Dinámica de las correlaciones durante el proceso de decoherencia.

Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Departamento de F´ısica

Din´amica de las correlaciones durante el proceso de decoherencia.

por

Augusto Jos´ e Roncaglia

Director de Tesis: Juan Pablo Paz

Lugar de Trabajo: Departamento de F´ısica, FCEN, UBA

Trabajo de Tesis para optar por el t´ıtulo de

Doctor de la Universidad de Buenos Aires en el ´area de Ciencias F´ısicas.

Abril, 2009

En esta tesis estudiamos la din´amica de las correlaciones durante el proceso de de- coherencia desde dos puntos de vista diferentes. En primer lugar, analizamos el efecto de la decoherencia sobre el entrelazamiento en un sistema formado por dos osciladores acoplados a un entorno bos´onico. Proveemos una descripci´on exacta de todos los compor- tamientos cualitativamente diferentes del entrelazamiento (fases) en funci´on del tiempo.

Los resultados anal´ıticos fueron obtenidos utilizando ecuaciones maestras exactas como principal herramienta y fueron corroborados con la soluci´on num´erica exacta. En segundo lugar, estudiamos la naturaleza de las correlaciones que son creadas entre el sistema y su entorno durante el proceso de decoherencia. Analizando la evoluci´on temporal de las correlaciones totales, medidas por la informaci´on mutua, y de las correlaciones cu´anticas, caracterizadas por el entrelazamiento, demostramos que en este tipo de modelos las co- rrelaciones resultan ser redundantes. Definimos una nueva medida de redundancia y la aplicamos para analizar la forma en que la interacci´on con el entorno induce el surgimiento de una propiedad central en el mundo cl´asico: la objetividad.

Palabras claves: Decoherencia, Entrelazamiento, Informaci´on cu´antica

In this thesis we study the dynamics of the correlations during the decoherence process from two different points of view. In the first part of this work, we analyze the effect of the decoherence over the entanglement of a system composed by two quantum harmonic oscillators coupled to a bosonic environment. We provide a complete characterization of the time evolution of entanglement and we identify the phases with different qualitative long time behavior. The analytical results are obtained using exact master equations as our main tools, and they are compared with the exact numerical solution. In the second part, we study the nature of the correlations that are created between the system and the environment during the decoherence process. We consider the total correlations, measured by the mutual information, and the quantum correlations, characterized by the entangle- ment. We analyze the evolution of the correlations between the system and fractions of the environment of variable size, and we show the appearance of redundancy in these type of models. We also define a new measure of redundancy and we apply it to analyze the emergence of a central property of the classical world: objectivity.

Keywords: Decoherence, Entanglement, Quantum Information

1. Introducci´on 1

2. Decoherencia 5

2.1. Introducci´on . . . 5

2.2. Correlaciones, mediciones y decoherencia . . . 6

2.3. Decoherencia de un qubit . . . 8

2.4. Modelos de decoherencia . . . 8

2.5. Movimiento Browniano Cu´antico . . . 10

2.5.1. El Modelo . . . 10

2.5.2. Ecuaci´on Maestra . . . 12

2.5.3. Aplicaciones de la ecuaci´on maestra del MBC al estudio de la de- coherencia . . . 15

3. Decoherencia y Entrelazamiento 21 3.1. Entrelazamiento . . . 22

3.2. Entrelazamiento entre modos bos´onicos . . . 25

3.2.1. Nociones b´asicas y notaci´on . . . 25

3.2.2. Estados Gaussianos y su representaci´on . . . 26

3.2.3. Negatividad logar´ıtmica para estados Gaussianos . . . 32

3.3. Informaci´on mutua cu´antica . . . 33

4. Din´amica del entrelazamiento entre dos osciladores en un mismo en- torno 37 4.1. El Modelo . . . 38

4.1.1. Movimiento Browniano cu´antico con acoplamiento en posici´on . . . 38

4.1.2. Movimiento Browniano cu´antico con acoplamiento sim´etrico en po- sici´on y momento . . . 41

4.2. Evoluci´on del entrelazamiento para osciladores acoplados a un mismo entorno 43 4.2.1. Interpretaci´on: ¿De d´onde proviene el entrelazamiento? . . . 46

4.3. Diagramas de fases para la din´amica del entrelazamiento . . . 48

4.4. Evoluci´on temporal de las diferentes fases: Resultados anal´ıticos y num´ericos. 52 4.4.1. Acoplamiento en Posici´on: diferentes densidades espectrales . . . 52

4.4.2. Acoplamiento Sim´etrico: diferentes densidades espectrales . . . 61

4.5. Osciladores no-resonantes . . . 63

4.6. Osciladores resonantes interactuantes y estados iniciales mixtos . . . 65

4.7. Conclusiones . . . 69

5. Din´amica de las correlaciones entre el sistema y el entorno 73 5.1. Introducci´on . . . 74

5.1.1. Modelo y simulaci´on num´erica . . . 74

5.2. Din´amica de la Informaci´on . . . 76

5.2.1. Desarrollo de las correlaciones . . . 76

5.2.2. Correlaciones entre el sistema y bandas del entorno . . . 78

5.2.3. Correlaciones entre el sistema y fracciones del entorno . . . 82

5.3. Redundancia en el movimiento Browniano cu´antico . . . 86

5.3.1. ¿C´omo cuantificar la redundancia? . . . 86

5.3.2. Desarrollo de redundancia y el rol de la disipaci´on . . . 88

5.4. Resultados anal´ıticos a partir de un modelo simple . . . 90

5.4.1. Informaci´on mutua y redundancia de la informaci´on . . . 93

5.4.2. Entrelazamiento y redundancia del entrelazamiento . . . 96

5.4.3. Efecto de un entorno no-disipativo: el caso super-´ohmico . . . 98

5.5. Informaci´on acerca del estado inicial en el entorno . . . 100

5.6. Conclusiones . . . 101

6. Conclusiones Generales 103 A. Material adicional: Entrelazamiento entre dos osciladores en un mismo entorno 107 A.1. Ecuaci´on maestra para acoplamiento sim´etrico en posici´on y momento . . . 107

A.2. Coeficientes de la ecuaci´on maestra para osciladores no-resonantes . . . 108

B. Operador evoluci´on reducido para el sistema compuesto 109 C. Material adicional: Variables continuas 115 C.1. Generalidades . . . 115

C.2. Prueba del criterio PPT para estados Gaussianos de dos modos . . . 117

C.3. Autovalores simpl´ecticos de la matriz de covarianza . . . 119

Introducci´ on

El inter´es por la informaci´on cu´antica ha aumentado vertiginosamente en los ´ultimos a˜nos. Esto se debe no solamente a los importantes desarrollos te´oricos sino tambi´en a una serie de avances experimentales en el control y manipulaci´on de sistemas cu´anticos.

Una de las ideas centrales de la teor´ıa de informaci´on cu´antica se basa en que sistemas f´ısicos tales como fotones o iones sean los portadores de la informaci´on, en forma similar a lo que sucede con un papel al escribir una nota. De esta manera, la mec´anica cu´anti- ca, que describe la f´ısica de estos sistemas, abre nuevas posibilidades para el proceso y la comunicaci´on de la informaci´on. Algunas de sus potenciales aplicaciones van desde la factorizaci´on de n´umeros grandes [1], simulaci´on de sistemas cu´anticos [2], protocolos de comunicaci´on [3], teleportaci´on [4] y criptograf´ıa cu´antica [5, 6]. El desempe˜no superla- tivo que proveen los sistemas cu´anticos en aplicaciones relacionadas con computaci´on y comunicaci´on es consecuencia del principio de superposici´on, que permite a un sistema cu´antico existir en una combinaci´on coherente de estados, y de las correlaciones cu´anti- cas: el entrelazamiento. El entrelazamiento, da cuenta de correlaciones asombrosamente fuertes entre los componentes de un sistema y es uno de los aspectos elementales m´as intrigantes de la mec´anica cu´antica. Luego de que dos sistemas cu´anticos interact´uan, generalmente finalizan en un estado que no es separable. De este modo, las propiedades de cada sistema no pueden ser descriptas en forma independiente, incluso al desplazar a los componentes a lugares distantes. Dado su car´acter no-local, es imposible de recrear este tipo de correlaciones en sistemas cl´asicos.

Parad´ojicamente, las propiedades que hacen poderosas a las computadoras cu´anticas, son la causa de que estos sistemas sean muy sensibles ante las perturbaciones externas.

