T2. ESPACIO, TIEMPO Y ESPACIOTIEMPO: DIAGRAMAS DE MINKOWSKI

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T2. ESPACIO, TIEMPO Y ESPACIOTIEMPO:

DIAGRAMAS DE MINKOWSKI

1. Introducción: postulados de la relatividad especial 2. Definición de tiempo

2.1 ¿Qué es medir el tiempo?

2.2 Sistema común de tiempos 2.3 Dilatación temporal

3. Definición de espacio

3.1 ¿Qué es medir una longitud?

3.2 Contracción espacial

4. Resumen: transformaciones de Lorentz

.../...

(2)

T2. ESPACIO, TIEMPO Y ESPACIOTIEMPO:

DIAGRAMAS DE MINKOWSKI

.../...

5. El espaciotiempo: diagramas de Minkowski 5.1 Observador en reposo

5.2 Observador en movimiento relativo

5.3 Intervalo invariante y calibración de los ejes de coordenadas 5.4 Orden temporal y causalidad

(3)

1. Postulados de la relatividad especial

(4)

1. Postulados de la relatividad especial

I. Principio de relatividad

Las leyes de la física son las mismas para cualquier observador inercial

(5)

1. Postulados de la relatividad especial

I. Principio de relatividad

•

(6)

1. Postulados de la relatividad especial

I. Principio de relatividad

• Mismas leyes 6= mismas observaciones

•

(7)

1. Postulados de la relatividad especial

I. Principio de relatividad

• Imposibilidad de distinguir reposo y movimiento

•

(8)

1. Postulados de la relatividad especial

I. Principio de relatividad

• No existe sistema referencia privilegiado

•

(9)

1. Postulados de la relatividad especial

I. Principio de relatividad

• Todas las leyes, no sólo las de la mecánica

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1. Postulados de la relatividad especial

I. Principio de relatividad

II. Constancia de la velocidad de la luz

La velocidad de la luz es siempre la misma, independientemente de la velocidad de la fuente respecto al observador

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1. Postulados de la relatividad especial

I. Principio de relatividad

II. Constancia de la velocidad de la luz

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1. Postulados de la relatividad especial

I. Principio de relatividad

II. Constancia de la velocidad de la luz

•

(13)

1. Postulados de la relatividad especial

I. Principio de relatividad

II. Constancia de la velocidad de la luz

• De acuerdo con ecuaciones de Maxwell

•

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1. Postulados de la relatividad especial

I. Principio de relatividad

II. Constancia de la velocidad de la luz

• De acuerdo con experimentos de Michelson-Morley y suce- sores

(15)

1. Postulados de la relatividad especial

I. Principio de relatividad

II. Constancia de la velocidad de la luz

• De acuerdo con experimentos de Michelson-Morley y suce- sores

• Primera confirmación directa: π⁰ → _γγ ₍₁₉₆₄₎

(16)

2. Definición de tiempo

Einstein introduce definiciones operacionales: instrucciones para hacer medidas

(17)

2. Definición de tiempo

2.1 ¿Qué es medir el tiempo?

Comparar sucesos usando relojes (procesos que se repiten con regularidad)

Problema: observadores distantes (la luz tarda un tiempo en llegar) y observadores móviles

(18)

2. Definición de tiempo

2.1 ¿Qué es medir el tiempo?

Comparar sucesos usando relojes (procesos que se repiten con regularidad)

Problema: observadores distantes (la luz tarda un tiempo en llegar) y observadores móviles

2.2 Sistema común de tiempos

Asignar un tiempo único y bien determinado a un suceso

(19)

Observadores distantes

(en reposo relativo)

0000 0000 0000 0000 0000 00

1111 1111 1111 1111 1111 11

0000 0000 0000 0000 0000 00

1111 1111 1111 1111 1111 11

0000 0000 0000 0000 0000 00

1111 1111 1111 1111 1111 11

0000 0000 0000 0000 0000 00

1111 1111 1111 1111 1111 11

0000 0000 0000 0000 0000 00

1111 1111 1111 1111 1111 11

0000 0000 0000 0000 0000 00

1111 1111 1111 1111 1111 11

0000 0000 0000 0000 0000 00

1111 1111 1111 1111 1111 11

0000 0000 0000 0000 0000 00

1111 1111 1111 1111 1111 11

0000 0000 0000 0000 0000 00

1111 1111 1111 1111 1111 11

0000 0000 0000 0000 0000 00

1111 1111 1111 1111 1111 11

0000 0000 0000 0000 0000 00

1111 1111 1111 1111 1111 11

0000 0000 0000 0000 0000 00

1111 1111 1111 1111 1111 11

Pablo

A B

Espejos

Alicia

(punto medio)

