Chapitre 11 : Calcul matriciel
PCSI LGT Baimbridge 2021-2022
Il était environ trois heures du matin lorsque la solution aboutie du calcul m'apparut. Je fus tout d'abord profondément secoué. J'étais si excité que je ne pouvais songer à dormir. J'ai donc quitté la maison et attendu l'aube au sommet d'un rocher.
Werner Heisenberg (1901-1976).
Table des matières
1 Matrices à coe cients dans K 2
1.1 Généralités . . . 2
1.2 Combinaisons linéaires de matrices . . . 3
1.3 Produit de matrices . . . 5
2 Transposition 8 2.1 Généralités . . . 8
2.2 Propriétés . . . 9
3 L'algèbre Mn(K) des matrices carrées 9 3.1 Opérations dans Mn(K) . . . 9
3.2 Matrices inversibles. . . 11
3.3 Puissances de matrices . . . 13
3.4 Transposition des matrices carrées . . . 17
4 Application aux systèmes linéaires 18 4.1 Interprétation matricielle d'un système linéaire . . . 18
4.2 Calcul pratique de l'inverse : résolution du système générique AX = B . . . 20
4.3 Opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes d'une matrice . . . 21
4.4 Calcul pratique de l'inverse : méthode de Gauss-Jordan . . . 22
Introduction
Nous initions dans ce chapitre l'étude du concept clé de matrice qui fut introduit en 1850 par Sylvester. En première approche, une matrice peut être vue comme un simple tableau de nombres, ce qui en fait un objet très général mais assez peu structuré. Nous allons voir qu'il est possible de dé nir des opérations d'addition et de multiplication de matrices qui permettent de réaliser des calculs avec ces tableaux de nombres de manière très similaire à ce qu'il est possible de faire avec de simples nombres.
Si nous adoptons dans ce chapitre un point de vue essentiellement calculatoire, nous verrons dans un chapitre ultérieur que ceci re ète en fait des phénomènes mathématiques plus profonds, lesquels motiveront a posteriori les dé nitions données dans ce chapitre.
Notations
Dans tout ce chapitre, nous adoptons les notations suivantes :
K désigne R ou C. Les éléments de K sont appelés des scalaires.
m, n, p et q désignent des entiers naturels non nuls.
1 Matrices à coe cients dans K
1.1 Généralités
Dé nition 1.1.1: Matrices à coe cients dans K
On appelle matrice à n lignes et p colonnes à coe cients dans K une famille à double indice :
A = (ai,j)1≤i≤n
1≤j≤p
On la représente sous la forme d'un tableau de scalaires
A =
a1,1 a1,2 a1,3 · · · a1,p
a2,1 a2,2 a2,3 · · · a2,p ... ... ... ... ...
an,1 an,2 an,3 · · · an,p
Pour tout (i, j) ∈ J1, nK × J1, pK, le scalaire ai,j s'appelle coe cient ou entrée d'indice (i, j) de la matrice A. On note alors ai,j= [A]i,j.
Les coe cients ai,i sont appelés coe cients diagonaux de A.
L'ensemble des matrices à n lignes et p colonnes à coe cients dans K est noté Mn,p(K).
Remarque 1.1.2
On retiendra que, pour un coe cient ai,j :
le premier indice correspond à la ligne sur laquelle se situe le coe cient ;
le second indice correspond à la colonne sur laquelle se situe le coe cient.
Le raisonnement analogue fonctionne pour la notation Mn,p(K).
Remarque 1.1.3: Inclusion de Mn,p(R) dans Mn,p(C)
Puisque R ⊂ C, toute matrice de Mn,p(R) est aussi une matrice de Mn,p(C). La réciproque est évidem- ment fausse.
Dé nition 1.1.4: Matrices carrées
Une matrice ayant le même nombre de lignes et de colonnes est appelée une matrice carrée.
L'ensemble des matrices carrées à n lignes et n colonnes et à coe cients dans K est noté Mn(K).
Remarque 1.1.5
Avec ces notations, on a Mn(K) = Mn,n(K) et une matrice de Mn(K) est dite carrée de taille n.
Plus généralement si M ∈ Mn,p(K), on dit parfois que M est rectangulaire de taille (n, p) ou n par p ..
Exercice 1.1.6
À quels ensembles de matrices appartiennent les matrices suivantes ?
A = 1 2 3
4 5 6
!
, B =
1 2 3 4 5 6
, C = cos(θ) − sin(θ) sin(θ) cos(θ)
!
, D = 1 + i 2 − i i√
2 0
! .
Dé nition 1.1.7: Matrices lignes, matrices colonnes Un élément de Mn,1(K) est appelé matrice colonne.
Un élément de M1,p(K) est appelé matrice ligne.
Remarque 1.1.8
Les matrices colonnes de Mn,1(K) (resp. les matrices lignes de M1,p(K)) s'identi ent naturellement avec les vecteurs de Kn (resp. de Kp) et on utilise parfois cette identi cation de manière légèrement abusive.
Néanmoins, pour les besoins du calcul matriciel, on prendra garde de bien distinguer les vecteurs des matrices lignes et des matrices colonnes.
Remarque 1.1.9
Une matrice A ∈ Mn,p(K) peut être vue comme la juxtaposition de p matrices colonnes C1, . . . , Cp, appelées colonnes de A, ou comme la superposition de n matrices lignes L1, . . . , Ln, appelées lignes de A. On note alors
A =
C1 · · · Cp
ou A =
L1
...
