TEMA 3: TRABAJO Y CALOR

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL FRANCISCO DE MIRANDA

AREA DE TECNOLOGÍA

UNIDAD CURRICULAR TERMODINÁMICA DEPARTAMENTO DE ENERGÉTICA

Prof, Ing. Frank Bello Msc, Prof, Ing. Indira Ortiz Esp , Prof. Ing. Johanna Krijnen. Prof. Ing. Koralys Goitía.

TEMA N° 3: TRABAJO Y CALOR

1. Trabajo

1.1. Definición General De Trabajo

1.2. Definición De Trabajo Termodinámico 1.3. Unidades De Trabajo 1.4. Potencia. Unidades 1.5. Tipos De Trabajo 1.5.1. Eléctrico 1.5.2. Mecánico 1.5.2.1. De Expansión/Compresión o PdV. 1.5.2.2. De Resorte 2. Calor

2.1. Definición Termodinámica De Calor 2.2. Convención de Signo

2.3. Unidades de Calor

2.4. Mecanismos de Transferencia de calor. 3. Comparación de Calor y Trabajo

1. TRABAJO

1 1.1. DEFINICIÓN GENERAL DE TRABAJO

Es la transferencia de energía asociada con una fuerza que actúa a lo largo de una distancia.

Si se tiene un cuerpo con cierta cantidad de masa (m) y se quiere desplazar desde una posición 1 hasta una posición 2, se aplica una fuerza F a lo largo de un desplazamiento, se dice entonces que se ha realizado una cierta cantidad de trabajo.

1 dx 2

dx F dW = * Donde:

F= es la fuerza aplicada en la misma dirección del desplazamiento. dx= indica la variación del desplazamiento

dw= Cantidad de trabajo aplicado

Al integrar queda:

.

uff,

Fu

er

distancia

X

1

X

2

2

1

X

X

W

=

∫

Fdx

Trabajo=área

[N.m=J]

m

m

Cuando la fuerza aplicada es constante

1.2. DEFINICIÓN DE TRABAJO TERMODINÁMICO

Se dice que un sistema efectúa trabajo cuando el único efecto externo al sistema pudiese ser el levantamiento de un peso.

Es de suma importancia destacar que el trabajo se define como una interacción entre el sistema y sus alrededores. A un sistema no se le puede asignar un trabajo (no es algo que tenga un sistema) y por lo tanto no es una propiedad termodinámica.

El trabajo también se define como una interacción de energía la cual no es causada por una diferencia de temperatura.

1.2.1. CONVENCIÓN DE SIGNO

La gran mayoría de los autores utilizan el siguiente convencionalismo: ™ Trabajo realizado por un sistema se considera positivo (+). ™ Trabajo realizado sobre el sistema se considera negativo (-).

1.3. UNIDADES

W=F x

Trabajo realizado

por el hombre

Fuerza aplicada

Distancia que

se desplaza el

objeto

Donde no hay movimiento, no hay trabajo

SISTEMA

Q (+)

W (+)

Q (-)

Como el trabajo se define como la fuerza que actúa a lo largo de un desplazamiento en la misma dirección de la fuerza. Sus unidades son de fuerza por desplazamiento. Las unidades mas comunes son:

Sistema internacional: Joule = Newton x metro

Sistema Inglés: Librafuerza x pie (también se usa con frecuencia la unidad “Btu”) Otras unidades:

dina x cm. = 1 ergio

Electrón voltio (ev): Trabajo requerido para mover un electrón a través de una diferencia de un voltio.

1 ev = 1,6 x 10-12 _{ergio = 1,18 x 10}-19 _lbfpie

1.4. POTENCIA

Rapidez con la cual se realiza un trabajo

dt

W

W

=

δ

• Unidades

min

33000

04

,

76

1

lbf

pie

s

m

kgf

hp

=

×

=

×

min

44240

102

1

lbf

pie

s

m

kgf

Kw

=

×

=

×

kw

hp

0

,

746

1

=

1.5. TIPOS DE TRABAJO 1.5.1. ELÉCTRICO

Cuando se mueve una carga en un circuito eléctrico por efecto de las fuerzas electromotrices. c

Q

V

W

δ

δ

=

×

V: diferencia de potencial o voltaje eléctrico entre dos puntos del campo eléctrico. 1 Voltio = 1 Joule/1 Columbio.

δQc = Cantidad de carga eléctrica, que atraviesa la frontera durante un período de tiempo determinado.

Segundo

Columbio

A

Tiempo

a

C

dt

dQc

I

1

1

1

arg

=

=

=

=

Idt

dQc

=

(

V I

)

dt W = × × ∂

(

V

I

)

dt

W

_elecl

=

∫

×

×

; si la V y I son constantes en el tiempo

W

_elecl

=

V

×

I

(

t

₂

−

t

₁

)

La potencia eléctrica

I

V

dt

dt

I

V

dt

Welct

elect

W

=

=

×

×

=

×

•

_.

.

δ

Watt

S

Joule

S

Columbio

Columbio

Joule

elec

W

=

×

=

=

•

1

1

1.5.2. TRABAJO MECÁNICO W = F x S Si la fuerza no es constante

∫

×

=

F

ds

W

₁2

El trabajo que efectúa un sistema contra la fuerza externa opuesta al movimiento es positivo y el trabajo hecho sobre un sistema por una fuerza externa que actúa en la dirección del movimiento es negativo.

1.5.2.1. TRABAJO DE EXPANSIÓN Y COMPRESIÓN

El Trabajo de frontera móvil para un proceso cuasiequilibrio, es un proceso durante el cual el sistema permanece en equilibrio todo el tiempo.

dx

Fext

W

=

×

δ

A

PA

dx

Evaluando un gas encerrado en un cilindro émbolo sometido a un proceso de compresión.

Fext : Fuerza externa que actúa en la interfaz comprimiendo el gas. dx: Desplazamiento causado por las comprensión

Este desplazamiento se puede escribir en función de un volumen diferencial y el área del émbolo.

A

dv

dx

dx

A

dv

=

×

⇒

=

dV

P

Aemb

dV

Fext

W

=

×

=

.

δ

∫

= 2 1 2 1W Pdv

Para calcular el trabajo total requiere conocer la relación entre P y V durante el proceso.

El área diferencial representa el trabajo realizado por el gas cuando el volumen varía una cantidad dv. El área completa representa el trabajo total realizado por el gas cuando este se expande de 1 a 2.

