Túnel de Klein en grafeno
31
0
0
Texto completo
(2)
(3) Abstract This paper provides a study of Klein tunneling (increased probability of electronic transmission under high potentials) applied to graphene, two-dimensional carbon sheets with hexagonal lattice. This paper provides a detailed analysis of scattering properties in graphene throughout the study in the first place of the one-dimensinal barrier potential problem (scenario), where we find perfect electronic transmission, to then enter the two-dimensional case by considering two situations: an electron incident either on a potential step or a potential barrier, obtaining expressions for the transmission paths . We show that Klein tunneling is not a genuine quantum tunneling effect, as it does not involve passing throughout a forbidden region via evanescent waves. Pseudo-spin conservation (sublattice) will play a crucial role within the transmission.. Resumen Este trabajo provee un estudio del efecto Túnel de Klein (aumento de la probabilidad de transmisión electrónica bajo potenciales elevados) aplicado al grafeno, láminas bidimensionales de carbono con red hexagonal. El trabajo proporciona un análisis detallado de las propiedades de “scattering” en el grafeno a través de, primero, el problema barrera potencial unidimensional (caso hipotético), donde se encuentran transmisiones electrónicas perfectas; para posteriormente adentrarse en el caso bidimensional considerando dos situaciones: un electrón incidiendo sobre un potencial escalón o incidiendo sobre una barrera de potencial, obteniendo sendas expresiones para la transmisión. Mostramos cómo el efecto Túnel de Klein no es un efecto túnel cuántico genuino, ya que no implica el uso de ondas evanescentes para atravesar una zona prohibida. La conservación del pseudo-espı́n (subred) jugará un papel crucial dentro de la transmisión.. Resum Aquest treball proveeix un estudi de l 0 efecte Túnel de Klein (augment de la probabilitat de transmissió electrònica sota potencials elevats) aplicat al grafè, làmines bidimensionals de carboni amb xarxa hexagonal. El treball proporciona una anàlisi detallada de les propietats de “scattering” en el grafè a través de, primer, el problema barrera potencial unidimensional (cas hipotètic), on es troben transmissions electròniques perfectes; per a posteriorment endinsar-se en el cas bidimensional considerant dues situacions: un electró incidint sobre un potencial graó o incidint sobre una barrera de potencial, obtenint sengles expressions per a la transmissió. Mostrem com l 0 efecte Túnel de Klein no és un efecte túnel quàntic genuı́, ja que no implica l 0 ús dónes evanescents per travessar una zona prohibida. La conservació del pseudo-espı́ (subxarxa) jugarà un paper crucial dins de la transmissió.. 3.
(4) Índice general Página 1. Introducción 1.1. Mecánica Cuántica Relativista. De Schrödinger a Dirac 1.2. Electrones relativistas. Ecuación de Dirac . . . . . . . . 1.3. Paradoja de Klein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Grafeno. Capas bidimensionales de carbono . . . . . . . 2. Problema 1D 2.1. Ecuación autovalores para el caso unidimensional 2.2. Flujo de probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Problema barrera potencial unidimensional . . . 2.4. Onda transmitida. Diferencias con el problema de. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . scattering cuántico. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. 5 5 6 6 7. 9 . . . . . . . 9 . . . . . . . 9 . . . . . . . 11 no relativista 14. 3. Problema 2D. Funciones de onda 3.1. Ecuación autovalores para el caso bidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Flujo cuántico bidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 15 15 17. 4. Problema 2D. Potencial escalón y barrera 4.1. Potencial escalón. Autofunciones del grafeno dentro del potencial 4.2. Problema de scattering aplicando un potencial escalón . . . . . . 4.3. Ángulos crı́ticos. Limitaciones de potencial y energı́a . . . . . . . 4.4. Problema de scattering aplicando un potencial barrera . . . . . .. 19 19 20 23 24. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. 5. Conclusiones. 26. Apéndices. 27. A. Sistema unidimensional A.1. Autofunciones del sistema grafeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2. Componentes del espinor de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 27 27 28. B. Sistema bidimensional: autofunciones. 29. C. Flujo de probabilidad. 30. 4.
(5) Capı́tulo 1. Introducción 1.1. 1.1.1.. Mecánica Cuántica Relativista. De Schrödinger a Dirac Mecánica Cuántica. La Mecánica Cuántica [1] es una formulación matemática encargada de estudiar el movimiento e interacción de las partı́culas, aplicada especialmente al mundo microscópico. Se basa en la descripción dual onda-partı́cula formulada por Bohr, Einstein, Heisenberg, Schrödinger, entre otros. Toda la descripción de las partı́culas (movimiento, interacciones) se realiza en base a la función de onda Ψ(r, t), cuyo módulo cuadrado expresa la probabilidad de encontrar una partı́cula en una posición r y tiempo t determinado [2]. La función de onda viene determinada por la ecuación de Schrödinger . . X ∂Ψ X p2j i~ = + U (rj , sj ) + V (ri − rj ) Ψ ∂t 2mj j i>j #. ". (1.1). donde las partı́culas tienen posición rj , momento lineal pj y espı́n sj . U (rj − sj ) representa la interacción con un potencial externo y V (ri − rj ) la interacción a pares entre las partı́culas.. 1.1.2.. Primera aproximación a la relatividad. Ecuación Klein-Gordon. A pesar de la gran importancia de la ecuación de Schrödinger, ésta presenta limitaciones en cuanto a su uso. Es una ecuación no relativista, cuyo utilidad se limita a partı́culas con momento lineal inferior a la energı́a en reposo. El primer acercamiento a partı́culas relativistas se realizó a partir de la ecuación de Klein-Gordon, quien toma la relación de dispersión relativista E 2 = (pc)2 + (mo c2 )2 (aplicando operadores cuánticos) y la introduce en la ecuación de Schrödinger −~2 ∂t2 Ψ(r, t) = (p̂2 c2 + m2o c4 )Ψ(r, t). (1.2). donde mo es la masa en reposo de las partı́culas. La ecuación de Klein-Gordon presenta, no obstante, un serio problema, ya que no garantiza la conservación de la probabilidad, llegando en ocasiones a ser incluso negativa (|Ψ|2 < 0). El desarrollo de la ecuación de Dirac supuso el salto definitivo, corrigiendo los problemas de la ecuación de Klein a través de una ecuación de primer orden en derivadas temporales.. 5.
