Cap´ıtulo 7 Funciones de varias variables: l´ımite y continuidad

(1)

Cap´ıtulo 7

Funciones de varias variables:

l´ımite y continuidad

Con este tema iniciamos el cálculo diferencial en varias variables, cuyo ob-jetivo es el estudio de las propiedades de variación de las funciones reales de varias variables reales. Aunque con algunas complicaciones técnicas propias del cálculo de varias variables, en buena medida se seguirá un camino para-lelo al seguido en el desarrollo del cálculo de una variable. Estudiaremos los conceptos de l´ımite y continuidad de funciones y seguidamente abordaremos los conceptos de derivada parcial y diferencial. Para facilitar el aprendizaje, desarrollaremos el tema para el caso de funciones de dos variables reales, aunque todas las nociones que consideraremos son válidas para funciones de cualquier número de variables. Por ello, cuando sea conveniente, al final de cada tema mencionaremos brevemente el caso de funciones de tres variables considerando algún ejemplo adecuado.

7.1. El plano R

2

.

Del mismo modo que iniciamos el estudio de las funciones de una va-riable considerando el cuerpo R de los n´umeros reales, al enfrentarnos con las funciones de dos variables debemos ocuparnos del conjunto R2_{, donde se}

(2)

‘mover´a’ el par de variables (x, y).

Recordemos que R2 _{denota el conjunto de todos los pares ordenados de} n´umeros reales: R2 _{= {(x, y) : x, y ∈ R}. x e y reciben el nombre de} compo-nentes del par (x, y). Con los elementos de R2 _{pueden realizarse dos} opera-ciones naturales:

- Suma: (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1+ y2).

- Producto por un n´umero real: α · (x, y) = (α · x, α · y).

La suma es una operación interna y el producto por un número real, externa. Con estas dos operaciones R2 _{es un espacio vectorial sobre el cuerpo} de los números reales. Es fácil comprobar que su dimensión es 2, pues se verifica (x, y) = x·e1+y ·e2, para cualquier par (x, y) ∈ R2, siendo e1 = (1, 0) y e2 = (0, 1). Por tanto, {e1, e2} es una base de R2, que recibe el nombre de base can´onica. En esta base, las coordenadas de (x, y) son sus propias componentes x e y.

Los elementos de R2 _{pueden representarse como puntos de un plano. Para} ello, debemos escoger un sistema cartesiano de coordenadas en el plano en cuestión. Si P es el punto del plano que tiene por coordenadas en dicho sistema x e y, le haremos corresponder el par (x, y) ∈ R2_{. Se dirá que P es} la representación gráfica del par (x, y). Esta correspondencia entre R2 _{y los} puntos del plano es biun´ıvoca.

Ejemplos 7.1.1. a) Representar gr´aficamente en el plano el conjunto A =

{(x, y) : y ≥ x2_{, x ≥ 0, y ≥ 0}.}

Se trata de un conjunto contenido en el primer cuadrante y que queda

‘por encima de la par´abola’ y = x2_{. Un punto de coordenadas (x, y) tal que}

y = x2 _{pertenece a la par´abola y = x}2_{. Si trazamos por este punto una recta}

perpendicular al eje OX, los puntos de esta recta que est´an por encima de

la par´abola tienen por coordenadas (x, y) con y > x2_{, mientras que los que}

(3)

Y

X O

y = x2

A

b) Idem con el conjunto A = {(x, y) : 0 ≤ x · y ≤ 1}.

El producto x · y es no negativo; por tanto, x e y tienen el mismo signo. Entonces el conjunto consta de dos partes, una en el primer cuadrante y la

otra en el tercero. En el caso del primer cuadrante y ≤ 1

x. Por tanto, se trata

de la regi´on que queda por debajo de la curva y = 1

x. En el tercer cuadrante

se trata de la regi´on que queda por encima de dicha curva

Y

O

X y = 1/x

(4)

c) A = [a, b] × [c, d] se representa en el plano como un rect´angulo paralelo a los ejes. En efecto, (x, y) ∈ A si y s´olo si a ≤ x ≤ b y c ≤ y ≤ d.

Y

X

O

a

_b

c

d

A

Dados dos puntos de R2_{, a = (x}

1, y1) y b = (x2, y2), se define su dis-tancia por d(a, b) = +p(x1− x2)2+ (y1− y2)2. N´otese que se trata de la distancia entre los correspondientes puntos del plano P1(x1, y1) y P2(x2, y2). La distancia tiene las propiedades siguientes:

D1) d(a, b) = 0 si y s´olo si a = b. D2) d(a, b) = d(b, a).

D3) d(a, b) ≤ d(a, c) + d(c, b), cualesquiera que sean a, b y c en R2_. Esta propiedad recibe el nombre de desigualdad triangular, pues ex-presa la conocida propiedad de los lados de un triángulo que afirma: En un triángulo la longitud de cualquier lado es menor o igual que la suma de las longitudes de los otros dos. Necesitaremos también el concepto de producto escalar (o interior.