(20)

Observadores distantes

0000 0000 0000 0000 0000 00

1111 1111 1111 1111 1111 11

0000 0000 0000 0000 0000 00

1111 1111 1111 1111 1111 11

0000 0000 0000 0000 0000 00

1111 1111 1111 1111 1111 11

0000 0000 0000 0000 0000 00

1111 1111 1111 1111 1111 11

0000 0000 0000 0000 0000 00

1111 1111 1111 1111 1111 11

0000 0000 0000 0000 0000 00

1111 1111 1111 1111 1111 11

0000 0000 0000 0000 0000 00

1111 1111 1111 1111 1111 11

0000 0000 0000 0000 0000 00

1111 1111 1111 1111 1111 11

0000 0000 0000 0000 0000 00

1111 1111 1111 1111 1111 11

0000 0000 0000 0000 0000 00

1111 1111 1111 1111 1111 11

0000 0000 0000 0000 0000 00

1111 1111 1111 1111 1111 11

0000 0000 0000 0000 0000 00

1111 1111 1111 1111 1111 11

Pablo

A B

Espejos

Alicia

(punto medio) Sistema común de tiempos

sincronizar flashes de Pablo y Alicia ⇒ relojes sincronizados en cada punto del espacio

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Observadores distantes

0000 0000 0000 0000 0000 00

1111 1111 1111 1111 1111 11

0000 0000 0000 0000 0000 00

1111 1111 1111 1111 1111 11

0000 0000 0000 0000 0000 00

1111 1111 1111 1111 1111 11

0000 0000 0000 0000 0000 00

1111 1111 1111 1111 1111 11

0000 0000 0000 0000 0000 00

1111 1111 1111 1111 1111 11

0000 0000 0000 0000 0000 00

1111 1111 1111 1111 1111 11

0000 0000 0000 0000 0000 00

1111 1111 1111 1111 1111 11

0000 0000 0000 0000 0000 00

1111 1111 1111 1111 1111 11

0000 0000 0000 0000 0000 00

1111 1111 1111 1111 1111 11

0000 0000 0000 0000 0000 00

1111 1111 1111 1111 1111 11

0000 0000 0000 0000 0000 00

1111 1111 1111 1111 1111 11

0000 0000 0000 0000 0000 00

1111 1111 1111 1111 1111 11

Pablo

A B

Espejos

Alicia

Tiempo t de un suceso: el que corresponde al sistema común de tiempos, no es el que marca el reloj de cualquier observador salvo si el suceso ocurre exactamente frente al observador

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Observadores distantes

0000 0000 0000 0000 0000 00

1111 1111 1111 1111 1111 11

0000 0000 0000 0000 0000 00

1111 1111 1111 1111 1111 11

0000 0000 0000 0000 0000 00

1111 1111 1111 1111 1111 11

0000 0000 0000 0000 0000 00

1111 1111 1111 1111 1111 11

0000 0000 0000 0000 0000 00

1111 1111 1111 1111 1111 11

0000 0000 0000 0000 0000 00

1111 1111 1111 1111 1111 11

0000 0000 0000 0000 0000 00

1111 1111 1111 1111 1111 11

0000 0000 0000 0000 0000 00

1111 1111 1111 1111 1111 11

0000 0000 0000 0000 0000 00

1111 1111 1111 1111 1111 11

0000 0000 0000 0000 0000 00

1111 1111 1111 1111 1111 11

0000 0000 0000 0000 0000 00

1111 1111 1111 1111 1111 11

0000 0000 0000 0000 0000 00

1111 1111 1111 1111 1111 11

Pablo

A B

Espejos

Alicia

Tiempo t de un suceso: el que corresponde al sistema común de tiempos, no es el que marca el reloj de cualquier observador salvo si el suceso ocurre exactamente frente al observador