(6) 1.2.. Electrones relativistas. Ecuación de Dirac. La ecuación de Dirac [3] describe el movimiento relativista de partı́culas con espı́n 1/2. La ecuación de Dirac es consistente con ambos principios de la Mecánica Cuántica y la Relatividad Especial, y fue la primera teorı́a en explicar completamente la relatividad en el contexto de la mecánica cuántica. p Reconsiderando la relación de dispersión relativista E = c2 p2 + m2o c4 aplicando los operadores de la mecánica cuántica, Paul Dirac linealizó la expresión obteniendo: E=c. 3 X. αi pi + βmc2 ≡ cα · p + βmc2. (1.3). i=1. donde los parámetros α = (α1 , α2 , α3 ) y β se obtienen igualando con la relación clásica relativista. Trasladando la expresión (1.3) a la mecánica cuántica de operadores finalmente se obtiene la ecuación de Dirac ∂ i~ ψ(t, x) = Ho ψ(t, x) (1.4) ∂t donde el Hamiltoniano para el movimiento libre de una partı́cula Ho representa una matriz de dimensión cuatro 2. Ho = −i~cα · ∇ + βmc =. mc2 1 −i~cσ · ∇ −i~cσ · ∇ mc2 1. !. (1.5). siendo σ = (σx , σy , σz ) las matrices de Pauli y 1 la matriz identidad σx =. 0 1 1 0. !. !. σy =. 0 −i i 0. σz =. 1 0 0 −1. !. 1=. 1 0 0 1. !. (1.6). Bajo este nuevo marco, los autovalores del Hamiltoniano corresponden a la relación de dispersión relativista q E = ± c2 p2 + m2 c4 (1.7) mientras que las funciones de onda son espinores de cuatro componentes donde las dos primeras corresponden a energı́as positivas y los dos últimas a energı́as negativas. Hemos de destacar la aparición de una rama negativa de energı́as para una partı́cula libre, imposible de obtener en Mecánica Cuántica no relativista. Esta nueva rama energética será el origen, tal como se verá más adelante, de nuevos efectos hasta entonces nunca estudiados. Si la masa de las partı́culas es nula, el término referido a esta se desvanece de la ecuación (1.5) y del término energético (1.7), siendo suficiente utilizar matrices 2 × 2, obteniendo la ecuación i~. ∂ ψ(t) = cσ · pψ(t) ∂t. (1.8). llamada la ecuación de Weyl. Esta última será importante de cara al estudio del grafeno.. 1.3. 1.3.1.. Paradoja de Klein Scattering en Mecánica. La probabilidad de que una partı́cula pueda superar una barrera potencial depende de la energı́a con la cual incide. En Mecáncia Clásica si la partı́cula incide con una energı́a superior al potencial aplicado, ésta podrá superar sin ningún problema el obstáculo llegando al otro extremo. Sin embargo, si incide con una energı́a menor la partı́cula es incapaz de atravesar la barrera; para ella, la zona donde se aplica el potencial es prohibida, ya que supone un espacio con niveles energéticos superiores a los que ella posee. 6.
(7) En Mecánica Cuántica se aprecian otros efectos, debido a la naturaleza de onda que exhiben las partı́culas. Cuando la energı́a es mayor, la partı́cula sobrepasa el potencial, al igual que en clásica. Sin embargo, si la energı́a es menor las partı́culas pueden tunelear hasta el otro extremo, traspasar la zona prohibida, a través de ondas evanescentes. La probabilidad de producirse este efecto depende de la diferencia entre la energı́a y el potencial aplicado; cuanto mayor sea la diferencia, más difı́cil es de observar una posible transmisión.. 1.3.2.. Klein tunneling. Potenciales elevados. Usando la ecuación de Dirac comprobamos que las energı́as resultantes presentan dos posibles ramas, una positiva y otra negativa (1.7). Este comportamiento es el responsable de la paradoja de Klein [4],[5],[6],[7], donde la transmisión de un electrón en un problema de “scattering” aumenta a medida que la barrera de potencial aplicada crece respecto a la energı́a incidente. Aplicar un potencial elevado supone subir los niveles energéticos, pudiendo llegar el caso en que un electrón situado en la rama positiva pueda tunelear a través del potencial gracias a la rama negativa, situada al mismo nivel energético que el electrón incidente. Este efecto es posible cuando el potencial sea suficientemente intenso como para superar la energı́a de gap y elevar la rama energética negativa a la zona positiva. Los ordenes de magnitud de los potenciales que se deberı́an aplicar se encuentran en torno a mc2 , que es la energı́a de gap entre las ramas positivas y negativas de la ec. (1.7) obtenida a partir de la ecuación de Dirac.. 1.4.. Grafeno. Capas bidimensionales de carbono. El grafeno consiste en láminas de carbono bidimensionales formadas por redes hexagonales con forma de panal de abeja [9]. Comenzó a estudiarse teóricamente en 1947 [10], pero no pudo sintetizarse en el laboratorio hasta 2004 (Andre Geim y Kostya Novoselov en la Universidad de Manchester [11],[12]). A fin de describir correctamente la celda unitaria es necesario disponer de dos átomos, definiendo de esta forma dos subredes (ver fig. 1.1). Como consecuencia, la función de onda se expresará como función de un espinor de dos componentes, visualizado frecuentemente como un pseudo-espı́n asociado al grado de libertad de la subred a la que pertenece. En la primera zona de Brillouin encontramos en las esquinas los diferentes puntos no equivalentes K y K 0 , en los cuales se localizarán los conos de Dirac (ver fig. 1.1). Utilizando el método de Tight-Binding a. Figura 1.1: Red hexagonal donde se han representado los átomos A y B necesarios para describir la red. a1 , a2 representan los vectores de la red, mientras que b1 , b2 representan los vectores de la red recı́proca. A la derecha se encuentra la zona de Brillouin. 7.
(8) Figura 1.2: Sobre cada punto de Dirac encontramos un cono de energı́a. Aproximando a energı́as bajas, encontramos una dependencia lineal en la relación de dispersión con el número de ondas, al igual que las partı́culas relativistas primeros vecinos, se encuentra la siguiente relación de dispersión [8] !1/2 √ kx a kx a 3ky a E(kx , ky ) = ±γ 1 + 4 cos ( ) + 4 cos ( ) cos ( ) 2 2 2 2. (1.9). donde el signo positivo de la energı́a se refiere a la banda de conducción y el negativo a la banda de valencia. De esta forma, se obtenienen conos de energı́a con vértices en cada punto no equivalente de la zona de Brillouin. Aproximando la ec. (1.9) a bajas energı́as (cerca de los puntos no equivalentes) encontramos una expresión lineal de la relación de dispersión; la energı́a pasa a depender linealmente del número de onda, de la misma forma que una partı́cula relativista sin masa (E ∼ k), tal como ilustra la fig. 1.2. En consecuencia, a bajas energı́as, el Hamiltoniano efectivo que describe los electrones en el grafeno es: H = vf σ · p. (1.10). obteniéndose un Hamiltoniano efectivo lineal con el momento p̂. La velocidad de Fermi vf juega el papel de la velocidad de la luz (vf ≈ c/300), siendo este parámetro dependiente de las constantes del material (integral de hopping, constante de red, etc [9]). σ̂ representa los dos grados de libertad electrónicos (subred A o subred B), equivalente a un pseudoespı́n o espinor de dos componentes. De esta forma, los electrones pueden ser descritos por la ecuación de Dirac de dos componentes para partı́culas sin masa −i~vf σ̂ · ∇Ψ(r) = EΨ(r). 8. (1.11).
(9) Capı́tulo 2. Problema 1D 2.1.. Ecuación autovalores para el caso unidimensional. Resolveremos el problema de autovalores unidimensional utilizando el Hamiltoniano de la ec. (1.10). ĤΨn = En Ψn (2.1) con Ĥ = vf σ̂p̂ = vf σ̂x p̂x , siendo σ̂x la matriz de Pauli en dirección x y p̂x el operador momento en dirección x. Como ya hemos explicado anteriormente, en el grafeno trabajamos con fermiones relativistas sin masa. La expresión resultante implica espinores de Dirac de dos componentes (ecuación de Weyl (1.8), masa efectiva nula) vf. 0 ~ d i dx. ~ d i dx. !. !. Ψ1 (x) Ψ2 (x). 0. !. Ψ1 (x) =E Ψ2 (x). (2.2). Resolviendo el sistema obtenemos las siguientes autofunciones para el grafeno (para un cálculo más detallado, véase el Apéndice A) 1 +1 Ψ+ (x) = √ e±ikx +1 2. !. para una energı́a E = vf ~k. (2.3). para una energı́a E = −vf ~k. (2.4). !. 1 +1 Ψ− (x) = √ e±ikx −1 2. La variable k es un parámetro libre que puede tomar cualquier valor. De esta forma, se obtiene un espectro de energı́as continuo, dividida en dos posibles ramas, en lugar de encontrarse cuantizada.. 2.2.. Flujo de probabilidad. Sabemos que un sistema cuántico viene descrito por la función de onda Ψ(t, x), a partir de la cual podemos calcular la densidad de probabilidad de encontrarlo en un punto x. La probabilidad en un punto puede variar, “fluir” hacia otros puntos del espacio que consideramos. Ası́ pues, al igual que en mecánica clásica, podemos definir una densidad de corriente que exprese el movimiento que sigue esta probabilidad. No obstante, la probabilidad de encontrar una partı́cula en el volumen se conserva, definiendo una ecuación de continuidad: ∂|Ψ|2 ∂jx + =0 ∂t ∂x 9. (2.5).