Todo sistema cu´antico al interactuar en forma descontrolada con cualquier agente externo o entorno crea nuevas correlaciones. Dichas interacciones tienen el poder de entrelazar a nuestro sistema de inter´es con el entorno y cambiar su naturaleza. El desarrollo de correlaciones entre sistema y entorno puede ser interpretado como un monitoreo constante por parte del entorno sobre el sistema. Esta es la esencia de la decoherencia, debido al monitoreo por parte del entorno, el estado del sistema pierde su coherencia de fase.

Es as´ı que emergen las propiedades cl´asicas, haciendo in´util al estado para cualquier comunicaci´on o computaci´on cu´antica.

Es por eso, que resulta de gran inter´es lograr un entendimiento profundo de c´omo se produce la transici´on cu´antico-cl´asica y de esta manera generar nuevas estrategias que per- mitan proteger a los sistemas cu´anticos, o la informaci´on que ellos contienen, de la acci´on inevitable del entorno. El objetivo de esta tesis apunta en esa direcci´on. Estudiaremos las correlaciones que son creadas, o degradadas, durante el proceso de decoherencia. De esta manera, el trabajo puede ser dividido en dos partes principales: en la primera, considera- remos la din´amica del entrelazamiento en un sistema compuesto cuando interact´ua con un entorno, y en la segunda estudiaremos el desarrollo de las correlaciones entre el sistema y las diferentes partes del entorno (ver Fig. 1). En la primer parte, caracterizaremos com- pletamente la din´amica del entrelazamiento para el sistema compuesto y analizaremos las posibles instancias de su din´amica. Mientras que en la segunda parte analizaremos de qu´e manera se generan las correlaciones entre el sistema y diferentes fracciones del entorno, caracterizando el tipo de correlaciones que se crean haciendo una distinci´on en- tre correlaciones totales y correlaciones cu´anticas. Adem´as, mostraremos c´omo es posible relacionar la forma en que se crean las correlaciones con la aparici´on de clasicalidad.

Figura 1.1: La primer parte de la tesis se centrar´a en el estudio de la din´amica del entrela- zamiento en un sistema compuesto acoplado al entorno (izquierda) y la segunda parte en las correlaciones generadas entre el sistema y el entorno durante el proceso de decoherencia (derecha).

Esta tesis se encuentra organizada de la siguiente manera: en el Cap´ıtulo 2 intro- duciremos las nociones b´asicas del proceso de decoherencia junto con algunos ejemplos can´onicos. En ese cap´ıtulo, adem´as, presentamos el modelo de decoherencia que usare- mos: el movimiento Browniano cu´antico, junto con la resoluci´on de su ecuaci´on maestra exacta. En el siguiente cap´ıtulo introduciremos la noci´on de entrelazamiento, las medi- das de entrelazamiento y el formalismo para representar estados Gaussianos. Por ´ultimo, introduciremos el concepto de informaci´on mutua cu´antica como medida de las correla- ciones totales. En el Cap´ıtulo 4 estudiaremos la din´amica del entrelazamiento entre dos osciladores acoplados a un mismo entorno. Resolveremos exactamente su din´amica para cualquier temperatura, densidad espectral y presentaremos resultados anal´ıticos que des- criben completamente su din´amica a tiempos asint´oticos. En el Cap´ıtulo 5 estudiaremos las correlaciones que son creadas entre el sistema y su entorno. Analizaremos el desarrollo

de correlaciones como una manifestaci´on de clasicalidad. Aqu´ı los resultados num´ericos exactos tambi´en ser´an complementados con un modelo que describe las diferentes situa- ciones. Hacia el final de cada cap´ıtulo agregaremos las conclusiones y al final de la tesis resumiremos los resultados m´as generales.

El material contenido en esta tesis ha dado lugar a las siguientes publicaciones ori- ginales: el contenido del Cap´ıtulo 4 se encuentra parcialmente incluido en las referencias [7, 8]. El contenido del Cap´ıtulo 5 se encuentra parcialmente incluido en las referencias [9, 10].

Decoherencia

2.1. Introducci´ on

Cuando los efectos cu´anticos fueron descubiertos, y la teor´ıa cu´antica fue formulada en las primeras d´ecadas del siglo pasado, se produjo un cambio de paradigma en la visi´on que se ten´ıa de la f´ısica en particular y de la naturaleza en general. La posibilidad de encontrar a los sistemas f´ısicos en una superposici´on de estados, quiz´as sea la caracter´ıstica m´as sobresaliente; y el de gato de Schr¨odinger [11] el ejemplo m´as conocido que ilustra dicha situaci´on. El principio de superposici´on, indica que cualquier combinaci´on de estados cu´anticos es un estado aceptable. Pero este hecho parece entrar en conflicto con nuestra realidad cotidiana ya que los estados que percibimos se encuentran localizados, los objetos macrosc´opicos los encontramos en un lugar o en otro pero nunca en una combinaci´on de ambos. Mas a´un, el conjunto todos los estados en el espacio de Hilbert es enorme comparado con el tama˜no del conjunto de estados que encontramos en los sistemas cl´asicos.

En un intento por reconciliar estas dos descripciones de la naturaleza, surge el problema conocido como la transici´on cu´antico-cl´asica.

De esta manera, asoma la decoherencia [12, 13, 14, 15, 16, 17] para explicar la aparici´on del mundo cl´asico a partir del sustrato cu´antico. La decoherencia es causada por la inter- acci´on entre el sistema y su entorno. Dicha interacci´on es la responsable de la selecci´on din´amica de un conjunto peque˜no de estados del espacio de Hilbert [18, 19]. De este modo, las superposiciones arbitrarias de estados son transformadas en una mezcla estad´ıstica de estados pertenecientes a una base preferencial de “estados puntero” [18, 19]. Debido a esta interacci´on el sistema y el entorno se correlacionan y las superposiciones inicialmente confinadas al sistema se despliegan al estado (macrosc´opico) del sistema-entorno. Por lo tanto, la coherencia del sistema no puede ser m´as considerada una propiedad individual del sistema aislado. La idea fundamental que permite entender este proceso consiste en considerar que el entorno monitorea (o mide) al sistema cu´antico continuamente mediante la interacci´on. Esto implica que informaci´on acerca del mismo es transferida al entorno, la propiedad importante de los estados puntero es que estos son los m´as insensibles al monitoreo, es decir, en el caso m´as simple, son autoestados de la interacci´on. Es intere-

sante notar que esta din´amica surge de la aplicaci´on de elementos de la mec´anica cu´antica tradicional y no constituye una modificaci´on a la mec´anica cu´antica.

En este cap´ıtulo daremos una introducci´on a la decoherencia mostrando algunos ejem- plos can´onicos que ilustran sus propiedades fundamentales. Hacia el final del cap´ıtulo introduciremos el movimiento Browniano cu´antico como modelo paradigm´atico de la de- coherencia; y resumiremos los aspectos salientes del mismo que luego ser´an fundamentales a lo largo de los dem´as cap´ıtulos.

2.2. Correlaciones, mediciones y decoherencia

Para comenzar podemos plantear el problema de la medici´on, donde veremos c´omo la decoherencia explica la aparici´on del comportamiento cl´asico de un detector en el an´alisis cu´antico de la medici´on de von Neumann. Consideremos la medici´on del estado de un sistema cu´anticoS de dos niveles (por ejemplo una part´ıcula de sp´ın 1/2) [18]. El espacio de Hilbert del sistema HS puede ser expandido en una base ortonormal {| ↑i, | ↓i}.

Mientras que el aparato o detector, de acuerdo al an´alisis de la medici´on de von Neumann [20], es tambi´en un sistema cu´antico que vive en un espacio de Hilbert HA expandido en una base {|Aii}. Si inicialmente el detector se encuentra en el estado |A0i, el resultado de la interacci´on con el sistema crea las siguientes correlaciones:

| ↑i|A0i → | ↑i|A1i, | ↓i|A0i → | ↓i|A0i, (2.1) donde hA0|A1i = 0. Este proceso establece una relaci´on uno a uno entre el estado del sistema y el del aparato, y el estado del sistema no se ve modificado mientras se encuentre inicialmente en alguno de los estados {| ↑i, | ↓i}. Ahora podemos considerar que antes de la interacci´on, el sistema se encuentra en un estado puro general. La linealidad de la ecuaci´on de Schr¨odinger indica que como resultado de la interacci´on se crea el siguiente estado correlacionado |Ψi:

|Ψ0i = (α| ↑i + β| ↓i) |A0i → |Ψi = α| ↑i|A1i + β| ↓i|A0i. (2.2) Ahora sistema y aparato se encuentran en un estado entrelazado, dotado de correlaciones cu´anticas, en el pr´oximo cap´ıtulo volveremos a referirnos a estas correlaciones con mayor profundidad. Un estado correlacionado de esta forma no es suficiente para explicar la medici´on en el mundo real, es por eso que a este proceso se lo conoce como premedici´on.