(5)

a

b

c

Y

X

O

Si a = (a1, a2) y b = (b1, b2), se define a · b = a1b1 + a2b2. Propiedades obvias son las siguientes:

(1) a · (b + c) = a · b + a · c. (2) λ(a · b) = (λa) · b = a · (λb). (3) a · a = a2 1+ a22. p a2

1+ a22 es el m´odulo del vector ~OP , si P es el punto del plano de coordenadas (a1, a2), y se suele denotar por kak (norma de a). Con esta notaci´on, (3) adopta la forma

(3’) a · a = kak2_.

N´otese que d(a, b) = ka − bk.

Para abordar el concepto de l´ımite de una función, necesitamos introducir un m´ınimo de nociones topológicas que nos ayudarán a expresar de forma más simple y precisa las definiciones y resultados que encontraremos en nuestro estudio del cálculo diferencial en varias variables (topolog´ıa, del griego topos y logia, es la parte de las matemáticas que se ocupa del espacio).

Definici´on 7.1.2. Si (x0, y0) ∈ R2 y r > 0, se llama entorno cerrado de

(6)

tales que su distancia a (x0, y0) es menor o igual que r, y se denota por

Er(x0, y0). Es decir, se trata del conjunto

{(x, y) ∈ R2 _:p_{(x − x}

0)2 + (y − y0)2 ≤ r}.

Por tanto, Er(x0, y0) representa gr´aficamente el c´ırculo de radio r y centro

(x0, y0). Se llama entorno abierto al conjunto

{(x, y) ∈ R2 _:p_{(x − x}

0)2+ (y − y0)2 < r}

y se denota por Er(x0, y0). En este caso no forman parte del entorno los

pun-tos de la circunferencia de centro (x0, y0) y radio r. En el c´alculo de l´ımites,

se usar´a a menudo el entorno perforado E∗

r(x0, y0) que se diferencia del

anterior en el hecho de que no incluye el centro (x0, y0).

Definici´on 7.1.3. Sean D un subconjunto de R2 _{y (x}

0, y0) ∈ R2. Diremos

que (x0, y0) es un punto de acumulaci´on de D si D ∩ Er∗(x0, y0) 6= ∅,

para cada r > 0; es decir, en todo entorno de (x0, y0) (por peque˜no que sea

su radio) existen puntos de D diferentes de (x0, y0). S´olo para estos puntos

tiene sentido calcular el l´ımite de una funci´on cuyo dominio sea D.

que (x0, y0) es un punto interior de D si este conjunto contiene

´ıntegramen-te un entorno de (x0, y0). Si todos los puntos de D son interiores, diremos

que D es un conjunto abierto de R2_.

Definición 7.1.5. Un conjunto D se llama cerrado si contiene todos sus puntos de acumulación. Es fácil demostrar que los conjuntos cerrados son

precisamente los conjuntos cuyo complemento en R2 _{es un conjunto abierto.}

Efectivamente, si el complemento de D es abierto, entonces un punto (x0, y0)

(7)

interior a Dc _{y, por ello, existe un entorno de (x}

0, y0) contenido en Dc. Tal

entorno tiene intersecci´on vac´ıa con D. Conviene destacar que un conjunto que no es abierto tambi´en puede ser no cerrado.

que (x0, y0) es un punto frontera de D si en todo entorno de (x0, y0) existen

puntos de D y puntos que no pertenecen a D. El conjunto formado por todos los puntos frontera de D recibe el nombre de frontera de D.

Ejemplos 7.1.7. a) Encontrar los puntos de acumulaci´on, puntos frontera y los puntos interiores del conjunto D = {(x, y) ∈ R2 _{: x > 0, y > 0}.}

- Todo par (x0, y0) con x0 ≥ 0 e y0 ≥ 0 es un punto de acumulaci´on de D

(n´otese que todo entorno de centro en tal punto tiene en com´un con D como m´ınimo un cuadrante).

- D es abierto, pues todos sus puntos son interiores. En efecto, si (x0, y0) ∈

D, entonces x0 > 0 e y0 > 0. Si tomamos r = min{x0, y0}, se verifica

clara-mente Er(x0, y0) ⊂ D.

- El conjunto frontera es el formado por los semiejes positivos.

b) D = {(x, y) ∈ R2 _{: x ≥ 0, 0 ≤ y < x}2_}.