(10) 2.2.1.. Determinación del flujo. A partir de la expresión (2.5) derivaremos el flujo en el caso del grafeno, el cual diferirá del flujo cuántico usual debido a las diferencias entre el Hamiltoniano tı́pico de Schrödinger 2 ∂2 (Ĥ = −~ 2m ∂x2 ) del Hamiltoniano obtenido para el grafeno, lineal en p̂ (Ĥ = vf σ̂x p̂). Para ello, será necesario calcular la derivada temporal del módulo cuadrado de la función de onda, siguiendo la ecuación de Schrödinger. Para una deducción más detallada de este proceso véase el Apéndice C. Finalmente obtenemos la expresión del flujo unidimensional: j ≡ hĵi = vf hΨ|σ̂x |Ψi. 2.2.2.. (2.6). Relación entre espinores y el movimiento. Utilizando la expresión recientemente encontrada del flujo (2.6) podemos estudiar el movimiento que seguirá un electrón que se encuentre en los diferentes autoestados del grafeno j+ ≡ vf hΨ+ |σ̂x |Ψ+ i = vf. (2.7). j− ≡ vf hΨ− |σ̂x |Ψ− i = −vf. (2.8). El resultado obtenido es de gran importancia, ya que nos indica que el flujo no se encuentra relacionado con el momento, como suele suceder, sino que se encuentra ı́ntimamente ligado al espinor en el cual se encuentre el electrón. Si el electrón se halla en el autoestado Ψ+ éste viajará hacia la derecha, sin embargo, si se encuentra en el autoestado Ψ− viajará hacia la izquierda, independientemente del momento que posea la partı́cula o su energı́a. El movimiento de la partı́cula viene exclusivamente determinado por el espinor en el que se halle, tal como ilustra la fig. 2.1:. Figura 2.1: Ramas energéticas con sus correspondientes flujos. El flujo viene únicamente determinado por el espinor en el cual se halle el electrón. 10.
(11) 2.3.. Problema barrera potencial unidimensional. Someteremos la capa de grafeno a un potencial de tipo barrera a fin de estudiar el efecto Túnel de Klein para electrones relativistas sin masa. El estudio se realizará considerando dos posibles valores energéticos incidentes, uno superior al potencial y otro inferior al potencial. Las autofunciones para este caso se obtienen operando de la misma forma que anteriormente, ya que únicamente se añade un valor constante de potencial, el cual modifica los autovalores. Es inmediato comprobar que los autovectores del grafeno bajo un potencial escalón son: !. 1 +1 ±ikx Ψ+ (x) = √ e para una energı́a E = Vo + vf ~k 2 +1. (2.9). !. 1 +1 ±ikx Ψ− (x) = √ e para una energı́a E = Vo − vf ~k 2 −1. (2.10). Determinando los diferentes rangos energéticos trabajaremos con las siguientes funciones de ondas, donde el parámetro energético k (vector de ondas) deberá tomar un signo concreto a fin de respetar los niveles de energı́as. Para energı́as inferiores al potencial tenemos: !. 1 +1 ±ikx Ψ+ (x) = √ e para una energı́a E = Vo + vf ~l; l < 0 2 +1. (2.11). !. 1 +1 ±ikx Ψ− (x) = √ e para una energı́a E = Vo − vf ~l; l > 0 2 −1. (2.12). Para energı́as superiores al potencial tenemos: !. 1 +1 ±irx Ψ+ (x) = √ e para una energı́a E = Vo + vf ~r; r > 0 2 +1. (2.13). !. 1 +1 ±irx e para una energı́a E = Vo − vf ~r; r < 0 Ψ− (x) = √ 2 −1. 2.3.1.. (2.14). E > 0 ; E < Vo. Suponiendo una onda incidente desde la izquierda, tendremos una posible reflexión y transmisión. En la tercera zona no es fı́sicamente posible que exista una onda propagante desde la derecha, por lo que esta posibilidad es eliminada. Dentro del pozo tendremos ondas propagantes en ambas direcciones (ver fig. 2.2). Las funciones de onda son !. Ψ(x < 0) =. !. 1 +1 ikx 1 +1 −ikx √ e + r√ e 2 +1 2 −1 !. !. 1 +1 −ilx 1 +1 ilx Ψ(0 < x < a) = c1 √ e + c2 √ e 2 +1 2 −1 !. 1 +1 ikx Ψ(x > a) = t √ e 2 +1. (2.15). donde r, c1 , c2 , t son coeficientes de probabilidad. Exigiendo continuidad en la función de onda se obtienen los diferentes coeficientes. 11.
(12) Figura 2.2: Ondas propagantes para una energı́a inferior al potencial En la primera unión obtenemos: (. 1 + r = c1 + c2 1 = c1 1 − r = c1 − c2 r = c2. (2.16). En la segunda unión obtenemos: (. c1 e−ila + c2 eila = teika c1 e−ila = teika c1 e−ila − c2 eila = teika c2 = 0. (2.17). Vemos que la onda reflejada se anula, siendo la onda incidente totalmente transmitida. Calculando el flujo transmitido de la función de onda se comprueba que su valor es constante: . j i = vf . jt = vf. 1 √ 2. 1 √ 2. 2. 2. . e−ikx 1 1. 0 1. !. 1 0. 0 1 eila −ikx 1 1 e 1 0 e−ika. !. !. 1 ikx e 1 !. !. = vf. 1 ikx e−ila e 1 eika. (2.18). !. = vf. (2.19). En consecuencia, la transmisión toma un valor constante e independiente de la energı́a. T =. ji =1 jt. (2.20). Analizando el resultado obtenido, vemos cómo el espinor de la partı́cula se conserva, quedándose el electrón en la autofunción con flujo hacia la derecha. Por ello, tanto el flujo incidente como el transmitido tienen el mismo valor, ya que el electrón conserva su movimiento y, por lo tanto, conserva su espinor. Esto permite obtener una transmisión perfecta, observando el Túnel de Klein perfecto.. 2.3.2.. E > 0 ; E > Vo. Nuevamente se supone una onda incidente desde la izquierda, obteniéndose una posible reflexión y transmisión. En la tercera zona no es fı́sicamente posible que exista una onda propagante incidente desde la derecha, por lo que se elimina esta posibilidad (ver fig. 2.3). 12.
(13) Figura 2.3: Ondas propagantes para una energı́a superior al potencial Las funciones de onda para este caso son las siguientes: !. Ψ(x < 0) =. !. 1 +1 −ikx 1 +1 ikx √ e + r√ e 2 +1 2 −1 !. !. 1 +1 imx 1 +1 −imx Ψ(0 < x < a) = c1 √ e + c2 √ e 2 +1 2 −1 !. 1 +1 ikx Ψ(x > a) = t √ e 2 +1. (2.21). donde r, c1 , c2 , t son coeficientes de probabilidad. Cabe mencionar que las funciones de onda del problema son casi idénticas al caso anteriormente estudiado; solamente difieren en el signo de la constante definida debido a las condiciones energéticas que deben cumplir en cada situación. Exigiendo la continuidad de la función se hallan los diferentes coeficientes del sistema. Para la primera unión obtenemos: ( 1 + r = c1 + c2 1 = c1 (2.22) 1 − r = c1 − c2 r = c2 En la segunda unión obtenemos: (. c1 eima + c2 e−ima = teika c1 eima = teika c1 eima − c2 e−ima = teika c2 = 0. (2.23). La onda reflejada se anula, siendo la onda incidente totalmente transmitida. Calculando el flujo transmitido se comprueba que su valor es igual a vf : . j i = vf . j t = vf. 1 √ 2. 1 √ 2. 2. 2. −ikx. e. . 1 1. 0 1. !. 1 0. 0 1 e−ira −ikx 1 1 e 1 0 e−ika. !. !. 1 ikx e 1 !. !. = vf. 1 ikx eira e 1 eika. (2.24). !. = vf. (2.25). La transmisión toma un valor constante igual a la unidad, observando nuevamente el Túnel de Klein perfecto. ji T = =1 (2.26) jt 13.