Ln
.
Ces lignes et colonnes joueront en particulier un rôle important dans la résolution des systèmes d'équa- tions linéaires.
1.2 Combinaisons linéaires de matrices
Dé nition 1.2.1: Somme de matrices carrées
Soient A = (ai,j)et B = (bi,j)deux matrices de Mn,p(K). On appelle somme de A et de B la matrice de Mn,p(K) dé nie par :
A + B = (ai,j+ bi,j)1≤i≤n 1≤j≤p
.
Explicitement,
a1,1 a1,2 · · · a1,p
a2,1 a2,2 · · · a2,p
... ... ... ... an,1 an,2 · · · an,p
+
b1,1 b1,2 · · · b1,p
b2,1 b2,2 · · · b2,p
... ... ... ... bn,1 bn,2 · · · bn,p
=
a1,1+ b1,1 a1,2+ b1,2 · · · a1,p+ b1,p
a2,1+ b2,1 a2,2+ b2,2 · · · a2,p+ b2,p
... ... ... ...
an,1+ bn,1 an,2+ bn,2 · · · an,p+ bn,p
.
Remarque 1.2.2: Interprétation de la somme
La somme de deux matrices de mêmes tailles est donc dé nie comme la somme terme à terme des diérents coe cients des deux matrices.
Remarque 1.2.3: Somme et taille des matrices
La somme de deux matrices n'est dé nie que pour des matrices de même taille. Il n'est pas possible de sommer des matrices de tailles diérentes.
Proposition 1.2.4
La somme ainsi dé nie est associative et commutative.
Dé nition 1.2.5: Multiple d'une matrice Soit A = (ai,j) ∈ Mn,p(K) et λ ∈ K. On pose
λA = Aλ = (λai,j)1≤i≤n 1≤j≤p
.
Explicitement,
λ
a1,1 a1,2 · · · a1,p
a2,1 a2,2 · · · a2,p
... ... ... ... an,1 an,2 · · · an,p
=
λa1,1 λa1,2 · · · λa1,p
λa2,1 λa2,2 · · · λa2,p
... ... ... ... λan,1 λan,2 · · · λan,p
.
Lemme 1.2.6: Distributivité
Soient A et B des matrices de Mn,p(K) et (λ, µ) ∈ K2. Alors
(λ + µ)A = λA + µA,
λ(A + B) = λA + λB.
Dé nition 1.2.7: La matrice nulle
La matrice nulle de Mn,p(K) est la matrice dont tous les coe cients sont nuls. On la note 0Mn,p(K)
ou 0n,pou simplement 0 s'il n'y a pas d'ambiguïté. Si n = p, on la note aussi 0n. Explicitement :
0n,p=
0 · · · 0
... ...
0 · · · 0
∈ Mn,p(K).
Remarque 1.2.8
1. La matrice nulle est neutre pour l'addition au sens où, pour toute matrice A ∈ Mn,p(K), on a A + 0n,p= A;
2. Pour toute matrice A ∈ Mn,p(K), on a 0A = 0n,p et 1A = A ;
3. Pour toute matrice A ∈ Mn,p(K), on pose −A = (−1)A et, par distributivité
A + (−A) = A + (−1)A = (1 + (−1))A = 0A = 0n,p. Ainsi, −A est appelée matrice opposée de la matrice A.
Dé nition 1.2.9: Combinaison linéaire de matrices
Soient A1, . . . , Am des matrices de Mn,p(K). On appelle combinaison linéaire de A1, . . . , Am toute
matrice de la forme m
X
i=1
λiAi = λ1A1+ · · · + λmAm.
On observe en particulier que Mn,p(K) est stable par combinaisons linéaires.
Exercice 1.2.10 Soient I = 1 0
0 1
!
, J = 0 1 1 0
!
et K = 1 1 0 0
!
des matrices de M2(K). Déterminer une condition nécessaire et su sante sur (α, β, γ) ∈ K3 pour que αI + βJ + γK = 02.
Dé nition 1.2.11: Matrices élémentaires
Pour tout (i, j) ∈J1, nK × J1, pK, on appelle matrice élémentaire d'indice (i, j ) de Mn,p(K) la matrice Ei,j dont toutes les entrées sont nulles, sauf l'entrée d'indice (i, j) qui est égale à 1. Explicitement :
Ei,j=
j
0 · · · 0 0 0 · · · 0 ... ... ... ... ...
... ... 0 ... ...
i 0 · · · 0 1 0 · · · 0 ... ... 0 ... ...
... ... ... ... ...
0 · · · 0 0 0 · · · 0
Toute matrice est combinaison linéaire des matrices élémentaires. Plus précisément : Proposition 1.2.12
Soit A = (ai,j) ∈ Mn,p(K). Alors
A =
n
X
i=1 p
X
j=1
ai,jEi,j.
Exemple 1.2.13
On a
1 0
0 −3
5 0
= E1,1− 3E2,2+ 5E3,1.
1.3 Produit de matrices
Nous allons maintenant dé nir une multiplication pour les matrices. Nous pourrions le faire terme à terme comme nous l'avons fait pour la somme mais il s'avère qu'il est possible d'en dé nir une autre apportant beaucoup plus de structure. Pour l'instant la dé nition va sembler un peu arti cielle mais nous verrons au l des chapitres tout son intérêt.