Para ilustrar mejor este problema, podemos recurrir al siguiente ejemplo: supongamos que α = β = 1/√

2, y{| ↑i, | ↓i} es la base de autoestados del operador σ^z, de esta manera el resultado de la premedici´on ser´a:

|Ψi = 1

√2(| ↑i|A1i + | ↓i|A0i) . (2.3) Como los estados de la base σx, {|±i}, se encuentran relacionados con los de la base de autoestados de σ_z por:|±i = (| ↑i ± | ↓i)/√

2,|Ψi puede ser escrito como:

|Ψi = 1

√2(|+i|A⁺i + |−i|A⁻i) . (2.4)

donde, |A^±i = (|A¹i ± |A⁰i)/√

2. El primer problema que surge en este caso, es el de la ambig¨uedad de la base. Mostramos dos formas en que puede ser expresada la premedici´on, de hecho, existen infinitas maneras de expresar las correlaciones perfectas entre sistema y aparato. De esta manera, un cambio de base redefine la cantidad medida. Esto adem´as puede apreciarse a partir de la aparici´on de los t´erminos fuera de la diagonal en la matriz densidad:

|ΨihΨ| = |α|²| ↑ih↑ | ⊗ |A1ihA1| + αβ^∗| ↑ih↓ | ⊗ |A1ihA0|

+ α^∗β| ↓ih↑ | ⊗ |A0ihA1| + |β|²| ↓ih↓ | ⊗ |A0ihA0|. (2.5) Por lo tanto, la existencia de un observable “preferencial” no se encuentra explicada por el estado final sistema-aparato dado por el esquema de von Neumann. Ahora podemos preguntarnos qu´e observable efectivamente est´a midiendo nuestro aparato. Es as´ı que se necesita un proceso no-unitario que lleve la matriz densidad a su forma diagonal. Para ello, podemos considerar que a un tercer ente cu´antico que interact´ua con el aparato: el entornoE [21, 18, 19].

Ahora veremos c´omo el proceso de decoherencia inducido por el entorno convertir´a a las correlaciones cu´anticas entre el sistema y el aparato en correlaciones cl´asicas. Conside- remos entonces un tercer sistema E que realiza una premedici´on sobre el detector, y por lo tanto:

|Ψ(0)i^SAE = (α| ↑i|A1i + β| ↓i|A0i) |ǫ0i → |Ψi^SAE = α| ↑i|A1i|ǫ1i + β| ↓i|A0i|ǫ0i. (2.6) A simple vista parecer´ıa que mediante este paso, no hemos solucionado el problema an- terior. Pero si tenemos en cuenta que el entorno es inaccesible, veremos que el problema de la ambig¨uedad de la base se encuentra resuelto. Esto puede ser garantizado siempre y cuando hǫ0|ǫ1i = 0. Cuando esta condici´on es satisfecha, la descripci´on del par S − A puede ser obtenida por medio de la matriz densidad reducida, ignorando la informaci´on en los grados de libertad que no podemos controlar:

ρSA = TrE|ΨihΨ|

= |α|²| ↑ih↑ | ⊗ |A1ihA1| + |β|²| ↓ih↓ | ⊗ |A0ihA0|, (2.7) esta matriz densidad reducida contiene s´olo t´erminos correspondientes a las correlacio- nes cl´asicas. Es de esta forma que finalmente emerge, seleccionada por la din´amica, la base preferencial del detector, conocida como base de estados puntero. Cuando la inter- acci´on con el entorno HAE es dominante, los autoestados de cualquier observable A tal que [A, HAS] = 0 ser´an preservados y el entorno tendr´a un registro de los estados pun- teros. De este modo, no ser´a posible medir efectos de interferencia en esta base, y por lo tanto no podremos confirmar la presencia de la superposici´on. En este caso analizamos la transici´on cu´antico-cl´asica de un detector cu´antico. De aqu´ı en adelante, estudiaremos la decoherencia del sistema de inter´es.

2.3. Decoherencia de un qubit

Un ejemplo simple del proceso din´amico de decoherencia se encuentra dado por el de un sistema cu´antico de dos niveles {|0i^z,|1i^z} (qubit) interactuando con un entorno de N qubits {| ↑zik,| ↓zik} [19]. El caso m´as sencillo que ilustra las ideas anteriores es en el cual se desprecia el Hamiltoniano interno del sistema HS = 0, y la interacci´on tiene la forma:

HSE = σz⊗X

k

gkσ_z^(k). (2.8)

Bajo la acci´on de HSE el estado inicial: |Ψ(0)i = (a|0iz+ b|1iz)QN

k=1(αk| ↑zik+ βk| ↓zik) evoluciona a un estado correlacionado, cuya matriz densidad reducida en la base de au- toestados de σz es:

ρS(t) =|a|²|0ih0| + ab^∗r(t)|0ih1| + a^∗br^∗(t)|1ih0| + |b|²|1ih1| (2.9) El coeficiente r(t) = hǫ|⁰ǫ1i determina el tama˜no relativo de los elementos fuera de la diagonal, lo que representa la p´erdida de coherencia del sistema debido a la interacci´on con el entorno:

r(t) =

N

Y

k=1

[cos 2g_kt + i(|αk|²− |βk|²) sin 2g_kt]. (2.10) Como podemos apreciar, en el caso que el entorno sea finito existe un tiempo de recurrencia (tiempo de Pincar`e) donde el sistema recupera su coherencia. Como sabemos, el proceso de decoherencia es irreversible y esto simula la din´amica hasta la p´erdida de coherencia para todos los fines pr´acticos. En el l´ımite de muchos espines (N grande), a tiempos largos, los t´erminos fuera de la diagonal son peque˜nos:

|r(t)|²≈ 2^−N

N

Y

k=1

[1 + (|αk|²− |βk|²)²]. (2.11)

Esta din´amica tiene una interesante descripci´on en la esfera de Bloch [13]. Cabe mencio- nar que en este sistema la decoherencia es exponencialmente efectiva con el tama˜no del sistema. R´apidamente la matriz densidad reducida se vuelve diagonal en la base de estados puntero. Por otro lado, la selecci´on efectiva depende del estado inicial del entorno, cuando el entorno se encuentre en un autoestado de HSE el sistema retendr´a su coherencia, ya que el entorno se encontrar´a en un autoestado del “control”; lo cual es dif´ıcil de encontrar en situaciones realistas.

2.4. Modelos de decoherencia

Como vimos en los casos anteriores, la decoherencia se encuentra ´ıntimamente ligada al proceso de medici´on. El estado del sistema influencia al del entorno, que se correlaciona con el sistema. Este monitoreo constante conduce a una evoluci´on no-unitaria del sistema

(reducido), que produce decoherencia. Dicha din´amica no conduce a un colapso de la funci´on de onda. Lo que produce es que finalmente el sistema se encuentre en un estado descripto por una matriz densidad, que es una mezcla de todos los posibles resultados de mediciones en la base de estados puntero.

La tarea de modelar la decoherencia en cada sistema f´ısico resulta complicada. Princi- palmente porque cada vez que nos enfrentamos a un sistema nuevo, parecer´ıa que debemos comenzar devuelta y encontrar un modelo que se ajuste a esa situaci´on en particular. Afor- tunadamente, existen algunas simplificaciones que ayudan a atacar los diferentes casos. Es as´ı que en muchas situaciones (sino todas) de inter´es pr´actico, el sistema central interac- tuante con el entorno puede ser mapeado en un conjunto peque˜no de modelos can´onicos.

En estos modelos el sistema central en general se representa por una part´ıcula que posee grados de libertad cont´ınuos en el espacio de fases, o bien por una part´ıcula de esp´ın-1/2 si el espacio de estados del sistema es discreto y de dos dimensiones efectivas. Los modelos de entornos m´as usados tambi´en consideran estas dos opciones.