(14) 2.4.. Onda transmitida. Diferencias con el problema de scattering cuántico no relativista. Cuando una partı́cula no relativista con masa incide sobre un pozo de potencial ésta se verá reflejado o transmitido dependiendo de su valor energético. Si la energı́a incidente es inferior al potencial aplicado, existirá una cierta probabilidad de transmitirse por efecto túnel, superando la barrera potencial a través de enlazarse con ondas evanescentes. No obstante, las autofunciones del sistema del grafeno para energı́as menores que la barrera potencial no contemplan la existencia de ondas evanescentes, siendo éstas todas ondas propagantes. A priori se podrı́a pensar que la ausencia de ondas evanescentes impedirı́a la aparición del efecto túnel, imposibilitando la transmisión de las ondas; resulta realmente sorprendente cómo lo observado resulta ser el efecto contrario. No sólo existe una probabilidad de que la onda se transmita a valores energéticos menores que el potencial, sino que la reflectancia es totalmente nula. La onda sobrepasa la barrera totalmente, a pesar de no existir ondas evanescentes. Eso se produce gracias a la existencia de una energı́a de gap nula entre las diferentes ramas energéticas de la lámina de grafeno, permitiendo una transmisión perfecta a través de las diferentes bandas, sin necesidad, como sucede para el efecto Túnel de Klein, de potenciales elevados. Aplicar un potencial no afecta a las propiedades de scattering de un hipotético grafeno unidimensional, ya que los electrones pueden transmitirse sin problemas a otras ramas debido al gap nulo.. 14.
(15) Capı́tulo 3. Problema 2D. Funciones de onda 3.1.. Ecuación autovalores para el caso bidimensional. Se resolverá el problema de autovalores bidimensional [13] utilizando el Hamiltoniano de la ec. (1.10). ĤΨn = En Ψn (3.1) con Ĥ = vf σ̂p̂ = vf (σ̂x p̂x + σ̂y p̂y ), siendo σ̂x , σ̂y las matrices de Pauli en dirección x e y; p̂x , p̂y son los operadores momento lineal en la dirección x e y, respectivamente. Aplicando el Hamiltoniano sobre las funciones de onda acaba llegándose a la expresión: vf. 0 p̂x − ip̂y p̂x + ip̂y 0. !. Ψ1 (x, y) Ψ2 (x, y). !. Ψ1 (x, y) =E Ψ2 (x, y). !. (3.2). El cálculo de las autofunciones para el caso bidimensional es similar al caso 1D, simplemente se añade la dependencia en la dirección y. Aplicando separación de variables se resuelve el sistema de ecuaciones, obteniéndose las autofunciones del grafeno para el caso bidimensional (para un cálculo más detallado, véase Apéndice B): Ψ(x, y) = Ae. ±ikr. a b. !. (3.3). con los autovalores E = ±vf ~(kx2 + ky2 )1/2 = ±vf ~|k|. (3.4). A representa el factor de normalización, r = (x, y) es el vector de posición y k es el vector de onda, definido como k = (kx , ky ). Las componentes del espinor (a y b) se calculan a partir de los valores que tome el autovalor. En el caso bidimensional la energı́a depende linealmente del módulo del vector de ondas.. 3.1.1.. Autofunciones. En el caso unidimensional solamente existen dos posibilidades para las componentes del espinor en función del valor energético (dos posibles valores, véase ecs. (2.3) y (2.4)). Sin embargo, en el sistema bidimensional las posibilidades de las componentes aumentan; la existencia de dos parámetros para la energı́a (kx , ky ) posibilita una mayor combinación de estos. Las combinaciones se pueden visualizar con una representación en los cuatro cuadrantes, donde las relaciones entre los diferentes espinores queda fijada por la relación entre los ángulos, tal como ilustra la fig. 3.1. A través de la ecuación (3.2), sustituyendo los autovectores por las funciones de onda del grafeno, se consigue el siguiente sistema de ecuaciones (±kx ∓ iky )b = vEf ~ a (±kx ± iky )a = vEf ~ b 15. (3.5).
(16) Figura 3.1: Posibles combinaciones de los vectores de onda. Los espinores quedan determinados según al cuadrante al que pertenecen. que nos permitirá obtener las diferentes componentes del espinor para los diferentes valores del vector de ondas. Para energı́as positivas, las autofunciones del grafeno bidimensional son las siguientes: !. Ψ(x, y) =. 1 1 √ eiky y eikx x iφ , e 2. Ψ(x, y) =. 1 1 √ eiky y eikx x −iφ , −e 2. Ψ(x, y) =. 1 1 √ eiky y eikx x , −eiφ 2. Ψ(x, y) =. 1 1 √ eiky y eikx x −iφ , e 2. kx > 0, ky > 0. (3.6). !. kx < 0, ky > 0. (3.7). !. kx < 0, ky < 0. (3.8). kx > 0, ky < 0. (3.9). !. donde φ representa el ángulo entre las componentes del vector de ondas tan φ = |ky |/|kx | (el ángulo φ pertenece al primer cuadrante). Para energı́as negativas, el método de operación es el mismo. Las autofunciones obtenidas son las mismas que para energı́as positivas exceptuando las componentes del espinor, que tendrán signo opuesto. Las autofunciones del grafeno bidimensional son: !. Ψ(x, y) =. 1 1 √ eiky y eikx x , −eiφ 2. Ψ(x, y) =. 1 1 √ eiky y eikx x −iφ , e 2. Ψ(x, y) =. 1 1 √ eiky y eikx x iφ , e 2. Ψ(x, y) =. 1 1 √ eiky y eikx x −iφ , −e 2. kx > 0, ky > 0. (3.10). kx < 0, ky > 0. (3.11). !. !. kx < 0, ky < 0. (3.12). !. 3.1.2.. kx > 0, ky < 0. (3.13). Ondas evanescentes. A diferencia del caso unidimensional, en 2D se puede encontrar ondas evanescentes cuando las componentes del vector de onda sean imaginarias (en una dimensión no existe esta posibilidad, ya que implicarı́a energı́as imaginarias). Es inmediato comprobar la variación dentro de la función de onda ! ±iky y ±kx x a Ψ(x, y) = Ae e (3.14) b 16.