1.3.A. Généralités
Dé nition 1.3.1: Produit matriciel
Soient A = (ai,j) ∈ Mn,p(K) et B = (bi,j) ∈ Mp,q(K). Le produit de A par B est
AB = (ci,j) ∈ Mn,q(K) telle que
∀(i, j) ∈J1, nK × J1, qK, ci,j =
p
X
k=1
ai,kbk,j
Méthode 1.3.2: Calcul pratique du produit
Le coe cient ci,j de la matrice AB est obtenu comme suit : 1. On considère les p coe cients de la i-ème ligne de A ; 2. On considère les p coe cients de la j-ème colonne de B ;
3. On multiplie terme à terme cette ligne et cette colonne et on somme les valeurs obtenues.
Exercice 1.3.3
Calculer tous les produits de deux matrices possibles à l'aide de ces matrices :
A =
2 0
−1 3
−2 1
, B = 4 0 2
−2 1 1
!
et C =
2 2 2
0 5 −1
0 −3 2
Remarque 1.3.4: À propos de la taille des matrices dans les produits
Le produit matriciel permet de dé nir une application
µ :
( Mn,p(K) × Mp,q(K) −→ Mn,q(K)
(A, B) 7→ AB .
On observe qu'a n que cette application soit dé nie, il faut que le nombre de colonnes du premier facteur coïncide avec le nombre de lignes du second. Il n'est donc pas possible de multiplier deux matrices arbitraires.
Pour ne pas se tromper dans les tailles de matrices dans les produits, on pourra observer que les indices se concatènent, au sens où un produit de la forme (n, p) × (p, q) est de la forme (n, q).
1.3.B. Propriétés du produit matriciel
Ainsi dé ni, le produit matriciel permet de retrouver certaines des règles du calcul algébrique auxquelles nous sommes habitués dans les ensembles de nombres. Néanmoins, certaines propriétés ne sont pas conservées et il convient d'être très rigoureux dans l'application de ces règles de calcul.
Ce qui est commun aux calculs matriciels et réels ou complexes :
Proposition 1.3.5: Associativité du produit matriciel
Le produit matriciel est associatif. Autrement dit, si A ∈ Mm,n(K), B ∈ Mn,p(K) et C ∈ Mp,q(K), on a
A(BC) = (AB)C.
De ce fait, le parenthésage est dispensable dans les produits.
Proposition 1.3.6: Distributivité du produit matriciel Le produit matriciel est distributif sur l'addition. Autrement dit :
1. Si A ∈ Mm,n(K), B ∈ Mn,p(K) et C ∈ Mn,p(K), on a :
A(B + C) = AB + AC,
2. Si A ∈ Mm,n(K), B ∈ Mm,n(K) et C ∈ Mn,p(K), on a :
(A + B)C = AC + BC.
Proposition 1.3.7: Bilinéarité du produit matriciel Si A ∈ Mm,n(K), B ∈ Mn,p(K) et λ ∈ K, on a
(λA)B = A(λB) = λ(AB).
Remarque 1.3.8: Conventions d'écriture
Par convention, on place toujours les scalaires devant les matrices dans une écriture littérale.
Par exemple, on écrit 2A + 3B et non A2 + B3, sauf éventuellement au cours des étapes techniques d'un calcul.
Ce qui dière dans les calculs matriciels et réels ou complexes : Remarque 1.3.9: Non-commutativité du produit matriciel
Nous avons déjà observé qu'en général, si AB est dé ni, le produit BA ne l'est pas nécessairement.
Mais dans le cas où ces deux produits sont dé nis, on a en général AB ̸= BA. Dans le cas où l'on a égalité, on dit que A et B commutent.
Exercice 1.3.10 Soit A = 1 2 3 4
! .
1. Soit B = 1 1 0 1
!
. Calculer AB puis BA.
2. Soit I = 1 0 0 1
!
la matrice identité de M2(K). Calculer AI puis IA.
3. Déterminer toutes les matrices de M2(R) qui commutent avec A.
Remarque 1.3.11: Non-intégrité du produit matriciel
On peut obtenir la matrice nulle en multipliant deux matrices non nulles.
Par exemple, si on pose
A =
1 0 0 0 0 0 0 0 1
et B =
0 0 0 1 2 3 0 0 0
, alors
AB =
0 0 0 0 0 0 0 0 0
et BA =
0 0 0 1 0 3 0 0 0
Ceci va avoir des implications importantes dans les calculs littéraux. Ainsi, quand on travaille avec des matrices, on ne peut en général pas simpli er une égalité de la forme AB = AC en B = C, même si A ̸= 0.
Exercice 1.3.12 Soit A =
1 2 0 2 1 0 0 1 0
∈ M3(R).
1. Déterminer toutes les matrices B de M3(R) telles que AB = 0 2. Déterminer toutes les matrices C de M3(R) telles que AC = CA = 0
2 Transposition
Nous allons maintenant dé nir une opération propre aux matrices qui, malgré sa dé nition élémentaire, s'avère jouer un rôle crucial en algèbre linéaire.
2.1 Généralités
Dé nition 2.1.1
Soit A = (ai,j) ∈ Mn,p(K). On appelle transposée de A la matrice de Mp,n(K) notéetAou A⊤dé nie par
∀(i, j) ∈J1, pK × J1, nK, [A⊤]i,j = aj,i.
Autrement dit, A⊤ est la matrice dont les lignes (respectivement les colonnes) sont les colonnes (respec- tivement les lignes) de A.