P

™ TIPOS DE PROCESOS DE EXPANSIÓN Y COMPRESIÓN

a. PROCESO ISOMÉTRICO (gas Ideal)

Proceso Isocórico o isométrico el volumen permanece constante y por lo tanto no se realiza trabajo. 0 PdV W 2 1 2 1 =

∫

= P1 P2 V1 dV V2

w

δ

1 2 P₁ P₂ P

b. PROCESO ISOBÁRICO

Proceso en el cual la presión permanece constante.

PdV PdV W 2 1 2 1 =

∫

= c. PROCESO ISOTÉRMICO

En muchos procesos, especialmente con sustancias gaseosas, se presenta una relación entre la presión y el volumen, de la forma PV=C. Para gases perfectos es a temperatura constante (isotérmico).

C V P× = C V V Ln dV V C PdV w 1 2 2 1 ⎟⎟× ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = = =

∫

1 1 2 2 V PV P C= × = Para gases ideales

P×V =mRT ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = 1 2 2 1 V V TLn R m W

Por la Ley de Boyle – Charles

2 1 1 2 P P V V = d. PROCESO POLITRÓPICO

Se caracteriza por la existencia de intercambio de calor entre el sistema y los alrededores.

Durante los procesos de expansión y compresión politrópicos de gases reales, la presión y el volumen están relacionados, mediante la siguiente ecuación.

C

V

P

_×

n

₌

_{n y C son constantes.}

C

V

P

V

P

₁

×

₁n

=

₂

×

₂n

=

1 1 2 1 2 1 2 1 × = = − + = = − − − +

∫

∫

Pdv

∫

C V dv C V dV C V_n W n n n 1 2 P . V = C P P1 P1 2 P V

1

V1 V2 2 1

W= C

=

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

=

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

+

−

−

+

−

− − + − + −

n

1

V

V

C

1

n

V

1

n

V

₂ n 1 ₁ n 1 ₂1n ₁1 n n 1 V . P V P_{2. 2 1 1} − − Si el gas es ideal

mRT

V

P

×

=

(

)

n 1 T T mR W 2 1 − − =

n

≠

1

e. PROCESO ADIABÁTICO ( gas ideal)

Proceso en cual no existe transferencia de calor entre el sistema y los alrededores. En el caso de un gas ideal:

C

V

P

×

K

=

K V P V P W − × − × = 1 1 1 2 2 2 1

K= Coeficiente adiabático de compresión. K = Cp|Cv

Cp = Capacidad calorífica a Presión constante. Cv= Capacidad calorífica a volumen constante.

1.5.2.2. TRABAJO DE RESORTE

Wresorte = F×dx

Para un resorte lineal el desplazamiento es proporcional a la fuerza aplicada.

x

k

F

=

_rest

×

Gases monoatómicos K=1,67 Gases diatómicos K=1,4 Gases poliatómicos K=1,3

2 RESORTE P2 P1 V₁ V₂ rest

k

: la constante del resorte , unidades Nw|m y X:

desplazamiento, se mide a partir de la posición de equilibrio del resorte. X = 0 F = 0

(

)

∫

=

−

=

2 1 2 1 2 2

2

X

X

k

xdx

K

Wresorte

rest : 2 X Desplazamiento final. 1 X : Desplazamiento inicial.

El signo del trabajo del resorte se asigna considerando si el sistema se expande o comprime.

2. CALOR.

2.1. Definición Termodinámica De Calor

Es la energía que se transmite a través del límite de un sistema, en virtud de una diferencia de temperatura que existe con los alrededores.

Cuando existe una diferencia de temperatura entre el sistema y su entorno, hay transferencia de energía como producto de los choques individuales de las moléculas del sistema con las de su entorno.

Si la frontera del sistema es rígida, la suma de estos trabajos microscópicos no pueden expresarse como una fuerza medida por un desplazamiento (trabajo). La suma de estos trabajos microscópico es esencialmente lo que denominamos calor. Calor es trabajo térmico a nivel microscópico.

El calor no se almacena, la energía si. Tanto el calor como el trabajo son manifestaciones de energía en transito, por tal motivo solo la podemos observar a través de las fronteras de los sistemas.

2.2. CONVENCIÓN DE SIGNO

La mayoría de los autores utilizan el siguiente convencionalismo: Positivo (+), transmisión de calor a un sistema.

Negativo (-), transmisión de calor desde un sistema (calor retirado del sistema).

2.3. UNIDADES DE CALOR

Kilocaloría, es la cantidad de calor transmitida para producir un cambio de temperatura de un Celsius (1 °C) a un kilogramo (1 kgm) de agua.

BTU, Unidad Térmica Británica, la cantidad de energía requerida para incrementar la temperatura de una libramasa de agua (1 lbm) de agua un grado Fahrenheit (1°F).

El calor transferido por unidad de masa se denota con la letra q; Ejemplo: 1BTU/lbm, 1kcal/kgm

El transferido por unidad de tiempo se denota con la letra,

Q

•

También se utiliza cualquier otra unidad de energía como el Joule, ergios, Lbf*pie, etc

2.4. MECANISMOS DE TRANSFERENCIA DE CALOR

™ Conducción: es la transferencia de energía debida a las interacciones entre las partículas en el interior de un material.

•

Q

cond = -kt x A x dt|dx Ley de Fourier

™ Convección: es la transferencia de energía entre la superficie de un sólido y un líquido o un gas debido al movimiento de un fluido.

•

Q

conv = h A (Ts – Tf)

™ Radiación: es la transferencia de energía mediante radiación electromagnética. La energía transferida por radiación puede emitirse desde una superficie o desde el interior de fluidos transparentes y sólidos.

•

Q

Rad = E γ A (Ts4 – Talrd4).

3. Comparación de Calor y trabajo

Al igual que el calor, el trabajo es una interacción de energía entre un sistema y sus alrededores. La energía es capaz de cruzar la frontera de un sistema cerrado en forma de calor o de trabajo. En consecuencia, si la energía que cruza la frontera de un sistema cerrado no es calor, debe ser trabajo. El calor es fácil de reconocer: la fuerza que lo posibilita es una diferencia de temperatura entre el sistema y sus alrededores. Entonces es posible afirmar, con cierta simplicidad, que una interacción de energía no provocada por una diferencia de temperatura entre un sistema y sus alrededores, es trabajo. De manera más específica, el trabajo es la transferencia de energía asociada con una fuerza que actúa a lo largo de una distancia. La elevación de un émbolo, un eje que gira y un alambre eléctrico que cruzan las fronteras del sistema son casos asociados con interacciones de trabajo.