Este conjunto no es abierto porque no todos sus puntos son interiores. Por ejemplo, los puntos de la forma (x, 0) con x ≥ 0. Tampoco es cerrado ya que no contiene a todos sus puntos de acumulaci´on. En efecto, los puntos de la

forma (x, x2_{) con x ≥ 0(pertenecen a la par´abola y = x}2_{) son claramente de}

acumulaci´on y no pertenecen a D. El conjunto frontera consta de los puntos

del eje OX positivo y de los puntos de la par´abola de la forma (x, x2_{) con}

(8)

Y

X O

y = x2 D

Terminamos este apartado con la definici´on de conjunto acotado. Di-remos que D es acotado si las distancias entre dos puntos cualesquiera de

D permanecen acotadas. Es decir, existe una constante positiva c tal que d(a, b) ≤ c, para todos a y b pertenecientes a D. Todo conjunto acotado

est´a contenido en un entorno de uno de sus puntos (basta tomar el radio igual a c).

7.2. Funciones de dos variables.

En las ciencias experimentales, cuando se estudia un determinado fenó-meno, se da a menudo el caso de que éste quede completamente descrito me-diante una ley que establece una relación funcional entre varias magnitudes fundamentales. As´ı, por ejemplo, la ley que establece para los gases perfectos que, si P , V y T son la presión, el volumen y la temperatura absoluta de 1 mol de un tal gas, se verifica la relación

(9)

donde R es cierta constante (recibe el nombre de ecuación de estado). Si despejamos P en la igualdad anterior, resulta P = RT /V . La expresión anterior nos dice que la presión P es función de T y V y, por tanto, queda completamente determinada cuando conocemos T y V .

Si mediante algún procedimiento hacemos que V y T sean cada vez más próximos a cero, ¿hacia qué valor se acerca la presión P ?, ¿cómo podemos determinar un valor aproximado del incremento de la presión en función de los incrementos (pequeños) ∆V y ∆T ? Entre otras cuestiones, en este tema veremos cómo es la respuesta a estas preguntas.

Una función de dos variables f es una regla o ley que asocia a cada par (x, y), perteneciente a cierto conjunto D ⊂ R2_{, un único número real}

f (x, y). D recibe el nombre de dominio de la funci´on y x e y son las variables

independientes. Es usual usar z para designar a la imagen f (x, y) y se dirá que z es la variable dependiente. Una función queda determinada cuando damos la ecuación z = f (x, y) y el dominio D donde se mueve el par (x, y).

A veces, sólo se da la ecuación z = f (x, y), en cuyo caso se entiende que el dominio es todo el campo de existencia, es decir, el conjunto formado por todos los pares (x, y) para los que la ecuación en cuestión permite obtener la correspondiente imagen.

Ejemplos 7.2.1. a) f (x, y) = log(x2 _{+ y}2_{) es una funci´on cuyo dominio es} todo R2 _{menos el origen (0, 0).}

b) f (x, y) =√x · y tiene por dominio la parte del plano que consta de los

cuadrantes primero y tercero, pues s´olo tienen imagen los puntos (x, y) con coordenadas de igual signo: D = {(x, y) ∈ R2 _{: x ≥ 0, y ≥ 0} ∪ {(x, y) ∈ R}2 _:

x ≤ 0, y ≤ 0}.

Las funciones de dos variables pueden representarse gr´aficamente en el espacio de la siguiente forma: Dada f : D ⊂ R2 _{→ R, escogemos un sistema} de coordenadas cartesianas OXYZ en el espacio y en el plano OXY represen-tamos el dominio D. Para cada (x, y) ∈ D, dibujamos en el espacio el punto de coordenadas (x, y, f (x, y)). El conjunto formado por todos los puntos de

(10)

la forma (x, y, f (x, y)), con (x, y) ∈ D, es una superficie. Se dirá que es la representación gráfica de la función f o que la superficie tiene por ecuación

z = f (x, y).

Ejemplos 7.2.2. a) f (x, y) = ax + by tiene por representaci´on gr´afica un plano.

b) f (x, y) = x2 _{+ y}2 _{tiene por representación gráfica un paraboloide de} revolución con vértice el punto (0, 0, 0).

c) f (x, y) = x2 _{tiene por gráfica otro tipo de paraboloide (cil´ındrico).} En muchos casos, puede ayudar a la visualización de una función de dos variables el conocer la forma que tienen las curvas de nivel. Dada f : D ⊂

R2 _{→ R, la curva de nivel que pasa por (x}

0, y0) ∈ D es el conjunto de puntos (x, y) ∈ D tales que f (x, y) = f (x0, y0). Se trata, pues, de una curva que pasa por el punto (x0, y0) y que se caracteriza porque f tiene un valor constante a lo largo de ella. La familia de todas las curvas de nivel tiene por ecuaci´on f (x, y) = c, donde c es una constante arbitraria. La curva de nivel

f (x, y) = c es la proyecci´on sobre el plano OXY de la curva C que determina

el plano z = c al cortar a la superficie de ecuaci´on z = f (x, y). En la figura siguiente puede verse como cada punto (x, y, c) de esta curva (en rojo) se proyecta en el punto (x, y, 0) de la curva de nivel f (x, y) = c (en negro). Es decir, las coordenadas de ambos puntos s´olo se diferencian en la coordenada

(11)

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 Eje OX C

curva de nivel f(x,y)=c z=c Eje OZ

Eje OY

Estas ideas nos pueden ayudar a la hora de representar gr´aficamente una funci´on.