Tiempo propio (t): el del reloj de un observador en el mismo punto y el mismo instante en que ocurre

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Observadores móviles

(en movimiento relativo)

A

Pablo Alicia

v Gertrudis

B

(punto medio)

Relojes de Pablo y Alicia sincronizados (sus flashes me llegan simultáneamente, más tarde)

(24)

Observadores móviles

A

Pablo Alicia

v Gertrudis

B

(punto medio)

Relojes de Pablo y Alicia sincronizados (sus flashes me llegan simultáneamente, más tarde) Para Gertrudis los flashes no son simultáneos

La simultaneidad es un concepto relativo al observador

(25)

Observadores móviles

A

Pablo Alicia

v Gertrudis

B

(punto medio)

Relojes de Pablo y Alicia sincronizados (sus flashes me llegan simultáneamente, más tarde) Para Gertrudis los flashes no son simultáneos

La simultaneidad es un concepto relativo al observador

Gertrudis puede acordar un sistema común de tiempos (su tiempo propio) con los pasajeros del tren pero no con Pablo y Alicia

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2.3 Dilatación temporal

Reloj de luz

00000000 0000 11111111 1111

00000000 0000 11111111 1111 00000000

0000 11111111 1111 00000000 0000 11111111 1111

00000000 0000 11111111 1111

vt vt

2 2

L v

t

₀

(27)

2.3 Dilatación temporal

Reloj de luz

00000000 0000 11111111 1111

00000000 0000 11111111 1111 00000000

0000 11111111 1111 00000000 0000 11111111 1111

00000000 0000 11111111 1111

vt vt

2 2

L v t

₀

c = ^2L

t₀ = ^{2p L}

2 + (_vt/2)²

t ⇒ t = √ ^t⁰

1− v²/c² El tiempo es un concepto relativo al observador

(28)

3. Definición de espacio

3.1 ¿Qué es medir una longitud?

Alinear marcas de una regla (patrón) con los extremos de un objeto

(29)

3. Definición de espacio

3.1 ¿Qué es medir una longitud?

Alinear marcas de una regla (patrón) con los extremos de un objeto

Problemas si el objeto se mueve mientras lo medimos: hay que conocer la posición de ambos extremos simultáneamente ...

La longitud es un concepto relativo al observador

(30)

3.2 Contracción espacial

v tunel

,

Flashes cuando la cabeza sale del túnel / la cola entra en el túnel

(31)

3.2 Contracción espacial

v tunel

,

Flashes cuando la cabeza sale del túnel / la cola entra en el túnel Para ti simultáneos: el vagón mide igual que el túnel

(32)

3.2 Contracción espacial

v tunel

,

Para ti simultáneos: el vagón mide igual que el túnel Para Gertrudis primero el de cabeza y luego el de cola: el vagón es más largo que el túnel

(33)

3.2 Contracción espacial

v tunel

,

La longitud del vagón está contraída para ti

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3.2 Contracción espacial

v tunel

,

L = L₀/γ , γ = √ ¹

1 −v²/c²

(35)

3.2 Contracción espacial

v tunel

,

L = L₀/γ , γ = √ ¹

1− v²/c² L₀ = longitud propia

(36)

3.2 Contracción espacial

v tunel

,

L = L₀/γ , γ = √ ¹

1− v²/c² L₀ = longitud propia

(37)

4. Resumen: transformaciones de Lorentz

O O

⁰

v

x x

⁰

y y

⁰

(t) (t

⁰

)

ct⁰ = _{γ ct} −_{γβ x}

x⁰ = −_{γβ ct}+ _{γ x} ^{o bien}

ct = _{γ ct}⁰ +_{γβ x}⁰ x = _{γβ ct}⁰ + _{γ x}⁰

y = y⁰ z = z⁰

β = ^v

c , γ = ¹

p1 − _β²

⇒ Límite no relativista: v _{c, γ} ≈ 1, se recuperan las transformaciones de Galileo t⁰ = _{t ,} x⁰ = x − _vt

(38)

5. El espaciotiempo: diagramas de Minkowski

(39)