El trabajo es también una forma de energía como el calor y, por lo tanto, tiene unidades de energía como kJ. El trabajo efectuado durante un proceso entre los estados 1 y 2 se denomina W12, o aún más simple W.

Tanto el calor como el trabajo son cantidades direccionales y, en consecuencia, la descripción completa de su interacción requiere de la especificación tanto de su magnitud como de su dirección. Una forma de hacer esto es adoptando un signo convencional. La

forma convencional, generalmente aceptada, de signo formal para la interacción del calor y del trabajo es como sigue: la transferencia de calor hacia un sistema y el trabajo hecho por un sistema son positivos; la transferencia de calor desde un sistema y el trabajo hecho sobre un sistema son negativos.

Cuando la dirección de la interacción de un calor o trabajo no se conoce es posible suponer, simplemente, una dirección para la interacción (usando el subíndice entrada o salida) y darle una solución. Un resultado positivo indica que la dirección supuesta es correcta. Por otro lado, un resultado negativo indica que la relación de la interacción es opuesta a la dirección considerada. Es como suponer una dirección para una fuerza desconocida al resolver un problema de estática e invertir la dirección cuando se obtiene un resultado negativo para la fuerza.

Una cantidad que se transfiere a o desde un sistema durante una interacción no es una propiedad puesto que la cantidad de dicha cualidad depende de algo más que un estado del sistema. El calor y la energía son mecanismos de transferencia de energía entre un sistema y sus alrededores y existen muchas similitudes entre ellas:

1. Ambos se reconocen cuando cruzan las fronteras del sistema. Tanto a transferencia de calor como el trabajo son fenómenos de frontera.

2. Los sistemas poseen energía, pero no calor o trabajo.

3. Ambos se asocian con un proceso, no con un estado. A diferencia de las propiedades, ni el calor o el trabajo tienen significado en un estado.

4. Ambos son funciones de la trayectoria (sus magnitudes dependen de la trayectoria seguida durante un proceso, así como de los estados extremos).

Las funciones de la trayectoria tienen diferenciales inexactas, designadas mediante el símbolo δ. En consecuencia, una cantidad diferencial de calor o trabajo se representa mediante δQ o δW, respectivamente, en lugar de dQ o dW. Las propiedades, sin embargo, son funciones de punto (sólo dependen del estado y no de cómo el sistema llega a ese estado) y tienen diferenciales exactas designadas por el símbolo d. Un pequeño cambio en el volumen, por ejemplo, es representado por dV y el cambio de volumen total durante un proceso entre los estados 1 y 2 es

V V V dV = − =Δ

∫

2 1 2 1

El cambio de volumen durante el proceso 1-2 siempre es el volumen en el estado 2 menos el volumen en el estado 1, sin importar la trayectoria seguida. Sin embargo, el trabajo total realizado durante el proceso 1-2 es

) ( 2 1 2 1 W =W12=W noΔW

∫

δ

El trabajo total se obtiene de seguir la trayectoria del proceso y añadir las cantidades diferenciales de trabajo (δW) efectuadas a lo largo del trayecto. La integral de δW no es W2 – W1 (el trabajo en el estado 2 menos el trabajo en el estado 1), lo que no tiene sentido

PROBLEMAS RESUELTOS (TERMODINAMICA)

Tema: Trabajo Termodinámico

1) Un cilindro en el cual el émbolo se mantiene con un resorte, contiene 1 pie3 de aire a

una presión de 15 Psia, equilibrada exactamente con la presión atmosférica de 15 Psia. Asumir que el peso del émbolo es despreciable. En el estado inicial el resorte solo toca la émbolo sin ejercer fuerza alguna sobre el mismo. Entonces se calienta el gas hasta doblar su volumen. La presión final del gas es de 50 Psia, y durante este proceso la fuerza que ejerce el resorte es proporcional al desplazamiento del émbolo a partir de su posición inicial. Se solicita: A) Mostrar el proceso en diagrama P-V B) Considerando el gas como sistema, calcular el trabajo total efectuado: gráficamente y analíticamente. C) De este trabajo total, ¿cuánto es hecho contra la atmósfera y cuánto contra el resorte?

SOLUCIÓN: Esquema:

Seguidamente, hay que clasificar la información por estados:

1.1 Edo. 1 Edo. 2

P1= 15 Psia P2=50 Psia

V1= 1 pie3 V2=2V1=2 pie3

FRes ∝ x

A) Diagrama P-V:

En principio conocemos el estado inicial y final del proceso, sin embargo no se conoce la trayectoria que va a unir esos dos estados, así que:

Hagamos un análisis para determinar la forma como varía la presión en función del volumen ( relación P-V): P (Psia) V (pie3) 1 2 15 50 (1) (2)

Aire

(Sist

Resorte

Hay que tomar también en cuenta que la presión del sistema en cualquier momento va ser la suma de la presión que ejerce la Atmósfera más la presión que ejerce el Resorte:

Psist = PAtm+ PRes

Así que debemos determinar como cambia la presión producida por el Resorte, ya que la componente Presión Atmosférica es constante. Partamos del hecho de que la presión del resorte ejerce una fuerza proporcional al desplazamiento(X) del émbolo y expresándolo en forma diferencial:

dFRes ∝ dX

En principio debemos recordar que matemáticamente el signo de proporcionalidad( ∝ ) puede ser sustituido por un signo de igualdad (=) introduciendo una constante de proporcionalidad (C):

dFRes = C dX (A)

Por otro lado recordemos que existe una relación estrecha entre fuerza y presión, así podríamos escribir:

FRes= PRes* Aemb, y en forma diferencial:

dFRes= dPRes* Aemb (B)

Adicionalmente, la relación que existe entre el volumen y el desplazamiento en un cilindro viene dado por:

V=Aemb*X

Entonces : X = v/aemb, y en forma diferencial:

dX = dV/Aemb ( C )

Sustituyendo (B) y (C) en (A):

dPRes* Aemb=C dV/Aemb

Así :

dPRes = C*dV/Aemb2

Integrando esta expresión:

PRes = C*V/Aemb2 + C1

Por ser “Aemb2” un valor constante, podríamos rescribir equivalentemente que:

Esta última expresión revela que la Presión del Resorte varía LINEALMENTE con respecto al volumen (y consecuente mente también la Presión del Sistema), matemáticamente:

Psist = PAtm+ C´*V + C1

Los términos “PAtm” y “C1”, pueden ser condensados en otra constante, que llamaremos

“C2”:

Psist = C´*V + C2

Ahora si podemos, tener la certeza deque los estados (1) y (2) ubicados en el grafico P-V, debemos unirlos con una Línea Recta:

B) Trabajo total efectuado: B.1)Solución Gráfica

Ya que contamos con la gráfica del proceso y que el área debajo de la misma se puede descomponer en dos figuras regulares sencillas: A1 (rectángulo) y A2 (triángulo), se puede obtener el valor absoluto del trabajo gráficamente:

ATot= A1+ A2

Para el rectángulo: A1 = b*h = (2-1)pie3* (15 Psia) = 15 Psia*Pie3

Para el triángulo: A2=(b*h)/2 =(2-1)pie3* (50-15 Psia)/2 = 17.5 Psia*Pie3

Entonces:

1W2Total = ATot= 15 Psia*Pie3 + 17.5 Psia*Pie3 = 32. 5 Psia*Pie3

El signo del trabajo se determina analizando si el sistema se expande o se comprime. En este caso en particular por ser un proceso de expansión el trabajo es realizado por el sistema y por lo tanto es Positivo, así que:

1W2Total =32. 5 Psia*Pie3= 6.025 Btu (Resp.)

B.2 )Solución Analítica

Ecuación que rige el proceso

V (Pie3) P (Psia) 1 2 15 50 (1) (2) A2 A1

Ya sabemos que la Ecuación General que rige al proceso es: Psist = C´*V + C2, sin

embargo para obtener una solución analítica es necesario determinar los valores de las 2 constantes C´yC2. Para lo cual evaluemos esta ecuación en los estados inicial y final:

Para edo. 1: V1= 1 Pie3 y P1= 15 Psia, sustituyendo en la ecuación del proceso( obviando

las unidades):

15 = C´*(1) + C2 C´ + C2 =15 (a)

Para edo. 2: V2= 1 Pie3 y P2= 50 Psia, sustituyendo en la ecuación del proceso ( obviando

las unidades):

50 = C´*(2) + C2 2C´ + C2 =50 (b)

Estamos en presencia de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, que al ser resuelto determina que:

C´ = 35 y C2 = - 20

Por lo que:

Psist = 35V –20

Ecuación que puede ser sustituida en la definición general de trabajo de frontera para ser integrada:

1W2 = ∫ P*dV

Sustituyendo e integrando entre V1 y V2:

1W2 = ∫ (35V –20)dV= | 17.5V2 – 20V|

Sustituyendo los límites de integración:

1W2 Total = | 17.5(2)2 – 20(2)| - | 17.5(1)2 – 20(1)| = 32. 5 Psia*Pie3 = 6.025 Btu (Resp.)

C) Trabajo contra la Atmósfera y trabajo contra el Resorte

Es evidente que el aire(sistema) ejecuta un trabajo en contra de dos elementos que se le oponen, que son la Atmósfera y el Resorte, así que el trabajo total es:

1W2Total = WcAtm + WcRes

El Trabajo que se realiza contra la atmósfera (WcAtm), por su misma naturaleza es un

trabajo que se realiza a presión constante, por lo tanto la fórmula de calcularlo es la siguiente:

WcAtm = PAtm(V2-V1)= 15 Psia(2 – 1 )pie3=15 Psia*Pie3 =2.775 Btu

(Resp.)

El trabajo contra el resorte se puede obtener por simple diferencia:

WcRes= 1W2Total - WcAtm=(32.5 –15) Psia*Pie3=17.5 Psia*Pie3=3.2375 Btu(Resp.) V2=2 pie3

2) Un globo esférico tiene 0.254 m de diámetro y contiene Nitrógeno a una presión de 138

kPascal. El diámetro del globo aumenta a 0.305 m debido al calor y durante este proceso la presión dentro del globo es proporcional a su diámetro. Calcular el trabajo efectuado por el Nitrógeno durante el proceso.

SOLUCIÓN: Esquema: 1.2 Edo. 1 Edo. 2 P1= 138 Kpascal P2=? d1= 0.254 m d2=0.305 m P∝ d 1W2 =?

Para poder calcular cualquier trabajo relacionado con cambio de volumen, necesariamente hay que conocer la relación Presión-Volumen (P-V)del proceso. En principio conocemos una relación un tanto rudimentaria entre la presión y el diámetro del globo (P ∝ d ). Entonces el objetivo primario será tratar de manipular esta expresión matemáticamente hasta convertirla en una relación “P-V”. Procedamos:

En primer lugar debemos recordar, que matemáticamente el signo de proporcionalidad( ∝ ) puede ser sustituido por un signo de igualdad (=) introduciendo una constante de proporcionalidad (C):

P= C*d

En Segundo lugar como estamos trabajando con una esfera, debemos considerar que el volumen de la misma viene dado por:

V=(1/6) Π*d3

De aquí se deriva que:

d= [V/(6Π)]1/3 _{= (1/6Π )}1/3 _V1/3

Como tanto el número “6” como el factor “Π” son valores constantes, su inverso elevado a la “1/3” sigue siendo una constante, a la que llamaremos “C1”. Entonces podemos rescribir esta última expresión de la siguiente manera:

Nitrógeno (sistema)

d= C1* V1/3

Ahora sustituyendo (2) en (1), tenemos: P= C* C1*V1/ 3

el producto de las dos constantes genera otra constante, que llamaremos “C2”, así: P= C2*V1/ 3

Rearreglando :

P/ V1/ 3_{= C} 2

Si pasamos el término “V1/ 3_{” al numerador debemos cambiarle el signo de su exponente,}

resultando:

P*V-1/ 3= C2

1.2.1 Esta fórmula corresponde al denominado Proceso Politrópico (PVn _=C).

La fórmula para calcular el trabajo en un Proceso Politrópico es:

1W2 =(P2*V2 – P1*V1) / (1-n)

Los volúmenes se calcularán directamente por la fórmula de la esfera, a partir de ambos diámetros:

V1= (1/6) Π*d13=(1/6) Π*(0.254 m)3= 0.00858 m3

V2= (1/6) Π*d23=(1/6) Π*(0.305 m)3= 0.0149 m3

La Presión final se determinará a partir de la ecuación que rige el proceso (Politrópico): P1*V1-1/ 3= P2*V2-1/ 3

Despejando P2:

P2 = P1*(V1/ V2)-1/ 3= 165.87 kPa

Sustituyendo valores en la fórmula de trabajo:

1W2 = (165.87*0.0149 – 138*0.00858) kPa*m3/ [1-(-1/3)] = 0.966Kjoul (Resp.)