Ejemplos 7.2.3. a) z = x2_{+ y}2_{. Al cortar la superficie con los planos de la} forma z = c (c ≥ 0) resulta una curva plana C cuyas ecuaciones son

(

z = c

x2_{+ y}2 _{= c} (7.1)

La curva de nivel x2_{+ y}2 _{= c no es otra cosa que la circunferencia de centro}

el origen y radio √c en el plano OXY. La curva C tiene la forma de esta

misma circunferencia, pero colocada en el plano z = 0. Cuando c = 0 el corte se reduce a un punto: (0, 0, 0). En los dem´as casos, se trata de circunferencias

(12)

Intuimos que la superficie puede ser un paraboloide o un cono de v´ertice el origen. Finalmente, podemos cortar la superficie con el plano y = 0 y resulta

una curva en el plano OXZ que tiene por ecuaci´on z = x2_{. Esto nos confirma}

que se trata de un paraboloide.

−2 −1 0 1 2 −2 −1 0 1 2 0 1 2 3 4 5 6 Eje OY Eje OZ Eje OX

(13)

b) f (x, y) =px2_{+ y}2_.

Las curvas de nivel son las circunferencias con centro el origen x2_{+ y}2 ₌

c2_{. Como en el ejemplo anterior, al cortar la superficie con un plano de}

la forma z = c (c > 0) se obtiene una circunferencia con centro en el eje OZ y radio c cuya proyecci´on sobre el plano z = 0 es la curva de nivel

x2 _{+ y}2 _{= c}2_{. Al aumentar c, el plano z = c cada vez se aleja m´as de}

z = 0 y la circunferencia interceptada tiene mayor radio, como en el ejemplo anterior.

La diferencia ahora radica en que al cortar la superficie con el plano y = 0, resulta z = |x| que es la ecuación de un par de rectas en el plano OXZ. Por tanto, la superficie es un cono de revolución con vértice (0, 0, 0) y eje OZ.

−4 −2 0 2 4 −4 −2 0 2 4 0 1 2 3 4 5 Eje OY Eje OZ Eje OX Gr´afica de z = x2

(14)

−2 0 2 −2 ₋₁ 0 ₁ 2 ₃ 0 1 2 3 4 5 Eje OY Eje OZ Eje OX

c) Si T (x, y) representa la temperatura en cada punto (x, y) de cierta regi´on D del plano, entonces las curvas de nivel T (x, y) = c son las isotermas (curvas de temperatura constante).

Para una función de más de dos variables no es posible una representación gráfica, pero puede ser muy útil conocer qué forma tienen las superficies de nivel. Si f : D ⊂ R3 _{→ R es una función de tres variables, se llaman} superficies de nivel a las que tienen por ecuación f (x, y, z) = c.

Ejemplos 7.2.4. a) Si V (x, y, z) es el potencial eléctrico creado en el espacio por una determinada distribución de cargas eléctricas, las superficies de nivel son las superficies equipotenciales.

b) Si f (x, y, z) = x2 _{+ y}2 _{+ z}2_{, las superficies de nivel son superficies} esf´ericas de centro el origen.

(15)

7.3. Superficies

Algunas superficies, que nos encontraremos en las aplicaciones, no se ob-tienen como representación gráfica de una función de dos variables; es decir, no responden a una ecuación de la forma z = f (x, y). Basta pensar en una superficie cil´ındrica de eje OZ y radio R. Nótese que, si (x0, y0) es un punto de la circunferencia x2 _{+ y}2 _{= R}2_{, los puntos de coordenadas (x}

0, y0, z) (al variar z) describen la generatriz que pasa por (x0, y0, 0). Por tanto, todos pertenecen a la superficie. Por ello, es imposible que una ecuación de la for-ma z = f (x, y) pueda describir la superficie en cuestión (fijado (x0, y0), sólo el punto (x0, y0, f (x0, y0)) pertenece a la superficie de ecuación z = f (x, y)). Superficies como la anterior se describen matemáticamente mediante ecua-ciones de la forma f (x, y, z) = 0. Más precisamente, adoptaremos la siguiente definición. El lugar geométrico de los puntos del espacio que verifican la ecua-ción

f (x, y, z) = 0

es ( en general) una superficie S, pues se trata de un conjunto de puntos con dos grados de libertad. En efecto, pueden escogerse los valores de x e y libremente y el valor de z queda determinado por la ecuaci´on. ´Esta recibe el nombre de ecuaci´on impl´ıcita de la superficie.