Exemple 2.1.2
1. Si A = 1 2 3 4 5 6 7 8
!
, on a A⊤=
1 5 2 6 3 7 4 8
;
2. In⊤= In et 0⊤n = 0n.
3. Si T ∈ Tn+(K) alors T⊤∈ Tn−(K).
Proposition 2.1.3
Pour toute matrice A ∈ Mn,p(K), on a (A⊤)⊤= A.
Dé nition 2.1.4: Transposition
On appelle transposition de Mn,p(K) l'application
( Mn,p(K) −→ Mp,n(K)
A 7→ A⊤ .
2.2 Propriétés
Proposition 2.2.1: Linéarité de la transposition Soient A, B ∈ Mn,p(K) et (λ, µ) ∈ K2. Alors
λA + µB⊤ = λA⊤+ µB⊤.
Proposition 2.2.2: Transposée d'un produit Soient A ∈ Mn,p(K) et B ∈ Mp,q(K). Alors
(AB)⊤= B⊤A⊤.
Remarque 2.2.3
On prendra garde à l'ordre des facteurs dans la proposition précédente.
3 L'algèbre M
n(K) des matrices carrées
Pour deux matrices carrées A et B de Mn(K), il est possible de dé nir simultanément les produits AB et BA et ces produits restent dans Mn(K). De ce fait, la structure de Mn(K) va être particulièrement riche puisque nous pouvons à la fois considérer des combinaisons linéaires et des produits à l'intérieur de cet ensemble. Une telle structure est appelée une algèbre.
3.1 Opérations dans M
n(K)
Remarque 3.1.1
En conséquence de ce qui a été établi pour le produit matriciel en général, nous savons que :
L'addition dans Mn(K) est associative et commutative et 0n est l'élément neutre pour l'addition ;
La multiplication dans Mn(K) est associative, non commutative et distributive sur l'addition.
Il existe des produits nuls de matrices non nulles.
Nous allons maintenant introduire une matrice qui joue le rôle de l'unité dans l'algèbre des matrices.
Dé nition 3.1.2: Matrice identité
On appelle matrice identité de Mn(K) la matrice In dont tous les coe cient sont nuls sauf ses coe cients diagonaux qui sont égaux à 1.
Explicitement,
In =
1 0 · · · 0
0 1 ... ...
... ... ... ... ...
... ... ... 0
0 · · · 0 1
∈ Mn(K).
Remarque 3.1.3: Symbole de Kronecker
Soit E un ensemble. On appelle symbole de Kronecker sur E l'application
δ :
( E × E −→ {0, 1}
(i, j) 7→ δi,j
où
δi,j=
( 1 si i = j 0 sinon.
Avec ces notations, pour tout (i, j) ∈J1, nK
2, on a
In= (δi,j)1≤i,j≤n.
Proposition 3.1.4 Soit A ∈ Mn(K). Alors,
AIn= InA = A.
La matrice identité est dite neutre pour le produit matriciel.
Remarque 3.1.5
Plus généralement, on peut montrer que pour toute matrice rectangulaire A ∈ Mn,p(K), on a InA = A et AIp= A.
En particulier, si X ∈ Mn,1(K) est une matrice colonne, alors on a InX = X.
Exercice 3.1.6: Symbole de Kronecker
Donner, à l'aide du symbole de Kronecker, une expression explicite pour les coe cients de la matrice élémentaire Ei,j∈ Mn,p(K).
3.2 Matrices inversibles
Nous avons pour l'instant dé ni un élément neutre pour l'addition, la matrice nulle, et la notion de matrice opposée, qui est l'analogue dans Mn(K) de l'opposé −a d'un scalaire a ∈ K. Nous venons par ailleurs de dé nir un élément neutre pour la multiplication, la matrice identité, qui joue le rôle de l'unité dans K. Notre objectif est ici est de dé nir l'inverse d'une matrice qui serait l'analogue de x 7→ 1
x pour les réels. Néanmoins, deux problèmes viennent se poser :
Le produit matriciel étant non-commutatif, nous n'utiliserons pas la notation 1
A car elle induirait des ambiguïtés : B
A signi erait-il B × 1 A ou 1
A × B?
Dans K, on sait qu'un élément admet un inverse dès qu'il est non nul. Néanmoins, comme nous allons le voir, la situation est loin d'être aussi simple dans Mn(K).
3.2.A. Généralités
Proposition/Dé nition 3.2.1: Matrice inversible
Soit A ∈ Mn(K). On dit que A est inversible s'il existe une matrice B ∈ Mn(K) telle que
AB = BA = In.
Dans ce cas, la matrice B est unique. On l'appelle matrice inverse de A et on la note A−1. L'ensemble des matrices inversibles de Mn(K) est appelé groupe linéaire et est noté GLn(K) :
GLn(K) = {A ∈ Mn(K) | A est inversible} .
Exemple 3.2.2
1. La matrice identité est inversible et In−1= In; 2. La matrice nulle n'est pas inversible.
Remarque 3.2.3
Nous démontrerons dans un chapitre ultérieur que, si A et B sont des matrices carrées, alors :
AB = In ⇔ BA = In.
Il su t donc en pratique de véri er l'une de ces deux égalités pour justi er que B = A−1.
Exercice 3.2.4
Véri er que la matrice P =
1 1 1 0 1 1 0 0 1
est inversible, d'inverseP−1=
1 −1 0
0 1 −1
0 0 1
.