Comentario Final:

Note, que el resultado es positivo porque el sistema se está expandiendo, o sea, está realizando trabajo, no recibiéndolo. Si los estados final e inicial se invirtieran, la magnitud del trabajo sería la misma; pero con signo contrario (negativo).

3) Un cilindro vertical dotado de un pistón contiene 0.10 pie3 de Freón-12 a 80 °F y una

calidad de 90%. El pistón tiene una masa de 850 Lbm, el área de la sección transversal del pistón es 10 Pulg2_{, y se mantiene en su lugar descansando en unos topes.}

Adicionalmente, un agitador está dentro del cilindro como se indica en la figura. La presión del ambiente es 15 Psia. Se suministra calor lentamente al Freón produciendo que el pistón se mueva y simultáneamente es activado el agitador, suministrándole cierta cantidad de trabajo al sistema. Si la temperatura final es 320 °F. Considerando el Freón-12 como sistema, y que el trabajo neto (total) del mismo es 1 Btu, determine el trabajo proporcionado por el agitador.

SOLUCIÓN: Esquema:

Seguidamente, hay que clasificar la información por estados:

1.3 Edo. 1 Edo. 2 V1= 0.10 pie3 T2= 320 °F T1= 80 °F X1= 90% mpist=850 Lbm Apist =10 Pulg2 1W2neto =1 Btu 1W2Agit =?

Análisis: En este problema en particular, podemos identificar 2 tipos de trabajo distintos:

uno asociado al cambio de volumen del sistema (1w2vol) y otro asociado al movimiento de un eje (1W2Agit), en consecuencia el Trabajo neto (1W2neto) de este sistema es la suma algebraica de los mismos:

1W2neto = 1W2Agit + 1W2Vol

Y el trabajo del agitador consecuentemente:

1W2Agit = 1W2neto - 1W2Vol

El trabajo producto del cambio de volumen se efectúa en contra de la atmósfera y en contra del peso del émbolo o pistón, ambos elementos ejercen una presión que se mantiene constante a lo largo del proceso de expansión. Así ese trabajo viene dado por:

1W2Vol =P2 (V2 - V1 )

en donde la presión del sistema es:

P2= PPist+ PAtm

La presión que ejerce el pistón es el efecto de su peso, por lo que se calcula como sigue:

WAgit

Agitado PAt

F-12 (Sist)

PPist=(Peso del pistón) /( APist*gc) (Nota: la “gc” es necesaria en

el sistema inglés)

PPist=(mPis*g) /( APis*gc) =(850 Lbm*32.2 pie/seg2)/(10 Pulg2*32.2

Lbm*Pie/Lbf*seg2)= 85 Psia

Entonces:

P2= 85 Psia + 15 Psia = 100 Psia

Para conseguir V2, primero es necesario obtener la masa del sistema, la cual es constante, por ser un sistema cerrado.

Usemos la información del estado inicial que es la más completa, para hacer este cálculo:

m1 = V1/νsis1

por ser el estado inicial un estado de mezcla, el volumen específico del sistema se obtiene en función de la calidad(X):

νsis1 = νf1 + X1(νfg1)

νf = 0.01227 pie3/Lbm y νfg = 0.3390 pie3/Lbm

Sustituyendo valores:

νsis1 = (0.01227 + 0.9*0.33909 pie3/Lbm = 0.3714 pie3/Lbm

Entonces :

m1 = 0.1 pie3/0.3714 pie3/Lbm = 0.269 Lbm m2

Del estado final conocemos: P2 =100 Psia y T2= 320 °F, con estas dos propiedades se

determina que el Freón es Vapor Sobrecalentado, y leyendo el volumen específico respectivo en la Tabla correspondiente, se obtiene:

νsis2 = 0.66472 pie3/Lbm, Por lo que:

V2 = m2*νsis2 =0.269 Lbm*0.66472 pie3/Lbm= 0.18 pie3

Retomando la fórmula de trabajo por cambio de volumen:

1W2Vol =P2 (V2 - V1 )=100 Psia(0.18-0.10) pie3 = 8. Psia*pie3= 1.48 Btu

Finalmente, el trabajo entregado por el Agitador, será.

1W2Agit = 1W2neto - 1W2Vol= 1 Btu – 1.48 Btu = - 0.48 Btu (Resp.)

Comentarios Finales:

9 Note, que el resultado es negativo y esto es lógico ya que este trabajo en vez de hacerlo el sistema, lo recibe el mismo.

9 Por otro lado fíjese que la presión que tenía al sistema en su estado inicial con el émbolo descansando en los topes era la correspondiente a la de saturación a 80

°F ( 98.87 Psia) e independiente de la presión externa, pero una vez que se le suministra calor al sistema la presión aumenta hasta equilibrarse exactamente con la presión externa, la cual se mantiene constante en todo el recorrido del émbolo. Esto explica porque se uso la P2en el cálculo del trabajo de expansión, ya que lo relevante al evaluar el trabajo, es saber como se comporta la presión mientras exista movimiento.

4) Cierta cantidad de aire está contenida en un arreglo cilindro-pistón como muestra la

figura. El pistón es de peso despreciable y tiene un área de 4*10-4 m2. La presión inicial del

aire equilibra exactamente la presión atmosférica de 101.33 kPa. La temperatura y el volumen inicial son 20 C y 2*10-5 m3 respectivamente. Acoplado a esta arreglo hay un

resorte lineal, que tiene una constante de deformación KRes= 10 kNewton/m. El resorte

inicialmente solo toca al pistón y no ejerce fuerza alguna. Se le suministra calor al aire expandiéndose y aumentando su presión hasta 304 kPa. Considerando el aire como un gas ideal, determine: A) La masa del aire. B) El volumen final C) La temperatura Final D) El trabajo total realizado por el aire.

SOLUCIÓN: Esquema:

Seguidamente, hay que clasificar la información por estados:

1.4 Edo. 1 Edo. 2 P1= 101.33 kPa P2=304 kPa V1= 2*10-5 m3 T2=? V2=? KRes= 10 kNewton/m APist = 4*10-4 m2 maire= ? 1W2Tot =?

1.4.1.1.1.1 A) Masa del aire

La masa del aire se puede obtener a partir de la versión de la ecuación de gas ideal en función de la masa. Usando la información del estado inicial:

P1*V1 =maire*Rp*T1 Despejando: maire= P1*V1/Rp*T1

Aire

(Sist

Resorte

En la tabla correspondiente se puede obtener la constante de gas particular para el aire: Rp =0.28720 kPa*m3/Kg*°K

Sustituyendo valores:

maire= (101.33kPa*2*10-5 m3 ) / [(0.28720 kPa*m3/Kg*°K)*293 °K]=2.41*10-5 kg (Resp.)

