ECUACIONES. s/.5. s/.1 s/. 1. s/. 1. La igualdad es el resultado de una comparación. Indica que dos expresiones representan una misma cantidad.

Comparamos nuestras propinas

Un grupo de niñas y niños cuentan sus propinas.

Juan s/.5 s/.2 s/. 2

s/. 1

=

Karol s/.2 s/.2

s/.2 s/.2

s/.1 s/.1

Carlos s/.5 s/.1 s/. 1

s/. 1

=

Claudia

s/.2 s/.1

s/.2 s/.1

s/.1 s/.1

Ana

+

• Juan y Karol tienen igual cantidad de dinero.

• Carlos tiene igual cantidad de dinero que Claudia y Ana juntos.

La igualdad es el resultado de una comparación. Indica que dos expresiones representan una misma cantidad.

Una ecuación es una igualdad donde existe una o más cantidades desconocidas llamadas incógnitas o variables.

Importante

- El valor de la(s) incógnita(s) se puede representar con cualquier letra generalmente minúscula, del alfabeto: a, b, x, y, z, etc.

- En toda ecuación se considera:

Primer miembro: Es todo lo escrito a la izquierda del signo = . Segundo miembro: Es todo lo escrito a la derecha del signo = .

Variable o incógnita: Símbolo que representa a un número desconocido.

5 + x = 11 Primer

Miembro

Segundo Miembro Variable

ECUACIONES

- Resolver una ecuación significa encontrar un valor para la incógnita que verifique la igualdad.

Ecuaciones de la forma x



- Para resolver este tipo de ecuaciones aplicamos la siguiente propiedad de las desigualdades:

Si en ambos miembros de una desigualdad sumamos o restamos el mismo número, la igualdad se mantiene.

Ejemplo:

1. Resolver: x + 3 = 8

Resolvemos 3 en ambos miembros de la ecuación:

x + 3 - 3 = 8 - 3 x + 0 = 5

x = 5

2. Resolver: x – 5 = 9

Sumamos 5 en ambos miembros de la ecuación.

x - 5 - 5 = + 5 x + 0 = 14

x = 14

- Otra forma de resolver una ecuación aditiva es trasponiendo términos. Esto consiste en lo siguiente:

 Si pasamos del primer miembro al segundo un término positivo, éste pasará con signo cambiado, es decir negativo.

Ejemplo:

x + 4 = 7  x = 7 - 4 x = 3

 Si pasamos del primer miembro al segundo un término negativo, éste pasará con signo cambiado, es decir positivo.

Ejemplo:

x - 5 = 12  x = 12 + 5 x = 17

Importante

- Raíz de una ecuación es el “valor” que toma la variable o incógnita para transformar la ecuación en una igualdad de números.

- Conjunto solución de una ecuación es el conjunto que tiene como único elemento a la raíz de la ecuación.

Practica de clase

- Hallar la raíz de las siguientes ecuaciones:

1) x + 8 = 15 2) m + 5 = 18 3) x + 3 = 16

4) x + 9 = 23 5) p + 11 = 47 6) x + 33 = 90

7) x + 39 = 50 8) x + 57 = 71 9) 24 + a = 40 -13

10) z - 3 = 7 11) x - 6 = 15 12) y - 13 = 5

13) x - 16 = 4 14) 13 + b = 30 – 5 15) 20 + S = 25 + 4

16) 7 + 24 = m + 12 17) 35 – q = 23 – 6 18) 45 – 12 = 37 – d

19) c + 9 = 17 20) t – 11 = 3 21) 40 = u + 27

22) e + 4 = 13 – 2 23) j – 16 = 40 – 27 24) g – 6 = 15 – 7

25) 26 – f = 15 – 8 26) 35 – k = 20 – 13 27) h – 9 = 18 + 15

- Hallar el conjunto solución de cada uno de las siguientes ecuaciones:

1) 27 – 12 – x = 20 – 16 2) 48 – 30 + z = 53 – 32

3) u + 27 – 16 = 35 + 4 4) 29 – p + 40 = 40 + 13

5) t + 41 + 5 = 60 – 8 6) 73 – b – 35 = 60 – 45

7) 51 – 17 – f = 63 – 42 8) m + 29 + 18 = 75 – 3

9) n + 36 – 27 = 30 – 6 10) j + 14 + 8 = 65 – 26

ejercicios propuestos n° 01

01. En la siguiente gráfica subraya la ecuación que representa la situación:

x 30cm

50cm

a) 50 + x = 30 b) 30 – x = 50 c) x + 30 = 50 d) x + 20 = 50 02. Si:

+ + = 120

Entonces el valor de es:

a) 20 b) 40 c) 30 d) 45

03. El número que completa la siguiente igualdad:

18 - (20  ...) = 14

a) 4 b) 3 c) 5 d) 2

04. El valor de “z” en la siguiente ecuación es:

z + 16 – 9 = 18 + 6

a) 12 b) 13 c) 14 d) 15

05. El valor de “u” en la siguiente ecuación es:

35 – u + 28 = 35 – 6

a) 24 b) 44 c) 14 d) 34

TAREA DOMICILIARIA

1) y + 20 – 12 = 15 + 9 2) w + 14 + 8 = 65 – 26 3) p + 83 – 70 = 50 +11 4) 26 – b + 12 = 15 – 8 + 14 5) 48 + 3 – x = 22 + 13 6) 45 – a +

ECUACIONES DE LA FORMA a x = b ;

- Para resolver este tipo de ecuaciones aplicamos la siguiente propiedad de las desigualdades:

Si multiplicamos o dividimos a ambos miembros de una desigualdad por el mismo número, la igualdad se mantiene.