Exercice 3.2.5
Déterminer si les matrices suivantes sont inversibles et calculer leur inverse le cas échéant :
M = 1 2
3 4
!
et N = 1 1
1 1
! .
3.2.B. Propriétés du produit matriciel
Proposition 3.2.6: Produit de matrices inversibles Soient A, B ∈ GLn(K). Alors AB ∈ GLn(K) et
(AB)−1= B−1A−1.
Remarque 3.2.7
On prendra garde à l'ordre des facteurs dans la proposition précédente.
Nous avons déjà eu l'occasion de mentionner que les produits de matrices ne sont pas simpli ables en général.
Néanmoins, dans le cas de produits impliquant des matrices inversibles, on peut utiliser le résultat suivant : Lemme 3.2.8: Simpli abilité des matrices inversibles
Soit A ∈ GLn(K).
1. Pour toutes matrices B, C ∈ Mn,p(K), on a
AB = AC ⇔ B = C ; 2. Pour toutes matrices B, C ∈ Mm,n(K), on a
BA = CA ⇔ B = C.
3.2.C. Calcul pratique d'inverse de matrices
Dans le cas particulier des matrices d'ordre 2, on dispose du résultat suivant : Proposition 3.2.9: Inversion d'une matrice d'ordre 2
Soit A = a b c d
!
∈ M2(K). Alors A est inversible si et seulement si ad − bc ̸= 0 et dans ce cas,
A−1 = 1 ad − bc
d −b
−c a
! .
Le réel ad − bc est appelé déterminant de la matrice A et est noté det(A).
Dans le cas général, calculer l'inverse d'une matrice de Mn(K) en cherchant à résoudre un système en ses coe cients amène à résoudre n2 équations linéaires, ce qui est rapidement infaisable en pratique. Nous verrons aux sections4.2 et4.4des méthodes pour eectuer ces calculs en pratique.
3.3 Puissances de matrices
3.3.A. Généralités
Dé nition 3.3.1: Puissances d'une matrice Soit A ∈ Mn(K). Pour tout k ∈ N∗, on pose
Ak = A × A × · · · × A
| {z }
kfois
.
Par convention, si A n'est pas la matrice nulle, on pose A0= In.
Lemme 3.3.2
Soit A ∈ Mn(K) et k, ℓ des entiers naturels non nuls. Alors
Ak+ℓ= Ak× Aℓ. Exercice 3.3.3
Soit A = 1 1 1 1
!
. Calculer An, pour tout n ∈ N.
Remarque 3.3.4
Le produit matriciel n'étant pas dé ni terme à terme, il est assez naturel que la puissance n-ième d'une matrice carrée A ne soit en général pas la matrice des puissances n-ième des coe cients de A. Il s'agit là d'une erreur grossière à ne pas commettre.
Corollaire 3.3.5
Soit A ∈ GLn(K). Alors pour tout k ∈ N∗, Ak∈ GLn(K) et
(Ak)−1 = (A−1)k.
On note A−kcette matrice.
3.3.B. Puissances de matrices diagonales Dé nition 3.3.6: Matrices diagonales
Une matrice A ∈ Mn(K)est dite diagonale si tous ses coe cients non diagonaux sont nuls, c'est-à-dire si,
∀(i, j) ∈J1, nK
2, (i ̸= j ⇒ ai,j= 0) .
Explicitement, c'est une matrice de la forme
A =
a1,1 0 · · · 0
0 a2,2 ... ...
... ... ... ... ...
... ... ... 0
0 · · · 0 an,n
et on note A = diag(a1,1, . . . , an,n).
Remarque 3.3.7
Une matrice diagonale est une matrice dont les coe cients en-dehors de la diagonale sont nuls mais on ne fait aucune hypothèse sur les coe cients diagonaux, ils peuvent être nuls ou non nuls. Par exemple, la matrice nulle est diagonale, tout comme la matrice identité.
Pour les matrices diagonales, les produits sont particulièrement simples : Lemme 3.3.8
Soient A = diag(a1, . . . , an)et B = diag(b1, . . . , bn). Alors
AB = BA = diag(a1b1, . . . , anbn).
Corollaire 3.3.9
Soit D = diag(d1, . . . , dn) ∈ Mn(K) une matrice diagonale. Alors D est inversible si et seulement si tous les coe cients diagonaux sont non nuls. Dans ce cas,
D−1= diag 1 d1
, . . . , 1 dn
.
Corollaire 3.3.10
Si A = diag(a1, . . . , an), alors, pour tout k ∈ N∗, on a
Ak = diag(ak1, . . . , akn).
3.3.C. Puissances de matrices triangulaires
Dé nition 3.3.11: Matrices triangulaires supérieures et inférieures
1. Une matrice A ∈ Mn(K) est dite triangulaire supérieure si tous les coe cients en-dessous de sa diagonale sont nuls
∀(i, j) ∈J1, nK
2, (i > j ⇒ ai,j= 0) .
Explicitement, c'est une matrice de la forme
A =
a1,1 a1,2 · · · a1,n
0 a2,2 ... ...
... ... ... ... ...
... ... ... an−1,n
0 · · · 0 an,n
On note Tn+(K) l'ensemble des matrices triangulaires supérieures de Mn(K).
2. Une matrice A ∈ Mn(K) est dite triangulaire inférieure si tous les coe cients au-dessus de sa diagonale sont nuls
∀(i, j) ∈J1, nK
2, (i < j ⇒ ai,j= 0) . Explicitement, c'est une matrice de la forme
A =
a1,1 0 · · · 0
a2,1 a2,2 ... ...