B) Volumen Final

El volumen final es simplemente el volumen inicial más la variación del mismo: V2=V1+ ΔV

Ahora bien la variación del volumen, puede ser escrita, en función del desplazamiento(X), para un cilindro de la siguiente manera:

ΔV= APis*X

por lo que:

V2=V1+ APis*X

A su vez la distancia recorrida (X), está relacionada con la fuerza del resorte (lineal) por la siguiente fórmula:

FRes = KRes*X, entonces X= FRes / KRes

en forma equivalente:

X= PRes*APis/ KRes

Por otra parte, la presión final del sistema es la sumatoria de la presión inicial mas la presión del resorte:

P2 = P1 + PRes

Entonces:

PRes = P2 - P1 = (304 –101.33 )kPa = 202.66 kPa

Retomando la fórmula del desplazamiento:

X= PRes*APis/ KRes= 206.66 kPa*4*10-4 m2/10 kN/m=0.0081 metros

Por lo tanto el volumen final será:

V2=V1+ APis*X= 2*10-5 m3+4*10-4 m2*0.0081 m=2.324*10-5 m3 (Resp.)

C) Temperatura Final

Aplicando la Ecuación de Gas ideal que relaciona dos estados de un sistema cerrado, tenemos: P1*V1/T1 =P2*V2/T2 Despejando T2: T2 = (P2*V2/ P1*V1)*T1 =304 kPa*2.324*10-5 m3/101.33 kPa*2.*10-5 m3=1021.4 °K = 748.4 °C( Resp.) d) Trabajo Total

Para un Resorte Lineal el cambio de la presión ejercida, también es lineal, por lo que debemos unir estos dos puntos con una línea recta:

Ya que contamos con la gráfica del proceso y que el área debajo de la misma se puede descomponer en dos figuras regulares sencillas: A1 (rectángulo) y A2 (triángulo), se puede obtener el valor absoluto del trabajo gráficamente:

ATot= A1+ A2

Para el rectángulo: A1 = b*h = (2.324*10-5 m3 -2 *10-5) m3* (101.33 kPa) = 3.28 *10-4 Kjoul

Para el triángulo: A2=(b*h)/2 (2.324*10-5 m3 -2 *10-5) m3* (304-101.33) kPa /2 = 3.28 *10-4

Kjoul Entonces:

1W2Total = ATot= 3.28 *10-4 Kjoul + 3.28 *10-4 Kjoul= 6.56 *10-4 Kjoul

El signo del trabajo se determina analizando si el sistema se expande o se comprime. En este caso en particular por ser un proceso de expansión el trabajo es realizado por el sistema, y por lo tanto es Positivo, así que:

1W2Total = 6.56 *10-4 Kjoul (Resp.)

P (kPa)

V (m

3

)

V1 V2

101.33

304.00

(1)

(2)

A2

P (kPa)

304

(2)

V (m

3

)

V1 V2

101.33

(1)

A1

m1= 10 kg mf = 8 kg mg = 2 kg T1= -10 °C m2= 10 kg V2 = 400 l

Estado 1 Estado 2

5) Un dispositivo cilindro-émbolo con un conjunto de topes contiene 10 kg de Freón-12

(R-12). Al principio 8 kg de R-12 están en fase líquida y la temperatura es -10°C. Se transfiere más calor al refrigerante hasta que el émbolo toca los topes superiores punto en el cual el volumen es 400 litros. Determine a. La temperatura cuando el émbolo toca los topes, b. Trabajo realizado durante el proceso.

Datos

Solución

a. Para determinar la temperatura en el instante que el émbolo toca los topes, es necesario identificar el estado termodinámico y buscar la temperatura en el estado correspondiente. En el estado final el R-12 ocupa un volumen de 400 litros y la masa es 10 kg, ya que no se introdujo ni se extrajo masa del sistema, como el dispositivo es un cilindro émbolo y no se especifica que durante el proceso de expansión la presión cambió con la variación de volumen se considerará que es un proceso isobárico.

El volumen especifico del sistema en el estado final

kg

m

kg

m

m

V

3 3 2 2 2

0

,

04

10

4

,

0

=

=

=

ν

La presión en el estado 2 es igual a la presión inicial MPa P

P

P2 = 1 = sat T1=0,2191

Para identificar el estado termodinámico se buscan los volúmenes específicos del líquido y vapor saturado en la tabla de saturación a la presión final

kgm m MPa f 3 2191 , 0 =0,0007

ν

y kgm m MPa g 3 2191 , 0 =0,076646

ν

Comparando éstos volúmenes específicos con el del estado final kg m kg m3 3 0007 , 0 04 , 0 > y kg m kg m3 3 076646 , 0 04 , 0 <

C

T

T

2

=

sat P2=0,2191MPa

=

−

10

°

b. Durante el proceso, el R-12 sufrió una expansión a presión y temperatura constante, y el estado termodinámico inicial y final son mezcla líquido vapor. Su representación en un diagrama Pv es la siguiente:

m3_/kg

La cantidad de trabajo efectuado se calcula por la siguiente ecuación

)

(

V

2

V

1

P

W

isobárico

=

−

P= 0,2191 MPa V2=0,4 m3 V1=?

Por ser una mezcla líquido vapor

kg m kg m kg kg kgm m x _fg f 3 3 3 1 (0,076646 0,0007) 0,016029 10 2 0007 , 0 _⎥= ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − × + = + =

ν

ν

ν

3 3 1 1 1 0,016029 10kg 0,16029m kg m m V =

ν

× = × =

El trabajo total realizado por el sistema durante la expansión, el signo es del es positivo ya que el mismo es realizado por el sistema.

kJ

MJ

kJ

MJ

m

Mpa

V

V

P

W

isobárico

52

,

52

1

1000

05252

,

0

)

16029

,

0

4

,

0

(

2191

,

0

)

(

2

−

1

=

×

−

3

=

×

=

=

6) Un cilindro vertical contiene 0,185 lbm a 100°F, el volumen inicial encerrado debajo del

embolo es 0,65 pie3_{. El embolo tiene un área de 60 pulg}2 _{y una masa de 125 lbm.}

Inicialmente el embolo descansa sobre los topes. La presión atmosférica es de 14 psia y la aceleración de la gravedad es de 30,9 pie/seg2_{. Entonces se transmite calor hasta que}

el cilindro contiene vapor saturado. Determine:

a) ¿Cual es la temperatura del agua cuando el embolo comienza a levantarse de los topes?

b) Cuanto trabajo ejecuta el vapor de agua durante el proceso. c) Dibuje el diagrama P-v y T-v de todo el proceso.

