎝ β

₃

arctg φ

⎟ ⎟

⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎜ ⎜

⎝

⎛

+ +

−

= +

=

2 2

2 2

1

) 1 4 ( R arctg

S

φ ψ

α φψ α ε

⎟ ⎟

⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎜ ⎜

⎝

⎛

+

−

= +

=

2 2 2 3

2

4 R

arctg

R

φ ψ

β φψ

β

ε

Acción vs. Reacción

En cuanto al rendimiento …

⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎣

⎡

⎪⎭

⎪ ⎬

⎫

⎪⎩

⎪ ⎨

⎧ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ + +

⎪⎭ +

⎪ ⎬

⎫

⎪⎩

⎪ ⎨

⎧ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ + − + +

=

= +

R S

TT TT

R R

Pérdidas

ψ ζ φ ψ ζ

ψ φ η

η

2 2

2 2

1 2 2 2

1 1

1 1

1

Suponiendo recuperada la carga de velocidad de la última etapa

R S

R ζ ζ =

=

⇒ 0 , 5

Buscando el grado de reacción óptimo para un mismo punto de operación

0

,

⎭ =

⎬ ⎫

⎩ ⎨

⎧

∂

∂

ψ

R

φ

Pérdidas

Una etapa de

Reacción tendrá mejor rendimiento

que una etapa de acción

Acción vs. Reacción 0.5

En cuanto a la Velocidad Periférica …

R R

S R

R

, 2 2

2 2

1 2 2 2

1

φ

ψ

ψ ζ φ ψ ζ

ψ φ

∂ ⎪⎭

⎪ ⎬

⎫

⎪⎩

⎪ ⎨

⎧

⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎣

⎡

⎪⎭

⎪ ⎬

⎫

⎪⎩

⎪ ⎨

⎧ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝ ⎛ + +

⎪⎭ +

⎪ ⎬

⎫

⎪⎩

⎪ ⎨

⎧ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ + − +

∂

Buscando el factor de carga óptimo para un mismo punto de operación

2 1 1

0 2

2 2

=

∀ Δ ≈

=

=

∀ Δ ≈

=

U R h U R

h ψ ψ

un mismo punto de operación

Para el mismo salto de entalpía de acción tendrá menor velocidad periférica que una etapa de reacción

Acción vs. Reacción 0.5

Varios aspectos …

En las etapas de acción las pérdidas intersticiales son prácticamente En las etapas de acción las pérdidas intersticiales son prácticamente nulas. En las turbinas de reacción se requiere por lo general

dispositivos de sellado para reducir las pérdidas

Debido a la expansión fuerte en el estator del escalonamiento de acción frente al de reacción, la temperatura de entrada al rotor de la etapa de acción es más baja. Ventaja sobre todo en las primeras etapas de turbinas a gas

La diferencia de presiones en las turbinas de reacción generan empujes. Se soluciona con turbinas con flujos contrapuestos

Los álabes de una etapa de reacción 0.5, son iguales para el estator y el rotor

Las etapas de acción son utilizadas cuando se requiere trabajar con admisión parcial

Casos Particulares

η _tt de una etapa con R=0

( ) ( ) β ¹

Del triangulo de velocidades podemos decir que:

α β

³

2 2

3 2

3

) 0 2

2 ( tg β tg β β β ψ φ tg β U

R = Cx − = ⇒ = ⇒ = ⋅ ⋅

( ) ( ) ( ) α ( ) β _φ

β φ α

tan 1 tan

tan 1 tan

3 3

2 2

3 3

2 2

−

=

+

⇒ =

−

= +

=

U W C

U W C

y y

y y

) (

)

(

_{2 3 2 3}

2

φ α α φ β β

ψ tg tg tg tg

U

w = + = +

= Δ

Si R=0

β

2

α

2

W r

2

U r C r

2

W r

3

C r

3

α

3

2U

( ) φ ψ

α ^{⎟ ⎠}

⎜ ⎞

⎝ ⎛ +

= 2 1 tan

₂

Con esta última expresión y las deducciones del triangulo de velocidades hechas previamente obtenemos que:

( ) φ ψ

α ^{⎟ ⎠}

⎜ ⎞

⎝ ⎛ −

= 2 1 tan

₃

η _tt de una etapa con R=0

( ) ^{⎥ ⎥}

⎤

⎢ ⎢

⎡ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝ ⎛ + 1

²

2 ψ

Del triangulo de velocidades…….