Los modelos con ba˜nos de espines [22, 19, 23, 24] modelan entornos con pocos grados de libertad y en general se considera un n´umero finito de espines en el entorno. En particular, estos modelos resultan ´utiles para la descripci´on de la interacci´on del esp´ın nuclear, dentro de una mol´ecula grande, con los dem´as espines de la misma mol´ecula. Lo que resulta de inter´es, por ejemplo, en aplicaciones de informaci´on cu´antica en NMR, como as´ı tambi´en en varias implementaciones en estado s´olido.

Por otro lado, la representaci´on de entornos por un n´umero grande de osciladores arm´onicos tiene una larga historia. Los entornos de osciladores corresponden a un cuasi- cont´ınuo de modos bos´onicos donde la coherencia y energ´ıa del sistema central pueden ser perdidos irreversiblemente en el entorno. Este tipo de entornos juegan un rol importante en el modelado del proceso de decoherencia, principalmente porque resultan ser bastante generales. Se puede mostrar, que a suficiente baja energ´ıa, una gran cantidad de sistemas abiertos interactuantes pueden ser representados por una o dos coordenadas del sistema linealmente acopladas a un entorno de osciladores arm´onicos. De hecho, la interacci´on con cualquier entorno puede ser mapeada a un sistema lineal acoplado a un entorno de osciladores, siempre que la interacci´on sea lo suficientemente baja y valga la teor´ıa de perturbaciones a segundo orden [25]. Los dos modelos m´as importantes consideran al sis- tema central como una part´ıcula con grados de libertad cont´ınuos y a un sistema con dos grados de libertad de esp´ın. Este ´ultimo se lo conoce como modelo de esp´ın-bos´on [26]. Consiste en una part´ıcula de esp´ın-1/2 acoplada a un ba˜no de osciladores que, en principio a pesar de su din´amica complicada, puede ser resuelto exactamente ya que es posible derivar la funcional de influencia de Feynman y Vernon [26]. Este modelo tiene particular importancia en computaci´on cu´antica ya que representa un qubit acoplado a un ba˜no t´ermico [27, 28]. Adem´as fue muy usado para estudiar la din´amica disipativa de una part´ıcula confinada en un potencial tipo doble pozo [29]. Del otro modelo nos vamos a ocupar en la siguiente secci´on.

2.5. Movimiento Browniano Cu´ antico

En esta tesis nos centraremos en el estudio del modelo paradigm´atico de movimiento Browniano cu´antico (MBC) [30]. Este modelo no s´olo es de crucial importancia en el estu- dio de la decoherencia, sino que adem´as permite discutir muchos aspectos formales, f´ısicos y conceptuales de la decoherencia. El MBC consiste en una part´ıcula movi´endose en una dimensi´on espacial que interact´ua linealmente con un entorno de osciladores arm´onicos independientes, inicialmente en equilibrio t´ermico.

Este modelo, adem´as, tiene un rol extremadamente importante en el estudio de la disipaci´on de sistemas cu´anticos [31, 17]. Hist´oricamente, han sido varios los intentos de describir el movimiento Browniano cu´antico. Senitzky [32], aplic´o el modelo de disipa- ci´on cu´antica para modelar la radiaci´on de ondas electromagn´eticas en una cavidad y demostr´o que a pesar de no conocer los detalles del medio disipativo, es posible formular un mecanismo que conduzca la disipaci´on cu´antica. Uno de los primeros intentos de resol- ver el problema fue de Zwanzing [33], que consider´o los efectos de memoria de largo rango en la funci´on de autocorrelaci´on de la fuerza fluctuante. Ford, Kac y Mazur [34] propu- sieron el modelo de sistema-ba˜no para los sistemas disipativos cl´asicos y cu´anticos, donde el sistema se encontraba acoplado a un ba˜no de osciladores arm´onicos. Posteriormente, el tratamiento formal del modelo sistema-ba˜no fue introducido por Feynman y Vernon [25], donde derivaron la funcional de influencia para la acci´on efectiva del sistema integrando los grados de libertad del ba˜no, por medio de la t´ecnica de integral de camino. Este mismo m´etodo fue utilizado posteriormente por Caldeira y Legget [35] para derivar el comporta- miento de la ecuaci´on maestra para un oscilador arm´onico cu´antico acoplado a un ba˜no de osciladores arm´onicos. Dekker [36] propuso una ecuaci´on maestra fenomenol´ogica don- de el efecto difusivo aparec´ıa en las coordenadas can´onicas posici´on y momento. Luego, en algunos trabajos se obtuvieron diferentes ecuaciones maestras aproximadas [37, 38].

Finalmente, Hu, Paz y Zhang [39] obtuvieron por primera vez la ecuaci´on maestra exacta, v´alida para cualquier temperatura y densidad espectral. En lo que sigue, introduciremos el modelo y mostraremos los aspectos salientes de la ecuaci´on maestra exacta [39].

2.5.1. El Modelo

El modelo describe a un sistema de masa m y coordenada can´onica x que se mueve bajo la acci´on de un potencial arm´onico, e interact´ua con un entorno de osciladores arm´onicos.

El Hamiltoniano completo es H = HS + HSE + HE, donde:

HS = 1

2mp²+1

2mω²x², (2.12)

siendo p es el momento y ω la frecuencia natural del sistema. El entorno est´a formado por osciladores arm´onicos de masas mn y frecuencias ωn que no interact´uan entre s´ı:

HE =X

n

 1 2mn

p²_n+ 1

2mnω_n²q_n².

. (2.13)

El acoplamiento entre sistema y entorno es lineal en la coordenada x de la part´ıcula Browniana y la coordenada qnde los osciladores del ba˜no. De esta manera, el Hamiltoniano de interacci´on HSE se encuentra definido por

HSE =−xX

n

cnqn, (2.14)

y las constantes de acoplamiento para cada uno de los modos del entorno se determinan a partir de la densidad espectral.

En este modelo, la evoluci´on del sistema combinado (sistema-entorno), se encuentra caracterizada por cuatro escalas temporales diferentes: la primera est´a asociada a la fre- cuencia natural del sistema; la segunda est´a representada por el tiempo de relajaci´on (caracterizado por el acoplamiento entre el sistema y el entorno); la tercera corresponde al “tiempo de memoria”del entorno (en general asociado a la frecuencia m´as alta presente en el entorno) y, finalmente, la escala de tiempo asociada con la temperatura del entorno, que mide la importancia relativa entre los efectos cu´anticos y t´ermicos.

El efecto del entorno sobre la din´amica del sistema est´a caracterizado por los fen´omenos de fluctuaci´on y disipaci´on. Estos efectos pueden determinarse a partir una propiedad totalmente espec´ıfica del entorno: la densidad espectral J(ω). La densidad espectral mide la cantidad de osciladores de una frecuencia dada que se acoplan al sistema con una intensidad espec´ıfica. En el caso discreto de N osciladores, esta funci´on es

J(ω) =

N

X

n=1

δ(ω− ωn) c²_n 2mnωn

. (2.15)

De este modo, indicando la densidad espectral J(ω) y el estado inicial del entorno, tanto la disipaci´on como las fluctuaciones quedan un´ıvocamente determinadas, como podremos ver a continuaci´on. Diferentes densidades espectrales J(ω) clasifican a los distintos tipos de entornos. En general uno reemplaza la suma discreta por una funci´on continua de las frecuencias del entorno. Por razones f´ısicas, adem´as, uno no espera que un entorno real contenga un n´umero infinito de frecuencias, y es por eso que se introduce una frecuencia m´axima presente en el entorno, que llamaremos frecuencia de corte Λ; es decir J(ω)→ 0 cuando ω > Λ. De esta manera, la escala temporal asociada a la respuesta del entorno, queda determinada por la inversa de esta frecuencia de corte. Las densidades espectrales que se usan com´unmente corresponden a la familia:

J(ω) = 2

πmγ₀ωω Λ

n−1

f (ω, Λ), (2.16)

donde γ0 es una constante efectiva de acoplamiento y f (ω, Λ) es la funci´on de corte, las m´as comunes son un decaimiento suave exponencial e^−ω2/Λ2, la forma de Lorentz-Drude Λ²/(Λ²+ ω²) o un corte abrupto θ(Λ−ω). El par´ametro n es el que determina la densidad espectral, el caso m´as estudiado es el ´ohmico, n = 1, y corresponde a la situaci´on f´ısica en la que el entorno induce sobre el sistema una fuerza lineal con la velocidad [31]. El

caso n > 1 se conoce como super-´ohmico y, para (n = 3), por ejemplo, corresponde a un fon´on en un ba˜no en dos o tres dimensiones dependiendo de las propiedades de simetr´ıa del campo [31]. Adem´as, puede mostrarse que este tipo de entorno puede ser usado para describir el efecto de la interacci´on entre una part´ıcula cargada y su propio campo electromagn´etico [40]. Para n < 1 tenemos el caso sub-´ohmico que por ejemplo, para (n = 1/2), corresponde al tipo de ruido que puede ocurrir en algunos dispositivos s´olidos y, a altas temperaturas, es similar al ruido producido en las junturas Josephson [41].