Esquema del Estado inicial.

SOLUCIÓN:

La masa permanece constante ya que es un sistema cerrado y no hay intercambio de masa.

En el estado inicial el embolo descansa sobre los topes. Por lo tanto la presión inicial del sistema es la presión de saturación a 100 ºF, ya que el estado 1 esta como mezcla liquido+ vapor.

Para responder la letra a) debemos primero hacer un balance de fuerzas para determinar a que presión se comenzara a levantar el embolo de los topes. Ya que nos han proporcionado la data suficiente para el calculo del peso del embolo debemos incluirlo en el balance de fuerza. Este queda del siguiente modo:

0

*

=

=

+

∗

=

∑

F

Patm

Ae

We

Psistema

Ae

Despejando La Presión del sistema

v + L EDO 1 m1=0,185 lbm T1 = 100 ºF V1 = 0,65 pie3 Edo = L+V Ae = 60 pulg2 me= 125 lbm EDO 2 m2= m1=0,185 lbm V2 = 0,65 pie3 Ae = 60 pulg2 me= 125 lbm EDO 3 m2= m1= m3= 0,185 lbm

Edo: Vapor Saturado Ae = 60 pulg2

Ae

We

Ae

Patm

Psis

=

*

+

Sabiendo que

gc

g

me

We

=

*

Nos queda del siguiente modo:

Ae

gc

g

me

Ae

Patm

Psis

*

*

+

=

= ₂ 2 2 2 2 60 * * 17 , 32 9 , 30 * 125 lg 60 * 14 pul s lbf pie lbm s pie lmb pu pul lbfi Psis + =

psia

pu

lbf

lbf

P

16

,

001

lg

60

065

,

120

840

2 2

=

+

=

En embolo comienza a levantarse cuando la presión en el equilibrio mecánico se hace igual a 16,001 psia. Entonces la temperatura a la cual el embolo comienza a levantarse se debe determinar con esta propiedad y el volumen en el edo 2 cuando apenas comienza a levantarse que será el mismo del edo 1.

con este volumen y la P2 determinamos el

estado

Ya que en las tablas no aparece 16 psia debemos interpolar los valores de vg y vf para

poder determinar el estado termodinámico.

Vg= 25,05 vf = 0,0167444 pie3/lbm Mezcla L+V

La temperatura será entonces (luego de interpolarla) Tsat@ 16 psia =T2 = 216,019 ºF T3 = T2 ya que el estado tres es Vapor Saturado.

P2 = P3 v3= vg= 25,05 pie3/lbm ya que es vapor saturado

Podemos ahora calcular el trabajo del sistema.

b)

W

_total

=

₁

W

₂

+

₂

W

₃ Î El trabajo 1-2 es isométrico por lo tanto es 0.

El trabajo 2-3 es isobárico, a presión constante por lo tanto se calcula por esta formula:

(

3 2

)

3

2

W

=

P

V

−

V

Trabajo a presión constante.

3 3 3

v

* m

V

=

=

*

0,185

lbm

=

lbm

pie

25,05

3 3

V

4,634 pie3

(

)

₂ 2 3 2 3 2

1

lg

144

*

65

,

0

634

,

4

lg

16

pie

pu

pie

pu

lbf

W

=

−

=

9179

,

136

lbf *

pie

lbm pie lbm pie v v 3 3 2 1 3,514 185 , 0 65 , 0 ₌ = =

1.4.1.1.1.1.1

1.4.1.1.1.1.2 c)

1.4.1.1.1.1.3 1.4.1.1.1.1.4 1.4.1.1.1.1.5

7) Un dispositivo cilindro – émbolo contiene 50 kg de agua a 150 kpa y 25oC. El

área de la sección transversal del émbolo es de 0,1 m2_{. Se transfiere calor al agua,}

con lo que parte de ella se evapora y expande. Cuando el volumen alcanza 0,2 m3 _el

émbolo alcanza un resorte lineal cuya constante de resorte es 100 kN/m. Se transfiere más calor al agua hasta que el émbolo avanza 20 cm más. Determine:

a) La presión y temperatura finales.

b) El trabajo realizado durante este proceso. c) Represente el proceso en un Diagrama P-V.

3,514 25,05 _pie3

SOLUCIÓN: Sistema Cerrado esto implica msist es constante. En este tipo de problemas

es importante ubicar en los distintos estados el volumen correspondiente ya que luego son datos que nos ayudaran al cálculo del trabajo realizado.

Estado 1:

Con los datos del problema podemos determinar entonces el estado inicial. Esto es:

Estado 2:

En esta condición debido a la transferencia de calor el agua se evapora y expande, por lo que el émbolo sube y alcanza el resorte lineal, en este punto el volumen es de 0,2 m3 _.

Con esto podemos calcular el ν2 con la finalidad de confirmar el estado (L+v)

ν2 = V2 / m => 0,2 m3/ 50 kg = 0,004 m3/Kg.

Así νf < ν2 < νg => Mezcla Liquido- Vapor (Edo.2)

Es por ello que la gráfica muestra el cambio del estado 1 al estado 2 sobre la linea de presión de 150 Kpa.

Estado 3:

Para determinar esta condición, en donde ya se ha iniciado la compresión del resorte lineal cuya constante esta dada por el problema, tenemos:

F = k.x y Presorte = F/A

De los datos X = 20 cm (desplazamiento del émbolo) en la condición final. Fresorte = 100 KN/m * 0,20 m = 20 KN

Presorte = 20 KN /0,1 m2 = 200 kPa

Entonces: Pfinal(sistema) = Pinic(sist) + Presorte = 150 kPa +200 kPa

Pfinal(sistema) = 350 kPa

En la tabla de saturación del agua @ 25o _{C => Psat = 2,3385 Kpa}

Así: Psist > Psat => Líquido Comprimido (Edo.1)

ν

1=

ν

f = 0,001003 m3/kg, relacionando con la masa del sistema podemos conocer el volumen en esta condición.