Ejemplos:

1. Resolver: 3x = 12

Dividimos entre 3 a ambos miembros del ecuación:

3 x 3 =

3 12

x = 4 → Raíz de la ecuación C.S. = {4} → Conjunto solución 2. Resolver:

5 x = 5

Multiplicamos por 3 a ambos miembros de la ecuación:

3  3

x = 3  5

x = 15 → Raíz de la ecuación C.S. = {15} → Conjunto solución

- Otra forma de resolver una ecuación multiplicativa es transponiendo términos, que consiste en lo siguiente:

I. En 2x = 6, el 2 está multiplicando a la variable “x” en el primer miembro; al pasar al segundo miembro, la multiplicará:

x = 3  4 Práctica de clase

- Hallar la raíz de las siguientes ecuaciones:

1) 4k = 20 2) 5x = 30 3) 6b = 18

4) 3 X = 24 5) 9e = 54 6) 4x = 36

7) 7p = 14 8) 11x = 121 9) 2z = 132

10) 6x = 72 11) 5q = 105 12) 5x = 75

13) 5

x = 3 14)

2

t = 13 15)

9

m = 75

16) 7

n = 10 17)

3

a = 12 18)

8 j = 9

19) 4

x = 13 20)

12

p = 6 21)

13 s = 6

22) 3x = 21 23) 8x = 64 24)

5 g = 16

25) 4

h = 11 26) 9k = 90 27)

2

v = 15

28) 6d = 54 29) 7x = 49 30) 6 y = 13

- Hallar el conjunto solución de las siguientes ecuaciones:

1) 2x = 42 – 20 2) 5p = 75 – 10

3) 6t = 75 – 15 4)

2

x = 35 – 11 – 16

5) 7

z = 21 – 16 + 10 6) 6 +

2

x = 15 – 3

7) 28 + 3

b = 24 + 8 8) 16 + 21 =

7

m + 1

9) 43 – 12 = 4

k + 18 10) 39 – 26 =

8 e - 2

11) 2w – 12 = 42 12) 5x = 41 +19

ejercicios propuestos n° 02

01. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones no tiene solución en N?

a) x + 45 = 12 b) y – 8 = 20 c) n + 84 = 95 d) a – 7 = 83 02. Resolver: x + 5 = 23 y dar como respuesta

3 x.

a) 3 b) 6 c) 18 d) 24

03. Resolver: 2z = 12 + 4. Dar como respuesta z + 1.

a) 10 b) 12 c) 8 e) 9

04. Hallar x + y – z si:

4x = 15 + 5 ; 7y = 59 – 10 ; z = 3x – 2y

a) 9 b) 2 c) 11 d) 7

05. ¿Cuál de las siguientes expresiones son ecuaciones?

I. x + 5 II. w – 4 = 0 III. 2q = 8 IV. 5 + 9 = 14

a) Todas b) sólo II c) I y IV d) II y III

TAREA DOMICILIARIA

1. Escribir cinco ecuaciones que tengan como solución p = 2.

2. Completa los números del camino.

4a = 37 – 9 3b = 22 +11

5c = 49 – 9 6b = 50 + 4

40

+2a

-4c

+d (b - d)

(b - a) 

 -b

ECUACIONES DE LA FORMA ax  b = c

Ejemplos:

1. Resolver: 4x + 16 = 24

Solución:

4x + 16 = 24 4x = 24 – 16 4x = 8 x =

4 8

x = 2 C.S. = { 2 }

2. Resolver: 2x – 8 = 20

Solución:

2x – 8 = 20 2x = 20 + 8 2x = 28

x = 2 28

x = 14 C.S. = { 14 }

Practica de clase

Hallar la raíz de las siguientes ecuaciones:

1) 2x + 1 = 3 2) 4g – 6 = 10 3) 3q + 4 = 7

4) 7b + 1 = 43 5) 4m – 4 = 8 6) 10x – 40 = 30

7) 4t – 6 = 42 8) 5k + 5 = 25 9) 5d – 7 = 43

10) 4z – 2 = 14 11) 6a – 9 = 39 12) 3c + 8 = 38

13) 3q + 4 = 25 14) 2e – 5 = 17 15) 2d – 5 = 23

16) 4g + 3 = 55 17) 3i + 9 = 54 18) 5f – 13 = 47

19) 6h + 7 = 61 20) 9j – 29 = 43 21) 5n + 18 = 33

22) 7p + 12 = 54 23) 6v – 59 = 49 24) 2x + 5 = 13

25) 3y – 4 = 17 26) 4z – 3 = 17 27) 9x + 20 = 92

- Hallar el conjunto solución de las siguientes ecuaciones:

1) 3x + 20 = x + 42 2) 5b – 36 = 3b + 14

3) 4h + 85 = h + 100 4) 6e + 10 = e + 75

5) 4j – 30 = j + 39 6) 9k + 15 = 3k + 75

7) 7g – 42 = 3g + 18 8) 4m – 3 = m + 9

9) 3t + 1 = t + 7 10) 5v + 19 = 21 + 3v

ejercicios propuestos n° 03

01. Resolver: 20 – 3x = x + 4. Dar como respuesta 2x.

a) 4 b) 6 c) 8 d) 10

02. Resolver: 35 + 8m = 42 + m. Dar como respuesta m².

a) 2 b) 1 c) 4 d) 3

03. Si = 50 y = + , entonces el valor de  en:

3 = +

a) 20 b) 30 c) 40 d) 50

04. Encuentra el valor de: c – a – b.

28

2 5

40

3 7

c

a b

Sabiendo que: 2a + 1 = 19 y b – 1 = 10

a) 60 b) 44 c) 26 d) 32

05. Al resolver la ecuación: 9v + 12 = 200 – 80, el valor de la raíz es:

a) 9 b) 12 c) 13 d) 10

TAREA DOMICILIARIA

1. Escribir 5 ecuaciones de la forma ax  b = c que tengan como raíz x = 3.

2. Escribir 5 ecuaciones de la forma ax  b = cx  d que tengan como raíz x = 2.

ECUACIONES DE LA FORMA:

c b ax 

= d

Ejemplos:

1. Resolver:

2 2 x 9 +

= 10

Solución:

2 2 x 9 +

= 10 9x + 2 = 10(2) 9x + 2 = 20 9x = 18 x =

9 18

x = 2 C.S. = { 2 }

2. Resolver:

7 4 m

5 −

= 3 Solución:

7 4 m

5 −

= 3 5m – 4 = 3(7) 5m – 4 = 21 5m = 21 + 4 5m = 25 m =

5 25

m = 5 C.S. = { 5 }

Práctica de clase

Hallar la raíz de las siguientes ecuaciones:

1) 9

6 z 11 −

= 2 2)

7 7 m

9 +

= 10 3)

2 12 n 6 −

= 10

4) 6

14 p 8 +

= 9 5)

10 44 y 12 −

= 10 6)

8 7 q−

= 25

7) 5 13 x +

= 24 8)

13 7 y +

= 4 9)

6 10 k −

= 11

10) 3 10 j 7 −

= 13 11)

8 2 t 3 −

= 5 12)

2 6 b 10 −

= 12

13) 7 16 a 6 +

= 10 14)

2 18 d 25 +

= 34 15)

25 3 e 17 −

= 6

16) 4 13 f 35 −

= 58 17)

34 1 g 9 −

= 5 18)

127 8 h 6 +

= 2

19) 5 27 i 53 −

= 90 20)

13 + 60

 = 8 21)

13 10 z 4 −

= 10

Hallar el conjunto solución de las siguientes ecuaciones:

1) 3

27 a 6 −

= 9 + 8 2)

21 b 16

b + +

= 1 + 3

3) 2

2 5 d

3 + +

= 18 + 14 4)

6 e 6 15 e

11 − −

= 25 – 10

5) 78

f 8 11 f

15 + +

= 7 – 3 6)

4 g 12 g

3 − +

= 17

7) 2

6 12 h

8 + −

= 191 8)

10 h 2 3 h

5 − +

= 20

9) 23

3 i 2 4 i

11 + − +

10) 35

j 3 8 j

9 − −

= 2

ejercicios propuestos n° 04

01. Resolver:

2 7 x 5 +

= 26. Dar como respuesta x + 6.

a) 15 b) 25 c) 5 d) 10

02. Resolver: x - 2

x = 2x – 6. Dar como respuesta 3x + 1.

a) 9 b) 11 c) 12 d) 13

03. Resolver: 3x - 3

x = 16. Dar como respuesta 2

4 x 2 −

.

a) 8 b) 4 c) 12 d) 6

04. Al resolver la ecuación:

40 9 z 3 −

= 3; el valor de la raíz es:

a) 13 b) 53 c) 23 d) 43

05. Si = 25 y = 13, entonces el valor de en:

- = 8

a) 213 b) 231 c) 223 d) 243

TAREA DOMICILIARIA

1. Escribir 5 ecuaciones de la forma c

b ax 

= d que tengan como raíz x = 4.

2. Escribir 5 ecuaciones de la forma c

b ax 

= d  e que tengan como raíz x = 6.