2.5.2. Ecuaci´ on Maestra

Una de las herramientas fundamentales para el an´alisis de la din´amica de los sistemas cu´anticos abiertos es la ecuaci´on que rige la evoluci´on de la matriz densidad reducida, conocida como “ecuaci´on maestra”. Como es usual, dividiremos a nuestro universo en sistema de inter´esS y entorno E. La matriz densidad reducida, ρ, del sistema es el operador que permite responder todas las cuestiones f´ısicas respecto del sistema S. Y se obtiene a partir de la matriz densidad total del universo, trazando sobre los grados de libertad del entorno:

ρ = TrE[ρSE]. (2.17)

La ecuaci´on maestra exacta fue obtenida en [39] y posteriormente en una forma m´as simple en [42]. Una deducci´on usando teor´ıa de perturbaciones puede verse en la referencia [13]. El truco para derivar la ecuaci´on exacta r´apidamente [42] se basa en el uso de las propiedades del operador evoluci´on de la matriz densidad reducida. Este operador es el que evoluciona la matriz densidad reducida a partir del tiempo inicial. Por lo tanto, lo podemos definir como:

ρ(x, x^′, t) = Z

dx₀ Z

dx^′₀J(x, x^′, t; x₀, x^′₀, t₀)ρ(x₀, x^′₀, t₀). (2.18)

A partir de aqu´ı se puede obtener f´acilmente la forma de la ecuaci´on maestra si cono- cemos la forma expl´ıcita del operador evoluci´on reducido. Previamente, vamos a asumir condiciones iniciales tales que el entorno se encuentra en un estado t´ermico, y por lo tanto, descorrelacionado del sistema:

ρSE(t0) = ρ⊗ ρ^E. (2.19)

Si inicialmente el sistema tiene correlaciones con el entorno tambi´en se puede derivar el operador evoluci´on [43], aunque su forma resulta m´as complicada. A partir del formalis- mo de integral de camino y funcional de influencia [25], es posible calcular el operador evoluci´on reducido [39, 42]. Su forma es Gaussiana, ya que la interacci´on es lineal, el

Hamiltoniano cuadr´atico y el estado inicial del entorno t´ermico¹ (Gaussiano):

J(X, Y, t; X0, Y0, t0) = b3

2πexp [i(b1XY + b2X0Y − b³XY0− b⁴X0Y0)] (2.20)

× exp−a¹¹Y²− a12Y Y0− a22Y₀² ,

donde por conveniencia hemos utilizado X = x + x^′, Y = x− x^′, etc; y la dependencia temporal se encuentra en los coeficientes b_i y a_lm. Un ejemplo que muestra la forma en que se deduce dicho operador, puede verse en el Ap´endice B, donde se considera un sistema compuesto interactuando con un entorno. Para obtener la forma expl´ıcita de la ecuaci´on maestra, computamos la derivada temporal del operador evoluci´on. Finalmente, la ecuaci´on maestra se obtiene integrando el producto de J con la matriz densidad sobre las coordenadas iniciales. Uno esperar´ıa que este procedimiento resultara en una ecuaci´on integro-diferencial no-local en el tiempo. Pero esto no sucede, ya que la dependencia temporal del operador evoluci´on desaparece mediante el uso de determinadas propiedades que son consecuencia de la evoluci´on con forma Gaussiana [42]. De esta manera, arribamos a la siguiente ecuaci´on maestra (~ = 1):

˙ρ =−i[HS +m

2δΩ²(t)x², ρ]− iγ(t)[x, {p, ρ}] − D(t)[x, [x, ρ]] − f(t)[x, [p, ρ]]. (2.21) Aqu´ı los coeficientes dependientes del tiempo: δΩ(t) renormalizaci´on de la frecuencia, γ(t) coeficiente de disipaci´on, D(t) difusi´on normal y f (t) difusi´on an´omala, tienen la infor- maci´on acerca de la densidad espectral y la temperatura del entorno. Sus valores exactos pueden obtenerse como funci´on de los coeficientes b_i y a_lm [39, 42, 44] y fueron estudiados en gran detalle en una serie de trabajos [39, 42, 45, 46]. Adem´as, se puede observar que el car´acter no-Markoviano de esta ecuaci´on se encuentra dado por los coeficientes depen- dientes del tiempo y, notablemente, resulta ser local en el tiempo debido a la linealidad del problema. Por otro lado, a pesar de que la ecuaci´on no tiene la forma de Lindblad, la positividad de la matriz densidad se encuentra asegurada a todo tiempo a diferencia de otros casos [35, 38]. Esto sucede debido a que todos los coeficientes son nulos inicialmente y los t´erminos difusivos crecen r´apidamente, dominando la din´amica a tiempos cortos, por sobre el coeficiente disipativo.

En el l´ımite de acoplamiento d´ebil, podemos hacer un desarrollo perturbativo a segun- do orden en la constante de acoplamiento γ0 y encontrar as´ı expresiones m´as sencillas en funci´on de los n´ucleos de disipaci´on y ruido (ver Ap´endice A.1):

δΩ²(t) =−2 m

Z t 0

η(t^′) cos(ωt^′)dt^′, γ(t) = 1 mω

Z t 0

η(t^′) sin(ωt^′)dt^′, (2.22) D(t) =

Z t 0

ν(t^′) cos(ωt^′)dt^′, f (t) =− 1 mω

Z t 0

ν(t^′) cos(ωt^′)dt^′.

1Es interesante notar que para llegar a esta expresi´on basta con escribir la forma Gaussiana m´as general e imponer que el operador evoluci´on conserve la traza y la hermiticidad de la matriz densidad reducida.

Esta expresi´on resulta ser general para cualquier interacci´on bilineal, es al imponer que la interacci´on sea mediante la coordenada posici´on que se obtiene la forma expl´ıcita de la ecuaci´on maestra.

Es conveniente aclarar que estas expresiones son bastante ´utiles a la hora de estimar escalas temporales a tiempos muy cortos pero m´as all´a, especialmente en el caso de bajas temperaturas, no resultan ser precisas y pueden llevar a inconsistencias.

Por ´ultimo, para comprender el rol de cada uno de los coeficientes podemos, en primer lugar, calcular las derivadas temporales de valores medios de los primeros momentos de las coordenadas can´onicas:

dhpi

dt =−mΩ²R(t)hxi − 2γ(t)hpi; dhxi dt = hpi

m , (2.23)

donde Ω²_R(t) = ω²+ δΩ²(t). De esta manera, es sencillo identificar algunos de los efectos que ejerce el entorno sobre el sistema, como la renormalizaci´on de la frecuencia ΩR y la fricci´on inducida por el coeficiente γ(t) que produce p´erdida de energ´ıa y en tiempo asint´otico localiza al sistema en el origen del espacio de fases. Ambos coeficientes s´olo dependen de la densidad espectral y son independientes de la temperatura. La variaci´on temporal de los segundos momentos nos dir´a, en alg´un sentido, c´omo se modifica el ´area del estado en el espacio de fases:

dhp²i

dt = −mΩ²R(t)hxp + pxi − 4γ(t)hp²i + 2D(t), dhx²i

dt = 1

mhxp + pxi, (2.24)

dhxp + pxi

dt = 2

mhp²i − 2mΩ²R(t)hq²i − 2γ(t)hxp + pxi − 2f(t).

De esta manera, podemos notar que los coeficientes D(t) y f (t) producen difusi´on en ambas coordenadas. En el caso del coeficiente D(t) al escribir su t´ermino en la ecuaci´on maestra en la representaci´on posici´on D(t)[x, [x, ρ(t)]]→ D(t)(x−x^′)²ρ(x, x^′, t), podemos ver que se encuentra asociado a la taza de decoherencia. Es el t´ermino responsable de las fluctuaciones, an´alogas a las patadas aleatorias del movimiento Browniano cl´asico. Por otro lado, al alcanzar el equilibrio, los segundos momentos se encuentran determinados por:

mΩRhx²i^∞= D

2mγ − f; hp²i^∞ = D

2γ, (2.25)

en todos los casos consideramos el valor asint´otico de los coeficientes. A partir de estas ecuaciones, podemos ver que el rol de cada uno de los coeficientes es muy diferente.