(17) Supondremos que la componente imaginaria se corresponde a la dirección x, mientras que ky continua siendo real (la elección de no modificar ky proviene de aplicar un potencial barrera únicamente en la dirección x). La existencia de funciones evanescentes en el grafeno no resultan de gran utilidad en términos de transmisiones, ya que el flujo de las ondas evanescentes es nulo. Componente kx imaginaria positiva Definiremos la componente del vector de q ondas en dirección x como kx = iκ, κ ∈ R. De esta forma, la energı́a vendrá dada por E = ±vf ~ ky2 − κ2 . Operando la expresión (3.2) y utilizando como autofunciones ondas evanescentes, se llega fácilmente al siguiente sistema de ecuaciones (iκ − iky )b = (iκ + iky )a =. E vf ~ a E vf ~ b. q. = ± ky2 − κ2 a q. = ± ky2 − κ2 b. ⇒. a = a. (3.15). κ+ky a ky2 −κ2. b = ±i √. Asignamos la unidad a la primera componente del espinor. De esta forma, la función de onda que se obtiene es ! 1 iky y −κx q Ψ(x, y) = Ae e (3.16) k +κ ±i kyy −κ donde A es el factor de normalización. La función de onda decae a medida que x crece. Componente kx imaginaria negativa q. Por otra parte, si kx = −iκ, κ ∈ R, la energı́a vendrá dada por E = ±vf ~ ky2 − κ2 . Siguiendo el mismo recorrido de cálculo que en el caso anterior se llega a la función de onda Ψ(x, y) = Be. q1. iky y κx. e. ±i. !. ky −κ ky +κ. (3.17). donde B es el factor de normalización. La función de onda decae a medida que x decrece. Ondas evanescentes, E = 0 Otra posibilidad de encontrar ondas evanescentes es cuando la energı́a incidente de la partı́cula es nula (caso ideal) E = 0 → ky2 + kx2 = 0; kx = ±iky (3.18) Las autofunciones que se obtienen para esta situación son !. 0 1. Ψ(x, y) = Aeiky y e−ky x. Ψ(x, y) = Ae. 3.2. 3.2.1.. iky y ky x. e. 1 0. para kx = iky. (3.19). para kx = −iky. (3.20). !. Flujo cuántico bidimensional Expresión flujo bidimensional. Como se ha visto anteriormente, a partir de la ecuación de continuidad se obtiene una expresión del flujo, calculando las diferentes derivadas temporales de la función de onda (para un desarrollo más detallado, véase al Apéndice C ). Para el problema bidimensional, la expresión del flujo obtenida es j ≡ hĵi = vf (hΨ|σ̂x |Ψiî + hΨ|σ̂y |Ψiĵ) 17. (3.21).
(18) 3.2.2.. Relación entre espinores y el movimiento. Utilizando la expresión (3.21) estudiaremos el movimiento que sigue un electrón que se encuentre en los autoestados del grafeno. Nos restringiremos al primer cuadrante, ya que el formalismo para el resto de autofunciones es el mismo y restarı́a importancia al análisis de la expresión obtenida. La función de onda que utilizaremos es 1 1 Ψ(x, y) = √ eikr iφ e 2. !. (3.22). Aplicando sobre ella la expresión del flujo se consigue: 0 1 1 −ikr 1 e−iφ e jx = vf hΨ|σ̂x |Ψi = vf 1 0 2 !. 0 −i 1 −ikr 1 e−iφ jy = vf hΨ|σ̂x |Ψi = vf e i 0 2. !. !. 1 eikr eiφ !. 1 eikr eiφ. !. = vf cos φ. (3.23). !. = vf sin φ. (3.24). A diferencia del caso unidimensional, el flujo ya no se encuentra ı́ntimamente ligado al espinor en el que se halle el electrón; en el caso bidimensional, el flujo vendrá marcado por el ángulo que forman las componentes del vector de ondas.. 3.2.3.. Flujo de ondas evanescentes. Anteriormente se ha comentado que las ondas evanescentes carecen de importancia en el problema de scattering, ya que no llegan a transmitirse. Esto es debido a que el flujo asociado a estas ondas es nulo, impidiendo su propagación. Utilizando la expresión (3.21) es fácilmente demostrable que el flujo asociado a la dirección x (dirección en la que posteriormente aplicaremos un potencial constante) es totalmente nulo para ondas evanescentes (jx = 0), debido a que las componentes imaginarias se cancelan entre ellas. Para el caso E = 0 el movimiento asociado a los electrones es totalmente nulo en ambas direcciones (jx = 0, jy = 0).. 18.
(19) Capı́tulo 4. Problema 2D. Potencial escalón y barrera 4.1.. Potencial escalón. Autofunciones del grafeno dentro del potencial. Aplicaremos un potencial escalón constante únicamente en la dirreción x. Esto supone añadir un término constante al Hamiltoniano del grafeno Ĥ = vf σ̂p̂ + Vo (x);. Vo (x) constante. (4.1). Expresado de forma matricial Ĥ = vf. 0 px − ipy px + ipy 0. !. + V o 1 = vf. Vo0 px − ipy px + ipy Vo0. !. (4.2). donde se ha definido Vo0 = Vo /vf . La ecuación de autovalores queda como vf. Vo0 px − ipy px + ipy Vo0. !. Ψ1 (x, y) Ψ2 (x, y). !. Ψ1 (x, y) =E Ψ2 (x, y). !. (4.3). Las autofunciones dentro de la barrera de potencial son similares a las calculadas fuera de ésta (simplemente se ha añadido un término constante al Hamiltoniano); sólo se verá modificado el vector de ondas, ya que los autovalores serán distintos. Las funciones de onda dentro de la barrera potencial son: ! iqr a Ψ(x, y) = Ae (4.4) b siendo A el vector de normalización, q el vector de ondas y a, b las componentes del espinor. Los autovalores para las funciones de onda del grafeno dentro de la zona de potencial son: E = Vo ∓ vf ~(qx2 + qy2 )1/2. (4.5). Se procederá con el cálculo de las diferentes componentes del espinor de acuerdo a los valores energéticos (mayor o menor que el potencial) y el signo asociado a las componentes del vector de ondas. Se utilizará diferentes parámetros del vector de ondas dependiendo de la energı́a. Ası́, el vector de ondas será definido como q para energı́as menores que el potencial y como l para energı́as mayores que el potencial. 19.
(20) 4.1.1.. Energı́as positivas. E < Vo. La energı́a toma el valor E = Vo − vf ~(qx2 + qy2 )1/2 . Operando el Hamiltoniano (4.1) sobre la función de onda se llega al siguiente sistema de ecuaciones: Vo0 a + ~(±qx ∓ iqy )b = E/vf a Vo0 b + ~(±qx ± iqy )a = E/vf b. (4.6). Utilizando los diferentes valores del vector de ondas obtenemos la expresión de la función de onda !. Ψ(x, y) =. 1 1 √ eiqy y eiqx x iθ , −e 2. Ψ(x, y) =. 1 1 √ eiqy y eiqx x −iθ , e 2. Ψ(x, y) =. 1 1 √ eiqy y eiqx x iθ , e 2. Ψ(x, y) =. 1 1 √ eiqy y eiqx x , −e−iθ 2. qx > 0, qy > 0. (4.7). qx < 0, qy > 0. (4.8). !. !. qx < 0, qy < 0. (4.9). !. qx > 0, qy < 0. (4.10). donde el ángulo θ expresa la relación entre las componentes del vector de ondas, tan θ = |qy |/|qx |.. 4.1.2.. Energı́as positivas. E > Vo. La energı́a toma el valor E = Vo + vf ~(lx2 + ly2 )1/2 . Operando el Hamiltoniano (4.1) sobre la función de onda se llega al siguiente sistema de ecuaciones: Vo0 a + ~(±lx ∓ ily )b = E/vf a Vo0 b + ~(±lx ± ily )a = E/vf b. (4.11). Utilizando los diferentes valores del vector de ondas obtenemos la expresión de la función de onda !. Ψ(x, y) =. 1 1 √ eily y eilx x iα , e 2. Ψ(x, y) =. 1 1 √ eily y eilx x , −e−iα 2. Ψ(x, y) =. 1 1 √ eily y eilx x iα , −e 2. Ψ(x, y) =. 1 1 √ eily y eilx x −iα , e 2. lx > 0, ly > 0. (4.12). !. lx < 0, ly > 0. (4.13). !. lx < 0, ly < 0. (4.14). lx > 0, ly < 0. (4.15). !. donde el ángulo α expresa la relación entre las componentes del vector de ondas, tan α = |ly |/|lx |.. 4.2.. Problema de scattering aplicando un potencial escalón. Resolveremos el problema de scattering asociado a un potencial constante aplicado en la dirección x: ( Vo x≥0 V (x) = (4.16) 0 x≤0 20.