... ... ... ... ...
... ... ... 0
an,1 · · · an,n−1 an,n
On note Tn−(K) l'ensemble des matrices triangulaires inférieures de Mn(K).
Remarque 3.3.12
Tn+(K) ∩ Tn−(K) est l'ensemble des matrices diagonales de Mn(K).
Lemme 3.3.13
Soient A et B des matrices de Tn+(K) (respectivement de Tn−(K)), alors AB est dans Tn+(K) (respecti- vement dans Tn−(K)).
En outre, les coe cients diagonaux de AB sont les produits terme à terme de ceux de A et de B.
Corollaire 3.3.14
Si A est une matrice de Tn+(K) (respectivement de Tn−(K)), alors pour tout k ∈ N∗, Ak est dans Tn+(K) (respectivement dans Tn−(K)).
En outre, les coe cients diagonaux de A sont les puissances k-èmes de ceux de A.
Exercice 3.3.15 Soit M =
1 0 1 0 1 0 0 0 1
. Montrer que, pour toutk ∈ N∗, Mk=
1 0 k 0 1 0 0 0 1
.
3.3.D. Matrices nilpotentes
Dé nition 3.3.16: Matrice nilpotente
Une matrice A ∈ Mn(K) est dite nilpotente s'il existe k ∈ N∗ tel que Ak = 0n. Dans ce cas, on appelle indice de nilpotence de A l'entier
i0= mink ∈ N∗ | Ak = 0n .
Lemme 3.3.17
Si A ∈ Mn(K) est nilpotente d'indice i0, alors Ak = 0n pour tout k ≥ i0.
Remarque 3.3.18
Nous démontrerons dans un chapitre ultérieur que si A est nilpotente, alors son indice de nilpotence est inférieur ou égal à n. En d'autres termes, si A ∈ Mn(K) et An̸= 0, alors A n'est pas nilpotente.
Exercice 3.3.19 Soit A =
0 a b 0 0 c 0 0 0
∈ M3(K), avec (a, b, c) ∈ K3 tels que a et c sont non nuls. Montrer que A est nilpotente d'indice 3.
Remarque 3.3.20
Nous démontrerons ultérieurement que toute matrice triangulaire ayant une diagonale nulle est nilpo- tente. Néanmoins, toutes les matrices nilpotentes ne sont pas de cette forme, comme le montre l'exercice ci-dessous.
Exercice 3.3.21 Soit N =
1 3 2
−1 −1 0
1 1 0
. Montrer queN est nilpotente d'indice 3.
Exercice 3.3.22
Montrer qu'une matrice nilpotente n'est pas inversible.
3.3.E. Puissances d'un produit et d'une somme Remarque 3.3.23: Puissances d'un produit
Le produit n'étant pas commutatif, on n'a pas en général (AB)k = AkBk. En eet,
(AB)k= (AB) × (AB) × · · · (AB)
| {z }
kfois
= ABAB · · · AB
mais rien ne permet en général de rassembler les A et les B.
Néanmoins, si A et B commutent, alors on a eectivement (AB)k= AkBk.
Théorème 3.3.24: Puissances d'une somme (formule du binôme)
Soient A, B ∈ Mn(K) deux matrices qui commutent. Alors, pour tout k ∈ N∗, on a
(A + B)k=
k
X
i=0
k i
AiBk−i.
Exercice 3.3.25
En considérant les matrices
A = 0 1
0 0
!
et B = 0 0 1 0
! , véri er que la condition de commutativité est nécessaire.
Exercice 3.3.26 Soit M =
3 3 2
−1 1 0
1 1 2
etN = M − 2I. 1. Calculer Nk, pour tout k ∈ N∗.
2. En déduire une expression simple de Mk, pour tout k ∈ N∗.
3.4 Transposition des matrices carrées
Dé nition 3.4.1: Matrices symétriques, matrices antisymétriques Soit A ∈ Mn(K).
1. On dit que A est symétrique si et seulement si A⊤ = A; 2. On dit que A est antisymétrique si et seulement si A⊤= −A.
Exemple 3.4.2 1. La matrice A =
1 2 3 2 4 5 3 5 6
est symétrique et la matriceB =
0 1 2
−1 0 3
−2 −3 0
est antisymé- trique.
2. La matrice identité est symétrique, comme toute matrice diagonale.
3. La matrice nulle est symétrique et antisymétrique. C'est la seule matrice à véri er cette propriété.
Remarque 3.4.3
Le fait pour une matrice d'être symétrique (respectivement antisymétrique) peut s'interpréter comme la symétrie (respectivement l'antisymétrie) des coe cients par rapport à la diagonale de la matrice.
Lemme 3.4.4
Si A ∈ Mn(K) est antisymétrique, tous ses coe cients diagonaux sont nuls.
Proposition 3.4.5: Stabilité par combinaison linéaire Soient A, B ∈ Mn(K) et (λ, µ) ∈ K2.
1. Si A et B sont symétriques, alors λA + µB aussi ; 2. Si A et B sont antisymétriques, alors λA + µB aussi.
Exercice 3.4.6
Soit M ∈ Mn(K). On pose
S = 1
2(M + M⊤) et A = 1
2(M − M⊤).
1. Montrer que S est symétrique et que A est antisymétrique.
2. Montrer que toute matrice M ∈ Mn(K) se décompose de manière unique comme somme d'une matrice symétrique et d'une matrice antisymétrique.