Mientras que D produce difusi´on en ambas coordenadas, el coeficiente f de acuerdo al signo localizar´a el estado en la coordenada x o bien incrementar´a la difusi´on. Es as´ı, que este coeficiente es el que contiene informaci´on acerca el observable que interact´ua con el entorno, y en este sentido deja una “huella” en el estado asint´otico. Este distinci´on ser´a de suma importancia en el an´alisis que realizaremos en el pr´oximo cap´ıtulo.

2.5.3. Aplicaciones de la ecuaci´ on maestra del MBC al estudio de la decoherencia

Los coeficientes que mostramos anteriormente pueden ser calculados en una gran varie- dad de casos. Las principales caracter´ısticas del entorno que pueden variar son: su densidad espectral y su temperatura. Aqu´ı mostraremos algunos de los resultados importantes que ilustran la utilidad de ecuaci´on maestra para el estudio de la decoherencia.

L´ımite de temperatura alta

Consideremos un entorno ´ohmico, J(w) = ²_πmγ₀wθ(Λ− w), con ω ≪ Λ, en el l´ımite de temperatura alta. Es decir, la energ´ıa t´ermica del entorno kBT , es mucho mayor que las energ´ıas asociadas a la frecuencia natural del sistema y la frecuencia de corte ~Λ.

En este caso los coeficientes llegan a valores constantes luego de un tiempo transitorio, dependiente de la temperatura, muy corto. Por lo tanto, en l´ımite kBT ≫ ~ω, Markoviano, los coeficientes de la ecuaci´on maestra pueden ser aproximados por:

D≈ 2mγ⁰kBT, γ ≈ γ⁰, δΩ² ≈ −2γ0

π Λ, f (t)≈ 0. (2.26) Estrictamente f → 4γ0kBT /Λπ, pero si comparamos dichas magnitudes con las corres- pondientes a D en la ecuaci´on maestra, podemos ver que el t´ermino de Dx² ∼ 2mγ0kBT x² y el de f xp∼ fxmωx ∼ 4γ⁰kBT /Λπmωx² ∼ x²Dω/Λ, entonces al asumir que ω ≪ Λ es posible simplemente despreciarlo en la ecuaci´on maestra.

De esta manera, la ecuaci´on maestra en el l´ımite de altas temperaturas es:

˙ρ =−i

~[HR, ρ]− iγ0[x,{p, ρ}] −2mγ₀k_BT

~² [x, [x, ρ]], (2.27) donde HR es el Hamiltoniano renormalizado. Esta ecuaci´on es tambi´en conocida como la la ecuaci´on maestra de Caldeira-Legget, y fue derivada por dichos autores usando t´ecnicas de integrales de camino [35]. El l´ımite de altas temperaturas, permite adem´as que la ecuaci´on anterior sea v´alida para un V (x) arbitrario. Vale aclarar, que esta ecuaci´on tiene anomal´ıas a tiempos cortos ∼ 1/Λ ya que conduce a una matriz densidad que no es definida positiva. Pero luego de ese transitorio, dicha aproximaci´on es extremadamente

´

util, de hecho esta ecuaci´on fue muy usada para modelar decoherencia y disipaci´on.

Quiz´as el ejemplo m´as simple, que ilustra su utilidad en el estudio de la decoherencia, sea el del l´ımite macrosc´opico. En ese caso, ~ es muy peque˜no comparado con otras magnitudes. De esta manera, la ecuaci´on (2.27), escrita en la representaci´on posici´on, se encuentra dominada por:

∂ρ(x, x^′, t)

∂t =−γ0 (x − x^′) λT

2

ρ(x, x^′, t), (2.28)

donde λT es la longitud de onda de de Broglie:

λT = ~

√2mkBT. (2.29)

Cuya soluci´on resulta:

ρ(x, x^′, t) = ρ(x, x^′, 0) e^−γ0t

“_x−x′

λT

”2

, (2.30)

la matriz densidad pierde sus t´erminos fuera de la diagonal en la representaci´on posici´on, mientras que su diagonal permanece inalterable. Por ejemplo, si considerar´aramos que el estado inicial del sistema es un estado tipo “gato de Schr¨odinger”, dos paquetes Gaussianos de m´ınima incertidumbre separados por una distancia ∆x en el espacio de fases, entonces el sistema pierde coherencia luego de un tiempo de decoherencia τD dado por:

τ_D⁻¹ = γ0

 ∆x λT

2

. (2.31)

Para sistemas masivos y entornos a temperatura considerable λ_T es peque˜no, por lo tanto el tiempo de decoherencia ser´a mucho menor que la escala de disipaci´on dada por γ₀⁻¹. Esta expresi´on fue derivada por primera vez por Zurek [47] para introducir la noci´on de escala temporal de decoherencia. Por ejemplo, para una part´ıcula de masa 1 g a temperatura ambiente separadas por 1 cm, la ecuaci´on (2.31), predice un tiempo de decoherencia 10⁴⁰ veces m´as r´apido que el tiempo de relajaci´on. Finalmente, es conveniente aclarar, que esta escala temporal es v´alida estrictamente bajo estas aproximaciones y no es un resultado general, como fue observado en [45]. Un ejemplo de ello es la dependencia cuadr´atica en

∆x que aparece en la ec. (2.31), la misma debe saturar y no crecer indiscriminadamente, ya que el tiempo de decoherencia debe ser siempre mayor que 1/Λ.

Decoherencia en el espacio de fases

Ahora podemos volver a la ecuaci´on maestra general (2.21), e ilustrar la din´amica de un sistema generada por esta ecuaci´on. Esta situaci´on fue estudiada en detalle en [45], y consiste en considerar la evoluci´on temporal de la matriz densidad reducida en el espacio de fases. Para lo cual, resulta ´util recurrir a una funci´on distribuci´on que se obtiene a partir de la matriz densidad, la funci´on de Wigner [48]:

W (x, p) = Z ∞

−∞

dz

2π~e^ipzρ(x− z/2, x + z/2). (2.32) La estrategia consiste en considerar un estado inicial delocalizado en posici´on (o momen- to), poniendo especial atenci´on en los efectos de interferencia. Ψ(x, t = 0) = Ψ1(x)+Ψ2(x) es la funci´on de onda inicial, donde Ψi(x) son estados de m´ınima incertidumbre localiza- dos sim´etricamente en el espacio de fases. De esta manera, la funci´on de Wigner puede ser escrita en forma sencilla como la suma de tres t´erminos [45], dos que representan los picos Gaussianos y el restante es el t´ermino de interferencia:

W (x, p, t) = W1(x, p, t) + W2(x, p, t) + Wint(x, p, t), (2.33) su forma expl´ıcita puede verse en la referencia [45]. La dependencia temporal de la funci´on de Wigner puede ser escrita expl´ıcitamente en funci´on de los coeficientes del operador

evoluci´on de la ec. (2.21). Inicialmente, como consecuencia de la interferencia cu´antica, la funci´on de Wigner oscila y toma valores negativos en algunas regiones del espacio de fases. Este es un signo de la coherencia del sistema y la frecuencia de las oscilaciones es proporcional a la distancia que separa los paquetes. A lo largo de la evoluci´on, los picos Gaussianos cambian su ancho y siguen las trayectorias cl´asicas, distorsionadas por la interacci´on con el entorno. Las franjas de interferencia cambian su longitud de onda y rotan siguiendo la evoluci´on de los paquetes Gaussianos, ver Figura 2.1. El efecto de la decoherencia se manifiesta en la disminuci´on de las franjas de interferencias. Este efecto se puede estudiar, por medio del “factor de visibilidad de las franjas” Aint [45], definido por:

exp(−A^int) = 1 2

Wint(x, p)|pico

(W₁(x, p)|picoW₂(x, p)|pico)^1/2. (2.34) Al considerar las posibles condiciones iniciales: separaci´on en posici´on y momento, se puede encontrar una diferencia notable en la taza a la cual desaparecen las franjas de in- terferencia. Esto se puede explicar de la siguiente manera: la interacci´on entre el sistema y el entorno se efect´ua mediante la coordenada posici´on, por lo tanto el entorno monitorea al sistema en dicho observable, es as´ı que las superposiciones en x pierden su coherencia casi instant´aneamente. Por el contrario, las superposiciones en momento son insensibles al monitoreo inicial, ya que el estado inicial se halla localizado en ese observable. Al evo- lucionar el sistema, rotando alrededor del origen del espacio de fases, las superposiciones en momento se tornan en superposiciones en posici´on y el sistema invariablemente sufre la p´erdida de coherencia, pero a diferencia del caso anterior, en una escala temporal que est´a relacionada con la din´amica del sistema.

x p

x p

Figura 2.1: Movimiento Browniano cu´antico en el espacio de fases. Evoluci´on de la funci´on de Wigner para un estado inicial tipo “gato de Schr¨odinger”. Las franjas de interferencia denotan la coherencia cu´antica del estado.