Terminamos el apartado deduciendo de forma razonada la ecuaci´on de una superficie cil´ındrica. Denotemos por S la superficie cil´ındrica de eje OZ y radio R. Vamos a probar que su ecuaci´on en forma impl´ıcita es x2_+y2 _{= R}2_.

(16)

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 −1 _−0.5 0 _0.5 1 _1.5 2 _2.5 Eje OY (x0,y0,0) Eje OZ Eje OX

Con la ayuda de la figura, vemos que, si (x0, y0, z0) es un punto cualquiera de la superficie S, su proyección sobre el plano z = 0 es el punto (x0, y0, 0), que pertenece a la circunferencia C de centro el origen, radio R y contenida en el plano OXY. Esta circunferencia tiene por ecuación x2_{+ y}2 _{= R}2 _{(en el plano} OXY). Por tanto, debe ser también x2

0+ y02 = R2. Es decir, hemos probado que, si (x0, y0, z0) es cualquier punto de S, entonces necesariamente se verifica

x2

0 + y02 = R2. Para poder asegurar que la ecuaci´on de S es x2+ y2 = R2, debemos probar tambi´en que, si el punto (x0, y0, z0) es tal que x20+ y02 = R2, entonces dicho punto pertenece a S. Esto es obvio pues (x0, y0, 0) pertenece a C y (x0, y0, z0) pertenece a la generatriz que pasa por (x0, y0, 0).

Ejemplos 7.3.1. a) x2_{+ z}2 _{= R}2 _{es la ecuaci´on de la superficie cil´ındrica} de radio R y eje OY.

(17)

−2 −1 0 1 2 −2 0 2 4 −2 −1 0 1 2 Ejee OX Eje OY Eje OZ

b) z2 _{= x}2_{+ y}2 _{es la ecuaci´on impl´ıcita de la superficie c´onica siguiente}

−4 −2 0 2 4 −4 −2 0 2 4 −4 −2 0 2 4 6 Eje OY Eje OZ Eje OX

7.4. L´ımite doble.

Sean f : D ⊂ R2 _{→ R y (x}

0, y0) un punto de acumulaci´on de D. Cuando escribimos

l´ım (x,y)→(x0,y0)

(18)

queremos significar que f (x, y) se aproxima más y más al número l, a medida que (x, y) se acerca a (x0, y0), moviéndose libremente en su dominio D (sin llegar a ser (x0, y0)). Y si queremos que f (x, y) se diferencie de l en menos de una cantidad pequeña (² > 0), bastará con que (x, y) se tome en un entorno perforado de (x0, y0) con radio (δ > 0) suficientemente pequeño. Estas ideas quedan recogidas de una forma simple y precisa en la siguiente definición.

Definici´on 7.4.1. Diremos que

l´ım (x,y)→(x0,y0)

f (x, y)

existe y es igual a l si se verifica lo siguiente: Para cada ² > 0, puede

encon-trarse un entorno E∗

δ(x0, y0) tal que

(x, y) ∈ D ∩ E∗

δ(x0, y0) ⇒ |f (x, y) − l| < ².

Ejemplo 7.4.2. Comprobar que l´ım (x,y)→(3,2)1 + (x − 3)2_{+ (y − 2)}2 1 + x2 = 1. |f (x, y) − 1| = (x − 3)2 + (y − 2)2 1 + x2 ≤ ≤ (x − 3)2_{+ (y − 2)}2_.

Luego, si queremos que |f (x, y) − l| < ², bastar´a escoger (x, y) ∈ E∗

δ(x0, y0),

siendo δ = √².

Las propiedades del l´ımite son formalmente las mismas, independiente-mente del n´umero de variables, por lo que no parece necesario volver a men-cionarlas todas. A t´ıtulo de ejemplo, vamos a precisar algunas de ellas.

- Si el l´ımite doble de una funci´on, cuando (x, y) → (x0, y0), es distinto de 0, entonces existe un entorno perforado E∗

r(x0, y0) tal que el signo de f (x, y) es igual al de su l´ımite l, para cada (x, y) ∈ D ∩ E∗_(x _{, y} _).

(19)

- El l´ımite de una suma, un producto o un cociente de dos funciones es igual a la suma, producto o cociente de los l´ımites de cada una (si el l´ımite del denominador no es 0, en el caso del cociente).

7.5. L´ımites direccionales.

El c´alculo de l´ımites de funciones de varias variables s´ı presenta algunas diferencias importantes de las que nos vamos a ocupar a continuaci´on.

En el cálculo de un l´ımite doble se procederá de la forma siguiente: I) Cálculo de los l´ımites a través de las rectas que pasan por (x0, y0). Se trata de descubrir el valor hacia el que se aproxima f (x, y) cuando (x, y) se acerca a (x0, y0), moviéndose a lo largo de la recta y = y0+ m(x − x0).