(21) Como en el caso anterior, consideramos una onda propagante desde la izquierda, siendo fı́sicamente imposible por tanto la aparición de una onda propagante incidente desde la derecha. Como ya se ha dicho, a diferencia del caso 1D donde el flujo quedaba determinado por el autoestado, en 2D hay asociado un ángulo dependiente del vector de ondas. Ası́ pues, será necesario conocer el flujo de cada autofunción a fin de conocer el movimiento de ésta. Debido a que el potencial aplicado únicamente afecta la dirección x de nuestro plano, podemos afirmar que la componente del vector de ondas en la dirección perpendicular y no se verá afectado por invariancia translacional. Esto permite formar una relación entre las componentes en las diferentes zonas de estudio, estableciendo una relación entre los ángulos.. 4.2.1.. Energı́a menor que el potencial, E < Vo. La componente y del vector de ondas se mantendrá inalterada por la aplicación de un potencial constante. Esto permite fijar una igualdad entre las diferentes componentes y las energı́as: k y = qy q E = kx2 + ky2 vf ~. ky E sin φ = q ⇒ ky = sin φ vf ~ kx2 + ky2 E − Vo q 2 = qx + qy2 vf ~ qy E − Vo sin θ sin θ = q ⇒ qy = − 2 2 vf ~ qx + qy −. (4.17). Recordamos que φ y θ son los ángulos entre las dos componentes del vector de ondas en la región con V = 0 y V 6= 0, respectivamente. Pueden interpretarse como los ángulos de entrada y de salida del electrón. A partir de (4.17) obtenemos la siguiente igualdad entre los ángulos de cada zona E sin φ = (Vo − E) sin θ (4.18) Además, la invariabilidad de la componente y nos restringe las funciones de onda que se pueden utilizar, ya que en el proceso de scattering no puede variar el signo de ky . Las funciones que encontramos para este primer problema son: !. Ψ(x < 0, y) =. !. 1 1 1 1 iky y −ikx x √ eiky y eikx x + r √ e iφ −iφ e 2 e 2 −e. (4.19). !. 1 1 iqy y iqx x Ψ(x > 0, y) = t √ e −iθ e 2 e. (4.20). Exigiendo continuidad en la función de onda obtenemos el siguiente sistema iφ. −iθ. r = ee−iθ−e 1+r =t +e−iφ iφ −iφ −iθ eiφ +e−iφ e − re = te t = e−iθ +e−iφ (. (4.21). Podemos apreciar la primera diferencia con el caso unidimensional, donde la transmisión era perfecta. En esta ocasión, habrá un parte de la onda que se verá reflejada. A partir de los flujos podemos calcular la transmisión y reflexión T =. jtrans cos (2φ) + 1 cos θ = jinc cos (φ − θ) + 1 cos φ. (4.22). Cuando el ángulo de incidencia sea nulo (φ = 0), la onda entra perpendicularmente al potencial establecido, obteniendo una transmisión perfecta, es decir, recuperamos el caso 1D. 21.
(22) 4.2.2.. Energı́a mayor que el potencial, E > Vo. Al igual que sucedı́a en el caso anterior, la componente y del vector de ondas se mantendrá inalterada por la aplicación de un potencial constante. Esto permite establecer una igualdad entre las diferentes componentes y las energı́as: ky = ly q E = kx2 + ky2 vf ~. ky E sin φ = q ⇒ ky = sin φ vf ~ kx2 + ky2 E − Vo q 2 = lx + ly2 vf ~ sin α = q. ly lx2 + ly2. ⇒ ly =. E − Vo sin α vf ~. (4.23). Obtenemos la siguiente igualdad entre los ángulos de cada zona, pudiéndose interpretar como los ángulos de entrada y de salida del electrón E sin φ = (E − Vo ) sin α. (4.24). La invariabilidad de la componente y restringe las funciones de onda permitidas en cada zona, ya que en el proceso de scattering no puede variar el signo de ky . Las funciones que encontramos para el segundo problema son: !. Ψ(x < 0, y) =. !. 1 1 1 1 iky y −ikx x √ eiky y eikx x + r √ e iφ −iφ e 2 e 2 −e. (4.25). !. 1 1 ily y ilx x Ψ(x > 0, y) = t √ e iα e e 2. (4.26). Exigiendo continuidad en la función de onda obtenemos el siguiente sistema iφ. iα. −e r = eeiα +e 1+r =t −iφ iφ eiφ − re−iφ = teiθ t = eiα+e−iφ e +e−iφ. (. (4.27). Nuevamente, se observa como el coeficiente de reflexión no es nulo, existiendo una cierta probabilidad de que la onda se refleje. A partir de los flujos podemos calcular la probabilidad de transmisión y reflexión jtrans cos (2φ) + 1 cos α T = = (4.28) jinc cos (φ + α) + 1 cos φ Cuando el ángulo de incidencia sea nulo (φ = 0), la onda entra perpendicularmente al potencial establecido, obteniendo una transmisión perfecta (recuperamos el caso 1D).. 22.
(23) Figura 4.1: Transmisión y reflexión para Figura 4.2: Transmisión y reflexión para energı́as inferiores al potencial. No se observa energı́as superiores al potencial. Aparece un ningún ángulo crı́tico inferior a φc = π/2 ángulo crı́tico antes de que φ = π/2. 4.3.. Ángulos crı́ticos. Limitaciones de potencial y energı́a. A partir de la conservación de la componente y del vector de ondas se obtienen una serie de relaciones entre los ángulos de cada zona. No obstante, analizando esas expresiones se observan ciertas limitaciones o restricciones de acuerdo a la energı́a y el potencial. Además, a partir de las expresiones de la probabilidad de transmisión se puede calcular aquellos ángulos para los cuales el valor de ésta es nulo. Para energı́as menores que el potencial, el resultado para la transmisión y la relación energética es: cos (2φ) + 1 cos θ T = (4.29) cos (φ − θ) + 1 cos φ E sin φ = (Vo − E) sin θ. (4.30). Analizando la transmisión, observamos como para θ = π/2 y φ = π/2 el valor de T se anula. La segunda situación es fácilmente comprensible, pues corresponde a incidir paralelamente a la cara del potencial (dirreción y), sin llegar a atravesarlo. Para la primera situación, se tiene que la relación energética satisface: E sin φc = Vo − E; sin φc =. Vo −1 E. (4.31). Cuando el ángulo de incidencia tome el valor crı́tico φc , la transmisión será nula. Además, los valores E y Vo se encuentran acotados por el rango de las funciones trigonométricas: sin θ =. E E sin φ ⇒ sin φ < 1; Vo − E Vo − E. (4.32). Dependiendo del valor de la energı́a, el término F = VoE−E necesitará de un factor (sin φ, ec. (4.32)), a fin de satisfacer la condición impuesta. Cuando E < Vo /2, F siempre será menor que uno y por lo tanto no necesita encontrarse acotado por sin φ para satisfacer la relación. De esta forma, φ recorre libremente cualquier valor hasta llegar a φ = π/2, momento en que la probabilidad de transmisión es cero. Por lo tanto, no hay ningún ángulo crı́tico de incidencia. Este fenómeno se puede apreciar en la fig. 4.1, donde el valor energético es menor que la mitad del potencial aplicado. De esta forma, la condición de acotamiento se cumple siempre sin necesidad de la aparición de un ángulo crı́tico, permitiendo que φ recorra todos los valores. Sin embargo, si Vo /2 ≤ E ≤ Vo el término F siempre será mayor que uno, necesitando que le acompañe sin φ a fin de acotarle. Esto origina la existencia de un ángulo crı́tico φc para el cual valores mayores de φ, φ < π/2 la transmisión se anula. 23.