Este tratamiento resulta muy ´util, adem´as, ya que permite estimar escalas temporales de decoherencia para diferentes temperaturas. Es as´ı que se puede estudiar la aproximaci´on de temperaturas altas y estimar su rango de validez [45]. Por otro lado, es posible obtener tiempos de decoherencia para varias situaciones ya que existe una caracter´ıstica clara

que nos permite, de alguna manera, marcar el borde entre el comportamiento cu´antico y cl´asico. Esta propiedad es la coherencia del sistema, que se encuentra cuantificada por el factor de visibilidad. Imponiendo que A_int(τ_D) = 1, se puede obtener que el tiempo de decoherencia a bajas temperaturas es del orden de [45, 49]:

τ_D⁻¹ ≈ γ⁰ ∆x

∆x0

2

(2.35) donde ∆x²₀ = ~ coth(ω/2kBT )/mω, y para par´ametros macrosc´opicos, sigue siendo m´as corto que el tiempo de disipaci´on.

Estados puntero del MBC

Como vimos al principio de este cap´ıtulo, el proceso m´as importante de la decoheren- cia es la selecci´on din´amica de un conjunto de estados estables. Estos estados son, por definici´on, los menos afectados por la interacci´on con el entorno. Un criterio para obtener sistem´aticamente estos estados fue propuesto en [50, 51]. La idea b´asica es la siguiente:

para encontrar los estados puntero, uno debe considerar todos los posibles estados inicia- les puros para el sistema y calcular la entrop´ıa asociada con la matriz densidad reducida luego de un determinado tiempo t. Los estados puntero son aquellos que minimizan la producci´on de entrop´ıa durante escalas temporales din´amicas.

Este criterio, puede ser aplicado en los modelos m´as simples de decoherencia, donde el Hamiltoniano del sistema puede ser despreciado. En estos casos, los estados punteros son simplemente los autoestados del Hamiltoniano de interacci´on. En situaciones m´as realistas, donde el Hamiltoniano del sistema debe ser tenido en cuenta, los estados puntero se encontrar´an determinados por la interacci´on y la din´amica interna del sistema. El ejemplo m´as claro se encuentra dado por el MBC, donde los estados puntero pueden ser calculados expl´ıcitamente, utilizando la ecuaci´on maestra como herramienta fundamental.

Para encontrar los estados puntero, se puede estudiar la pureza del sistema ζ = Trρ² en vez de la entrop´ıa de von Neumann. Esta cantidad es igual a 1 para un estado puro y decrece cuando el sistema se vuelve mixto debido a la interacci´on con el entorno. Antes de continuar resulta conveniente hacer algunas hip´otesis, como utilizar la aproximaci´on perturbativa (caso subamortiguado) y despreciar el efecto de la fricci´on a tiempos cortos (ya que intenta aumentar la pureza localizando el estado compitiendo con los efectos difusivos). Luego, considerando que el estado inicial es puro, es posible calcular el cambio de pureza durante un per´ıodo a partir de los coeficientes de la ecuaci´on maestra [51]:

ζ(T )− ζ(0) = −2D



∆x² + ∆p² m²ω²



, (2.36)

donde ∆x y ∆p son las dispersiones en posici´on y momento del estado inicial. Se pue- de probar adem´as, que el t´ermino de difusi´on an´omala no produce un incremento de la entrop´ıa ya que se promedia a cero sobre un per´ıodo. Variando sobre todos los posibles es- tados iniciales y considerando el principio de m´ınima incertidumbre ∆x∆p≥ ~/2, resulta

claro que los estados puntero son los de m´ınima incertidumbre [51, 52]: ∆x² = ~/2mω y ∆p² = ~mω/2. La mec´anica cu´antica no permite la localizaci´on perfecta en el espacio de fases, pero los estados coherentes seleccionados por el din´amica representan la mejor localizaci´on posible en el espacio de fases. De hecho, podemos ver a los estados coherentes como la versi´on cu´antica del concepto idealizado de puntos cl´asicos en el espacio de fases.

Decoherencia y Entrelazamiento

El entrelazamiento caracteriza las correlaciones cu´anticas. Este tipo de correlaciones resultan ser mucho m´as fuertes y cualitativamente diferentes a cualquier otro tipo de correlaci´on conocida. Es por eso, que resulta ser el responsable de algunos de los aspectos m´as anti-intuitivos de la mec´anica cu´antica y ha sido el foco de extensas discusiones en el ´area de fundamentos de la mec´anica cu´antica. Una de sus caracter´ısticas notables radica en que es altamente no-local, puede ser compartido por pares de ´atomos, fotones, electrones, a pesar de estar remotamente separados. Esta propiedad posibilita su uso para diferentes estrategias de comunicaci´on y encriptaci´on cu´antica, de hecho es el ingrediente principal en el protocolo de teleportaci´on. De esta manera, no es s´olo considerado como una propiedad peculiar de los sistemas cu´anticos sino adem´as como un recurso f´ısico.

Es as´ı que la creaci´on y manipulaci´on del entrelazameinto es un tema interesante, no s´olo por sus implicancias fundamentales, sino adem´as por sus aplicaciones pr´acticas. De hecho, durante la ´ultima d´ecada se ha puesto especial ´enfasis en el estudio de la f´ısica del entrelazamiento [53]; probablemente impulsado por el desarrollo de nuevos algoritmos y protocolos criptogr´aficos. Su estudio no se restringe al caso de sistemas discretos como qubits, sino que adem´as se consideran sistemas con variables continuas [54], donde varios experimentos mostraron la implementaci´on exitosa de por ejemplo protocolos criptogr´afi- cos [55] y teleportaci´on cu´antica [56]. Este tipo de correlaciones, al igual que las cl´asicas, en general decaen cuando se encuentran inmersas en entornos ruidosos, de forma que la atenuaci´on del entrelazamiento es casi ineludible. En este contexto, comprender el impac- to de la interacci´on entre el sistema cu´antico compuesto, eventualmente entrelazado, y su entorno es de considerable importancia. En efecto, las consecuencias de la decoherencia en algunos casos pueden ser devastadoras: debido a la interacci´on con el entorno, el entre- lazamiento en un sistema compuesto puede desaparecer en tiempo finito. Este fen´omeno, que en un principio fue discutido y analizado en sistemas formado por qubits [57, 58, 59]

y recientemente detectado en el laboratorio en dos contextos diferentes [60, 61], se cono- ce como “muerte s´ubita” del entrelazamiento (SD: sudden death). De todas formas, en general, el destino del entrelazamiento para sistemas cu´anticos abiertos no es del todo evidente, y hasta ahora no hay un entendimiento profundo de c´omo es posible prevenir su muerte s´ubita.

Este cap´ıtulo contiene una revisi´on de conceptos que ser´an utilizados m´as adelante.

En lo que sigue introduciremos la noci´on de entrelazamiento, as´ı como tambi´en medidas de entrelazamiento. Adem´as introduciremos el formalismo para describir eficientemente estados Gaussianos y mostraremos c´omo calcular el entrelazamiento para estos estados.

Por ´ultimo mostraremos una medida de las correlaciones totales (cl´asicas y cu´anticas): la informaci´on mutua cu´antica.