Y

X

O

y=y +m(x-x )

0 0

x

y

0 0

La definici´on precisa y la notaci´on habitual es la siguiente

l´ım (x, y) → (x0, y0) y = y0+ m(x − x0) f (x, y) = = l´ım x→x0 f (x, y0+ m(x − x0)).

(20)

Una vez calculados estos l´ımites, pueden darse dos posibilidades:

a) No todos los l´ımites a trav´es de las rectas y = y0+ m(x − x0) tienen el mismo valor. En este caso, concluimos que no puede existir el l´ımite doble, ya que f (x, y) es oscilante en las cercan´ıas de (x0, y0).

b) Todos los l´ımites a través de las rectas mencionadas tienen el mismo valor l. En este caso concluimos que el l´ımite doble, de existir, debe valer también l. Sin embargo, no podemos asegurar, con este único dato, que el l´ımite doble exista realmente. Vamos a ver un ejemplo que muestra esto claramente:

Ejemplo 7.5.1. Sea f (x, y) = x/(x + y2_{), si (x, y) ∈ D, siendo D = {(x, y) :}

x, y > 0}. Calcular l´ım

(x,y)→(0,0)f (x, y).

Las rectas que pasan por el origen tienen la ecuaci´on y = mx y procedemos a calcular los l´ımites a trav´es de tales rectas

l´ım (x, y) → (0, 0) y = mx x x + y2 = l´ım_x→0f (x, mx) = = l´ım x→0 x x2_{+ m}2_x2 = l´ım_x→0 1 1 + m2_x = 1.

Por tanto, en este ejemplo se da la igualdad de todos los l´ımites a trav´es de las rectas y = mx. Pero vamos a probar que, sin embargo, no existe el l´ımite doble en el origen. Para ello, necesitamos considerar un nuevo tipo

de l´ımite unidimensional: el l´ımite a trav´es de una curva (se les llama

también l´ımites direccionales). Antes de dar la definición precisa, vamos a acabar con nuestro ejemplo. Nos proponemos descubrir hacia qué valor se aproxima f (x, y) cuando (x, y) se acerca a (0, 0), moviéndose a lo largo de

(21)

trav´es de la par´abola l´ım (x, y) → (0, 0) x = y2 x x + y2 = l´ım_y→0 y2 y2_{+ y}2 = 1 2.

Esto muestra que nuestra funci´on es oscilante en las proximidades de (0, 0):

de hecho, toma el valor constante 1

2 sobre la curva x = y2; pero al acercarse

(x, y) al origen por una recta y = mx, f (x, y) se aproxima a 1.

El ejemplo precedente muestra la conveniencia de disponer de otros l´ımites direccionales a parte de los l´ımites a través de rectas. Vamos a establecer la definición precisa de l´ımite a través de una curva. Supongamos que una curva en el plano OXY pasa por el punto (x0, y0) y tiene por ecuaciones

param´etricas ₍

x = x(t) y = y(t),

(22)

donde t ∈ [a, b]. Sea t0 ∈ [a, b] tal que (x0, y0) = (x(t0), y(t0)). El l´ımite a trav´es de la curva se define por

l´ım (x, y) → (x0, y0) x = x(t), y = y(t) f (x, y) = l´ım t→t0 f (x(t), y(t)).

Es evidente que cuando existe el l´ımite doble de una función, también existen los l´ımites direccionales y tienen el mismo valor que el doble. Pero no conviene olvidar que, como muestra el ejemplo anterior, aunque coincidan todos los l´ımites a través de las rectas que pasan por el punto (x0, y0), nada puede asegurarse sobre la existencia del doble. Precisamente, ahora pasamos a indicar qué debe hacerse en estos casos.

II) Si todos los l´ımites direccionales que hemos intentado calcular tienen el mismo valor l, no podemos asegurar a´un que el l´ımite doble existe, pero s´ı podemos estar seguros de que, caso de existir, su valor debe ser l. Por tanto, debemos proceder a calcular la diferencia |f (x, y)−l|, tratando de comprobar que se hace peque˜na para (x, y) cercano a (x0, y0). Vamos a aclarar esto con un ejemplo.

Ejemplo 7.5.2. Calcular l´ım (x,y)→(0,0)

xy3

x2 _{+ y}2. Empezamos calculando los

l´ımi-tes a trav´es de las rectas que pasan por el origen

l´ım (x, y) → (0, 0) y = mx xy3 x2_{+ y}2 = l´ım_x→0 x3_m x2 _{+ m}2_x2 = 0.

La igualdad de los l´ımites a trav´es de las rectas y = mx nos permite afir-mar que el posible l´ımite doble debe valer 0. Para confirafir-marlo, procedemos a evaluar la diferencia |f (x, y) − l|

|f (x, y) − 0| = |x| · y2

x2_{+ y}2 ≤

|x| · y2

(23)

Tenemos pues 0 ≤ |f (x, y) − 0| ≤ |x|. La propiedad del sandwich nos asegura que f (x, y) tiende a 0.