(24) Para energı́as mayores que el potencial, el resultado para la transmisión y la relación energética es cos (2φ) + 1 cos α T = (4.33) cos (φ + α) + 1 cos φ E sin φ = (E − Vo ) sin α. (4.34). Observamos que para α = π/2 y φ = π/2 el valor de T se anula. La primera situación implica E sin φ ≤ 1, un ángulo de incidencia crı́tico sin φc = 1 − VEo . La relación energética obliga que E−V o E ya que el término E−Vo no puede garantizarlo por sı́ mismo, necesitando que la función seno la acote y generando otra vez un ángulo crı́tico, el ya obtenido a partir de α = π/2. Este fenómeno queda ilustrado en la fig. 4.2, donde la transmisión se anula para un ángulo crı́tico menor que φ = π/2 ya que los términos energéticos no son suficientes para satisfacer la condición. Sin embargo, para esta situación ocurre un efecto curioso, ya que para E Vo los ángulos se igualan, obteniendo por tanto una transmisión perfecta T = 1 (en este caso, recuperamos el caso clásico). 4.4.. Problema de scattering aplicando un potencial barrera. El siguiente paso es estudiar la probabilidad de transmisión y reflexión para un potencial de tipo barrera. Como el objetivo del grafeno es estudiar el efecto Túnel de Klein, consideramos energı́as menores que el potencial en cuyo caso existe una solución analı́tica de curiosa fenomenologı́a [14], [15]. Para energı́as menores que el potencial, tenemos las siguientes funciones de onda !. Ψ(x < 0, y) =. 1 1 1 1 √ eikx x eiky y iφ + r √ e−ikx x eiky y e −e−iφ 2 2. 1 1 Ψ(0 < x < a, y) = c1 √ e−iqx x eiqy y −iθ e 2 1 1 Ψ(x > a, y) = t √ eikx x eiky y iφ e 2. !. !. 1 1 + c2 √ eiqx x eiqy y iθ −e 2. (4.35) !. (4.36). !. (4.37). Aplicándose continuidad de onda en los puntos de unión obtenemos el siguiente sistema 1 + r = c1 + c2 eiφ − re−iφ = c1 e−iθ − c2 eiθ c1 e−iqx a + c2 eiqx a = teikx a −iq c1 e x a e−iθ − c2 eiqx a eiθ = teikx a eiφ. (4.38). La solución es analı́tica, aunque un poco larga. A modo de ejemplo, escribimos la amplitud de reflexión: r = 2ieiφ sin (qx a). −e−iqx a cos (φ. sin φ + sin θ + θ) − eiqx a cos (φ − θ) − 2i sin (qx a). (4.39). Si aplicamos un potencial mucho más grande que la energı́a (Vo E) el ángulo de salida θ es prácticamente nulo y el flujo transmitido es perpendicular a la intercara del potencial: E sin φ = sin θ ⇒ θ ≈ 0 (Vo − E). (4.40). 2ieiφ sin (qx a) sin φ −e−iqx a cos φ − eiqx a cos φ − 2i sin (qx a). (4.41). Vo E → La ec. (4.39) queda: r=. 24.
(25) Figura 4.3: Representación de la transmisión en función del ángulo, utilizando como valores a = 100 nm, Vo = 190 meV , E = 80 meV . Se pueden apreciar los picos de resonancias con T = 1 para ciertos valores de φ siendo entonces la probabilidad de reflexión y transmisión: R=. sin2 (qx a) sin2 φ 1 − cos2 (qx a) sin2 φ. (4.42). T =. cos2 φ 1 − cos2 (qx a) sin2 φ. (4.43). Analizando la probabilidad de transmisión, observamos que para valores qx a = πN, N = 0, ±1... la barrera se vuelve transparente (T = 1, ver fig. 4.3); es decir, la onda se transmite con probabilidad 1. Este efecto de resonancia se produce gracias a la conservación del espinor, manteniéndose el electrón en el mismo autoestado, tal como se observó para el caso unidimensional.. 25.
(26) Capı́tulo 5. Conclusiones En este trabajo se ha analizado cómo las láminas de grafeno permiten observar el efecto relativista denominado Túnel de Klein sin necesidad de grandes campos aplicados, debido a la nula existencia de gap entre las bandas y el comportamiento de los electrones como fermiones relativistas sin masa. Primero se ha realizado un estudio ideal unidimensional, facilitando el estudio de los fenómenos y la compresión de estos. Para este caso, se obtienen probabilidades de transmisión perfectas por parte de los electrones y el movimiento de estos perfectamente determinado por el espinor en el cual se encontraban. En dos dimensiones, el primer cambio se notaba en el flujo, el cual ya no se encuentra ligado a los espinores de Dirac, sino que existe una dependencia con el vector de ondas y el ángulo que forman sus componentes. El grafeno bidimensional también presenta más cambios respecto al caso unidimensional, observando posibles reflexiones (la transmisión ya no es perfecta). Se ha analizado el caso potencial barrera y el caso de potencial escalón para energı́as menores que el potencial aplicado, observando resonancias en la transmisión de la partı́cula. El estudio del potencial barrera ha ido más allá y se han encontrado diferentes ángulos crı́ticos de incidencia, dependientes de los valores energéticos y del potencial, para los cuales la onda deja de transmitirse. Por último destacar la gran utilidad que presenta las láminas bidimensionales de carbono, las cuales, como se ha podido ver a lo largo de este trabajo, nos permiten observar efectos relativistas a bajas energı́as, sin necesidad de enormes y costosos campos eléctricos aplicados, gracias a la relación de dispersión obtenida para los electrones.. 26.
(27) Apéndice A. Sistema unidimensional A.1.. Autofunciones del sistema grafeno. Se ha visto en el Capı́tulo 2 que el Hamiltoniano y las autofunciones del grafeno son: 0. Ĥ = vf. ~ d i dx. ~ d i dx. !. ; Ψ(x) =. 0. Ψ1 (x) Ψ2 (x). !. (A.1). convirtiéndose el problema de autovalores en un problema matricial vf. 0 ~ d i dx. ~ d i dx. 0. !. !. Ψ1 (x) Ψ2 (x). !. Ψ1 (x) =E ; Ψ2 (x). !. vf ~i Ψ02 (x) vf ~i Ψ01 (x). !. Ψ1 (x) =E Ψ2 (x). (A.2). Vemos que se obtiene un sistema de ecuaciones acopladas. Derivando cada ecuación respecto a la variable x se consigue separar el sistema, logrando dos ecuaciones independientes: Ψ001 (x) = −. E2 Ψ1 (x) (vf ~)2. Ψ002 (x) = −. E2 Ψ2 (x) (vf ~)2. (A.3) (A.4). Las ecuaciones encontradas son idénticas para las dos componentes del espinor. De esta manera, el espinor del grafeno se expresará a partir de un término común, obtenido a partir de la ecuación anteriormente obtenida, y unos valores constantes que representarán las diferentes componentes del espinor, siendo estas constantes determinadas a partir de los valores energéticos que posee la energı́a (más adelante se estudiará cómo calcular las expresiones para las constantes). Ası́ pues, sólo trabajamos con una única ecuación: Ψ00 (x) = −. E2 Ψ(x) (vf ~)2. Ψ00 (x) = −k 2 Ψ siendo la constante k k2 =. E2 (vf ~)2. (A.5). (A.6). La solución al problema es expresar el término común Ψ como una exponencial (Ψ(x) = erx ), obteniendo el resultado visto en el Capı́tulo 2 : Ψ(x) = Ae±ikx 27. (A.7).