De esta forma:

( ) ( ) ( ( ) )

⎥ ⎥

⎥

⎢ ⎦

⎢ ⎢

⎣

⎠ + ⎝

= +

=

⋅

=

⇒

⋅

=

_{2 2}^{2 2 2} ₂ ^{2 2} ₂ ² ₂

2

1 2 tan

1 sec

sec α

_X

α

_X

α

_X

φ

X

C C C C

C C

β α

2

C r

2

W r

3

β

3

α

3

( ) ( ( ) )

⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎣

⎡

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝ + ⎛

= +

=

⇒

⋅

=

2 2

3 2 2

2 3 3

3

sec 1 tan 1 2

φ β ψ

β

_{X X}

X

W C C

C W

C W +

1 ξ

²

ξ

²

⎪⎭

⎪ ⎬

⎫

⎪⎩

⎪ ⎨

⎧

⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎣

⎡ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝ ⎛ + +

⋅

⎥ +

⎥ ⎦

⎤

⎢ ⎢

⎣

⎡ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝ + ⎛

⋅

⋅ +

=

2 2

2 2

1 2 2

2 1 1

1 ξ φ ψ ξ φ ψ

ψ

η

_tt ^{R N}

β

2

W r

2

U r C r

³

W C

W

_N

R

tt

Δ

+ +

= 1 2

1 ξ

₃

ξ

₂

η

η _tt de una etapa con R=0

Turbinas Axiales sin rotación inter-etapas

C

₁

ψ

C

₂

U W

₂

α 

₂

β 

2

2

2

)

h ( h h h

Estator C

₂

U W

₂

α 

₂

β 

₂

W

₃

β 

₃

C

₃

ε

_S

ϕ = C

₁

/U ε

_R

W

₃

β 

₃

C

₃

U

2 2 2 2 3 03

01 3 2 3 1

3

2

0 . 5 ( )

U W W h

h h h h h

h R h

ψ

= −

−

= −

−

= −

1 ₋ ψ 2

= R

Rotor

El resto de los elementos de los triángulos de velocidades también pueden ser expresados en términos de ϕ y ψ.

Turbinas Axiales sin rotación inter-etapas

pueden ser expresados en términos de ϕ y ψ.

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

= φ

ε ψ

α

_{2 S}

^arctg ⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛ −

φ β

₂

arctg ψ ¹

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

β

₃

arctg φ ¹ ε

_R

= β ₂ + β ₃

2 2

= φ

2

+ ψ U

C

³

= φ

²

+ 1

U W

[

N R

]

TT

φ ψ ζ φ ζ

ψ η

2 1 1 1

1

2 2

2

+ + +

+

Lo cual cambia la eficiencia =

Turbinas Axiales sin rotación inter-etapas

[ ]

η

TT

1

= 1

[

N R

]

TT

φ ψ ξ φ ξ

ψ η

2 1

1 + 1

²

+

²

+

²

+

Derivando respecto a ψ la expresión resaltada se puede obtener que

N R N

R

opt

ξ

φ ξ ξ

ψ = ( 1 + ξ )

²

+ ^Asumiendo ≈ 1

N

ξ

R

ξ

N

N

ξ

ξ ξ

_N

1 2

²

+

= φ

ψ

_opt

η _ts de una etapa con velocidad Axial a la Salida

Asumiendo T

₂

=T

₃

, podemos decir que:

2 2

2

( sec ( ) sec ( ) 1 )

1 2 1 2

1

2 2 3

2 2

1 2 2 2

3

= + ⋅ + ⋅ +

Δ + + +

= ξ β ξ α

ψ φ ξ

ξ

η

_ts ^R

W

^{N R N}

C C W

β

2

α

2

W r

2

C r

2

W r

3

C r

3

β

3 3=0

Para una etapa normal: α

( )

₂

tan ( )

₂

tan ( )

₃

tan β = α − β

( )

2

( )

3 ₂ 3

2

1 tan 1 1

sec β = + β = + φ

U r

( ) β

3

( ) β

3

φ

₂

( ) ( )

2 ² 2

2

2

1 tan 1

sec ⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝ + ⎛

= +

= φ

α ψ α

[ ] [ ]

{

²

1

^{2 2 2}

}

2 1 1

1 ξ φ ξ φ ψ φ

ψ

η

_ts

^{= + ⋅}

^R

^{⋅ + +}

^N

^{⋅ + +}

η _ts de una etapa con velocidad

Axial a la Salida

η _tt de una etapa con R=50%

Para una etapa normal, asumiendo T

₂

=T

₃

, podemos decir que:

w C

W

_N

R

tt

Δ

+ +

= 1 2

1 ξ

₃²

ξ

₂²

η

Del triangulo de velocidades a la salida del rotor podemos decir que:

( ) ( ) ( ( )

3

)

2 2

3 2 2 2 3 3

3

⋅ cos β ⇒ = ⋅ sec β = 1 + tan β

=

_{X X}

X

W W C C

C

_X 3

( ) β

3 3 _X

( ) β

3 _X

( ( ) β

3

)

Si el grado R=0.5 ξ

_N

= ξ

_R

= ξ y C

₂

=W

₃

, obtenemos:

( ( ) )

⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎣

⎡

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

⋅ + + + ⋅

= +

⋅ ⋅ +

=

2 2 3

2 2

2 1 1 1

tan 1 1 1

φ ψ ψ

φ β ξ

ψ φ ξ η

_tt

50 % de Grado de Reacción

Por Definición =

²

−

³

= 0 . 5 h h

h

R h h

₂

− h

₃

= h

₁

− h

₂

3 1

− h

h

^{2 3 1 2}

La caída de entalpia es la misma en el rotor y en el estator

C

₂

α 

2

W

₃

α

1

∆W

_θ

= ∆C

_θ

C

₂

U W

₂

β 

2

3

C

₃

α 

1

β 

₃

C

_x

ε

_R

ε

_S

C

_θ1

C

_θ2

W

_θ3

W

_θ2

El triángulo de Velocidades es Simétrico

50 % de Grado de Reacción

Realizando las mismas consideraciones que en el triangulo de velocidades anterior se tiene que q

C

₂

/U

1 W

₂

/U

α 

2

β 

2

W

₃

/U C

₃

/U

α 

1

β 

3

ψ

ε

_R

ε

_S

ϕ

(ψ‐1)/2 (ψ‐1)/2 )

2 ( 1

2

1

φ

β ψ

α = = arctg ⁻ 2 )

( 1

3

2

φ

β ψ

α = = arctg ⁺

2 3 2

2

( 1 )

4 1 + +

=

= φ ψ

U W U

C

^{3 2 2}

( 1 )

²

4 1 − +

=

= φ ψ

U W U C

⎟ ⎟

⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎜ ⎜

⎝

⎛

− −

= +

=

=

2 2 2

1

4 1 1

φ ψ φ ψ α

α ε

ε

_{R S}

arctg

η _tt de una etapa con R=50%

Estimación del

Rendimiento de una Etapa

etapa la de salida y entrada la

entre real Trabajo

η Trabajo ideal entre la entrada y salida de la etapa p y

= j η

03ss 01

03 01

h h

h h

−

= − η

Basándonos en el diagrama de Mollier:

C C

Suponiendo que C C

₁

= C

₃

= C

_3ss

, obtenemos:

3ss 1

3 1

h h

h h

−

= − η

tt

Eficiencia total a total

(C3es aprovechado por algo;

ej. por la siguiente etapa)

Rendimiento de una Etapa

Podemos reescribir el rendimiento de la siguiente manera :

Irreversibilidades en el estator

(

1 3

) (

3 3s

) (

3s 3ss

)

3 1

h h h h h h

h h

− +

− +

−

= − η

tt

Irreversibilidades en el rotor

⎟ ⎞

⎜ ⎛ 1 Por otra parte sabemos que: ⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

≅ dh dp

Tds ρ

1

Para una línea de presión constante:

( )

(

^{s s}

)

^ss

ss s

s s T h h

s s T h h

s T h

2 2 2 2 2

3 3 3 3 3

−

=

−

−

=

− Δ

= Δ

3

3

T

T

_s

≈

Rendimiento de una Etapa

Del diagrama de Mollier podemos decir que:

P01

P02

h

Por lo tanto, si dividimos las últimas dos ecuaciones de la lamina anterior nos queda:

( s

_3s

− s

_3ss

) ( = s

₂

− s

_2s

)

(

_s

)

ss

s

h h

T h T

h

_{2 2}

2 3 3

3

− = −

P1

P2 01

1

2s

P3

02 P02rel

02r el 03 rel

P03rel

3 2

P03

03ss 03s 2

2

c1

2

2

c2

03 2

2

c3

2

2

W3 2

2 W2

Finalmente podemos expresar el rendimiento:

2

3ss 3s

3

s

( ) (

_s

) (

_s

)

tt

h h h T h

h T h

h h

3 3 2 2 2 3 3 1

3 1

− +

− +

−

= − η

Irreversibilidades en el estator

( h h

_s

)

T T

2 2

3

−

Rendimiento de una Etapa

Es posible relacionar las pérdidas en el rotor y el estator con la energía cinética asociada a la salida de cada una de estas coronas de álabes

( h

₃

− h

₃s

)

¿Cómo determinamos las pérdidas?