Terminamos este apartado mostrando que el uso de coordenadas polares puede ayudar en muchos casos a calcular el l´ımite doble. Empezaremos re-cordando c´omo se obtienen las coordenadas polares del punto (x, y) 6= (0, 0): se definen ρ = +px2_{+ y}2 _{y ω ∈ [0, 2π] tal que tg ω =} y

x (si x = 0, se toma

ω igual π

2 o 3π2 , seg´un que sea y > 0 ´o y < 0). Las coordenadas polares de (x, y) son (ρ, ω) y se verifican las siguientes relaciones entre ambos tipos de coordenadas: x = ρ cos ω, y = ρ sen ω. Si al expresar f (x, y) en coordenadas polares obtenemos

f (x, y) = f (ρ cos ω, ρ sen ω) = F (ρ) · G(ω),

siendo G acotada y verificando F que l´ımρ→0F (ρ) = 0, entonces podemos

estar seguros de que l´ım

(x,y)→(0,0)f (x, y) = 0, pues se tiene 0 ≤ |f (ρ cos ω, ρ sen ω) − 0| ≤ c · |F (ρ)|,

para cualesquiera ρ y ω (c > 0 es una constante tal que |G(ω)| ≤ c).

7.6. Continuidad.

Sean f : D ⊂ R2 _{→ R y (x}

0, y0) ∈ D. Diremos que f es continua en (x0, y0) si se verifica lo siguiente: Para cada ² > 0, podemos encontrar un

entorno Eδ(x0, y0) tal que

si (x, y) ∈ D ∩ Eδ(x0, y0) entonces |f (x, y) − f (x0, y0)| < ².

Por tanto, si (x0, y0) es un punto de acumulaci´on de D, la continuidad de f en (x0, y0) equivale a que l´ım

(x,y)→(x0,y0)

f (x, y) sea precisamente f (x0, y0). Por ello,

las propiedades de las funciones continuas se deducen de las correspondientes de los l´ımites.

(24)

Hemos visto, al estudiar la continuidad de funciones de una variable, que toda función definida y continua en un intervalo cerrado y acotado alcanza un máximo y un m´ınimo absolutos. En el caso de funciones de varias variables existe un resultado similar válido para funciones definidas y continuas en un conjunto cerrado y acotado.

Teorema 7.6.1. (Bolzano-Weierstrass). Si f es una funci´on de varias va-riables definida y continua en un conjunto D cerrado y acotado, entonces f alcanza un m´aximo y un m´ınimo absolutos en D.

PROBLEMAS RESUELTOS

1. Calcular l´ım

(x,y)→(0,0)

x sen xy x2_{+ y}2 .

Multiplicando y dividiendo por xy, escribimos la funci´on en la forma ³ x2_y x2_{+ y}2 ´ ³sen xy xy ´ .

El segundo factor tiene l´ımite 1, debido a que sen t y t son infinit´esimos equivalentes en el origen. Entonces calculamos por separado el l´ımite del primer factor y habremos terminado. Empezamos calculando los l´ımites direccionales a trav´es de las rectas que pasan por el origen:

l´ım (x, y) → (0, 0) y = mx x2_y x2_{+ y}2 = l´ım_x→0 mx3 x2_{(1 + m}2₎ = = l´ım x→0 mx 1 + m2 = 0.

Todos los l´ımites a trav´es de las rectas y = mx valen 0. Por tanto, de existir, el l´ımite doble debe ser 0. Vamos a probar que esto es as´ı haciendo uso de la propiedad del sanduich

0 ≤ | x2y x2_{+ y}2 − 0| ≤ |y|x2 x2_{+ y}2 ≤ |y|x2 x2 = |y|, lo que prueba que el l´ımite doble es 0.

(25)

2. Calcular l´ım (x,y)→(0,0)

x3

x2_{+ y}2. Expresamos f (x, y) en polares

f (ρ cos ω, ρ sen ω) = ρ3 cos3ω

ρ2_(cos2_{ω + sen}2_ω) =

= ρ · cos3ω = F (ρ) · G(ω),

siendo F (ρ) = ρ y G(ω) = cos3_{ω. Vemos que G est´a acotada por 1 y que}

l´ımρ→0F (ρ) = 0. Por tanto l´ım (x,y)→(0,0) x3 x2_{+ y}2 = 0. 3. Calcular l´ım (x,y)→(0,0) xy y + x2.

En primer lugar, calculamos los l´ımites direccionales a trav´es de las rectas que pasan por el origen

l´ım (x, y) → (0, 0) y = mx xy y + x2 = l´ım_x→0 mx2 mx + x2 = = l´ım x→0 mx m + x = 0.