5. El espaciotiempo: diagramas de Minkowski

Simplificación matemática (espacio y tiempo no son la misma cosa). Ventajas:

(40)

5. El espaciotiempo: diagramas de Minkowski

Simplificación matemática (espacio y tiempo no son la misma cosa). Ventajas:

1. Resolución gráfica sencilla de las transformaciones de Lorentz (diagramas de Minkowski) 2. Representar la película completa de la evolución de un objeto

(41)

5.1 Observador en reposo

x t

φ

45

45^ο ^ο

Α

velocidad uniforme de un objeto a gran rayos de luz

linea de universo,

Sucesos (t es el tiempo propio, x es la distancia al origen). Unidades: c = ₁

Líneas de universo (movimiento uniforme: t = ¹_v_{x, tan φ} = _{v y} movimiento acelerado) Rayos de luz (siempre a 45^◦)

(42)

5.2 Observador en movimiento relativo

x t

φ

Α t’

x’

t=x/v A ocurre en

este instante

Para O’, A ocurre aqui Para O’,

t=vx φ

t⁰ = _γ (t −_vx) [c = ₁] x⁰ = _γ (x − vt)

Eje x’: sucesos simultáneos para O⁰ _{a t}⁰ = ₀ ⇒ t = vx

(43)

5.3 Intervalo invariante y calibración de los ejes

x t

φ

φ t’

x’

1

1 1

1

No todo es relativo: además de la velocidad de la luz, el intervalo es invariante,

∆s² ≡ (_c_∆t)² − (_∆x)² = (_c_∆t⁰)² − (_∆x⁰)²

(44)

5.3 Intervalo invariante y calibración de los ejes

x t

φ

φ t’

x’

1

1 1

1

∆s² ≡ (_c_∆t)² − (_∆x)² = (_c_∆t⁰)² − (_∆x⁰)²

⇒ Calibración de los ejes intersección de hipérbolas con ejes

(45)

5.3 Intervalo invariante y calibración de los ejes

x t

φ

φ t’

x’

1

1 1

1

∆s² ≡ (_c_∆t)² − (_∆x)² = (_c_∆t⁰)² − (_∆x⁰)²

⇒ Calibración de los ejes intersección de hipérbolas con ejes Tipos de intervalo: temporal (∆s² > _0), _espacial ₍_∆s² < _{0) y} _nulo ₍_∆s² = ₀₎

(46)

5.4 Orden temporal y causalidad

¡El orden temporal de los acontecimientos depende del observador!

x

t t’

x’

B A

C O

(47)

5.4 Orden temporal y causalidad

¡El orden temporal de los acontecimientos depende del observador!

x

t t’

x’

B A

C O

Causalidad...

Sucesos conectados causalmente: en el mismo orden para todos los observadores

⇒ _{dentro del} cono de luz (separados por un intervalo temporal, invariante) ... garantizada

(48)

Regiones conectadas causalmente con el origen

000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000

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x t

Futuro

Pasado

Presente

(49)

Dilatación temporal

T T’

t t’

x x’

O

A B

t = _γ(t⁰ +vx⁰) x = _γ(_vt⁰ + _x⁰) ^;

t⁰_B = T⁰ x⁰_B = ₀







t_A = t_B = _γt⁰_B ⇒ T = _γT⁰

(50)

Contracción de Lorentz

t t’

x t=vx x’

L’

B

A O L

Medir es comparar sucesos simultáneos: L = _{OA, L}⁰ = OB t = _γ(t⁰ + vx⁰)

; t_A = ₀ ⇒ t⁰_A = −vx⁰_A





⇒ L = L⁰/γ

(51)

Dilatación temporal

B

T’

t t’

x x’

O A T

t⁰ = _γ(t− _vx)

x⁰ = _γ(−vt+ x) ^;

t_A = T x_A = ₀







t⁰_B = t⁰_A = _γt_A ⇒ _T⁰ = _γT

(52)

Contracción de Lorentz

t t’

x x’

O

t=vx L’

B A L

Medir es comparar sucesos simultáneos: L = _{OA, L}⁰ = OB t⁰ = _γ(t− _vx) t_B = vx_B = vL



 t⁰ = ₀