Proposition 3.4.7
Si A ∈ Mn(K) est inversible, alors A⊤ est inversible et
(A⊤)−1 = (A−1)⊤.
En particulier, si A est symétrique (resp. antisymétrique), alors A−1 aussi.
4 Application aux systèmes linéaires
Nous explicitons dans cette section le lien qui existe entre matrices et systèmes linéaires.
4.1 Interprétation matricielle d'un système linéaire
4.1.A. Écriture matricielle d'un système linéaire
On considère dans cette section un système d'équations linéaires à coe cients dans K de la forme
(S) :
a1,1x1+ a1,2x2+ · · · + a1,pxp = b1
a2,1x1+ a2,2x2+ · · · + a2,pxp = b2
... ...
an,1x1+ an,2x2+ · · · + an,pxp = bn
Pour tout (x1, . . . , xp) ∈ Kp, on pose
A =
a1,1 a1,2 a1,3 · · · a1,p a2,1 a2,2 a2,3 · · · a2,p
... ... ... ... ...
an,1 an,2 an,3 · · · an,p
, X =
x1 x2
...
xp
et B =
b1 b2
...
bn
.
de sorte que
(x1, . . . , xp) ∈ SS ⇔ AX = B.
Dé nition 4.1.1: Écriture matricielle d'un système linéaire
La relation AX = B est appelée écriture matricielle du système linéaire (S).
Exercice 4.1.2
Écrire sous forme matricielle les systèmes suivants :
a.
( 2x + y = 1
x − y = −2 b.
2x + y = 1 x − y = −2 3x + y = 5
c.
x − y + 3z = 0 2x + z = −1 x + 5y − z = 0
4.1.B. Structure des solutions d'un système linéaire
Comme pour les équations diérentielles, on peut ramener l'étude d'un système linéaire la résolution du système homogène associé et à la recherche d'une solution particulière.
Dé nition 4.1.3: Système homogène associé à (S) On appelle système homogène associé à (S) le système :
(H) :
a1,1x1+ a1,2x2+ · · · + a1,pxp = 0 a2,1x1+ a2,2x2+ · · · + a2,pxp = 0
... ...
an,1x1+ an,2x2+ · · · + an,pxp = 0
En reprenant les notations précédentes, on a donc :
(x1, . . . , xp) ∈ SH ⇔ AX = 0.
On a alors le résultat suivant : Proposition 4.1.4
Avec les notations précédentes, on si V0∈ Kp est une solution de (S), alors on a :
SS = {V0+ X | X ∈ SH} . Autrement dit, on a l'égalité :
SH = V0+ SH.
Remarque 4.1.5: Nombre de paramètres des ensembles de solutions
Si on détermine le nombre de paramètres dans l'ensemble des solutions du système homogène (H) associé à A, on aura le nombre de paramètres de l'ensemble des solutions du système de départ (S), sous réserve que celui-ci admette au moins une solution.
Il est possible de caractériser l'existence de solutions pour un système linéaire donné à partir de son écriture matricielle. Pour cela, on s'appuie sur la remarque suivante.
Remarque 4.1.6
On observe au passage que si A = (ai,j) ∈ Mn,p(K) et si X =
x1
...
xp
∈ Mp,1(K) est une matrice colonne, alors
AX =
a1,1x1+ · · · + a1,pxp a2,1x1+ · · · + a2,pxp
...
an,1x1+ · · · + an,pxp
Ainsi, si on note C1, . . . , Cn les colonnes de A, alors
AX = x1C1+ x2C2+ · · · + xpCp
est combinaison linéaire des colonnes de A.
On en déduit alors la caractérisation suivante :
Proposition 4.1.7: Condition nécessaire et su sante de compatibilité des équations
Soit AX = B est l'écriture matricielle de (S). Alors (S) admet des solutions si et seulement si B est combinaison linéaire des colonnes de A.
4.2 Calcul pratique de l'inverse : résolution du système générique AX = B
Théorème 4.2.1
Soit A ∈ Mn(K) une matrice inversible. Alors, pour toutes matrices colonnes X et B de Kn, on a :
AX = B ⇔ X = A−1B.
En particulier, dans ce cas, (S) possède une unique solution.
Application au calcul de A−1 : Le théorème précédent fournit une méthode pratique pour calculer l'inverse de A dans le cas où A est une matrice inversible. On peut essentiellement la résumer de la manière suivante.
Méthode 4.2.2: Inverser une matrice à l'aide d'un système générique Pour inverser une matrice inversible A, on peut procéder comme suit :
Poser un système générique AX = B associé à A,
Le résoudre (typiquement, à l'aide du pivot de Gauss),
Lire les coe cients de A−1 dans l'expression de X en fonction de B.
A n de ne pas alourdir les notations, nous montrons le fonctionnement de cette méthode sur un exemple.
Considérons la matrice
A =
0 1 1 1 0 1
.
Posons X =
x y z
etB =
a b c
deux matrices colonnes de K
3. On a alors
AX = B ⇔
x + y = a x + z = b y + z = c.
On résout ce système avec les méthodes habituelles et on obtient :
AX = B ⇔
x = −12a +12b +12c y = 12a −12b + 12c z = 12a +12b − 12c.
D'après le Théorème 4.2.1, cette dernière égalité est la traduction en système de X = A−1B. En revenant à la forme matricielle, on a donc :
A−1=
−1/2 1/2 1/2 1/2 −1/2 1/2 1/2 1/2 −1/2
.