Ahora vamos a buscar curvas de nivel de f (x, y) = _y+xxy2 que pasen por el

origen. La ecuaci´on de las curvas de nivel es

xy

y + x2 = c,

donde c es una constante arbitraria. Despejando y en la igualdad anterior, resulta y = cx2

x−c. N´otese que se trata de una curva de nivel de f que pasa

(26)

(x, y) recorre la curva y = cx2

x−c. Por ello, el l´ımite direccional a trav´es de

dicha curva es 0, es decir, se tiene l´ım (x, y) → (0, 0) y = cx2 x−c xy y + x2 = c.

Se deduce de lo anterior que no puede existir el l´ımite doble en el origen.

4. Calcular l´ım

(x,y)→(0,0)

xy4

x3_{+ y}6.

Calculamos los l´ımites a trav´es de las rectas y = mx l´ım (x, y) → (0, 0) y = mx xy4 x3_{+ y}6 = l´ım_x→0 m4_x5 x3_{+ m}6_y6 = = l´ım x→0 m4_x2 1 + m6_x3 = 0.

Ahora vamos a ver que el l´ımite a trav´es de la curva x = y2_{, el l´ımite es} igual a 1/2 l´ım (x, y) → (0, 0) x = y2 xy4 x3_{+ y}6 = l´ım_y→0 y6 y6_{+ y}6 = = l´ım y→0 1 2 = 1 2. PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Representar gr´aficamente los subconjuntos de R2 _siguientes:

A = {(x, y) : xy < 1}, B = {(x, y) : xy < 0}, C = {(x, y) : 2x + 3y <

1},

D = {(x, y) : |x| < 1, |y| < 1}, E = {(x, y) : x > 0, y > x2_{, |x| < 2},}

(27)

2. Determinar los puntos interiores, de acumulaci´on y frontera de cada uno de los conjuntos del ejercicio anterior.

3. Calcular los l´ımites dobles en el origen de las siguientes funciones:

f (x, y) = x_x22−y_+y22, g(x, y) = _x2xy_+y2, h(x, y) = √xy x2_+y2, k(x, y) = _x2xy_+y24, p(x, y) = x 2_y3 x4_+y6, q(x, y) = x 2_+y2 x+y , s(x, y) = xy x+y2.

Soluciones: (1) los l´ımites a trav´es de las rectas y = mx dependen del valor de m, luego no existe el l´ımite doble. (2) Igual que el anterior. (3) 0. (4) No existe el l´ımite doble ( considerar la curva x = y2_{). (5) No existe} el l´ımite doble (considerar la curva x2 _{= y}3_{). (6) No existe, considerar} la curva de nivel q(x, y) = 1. (7) No existe, considerar la curva de nivel

s(x, y) = 1.

4. Determinar las curvas de nivel de la funci´on

a)f (x, y) = x2+ y2

x + y , b)f (x, y) = xy.

5. Comprobar que las rectas y = mx son curvas de nivel de la funci´on

f (x, y) = xy

x2_{+ y}2.

Deducir que no existe el l´ımite doble en el origen de la funci´on f .

6. Comprobar que las par´abolas x = y2 _{son curvas de nivel de la funci´on}

f (x, y) = xy2

x2_{+ y}4.

Deducir que no existe el l´ımite doble en el origen de la funci´on f .

7. Determinar las curvas de nivel de f (x, y) = _x+yxy2. Deducir que no existe el

(28)

8. Calcular el l´ımite doble en el origen de a)f (x, y) = x 3 x2_{+ y}2, b)f (x, y) = sen x2_y2 x2_{+ y}2 .

9. Estudiar la continuidad en el origen de las funciones siguientes: a) f (x, y) = ( 1 + _x2xy_+y22 si (x, y) 6= (0, 0) 1 si (x, y) = (0, 0) b) f (x, y) = ( x x2_+y2 si (x, y) 6= (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0) c) f (x, y) = ( x3 x2_+y2 sen_xy1 si x · y 6= 0 0 si x · y = 0 .

Soluciones: a) continua, b) discontinua, pues no existe el l´ımite doble y c) continua.

10. Representar gr´aficamente las funciones:

a) f (x, y) = 1 − (x2_{+ y}2_{), b) f (x, y) = −}p_x2_{+ y}2_{, c) f (x, y) = y}2_.

11. Estudiar la continuidad en el origen de las funciones siguientes: a) f (x, y, z) = _x2_+yxyz2_+z2 y f (0, 0, 0) = 0.

b) f (x, y, z) = _x2_+yxy2_+z2 y f (0, 0, 0) = 0.

Soluciones: a) Continua. b) discontinua( el l´ımite de f (x, y, z) a trav´es del plano z = 0, se reduce a calcular el l´ımite doble de xy/(x2 _{+ y}2_{) en el} origen y ´este no existe.