ν

1 = V1/ m => despejando V1= 0,001003 m3/kg * 50 kg

T3 = Tsat P3 => T3 = 138,88 oC

Para determinar la temperatura debemos calcular exactamente el volumen (V3) comparar

con los volúmenes de líquido y vapor saturado correspondiente a una presión de 350 Kpa (Pfinal)

Recordemos que: ∆V2-3 = ∆X.A

∆V2-3 = 0,20 m * 0,1 m2 = 0,02m3

V3 = ∆V2-3 + V2 => V3 = 0,22 m3

Así el volumen específico correspondiente será ν3 = V3 / m => 0,22 m3/ 50 kg = 0,0044 m3/Kg.

Comparando con los valores de νf y νg @ 350KPa

νf < ν3 < νg => Continúa como mezcla Liquido- Vapor (Edo.3)

Por lo tanto la temperatura final (Edo. 3) será respectivamente la temperatura de saturación correspondiente a una presión de 350Kpa.

De la tabla de saturación del agua, T3 = 138,88 oC

El trabajo puede calcularse a través de las ecuaciones correspondientes a los procesos llevados a cabo y/o gráficamente, es decir:

Proceso 1-2 ) → Proceso a P ctte

Proceso 2-3 ) → Proceso Compresión del Resorte

P V V3 V2 V1 150 KPa 350 KPa 1 2 3

Partiendo de las ecuaciones:

WTotal = W1-2 + W2-3

W1-2 = P.(V2 – V1) = 150 kpa . (0,2 – 0,05015) m3 = 22,50 KJ

W2-3 = P.(V3 – V2) + ½ K RESORTE . (X3 – X2)

W2-3 = 150 Kpa . (0,22 – 0,20) m3 + ½ . 100 KN . [ (0,20)2 – (0)2 ]m = 5KJ

Por lo tanto el trabajo realizado durante el proceso es de:

WTotal = 22,50 KJ + 5KJ = 27,50 KJ.

Se recomienda practicar el cálculo del trabajo empleando el método gráfico (área bajo la curva), así como la representación del problema en un diagrama P-ν.

1.4.1.1.1.1.6 Problemas Propuestos

1.4.1.1.1.1.7 Tema: Trabajo Termodinámico

1) Conjunto cilindro-pistón contiene gas Butano, C4H10, a 300 °C y 100 kPa, con un

volumen de 0.02 m3_{. El gas se comprime lentamente en un proceso isotérmico a 300 kPa.}

a) Demuestre que es razonable suponer que durante este proceso el butano se comprime como gas ideal.

b) Determine el trabajo que el butano realiza durante.

2) Un globo se compota de modo que la presión en su interior es proporcional al

cuadrado del diámetro. Contiene 2 kg de amoníaco (NH3) a 0 C, con calidad de 60%. Se

calientan el globo y el amoniaco, hasta alcanzar una presión final de 600 kPa. Si se considera el amoniaco como sistema determine el trabajo durante el proceso,.

3) Dos kilogramos de agua se encuentran dentro de un conjunto cilindro-pistón, con un

pistón de masa despreciable, sobre el cual actúa un resorte lineal y la atmósfera exterior. Inicialmente la fuerza del resorte es cero y P1=100 kPa con un volumen de 0.2 m3.

Cuando el pistón justamente roza los soportes superiores el volumen es de 0.8 m3 _y

T=600 C. Ahora se agrega calor hasta que la presión alcanza 1.2 Mpa. Encuentre la temperatura final, represente el proceso en diagrama P-V y encuentre el trabajo que realiza el agua durante el proceso.

Agu

a

4) Dentro de un cilindro se comprime vapor de amoníaco por acción de una fuerza externa

que actúa sobre pistón el amoniaco se encuentra inicialmente a 30 °C y 500 kPa, y la presión final es 1400 kPa. Se han medido los siguientes datos para el proceso:

Presión, kPa 500 653 802 945 945 1248 1400 Volumen,

Litros

1.25 1.08 0.96 0.84 0.72 0.60 0.50

5) Un cilindro provisto con un émbolo contiene gas propano a 100 kPa y 300 K, con un

volumen de 0.2 m3_{. Ahora el gas se comprime lentamente de acuerdo con la relación}

PV1.1 _{= C, hasta una temperatura final de 340 K. a) ¿ Cuál es la presión final?. b)}

Justifique el comportamiento de gas ideal. c) ¿Cuánto trabajo realiza el propano durante el proceso

Método gráfico para el cálculo del área bajo una curva Paso # 1

Construya la gráfica a ESCALA con los valores x-y suministrados.

y

x

Paso # 2

Divida la curva en “N” franjas de igual anchura( ΔX ). Se recomienda que N ≥ 5.

y

x

y

₀

y

₁

y

₂

y

₃

_y

4

_y

n-1

y

n

ΔX ΔX ΔX

ΔX

ΔX

_ΔX

Paso # 3

Lea los valores de altura ( yo, y1, y2, y3,... yn ) que se generaron de la división

anterior. Estos valores de “y” no necesariamente coinciden con los valores que se utilizaron para graficar en el paso # 1.

Paso # 4

Sustituya los valores leídos de la gráfica en cualquiera de las siguientes fórmulas:

a) Formula # 1 ( Regla Trapezoidal )

A = ΔX [ 0.5 ( y0 + yn ) + y1 + y2 + y3 + ... yn-1 ] ( Menos exacta)

b) Formula # 2 ( Regla de Durand )

A = ΔX [ 0.4 ( y0 + yn ) + 1.1(y1 + yn-1 ) + y2 + y3 + ... yn-2 ] ( Exactitud intermedia )

c) Formula # 3 ( Regla de Simpson - “N” debe ser par)

A =(1/ 3) ΔX [ ( y0 + yn ) + 4( y1 + y3 +...yn-1 ) + 2 (y2 + y4 + ... yn-2 ] ( Más exacta )

© by F.B.C ( 20 - 06 - 99 )

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

• Van Wylen, Gordon J. & Sonntag, Richard E. Fundamentos de Termodinámica. Editorial Limusa. México. 1990. 735 págs.

• López Arango, Diego. Termodinámica. Editorial Escuela Colombiana de Ingeniería. Segunda Edición. Colombia. 1999. 425 págs.

• Çengel, Yunus A. & Boles, Michael A. Termodinámica. Editorial McGraw-Hill. Cuarta Edición. México. 2003. 829 págs.

• Wark, Kenneth & Richards, Donald E. Termodinámica. Editorial McGraw-Hill. Sexta Edición. México. 2004. 1048 págs.

• Müller Erich. Termodinámica Básica. Equinoccio. Ediciones de la Universidad Simón Bolívar.