Exercice 4.2.3
À l'aide de la méthode précédente, déterminer A−1 dans les cas suivants :
A = 1 2
−1 1
!
, B =
0 1 0 1 0 0 0 0 1
et C =
1 1 1 0 1 1 0 0 1
Remarque 4.2.4
Si en appliquant la méthode précédente nous ne trouvons pas une unique solution au système générique, cela signi era simplement que A n'est pas inversible. Nous reviendrons sur ce point précis dans un chapitre ultérieur.
4.3 Opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes d'une matrice
Nous terminons ce chapitre par une traduction matriciele de la méthode de Gauss pour la résolution de systèmes. Nous verrons en particulier comment utiliser l'algorithme de Gauss pour calculer l'inverse d'une matrice.
Dé nition 4.3.1: Opérations élémentaires sur les lignes d'une matrice
Étant donnée une matrice A ∈ Mn,p(K) composée des lignes L1, . . . , Ln, on appelle opération élé- mentaire sur les lignes de A le fait de procéder à l'une des opérations suivantes :
Échanger deux lignes de la matrice.
Ajouter à une ligne un multiple d'une autre ligne,
Multiplier une ligne de la matrice par un scalaire non nul.
Deux matrices A et A′ sont dites équivalentes en lignes si on peut passer de l'une à l'autre par une suite nie d'opérations élémentaires sur les lignes. On note alors
A ∼
L A′.
Exercice 4.3.2 Montrer que :
a. 1 2
3 4
!
∼L I2, b.
1 1 1 0 1 1 0 0 1
∼
L I3.
Chaque opération élémentaire appliquée sur les lignes d'une matrice A peut s'interpréter comme un produit à gauche par une matrice inversible. En particulier, on a le résultat suivant :
Proposition 4.3.3
Soient A et A′ deux matrices de Mn,p(K). Alors sont équivalentes : 1. A ∼
L A′,
2. il existe P ∈ GLn(K) telle que P A = A′.
Corollaire 4.3.4
Soit A ∈ Mn(K) telle que A ∼
L In. Alors A est inversible.
Remarque 4.3.5
Nous établirons dans un chapitre ultérieur que le précédent résultat est en fait une équivalence.
4.4 Calcul pratique de l'inverse : méthode de Gauss-Jordan
La méthode de Gauss-Jordan pour inverser une matrice inversible A ∈ Mn(K) repose sur l'idée suivante.
Si on arrive à établir une suite d'opérations élémentaires sur les lignes de A de manière à la transformer en la matrice In, ces produits successifs correspondent à une certaine matrice inversible P telle que P A = In, de sorte que P = A−1. Mais alors, la même suite d'opérations élémentaires appliquée sur les lignes de In reviendra à calculer P In= P = A−1.
Nous en déduisons la méthode suivante :
Méthode 4.4.1: Méthode de Gauss-Jordan pour inverser une matrice
Soit A ∈ GLn(K) et (A|In) ∈ Mn,2n(K) la matrice obtenue en juxtaposant A et la matrice identité.
1. On applique un algorithme de Gauss aux lignes de cette matrice de manière à transformer A en la matrice identité.
2. On obtient une matrice de la forme (In|P ). Alors P = A−1.
Exemple 4.4.2 Inversons la matrice
A =
0 1 1 1 0 1 1 1 0
en appliquant la méthode de Gauss-Jordan.
On a
(A|In) =
0 1 1 1 0 0
1 0 1 0 1 0
1 1 0 0 0 1
∼
L1↔L3
1 1 0 0 0 1
1 0 1 0 1 0
0 1 1 1 0 0
∼
L2←L2−L1
1 1 0 0 0 1
0 −1 1 0 1 −1
0 1 1 1 0 0
L3←L∼3+L2
1 1 0 0 0 1
0 −1 1 0 1 −1
0 0 2 1 1 −1
∼
L2←−L2
L3←12L3
1 1 0 0 0 1
0 1 −1 0 −1 1
0 0 1 1/2 1/2 −1/2
L2←L∼2+L3
1 1 0 0 0 1
0 1 0 1/2 −1/2 1/2 0 0 1 1/2 1/2 −1/2
∼
L1←L1−L2
1 0 0 −1/2 1/2 1/2
0 1 0 1/2 −1/2 1/2
0 0 1 1/2 1/2 −1/2
Ainsi, A est inversible et
A−1=
−1/2 1/2 1/2 1/2 −1/2 1/2 1/2 1/2 −1/2
Remarque 4.4.3
Si la matrice A n'est pas inversible, l'algorithme de Gauss-Jordan ne fonctionne pas. En eet, dans ce cas il n'est pas possible de transformer la matrice A en la matrice identité à l'aide d'opérations élémentaires sur les lignes. Il convient donc de justi er l'inversibilité de A avant de se lancer dans ces calculs.
Remarque 4.4.4: Opérations élémentaires sur les colonnes
Les opérations élémentaires étudiées précédemment étaient dé nies sur les lignes de A ∈ Mn,p(K) par analogie avec les opérations élémentaires sur les systèmes linéaires. Néanmoins, il est tout à fait possible de dé nir des opérations élémentaires sur les colonnes de A. Celles-ci se traduisent plus di cilement en termes de systèmes linéaires mais elles s'interprètent de la même manière en termes de produits à droite par des matrices inversibles de Mp(K).