(28) la función de onda total estará formada por el término común más las constantes caracterı́sticas de cada componente del espinor ! ±ikx a Ψ(x) = Ae (A.8) b La energı́a vendrá determinada por el parámetro k, que toma cualquier valor E = ±vf ~k. A.2.. (A.9). Componentes del espinor de Dirac. Una vez encontradas las autofunciones del grafeno, es fácil calcular las diferentes componentes que puede tomar el espinor, determinadas a partir de los diferentes valores energéticos. Operando el Hamiltoniano sobre las ecuaciones de onda, llegamos al siguiente sistema de ecuaciones: vf. 0 ~ d i dx. ~ d i dx. 0. !. !. !. a ikx a ikx e =E e b b. ~ vf bik = Ea i ~ vf aik = Eb i. (A.10). (A.11). Utilizando los diferentes valores que toma la energı́a obtenemos: E = +vf ~k ⇒ a = b. (A.12). E = vf ~k ⇒ a = −b. (A.13). Asignando a = 1, conseguimos las diferentes componentes del espinor de Dirac. Este sencillo procedimiento es de gran utilidad que se repetirá en varias ocasiones a lo largo del trabajo.. 28.
(29) Apéndice B. Sistema bidimensional: autofunciones El Hamiltoniano del grafeno en un sistema bidimensional toma la forma Ĥ = vf σ̂p̂ = vf (σ̂x p̂x + σ̂y p̂y ). (B.1). El problema de autovalores se convierte en un problema matricial vf. 0 p̂x − ip̂y p̂x + ip̂y 0. !. Ψ1 (x, y) Ψ2 (x, y). !. Ψ1 (x, y) =E Ψ2 (x, y). !. (B.2). Aplicamos separación de variables. Las funciones de onda se expresan como Ψ1 (x, y) = X1 (x)Y2 (y). Ψ2 (x, y) = X2 (x)Y2 (y). De esta forma, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones acopladas E X2 Y2 −i(∂x + ∂y )X1 Y1 = vf ~ E −i(∂x − ∂y )X2 Y2 = X1 Y1 vf ~. (B.3). (B.4). Sustituyendo una dentro de la otra llegamos a encontrar la misma ecuación para las dos incógnitas. Al igual a lo que sucedı́a en una dimensión, la función de onda vendrá dada por un término común multiplicando a las diferentes componentes del espinor, determinadas a partir de los autovalores. El sistema encontrado es el siguiente: 00. 00. −X Y − Y X =. E vf ~. !2. XY. (B.5). Como es habitual, la forma de resolver este tipo de ecuaciones es suponer dos términos constantes, de forma que −. X 00 = kx2 X E vf ~. −. Y 00 = ky2 Y. (B.6). !2. = kx2 + ky2. (B.7). Suponiendo nuevamente funciones exponenciales para las variables, llegamos a obtener las funciones de onda del grafeno en el sistema bidimensional !. Ψ(x, y) = X(x)Y (y) = Ae. ±ikr. a b. (B.8). donde A representa el factor de normalización, r representa el vector posición, k es el vector de ondas definido como k = (kx , ky ). Los autovalores del sistema son E = ±vf ~(kx2 + ky2 )1/2 (B.9) 29.
(30) Apéndice C. Flujo de probabilidad La ecuación de continuidad de la mecánica cuántica expresa una conservación del flujo de la probabilidad ∂|Ψ|2 +∇·j=0 (C.1) ∂t A partir del primer término podremos obtener una expresión para el flujo j. Para ello, necesitamos calcular las diferentes derivadas temporales de la función de onda ∂Ψ ∗ ∂Ψ∗ ∂|Ψ|2 = Ψ + Ψ ∂t ∂t ∂t. (C.2). Utilizando la ecuación de Schrödinger i~. ∂Ψ = ĤΨ ∂t. (C.3). con Ĥ = vf σ̂p̂, se obtienen las diferentes piezas de la derivada temporal 1 ∂Ψ = ĤΨ = −vf (σ̂x ∂x + σ̂y ∂y )Φ = −vf σ̂∇Ψ ∂t i~. (C.4). ∂Ψ∗ 1 = Ĥ † Ψ∗ = −vf (σ̂x ∂Ψ∗ + σ̂y ∂y Ψ∗ = −vf σ̂∇Ψ∗ (C.5) ∂t −i~ Con los resultados anteriores conseguimos la expresión del flujo cuántico, idéntificando los diferentes términos con la ecuación de continuidad ∂|Ψ|2 = −vf (σ̂∇Ψ∗ )Ψ − vf (σ̂∇Ψ) = −vf σ∇|Ψ|2 ∂t. (C.6). j ≡ hĵi = vf (hΨ|σ̂x |Ψiî + hΨ|σ̂y |Ψiĵ). (C.7). Este resultado se puede trasladar a una dimensión, teniendo en cuenta únicamente la dirección x j ≡ hĵi = vf hΨ|σ̂x |Ψi (C.8). 30.
(31) Bibliografı́a [1] Gerald D. Mahan, Quantum Mechanics in a Nutshell, 1-10 (Princeton University Press, Oxfordshire, 2009) [2] Griffiths, D.J., Introduction to quantum mechanics, 1-11 (Prentice Hall, New Jersey, 1995) [3] Bernd Thaller, The Dirac Equation, 1-8 (Springer-Verlag, Berlin, 1965) [4] Walter Greiner, Relativistic Quantum Mechanics, Wave Equations, 325-333 (Springer, Berlin, 2000) [5] Su, R. K. Siu, G. C. Chou, X., Barrier penetration and Klein paradox, J. Phys. A 26, 1001 (1993) [6] Dombey, N. Calogeracos, Seventy years of the Klein paradox, Phys. Rep. 315, 41 (1999) [7] Calogeracos, A. Dombey, N., History and physics of the Klein paradox, Contemp. Phys. 40, 313 (1999) [8] Ashcroft, N. W. Mermin, N. D., Solid State Physics, 175-191 (Harcourt College Publishers, Fort Worth, 1976) [9] Castro Neto, A. H. Guinea, F. Peres, N. M. R. Novoselov, K. S. Geim, A. K., The electronic properties of graphene, Rev. Mod. Phys. 81, 109 (2009) [10] Wallace, P. R., The Band Theory of Graphite, Phys. Rev. 71, 622 (1947) [11] Geim, A.K. Kim, P., Carbon Wonderland, Scien. Amer. 298, 90 (2008) [12] Novoselov, K.S. Geim, A.K. et. al., Electric Field Effect in Atomically Thin Carbon Films, Scien. 306, 666 (2004) [13] Allain, P. E. Fuchs, J. N., Klein tunneling in graphene: optics with massless electrons, Eur. Phys. J. B. 83, 301 (2011) [14] M. I. Katsnelson, K. S. Novoselov A. K. Geim, Chiral tunneling and the Klein paradox in graphene, Nat. Phys. 2, 620 (2006) [15] Castro Neto, A. H. Guinea, F. Peres, N. M. R. Novoselov, K. S. Geim, A. K., The electronic properties of graphene, Rev. Mod. Phys. 81, 115 (2009). 31.
(32)
Figure
+5
Documento similar
Cedulario se inicia a mediados del siglo XVIL, por sus propias cédulas puede advertirse que no estaba totalmente conquistada la Nueva Gali- cia, ya que a fines del siglo xvn y en
Abstract: This paper reviews the dialogue and controversies between the paratexts of a corpus of collections of short novels –and romances– publi- shed from 1624 to 1637:
Mientras tanto, en su análisis inferencial se pudo reflejar que el coeficiente de correlación de 0,318 expresando una correlación positiva media entre las variables de
Missing estimates for total domestic participant spend were estimated using a similar approach of that used to calculate missing international estimates, with average shares applied
We have created this abstract to give non-members access to the country and city rankings — by number of meetings in 2014 and by estimated total number of participants in 2014 —
Por lo tanto, en base a su perfil de eficacia y seguridad, ofatumumab debe considerarse una alternativa de tratamiento para pacientes con EMRR o EMSP con enfermedad activa
The part I assessment is coordinated involving all MSCs and led by the RMS who prepares a draft assessment report, sends the request for information (RFI) with considerations,
o Si dispone en su establecimiento de alguna silla de ruedas Jazz S50 o 708D cuyo nº de serie figura en el anexo 1 de esta nota informativa, consulte la nota de aviso de la