Irreversibilidades en el rotor

T

₂

1

R

s W

h

h _{3 3 3} ² ξ 2

= 1

−

N

s

C

h

h

_{2 2 2}²

ξ 2

= 1

−

Nozzle

Rotor

Rendimiento de una Etapa

Reemplazando estos dos últimos coeficientes en la expresión de rendimiento previamente presentada obtenemos:

( ) ( )

1

3 1

2 2 3 2 2 3

2 2 3 2 2

3 3 1

3 1

1 2 2

1 2

1

−

⎥ ⎥

⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎢ ⎢

⎣

⎡

−

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝ + ⎛ +

= +

+

−

= −

h h

T C T W

T C T W

h h

h

h

^{R N}

N R

tt

ξ ξ

ξ η ξ

−1

⎤

⎡ ⎛T ⎞

rendimiento previamente presentada, obtenemos:

Rendimiento total a total

Cuando y Æ 0, n

_tt

Æ 1

(

1 3

)

2 2 1 2 3 2 2 3

1 2

⎥ ⎥

⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎢ ⎢

⎣

⎡

−

⎟ +

⎠

⎜ ⎞

⎝ + ⎛ +

= h h

T C C T

W

_N

R ts

ξ η ξ

Rendimiento total a estático

ξ

R

ξ

_N

Rendimiento de una Etapa

Cuando se requieran unas primeras aproximaciones ó en máquinas en las cuales el cambio de temperatura estática en el rotor nos es

( )

1

3 1

2 2 2

3

1 2

−

⎥ ⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

− + +

= h h

C

W

_N

R tt

ξ η ξ

1

en las cuales el cambio de temperatura estática en el rotor nos es muy grande, la relación T

₃

/T

₂

puede aproximarse a 1, resultando así:

Rendimiento total a total

¿Cómo determinamos los coeficientes y ?

( )

1

3 1

2 1 2 2 2

3

1 2

−

⎥ ⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

− + + +

= h h

C C

W

_N

R ts

ξ η ξ

Rendimiento total a estático

ξ R ξ _N

Correlaciones de Soderberg

Para estimar estos coeficientes de pérdida, Soderberg recolectó gran cantidad de data de pequeñas turbinas (convencionalmente gran cantidad de data de pequeñas turbinas (convencionalmente construidas); relacionó el rendimiento global con las pérdidas en cada una de las coronas de álabes y logró determinar que son función directa de la geometría del perfil en la rejilla y del numero de Reynolds.

⎥⎦ ⎤

⎢⎣ ⎡

= , , , Re

, l

t b h l

f S

N

R

ξ

ξ

Reynolds Paso

Cuerda Relación

de Aspecto Relación de Espesor

⎦

⎣

Parámetros geométricos

Relación Paso Cuerda:

s

Relación de Aspecto:

l S

b H

l

H

b t

_max

Relación de espesor:

b

l

t _max

Zweifel

Valor óptimo de S/ b para turbinas (Criterio de Zweifel)

Demostró que la eficiencia de en una corona de

ál b i fl i d l l d S b

( )

2

2 2

1

tan cos

tan

2 α α α

ψ ⎟ +

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛ b S

T

álabes esta influenciada por el valor de S y b.

Luego de experimentos de rejillas de turbinas, encontró que las pérdidas mínimas se encuentran cuando (coeficiente de carga aerodinámica) toma un valor de 0.8: ψ

^T

id

T

Y

= Y

Donde: ψ

⎠

⎝ b

A partir de esta condición y para valores específicos de ángulos a la entrada y salida de un perfil se puede determinar el valor optimo de S/b.

id Coeficiente de carga

Aerodinámica

Correlaciones de Soderberg

Para etapas diseñas usando el criterio de valor óptimo de Zweifel Soderberg a partir de sus experimentos sobre Zweifel, Soderberg a partir de sus experimentos sobre diversos tipos de turbinas, logró encontrar que los coeficientes de pérdidas para el rotor y el estator vienen dador por:

2

*

06 100 . 0 04 .

0 ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝ + ⎛

= ε

ξ

_N ^{* 2}

06 100 . 0 04 .

0 ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝ + ⎛

= ε

ξ

_R

l d d

Las ecuaciones anteriores son validas siempre y cuando:

10 5

Re =

= 3 b

H

^max

= 0 . 2 l

t

Cumpliendo estas condiciones Soderberg permite estimar

el rendimiento con desviaciones menores al 3%