3.1. Entrelazamiento

El nombre “entrelazamiento” [53] se utiliza para describir a las correlaciones cu´anticas existentes entre sistemas compuestos. Comenzaremos por su definici´on y luego estudia- remos algunas de sus propiedades. Consideremos un sistema bipartito formado por dos subsistemas A y B, cuyo espacio de Hilbert es H = HA × HB. Un estado puro |ψi del sistema global se dice que es separable si y s´olo si puede ser escrito como producto:

|ψi = |ϕi^A⊗ |φi^B. (3.1)

Un estado se encuentra entrelazado si y s´olo si no es separable. De este modo, si un estado es separable cada subsistema puede ser considerado como una entidad. Los subsistemas a pesar de formar parte de un sistema compuesto, conservan completamente su individua- lidad. En el caso de estados puros, el entrelazamiento puede estudiarse recurriendo a la representaci´on de Schmidt [62]. Es posible demostrar que todo estado puro bipartito,|ψi, puede ser descompuesto de la siguiente manera:

|ψi =

d

X

i=1

λi|i^Ai ⊗ |i^Bi; (3.2)

donde λi ≥ 0 son los coeficientes de Schmidt, {|i^Ai} y {|i^Bi} son las bases de Schmidt, y la normalizaci´on impone Pd

i=1λ²_i = 1. El valor de d, que determina la cantidad de t´erminos de la expansi´on, se conoce como n´umero de Schmidt. Por lo tanto, resulta sencillo obtener la matriz densidad reducida de cada uno de los subsistemas:

ρA =

d

X

i=1

λ²_i|i^Aihi^A|,

ρB =

d

X

i=1

λ²_i|i^Bihi^B|. (3.3)

De esta ecuaci´on se desprende que los estados separables puros se encuentran escritos directamente en la representaci´on de Schmidt con d = 1, donde la matriz densidad redu- cida de cada subsistema corresponde a estados puros (ρA = |ϕihϕ| y ρ^B = |φihφ|). Por otro lado, si el n´umero de Schmidt es d > 1 el estado ya no puede escribirse como estado producto. En consecuencia, es posible formular el siguiente criterio de entrelazamiento:

un estado bipartito se encuentra entrelazado si y s´olo si las matrices densidad reducida corresponden a estados mixtos, es decir si d > 1. Este resultado es sencillo de entender: el estado global (3.2) contiene informaci´on no s´olo de los sistemas A y B sino que adem´as de las correlaciones entre ellos; por lo tanto, la informaci´on que se puede obtener a partir de la matriz densidad reducida ρA (o equivalentemente ρB) es menor que la contenida en el estado|ψi, ya que de esta manera renunciamos a considerar las correlaciones cu´anticas existentes entre ambos subsistemas. Resulta evidente entonces, que la entrop´ıa de ρA (ρB) debe ser no nula. Mediante la observaci´on de un subsistema por separado, s´olo es posible obtener un conocimiento estad´ıstico acerca del estado del otro subsistema.

Pudimos concluir que la presencia entrelazamiento en estados puros se encuentra direc- tamente relacionada con la impureza de la matriz densidad reducida. Adem´as, es posible cuantificar la cantidad de entrelazamiento presente con la entrop´ıa de entrelazamiento E(ρR). E(ρR) se encuentra definida como la entrop´ıa de von Neumann de la matriz densi- dad reducida, ρR: E(ρR) =−Pd

i=1λ²_i log λ²_i. Esta cantidad constituye la medida can´onica de entrelazamiento para estados puros. Adem´as se puede notar, a partir de la ecuaci´on (3.2), que el n´umero y los coeficientes de Schmidt son invariantes frente a operaciones unitarias locales, ya que s´olo modifican las bases de Schmidt.

Al considerar estados mixtos la identificaci´on de estados entrelazados no resulta ser tan sencilla. Un estado mixto general puede ser escrito como una suma convexa de estados puros:

ρ =X

i

pi|ψiihψi|. (3.4)

Esta propiedad, el hecho de que las matrices densidad formen un conjunto convexo, tie- ne un simple interpretaci´on f´ısica. La ecuaci´on (3.4) nos dice c´omo preparar el estado descripto por la matriz densidad ρ. En este caso, para conseguir ρ podemos preparar el estado puro |ψ1i con probabilidad p1, el estado puro |ψ2i con probabilidad p2, etc. No obstante, esta representaci´on es ambigua ya que no es ´unica, de hecho, existen infinitas maneras de expresar ρ como una suma convexa de estados puros. Por lo tanto, un estado bipartito mixto ser´a separable si existe una dada preparaci´on donde s´olo sean necesarias operaciones locales y comunicaci´on cl´asica (LOCC). Formalmente esto implica que un estado ρ del sistema global se dice que es separable si y s´olo si puede ser escrito como una suma convexa de estados producto [63]:

ρ =

k

X

i=1

piρAi ⊗ ρBi, (3.5)

dondePk

i pi = 1 (preservando la norma) y cada ρAi (ρBi) describen estados del sistema A (B). Para estados globales puros, esta definici´on se reduce a la ecuaci´on (3.1). Determinar si un estado mixto es separable resulta extremadamente dif´ıcil, ya que requiere chequear todas las posibles preparaciones. Por este motivo, existen varios criterios que permiten determinar la separabilidad de un estado mixto.

Como vimos, los estados puros se encuentran dotados de correlaciones puramente cu´anticas: la naturaleza de las correlaciones son profundamente diferentes de las corre-

laciones cl´asicas, que pueden ser creadas eligiendo las mezclas estad´ısticas correctas. En general, un signo caracter´ıstico de entrelazamiento es la violaci´on de desigualdades im- puestas por teor´ıas realistas locales [64]. Todo estado bipartito se encuentra entrelazado si, para un conjunto adecuado de observables, conduce a la violaci´on de dichas desigual- dades. Podemos concluir adem´as que constituye el tipo de correlaciones que no pueden ser creadas a partir de operaciones locales y comunicaci´on cl´asica (LOCC).

Nuestro pr´oximo paso ser´a mostrar una medida de entrelazamiento compatible con nuestro sistema cu´antico. Es decir, una funci´on de valores reales que cuantifique el grado de entrelazamiento de un dado estado. Para estados puros bipartitos hemos mostrado que la entrop´ıa reducida constituye una buena medida de entrelazamiento. En el caso de estados mixtos, este sigue siendo un problema abierto, y es por eso que se han desarrollado diversos criterios operacionales para detectar entrelazamiento [53, 65]. Uno de los m´as importantes y poderosos hasta ahora es el criterio de separabilidad de la transpuesta parcial de Peres-Horodecki [66, 67]: si un estado ρAB bipartito es separable, entonces su transpuesta parcial ρ^T_AB^A (con respecto a uno de los subsistemas, en este caso A) es una matriz densidad v´alida, en particular definida positiva. El criterio se conoce com´unmente como PPT (positive partial transposition):

ρAB separable =⇒ ρ^TAB^A ≥ 0. (3.6) La condici´on de positividad es independiente de la base en la cual se hace la transposi- ci´on parcial, y resulta ser necesaria para la separabilidad. En particular, para los casos de dimensi´on finita 2⊗2 y 2⊗3 resulta ser una condici´on necesaria y suficiente para la separa- bilidad [66, 67]. Por otro lado la inversa es, en general, falsa. Es decir, no todo estado con transpuesta parcial positiva es separable. Los estados entrelazados con transpuesta parcial positiva, se conocen como de entrelazamiento ligado (bound entangled) [68], ya que su entrelazamiento no puede ser destilable para obtener estados m´aximamente entrelazados.

Una buena medida de entrelazamiento debe reflejar las propiedades esenciales que asociamos al entrelazamiento, estas se encuentran contenidas en una serie de postulados axiom´aticos para medidas de entrelazamiento [53, 65]. En los casos donde el criterio PPT es necesario y suficiente para que exista entrelazamiento, la Negatividad [69, 70],N (ρ^AB), constituye una funci´on mon´otona de entrelazamiento que cuantifica la negatividad en el espectro de la matriz densidad transpuesta parcial ρ^T_AB^A, y se encuentra definida como:

N (ρAB) = k ρ^TAB^A k −1

2 , (3.7)

dondek ρ k= Trpρ^†ρ. Se puede ver adem´as queN (ρ) = |P

iλ⁻_i | donde λ⁻i son los autova- lores negativos de la matriz densidad transpuesta parcial. Por otro lado, una cantidad muy relacionada con la negatividad, y es la que usaremos para cuantificar el entrelazamiento de nuestros sistemas, es la Negatividad logar´ıtmica [71, 70]:

EN(ρAB) = lnk ρ^TAB^A k≡ ln[1 + 2N (ρ)]. (3.8)